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RELIGIÓN Y RELIGIONES3: CONCIENCIA DIVINA. La conciencia es el destello de vida que conecta a cada uno con la Vida Universal; es el hilo que nos afina con el universo. Si quieres volar hacia lo Trascendental, necesitas el hilo de la conciencia.

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Conciencia

Conciencia

 


La conciencia es el destello de vida que conecta a cada uno con la Vida Universal; es el hilo que nos afina con el universo. Si quieres volar hacia lo Trascendental, necesitas el hilo de la conciencia.

La conciencia es un destello que nos permite entrar en la Luz; es nuestra conciencia lo que nos conecta con Dios. Es el vínculo entre Dios y el hombre, entre el Cielo y la Tierra.

En el mundo físico, la madre le dice al niño quién es su padre; en el mundo espiritual, nuestra aspiración nos dice quién es Dios. ¿Quién es Dios? Dios es una Conciencia infinita. Él es también la Luz Auto-iluminadora. No existe un ser humano que no posea dentro de sí esta Conciencia infinita y esta Luz Auto-iluminadora.

Nuestra meta está dentro de nosotros; para alcanzar dicha Meta hemos de entrar en la vida espiritual. En la vida espiritual la cosa más necesaria es la conciencia. Sin esta, todo es un desierto estéril. Cuando entramos en un lugar oscuro, tomamos una linterna o alguna otra luz para saber a dónde estamos yendo. Si queremos saber acerca de nuestra vida apagada, hemos tomar la ayuda de la conciencia.

El hombre, en su vida externa o en sus logros externos, es muy limitado. Pero el mismo hombre, cuando entra en las cavidades más profundas de su corazón, siente que hay algo que está constantemente intentando expandirse. Eso es la conciencia. Esta conciencia lo enlaza con lo altísimo Absoluto.

La conciencia es nuestro maestro real, nuestro amigo querido y nuestro esclavo seguro. Como esclavo, la conciencia lleva nuestra fecunda ignorancia hasta Dios. Como amigo, la conciencia nos dice lo que es el Conocimiento supremo. Como maestro, la conciencia nos revela la innegable verdad de que el hombre imperfecto e incompleto de hoy es el Dios perfecto y completo de mañana.

La conciencia canta, canta el canto de Unicidad universal. La conciencia juega, juega el juego de Manifestación cósmica. La conciencia danza, danza con la colmadora Visión de Dios adentro y con la colmada Realidad de Dios afuera. La conciencia actúa, actúa a través de la implorante, ascendente y entregada aspiración del hombre, y a través de la descendente, protectora e iluminadora Compasión de Dios.

Cuando la conciencia es todo actividad, se inclina ante Dios la Madre, su Origen. Cuando la conciencia es todo silencio, se inclina ante Dios el Padre, su Origen. De la Madre obtiene el fortísimo Poder para hacer el sacrificio supremo por la Tierra inconsciente. Del Padre obtiene la altísima Luz para iluminar la Tierra apagada. La conciencia es en sí misma Luz y Poder a la vez. Como Luz, se identifica con la inspiración pura y la aspiración profunda de nuestro mundo interno. Como Poder, ejercita su soberanía divina sobre el oscurísimo cautiverio y la salvajísima ignorancia del mundo externo.

La conciencia que el cuerpo sin aspiración utiliza se llama conciencia esperanzada. La conciencia que el vital implacable utiliza es conocida como conciencia dañina. La conciencia que la mente intransigente utiliza se llama conciencia dudosa. La conciencia que el corazón descubridor utiliza se llama conciencia veraz. La conciencia que el alma ilimitada utiliza se llama conciencia fructífera.


Aum Anandamayee Chaitanyamayee Satyamayee Parame


“¡Oh, Madre Absoluta de la Existencia-Conciencia-Deleite!” Esta triple conciencia es la longitud más extensa, la extensión más amplia y la hondura más profunda. La longitud más extensa es la Infinitud. La extensión más lejana es la Eternidad. La hondura más profunda es la Inmortalidad. Cuando la conciencia vive en la Existencia, la humanidad devotamente recibe lo que la Divinidad le ofrece fervorosamente. Cuando la conciencia vive en su propio dominio, la humanidad y la Divinidad comparten mutuamente su experiencia amorosamente y aun sorprendentemente. Cuando la conciencia vive en el Deleite, la humanidad es realizada y transformada, y la Divinidad es manifestada y colmada.

Ciego es el que no ve la luz-Conciencia. Sordo es el que no obedece al derecho-Conciencia. Pobre es el que no puede comer el fruto-Conciencia. Necio es el que niega la existencia del mar-Conciencia.

 

***


Pregunta: ¿Cómo podemos levantar nuestra conciencia cuando nos sentimos amenazados por fuerzas negativas?

Sri Chinmoy: Cuando somos amenazados por fuerzas negativas, debemos sentir que tenemos al amigo más fuerte de todos en nuestro interior, y ese amigo es el alma. Refugiémonos bajo las alas del alma. Invoquemos al alma y recemos por su guía. Si llamamos a este amigo, naturalmente él luchará contra las fuerzas negativas de parte nuestra; el alma nos salvará, nos protegerá, nos iluminará y nos perfeccionará.

 

Pregunta: ¿Qué es la inconsciencia?

Sri Chinmoy: La inconsciencia es un estado de conciencia en donde no hay luz alguna, ni siquiera un rayo de luz.

 

Pregunta: Cuando habla usted de la conciencia mineral, vegetal, humana y divina, ¿qué significan exactamente esos términos?

Sri Chinmoy: En la conciencia mineral no existe prácticamente la luz y en la conciencia de una planta, sólo hay un rayo de luz. En la conciencia humana puede haber o hay una luz limitada. Pero la conciencia humana es capaz de albergar luz ilimitada, como en el caso de buscadores muy avanzados. Por último, la Conciencia divina encarna la Luz ilimitada, infinita.

 

Pregunta: ¿Existe una conciencia última o puede la conciencia ser siempre trascendida?

Sri Chinmoy: Desde el punto de vista estrictamente espiritual, nada es último. Todo está trascendiéndose. El Supremo Mismo está constantemente trascendiendo Su Más Elevada Altura. El Supremo es Aquel que está todo el tiempo cantando el Canto de la Auto-trascendencia.

Conforme a nuestra presente realización decimos que algo es último. Lo que hoy es último no necesita ser ni puede ser último mañana. La meta de hoy es el punto de partida de mañana. No existe una realidad última. La realidad última es para hoy, para el logro presente de hoy. Pero mañana podemos subir y superar la realidad que ayer considerábamos última. La conciencia última de hoy ha de ser trascendida por la aspiración más intensa de mañana.

 

Pregunta: ¿Es posible que el alma esté conectada de algún modo con lo que llamamos conciencia?

Sri Chinmoy: La conciencia está siempre conectada con el alma; pero lo que llamamos conciencia en la vida humana no es de ningún modo la conciencia real, es un mero sentimiento. Cuando percibimos algo sutil que no podemos definir, a ese conocimiento nuestro lo llamamos conciencia; en verdad, eso no es la conciencia real en absoluto. Es, más bien, deseo sutil. Entramos en él e inmediatamente sentimos que es nuestra conciencia. Pero la conciencia real es la Luz que conecta el Cielo y la Tierra. El Cielo mismo está en nuestra conciencia.

La conciencia y el alma nunca pueden estar separadas, en tanto que el cuerpo puede fácilmente estar separado del alma y también de la conciencia. Cuando utilizamos el término “conciencia física”, nos referimos a la conciencia finita. Es una porción de la Conciencia infinita que ha entrado en el plano físico denso y que ahora es poseída y utilizada por el físico mismo. Lo mismo puede ocurrir con la conciencia vital y con la conciencia mental. Pero la conciencia divina es una vasta unidad que alberga silencio y poder. Cuando alberga el silencio, alberga su propia forma verdadera. Cuando alberga el poder, manifiesta su realidad interna.

El alma, que es eterna, y la conciencia, que es infinita, van juntas. Ambas tienen un origen  común que es la vida, la vida eterna. El alma tiene vida eterna y la conciencia también tiene vida eterna. Ambas se complementan mutuamente. El alma expresa su divinidad a través de la conciencia, y la conciencia expresa su silencio todo abarcador a través del alma.

 

Pregunta: ¿Cuál es la diferencia entre la conciencia humana y la conciencia divina?

Sri Chinmoy: La conciencia humana está compuesta fundamentalmente de limitación, imperfección, ataduras e ignorancia. Esta conciencia quiere permanecer aquí en la Tierra. Obtiene la alegría en lo finito: en la familia, en la sociedad y en los asuntos humanos. La Conciencia Divina se compone de Paz, Dicha, Poder divino, etcétera. Su naturaleza es expandirse constantemente. La conciencia humana siente que no existe nada más importante que el placer terrenal. La Conciencia Divina siente que no existe nada más importante y significativo que la Alegría y la Dicha celestiales sobre la Tierra. La conciencia humana intenta convencernos de que no estamos para nada cerca de la Verdad o la plenitud; intenta hacernos sentir que Dios está en otro lugar, a millones de kilómetros de distancia. Mas la Conciencia Divina nos hace sentir que Dios está justo aquí, dentro de cada aliento de vida, dentro de cada latido del corazón, dentro de cada persona y cada cosa que nos rodea.

La conciencia humana nos hace sentir que podemos existir sin Dios. Cuando se halla en la ignorancia profunda, la conciencia humana siente que no hay necesidad de Dios. Vemos a millones y billones de personas que no rezan ni meditan. Ellas sienten: “Si Dios existe, está bien; si no existe, no perdemos nada.” Aunque puedan utilizar el término “Dios” a tiempo y a destiempo, no se interesan por la realidad, por la existencia de Dios, ya sea en el Cielo o ya sea en sus vidas terrenales cotidianas.

Pero la Conciencia Divina no es así en absoluto. Incluso la limitada conciencia divina que poseemos nos hace sentir que en todo momento hay una suprema necesidad de Dios. Nos hace sentir que estamos en la Tierra precisamente porque Él existe. Y cuando alimentamos pensamientos divinos, la Conciencia Divina nos hace sentir que es Él quien nos está inspirando a abrigar estas divinas ideas. En todo la conciencia divina nos hace sentir que hay un propósito divino, un objetivo divino, un ideal divino, una meta divina. En la conciencia humana ordinaria no hay ningún propósito, ninguna meta positiva; es sólo un elefante enloquecido corriendo a ciegas.

En la conciencia divina siempre hay una meta, y esa meta está siempre trascendiéndose a sí misma. Hoy consideramos una cosa como meta, pero cuando alcanzamos el umbral de nuestra meta, inmediatamente nos sentimos inspirados a ir más allá de dicha meta. Esa meta se convierte en un hito hacia una meta más elevada. Esto sucede porque Dios está constantemente trascendiéndose. Dios es ilimitado e infinito, pero Él está trascendiendo incluso Su propia Infinitud. Puesto que Dios está siempre progresando, nosotros también estamos progresando cuando estamos en la Conciencia Divina. En la Conciencia Divina todo está constantemente expandiéndose y haciéndose una Luz más elevada y más colmadora.

 

Obtenido de http://es.srichinmoycentre.org/centro/filosofia/realidad_divina/conciencia

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HISTORIA13: ORÍGENES. Orígenes (griego Ὠριγένης Ōrigénēs; latín Origenes Adamantius; en algunos textos antiguos, también Horigenes o bien Origines) (Alejandría, 185 - Tiro o Cesarea Marítima, 254) es considerado un Padre de la Iglesia, destacado por su erudición y, junto con San Agustín y Santo Tomás uno de los tres pilares de la teología cristiana.

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Orígenes

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Orígenes.

Orígenes (griego Ὠριγένης Ōrigénēs; latín Origenes Adamantius; en algunos textos antiguos, también Horigenes o bien Origines) (Alejandría, 185 - Tiro o Cesarea Marítima, 254) es considerado un Padre de la Iglesia, destacado por su erudición y, junto con San Agustín y Santo Tomás uno de los tres pilares de la teología cristiana.

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[editar] Vida

Hijo de San Leonides (forma jónica, no la dórica "Leónidas"), nació en Alejandría, y fue discípulo de Clemente de Alejandría y de Ammonio Saccas. Orígenes enseñó el cristianismo a paganos y cristianos. Viajó a Palestina en el año 216, tras ser invitado a dar conferencias sobre las escrituras, pues se caracterizaba por su gran erudición, llegando a ser un gran exégeta.

Nombrado profesor de catecúmenos y director de la escuela teológica de Alejandría, disfrutó de un periodo de creatividad hasta su enfrentamiento con el obispo local, Demetrio, que le llevó a exiliarse a Cesarea de Palestina. La causa, según lo sabemos por Eusebio y Focio, de este enfrentamiento fue la ordenación sacerdotal que Orígenes recibió en Cesarea, sin conocimiento de Demetrio, por parte de Teoctisto de Cesarea y Alejandro de Jerusalén.[1]

Hay que tener en cuenta que, según las ideas de la época, Orígenes no podía recibir las órdenes por ser eunuco, ya que se autoemasculó en su juventud en un arrebato de ascesis.[2]

En el año 248 escribió ocho libros Contra Celso. En el año 250 fue encarcelado durante las persecuciones emprendidas por el emperador Decio. Fue sometido a tortura durante un año y murió cuatro años después como consecuencia del maltrato sufrido.

[editar] Obra conservada

La mayor parte de su producción literaria se ha perdido, a causa de las violentas polémicas que se encendieron en torno a su ortodoxia, y que terminaron en la condena de sus obras por el Concilio de Constantinopla en 553. Es por eso que la que nos ha llegado es más bien escasa. Se encuentra fundamentalmente en citas registradas en crónicas, tratados de otros autores y las traducciones de San Jerónimo, Rufino y Ambrosius Traversarius. No obstante, se conservan Exaplos, los Principios y la Defensa del Cristianismo. En sus libros aseveró que conocía más de veinte versiones de los Evangelios, quejándose por el pésimo estado de conservación de esos documentos y por las malas interpretaciones que hacían aquellos encargados de escribirlos. En su libro Principios, refiriéndose a estos, dice:

Hay cosas que se nos refieren como si fueran históricas y que jamás han sucedido y que eran imposibles como hechos materiales y otras, aun siendo posibles, tampoco han sucedido.

Contrario a lo que afirman teosofistas como Geddes MacGregor (1978), Orígenes era contrario a la doctrina de la reencarnación. Conocedor del concepto a partir de la filosofía griega, afirma que la transmigración "...es ajena a la Iglesia de Dios, no enseñada por los apóstoles, y no apoyada por las Escrituras" (comentario al Evangelio de Mateo, 13:1:46–53). Las teorías que se plantearon posteriormente sobre sus trabajos fueron motivo de controversias, en especial durante la Edad Media. Fue un afanoso combatiente de las teorías anti-cristianas de Celso. En su Comentario sobre el Evangelio de Juan (libro II, capítulo II ), Orígenes afirma que el Logos (El Verbo de Dios) es theos (dios) sin el artículo definido ("el"), en cambio el Padre es ho theos (el Dios) con artículo. En la Teología de Orígenes el Hijo de Dios es subordinado al Padre, tendencia presente en otros Padres del período; esta tendencia subordinacionista puede ser considerada, sin embargo, ortodoxa.

Ya que nosotros que decimos que el mundo visible está bajo el gobierno del que creó todas las cosas, declare así que el Hijo no es más fuerte que el Padre, sino inferior a Él. Y esta creencia que basamos en el refrán de Jesús mismo, «el Padre que me envió es mayor que yo». Y ninguno de nosotros es tan insano para afirmar que el Hijo del hombre es el Señor sobre Dios.
Contra Celso libro VIII, 15
[...] Y aunque podamos llamarlo "segundo" Dios (deuteros Theos), permítanos hacerles saber que por el término "segundo Dios" no queremos decir nada más que una virtud capaz de la inclusión de todas otras virtudes, y una razón capaz de contener toda la razón en absoluto que existe en todas las cosas [...]
Contra Celso Libro V, 39

En esta cita se puede resumir lo que él afirma sobre el Ser de Dios:

Dios «ni siquiera participa del ser»: porque más bien es participado que participa, siendo participado por los que poseen el Espíritu de Dios. Asimismo, nuestro Salvador no participa de la justicia, sino que siendo la Justicia, los que son justos participan de él. Lo que se refiere al ser requiere un largo discurso y no fácilmente comprensible, particularmente lo que se refiere al Ser en su pleno sentido, que es inmóvil e incorpóreo. Habría que investigar si Dios «está más allá del ser en dignidad y en poder» (Plat. Rep. 509b) haciendo participar en el ser a aquellos que lo participan según su Logos, y al mismo Logos, o bien si él mismo es ser, aunque se dice invisible por naturaleza en las palabras que se refieren al Salvador: «El cual es imagen del Dios invisible» (Col 1, 15), donde la palabra «invisible» significa «incorpóreo». Habría que investigar también si el unigénito y primogénito de toda criatura ha de ser llamado ser de los seres, idea de las ideas y principio, mientras que su Padre y Dios está más allá de todo esto.
Contra Celso libro VI, 64

En esta cita se muestra su visión del Espíritu Santo:

Si es verdad que mediante el Verbo «fueron hechas todas las cosas» (cf. Jn 1, 3), ¿hay que decir que el Espíritu Santo también vino a ser mediante el Verbo? Supongo que si uno se apoya en el texto «mediante él fueron hechas todas las cosas» y afirma que el Espíritu es una realidad derivada, se verá forzado a admitir que el Espíritu Santo vino a ser a través del Verbo, siendo el Verbo anterior al Espíritu. Por el contrario, si uno se niega a admitir que el Espíritu Santo haya venido a ser a través de Cristo, se sigue que habrá de decir que el Espíritu es inengendrado... En cuanto a nosotros, estamos persuadidos de que hay realmente tres personas (hypostaseis), Padre, Hijo y Espíritu Santo; y creemos que sólo el Padre es inengendrado; y proponemos como proposición más verdadera y piadosa que todas las cosas vinieron a existir a través del Verbo, y que de todas ellas el Espíritu Santo es la de dignidad máxima, siendo la primera de todas las cosas que han recibido existencia de Dios a través de Jesucristo. Y tal vez es ésta la razón por la que el Espíritu Santo no recibe la apelación de Hijo de Dios: sólo el Hijo unigénito es hijo por naturaleza y origen, mientras que el Espíritu seguramente depende de él, recibiendo de su persona no sólo el ser sino la sabiduría, la racionalidad, la justicia y todas las otras propiedades que hemos de suponer que posee al participar en las funciones del Hijo [...]
Comentario en Juan libro II, 10

Las enseñanzas de Orígenes contienen muchas especulaciones sobre temas en que la Iglesia de su época no se había definido. Algunas de sus ideas especulativas, como la apocatástasis, fueron consideradas erróneas a la luz del desarrollo posterior de la doctrina católica, que a su vez ha aceptado la validez del resto de sus enseñanzas.

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

[editar] Referencias

  1. ↑ Henri Crouzel.Orígenes pp.29ss.
  2. ↑ Hubert Jedin.id vol I,cap XIX,pág 351

[editar] Bibliografía

  • Hubert Jedin.Manual de Historia de la Iglesia vol I,cap XIX.ISBN 84-254-0205-0
  • Henri Crouzel, Orígenes, BAC, Madrid 1998.
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Or%C3%ADgenes"

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MATEMÁTICAS3: POTENCIA DE UN PUNTO. En geometría elemental, la expresión potencia de un punto se refiere a un resultado que relaciona las longitudes de segmentos de rectas que pasan por dicho punto y cortan a un círculo fijo.

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Potencia de un punto

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Potencia de un punto:
PA·PB=PC·PD=PE·PF.

En geometría elemental, la expresión potencia de un punto se refiere a un resultado que relaciona las longitudes de segmentos de rectas que pasan por dicho punto y cortan a un círculo fijo.

De forma más precisa, si P es un punto en el plano y se fija un círculo con centro O, entonces para cualquier línea que pase por P y corte al círculo en dos puntos A, B, se cumplirá que PA·PB es constante, independientemente de la posición de la línea. El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P.

El término potencia para referirse a este concepto geométrico fue introducida por Jakob Steiner en el artículo de 1826 titulado Einige geometrische Betrachtungen («Unas cuantas observaciones geométricas»),[1] aunque el teorema al que hace referencia se encuentra ya en Los Elementos de Euclides

Contenido

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[editar] Configuraciones posibles

El teorema sobre potencia de un punto puede expresarse de forma alternativa como sigue:

(Potencia de un punto) Si dos rectas que pasan por un punto P, cortan a un círculo fijo en los puntos A, B y C, D respectivamente, entonces PA·PB = PC·PD.

En otras palabras, cualquier otra línea que pase por P y corte al círculo determinará dos segmentos cuyo producto es el mismo valor.

La demostración de este resultado procede por casos, dependiendo de si el punto P se encuentra en el interior, o en el exterior del círculo.

[editar] El punto es interior al círculo

Caso 1: El punto de corte es interior al círculo.

Tomando dos cuerdas arbitrarias AB y CD del círculo que se cortan en el punto P, se consideran los triángulos triangle APC y triangle DPB los cuales serán semejantes, pues :

  • El teorema del ángulo inscrito establece que angle PAC = angle PDB, siendo ambos iguales a la mitad del arco BC.
  • Los ángulos angle APC y angle BPD son iguales por ser opuestos por el vértice.

De dicha semejanza se deduce que

frac{PA}{PD}= frac{PC}{PD}

y por tanto

PA cdot PB = PC cdot PD.

Este resultado se encuentra ya en la obra Los Elementos, de Euclides, donde aparece como la proposición 35 del libro III:

Si en un círculo se cortan dos rectas entre sí, el rectángulo comprendido por los segmentos de una es igual al rectángulo comprendido por los segmentos de la otra
Euclides. Los Elementos, III.35.

Debe aclararse que en la concepción matemática griega los números eran representados siempre por cantidades geométricas y por tanto no tenía sentido una multiplicación «numérica» de longitudes de segmentos. Por ello, para decir que dos productos tienen el mismo valor expresa que los rectángulos formados por dichos segmentos son iguales (esto es, sus áreas).

[editar] El punto es exterior al círculo

Caso 2: El punto de corte es exterior al círculo.

En este caso AB y CD son dos secantes que se intersecan en un punto P exterior al círculo. Al igual que en el caso anterior es posible demostrar que los triángulos triangle APC y triangle DPB son semejantes pues:

  • El cuadrilátero ABCD es cíclico y por tanto angle ACD + angle ABD = 180^circ. Por otro lado angle ABD + angle DBP = 180^circ y por tanto angle DBP = angle ACD.
  • Los ángulos angle BPD y angle CPA son el mismo ángulo y por tanto iguales entre sí.

De la semejanza se deduce nuevamente que

frac{PA}{PD}= frac{PC}{PD}

y por tanto

PA cdot PB = PC cdot PD.

[editar] Una secante y una tangente

Caso 3: El punto de corte es exterior al círculo y una de las rectas es tangente.

Un caso de especial consideración es el formado por una recta tangente y una secante, como en la figura. En esta situación, el ángulo angle BTP es semiinscrito y mide la mitad del arco BT, al igual que el ángulo inscrito angle TAP.

La igualdad de ángulos nuevamente implica una semejanza de triángulos, en esta ocasión triangle PAT y triangle PTB. Dicha semejanza implica

frac{PA}{PT} = frac{PT}{PB}

y por tanto

PAcdot PB = PT^2.

Una recta tangente puede considerarse como un caso límite de secantes.

Este caso en realidad puede considerarse como un caso límite del correspondiente a dos secantes, obtenido cuando los puntos C, D se desplazan sobre la circunferencia hasta coincidir. En este sentido, el punto de tangencia es en realidad un punto de corte «doble» y el producto PC·PD se convierte en PT·PT=PT².

[editar] Valor de la potencia de un punto

El teorema de potencia de un punto establece que el valor del producto PA·PB es independiente de la línea, pero no da ningún indicio de ese valor. Dicho valor depende únicamente de la posición del punto en relación al círculo. En su artículo de 1876, Steiner demostró el siguiente teorema.

(Valor de la potencia de un punto) La potencia de un punto P respecto a un círculo de radio r es igual a la cantidad | d2 − r2 | , donde d es la distancia del punto P al centro del círculo.


Steiner, 1876.

[editar] El punto es interior al círculo

El valor de PA·PB es igual a r²-d².

Para hallar el valor de la potencia de un punto, considérese la situación donde la cuerda AB pasa por el centro O del círculo, es decir, AB es un diámetro. Etiquetando los puntos como en la figura adjunta, se observa

PAcdot PB = (r+d)(r-d) = r^2-d^2.

Por tanto, el producto para cualquier otra cuerda PC·PD es el mismo valor: r²-d².

[editar] El punto es exterior al círculo

El valor de PA·PB es igual a d²-r².

Cuando el punto es exterior al círculo, ya se ha establecido que el valor de la potencia de un punto exterior es igual al cuadrado de la longitud de una tangente al círculo desde dicho punto.

Considerando la figura formada por una tangente PT y una recta que pasa por el centro O del círculo, se encuentra que el triángulo triangle POT es rectángulo pues una recta tangente es perpendicular a la recta que une el punto de tangencia con el centro del círculo, es decir: PT perp OT .

Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene

PO^2 = PT^2 + OT^2,

y por tanto

PT^2 = PO^2 - OT^2,

es decir:

PT^2 = d^2 - r^2,.

Otra forma de demostrar la relación es observar que, con la disposición de la figura, cuando AB es un diámetro, la longitud del segmento PA es (d-r) mientras que la del segmento PB es (d+r) y así:

PAcdot PB = (d-r)(d+r) = d^2 - r^2,.

segmento PO es igual a d y la del segmento OA es igual a r.

[editar] Definición algebraica de la potencia de un punto

Por medio del teorema de Steiner se puede dar una definición alternativa (y equivalente) para la potencia de un punto.

(Definición algebraica de la potencia de un punto) La potencia de un punto P respecto a un círculo de radio r es el valor

pi(P) = d^2 - r^2,

donde d es la distancia de P al centro del círculo.

Obsérvese que con esta definición, los puntos exteriores al círculo tienen una potencia positiva mientras que los puntos interiores tienen una potencia negativa. Este signo en apariencia extraño refleja que en realidad la potencia de un punto es un producto de segmentos dirigidos: cuando el punto es exterior al círculo los segmentos PA, PB tienen la misma dirección y por tanto el producto es positivo, mientras que si el punto es interior, los segmentos PA y PB tendrán direcciones opuestas, por lo que su producto será negativo. Finalmente, los puntos sobre la circunferencia tienen una potencia nula, pues d²-r²=0.

Esta definición quita el énfasis en productos de segmentos de un conjunto infinito de líneas y centra la atención en el concepto de función : la potencia de un punto da origen a una función entre el conjunto de los puntos del plano y los números reales.

[editar] Sistema cartesiano de coordenadas

Gráfico de la función potencia de un punto, relativa a un círculo de radio 1 (en rojo). Obsérvese que la imagen de la parte interior al círculo es negativa y por tanto queda debajo del plano xy (en verde).

La definición algebraica permite adicionalmente el cálculo de la potencia de un punto mediante el uso de coordenadas. La potencia del punto P=(x,y) respecto al círculo centrado en el origen con radio 1 es

pi(x,y) = (sqrt{x^2 + y^2})^2 - 1^2 = x^2+y^2 -1.

mientras que la función potencia relativa a un círculo centrado en el origen, con radio arbitrario r es

pi(x,y) = (sqrt{x^2 + y^2})^2 - r^2 = x^2+y^2 -r^2.

Es posible obtener la gráfica en 3 dimensiones de estas funciones, con el plano xy como dominio y el eje z como codominio, resultando la gráfica un paraboloide.

[editar] Lugares geométricos

Lugares geométricos de potencia constante respecto a un círculo fijo (en azul) de radio 1.

El primer lugar geométrico a considerar es aquel formado por los puntos cuya potencia respecto a un círculo fijo es la misma. Dicho lugar geométrico corresponde a una circunferencia concéntrica a la dada, exterior si la potencia es positiva, interior cuando la potencia es negativa.

Esto se desprende de la relación π(P) = d2 − r2 pues, siendo r una constante, el valor de π(P) dependerá únicamente de la distancia del punto al centro del círculo base: puntos a la misma distancia tendrán exactamente la misma potencia.

[editar] Eje radical

Artículo principal: Eje radical
El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la línea de los centros.

Otro lugar geométrico que se puede considerar es aquel formado por los puntos cuya potencia respecto a dos círculos fijos (no concéntricos) es la misma. Es decir, aquellos puntos P tales que d_1^2-r_1^2=d_2^2-r_2^2 donde d1,d2 son las distancias desde P a los centros del primer y segundo círculo, mientras que r1,r2 son los radios de los mismos.

Este lugar geométrico es una línea recta, denominada eje radical de los dos círculos, perpendicular a la línea que une los centros de ambos. Los detalles varían dependiendo de la posición relativa de los círculos (si se cortan, si son ajenos o si uno contiene a otro).

El caso más sencillo, aquí ilustrado, es el que ambos círculos se cortan. Denominando por A, B a los puntos de corte, se observa que para cualquier punto de la línea AB se cumple que la potencia respecto a cualquiera de los dos círculos es la misma: PA·PB.

Como consecuencia adicional se obtiene como consecuencia que dicha recta también es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales se puede trazar tangentes de la misma longitud hacia cada uno de los círculos. Esto es porque la potencia del punto P también es igual a PF² y PG², por lo que PF=PG.

[editar] Referencias

  1. ↑ The MacTutor History of Mathematics archive (Abril, 2009). «Jakob Steiner» (en inglés). School of Mathematics and Statistics. University of St Andrews, Scotland. Consultado el 17 de noviembre de 2010.
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Potencia_de_un_punto"

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MATEMÁTICAS3: POTENCIACIÓN. POTENCIAS MATEMÁTICAS. La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.

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Potenciación

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La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.

Se escribe an, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

  • Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.
a^n = underbrace{a times cdots times a}_n,

Por ejemplo: 2^4 = 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 = 16 .

  • cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.
a^{-p}= frac{1}{a^p}
  • cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:
a^{frac{n}{m}} = sqrt[m]{a^n}

Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 00 que, en principio, no está definido (ver cero).

La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.

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[editar] Propiedades de la potenciación

[editar] Potencia de exponente 0

Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:

1 = frac {a^1} {a^1} = a^{1-1} = a^0,

[editar] Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:

a^1 = a ,

Ejemplo:

54^1=54 ,

[editar] Potencia de exponente negativo

Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo:

a^{-n} = a^{0-n} = frac {a^0}{a^n} = frac {1}{a^n},

[editar] Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

a^m cdot a^n = a^{m + n}

Ejemplos:

9^3 cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5

[editar] División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes respectivos:

frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}

Ejemplo:

frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2

[editar] Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b y de exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b también elevado a n:

(a cdot b)^n=a^n cdot b^n

[editar] Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

{(a^m)}^n = a^{m cdot n}

Debido a esto, la notación a^{b^c} se reserva para significar a^{(b^c)} ya que {(a^b)}^c se puede escribir sencillamente como abc.

[editar] Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

(a cdot b)^n = a^n cdot b^n left(frac{a}{b}right)^n = frac{a^n}{b^n}

[editar] Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

(a + b)^m neq a^m + b^m (a - b)^m neq a^m - b^m

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:

a^b neq b^a

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

a^{b^c}=a^{(b^c)}ne (a^b)^c=a^{(bcdot c)}=a^{b c}

[editar] Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones como indique el valor absoluto del exponente: hacia la izquierda si el exponente es positivo, o hacia la derecha si el exponente es negativo.

Ejemplos:

10^{-5}=0,00001 , 10^{-4}=0,0001 , 10^{-3}=0,001 , 10^{-2}=0,01 , 10^{-1}=0,1 , 10^0=1 , 10^1=10 , 10^2=100 , 10^3=1.000 , 10^4=10.000 , 10^5=100.000 , 10^6=1.000.000 ,

[editar] Potencia de números complejos

Artículo principal: Fórmula de De Moivre

Para cualquiera de los números reales a,b,c,d , se tiene la identidad:

left(a,e^{i,b}right)^{left(c,e^{i,d}right)}=a^{c,cos d},e^{i,left( c,log a,sin d+b,c,cos dright)-b,c,sin d}

[editar] Representación gráfica

gráfico de y = x^2 ,
gráfico de y = x^3 ,

La representación gráfica de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su vértice se sitúa en el punto (0, 0), es decreciente en el segundo cuadrante y creciente en el primero.

La representación gráfica de una potencia impar son dos ramas de parábola. Tiene un punto de inflexión en el vértice (0, 0), es siempre creciente, y ocupa el tercer y primer cuadrante.

Dichas curvas son continuas y derivables para todos los reales.

[editar] Límites

[editar] 00

El caso especial 00 se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas que se quieran mantener.

Por ejemplo, puede argumentarse que 00 es el igual al valor del límite

lim_{xto 0^+} x^0

y como x0 = 1 para x ne 0, dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo también puede considerarse dicha expresión como el valor del límite

lim_{xto 0^+} 0^x

y como 0x = 0 para x ne 0, dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma 00 puede corresponde a diferentes valores y por ello se considera indefinida.

El debate sobre el valor de la forma 00 tiene casi 2 siglos de antigüedad. Durante los primeros días del análisis matemático en que el fundamento formal del cálculo no se había establecido, era común aceptar que 00=1. Sin embargo, en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del análisis, lista dicha forma en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0. En los 1830s, Libri[1] [2] publicó un argumento para asignar 1 como valor de 00 y August Möbius[3] lo apoyó afirmando erróneamente que

lim_{t to 0^+} f(t)^{g(t)} = 1, siempre que lim_{t to 0^+} f(t) = lim_{t to 0^+} g(t) = 0.

Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un contraejemplo

{(e^{-1/t})}^t

cuyo límite cuando tto0^+ es 1 / e, lo cual calmó el debate con la aparente conclusión del incidente que 00 debería permanecer indefinida. Se pueden encontrar más detalles en Knuth (1992).[4]

En la actualidad, suele considerarse la forma 00 como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido. [5] [6] [7]


Para calcular límites cuyo valor aparente es 00 suele usarse la Regla de l'Hôpital.

[editar] Véase también

[editar] Referencias

  1. ↑ Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67–72.
  2. ↑ Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303–316.
  3. ↑ A. F. Möbius, Beweis der Gleichung 00 = 1, nach J. F. Pfaff, Journal für die reine und angewandte Mathematik 12 (1834), 134–136.
  4. ↑ Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403–422.
  5. ↑ Peter Alfeld. «Understanding Mathematics» (en inglés). Universidad de Utah. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «The problem is similar to that with division by zero. No value can be assigned to 0 to the power 0 without running into contradictions. Thus 0 to the power 0 is undefined!».
  6. ↑ Ask Dr. Math. (18 de marzo de 1997). «Why are Operations of Zero so Strange?» (en inglés). The Math forum. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «Other indeterminate forms are 0^0, 1^infinity.».
  7. ↑ Gentile, Enzo R. (1976) (en español). Notas de Álgebra I (2a edición). Editorial Universitaria de Buenos Aires. pp. 56. «Es útil también definir en el caso x≠0, x0=1. (00 queda indefinido).» 

[editar] Enlaces externos

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n"

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HISTORIA13: LUEGO EMPIEZA "LA ERA DE GALICH". Alexander Galich (Russian: Алекса́ндр Арка́дьевич Га́лич, born Alexander Aronovich Ginzburg, 19 October 1918 – 15 December 1977), was a Russian poet, screenwriter, playwright, and singer-songwriter. Galich is a pen name, a sort of acronym of his last name, first name, and patronymic: Ginzburg Alexander Arkadievich. He adopted this name to conceal his Jewish ancestry in the face of Soviet antisemitism. He also changed his patronymic from Aronovich to Arkadievich for this reason.

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Alexander Galich

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For Soviet dissident, see Alexander Ginzburg.
Alexander Galich

Alexander Galich (Russian: Алекса́ндр Арка́дьевич Га́лич, born Alexander Aronovich Ginzburg, 19 October 1918 – 15 December 1977), was a Russian poet, screenwriter, playwright, and singer-songwriter. Galich is a pen name, a sort of acronym of his last name, first name, and patronymic: Ginzburg Alexander Arkadievich. He adopted this name to conceal his Jewish ancestry in the face of Soviet antisemitism. He also changed his patronymic from Aronovich to Arkadievich for this reason.

Contents

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[edit] Biography

Alexander Ginzburg was born on 19 October 1918 in Ekaterinoslav (now Dnipropetrovsk), Ukraine into a family of Jewish intellectuals. His father, Aron Samoilovich Ginzburg, was an economist, and his mother, Fanni Borisovna Veksler, worked in a music conservatory. For most of his childhood he lived in Sevastopol. Before World War II, he entered the Gorky Literary Institute, then moved to Stanislavsky's Operatic-Dramatic Studio, and then to the Studio-Theatre of A. Arbuzov and V. Pluchek (in 1939).

He wrote plays and screenplays, and in the late 1950s, he started to write songs and sing them accompanying himself on his guitar. Influenced by the Russian city romance tradition and the art of Alexander Vertinsky, Galich developed his own voice within the genre. He practically single-handedly created the genre of "bard song". Many of his songs spoke of the Second World War and the lives of concentration camp inmates—subjects which Vladimir Vysotsky also began tackling at around the same time. They became popular with the public and were made available via magnitizdat.

His first songs, though rather innocent politically, nevertheless were distinctly out of tune with the official Soviet aesthetics. They marked a turning point in Galich's creative life, since before this, he was a quite successful Soviet man of letters. This turn was also brought about by the aborted premiere of his play Matrosskaya Tishina written for the newly opened Sovremennik Theatre. The play, already rehearsed, was banned by censors, who claimed that the author had a distorted view of the role of Jews in the Great Patriotic War. This incident was later described by Galich in the story Generalnaya Repetitsiya (Dress Rehearsal).

Galich's increasingly sharp criticism of the Soviet regime in his music caused him many problems. In 1971, he was expelled from the Soviet Writers' Union, which he had joined in 1955. In 1972, he was expelled from the Union of Cinematographers. That year he became baptized in the Orthodox Church.

Galich was forced to emigrate from the Soviet Union in 1974. He initially lived in Norway for one year, where he made his first recordings outside of the USSR. These were broadcasted on Radio Liberty, a United States Congress-funded radio station outlawed in USSR. His songs became immensely popular in the underground scene for being openly critical towards the Soviet government. He later moved to Munich, where he joined the Russian anti-communist organization NTS. He finally moved to Paris where, on the evening of 15 December 1977, he was found dead by his wife, clutching a Grundig stereo recording antenna plugged into a power socket. While his death appears to have been an accident, the consensus opinion was that it was either an assassination or a suicide. As his wife was absent the whole day, no one witnessed the exact circumstances of his death.[1] In 1988, he was posthumously re-instated into the Writers' and Cinematographers' Unions. In 2003, the first memorial plaque for Galich was put up on a building in Akademgorodok (Novosibirsk) where he performed in 1968. That same year, the Alexander Galich Memorial Society was founded.

[edit] Music

Alexander Galich, like most bards, had a fairly minimal musical background. He played his songs on a seven string Russian guitar, which was fairly standard at the time. He often wrote in the key of D minor, relying on very simple chord progressions and fingerpicking techniques. He had basic piano playing skills as well.

Galich had a signature cadence that he would usually play at the conclusion of a song (and sometimes at the beginning). He would play the D minor chord toward the top of the fretboard (fret position 0XX0233, thickest to thinnest string, open G tuning), then slide down the fretboard to a higher voiced D minor (0 X X 0 10 10 12).

[edit] Notes

  1. ^ see biography on peoples.ru(Russian)

[edit] References

  • Alexandr Galich, Songs and poems; transl. by Gerald Stanton Smith, Ann Arbor: Ardis, 1983, ISBN 0882339524

[edit] External links

Retrieved from "http://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Galich"

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MATEMÁTICAS2: INTEGRACIÓN NUMÉRICA. En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.

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Integración numérica

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En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:

int_a^b f(x), dx

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

y'(x) = f(x), quad y(a) = 0

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida.

Contenido

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[editar] Razones para la integración numérica

Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales.

[editar] Métodos para integrales unidimensionales

Los métodos de integración numérica pueden ser descritos generalmente como combinación de evaluaciones del integrando para obtener una aproximación a la integral. Una parte importante del análisis de cualquier método de integración numérica es estudiar el comportamiento del error de aproximación como una función del número de evaluaciones del integrando. Un método que produce un pequeño error para un pequeño número de evaluaciones es normalmente considerado superior. Reduciendo el número de evaluaciones del integrando se reduce el número de operaciones aritméticas involucradas, y por tanto se reduce el error de redondeo total. También, cada evaluación cuesta tiempo, y el integrando puede ser arbitrariamente complicado.

De todos modos, un modo de integración por «fuerza bruta» puede hacerse siempre, de un modo muy simplista, evaluando el integrando con incrementos muy pequeños.

[editar] Métodos basados en funciones de interpolación

Hay una extensa familia de métodos que se basan en aproximar la función a integrar f(x) por otro función g(x) de la cual se conoce la integral exacta. La función que sustituye la original se encuentra de forma que en un cierto número de puntos tenga el mismo valor que la original. Como los puntos extremos forman parte siempre de este conjunto de puntos, la nueva función se llama una interpolación de la función original. Cuando los puntos extremos no se utilizan para encontrar la función que sustituye a la original entonces se dice extrapolación. Típicamente estas funciones son polinomios.

[editar] Fórmulas de Newton-Cotes

La interpolación con polinomios evaluada en puntos igualmente separados en [a, b] da las fórmulas de Newton-Cotes, de las que la regla del rectángulo, la del trapecio y la de Simpson son ejemplos. Si se escogen los nodos hasta k = n + 1 será la fórmula de Newton-Cotes cerrada y si se escogen k = n − 1 será la fórmula de Newton-Cotes abierta.

[editar] Regla del rectángulo

El método más simple de este tipo es hacer a la función interpoladora ser una función constante (un polinomio de orden cero) que pasa a través del punto (a,f(a)). Este método se llama la regla del rectángulo:

int_a^b f(x) dx sim (b-a) f(a)
[editar] Regla del punto medio
Ilustración de la regla del punto medio.

Si en el método anterior la función pasa a través del punto (frac{a+b}{2}, f(frac{a+b}{2})) este método se llama la regla del punto medio:

int_a^b f(x) dx sim (b-a) f(frac{a+b}{2})
[editar] Regla del trapecio
Ilustración de la regla del trapecio.

La función interpoladora puede ser una función afín (un polinomio de grado 1 o sea una recta) que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Este método se llama regla del trapecio:

int_a^b f(x) dx sim (b-a) frac{f(a)+f(b)}{2}
[editar] Regla de Simpson
Ilustración de la regla de Simpson.

La función interpoladora puede ser un polinomio de grado 2 que pasa a través de los puntos (a, f(a)), (frac{a+b}{2}, f(frac{a+b}{2})) y (b, f(b)). Este método se llama regla de Simpson:

int_{a}^{b} f(x) , dx approx frac{b-a}{6}left[f(a) + 4fleft(frac{a+b}{2}right)+f(b)right].
[editar] Reglas compuestas

Para cualquier regla interpoladora, se puede hacer una aproximación más precisa dividiendo el intervalo [a, b] en algún número n de subintervalos, hallando una aproximación para cada subintervalo, y finalmente sumando todos los resultados. Las reglas que surgen de hacer esto se llaman reglas compuestas, y se caracterizan por perder un orden de precisión global frente a las correspondientes simples, si bien globalmente dan valores más precisos de la integral, a costa eso sí de incrementar significativamente el coste operativo del método. Por ejemplo, la regla del trapecio compuesta puede expresarse como:

int_a^b f(x) dx sim frac{b-a}{n} left( frac{f(a) + f(b)}{2} + sum_{k=1}^{n-1} fleft(a + k frac{b-a}{n}right) right)

donde los subintervalos tienen la forma [kh, (k+1)h] con
h = frac {b-a}{n}
y k = 0, 1, 2, ldots, n-1.

[editar] Métodos de extrapolación

La precisión de un método de integración del tipo Newton-Cotes es generalmente una función del número de puntos de evaluación. El resultado es usualmente más preciso cuando el número de puntos de evaluación aumenta, o, equivalentemente, cuando la anchura del paso entre puntos decrece. ¿Qué pasa cuando la anchura del paso tiende a cero? Esto puede responderse extrapolando el resultado de dos o más anchuras de paso (extrapolación de Richardson). La función de extrapolación puede ser un polinomio o una función racional. Los métodos de extrapolación están descritos en más detalle por Stoer y Bulirsch (Sección 3.4). En particular, al aplicar el método de extrapolación de Richardson a la regla del trapecio compuesta se obtiene el método de Romberg.

[editar] Integración gaussiana

Si se permite variar los intervalos entre los puntos de interpolación, se encuentra otro grupo de fórmulas de integración, llamadas fórmulas de integración gaussianas. Una regla de integración gaussiana es típicamente más precisa que una regla de Newton-Cotes que requiera el mismo número de evaluaciones del integrando, si el integrando es suave (es decir, si se puede derivar muchas veces).

[editar] Algoritmos adaptativos

Si f no tiene muchas derivadas definidas en todos sus puntos, o si las derivadas toman valores muy elevados, la integración gausiana es a menudo insuficiente. En este caso, un algoritmo similar al siguiente lo haría mejor:

def integral(f, a, b):
    """Este algoritmo calcula la integral definida de una función
    en el intervalo [a,b], adaptativamente, eligiendo pasos más
    pequeños cerca de los puntos problemáticos.
    h0 es el paso inicial."""
    
    x = a
    h = h0
    acumulador = 0
    while x < b:
        if x+h > b:  h = b - x
        if error de la cuadratura sobre [x,x+h] para f es demasiado grande:
            haz h más pequeño
        else:
            acumulador += integral(f, x, x+h)
            x += h
            if error de la cuadratura sobre [x,x+h] es demasiado pequeño:
                haz h más grande
    return acumulador

Algunos detalles del algoritmo requieren mirarlo con cuidado. Para muchos casos, estimar el error de la integral sobre un intervalo para un función f no es obvio. Una solución popular es usar dos reglas de integración distintas, y tomar su diferencia como una estimación del error de la integral. El otro problema consiste en decidir qué es «demasiado grande» o «demasiado pequeño». Un criterio posible para «demasiado grande» es que el error de la integral no sea mayor que th, donde t, un número real, es la tolerancia que queremos tener para el error global. Pero también, si h es ya minúsculo, puede no valer la pena hacerlo todavía más pequeño si el error de la integral es aparentemente grande. Este tipo de análisis de error usualmente se llama «a posteriori» ya que calculamos el error después de haber calculado la aproximación.

La heurística para integración adaptativa está discutida en Forsythe et al (sección 5.4).

[editar] Estimación del error conservativa (a priori)

Supongamos que f tiene una primera derivada sobre [a, b] acotada. El teorema del valor medio para f, para x < b, da

(x-a)f'(y_x) = f(x) - f(a)

para algún y_x en [a, x] dependiendo de x. Si integramos en x de a a b en ambos lados de la igualdad y tomamos valores absolutos, tenemos

left| int_a^b f(x) dx - (b - a) f(a) right| = left| int_a^b (x-a) f'(y_x) dx right|

Se puede aproximar más la integral en el lado derecho metiendo el valor absoluto en el integrando, y reemplazando el término en f por una cota superior:

left| int_a^b f(x) dx - (b - a) f(a) right| le frac{(b-a)^2}{2} sup_{ale x le b} left| f'(x) right|

Así, si aproximamos la integral int_a^b f(x) dx por su regla de integración (b-a) f(a), el error no es mayor que el lado derecho de la ecuación.

[editar] Integrales múltiples

Los métodos de integración que se han comentado hasta aquí se han diseñado todos para calcular integrales de una dimensión.

Para calcular integrales de diversas dimensiones, un enfoque es expresar la integral múltiple como repetición de integrales de una dimensión haciendo uso del teorema de Fubini.

Este enfoque lleva a una cantidad de evaluaciones de la función que crece exponencialmente a medida que crece el número de dimensiones. Se conocen dos métodos para superar esta llamada maldición de la dimensión.

[editar] Montecarlo

Artículo principal: Integración de Monte Carlo

Los métodos de Montecarlo y métodos de cuasi-Montecarlo son fáciles de aplicar a integrales multidimensionales, y pueden producir una mejor exactitud por el mismo número de evaluaciones de la función que en integraciones repetidas empleando métodos unidimensionales. Una clase grande de métodos útiles de Montecarlo son los llamados algoritmos de Cadena de Markov de Montecarlo, los cuales incluyen el algoritmo de Metropolis-Hastings y muestreo de Gibbs.

[editar] Programas para integración numérica

La integración numérica es uno de los problemas estudiados más intensivamente en el análisis numérico. Entre las muchas implementaciones en programas se encuentran:

  • QUADPACK (parte de SLATEC) (código fuente): QUADPACK es una colección de algoritmos en Fortran para integración numérica basada en reglas gausianas.
  • GSL: GNU Scientific Library. La Librería Científica de GNU (GSL) es una librería numérica escrita en C que provee una amplia gama de rutinas matemáticas, como la integración por Montecarlo.
  • ALGLIB: Es una colección de algoritmos en C# / C++ / Delphi / Visual Basic / etc., para la integración numérica]].

Se pueden encontrar algoritmos de integración numérica en GAMS class H2.

[editar] Referencias

  • George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 5.)
  • William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Chapter 4.)
  • Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Chapter 3.)

[editar] Enlaces externos

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9rica"

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MATEMÁTICAS2: DERIVACIÓN NUMÉRICA. La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

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Derivación numérica

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Se ha sugerido que este artículo o sección sea fusionado en Diferencia finita.(Discusión).
Una vez que hayas realizado la fusión de artículos, pide la fusión de historiales en WP:TAB/F.

La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

Derivative.png

Por definición la derivada de una función f(x) es:

f^prime (x)= lim_{h to 0} frac {f(x+h)-f(x)} {h}

Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:

Diferencias hacia adelante: f^prime (x_0) approx frac {f(x_0+h)-f(x_0)} {h} Diferencias hacia atrás: f^prime (x_0) approx frac {f(x_0)-f(x_0-h)} {h}

La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:

Diferencias centrales: f^prime (x_0) approx frac {f(x_0+h)-f(x_0-h)} {2h} f^{prime prime} (x_0) approx frac {f(x_0+h)-2 f(x_0)+f(x_0-h)} {h^2}

[editar] Véase también

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Derivaci%C3%B3n_num%C3%A9rica"

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MATEMÁTICAS2: DERIVACIÓN. Concepto matemático esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables sus cualidades, propiedades y consecuencias.

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Derivación (matemática)

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Derivación.gif

Concepto matemático esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables sus cualidades, propiedades y consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Posiblemente buscaba derivada, Derivación numérica o Diferencia finita.

Contenido

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[editar] Definición de derivación

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable y p in M , llamaremos derivación en el punto p_{}^{} a

forall delta_p : mathcal{F}(M) longrightarrow{} mathbb{R} aplicación mathbb{R}-lineal, es decir:forall f,g in mathcal{F}(M), forall lambda in mathbb{R},
  • delta_p^{}(g+f)= delta_p(g)+ delta_p(f)^{},
  • delta_p^{}(lambda f)=lambda delta_p(f)^{}.
y tal que delta_p(f cdot g) = δp(f)g | p + f | pδp(g), forall f,g in mathcal{F}(M), es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación

mathcal{F}(M) es el conjunto de funciones diferenciables en M_{}^{}, y es un mathbb{R}-álgebra conmutativa, (es un mathbb{R}-espacio vectorial).f_{|p}^{} es equivalente a f(p)_{}^{} , es decir, f_{}^{} evaluado en el punto p_{}^{}.

[editar] Ejemplos de derivación

[editar] La derivada parcial

Sea M= mathbb{R}^n y p in M, veamos que la aplicación siguiente es derivación:

 

begin{matrix} frac{{partial cdot}}{{partial x_i}}_{|p}: & { mathcal{F}(M) } & longrightarrow{} & mathbb{R} & {f} & mapsto & {frac{{partial f}}{{partial x_i}}}_{|p} end{matrix}.


Demostración:

Veamos primero que es mathbb{R}-lineal, es decir, que forall f,g in mathcal{F}(M) ; y ; forall lambda in mathbb{R} vemos que:
  • frac{{partial (f+g)}}{{partial x_i}}_{|p}=frac{{partial f}}{{partial x_i}}_{|p}+frac{{partial g}}{{partial x_i}}_{|p},
  • frac{{partial (lambda g )}}{{partial x_i}}_{|p}=lambda frac{{partial g}}{{partial x_i}}_{|p}.
Veamos finalmente que es una derivación:frac{{partial (f cdot g)}}{{partial x_i}}_{|p}=frac{{partial f}}{{partial x_i}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}frac{{partial g}}{{partial x_i}}_{|p}.Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

[editar] La derivada direccional

Sea M= mathbb{R}^n ,; p in M ; y ; v in M : || v ||=1, de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

begin{matrix} frac{{partial cdot}}{{partial v}}_{|p}: & { mathcal{F}(M) } & longrightarrow{} & mathbb{R} & {f} & mapsto & {frac{{partial f}}{{partial v}}}_{|p} end{matrix}.

[editar] Definiciones

PlanoTangente.png

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable y p in M , llamaremos espacio tangente a M_{}^{} en p_{}^{} al mathbb{R}-espacio vectorial de las derivaciones de M_{}^{} en p_{}^{}, notado por mathcal{T}_p M , y sus elementos se llamaran vectores tangentes a M_{}^{} en p_{}^{}.

[editar] Consecuencias

[editar] Propiedad de la derivación de una función localmente constante

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable, p in M , forall delta_p in mathcal{T}_p M y f in mathcal{F}(M) tal que exists{} U_{}^{} entorno abierto en p_{}^{} donde f(x) = λ, forall x in M , entonces tenemos que delta_p^{} f = 0 .

Demostración:

Por linealidad de delta_p^{} tenemos delta_p ( f ) = delta_p ( lambda ) = delta_p ( lambda cdot 1) = λδp(1),aquí aplicando la condición de derivación a delta_p^{} (1) tenemos delta_p (1) = delta_p (1 cdot 1) = delta_p (1) 1 + 1 delta_p^{} (1) = delta_p (1) + delta_p^{} (1) ,de simplificar, este último, resulta delta_p^{} (1) = 0 aplicadolo al anterior resulta que delta_p^{} ( f ) = 0 .

[editar] Ejemplo

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase mathcal{C}^{ infty } :

  • la función meseta ρ asociada a (p,V)_{}^{} , donde ρ(x) = 1, forall x in k subset V, ; k compacto cuyo interior contiene a p_{}^{}.

[editar] Propiedad de la derivación del producto con la función meseta

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable, p in M , ; forall delta_p in mathcal{T}_p M , f in mathcal{F}(M) y ρ una función meseta asociada a (p,V)_{}^{} , tenemos que:

delta_p^{} (rho cdot f) = delta_p( f ) .

Demostración:

Aplicando la regla de Leibniz tenemos que delta_p^{} (rho cdot f)= delta_p^{}(rho) f(p) + rho(p) delta_p(f), por la propiedad anterior tenemos que delta_p^{} (rho cdot f)= 0 cdot f(p) + 1 cdot delta_p^{}(f)=delta_p^{}(f).

[editar] Propiedad

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable, p in M , ; forall delta_p in mathcal{T}_p M y f,g in mathcal{F}(M) tal que exists{} V_{}^{} entorno abierto en p_{}^{} donde f_{|V}^{}=g_{|V}, entonces tenemos que delta_p^{} ( f ) = delta_p ( g ) .

Demostración:

Sea ρ una función meseta asociada a (p,V)_{}^{} , tenemos así que rho cdot f = rho cdot g_{}^{} en todo M_{}^{} también rho cdot f,rho cdot g in mathcal{F}(M) por tanto delta_p^{} (rho cdot f ) = delta_p ( rho cdot g ) y por la propiedad anterior tenemos que delta_p^{} ( f ) = delta_p ( g ) .

[editar] Bibliografía

  • Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 3002.
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Derivaci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)"

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