MATEMÁTICAS2: DONDE NACÍ YO EN EL ORÍGEN DE LA LÍNEA DEL TIEMPO, COMO QUE SE AVANZA CON MÁS INTEGRACIÓN QUE EN OTROS PUNTOS. La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

Integración

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La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.

Para otros usos de este término, véase Integración (desambiguación).

«Integral» redirige aquí. Para otras acepciones, véase Integral (desambiguación).

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Contenido [ocultar] 1 Principales objetivos del cálculo integral 2 Teoría 3 Historia 3.1 Integración antes del cálculo 3.2 Newton y Leibniz 3.3 Formalización de las integrales 3.4 Notación 4 Terminología y notación 5 Conceptos y aplicaciones 5.1 Integral de Riemann 5.2 Integral de Lebesgue 5.3 Otras integrales 6 Propiedades de la integración 6.1 Linealidad 6.2 Desigualdades con integrales 6.3 Convenciones 7 Teorema fundamental del cálculo 7.1 Enunciado de los teoremas 8 Extensiones 8.1 Integrales impropias 8.2 Integración múltiple 8.3 Integrales de línea 8.4 Integrales de superficie 8.5 Integrales de formas diferenciales 9 Métodos y aplicaciones 9.1 Cálculo de integrales 9.2 Algoritmos simbólicos 9.3 Cuadratura numérica 10 Referencias y notas 11 Bibliografía 12 Véase también 13 Enlaces externos 13.1 Libros online

[editar] Principales objetivos del cálculo integral

Sus principales objetivos a estudiar son:

• Área de una región plana
• Cambio de variable
• Integrales indefinidas
• Integrales definidas
• Integrales impropias
• Integrales múltiples (dobles o triples)
• Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales
• Métodos de integración
• Teorema fundamental del cálculo
• Volumen de un sólido de revolución

[editar] Teoría

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

[editar] Historia

[editar] Integración antes del cálculo

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.

Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación.

[editar] Newton y Leibniz

Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con el descubrimiento del teorema fundamental del cálculo, realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase más amplia de problemas. También cabe destacar todo el marco estructural alrededor de las matemáticas que desarrollaron también Newton y Leibniz. El llamado cálculo infinitesimal permitió analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos. Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el cálculo moderno, cuya notación para las integrales procede directamente del trabajo de Leibniz.

[editar] Formalización de las integrales

Aunque Newton y Leibniz suministraron un enfoque sistemático a la integración, su trabajo carecía de un cierto nivel de rigor. Es memorable el ataque del obispo Berkeley calificando los infinitesimales como los "fantasmas de las cantidades que se desvanecen". El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, en la primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación adecuada por parte de Cauchy. La integración fue rigurosamente formalizada por primera vez por Riemann, empleando límites. A pesar de que todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo acotado, más tarde se consideraron funciones más generales para las cuales no se aplica la definición de Riemann, y Lebesgue formuló una definición diferente de la integral^[1] basada en la teoría de la medida. También se propusieron otras definiciones de integral, que amplían las definiciones de Riemann y Lebesgue.

[editar] Notación

Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundía fácilmente con o , que Newton usaba para indicar la derivación, y además la notación "caja" era difícil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas.

La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675.^{[2] [3]} Para indicar summa (en latín, "suma" o "total"), adaptó el símbolo integral, "∫", a partir de una letra S alargada. La notación moderna de la integral definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera vez Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819–20, reimpresa en su libro de 1822.^{[4] [5]} En la notación matemática en árabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido .^[6]

[editar] Terminología y notación

Los chelos también poseen el símbolo de la Integral

Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de la cual se calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integración a la región sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un dominio de integración, se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida). En general, el integrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio de integración puede ser un área, un volumen, una región de dimensión superior, o incluso un espacio abstracto que no tiene estructura geométrica en ningún sentido usual.

El caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real x sobre el intervalo [a, b], se escribe

El signo ∫, una "S" larga, representa la integración; a y b son el límite inferior y el límite superior de la integración y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx puede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Por ejemplo, puede verse simplemente como una indicación de que x es la variable de integración, como una representación de los pesos en la suma de Riemann, una medida (en la integración de Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (en análisis no estándar) o como una cantidad matemática independiente: una forma diferencial. Los casos más complicados pueden variar la notación ligeramente.

[editar] Conceptos y aplicaciones

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Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.

Aproximaciones a la integral de √x entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo).

Para empezar, se considerará la curva y = f(x) entre x = 0 y x = 1, suponiendo que f(x) = √x. La pregunta es:

¿Cuál es el área bajo la función f, al intervalo desde 0 hasta 1?

Esta área (todavía desconocida) será la integral de f. La notación para esta integral será

.

Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1. Tal como se puede ver, el verdadero valor de la integral tiene que ser de alguna forma más pequeño. Reduciendo el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación se obtendrá un mejor resultado; así, se parte el intervalo en cinco pasos, empleando para la aproximación los puntos 0, ¹⁄₅, ²⁄₅, así hasta 1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva, así √¹⁄₅, √²⁄₅, y así hasta √1 = 1. Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una mejor aproximación de la integral que se está buscando,

Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que la aproximación continúa dando un valor más grande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se coge el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el área, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeño. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notación

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la función (como las alzadas, y = f(x)) multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).

Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones de derivación e integración. Aplicándolo a la curva raíz cuadrada, se tiene que mirar la función relacionada F(x) = ²⁄_3x^3/2 y simplemente coger F(1)−F(0), donde 0 y 1 son las fronteras del intervalo [0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = x^q, con q ≠ −1, la función relacionada, la llamada primitiva es F(x) = (x^q+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como

Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann definió formalmente las integrales como el límite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el límite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definición de Riemann de los intervalos y la continuidad motivó la aparición de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho más flexibles. Así, la notación

hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la función, donde μ mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (Aquí A indica la región de integración.) La geometría diferencial, con su "cálculo de variedades", proporciona otra interpretación a esta notación familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una forma diferencial, ω = f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido como la derivada exterior, y el teorema fundamental pasa a ser el (más general) teorema de Stokes,

a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del cálculo.

Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a través de innovaciones modernas como el análisis no estándar. Estos métodos no sólo reivindican la intuición de los pioneros, también llevan hacia las nuevas matemáticas, y hacen más intuitivo y comprensible el trabajo con cálculo infinitesimal.

A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un solapamiento considerable. Así, el área de la piscina oval se puede hallar como una elipse geométrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el cálculo será el mismo en todos los casos.

[editar] Integral de Riemann

Artículo principal: Integral de Riemann

Integral con el planteamiento de Riemann hace una suma basada en una partición etiquetada, con posiciones de muestreo y anchuras irregulares (el máximo en rojo). El verdadero valor es 3,76; la estimación obtenida es 3,648.

La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann de funciones respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. Sea [a,b] un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetada de [a,b] es una secuencia finita

Convergencia de sumatorios de Riemann a medida en que se parten los intervalos, cuando se muestrea a ■ la derecha, ■ el mínimo, ■ el máximo, o ■ la izquierda.

Esto divide al intervalo [a,b] en n subintervalos [x_i−1, x_i], cada uno de los cuales es "etiquetado" con un punto especificado t_i de; [x_i−1, x_i]. Sea Δ_i = x_i−x_i−1 la anchura del subintervalo i; el paso de esta partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande obtenido por la partición, max_i=1…n Δ_i. Un sumatorio de Riemann de una función f respecto de esta partición etiquetada se define como

Así cada término del sumatorio es el área del rectángulo con altura igual al valor de la función en el punto especificado del subintervalo dado, y de la misma anchura que la anchura del subintervalo. La integral de Riemann de una función f sobre el intervalo [a,b] es igual a S si:

Para todo ε > 0 existex δ > 0 tal que, para cualquier partición etiquetada [a,b] con paso más pequeño que δ, se tiene

Cuando las etiquetas escogidas dan el máximo (o mínimo) valor de cada intervalo, el sumatorio de Riemann pasa a ser un sumatorio de Darboux superior (o inferior), lo que sugiere la estrecha conexión que hay entre la integral de Riemann y la integral de Darboux.

[editar] Integral de Lebesgue

Artículo principal: Integral de Lebesgue

La integral de Riemann no está definida para un ancho abanico de funciones y situaciones de importancia práctica (y de interés teórico). Por ejemplo, la integral de Riemann puede integrar fácilmente la densidad para de obtener la masa de una viga de acero, pero no se puede adaptar a una bola de acero que se apoya encima. Esto motiva la creación de otras definiciones, bajo las cuales se puede integrar un surtido más amplio de funciones.^[7] La integral de Lebesgue, en particular, logra una gran flexibilidad a base de centrar la atención en los pesos de la suma ponderada.

Así, la definición de la integral de Lebesgue empieza con una medida, μ. En el caso más sencillo, la medida de Lebesgue μ(A) de un intervalo A = [a, b] es su ancho, b − a, así la integral de Lebesgue coincide con la integral de Riemann cuando existen ambas. En casos más complicados, los conjuntos a medir pueden estar altamente fragmentados, sin continuidad y sin ningún parecido a intervalos.

Para explotar esta flexibilidad, la integral de Lebesgue invierte el enfoque de la suma ponderada. Como expresa Folland:^[8] "Para calcular la integral de Riemann de f, se particiona el dominio [a, b] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "de hecho lo que se está partiendo es el recorrido de f".

Un enfoque habitual define primero la integral de la función característica de un conjunto medible A por:

.

Esto se extiende por linealidad a las funciones escalonadas simples, que sólo tienen un número finito n, de valores diferentes no negativos:

(donde la imagen de A_i al aplicarle la función escalonada s es el valor constante a_i). Así, si E es un conjunto medible, se define

Entonces, para cualquier función medible no negativa f se define

Es decir, se establece que la integral de f es el supremo de todas las integrales de funciones escalonadas que son más pequeñas o iguales que f. Una función medible cualquiera f, se separa entre sus valores positivos y negativos a base de definir

Finalmente, f es Lebesgue integrable si

y entonces se define la integral por

Cuando el espacio métrico en el que están definidas las funciones es también un espacio topológico localmente compacto (como es el caso de los números reales R), las medidas compatibles con la topología en un sentido adecuado (medidas de Radon, de las cuales es un ejemplo la medida de Lebesgue) una integral respecto de ellas se puede definir de otra manera, se empieza a partir de las integrales de las funciones continuas con soporte compacto. De forma más precisa, las funciones compactamente soportadas forman un espacio vectorial que comporta una topología natural, y se puede definir una medida (Radon) como cualquier funcional lineal continuo de este espacio; entonces el valor de una medida en una función compactamente soportada, es también, por definición, la integral de la función. Entonces se continúa expandiendo la medida (la integral) a funciones más generales por continuidad, y se define la medida de un conjunto como la integral de su función característica. Este es el enfoque que toma Bourbaki^[9] y cierto número de otros autores. Para más detalles, véase medidas de Radon.

[editar] Otras integrales

A pesar de que las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones más importantes de integral, hay unas cuántas más, por ejemplo:

• La integral de Riemann-Stieltjes, una extensión de la integral de Riemann.
• La integral de Lebesgue-Stieltjes, desarrollada por Johann Radon, que generaliza las integrales de Riemann-Stieltjes y de Lebesgue.
• La integral de Daniell, que incluye la integral de Lebesgue y la integral de Lebesgue-Stieltjes sin tener que depender de ninguna medida.
• La integral de Henstock-Kurzweil, definida de forma variada por Arnaud Denjoy, Oskar Perron, y Jaroslav Kurzweil, y desarrollada por Ralph Henstock.
• La integral de Darboux, que es equivalente a la integral de Riemann.
• La integral de Haar, que es la integral de Lebesgue con la medida de Haar.
• La integral de McShane.
• La integral de Buchner.

[editar] Propiedades de la integración

[editar] Linealidad

• El conjunto de las funciones Riemann integrables en un intervalo cerrado [a, b] forman un espacio vectorial con las operaciones de suma (la función suma de otras dos es la función que a cada punto le hace corresponder la suma de las imágenes de este punto por cada una de las otras dos) y la multiplicación por un escalar. La operación integración

es un funcional lineal de este espacio vectorial. Así, en primer lugar, el conjunto de funciones integrables es cerrado con la combinación lineal, y en segundo lugar, la integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales,

• De forma parecida, el conjunto de las funciones reales Lebesgue integrables en un espacio métrico E dado, con la medida μ es cerrado respecto de las combinaciones lineales y por lo tanto forman un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue

es un funcional lineal de este espacio vectorial, de forma que

• De forma más general, si se toma el espacio vectorial de todas las funciones medibles sobre un espacio métrico (E,μ), que toman valores en un espacio vectorial topológico completo localmente compacto V sobre un campo topológico localmente compacto K, f : E → V. Entonces se puede definir una aplicación integración abstracta que a cada función f le asigna un elemento de V o el símbolo ∞,

que es compatible con las combinaciones lineales. En esta situación, la linealidad se sostiene para el subespacio de las funciones, cuya integral es un elemento de V (es decir, las integrales "finitas"). Los casos más importantes surgen cuando K es R, C, o una extensión finita del campo Qp de números p-ádicos, y V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre K, y cuando K=C y V es un espacio de Hilbert complejo.

La linealidad, junto con algunas propiedad naturales de continuidad y la normalización para ciertas clases de funciones "simples", se pueden usar para dar una definición alternativa de integral. Este es el enfoque de Daniell para el caso de funciones reales en un conjunto X, generalizado por Bourbaki a funciones que toman valores en un espacio vectorial topológicamente compacto. Véase Hildebrandt (1953)^[10] para una caracterización axiomática de la integral.

[editar] Desigualdades con integrales

Se verifican varias desigualdades generales para funciones Riemann integrables definidas en un intervalo cerrado y acotado [a, b] y se pueden generalizar a otras nociones de integral (Lebesgue y Daniell).

• Cotas superiores e inferiores. Una función f integrable en [a, b], es necesariamente acotada en el intervalo. Por lo tanto hay dos números reales m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M para todo x de [a, b]. Dado que los sumatorios superior e inferior de f sobre [a, b] son también acotados para m(b − a) y M(b − a) respectivamente, de aquí resulta que

• Desigualdades entre funciones. Si f(x) ≤ g(x) para todo x de [a, b] entonces cada uno de los sumatorios superior e inferior de f son acotados inferior y superiormente por los sumatorios superior e inferior de g respectivamente. Así

Esto es una generalización de las desigualdades anteriores, dado que M '(b − a) es la integral de la función constante con valor M en el intervalo [a, b].

• Subintervalos. Si [c, d] es un subintervalo de [a, b] y f(x) es no negativa para todo x, entonces

• Productos y valores absolutos de funciones. Si f y g son dos funciones, entonces podemos emplear su producto, potencias y valores absolutos:

Si f es Riemann integrable en [a, b] entonces lo mismo se cumple para |f|, y Es más, si f y g son ambas Riemann integrables entonces f ², g ², y fg son también Riemann integrables, y Esta desigualdad se conoce como desigualdad de Cauchy-Schwarz, y desempeña un papel fundamental en la teoría de los espacios de Hilbert, donde el lado de la derecha se interpreta como el producto escalar de dos funciones integrables f y g en el intervalo [a, b].

• Desigualdad de Hölder. Si p y q son dos números reales, 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1/p + 1/q = 1, y f y g son dos funciones Riemann integrables. Entonces las funciones |f|^p y |g|^q también son integrables y se cumple la desigualdad de Hölder:

Para el caso de p = q = 2, la desigualdad de Hölder pasa a ser la desigualdad de Cauchy–Schwarz.

• Desigualdad de Minkowski. Si p ≥ 1 es un número real y f y g son funciones Riemann integrables. Entonces |f|^p, |g|^p y |f + g|^p son también Riemann integrables y se cumple la desigualdad de Minkowski:

Una desigualdad análoga a ésta para la integral de Lebesgue se usa en la construcción de los espacios L^p.

[editar] Convenciones

En esta sección f es una función real Riemann integrable. La integral

Sobre un intervalo [a, b] está definida si a < b. Esto significa que los sumatorios superiores e inferiores de la función f se evalúan sobre una partición a = x₀ ≤ x₁ ≤ . . . ≤ x_n = b cuyos valores x_i son crecientes. Geométricamente significa que la integración tiene lugar "de izquierda a derecha", evaluando f dentro de intervalos [x_i , x_i +1] donde el intervalo con un índice más grande queda a la derecha del intervalo con un índice más pequeño. Los valores a y b, los puntos extremos del intervalo, se denominan límites de integración de f. Las integrales también se pueden definir si a > b:

• Inversión de los límites de integración. si a > b entonces se define

Ello, con a = b, implica:

• Integrales sobre intervalos de longitud cero. si a es un número real entonces

La primera convención es necesaria al calcular integrales sobre subintervalos de [a, b]; la segunda dice que una integral sobre un intervalo degenerado, o un punto, tiene que ser cero. Un motivo para la primera convención es que la integrabilidad de f sobre un intervalo [a, b] implica que f es integrable sobre cualquier subintervalo [c, d], pero en particular las integrales tienen la propiedad de que:

• Aditividad de la integración sobre intervalos. si c es cualquier elemento de [a, b], entonces

Con la primera convención la relación resultante

queda bien definida para cualquier permutación cíclica de a, b, y c.

En lugar de ver lo anterior como convenciones, también se puede adoptar el punto de vista de que la integración se hace sólo sobre variedades orientadas. Si M es una tal forma m-dimensional orientada, y M' es la misma forma con orientación opuesta y ω es una m-forma, entonces se tiene (véase más abajo la integración de formas diferenciales):

[editar] Teorema fundamental del cálculo

Artículo principal: Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original. Una consecuencia importante, en ocasiones denominada el segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular integrales a base de emplear una primitiva de la función a integrar.

[editar] Enunciado de los teoremas

• Teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si se define F para cada x de [a, b] por

entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x de [a, b], entonces F es derivable en x, y F ′(x) = f(x).

• Segundo teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real, integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si F es una función tal que F ′(x) = f(x) para todo x de [a, b] (es decir, F es una primitiva de f), entonces

• Corolario. Si f es una función continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b], y F, definida por

es una primitiva de f en [a, b]. Además,

[editar] Extensiones

[editar] Integrales impropias

Artículo principal: Integral impropia

La integral impropia

tiene intervalos no acotados tanto en el dominio como en el recorrido.

Una integral de Riemann "propia" supone que el integrando está definido y es finito en un intervalo cerrado y acotado, cuyos extremos son los límites de integración. Una integral impropia aparece cuando una o más de estas condiciones no se satisface. En algunos casos, estas integrales se pueden definir tomando el límite de una sucesión de integrales de Riemann propias sobre intervalos sucesivamente más largos.

Si el intervalo no es acotado, por ejemplo en su extremo superior, entonces la integral impropia es el límite cuando el punto final tiende a infinito.

Si el integrando sólo está definido en un intervalo finito semiabierto, por ejemplo (a,b], entonces, otra vez el límite puede suministrar un resultado finito.

Esto es, la integral impropia es el límite de integrales propias cuando uno de los puntos extremos del intervalo de integración se aproxima, ya sea a un número real especificado, o ∞, o −∞. En casos más complicados, hacen falta límites en los dos puntos extremos o en puntos interiores.

Por ejemplo, la función integrada desde 0 a ∞ (imagen de la derecha). En el extremo inferior, a medida que x se acerca a 0 la función tiende a ∞, y el extremo superior es él mismo ∞, a pesar de que la función tiende a 0. Así, esta es una integral doblemente impropia. Integrada, por ejemplo, desde 1 hasta 3, con un sumatorio de Riemann es suficiente para obtener un resultado de . Para integrar desde 1 hasta ∞, un sumatorio de Riemann no es posible. Ahora bien, cualquier límite superior finito, por ejemplo t (con t > 1), da un resultado bien definido, . Este resultado tiene un límite finito cuando t tiende a infinito, que es . De forma parecida, la integral desde ¹⁄₃ hasta a 1 admite también un sumatorio de Riemann, que por casualidad da de nuevo . Sustituyendo ¹⁄₃ por un valor positivo arbitrario s (con s < 1) resulta igualmente un resultado definido y da . Éste, también tiene un límite finito cuando s tiende a cero, que es . Combinando los límites de los dos fragmentos, el resultado de esta integral impropia es

Este proceso no tiene el éxito garantizado; un límite puede no existir, o puede ser infinito. Por ejemplo, sobre el intervalo cerrado de 0 a 1 la integral de no converge; y sobre el intervalo abierto del 1 a ∞ la integral de no converge.

La integral impropia

no está acotada internamente, pero ambos límites (por la derecha y por la izquierda) existen.

También puede pasar que un integrando no esté acotado en un punto interior, en este caso la integral se ha de partir en este punto, y el límite de las integrales de los dos lados han de existir y han de ser acotados. Así

A la integral similar

no se le puede asignar un valor de esta forma, dado que las integrales por encima y por debajo de cero no convergen independientemente (en cambio, véase valor principal de Cauchy.)

[editar] Integración múltiple

Artículo principal: Integral múltiple

Integral doble como el volumen limitado por una superficie.

Las integrales se pueden calcular sobre regiones diferentes de los intervalos. En general, una integral sobre un conjunto E de una función f se escribe:

Aquí x no hace falta que sea necesariamente un número real, sino que puede ser cualquier otra cantidad apropiada, por ejemplo, un vector de R3. El teorema de Fubini demuestra que estas integrales pueden reescribirse como una integral iterada. En otras palabras, la integral se puede calcular a base de integrar las coordenadas una por una.

De la misma manera que la integral definida de una función positiva representa el área de la región encerrada entre la gráfica de la función y el eje x, la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región comprendida entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio. (El mismo volumen puede obtenerse a través de una integral triple — la integral de la función de tres variables — de la función constante f(x, y, z) = 1 sobre la región mencionada antes entre la superficie y el plano, lo mismo se puede hacer con una integral doble para calcular una superficie.) Si el número de variables es mayor, entonces la integral representa un hipervolumen, el volumen de un sólido de más de tres dimensiones que no se puede representar gráficamente.

Por ejemplo, el volumen del paralelepípedo de caras 4 × 6 × 5 se puede obtener de dos maneras:

• Con la integral doble

de la función f(x, y) = 5 calculada en la región D del plano xy que es la base del paralelepípedo.

• Con la integral triple

de la función constante 1 calculada sobre el mismo paralelepípedo (a pesar de que este segundo método también se puede interpretar como el hipervolumen de un hiperparalelepípedo de cuatro dimensiones que tiene como base el paralelepípedo en cuestión y una altura constante de 1, como la altura es 1 el volumen coincide con el área de la base).

Puesto que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable, no existen las integrales múltiples indefinidas: tales integrales son todas definidas.

[editar] Integrales de línea

Artículo principal: Integral de línea

Una integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva.

El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales.

Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno.

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos.

Muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como:

que tiene su paralelismo en la integral de línea

que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.

[editar] Integrales de superficie

Artículo principal: Integral de superficie

La definición de las integrales de superficie descansa en la división de la superficie en pequeños elementos de superficie.

Una integral de superficie es una integral definida calculada sobre una superficie (que puede ser un conjunto curvado en el espacio; se puede entender como la integral doble análoga a la integral de línea. La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral de superficie es la suma ponderada de los valores del campo en todos los puntos de la superficie. Esto se puede conseguir a base de dividir la superficie en elementos de superficie, los cuales proporcionan la partición para los sumatorios de Riemann.

Como ejemplo de las aplicaciones de las integrales de superficie, se puede considerar un campo vectorial v sobre una superficie S; es decir, para cada punto x de S, v(x) es un vector. Imagínese que se tiene un fluido fluyendo a través de S, de forma que v(x) determina la velocidad del fluido en el punto x. El caudal se define como la cantidad de fluido que fluye a través de S en la unidad de tiempo. Para hallar el caudal, hay que calcular el producto escalar de v por el vector unitario normal a la superficie S en cada punto, lo que nos dará un campo escalar, que integramos sobre la superficie:

.

El caudal de fluido de este ejemplo puede ser de un fluido físico como el agua o el aire, o de un flujo eléctrico o magnético. Así, las integrales de superficie tienen aplicaciones en la física, en particular en la teoría clásica del electromagnetismo.

[editar] Integrales de formas diferenciales

Artículo principal: Forma diferencial

Una forma diferencial es un concepto matemático en los campos del cálculo multivariable, topología diferencial y tensores. La notación moderna de las formas diferenciales, así como la idea de las formas diferenciales como el producto exterior de derivadas exteriores formando un álgebra exterior, fue presentada por Élie Cartan.

Se empieza trabajando en un conjunto abierto de Rⁿ. Una 0-forma se define como una función infinitamente derivable f. Cuando se integra una función f sobre un subespacio de m-dimensional S de Rⁿ, se escribe como

(Los superíndices no son exponentes.) Se puede considerar que dx¹ hasta dxⁿ son objetos formales ellos mismos, más que etiquetas añadidas para hacer que la integral se asemeje a los sumatorios de Riemann. De forma alternativa se pueden ver como covectores, y por lo tanto como una medida de la "densidad" (integrable en un sentido general). A dx¹, …,dxⁿ se las denomina 1-formas básicas.

Se define el conjunto de todos estos productos como las 2-formas básicas, y de forma similar se define el conjunto de los productos de la forma dx^a∧dx^b∧dx^c como las 3-formas básicas. Una k-forma general es por lo tanto una suma ponderada de k-formas básicas, donde los pesos son las funciones infinitamente derivables f. Todas juntas forman un espacio vectorial, siendo las k-formas básicas los vectores base, y las 0-formas (funciones infinitamente derivables) el campo de escalares. El producto exterior se extiende a las k-formas de la forma natural. Sobre Rⁿ como máximo n covectores pueden ser linealmente independientes, y así una k-forma con k > n será siempre cero por la propiedad alternante.

Además del producto exterior, también existe el operador derivada exterior d. Este operador hace corresponder a las k-formas (k+1)-formas. Para una k-forma ω = f dx^a sobre Rⁿ, se define la acción de d por:

con extensión a las k-formas generales que se dan linealmente.

Este planteamiento más general permite un enfoque de la integración sobre variedades libre de coordenadas. También permite una generalización natural del teorema fundamental del cálculo, denominada teorema de Stokes, que se puede establecer como

donde ω es una k-forma general, y ∂Ω indica la frontera de la región Ω. Así en el supuesto de que ω sea una 0-forma y Ω sea un intervalo cerrado de la recta real, el teorema de Stokes se reduce al teorema fundamental del cálculo. En el caso de que ω sea una 1-forma y Ω sea una región de dimensión 2 en el plano, el teorema se reduce al teorema de Green. De manera similar, empleando 2-formas, 3-formas y la dualidad de Hodge, se puede llegar al teorema de Stokes y al teorema de la divergencia. De esta forma puede verse que las formas diferenciales suministran una potente visión unificadora de la integración.

[editar] Métodos y aplicaciones

[editar] Cálculo de integrales

Artículo principal: Métodos de integración

La técnica más básica para calcular integrales de una variable real se basa en el teorema fundamental del cálculo. Se procede de la siguiente forma:

1. Se escoge una función f(x) y un intervalo [a, b].
2. Se halla una primitiva de f, es decir, una función F tal que F' = f.
3. Se emplea el teorema fundamental del cálculo, suponiendo que ni el integrando ni la integral tienen singularidades en el camino de integración,
4. Por tanto, el valor de la integral es F(b) − F(a).

Nótese que la integral no es realmente la primitiva, sino que el teorema fundamental permite emplear las primitivas para evaluar las integrales definidas.

A menudo, el paso difícil de este proceso es el de encontrar una primitiva de f. En raras ocasiones es posible echar un vistazo a una función y escribir directamente su primitiva. Muy a menudo, es necesario emplear una de las muchas técnicas que se han desarrollado para evaluar integrales. La mayoría de ellas transforman una integral en otra que se espera que sea más manejable. Entre estas técnicas destacan:

• Integración por cambio de variable
• Integración por partes
• Integración por sustitución trigonométrica
• Integración de fracciones parciales

Incluso si estas técnicas fallan, aún puede ser posible evaluar una integral dada. La siguiente técnica más común es el cálculo del residuo, mientras que la serie de Taylor a veces se puede usar para hallar la primitiva de las integrales no elementales en lo que se conoce como el método de integración por series. También hay muchas formas menos habituales para calcular integrales definidas; por ejemplo, se puede emplear la identidad de Parseval para transformar una integral sobre una región rectangular en una suma infinita. En algunas ocasiones, se puede evaluar una integral empleando un truco; un ejemplo de este tipo se puede ver en la integral de Gauss.

Los cálculos de volúmenes de sólidos de revolución se pueden hacer normalmente con la integración por discos o la integración por capas.

Los resultados específicos que se han encontrado empleando las diferentes técnicas se recogen en la tabla de integrales.

[editar] Algoritmos simbólicos

Artículo principal: Integración simbólica

En muchos problemas de matemáticas, física, e ingeniería en los que participa la integración es deseable tener una fórmula explícita para la integral. Con esta finalidad, a lo largo de los años se han ido publicando extensas tablas de integrales. Con el desarrollo de los ordenadores, muchos profesionales, educadores y estudiantes han recurrido a los sistemas de cálculo algebraico por ordenador, que han sido diseñados específicamente para desarrollar tareas tediosas o difíciles, entre las cuales se encuentra la integración. La integración simbólica presenta un reto especial en el desarrollo de este tipo de sistemas.

Una dificultad matemática importante de la integración simbólica es que, en muchos casos, no existe ninguna fórmula cerrada para la primitiva de una función aparentemente inocente. Por ejemplo, se sabe que las primitivas de las funciones exp (x²), x^x y sen x /x no se pueden expresar con una fórmula cerrada en las que participen sólo funciones racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, inversas de las funciones trigonométricas, y las operaciones de suma, multiplicación y composición. En otras palabras, ninguna de estas tres funciones dadas es integrable con funciones elementales. La teoría de Galois diferencial proporciona criterios generales para determinar cuándo la primitiva de una función elemental es a su vez elemental. Por desgracia, resulta que las funciones con expresiones cerradas para sus primitivas son la excepción en vez de ser la regla. En consecuencia, los sistemas de cálculo algebraico por ordenador, no pueden tener la seguridad de poder encontrar una primitiva para una función elemental cualquiera construida de forma aleatoria. En el lado positivo, si se fijan de antemano los "bloques constructivos" de las primitivas, aún es posible decidir si se puede expresar la primitiva de una función dada empleando estos bloques y las operaciones de multiplicación y composición, y hallar la respuesta simbólica en el caso de que exista. El algoritmo de Risch, implementado en Mathematica y en otros sistemas de cálculo algebraico por ordenador, hacen precisamente esto para funciones y primitivas construidas a partir de fracciones racionales, radicales, logaritmos y funciones exponenciales.

Algunos integrandos aparecen con la suficiente frecuencia como para merecer un estudio especial. En particular, puede ser útil tener, en el conjunto de las primitivas, las funciones especiales de la física (como las funciones de Legendre, la función hipergeométrica, la función gamma, etcétera). Es posible extender el algoritmo de Risch-Norman de forma que abarque estas funciones, pero se trata de todo un reto.

La mayoría de los humanos no son capaces de integrar estas fórmulas generales, por lo que en cierto sentido los ordenadores son más hábiles integrando fórmulas muy complicadas. Es poco probable que las fórmulas muy complejas tengan primitivas de forma cerrada, de modo que hasta qué punto esto es una ventaja es una cuestión filosófica abierta a debate.

[editar] Cuadratura numérica

Métodos numéricos de cuadratura: ■ Rectángulo, ■ Trapezoide, ■ Romberg, ■ Gauss.

Artículo principal: Integración numérica

Las integrales que se encuentran en los cursos básicos de cálculo han sido elegidas deliberadamente por su simplicidad, pero las que se encuentran en las aplicaciones reales no siempre son tan asequibles. Algunas integrales no se pueden hallar con exactitud, otras necesitan de funciones especiales que son muy complicadas de calcular, y otras son tan complejas que encontrar la respuesta exacta es demasiado lento. Esto motiva el estudio y la aplicación de métodos numéricos para aproximar integrales. Hoy en día se usan en la aritmética de coma flotante, en ordenadores electrónicos. Para los cálculos a mano surgieron muchas ideas mucho antes; pero la velocidad de los ordenadores de uso general como el ENIAC crearon la necesidad de mejoras.

Los objetivos de la integración numérica son la exactitud, la fiabilidad, la eficiencia y la generalidad. Por ejemplo, la integral

que tiene el valor aproximado de 6.826 (en la práctica ordinaria no se conoce de antemano la respuesta, por lo que una tarea importante — que no se explora aquí — es decidir en qué momento una aproximación ya es bastante buena.) Un enfoque de "libro de cálculo" divide el intervalo de integración en, por ejemplo, 16 trozos iguales, y calcula los valores de la función.

Valores de la función en los puntos

x	−2,00		−1,50		−1,00		−0,50		0,00		0,50		1,00		1,50		2,00
f(x)	2,22800		2,45663		2,67200		2,32475		0,64400		−0,92575		−0,94000		−0,16963		0,83600
x		−1.75		−1,25		−0,75		−0,25		0,25		0,75		1,25		1.75
f(x)		2,33041		2,58562		2,62934		1,64019		−0,32444		−1,09159		−0,60387		0,31734

[editar] Referencias y notas

1. ↑ En el caso de las funciones a las que se aplica la definición de Riemann, los resultados coinciden.
2. ↑ Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6ª ed.), McGraw-Hill, p. 359, ISBN 978-0-07-305189-5
3. ↑ Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899) (Gerhardt, Karl Immanuel, ed.). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Müller, p. 154
4. ↑ Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations, Vol. II, Open Court Publishing, pp. 247–252, ISBN 978-0-486-67766-8
5. ↑ Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, p. §231, [1]
6. ↑ W3C (2006). Arabic mathematical notation [2]
7. ↑ Rudin, Walter (1987). "Chapter 1: Abstract Integration", Real and Complex Analysis (International ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9
8. ↑ Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1ª ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80958-6
9. ↑ Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1. En particular, los capítulos III y IV.
10. ↑ Hildebrandt, T. H. (1953). "Integration in abstract spaces", Bulletin of the American Mathematical Society 59(2): 111–139, ISSN 0273-0979 [3]

[editar] Bibliografía

• Apostol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd edición). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-00005-1. 
• Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I. Springer. ISBN 3-540-41129-1. . En particular los capítulos III y IV.
• Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6^th edición). McGraw-Hill. p.  359. ISBN 978-0-07-305189-5. 
• Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. pp. 247–252. ISBN 978-0-486-67766-8. http://www.archive.org/details/historyofmathema027671mbp. 
• Dahlquist, Germund; Björck, Åke (forthcoming). «Chapter 5: Numerical Integration». Numerical Methods in Scientific Computing. Philadelphia: SIAM. http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html. 
• Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1st edición). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-80958-6. 
• Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur. Chez Firmin Didot, père et fils. p. §231. http://books.google.com/books?id=TDQJAAAAIAAJ. 
  Disponible en inglés comoFourier, Joseph (1878). The analytical theory of heat. Freeman, Alexander (trans.). Cambridge University Press. pp.  200–201. http://www.archive.org/details/analyticaltheory00fourrich. 
• The Works of Archimedes. Dover. 2002. ISBN 978-0-486-42084-4. http://www.archive.org/details/worksofarchimede029517mbp. 
  (Originalmente publicado por Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
• Hildebrandt, T. H. (1953). Integration in abstract spaces. 59. 111–139. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183517761. 
• Kahaner, David; Moler, Cleve; Nash, Stephen (1989). «Chapter 5: Numerical Quadrature». Numerical Methods and Software. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-627258-8. 
• Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band. Berlin: Mayer & Müller. http://name.umdl.umich.edu/AAX2762.0001.001. 
• Miller, Jeff. Earliest Uses of Symbols of Calculus. http://members.aol.com/jeff570/calculus.html. 
• O’Connor, J. J.; Robertson, E. F. (1996). A history of the calculus. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus.html. 
• Rudin, Walter (1987). «Chapter 1: Abstract Integration». Real and Complex Analysis (International edición). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-100276-9. 
• Saks, Stanisław (1964). Theory of the integral (English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised edición). New York: Dover. http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&wyd=10&jez=. 
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002). «Chapter 3: Topics in Integration». Introduction to Numerical Analysis (3rd edición). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95452-3. .
• W3C (2006). Arabic mathematical notation. http://www.w3.org/TR/arabic-math/. 

[editar] Véase también

• Tabla de integrales
• Integración numérica
• Derivada
• Signo de Integral
• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.

[editar] Enlaces externos

• La integral definida y la función área, en Descartes.
• The Integrator de Wolfram Research
• Function Calculator de WIMS
• P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques
• Definite Integrals

[editar] Libros online

• Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
• Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
• Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
• Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
• Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
• Kowalk, W.P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
• Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
• Wikibook of Calculus
• Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute

 

 

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Categorías: Cálculo integral | Integrales

CIENCIA7: EXPLICACIÓN DE LOS CIENTÍFICOS PARA EL ORÍGEN DEL UNIVERSO: EL BIG BANG. En cosmología física, la teoría del Big Bang o teoría de la gran explosión es un modelo científico que trata de explicar el origen del Universo y su desarrollo posterior a partir de una singularidad espaciotemporal. Técnicamente, este modelo se basa en una colección de soluciones de las ecuaciones de la relatividad general, llamados modelos de Friedmann- Lemaître - Robertson - Walker. El término "Big Bang" se utiliza tanto para referirse específicamente al momento en el que se inició la expansión observable del Universo (cuantificada en la ley de Hubble), como en un sentido más general para referirse al paradigma cosmológico que explica el origen y la evolución del mismo.

Teoría del Big Bang

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«Big Bang» redirige aquí. Para otras acepciones, véase Big Bang (desambiguación).

Para la serie de televisión, véase The Big Bang Theory.

Según la teoría del Big Bang, el Universo se originó en una singularidad espaciotemporal de densidad infinita matemáticamente paradójica. El espacio se ha expandido desde entonces, por lo que los objetos astrofísicos se han alejado unos respecto de los otros.

En cosmología física, la teoría del Big Bang o teoría de la gran explosión es un modelo científico que trata de explicar el origen del Universo y su desarrollo posterior a partir de una singularidad espaciotemporal. Técnicamente, este modelo se basa en una colección de soluciones de las ecuaciones de la relatividad general, llamados modelos de Friedmann- Lemaître - Robertson - Walker. El término "Big Bang" se utiliza tanto para referirse específicamente al momento en el que se inició la expansión observable del Universo (cuantificada en la ley de Hubble), como en un sentido más general para referirse al paradigma cosmológico que explica el origen y la evolución del mismo.

Contenido [ocultar] 1 Introducción 2 Breve historia de su génesis y desarrollo 3 Visión general 3.1 Descripción del Big Bang 3.2 Base teórica 4 Evidencias 4.1 Expansión expresada en la ley de Hubble 4.2 Radiación cósmica de fondo 4.3 Abundancia de elementos primordiales 4.4 Evolución y distribución galáctica 4.5 Otras evidencias 5 Problemas comunes 5.1 El problema del segundo principio de la termodinámica 5.2 El problema del horizonte 5.3 El problema de la planitud 5.4 Edad de los cúmulos globulares 5.5 Monopolos magnéticos 5.6 Materia oscura 5.7 Energía oscura 6 El futuro de acuerdo con la teoría del Big Bang 7 Física especulativa más allá del Big Bang 8 Interpretaciones filosóficas y religiosas 9 Véase también 10 Referencia 10.1 Bibliografía 10.1.1 Introducciones técnicas 10.1.2 Fuentes de primera mano 10.1.3 Religión y filosofía 10.1.4 Artículos de investigación 10.2 Enlaces externos

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Introducción

Imagen proporcionada por el telescopio Hubble del espacio lejano, cuando el universo era más caliente y más concentrado de acuerdo con la teoría del Big Bang.

Curiosamente, la expresión Big Bang proviene -a su pesar- del astrofísico inglés Fred Hoyle, uno de los detractores de esta teoría y, a su vez, uno de los principales defensores de la teoría del estado estacionario, quien en 1949, durante una intervención en la BBC dijo, para mofarse, que el modelo descrito era sólo un big bang (gran explosión). No obstante, hay que tener en cuenta que en el inicio del Universo ni hubo explosión ni fue grande, pues en rigor surgió de una «singularidad» infinitamente pequeña, seguida de la expansión del propio espacio.^[1]

La idea central del Big Bang es que la teoría de la relatividad general puede combinarse con las observaciones de isotropía y homogeneidad a gran escala de la distribución de galaxias y los cambios de posición entre ellas, permitiendo extrapolar las condiciones del Universo antes o después en el tiempo.

Una consecuencia de todos los modelos de Big Bang es que, en el pasado, el Universo tenía una temperatura más alta y mayor densidad y, por tanto, las condiciones del Universo actual son muy diferentes de las condiciones del Universo pasado. A partir de este modelo, George Gamow en 1948 pudo predecir que debería de haber evidencias de un fenómeno que más tarde sería bautizado como radiación de fondo de microondas

Breve historia de su génesis y desarrollo

Para llegar al modelo del Big Bang, muchos científicos, con diversos estudios, han ido construyendo el camino que lleva a la génesis de esta explicación. Los trabajos de Alexander Friedman, del año 1922, y de Georges Lemaître, de 1927, utilizaron la teoría de la relatividad para demostrar que el universo estaba en movimiento constante. Poco después, en 1929, el astrónomo estadounidense Edwin Hubble (1889-1953) descubrió galaxias más allá de la Vía Láctea que se alejaban de nosotros, como si el Universo se expandiera constantemente. En 1948, el físico ruso nacionalizado estadounidense, George Gamow (1904-1968), planteó que el universo se creó a partir de una gran explosión (Big Bang). Recientemente, ingenios espaciales puestos en órbita (COBE) han conseguido "oír" los vestigios de esta gigantesca explosión primigenia.

Dependiendo de la cantidad de materia en el Universo, éste puede expandirse indefinidamente o frenar su expansión lentamente, hasta producirse una contracción universal. El fin de esa contracción se conoce con un término contrario al Big Bang: el Big Crunch o Gran Colapso. Si el Universo se encuentra en un punto crítico, puede mantenerse estable ad eternum.

La teoría del Big Bang se desarrolló a partir de observaciones y avances teóricos. Por medio de observaciones, en la década de 1910, el astrónomo estadounidense Vesto Slipher y, después de él, Carl Wilhelm Wirtz, de Estrasburgo, determinaron que la mayor parte de las nebulosas espirales se alejan de la Tierra; pero no llegaron a darse cuenta de las implicaciones cosmológicas de esta observación, ni tampoco del hecho de que las supuestas nebulosas eran en realidad galaxias exteriores a nuestra Vía Láctea.

Además, la teoría de Albert Einstein sobre la relatividad general (segunda década del siglo XX) no admite soluciones estáticas (es decir, el Universo debe estar en expansión o en contracción), resultado que él mismo consideró equivocado, y trató de corregirlo agregando la constante cosmológica. El primero en aplicar formalmente la relatividad a la cosmología, sin considerar la constante cosmológica, fue Alexander Friedman, cuyas ecuaciones describen el Universo Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, que puede expandirse o contraerse.

Entre 1927 y 1930, el padre jesuita belga Georges Lemaître obtuvo independientemente las ecuaciones Friedman-Lemaître-Robertson-Walker y propuso, sobre la base de la recesión de las nebulosas espirales, que el Universo se inició con la explosión de un átomo primigenio, lo que más tarde se denominó "Big Bang".

En 1929, Edwin Hubble realizó observaciones que sirvieron de fundamento para comprobar la teoría de Lemaître. Hubble probó que las nebulosas espirales son galaxias y midió sus distancias observando las estrellas variables cefeidas en galaxias distantes. Descubrió que las galaxias se alejan unas de otras a velocidades (relativas a la Tierra) directamente proporcionales a su distancia. Este hecho se conoce ahora como la ley de Hubble (véase Edwin Hubble: Marinero de las nebulosas, texto escrito por Edward Christianson).

Según el principio cosmológico, el alejamiento de las galaxias sugería que el Universo está en expansión. Esta idea originó dos hipótesis opuestas. La primera era la teoría Big Bang de Lemaître, apoyada y desarrollada por George Gamow. La segunda posibilidad era el modelo de la teoría del estado estacionario de Fred Hoyle, según la cual se genera nueva materia mientras las galaxias se alejan entre sí. En este modelo, el Universo es básicamente el mismo en un momento dado en el tiempo. Durante muchos años hubo un número de adeptos similar para cada teoría.

Con el pasar de los años, las evidencias observacionales apoyaron la idea de que el Universo evolucionó a partir de un estado denso y caliente. Desde el descubrimiento de la radiación de fondo de microondas, en 1965, ésta ha sido considerada la mejor teoría para explicar el origen y evolución del cosmos. Antes de finales de los años sesenta, muchos cosmólogos pensaban que la singularidad infinitamente densa del tiempo inicial en el modelo cosmológico de Friedman era una sobreidealización, y que el Universo se contraería antes de empezar a expandirse nuevamente. Ésta es la teoría de Richard Tolman de un Universo oscilante. En los años 1960, Stephen Hawking y otros demostraron que esta idea no era factible, y que la singularidad es un componente esencial de la gravedad de Einstein. Esto llevó a la mayoría de los cosmólogos a aceptar la teoría del Big Bang, según la cual el Universo que observamos se inició hace un tiempo finito.

Prácticamente todos los trabajos teóricos actuales en cosmología tratan de ampliar o concretar aspectos de la teoría del Big Bang. Gran parte del trabajo actual en cosmología trata de entender cómo se formaron las galaxias en el contexto del Big Bang, comprender lo que allí ocurrió y cotejar nuevas observaciones con la teoría fundamental.

A finales de los años 1990 y principios del siglo XXI, se lograron grandes avances en la cosmología del Big Bang como resultado de importantes adelantos en telescopía, en combinación con grandes cantidades de datos satelitales de COBE, el telescopio espacial Hubble y WMAP. Estos datos han permitido a los cosmólogos calcular muchos de los parámetros del Big Bang hasta un nuevo nivel de precisión, y han conducido al descubrimiento inesperado de que el Universo está en aceleración.

Visión general

Descripción del Big Bang

El Universo ilustrado en tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal.

Michio Kaku ha señalado cierta paradoja en la denominación big bang (gran explosión): en cierto modo no puede haber sido grande ya que se produjo exactamente antes del surgimiento del espacio-tiempo, habría sido el mismo big bang lo que habría generado las dimensiones desde una singularidad; tampoco es exactamente una explosión en el sentido propio del término ya que no se propagó fuera de sí mismo.

Basándose en medidas de la expansión del Universo utilizando observaciones de las supernovas tipo 1a, en función de la variación de la temperatura en diferentes escalas en la radiación de fondo de microondas y en función de la correlación de las galaxias, la edad del Universo es de aproximadamente 13,7 ± 0,2 miles de millones de años. Es notable el hecho de que tres mediciones independientes sean consistentes, por lo que se consideran una fuerte evidencia del llamado modelo de concordancia que describe la naturaleza detallada del Universo.

El universo en sus primeros momentos estaba lleno homogénea e isótropamente de una energía muy densa y tenía una temperatura y presión concomitantes. Se expandió y se enfrió, experimentando cambios de fase análogos a la condensación del vapor o a la congelación del agua, pero relacionados con las partículas elementales.

Aproximadamente 10^-35 segundos después del tiempo de Planck un cambio de fase causó que el Universo se expandiese de forma exponencial durante un período llamado inflación cósmica. Al terminar la inflación, los componentes materiales del Universo quedaron en la forma de un plasma de quarks-gluones, en donde todas las partes que lo formaban estaban en movimiento en forma relativista. Con el crecimiento en tamaño del Universo, la temperatura descendió, y debido a un cambio aún desconocido denominado bariogénesis, los quarks y los gluones se combinaron en bariones tales como el protón y el neutrón, produciendo de alguna manera la asimetría observada actualmente entre la materia y la antimateria. Las temperaturas aún más bajas condujeron a nuevos cambios de fase, que rompieron la simetría, así que les dieron su forma actual a las fuerzas fundamentales de la física y a las partículas elementales. Más tarde, protones y neutrones se combinaron para formar los núcleos de deuterio y de helio, en un proceso llamado nucleosíntesis primordial. Al enfriarse el Universo, la materia gradualmente dejó de moverse de forma relativista y su densidad de energía comenzó a dominar gravitacionalmente sobre la radiación. Pasados 300.000 años, los electrones y los núcleos se combinaron para formar los átomos (mayoritariamente de hidrógeno). Por eso, la radiación se desacopló de los átomos y continuó por el espacio prácticamente sin obstáculos. Ésta es la radiación de fondo de microondas.

Al pasar el tiempo, algunas regiones ligeramente más densas de la materia casi uniformemente distribuida crecieron gravitacionalmente, haciéndose más densas, formando nubes, estrellas, galaxias y el resto de las estructuras astronómicas que actualmente se observan. Los detalles de este proceso dependen de la cantidad y tipo de materia que hay en el Universo. Los tres tipos posibles se denominan materia oscura fría, materia oscura caliente y materia bariónica. Las mejores medidas disponibles (provenientes del WMAP) muestran que la forma más común de materia en el universo es la materia oscura fría. Los otros dos tipos de materia sólo representarían el 20 por ciento de la materia del Universo.

El Universo actual parece estar dominado por una forma misteriosa de energía conocida como energía oscura. Aproximadamente el 70 por ciento de la densidad de energía del universo actual está en esa forma. Una de las propiedades características de este componente del universo es el hecho de que provoca que la expansión del universo varíe de una relación lineal entre velocidad y distancia, haciendo que el espacio-tiempo se expanda más rápidamente que lo esperado a grandes distancias. La energía oscura toma la forma de una constante cosmológica en las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general, pero los detalles de esta ecuación de estado y su relación con el modelo estándar de la física de partículas continúan siendo investigados tanto en el ámbito de la física teórica como por medio de observaciones.

Más misterios aparecen cuando se investiga más cerca del principio, cuando las energías de las partículas eran más altas de lo que ahora se puede estudiar mediante experimentos. No hay ningún modelo físico convincente para el primer 10^-33 segundo del universo, antes del cambio de fase que forma parte de la teoría de la gran unificación. En el "primer instante", la teoría gravitacional de Einstein predice una singularidad gravitacional en donde las densidades son infinitas. Para resolver esta paradoja física, hace falta una teoría de la gravedad cuántica. La comprensión de este período de la historia del universo figura entre los mayores problemas no resueltos de la física.

Base teórica

En su forma actual, la teoría del Big Bang depende de tres suposiciones:

1. La universalidad de las leyes de la física, en particular de la teoría de la relatividad general
2. El principio cosmológico
3. El principio de Copérnico

Inicialmente, estas tres ideas fueron tomadas como postulados, pero actualmente se intenta verificar cada una de ellas. La universalidad de las leyes de la física ha sido verificada al nivel de las más grandes constantes físicas, llevando su margen de error hasta el orden de 10^-5. La isotropía del universo que define el principio cosmológico ha sido verificada hasta un orden de 10^-5. Actualmente se intenta verificar el principio de Copérnico observando la interacción entre grupos de galaxias y el CMB por medio del efecto Sunyaev-Zeldovich con un nivel de exactitud del 1 por ciento.

La teoría del Big Bang utiliza el postulado de Weyl para medir sin ambigüedad el tiempo en cualquier momento en el pasado a partir del la época de Planck. Las medidas en este sistema dependen de coordenadas conformales, en las cuales las llamadas distancias codesplazantes y los tiempos conformales permiten no considerar la expansión del universo para las medidas de espacio-tiempo. En ese sistema de coordenadas, los objetos que se mueven con el flujo cosmológico mantienen siempre la misma distancia codesplazante, y el horizonte o límite del universo se fija por el tiempo codesplazante.

Visto así, el Big Bang no es una explosión de materia que se aleja para llenar un universo vacío; es el espacio-tiempo el que se extiende.Y es su expansión la que causa el incremento de la distancia física entre dos puntos fijos en nuestro universo.Cuando los objetos están ligados entre ellos (por ejemplo, por una galaxia), no se alejan con la expansión del espacio-tiempo, debido a que se asume que las leyes de la física que los gobiernan son uniformes e independientes del espacio métrico. Más aún, la expansión del universo en las escalas actuales locales es tan pequeña que cualquier dependencia de las leyes de la física en la expansión no sería medible con las técnicas actuales.

Evidencias

En general, se consideran tres las evidencias empíricas que apoyan la teoría cosmológica del Big Bang. Éstas son: la expansión del universo que se expresa en la Ley de Hubble y que se puede apreciar en el corrimiento hacia el rojo de las galaxias, las medidas detalladas del fondo cósmico de microondas, y la abundancia de elementos ligeros. Además, la función de correlación de la estructura a gran escala del Universo encaja con la teoría del Big Bang.

Expansión expresada en la ley de Hubble

Artículo principal: Ley de Hubble

De la observación de galaxias y quasares lejanos se desprende la idea de que estos objetos experimentan un corrimiento hacia el rojo, lo que quiere decir que la luz que emiten se ha desplazado proporcionalmente hacia longitudes de onda más largas. Esto se comprueba tomando el espectro de los objetos y comparando, después, el patrón espectroscópico de las líneas de emisión o absorción correspondientes a átomos de los elementos que interactúan con la radiación. En este análisis se puede apreciar cierto corrimiento hacia el rojo, lo que se explica por una velocidad recesional correspondiente al efecto Doppler en la radiación. Al representar estas velocidades recesionales frente a las distancias respecto a los objetos, se observa que guardan una relación lineal, conocida como Ley de Hubble:

donde v es la velocidad recesional, D es la distancia al objeto y H₀ es la constante de Hubble, que el satélite WMAP estimó en 71 ± 4 km/s/Mpc.

Radiación cósmica de fondo

Artículo principal: Radiación de fondo de microondas

Imagen de la radiación de fondo de microondas.

Una de las predicciones de la teoría del Big Bang es la existencia de la radiación cósmica de fondo, radiación de fondo de microondas o CMB (Cosmic microwave background). El universo temprano, debido a su alta temperatura, se habría llenado de luz emitida por sus otros componentes. Mientras el universo se enfriaba debido a la expansión, su temperatura habría caído por debajo de 3.000 K. Por encima de esta temperatura, los electrones y protones están separados, haciendo el universo opaco a la luz. Por debajo de los 3.000 K se forman los átomos, permitiendo el paso de la luz a través del gas del universo. Esto es lo que se conoce como disociación de fotones.

La radiación en este momento habría tenido el espectro del cuerpo negro y habría viajado libremente durante el resto de vida del universo, sufriendo un corrimiento hacia el rojo como consecuencia de la expansión de Hubble. Esto hace variar el espectro del cuerpo negro de 3.345 K a un espectro del cuerpo negro con una temperatura mucho menor. La radiación, vista desde cualquier punto del universo, parecerá provenir de todas las direcciones en el espacio.

En 1965, Arno Penzias y Robert Wilson, mientras desarrollaban una serie de observaciones de diagnóstico con un receptor de microondas propiedad de los Laboratorios Bell, descubrieron la radiación cósmica de fondo. Ello proporcionó una confirmación sustancial de las predicciones generales respecto al CMB —la radiación resultó ser isótropa y constante, con un espectro del cuerpo negro de cerca de 3 K— e inclinó la balanza hacia la hipótesis del Big Bang. Penzias y Wilson recibieron el Premio Nobel por su descubrimiento.

En 1989, la NASA lanzó el COBE (Cosmic background Explorer) y los resultados iniciales, proporcionados en 1990, fueron consistentes con las predicciones generales de la teoría del Big Bang acerca de la CMB. El COBE halló una temperatura residual de 2.726 K, y determinó que el CMB era isótropo en torno a una de cada 10⁵ partes. Durante la década de los 90 se investigó más extensamente la anisotropía en el CMB mediante un gran número de experimentos en tierra y, midiendo la distancia angular media (la distancia en el cielo) de las anisotropías, se vio que el universo era geométricamente plano.

A principios de 2003 se dieron a conocer los resultados de la Sonda Wilkinson de Anisotropías del fondo de Microondas (en inglés Wilkinson Microwave Anisotropy Probe o WMAP), mejorando los que hasta entonces eran los valores más precisos de algunos parámetros cosmológicos. (Véase también experimentos sobre el fondo cósmico de microondas). Este satélite también refutó varios modelos inflacionistas específicos, pero los resultados eran constantes con la teoría de la inflación en general.

Abundancia de elementos primordiales

Artículo principal: Nucleosíntesis primordial

Se puede calcular, usando la teoría del Big Bang, la concentración de helio-4, helio-3, deuterio y litio-7.1 en el universo como proporciones con respecto a la cantidad de hidrógeno normal, H. Todas las abundancias dependen de un solo parámetro: la razón entre fotones y bariones, que por su parte puede calcularse independientemente a partir de la estructura detallada de la radiación cósmica de fondo. Las proporciones predichas (en masa, no volumen) son de cerca de 0,25 para la razón ⁴He/H, alrededor de 10^-3 para ²He/H, y alrededor de 10^-4 para ³He/H.

Estas abundancias medidas concuerdan, al menos aproximadamente, con las predichas a partir de un valor determinado de la razón de bariones a fotones, y se considera una prueba sólida en favor del Big Bang, ya que esta teoría es la única explicación conocida para la abundancia relativa de elementos ligeros. De hecho no hay, fuera de la teoría del Big Bang, ninguna otra razón obvia por la que el universo debiera, por ejemplo, tener más o menos helio en proporción al hidrógeno.

Evolución y distribución galáctica

Las observaciones detalladas de la morfología y estructura de las galaxias y cuásares proporcionan una fuerte evidencia del Big Bang. La combinación de las observaciones con la teoría sugiere que los primeros cuásares y galaxias se formaron hace alrededor de mil millones de años después del Big Bang, y desde ese momento se han estado formando estructuras más grandes, como los cúmulos de galaxias y los supercúmulos. Las poblaciones de estrellas han ido envejeciendo y evolucionando, de modo que las galaxias lejanas (que se observan tal y como eran en el principio del universo) son muy diferentes a las galaxias cercanas (que se observan en un estado más reciente). Por otro lado, las galaxias formadas hace relativamente poco son muy diferentes a las galaxias que se formaron a distancias similares pero poco después del Big Bang. Estas observaciones son argumentos sólidos en contra de la teoría del estado estacionario. Las observaciones de la formación estelar, la distribución de cuásares y galaxias, y las estructuras más grandes concuerdan con las simulaciones obtenidas sobre la formación de la estructura en el universo a partir del Big Bang, y están ayudando a completar detalles de la teoría.

 

Otras evidencias

Después de cierta controversia, la edad del Universo estimada por la expansión Hubble y la CMB (Radiación cósmica de fondo) concuerda en gran medida (es decir, ligeramente más grande) con las edades de las estrellas más viejas, ambos medidos aplicando la teoría de la evolución estelar de los cúmulos globulares y a través de la fecha radiométrica individual en las estrellas de la segunda Población. En cosmología física, la teoría del Big Bang o teoría de la gran explosión es un modelo científico que trata de explicar el origen del Universo y su desarrollo posterior a partir de una singularidad espaciotemporal. Técnicamente, este modelo se basa en una colección de soluciones de las ecuaciones de la relatividad general, llamados modelos de Friedmann- Lemaître - Robertson - Walker. El término "Big Bang" se utiliza tanto para referirse específicamente al momento en el que se inició la expansión observable del Universo (cuantificada en la ley de Hubble), como en un sentido más general para referirse al paradigma cosmológico que explica el origen y la evolución del mismo.

Problemas comunes

Históricamente, han surgido varios problemas dentro de la teoría del Big Bang. Algunos de ellos sólo tienen interés histórico y han sido evitados, ya sea por medio de modificaciones a la teoría o como resultado de observaciones más precisas. Otros aspectos, como el problema de la penumbra en cúspide y el problema de la galaxia enana de materia oscura fría, no se consideran graves, dado que pueden resolverse a través de un perfeccionamiento de la teoría.

Existe un pequeño número de proponentes de cosmologías no estándar que piensan que no hubo Big Bang. Afirman que las soluciones a los problemas conocidos del Big Bang contienen modificaciones ad hoc y agregados a la teoría. Las partes más atacadas de la teoría incluyen lo concerniente a la materia oscura, la energía oscura y la inflación cósmica. Cada una de estas características del universo ha sido sugerida mediante observaciones de la radiación de fondo de microondas, la estructura a gran escala del cosmos y las supernovas de tipo IA, pero se encuentran en la frontera de la física moderna (ver problemas no resueltos de la física). Si bien los efectos gravitacionales de materia y energía oscuras son bien conocidos de forma observacional y teórica, todavía no han sido incorporados al modelo estándar de la física de partículas de forma aceptable. Estos aspectos de la cosmología estándar siguen sin tener una explicación adecuada, pero la mayoría de los astrónomos y los físicos aceptan que la concordancia entre la teoría del Big Bang y la evidencia observacional es tan cercana que permite establecer con cierta seguridad casi todos los aspectos básicos de la teoría.

Los siguientes son algunos de los problemas y enigmas comunes del Big Bang.

El problema del segundo principio de la termodinámica

Artículo principal: Segundo principio de la termodinámica

El problema del segundo principio de la termodinámica resulta del hecho de que de este principio se deduce que la entropía, el desorden, aumenta si se deja al sistema (el universo) seguir su propio rumbo. Una de las consecuencias de la entropía es el aumento en la proporción entre radiación y materia por lo tanto el universo debería terminar en una muerte térmica, una vez que la mayor parte de la materia se convierta en fotones y estos se diluyan en la inmensidad del universo.

Otro problema señalado por Roger Penrose es que la entropía parece haber sido anormalmente pequeña en el estado inicial del universo. Penrose evalúa la probabilidad de un estado inicial en aproximadamente: .^[2] De acuerdo con Penrose y otros, la teoría cosmológica ordinaria no explica porqué la entropía inicial del universo es tan anormalmente baja, y propone la hipótesis de curvatura de Weil en conexión con ella. De acuerdo con esa hipótesis una teoría cuántica de la gravedad debería dar una explicación tanto del porqué el universo se inició en un estado de curvatura de Weil nula y de una entropía tan baja. Aunque todavía no se ha logrado una teoría de la gravedad cuántica satisfactoria.

Por otro lado en la teoría standard el estado entrópico anormalmente bajo, se considera que es producto de una "gran casualidad" justificada en base al principio antrópico. Postura que Penrose y otros consideran filosóficamente insatisfactoria.

El problema del horizonte

Artículo principal: Problema del horizonte

El problema del horizonte, también llamado problema de la causalidad, resulta del hecho de que la información no puede viajar más rápido que la luz, de manera que dos regiones en el espacio separadas por una distancia mayor que la velocidad de la luz multiplicada por la edad del universo no pueden estar causalmente conectadas. En este sentido, la isotropía observada de la radiación de fondo de microondas (CMB) resulta problemática, debido a que el tamaño del horizonte de partículas en ese tiempo corresponde a un tamaño de cerca de dos grados en el cielo. Si el universo hubiera tenido la misma historia de expansión desde la época de Planck, no habría mecanismo que pudiera hacer que estas regiones tuvieran la misma temperatura.

Esta aparente inconsistencia se resuelve con la teoría inflacionista, según la cual un campo de energía escalar isótropo domina el universo al transcurrir un tiempo de Planck luego de la época de Planck. Durante la inflación, el universo sufre una expansión exponencial, y regiones que se afectan mutuamente se expanden más allá de sus respectivos horizontes. El principio de incertidumbre de Heisenberg predice que durante la fase inflacionista habrá fluctuaciones primordiales, que se simplificarán hasta la escala cósmica. Estas fluctuaciones sirven de semilla para toda la estructura actual del universo. Al pasar la inflación, el universo se expande siguiendo la ley de Hubble, y las regiones que estaban demasiado lejos para afectarse mutuamente vuelven al horizonte. Esto explica la isotropía observada de la CMB. La inflación predice que las fluctuaciones primordiales son casi invariantes según la escala y que tienen una distribución normal o gaussiana, lo cual ha sido confirmado con precisión por medidas de la CMB.

En 2003 apareció otra teoría para resolver este problema, la velocidad variante de la luz de João Magueijo, que aunque a la larga contradice la relatividad de Einstein usa su ecuación incluyendo la constante cosmológica para resolver el problema de una forma muy eficaz que también ayuda a solucionar el problema de la planitud.

El problema de la planitud

Artículo principal: Problema de la planitud

El problema de la planitud (flatness problem en inglés) es un problema observacional que resulta de las consecuencias que la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker tiene para con la geometría del universo. En general, se considera que existen tres tipos de geometrías posibles para nuestro universo según su curvatura espacial: geometría elíptica (curvatura positiva), geometría hiperbólica (negativa) y geometría euclidiana o plana (curvatura nula).

Dicha geometría viene determinada por la cantidad total de densidad de energía del universo (medida mediante el tensor de tensión-energía). Siendo Ω el cociente entre la densidad de energía ρ medida observacionalmente y la densidad crítica ρ_c, se tiene que para cada geometría las relaciones entre ambos parámetros han de ser :

La densidad en el presente es muy cercana a la densidad crítica, o lo que es lo mismo, el universo hoy es espacialmente plano, dentro de una buena aproximación. Sin embargo, las diferencias con respecto a la densidad crítica crecen con el tiempo, luego en el pasado la densidad tuvo que ser aún más cercana a esta. Se ha medido que en los primeros momentos del universo la densidad era diferente a la crítica tan sólo en una parte en 10¹⁵ (una milbillonésima parte). Cualquier desviación mayor hubiese conducido a una muerte térmica o un Big Crunch y el universo no sería como ahora.

Una solución a este problema viene de nuevo de la teoría inflacionaria. Durante el periodo inflacionario el espacio-tiempo se expandió tan rápido que provocó una especie de estiramiento del universo acabando con cualquier curvatura residual que pudiese haber. Así la inflación pudo hacer al universo plano.

Edad de los cúmulos globulares

A mediados de los años 90, las observaciones realizadas de los cúmulos globulares parecían no concondar con la Teoría del Big Bang. Las simulaciones realizadas por ordenador de acuerdo con las observaciones de las poblaciones estelares de cúmulos de galaxias sugirieron una edad de cerca de 15.000 millones de años, lo que entraba en conflicto con la edad del universo, estimada en 13.700 millones de años. El problema quedó resuelto a finales de esa década, cuando las nuevas simulaciones realizadas, que incluían los efectos de la pérdida de masa debida a los vientos estelares, indicaron que los cúmulos globulares eran mucho más jóvenes. Quedan aún en el aire algunas preguntas en cuanto a con qué exactitud se miden las edades de los cúmulos, pero está claro que éstos son algunos de los objetos más antiguos del universo.

Monopolos magnéticos

La objeción de los monopolos magnéticos fue propuesta a finales de la década de 1970. Las teorías de la gran unificación predicen defectos topológicos en el espacio que se manifestarían como monopolos magnéticos encontrándose en el espacio con una densidad mucho mayor a la observada. De hecho, hasta ahora, no se ha dado con ningún monopolo. Este problema también queda resuelto mediante la inflación cósmica, dado que ésta elimina todos los puntos defectuosos del universo observable de la misma forma que conduce la geometría hacia su forma plana. Es posible que aun así pueda haber monopolos pero se ha calculado que apenas si habría uno por cada universo visible, una cantidad ínfima y no observable en todo caso.

Materia oscura

En las diversas observaciones realizadas durante las décadas de los 70 y 80 (sobre todo las de las curvas de rotación de las galaxias) se mostró que no había suficiente materia visible en el universo para explicar la intensidad aparente de las fuerzas gravitacionales que se dan en y entre las galaxias. Esto condujo a la idea de que hasta un 90% de la materia en el universo no es materia común o bariónica sino materia oscura. Además, la asunción de que el universo estuviera compuesto en su mayor parte por materia común llevó a predicciones que eran fuertemente inconsistentes con las observaciones. En particular, el universo es mucho menos "inhomogéneo" y contiene mucho menos deuterio de lo que se puede considerar sin la presencia de materia oscura. Mientras que la existencia de la materia oscura era inicialmente polémica, ahora es una parte aceptada de la cosmología estándar, debido a las observaciones de las anisotropías en el CMB, dispersión de velocidades de los cúmulos de galaxias, y en las estructuras a gran escala, estudios de las lentes gravitacionales y medidas por medio de rayos x de los cúmulos de galaxias. La materia oscura se ha detectado únicamente a través de su huella gravitacional; no se ha observado en el laboratorio ninguna partícula que se le pueda corresponder. Sin embargo, hay muchos candidatos a materia oscura en física de partículas (como, por ejemplo, las partículas pesadas y neutras de interacción débil o WIMP (Weak Interactive Massive Particles), y se están llevando a cabo diversos proyectos para detectarla.

Energía oscura

En los años 90, medidas detalladas de la densidad de masa del universo revelaron que ésta sumaba en torno al 30% de la densidad crítica. Puesto que el universo es plano, como indican las medidas del fondo cósmico de microondas, quedaba un 70% de densidad de energía sin contar. Este misterio aparece ahora conectado con otro: las mediciones independientes de las supernovas de tipo Ia han revelado que la expansión del universo experimenta una aceleración de tipo no lineal, en vez de seguir estrictamente la Ley de Hubble. Para explicar esta aceleración, la relatividad general necesita que gran parte del universo consista en un componente energético con gran presión negativa. Se cree que esta energía oscura constituye ese 70% restante. Su naturaleza sigue siendo uno de los grandes misterios del Big Bang. Los candidatos posibles incluyen una constante cosmológica escalar y una quintaesencia. Actualmente se están realizando observaciones que podrían ayudar a aclarar este punto.

 

El futuro de acuerdo con la teoría del Big Bang

Antes de las observaciones de la energía oscura, los cosmólogos consideraron dos posibles escenarios para el futuro del universo. Si la densidad de masa del Universo se encuentra sobre la densidad crítica, entonces el Universo alcanzaría un tamaño máximo y luego comenzaría a colapsarse. Éste se haría más denso y más caliente nuevamente, terminando en un estado similar al estado en el cual empezó en un proceso llamado Big Crunch. Por otro lado, si la densidad en el Universo es igual o menor a la densidad crítica, la expansión disminuiría su velocidad, pero nunca se detendría. La formación de estrellas cesaría mientras el Universo en crecimiento se haría menos denso cada vez. El promedio de la temperatura del universo podría acercarse asintóticamente al cero absoluto (0 K ó -273,15 °C). Los agujeros negros se evaporarían por efecto de la radiación de Hawking. La entropía del universo se incrementaría hasta el punto en que ninguna forma de energía podría ser extraída de él, un escenario conocido como muerte térmica. Más aún, si existe la descomposición del protón, proceso por el cual un protón decaería a partículas menos masivas emitiendo radiación en el proceso, entonces todo el hidrógeno, la forma predominante del materia bariónica en el universo actual, desaparecería a muy largo plazo, dejando solo radiación.

Las observaciones modernas de la expansión acelerada implican que cada vez una mayor parte del universo visible en la actualidad quedará más allá de nuestro horizonte de sucesos y fuera de contacto. Se desconoce cuál sería el resultado de este evento. El modelo Lambda-CMD del universo contiene energía oscura en la forma de una constante cosmológica (de alguna manera similar a la que había incluido Einstein en su primera versión de las ecuaciones de campo). Esta teoría sugiere que sólo los sistemas mantenidos gravitacionalmente, como las galaxias, se mantendrían juntos, y ellos también estarían sujetos a la muerte térmica a medida que el universo se enfriase y expandiese. Otras explicaciones de la energía oscura-llamadas teorías de la energía fantasma sugieren que los cúmulos de galaxias y finalmente las galaxias mismas se desgarrarán por la eterna expansión del universo, en el llamado Big Rip.

Véase también: Destino último del universo

Física especulativa más allá del Big Bang

A pesar de que el modelo del Big Bang se encuentra bien establecido en la cosmología, es probable que se redefina en el futuro. Se tiene muy poco conocimiento sobre el universo más temprano, durante el cual se postula que ocurrió la inflación. También es posible que en esta teoría existan porciones del Universo mucho más allá de lo que es observable en principio. En la teoría de la inflación, esto es un requisito: La expansión exponencial ha empujado grandes regiones del espacio más allá de nuestro horizonte observable. Puede ser posible deducir qué ocurrió cuando tengamos un mejor entendimiento de la física a altas energías. Las especulaciones hechas al respecto, por lo general involucran teorías de gravedad cuántica.

Algunas propuestas son:

• inflación caótica
• cosmología de branas incluyendo el modelo ekpirótico en el cual el Big Bang es el resultado de una colisión entre membranas.
• un universo oscilante en el cual el estado primitivo denso y caliente del universo temprano deriva del Big Crunch de un universo similar al nuestro. El universo pudo haber atravesado un número infinito de big bangs y big crunchs. El cíclico, una extensión del modelo ekpirótico, es una variación moderna de esa posibilidad.
• modelos que incluyen la condición de contorno de Hartle-Hawking en la cual totalidad del espacio-tiempo es finito. Algunas posibilidades son compatibles cualitativamente unas con otras. En cada una se encuentran involucradas hipótesis aún no testeadas.

Interpretaciones filosóficas y religiosas

Existe un gran número de interpretaciones sobre la teoría del Big Bang que son completamente especulativas o extra-científicas. Algunas de estas ideas tratan de explicar la causa misma del Big Bang (primera causa), y fueron criticadas por algunos filósofos naturalistas por ser solamente nuevas versiones de la creación. Algunas personas creen que la teoría del Big Bang brinda soporte a antiguos enfoques de la creación, como por ejemplo el que se encuentra en el Génesis (ver creacionismo), mientras otros creen que todas las teorías del Big Bang son inconsistentes con las mismas.

El Big Bang como teoría científica no se encuentra asociado con ninguna religión. Mientras algunas interpretaciones fundamentalistas de las religiones entran en conflicto con la historia del universo postulada por la teoría del Big Bang, la mayoría de las interpretaciones son liberales. A continuación sigue una lista de varias interpretaciones religiosas de la teoría del Big Bang (que son hasta cierto punto incompatibles con la propia descripción científica del mismo):

• En la Biblia cristiana aparecen dos versículos que hablarían del big bang y el big crunch: «Él está sentado sobre el círculo de la tierra, cuyos moradores son como langostas; él extiende los cielos como una cortina, los despliega como una tienda para morar» (Isaías 40.22). «Y todo el ejército de los cielos se disolverá, y se enrollarán los cielos como un libro; y caerá todo su ejército como se cae la hoja de la parra, y como se cae la de la higuera» (Isaías 34.4)^[3]
  • La Iglesia Católica Romana ha aceptado el Big Bang como una descripción del origen del Universo. Se ha sugerido que la teoría del Big Bang es compatible con las vías de santo Tomás de Aquino, en especial con la primera de ellas sobre el movimiento, así como con la quinta.
• Algunos estudiantes del Kabbalah, el deísmo y otras fes no antropomórficas, concuerdan con la teoría del Big Bang, conectándola por ejemplo con la teoría de la "retracción divina" (tzimtzum) como es explicado por el judío Moisés Maimónides.
• Algunos musulmanes modernos creen que el Corán hace un paralelo con el Big Bang en su relato sobre la creación: «¿No ven los no creyentes que los cielos y la Tierra fueron unidos en una sola unidad de creación, antes de que nosotros los separásemos a la fuerza? Hemos creado todos los seres vivientes a partir del agua» (capítulo 21, versículo 30). El Corán también parece describir un universo en expansión: «Hemos construido el cielo con poder, y lo estamos expandiendo» (52.47).
• Algunas ramas teístas del hinduismo, tales como las tradiciones vishnuistas, conciben una teoría de la creación con ejemplos narrados en el tercer canto del Bhagavata Purana (principalmente, en los capítulos 10 y 26), donde se describe un estado primordial se expande mientras el Gran Vishnú observa, transformándose en el estado activo de la suma total de la materia (prakriti).
• El budismo posee una concepción del universo en el cual no hay un evento de creación. Sin embargo, no parece ser que la teoría del Big Bang entrara en conflicto con la misma, ya que existen formas de obtener un universo eterno según el paradigma. Cierto número de populares filósofos Zen estuvieron muy interesados, en particular, por el concepto del universo oscilante.

Véase también

• Cosmos
• Cronología de la cosmología
• Cronología del Big Bang
• Cosmología
• Modelo Lambda-CDM
• Agujero blanco
• Big Bounce
• Big Crunch
• Big Freeze
• Big Rip
• Singularidad desnuda
• Universo
• Ylem

Referencia

1. ↑ Michio Kaku, El Universo de Einstein, p. 109.
2. ↑ R. Penrose, 1996, p.309
3. ↑ La conexión del versículo 4 del capítulo 34 del libro de Isaías con el big crunch es, por lo menos, dudosa. De la lectura del capítulo se desprende que está hablando de la destrucción definitiva de Edom. En la Biblia es bastante común el lenguaje simbólico y suele utilizarse la expresión cielos como símbolo y sinónimo de gobierno, pues el «cielo» es lo que está encumbrado, en las alturas, como los reyes y las clases dirigentes. Isaías 14:12 describe a la dinastía de Nabucodonosor como semejante a estrella. Menciona en exclamación cómo ha caído del cielo el «resplandeciente hijo del alba». Al derrocar al reino davídico autorizado por Dios,la dinastía babilonia se ensalzó a sí misma hasta los cielos, de donde provenía la autoridad de estos reinos, según el contenido bíblico (Isaías 14: 13, 14). El derrocamiento del reino davídico se refiere a la primera destrucción del Templo y de Jerusalén a manos de los babilonios. El versículo 15 indica que se le hará descender al sheol, en hebreo: tumba.

Bibliografía

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• GREEN, BRIAN. El tejido del cosmos. Espacio, tiempo y la textura de la realidad. Crítica. Barcelona (2006). ISBN 978-84-8432-737-0.
• GRIBBIN, John. En busca del Big Bang. Colección "Ciencia hoy". Madrid: Ediciones Pirámide, 09/1989. ISBN 84-368-0421-X e ISBN 978-84-368-0421-8.
• HAWKING, S. W. Historia del tiempo: del Big Bang a los agujeros negros. Barcelona: Círculo de Lectores, 09/1991. ISBN 84-226-2715-9 e ISBN 978-84-226-2715-9.
• PENROSE, ROGER, La nueva mente del emperador, Fondo de Cultura Económica, México D.F. (1996). ISBN 978-968-13-4361-3

• WEINBERG, STEVEN, Los tres primeros minutos del universo, Alianza, Madrid (1999). ISBN 978-84-206-6730-0.

Introducciones técnicas

• S. Dodelson, Modern Cosmology, Academic Press (2003). Released slightly before the WMAP results, this is the most modern introductory textbook.
• E. W. Kolb and M. S. Turner, The Early Universe, Addison-Wesley (1990). This is the classic reference for cosmologists.
• P. J. E. Peebles, Principles of Physical Cosmology, Princeton University Press (1993). Peebles' book has a strong historical focus.

Fuentes de primera mano

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• G. Lemaître, Nature 128 (1931) suppl.: 704, with a reference to the primeval atom.
• R. A. Alpher, H. A. Bethe, G. Gamow, "The Origin of Chemical Elements, "Physical Review 73 (1948), 803. The so-called αβγ paper, in which Alpher and Gamow suggested that the light elements were created by protons capturing neutrons in the hot, dense early universe. Bethe's name was added for symmetry.
• G. Gamow, "The Origin of Elements and the Separation of Galaxies," Physical Review 74 (1948), 505. These two 1948 papers of Gamow laid the foundation for our present understanding of big-bang nucleosynthesis.
• G. Gamow, Nature 162 (1948), 680.
• R. A. Alpher, "A Neutron-Capture Theory of the Formation and Relative Abundance of the Elements," Physical Review 74 (1948), 1737.
• R. A. Alpher and R. Herman, "On the Relative Abundance of the Elements," Physical Review 74 (1948), 1577. This paper contains the first estimate of the present temperature of the universe.
• R. A. Alpher, R. Herman, and G. Gamow Nature 162 (1948), 774.
• A. A. Penzias and R. W. Wilson, "A Measurement of Excess Antenna Temperature at 4080 Mc/s," Astrophysical Journal 142 (1965), 419. The paper describing the discovery of the cosmic microwave background.
• R. H. Dicke, P. J. E. Peebles, P. G. Roll and D. T. Wilkinson, "Cosmic Black-Body Radiation," Astrophysical Journal 142 (1965), 414. The theoretical interpretation of Penzias and Wilson's discovery.
• A. D. Sakharov, "Violation of CP invariance, C asymmetry and baryon asymmetry of the universe," Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 5, 32 (1967), translated in JETP Lett. 5, 24 (1967).
• R. A. Alpher and R. Herman, "Reflections on early work on 'big bang' cosmology" Physics Today Aug 1988 24–34. A review article.

Religión y filosofía

• Jean-Marc Rouvière, Brèves méditations sur la création du monde, Ed. L'Harmattan, París, 2006.
• Leeming, David Adams, and Margaret Adams Leeming, A Dictionary of Creation Myths. Oxford University Press (1995), ISBN 0-19-510275-4.
• Pío XII (1952), "Modern Science and the Existence of God," The Catholic Mind 49:182–192.

Artículos de investigación

La mayoría de los artículos científicos sobre cosmología están disponibles como preimpresos en [1]. Generalmente son muy técnicos, pero algunas veces tienen una introducción clara en inglés. Los archivos más relevantes, que cubren experimentos y teoría están el el archivo de astrofísica, donde se ponen a disposición artículos estrechamente basados en observaciones, y el archivo de relatividad general y cosmología cuántica, el cual cubre terreno más especulativo. Los artículos de interés para los cosmólogos también aparecen con frecuencia en el archivo sobre Fenómenos de alta energía y sobre teoría de alta energía.

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Teoría del Big Bang. Commons
• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Teoría del Big Bang. Wikiquote
• Modelo Cosmológico Estándar
• Open Directory Project: Cosmology
• PBS.org, "From the Big Bang to the End of the Universe. The Mysteries of Deep Space Timeline"
• "Welcome to the History of the Universe". Penny Press Ltd.
• Cambridge University Cosmology, "The Hot Big Bang Model". Includes a discussion of the problems with the big bang.
• Smithsonian Institution, "UNIVERSE! - The Big Bang and what came before".
• D'Agnese, Joseph, "The last Big Bang man left standing, physicist Ralph Alpher devised Big Bang Theory of universe". Discover, July 1999.
• Felder, Gary, "The Expanding Universe".
• LaRocco, Chris and Blair Rothstein, "THE BIG BANG: It sure was BIG!!".
• Mather, John C., and John Boslough 1996, The very first light: the true inside story of the scientific journey back to the dawn of the universe. ISBN 0-465-01575-1 p.300
• Shestople, Paul, ""Big Bang Primer".
• Singh, Simon, Big Bang: the origin of the universe, Fourth Estate (2005). A historical review of the big bang.
• Wright, Edward L., "Brief History of the Universe".
• Ciertos científicos escriben acerca del big bang.
• Grant, Ted. Woods Alan. "El big bang" , capítulo del libro Razón y Revolución, Fundación Federico Engels.

 Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_Big_Bang"

Categorías: Cosmología | Cosmología física

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CIENCIA7: EL INSTANTE CERO. En física, la energía del punto cero es la energía más baja que un sistema físico mecano-cuántico puede poseer, y es la energía del estado fundamental del sistema. El concepto de la energía del punto cero fue propuesto por Albert Einstein y Otto Stern en 1913, y fue llamada en un principio "energía residual". El término energía del punto cero es una traducción del alemán Nullpunktsenergie. Todos los sistemas mecano-cuánticos tienen energía de punto cero. El término emerge comúnmente como referencia al estado base del oscilador armónico cuántico y sus oscilaciones nulas. En la teoría de campos cuántica, es un sinónimo de la energía del vacío o de la energía oscura, una cantidad de energía que se asocia con la vacuidad del espacio vacío. En cosmología, la energía del vacío es tomada como la base para la constante cosmológica. A nivel experimental, la energía del punto cero genera el efecto Casimir, y es directamente observable en dispositivos nanométricos.

Energía del punto cero

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En física, la energía del punto cero es la energía más baja que un sistema físico mecano-cuántico puede poseer, y es la energía del estado fundamental del sistema. El concepto de la energía del punto cero fue propuesto por Albert Einstein y Otto Stern en 1913, y fue llamada en un principio "energía residual". El término energía del punto cero es una traducción del alemán Nullpunktsenergie. Todos los sistemas mecano-cuánticos tienen energía de punto cero. El término emerge comúnmente como referencia al estado base del oscilador armónico cuántico y sus oscilaciones nulas. En la teoría de campos cuántica, es un sinónimo de la energía del vacío o de la energía oscura, una cantidad de energía que se asocia con la vacuidad del espacio vacío. En cosmología, la energía del vacío es tomada como la base para la constante cosmológica. A nivel experimental, la energía del punto cero genera el efecto Casimir, y es directamente observable en dispositivos nanométricos.

Debido a que la energía del punto cero es la energía más baja que un sistema puede tener, no puede ser eliminada de dicho sistema. Un término relacionado es el campo del punto cero que es el estado de energía más bajo para un campo, su estado base, que no es cero.

Pese a la definición, el concepto de energía del punto cero y la posibilidad de extraer "energía gratuita" del vacío han atraído la atención de inventores principiantes. Numerosas máquinas de movimiento perpetuo y otros equipos pseudocientíficos, son frecuentemente llamados dispositivos de energía libre, con el propósito de explotar la idea. Como resultado de esta actividad y su intrigante explicación teórica, el concepto ha adquirido vida propia en la cultura popular, apareciendo en libros de ciencia ficción, juegos y películas.

Contenido [ocultar] 1 Historia 2 Fundamentos físicos 3 Variedades de energía del punto cero 4 Evidencia experimental 5 Gravitación y Cosmología 6 Utilización en propulsión y levitación 7 Dispositivos de "Energía gratuita" 8 Véase también 9 Referencias 10 Lecturas complementarias 11 Enlaces externos

[editar] Historia

En 1900, Max Planck dedujo la fórmula para la energía de un "radiador de energía" aislado, i.e. una unidad atómica vibratoria, como:

Aquí, h es la constante de Planck, ν es la frecuencia, k es la constante de Boltzmann, y T es la temperatura.

En 1913, utilizando esta fórmula como base, Albert Einstein y Otto Stern publicaron un artículo de gran importancia donde sugerían por primera vez la existencia de una energía residual que todos los osciladores tienen en el cero absoluto. Llamaron a esto "energía residual", o Nullpunktsenergie (en Alemán), que fue más tarde traducido como energía del punto cero. Realizaron un análisis del calor específico del gas hidrógeno a baja temperatura, y concluyeron que los datos se representan mejor si la energía vibracional es elegida para que tome la forma:^[1]

Por lo que, de acuerdo a esta expresión, incluso en el cero absoluto la energía de un sistema atómico tiene el valor ½hν.^[2]

[editar] Fundamentos físicos

En física clásica, la energía de un sistema es relativa, y se define únicamente en relación a algún estado dado (a menudo llamado estado de referencia). Típicamente, uno puede asociar a un sistema sin movimiento una energía cero, aunque hacerlo es puramente arbitrario.

En física cuántica, es natural asociar la energía con el valor esperado de un cierto operador, el Hamiltoniano del sistema. Para casi todos los sistemas mecano-cuánticos, el valor esperado más bajo posible que este operador puede tener no es cero; a este valor más bajo posible se le denomina energía del punto cero. (Nota: Si añadimos una constante arbitraria al Hamiltoniano, obtenemos otra teoría que es físicamente equivalente al Hamiltoniano previo. A causa de esto, sólo la energía relativa es observable, no la energía absoluta. Sin embargo, esto no cambia el hecho de que el momento mínimo es no nulo).

El origen de una energía mínima no nula puede ser intuitivamente comprendido en términos del principio de indeterminación de Heisenberg. Este principio establece que la posición y el momentum de una partícula en mecánica cuántica no pueden simultáneamente ser ambos conocidos con precisión. Si la partícula es confinada a un pozo de potencial, entonces su posición es como mínimo parcialmente conocida: debe estar en el pozo. Por ello, uno puede deducir que en el pozo, la partícula no puede tener momento cero, pues de lo contrario se violaría el principio de incertidumbre. Porque la energía cinética de una partícula en movimiento es proporcional al cuadrado de su velocidad, no puede ser cero tampoco. Este ejemplo, sin embargo, no es aplicable a una partícula libre - la energía cinética de la cual si puede ser cero.

[editar] Variedades de energía del punto cero

La idea de la energía del punto cero está presente en diferentes situaciones, y es importante distinguirlas, y notar que hay muchos conceptos muy relacionados.

En mecánica cuántica ordinaria, la energía del punto cero es la energía asociada con el estado fundamental del sistema. El más famoso ejemplo de este tipo es la energía asociada con el estado fundamental del oscilador armónico cuántico. Más exactamente, la energía del punto cero es el valor esperado del Hamiltoniano del sistema.

En teoría cuántica de campos, el tejido del espacio se visualiza como si estuviera compuesto de campos, con el campo en cada punto del espacio-tiempo siendo un oscilador armónico simple cuantizado, que interactúa con los osciladores vecinos. En este caso, cada uno tiene una contribución de de cada punto del espacio, resultando en una energía del punto cero técnicamente infinita. La energía de punto cero es de nuevo el valor esperado del Hamiltoniano; aquí, sin embargo, la frase valor esperado del vacío es más comúnmente utilizada, y la energía es bautizada como energía del vacío.

En la teoría de perturbaciones cuántica, se dice a veces que la contribución de los diagramas de Feynman de un bucle único y de bucles múltiples al propagador de la partícula elemental son las contribuciones de las fluctuaciones del vacío o de la energía del punto cero a la masa de las partículas.

[editar] Evidencia experimental

La evidencia experimental más simple de la existencia de la energía del punto cero en la teoría cuántica de campos es el Efecto Casimir. Este efecto fue propuesto en 1948 por el físico holandés Hendrik B. G. Casimir, quien analizó el campo electromagnético cuantizado entre dos placas metálicas paralelas sin carga eléctrica. Una pequeña fuerza puede medirse entre las placas, que es directamente atribuible a un cambio en la energía del punto cero del campo electromagnético entre las placas.

Aunque el efecto Casimir al principio fue difícil de medir, porque sus efectos pueden verse únicamente a distancias muy pequeñas, el efecto es muy importante en nanotecnología. No sólo es el efecto Casimir fácilmente medido en dispositivos nanotecnológicos especialmente diseñados, sino que se debe tener en cuenta cada vez más en el diseño y en el proceso de manufactura de los mismos. Puede ejercer fuerzas significativas y tensiones sobre los dispositivos nanotecnológicos, causando que se doblen, tuerzan, o incluso que se rompan.

Otras evidencias experimentales incluyen la emisión espontánea de luz (fotones) por átomos y nucleos, el efecto Lamb de las posiciones de los niveles de energía de los átomos, los valores anómalos de la tasa giromagnética del electrón, etc.

[editar] Gravitación y Cosmología

Problemas no resueltos de la física: ¿Porqué la energía del punto cero del vacío no produce una gran constante cosmológica? ¿Qué la anula?

En cosmología, la energía del punto cero ofrece una posibilidad intrigante para explicar los especulativos valores positivos de la constante cosmológica. En resumen, si la energía está "realmente allí", entonces debería ejercer una fuerza gravitacional. En relatividad general, la masa y la energía son equivalentes; y cualquiera de ambas puede producir un campo gravitatorio.

Una dificultad obvia con esta asociación es que la energía del punto cero del vacío es absurdamente enorme. De hecho, es infinita, pero uno podría decir que la nueva física se cancela en la escala de Planck, por lo que su crecimiento debería cortarse en este punto. Incluso así, lo que queda es tan grande que doblaría el espacio de forma claramente visible, por lo que parece que tenemos aquí una contradicción. No hay salida fácil del problema, y reconciliar la enorme energía del punto cero del espacio con la constante cosmológica observada, que es pequeña o nula, ha llegado a ser uno de los problemas importantes de la física teórica, y se ha convertido en un criterio para juzgar un candidato a la Teoría de Todo.

[editar] Utilización en propulsión y levitación

Otra área de la investigación en el campo de la energía del punto cero es cómo puede ser utilizada para propulsión. NASA y British Aerospace tienen programas de investigación con este objetivo, pero producir tecnología práctica es todavía algo muy lejano. Para tener éxito en esta tarea, tendría que ser posible crear efectos repulsivos en el vacío cuántico, lo que de acuerdo a la teoría debería ser posible, y se están diseñando experimentos para producir y medir estos efectos en el futuro.

El Catedrático Ulf Leonhardt y el Doctor Thomas Philbin, de la University of St Andrews en Escocia, han trabajado en una forma de invertir el efecto Casimir, para que sea repulsivo en vez de atractivo. Su descubrimiento puede conducir a la construcción de micromáquinas sin fricción con partes móviles que leviten.^[3]

Rueda, Haisch y Puthoff^{[4] [5] [6]} han propuesto que un objeto masivo acelerado interactúa con el campo de punto cero para producir una fuerza de freno electromagnética que es la verdadera responsable del fenómeno de la inercia; ver electrodinámica estocástica.

[editar] Dispositivos de "Energía gratuita"

El efecto Casimir ha establecido la energía del punto cero como un fenómeno científicamente aceptado. Sin embargo, el término energía del punto cero ha sido igualmente asociado con un área altamente controvertida - el diseño e invención de los llamados ingenios de "energía gratuita", similares a las máquinas de movimiento perpetuo del pasado. Tal es el caso de John Hutchinson [1] un apasionado canadiense del tema de energía libre que asegura haber obtenido una forma de extraer energía del punto cero, con el cual se podría tener baterías de una duración de 1000 años.

[editar] Véase también

• Bosón de Higgs
• Energía
• Espuma cuántica

[editar] Referencias

1. ↑ Laidler, Keith, J. (2001). The World of Physical Chemistry. Oxford University Press. ISBN 0-19-855919-4. 
2. ↑ Introduction to Zero-Point Energy - Calphysics Institute
3. ↑ Telegraph article Physicists have 'solved' mystery of levitation published July 8, 2007 See also physicsworld and st-andrews.ac.uk.
4. ↑ Haisch, Bernard; Alphonso Rueda, H.E. Puthoff (February 1994). «Inertia as a zero-point-field Lorentz force». Physical Review A 49 (2):  pp. 678-694. http://www.calphysics.org/articles/PRA94.pdf. 
5. ↑ Rueda, Alfonso; Bernhard Haisch (1998). «Contribution to inertial mass by reaction of the vacuum to accelerated motion». Found.Phys. 28:  pp. 1057-1108. http://xxx.arxiv.org/abs/physics/9802030. 
6. ↑ Rueda, Alfonso; Bernhard Haisch (1998). «Inertia as reaction of the vacuum to accelerated motion». Phys.Lett. A240:  pp. 115-126. http://xxx.arxiv.org/abs/physics/9802031. 

[editar] Lecturas complementarias

• Beiser, Arthur (1967). Concepts of Modern Physics. McGraw-Hill. 
• Albert Einstein and L. Hopf (1910). «On a theorem of the probability calculus and its application to the theory of radiation». Ann. Phys. 33:  pp. 1096–1104. 
• Albert Einstein and L. Hopf (1910). «Statistical investigation of a resonator’ s motion in a radiation field». Ann. Phys. 33:  pp. 1105–1115. 
• Albert Einstein and Otto Stern, (1913). «—». Ann. Phys. 40:  pp. 551. 
• Forward, R. (1984). «Extracting electrical energy from the vacuum by cohesion of charged foliated conductors». Phys. Rev. B 30:  pp. 1700. http://www.calphysics.org/articles/Forward1984.pdf. 
• (February 1996)."Mass Modification Experiment Definition". Forward Unlimited.
• Bernard Haisch, Alfonso Rueda and York Dobyns (2001). «Inertial mass and the quantum vacuum fields». Annalen der Physik 10:  pp. 393-414. http://www.calphysics.org/articles/annalen.pdf. 
• Loudon, R. (September 2000). The Quantum Theory of Light (Third Edition edición). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850176-5. 
• Milonni, Peter W. (1994). The Quantum Vacuum: an Introduction to Quantum Electrodynamics. New York: Academic. ISBN 0-12-498080-5. 
• Nernst, W. (1916). «—». Verh. Deutsch Phys. Ges. 18:  pp. 83. 
• Alfonso Rueda and Bernard Haisch (2005). «Gravity and the Quantum Vacuum Inertia Hypothesis». Annalen der Physik 14:  pp. 479-498. http://www.calphysics.org/articles/gravity_arxiv.pdf. 
• Cook, Nick (2001). The Hunt for Zero Point. London: Century. ISBN 0-7126-6953-1. 
• Sciama, D. W. (1991). Simon Saunders and Henry R. Brown, eds. ed. The Philosophy of Vacuum. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-824449-5. 

[editar] Enlaces externos

• Zero-point energy? "Ask the Van" popular science FAQ at University of Illinois.
• Philip Yam, "Exploiting Zero-point Energy", Scientific American Magazine, December 1997, pp. 82-85.
• Alokik Kanwal, Zero-point energy (Power Point presentation; rutgers.edu)

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_del_punto_cero"

Categorías: Problemas no resueltos de la física | Mecánica cuántica

CIENCIA7: CURVATURA DEL ESPACIO-TIEMPO. La curvatura del espacio-tiempo es una de las principales consecuencias de la teoría de la relatividad general de acuerdo con la cual la gravedad es efecto o consecuencia de la geometría curva del espacio-tiempo. Los cuerpos dentro de un campo gravitatorio siguen una trayectoria espacial curva, aun cuando en realidad pueden estar moviéndose según líneas de universo lo más "rectas" posibles a través un espacio-tiempo curvado. Las líneas más "rectas" posibles de un espacio-tiempo se llaman líneas geodésicas y son líneas de curvatura mínima.

Curvatura del espacio-tiempo

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Esquema de la curvatura del espacio-tiempo.

La curvatura del espacio-tiempo es una de las principales consecuencias de la teoría de la relatividad general de acuerdo con la cual la gravedad es efecto o consecuencia de la geometría curva del espacio-tiempo. Los cuerpos dentro de un campo gravitatorio siguen una trayectoria espacial curva, aun cuando en realidad pueden estar moviéndose según líneas de universo lo más "rectas" posibles a través un espacio-tiempo curvado. Las líneas más "rectas" posibles de un espacio-tiempo se llaman líneas geodésicas y son líneas de curvatura mínima.

Contenido [ocultar] 1 Historia de las geometrías no euclídeas 2 Bases matemáticas 3 Midiendo el espacio-tiempo curvo 4 Véase también

[editar] Historia de las geometrías no euclídeas

Las ideas básicas que llevaron a la noción de que el espacio físico es curvo y por tanto no euclídeo a los muchos intentos, a lo largo de varios siglos, para probar si el quinto postulado de Euclides podía derivarse del resto de axiomas de la geometría euclídea. Este postulado afirma que fijada una recta y un punto exterior a ésta, existe una y sólo una recta paralela a la primera que pase por dicho punto.

Esos intentos culminaron con la constatación por Bolyai y Gauss de que este axioma o postulado de las paralelas puede obviarse, y se pueden construir geometrías donde simplemente el postulado es falso, dando lugar a las geometría no euclídeas. Así además del espacio plano o euclídeo, podemos construir otros espacios de curvatura constante como:

• El espacio abierto hiperbólico de Bolyai-Lobachevski en el que existe, no una sino infinitas rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto exterior prefijado.
• El espacio cerrado elíptico de Riemann en el que no existe ninguna recta paralela exterior a otra dada que no la intersecte.

[editar] Bases matemáticas

Artículo principal: Tensor de curvatura

Las matemáticas generales para estudiar geometrías curvas totalmente generales, se llamaron con el tiempo bajo el nombre de geometría de Riemann y fueron desarrolladas por Bernhard Riemann, discípulo de Gauss.

Sin embargo, durante todo el siglo XIX, la teoría de espacios curvos fue considerada una abstracción matemática que nada tenía que ver con la geometría del universo real. No fue hasta después de que Einstein desarrolló la teoría de la relatividad especial que las geometrías no-euclídeas se hicieron notorias también fuera de las matemáticas.

Dentro de la teoría de la relatividad, el espacio y el tiempo forman una variedad diferenciable, llamada espacio-tiempo, que matemáticamente se trata como una variedad pseudoriemanniana de signatura (3,1) (ya que existen tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal). Y la curvatura del espacio-tiempo viene definida por el tensor de curvatura de Riemann.

Debe tenerse presente que el teorema de "incubación" de Whitney implica que un espacio-tiempo curvo de cuatro dimensiones puede ser considerado como una hipersuperficie curva dentro del espacio euclídeo . Si se establecen limitaciones físicas sobre un espacio-tiempo físicamente admisible puede considerarse que el espacio euclídeo en el que puede "incubarse" dentro de un espacio euclídeo de dimensión menor. Por ejemplo la teoría relativista de la gravitación de Anatoli Logunov el espacio-tiempo puede incluirse en .

[editar] Midiendo el espacio-tiempo curvo

Gauss había mostrado que pueden existir otras geometrías no-euclídeas, lo cual sugería que geometría real del espacio no tenía por qué ser euclídea. Si la geometría del espacio no fuera euclídea habría ciertas consecuencias medibles, por ejemplo, si un físico pone una marca, y un cartógrafo permanece a una cierta distancia y se mide su longitud por triangulación basada en la geometría euclídea, entonces no está garantizado que sea dada la misma respuesta si el físico porta la marca consigo y mide su longitud directamente.

Por supuesto, para una marca no podría medirse en la práctica la diferencia entre las dos medidas, pero existen medidas equivalentes que deben detectar la geometría no euclidiana del espacio-tiempo directamente, por ejemplo el experimento de Pound-Rebka (1959) detectó el cambio en la longitud de onda de la luz de una fuente de cobalto surgiendo por 22.5 metros contra la gravedad en un local del Laboratorio de Física Jefferson en la Universidad de Harvard, y la cadencia de un reloj atómico en un satélite GPS alrededor de la tierra tiene que ser corregida por efecto de la gravedad.

[editar] Véase también

• Espacio-tiempo
• Tensor de curvatura

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Curvatura_del_espacio-tiempo"

Categoría: Relatividad general

CIENCIA7: EL ESPACIO-TIEMPO. El espacio-tiempo es la entidad geométrica en la cual se desarrollan todos los eventos físicos del Universo, de acuerdo con la teoría de la relatividad y otras teorías físicas. El nombre alude a la necesidad de considerar unificadamente la localización geométrica en el tiempo y el espacio, ya que la diferencia entre componentes espaciales y temporales es relativa según el estado de movimiento del observador. De este modo, se habla de continuo espacio-temporal. Debido a que el universo tiene tres dimensiones espaciales físicas observables, es usual referirse al tiempo como la "cuarta dimensión" y al espacio-tiempo como "espacio de cuatro dimensiones" para enfatizar la inevitabilidad de considerar el tiempo como una dimensión geométrica más. La expresión espacio-tiempo ha devenido de uso corriente a partir de la Teoría de la Relatividad especial formulada por Einstein en 1905.

 

¿ESTO NO PODRÍA SER: PASADO, PRESENTE Y FUTURO Y RETROCESO AL CERO?, RECUERDO QUE SE RETROCEDÍA AL CERO Y SE AVANZABA AL FUTURO, AL PRESENTE, QUE ESTABA EN MEDIO Y AL PASADO (QUE ESTABA HACIA ATRÁS).

 

Espacio-tiempo

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Analogía bidimensional de la distorsión del espacio-tiempo debido a una gran masa.

El espacio-tiempo es la entidad geométrica en la cual se desarrollan todos los eventos físicos del Universo, de acuerdo con la teoría de la relatividad y otras teorías físicas. El nombre alude a la necesidad de considerar unificadamente la localización geométrica en el tiempo y el espacio, ya que la diferencia entre componentes espaciales y temporales es relativa según el estado de movimiento del observador. De este modo, se habla de continuo espacio-temporal. Debido a que el universo tiene tres dimensiones espaciales físicas observables, es usual referirse al tiempo como la "cuarta dimensión" y al espacio-tiempo como "espacio de cuatro dimensiones" para enfatizar la inevitabilidad de considerar el tiempo como una dimensión geométrica más. La expresión espacio-tiempo ha devenido de uso corriente a partir de la Teoría de la Relatividad especial formulada por Einstein en 1905.

Contenido [ocultar] 1 Introducción 2 Propiedades geométricas del espacio-tiempo 2.1 Métrica 2.2 Contenido material del espacio-tiempo 2.3 Movimiento de las partículas 2.4 Homogeneidad, isotropía y grupos de simetrías 2.5 Topología 3 Ejemplos de diferentes clases de espacio-tiempo 3.1 El espacio-tiempo relativista de Minkowski 4 El Universo de Einstein: Gravitación y Geometría 4.1 ¿Cuáles son estas intuiciones y sugerencias? 4.2 El espacio-tiempo curvo de la relatividad general 4.3 El espacio-tiempo de la física prerrelativista 5 Generalizaciones 5.1 Hiperespacio 6 Véase también 7 Referencia 7.1 Enlaces externos

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[editar] Introducción

En general, un evento cualquiera puede ser descrito por una o más coordenadas espaciales, y una temporal. Por ejemplo, para identificar de manera única un accidente automovilístico, se pueden dar la longitud y latitud del punto donde ocurrió (dos coordenadas espaciales), y cuándo ocurrió (una coordenada temporal). En el espacio tridimensional, se requieren tres coordenadas espaciales. Sin embargo, la visión tradicional en la cual se basa la mecánica Clásica, cuyos principios fundamentales fueron establecidos por Newton, es que el tiempo es una coordenada independiente de las coordenadas espaciales y es una magnitud idéntica para cualquier observador. Esta visión concuerda con la experiencia: si un evento ocurre a 10 metros, es natural preguntar a 10 metros de qué, pero si nos informan que ocurrió un accidente a las 10 de la mañana en nuestro país, ese tiempo tiene carácter absoluto.

Sin embargo, resultados como el experimento de Michelson y Morley, y las ecuaciones de Maxwell para la electrodinámica, sugerían, a principios del siglo XX, que la velocidad de la luz es constante, independiente de la velocidad del emisor u observador, en contradicción con lo postulado por la mecánica clásica.

Einstein propuso como solución a éste y otros problemas de la mecánica clásica considerar como postulado la constancia de la velocidad de la luz, y prescindir de la noción del tiempo como una coordenada independiente. En la Teoría de la Relatividad, espacio y tiempo tienen carácter relativo o convencional, dependiendo del estado de movimiento del observador. Eso se refleja por ejemplo en que las transformaciones de coordenadas entre observadores inerciales (las Transformaciones de Lorentz), involucran una combinación de las coordenadas espaciales y temporal. El mismo hecho se refleja en la medición de un campo electromagnético, que está formado por una parte eléctrica y otra parte magnética, pues dependiendo del estado de movimiento del observador el campo electromagnético es visto de diferente manera entre su parte magnética y eléctrica por diferentes observadores en movimiento relativo.

La expresión espacio-tiempo recoge entonces la noción de que el espacio y el tiempo ya no pueden ser consideradas entidades independientes o absolutas.

Las consecuencias de esta relatividad del tiempo han tenido diversas comprobaciones experimentales. Una de ellas se realizó utilizando dos relojes atómicos de elevada precisión, inicialmente sincronizados, uno de los cuales se mantuvo fijo mientras que el otro fue transportado en un avión. Al regresar del viaje se constató que mostraban una leve diferencia de 184 nanosegundos, habiendo transcurrido "el tiempo" más lentamente para el reloj en movimiento.^[1]

[editar] Propiedades geométricas del espacio-tiempo

[editar] Métrica

En la teoría de la relatividad general el espacio-tiempo se modeliza como un par (M, g) donde M es una variedad diferenciable semiriemanniana también conocida banda lorentziana y g es un tensor métrico de signatura (3,1). Fijado un sistema de coordenadas (x⁰, x¹, x², x³, ) para una región del espacio-tiempo el tensor métrico se puede expresar como:

Y para todo punto del espacio-tiempo existe un observador galileano tal que en ese punto el tensor métrico tiene las siguientes componentes:

[editar] Contenido material del espacio-tiempo

El contenido material de dicho universo viene dado por el tensor energía-impulso que puede ser calculado directamente a partir de magnitudes geométricas derivadas del tensor métrico. Las ecuaciones escritas componente a componente relacionan el tensor energía impulso con el tensor de curvatura de Ricci y las componentes del propio tensor métrico:

La ecuación anterior expresa que el contenido material determina la curvatura del espacio-tiempo.

[editar] Movimiento de las partículas

Una partícula puntual que se mueve a través del espacio-tiempo seguirá una línea geodésica que son la generalización de las curvas de mínima longitud en un espacio curvado. Estas líneas vienen dadas por la ecuación:

Donde los símbolos de Christoffel Γ se calculan a partir de las derivadas del tensor métrico g y el tensor inverso del tensor métrico:

Si además existiese alguna fuerza debida a la acción del campo electromagnético, la trayectoria de la partícula vendría dada por:

Donde:
carga eléctrica de la partícula.
el tensor de campo electromagnético:

el tiempo propio de la partícula.

• Intervalo, principio de invarianza del intervalo

[editar] Homogeneidad, isotropía y grupos de simetrías

Ciertos espacios-tiempo admiten grupos isometría no triviales. Por ejemplo el espacio-tiempo de Minkowski, usado en la relatividad especial, tiene un grupo de isometría llamado grupo de Poincaré que es un grupo de Lie de dimensión diez. Normalmente los espacios-tiempo tienen grupos de isometría mucho menores, es decir, de dimensionalidad menor.

Una propiedad interesante es que si un espacio-tiempo admite un grupo de isometrías continuo, formado por un grupo de Lie de dimensión n entonces existen n campos vectoriales, llamados campo vectorial de Killing X^(a) que satisfacen las siguientes propiedades:

Donde representa la derivada covariante y la derivada de Lie según uno de esos vectores de Killing.

Relacionado con lo anterior están las relaciones de isotropía y homogeneidad. Un espacio tiempo presenta isotropía general en alguno de sus puntos si existe un subgrupo de su grupo de isometría, que es homeomorfo a SO(3) y deja invariante dicho punto. Otra propiedad interesante es cuando el grupo de simetría incluye un subgrupo homeomorfo a que afecta a las coordenadas espaciales, en ese caso el espacio-tiempo resulta ser homogéneo.

[editar] Topología

Véanse también: Topología, Singularidad espaciotemporal, Principio de causalidad, Agujero de gusano, Viaje a través del tiempo, Estructura causal y Globalmente hiperbólico

La topología del espacio tiempo tiene que ver con la estructura causal del mismo. Por ejemplo es interesante conocer SI en un espacio-tiempo:

• Existe la curva temporal cerrada; ese tipo de ocurrencia permitiría a una partícula influir en su propio pasado. Algunas soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein como el Universo de Gödel, que describe un universo lleno de un fluido perfecto en rotación, permiten dichas curvas temporales cerradas (véase curva cerrada de tipo tiempo).
• Existen hipersuperficies de Cauchy, lo cual permite, en principio, conocido el estado del sistema sobre una de estas superficies, conocer el estado en un instante futuro. Siempre y cuando los efectos cuánticos tengan efectos limitados, la existencia de hipersuperficies comporta la evolución determinista.
• Existen geodésicas incompletas, lo cual está relacionado con la ocurrencia de singularidades espaciotemporales.

[editar] Ejemplos de diferentes clases de espacio-tiempo

[editar] El espacio-tiempo relativista de Minkowski

Véase también: Espacio-tiempo de Minkowski

El espacio-tiempo de Minkowski es el caso más sencillo de espacio-tiempo relativista. Físicamente es un espacio de cuatro dimensiones plano, en que las líneas de curvatura mínima o geodésicas son líneas rectas. Por lo que una partícula sobre la que no actúe ninguna fuerza se moverá a lo largo de una de estas líneas rectas geodésicas. El espacio de Minkowski sirve de base para descripción de todos los fenómenos físicos según la descripción que de ellos da la teoría especial de la relatividad. Además cuando se consideran pequeñas regiones de un espacio-tiempo general, donde las variaciones de curvatura son pequeñas, se hace servir el modelo de espacio-tiempo de Minkowski para hacer algunos de los cálculos, sin que se cometan errores grandes.

Matemáticamente está formado por una variedad de cuatro dimensiones que es homeomorfa, es decir, identificable topológicamente con . Sobre esta variedad se define una metrica pseudoriemanniana de signatura (1,3) que la convierte en un espacio pseudoeuclídeo de curvatura idénticamente nula. En esta variedad el de isometrias maximal coincide con el grupo de Poincaré.

 

[editar] El Universo de Einstein: Gravitación y Geometría

La aproximación de Einstein al tema de la Gravitación se apoya en varias intuiciones y en diversas sugerencias que se desprenden no sólo de su propia construcción de la Teoría de la Relatividad Especial sino de la forma en que la interpretaron otros físicos y muy en particular Minkowski.

[editar] ¿Cuáles son estas intuiciones y sugerencias?

En primer lugar la constatación de que resulta imposible distinguir entre un sistema de referencia acelerado y un sistema de referencia sometida a una fuerza gravitacional. En segundo lugar que de esta indistinguibilidad, y de las consecuencias de todo tipo que ello comporta, se infiere la igualdad entre inercia y gravitación. En tercer lugar que, de acuerdo con su interpretación de las transformaciones de Lorentz, espacio y tiempo dejan de ser entidades separadas para aparecer interconectados. En cuarto lugar que esta interconexión obligará a abandonar, como escenario en el que los fenómenos físicos se despliegan, el espacio y el tiempo como entidades separadas para sustituirlos por una entidad única a la que se denominará espacio-tiempo. Cobran, así, toda su validez las palabras de Minkowski: Las visiones del espacio y el tiempo que quiero presentarles han emergido del sustrato de la física experimental, y en ello reside su fuerza. Son radicales. A partir de ahora el espacio por sí mismo, y el tiempo por sí mismo están condenados a desaparecer como meras sombras y sólo una cierta unión de ambos preservará una realidad independiente. En quinto lugar que la gravitación afecta al espacio-tiempo de cada “lugar” y le dicta como curvarse. Por último que, al ser el movimiento bajo la acción de un campo gravitacional independiente de la masa del objeto móvil, es lícito pensar que ese movimiento viene ligado al “lugar” y que las trayectorias líneas geodésicas vienen marcadas por la estructura del tejido espacio-temporal en el que deslizan.[1]

La fuerza gravitacional acabaría, así, convirtiéndose en una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo del que habla Minkowski. De ahí se deduce que en este esquema no hay acción a distancia ni misteriosas tendencias a moverse hacia extraños centros, tampoco espacios absolutos que contienen a, o tiempos absolutos que discurran al margen de, la materia.[2]

La masa le dice al espacio-tiempo como curvarse y éste le dicta a la masa cómo moverse. Es el contenido material quien crea el espacio y el tiempo.

[editar] El espacio-tiempo curvo de la relatividad general

Un espacio-tiempo curvo es una variedad lorentziana cuyo tensor de curvatura de Ricci es relacionable es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein para un tensor de energía-impulso físicamente razonable. Se conocen centenares de soluciones de ese tipo. Algunos de los ejemplos más conocidos, son los más interesantes físicamente y también son las primeras soluciones obtenidas, representan espacios-tiempo con un alto grado de simetría como:

• Espacio tiempo de Schwarszchild, que viene dado por la llamada métrica de Schwarzschild representa la forma del espacio tiempo alrededor de un cuerpo esférico, y puede ser una buena aproximación al campo solar de una estrella que gira muy lentamente alrededor de sí misma.
• Modelos de Big-Bang, que vienen dados en general por métricas de tipo Friedman-Lemaître-Robertson-Walker y que describen un universo en expansión, que según su densidad inicial puede llegar a recolapsar.

[editar] El espacio-tiempo de la física prerrelativista

El matemático Roger Penrose basándose en las propiedades básicas y supuestos teóricos de diversas teorías físicas prerrelativistas ha propuesto que para cada una de ellas puede definirse un marco geométrico adecuado que da cuenta de como se produce el movimiento de partículas según estas teorías.^[2] Así tanto los supuestos habituales de la física aristotélica, como el principio de relatividad de Galileo implicarían implícitamente en sí mismos una determinada estructura geométrica para el conjunto de sucesos. Las estructuras que Penrose propone para estas diversas teorías prerrelativistas son:

• Espacio-tiempo de la física aristotélica, donde el supuesto de que tanto el tiempo como la velocidad son absolutos conduce a que los sucesos tienen estructura intuitiva de espacio producto .
• Espacio-tiempo galileano, aunque el tiempo sigue siendo absoluto en la física galileana se impone el principio de relatividad según el cual dos observadores que se mueven alejan uno de otro a velocidad uniforme no podrían determinar sin verse si se están alejando uno de otro. Penrose explica que esta característica puede representarse geométricamente de nuevo por un espacio-tiempo fibrado, aunque el principio de relatividad implica que la velocidad no es absoluta y, por tanto, no pueden identificarse simplemente los puntos de diferentes fibras. Es decir, el espacio-tiempo galileano, designado como sería un fibrado no trivial , donde el espacio base sería el espacio euclídeo que representa el tiempo y cada fibra es un espacio tridimensional convencional .
• Espacio-tiempo newtoniano, en esta construcción propuesta originalmente por Élie Cartan a principios del siglo XX, el espacio-tiempo adecuado para describir la mecánica newtoniana incluyendo la descripción del campo gravitatorio, sigue siendo un fibrado no trivial con espacio base para representar el tiempo y fibra dada por un espacio euclídeo tridimensional. La diferencia está en que ahora algunas trayectorias curvas representan movimientos inerciales de acuerdo con el principio de equivalencia, y por tanto se requiere algún tipo de estructura diferenciable para decidir qué líneas curvas corresponden a esos movimientos inerciales. La conexión que define esta estructura diferenciable debe escogerse de tal manera que la traza del tensor de Ricci coincida con la constante 4πGρ. Cuando el campo gravitatorio es constante entonces el espacio-tiempo Newtoniano es homeomorfo al espacio-tiempo galileano.

[editar] Generalizaciones

[editar] Hiperespacio

Véanse también: Hiperespacio, Quinta Dimensión, Teoría Kaluza-Klein y Supercuerdas

La teoría general de la relatividad introdujo una interpretación geométrica del fenómeno físico de la gravedad, introduciendo una nueva dimensión física temporal y considerando curvaturas que afectaban a ésta y las demás dimensiones temporales.

Esta idea interesante ha sido utilizada en diversas teorías físicas prometedoras que han recurrido formalmente a la introducción de nuevas dimensiones formales para dar cuenta de fenómenos físicos. Así Kaluza y Klein trataron de crear una teoría unificada (clásica) de la gravedad y del electromagnetismo, introduciendo una dimensión adicional. En esta teoría la carga podía relacionarse con la quinta componente de la "pentavelocidad" de la partícula, y otra serie de cuestiones interesantes. El enfoque de varias teorías de supercuerdas es aún más ambicioso y se han empleado esquemas inspirados remotamente en la ideas de Einstein, Kaluza y Klein que llegan a emplear hasta diez y once dimensiones, de las cuales seis o siete estarían compactificadas y no serían detectables más que indirectamente.

[editar] Véase también

• Cronotopo

[editar] Referencia

1. ↑ Hafele, J.; Keating, R. (14 de julio de 1972). «Around the world atomic clocks:predicted relativistic time gains». Science 177 (4044):  pp. 166-168. doi:10.1126/science.177.4044.166. http://www.sciencemag.org/cgi/content/abstract/177/4044/166. 
2. ↑ Roger Penrose, Camino de la realidad, p. 527-543.

[editar] Enlaces externos

• El espacio-tiempo y las ecuaciones de Einstein, Ciencia Hoy
• Gráficos espacio-tiempo, Cosmo Educa, IAC
• Las dimensiones del espacio

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempo"

Categorías: Tiempo | Relatividad

MATEMÁTICAS2: MULTIPLICACIÓN. La multiplicación es una operación aritmética de composición que consiste en sumar reiteradamente un mismo valor la cantidad de veces indicada por un segundo valor. Así, 4·3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.

Multiplicación

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Para saber cómo multiplicar, véase Algoritmo de multiplicación.

 

Propiedad conmutativa:
3·4 = 12 = 4·3
doce elementos pueden ser ordenados en tres filas de cuatro, o cuatro columnas de tres.

La multiplicación es una operación aritmética de composición que consiste en sumar reiteradamente un mismo valor la cantidad de veces indicada por un segundo valor. Así, 4·3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.

El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente: multiplicando (número a sumar) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando). Aunque esta diferenciación en algunos contextos puede ser superflua cuando en el conjunto donde esté definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de la multiplicación (por ejemplo, en los conjuntos numéricos). Véase [1] para una discusión sobre el tema.

En Álgebra Moderna se suele usar la denominación Cociente o multiplicación con su notación habitual "·" para designar la operación externa en un módulo, para designar también la segunda operación que se define en un anillo (aquella para la que no está definido el elemento inverso del 0), o para designar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo.

Contenido [ocultar] 1 Notación 2 Definición 3 Propiedades 3.1 Propiedad conmutativa 3.2 Propiedad asociativa 3.3 Propiedad distributiva 3.4 Elemento neutro 3.5 Cero 4 Conexión con la geometría 5 Producto de números negativos 6 Desde números enteros a números complejos 7 Definición recursiva 8 Otros productos 9 Véase también

[editar] Notación

La multiplicación se indica con el aspa (×) o el punto medio (·). En ausencia de estos caracteres se suele emplear el asterisco (*), sobre todo en computación (este uso tiene su origen en FORTRAN), pero está desaconsejado en otros ámbitos y sólo debe utilizarse cuando no hay otra alternativa. A veces se utiliza la letra equis (x), pero esto es desaconsejable porque crea una confusión innecesaria con la letra que normalmente se asigna a una incógnita en una ecuación. Por último, se puede omitir el signo de multiplicación a menos que se multipliquen números o se pueda generar confusión sobre los nombres de las incógnitas, constantes o funciones (por ejemplo, cuando el nombre de alguna incógnita tiene más de una letra y podría confundirse con el producto de otras dos). También suelen utilizarse signos de agrupación como paréntesis (), corchetes ([]) o llaves ({ }). Esto mayormente se utiliza para multiplicar números negativos entre sí o por números positivos.

Si los factores no se escriben de forma individual pero pertenecen a una lista de elementos con cierta regularidad se puede escribir el producto mediante una elipsis, es decir, escribir explícitamente los primeros términos y los últimos, (o en caso de un producto de infinitos términos sólo los primeros), y sustituir los demás por unos puntos suspensivos. Esto es análogo a lo que se hace con otras operaciones aplicadas a infinitos números (como las sumas). [El producto de infinitos términos se define como el límite del producto de los n primeros términos cuando n crece indefinidamente].

Así, el producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el 100 se puede escribir:

mientras que el producto de los números pares del entre 1 y 100 se escribiría:

.

Esto también se puede denotar escribiendo los puntos suspensivos en la parte media de la línea de texto:

En cualquier caso, deben estar claros cuáles son los términos omitidos.

Por último, se puede denotar el producto mediante el símbolo productorio, que proviene de la letra griega Π (Pi mayúscula).

Esto se define así:

El subíndice i indica una variable que recorre los números enteros desde un valor mínimo (m, indicado en el subíndice) y un valor máximo (n, indicado en el superíndice).

[editar] Definición

La multiplicación de dos números enteros n y m se expresa como:

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión "sumar m a sí mismo n veces". Puede facilitar la comprensión el expandir la expresión anterior:

m·n = m + m + m +...+ m

tal que hay n sumandos. Así, por ejemplo:

• 5·2 = 5 + 5 = 10
• 2·5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
• 4·3 = 4 + 4 + 4 = 12
• m·6 = m + m + m + m + m + m = 6m

[editar] Propiedades

[editar] Propiedad conmutativa

Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualesquiera x e y:

x·y = y·x

[editar] Propiedad asociativa

La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualesquiera x, y, z, se cumple:

(x·y)z = x(y·z)

En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.

Por ejemplo:

(8·3)·2 = 8·(3·2)24·2 = 8·648 = 48

[editar] Propiedad distributiva

La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:

x·(y + z) = xy + xz

Asimismo:

(x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz

[editar] Elemento neutro

También es de interés que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo:

1·x = x

es decir, la multiplicación tiene un elemento neutro que es el 1.

[editar] Cero

¿Qué ocurre con el cero? La definición inicial no ayuda mucho porque 1 es mayor que 0. De hecho, es más fácil definir el producto por cero utilizando la segunda definición:

m·0 = m + m + m +...+ m

donde hay cero sumandos. La suma de cero veces m es cero, así que

m·0 = 0

sin importar lo que valga m, siempre que sea finito.

Otra posibilidad es usar la propiedad conmutativa

[editar] Conexión con la geometría

Desde un punto de vista puramente geométrico, la multiplicación entre 2 valores produce un área que es representable. Del mismo modo el producto de 3 valores produce un volumen igualmente representable. Y en general el producto de cualquier número de valores mayores de 0 produce un resultado geométrico representable sea éste más o menos intuitivo y más o menos fácil de representar.

[editar] Producto de números negativos

El producto de números negativos también requiere reflexionar un poco. Primero, considérese el número -1. Para cualquier entero positivo m:

(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

Éste es un resultado interesante que muestra que cualquier número negativo no es más que un número positivo multiplicado por -1. Así que la multiplicación de enteros cualesquiera se puede representar por la multiplicación de enteros positivos y factores -1. Lo único que queda por definir es el producto de (-1)(-1):

(-1)(-1) = -(-1) = 1

[editar] Desde números enteros a números complejos

De esta forma, se define la multiplicación de dos enteros. Las definiciones pueden extenderse a conjuntos cada vez mayores de números: primero el conjunto de las fracciones o números racionales, después a todos los números reales y finalmente a los números complejos y otras extensiones de los números reales.

[editar] Definición recursiva

Una definición recursiva de la multiplicación puede darse según estas reglas:

x·0 = 0x·y = x + x·(y-1)

donde x es una cantidad arbitraria e y es un número natural. Una vez el producto está definido para los números naturales, se puede extender a conjuntos más grandes, como ya se ha indicado anteriormente.

[editar] Otros productos

• Producto de matrices: La multiplicación de matrices, que no tiene propiedad conmutativas.

[editar] Véase también

• Inverso multiplicativo
• Tabla de multiplicar
• Pitatoria
• Algoritmo de Booth

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n"

Categorías: Álgebra | Operaciones básicas de la aritmética | Notación matemática | Algoritmos de precisión arbitraria

MATEMÁTICAS2: RESTO. En aritmética, el resto o residuo de una división de dos números enteros es el número que se le ha de restar al dividendo para que sea igual a un determinado número de veces el divisor . Equivalentemente, es el número resultante de la diferencia del dividendo con el producto del divisor por el cociente.

Resto

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En aritmética, el resto o residuo de una división de dos números enteros es el número que se le ha de restar al dividendo para que sea igual a un determinado número de veces el divisor . Equivalentemente, es el número resultante de la diferencia del dividendo con el producto del divisor por el cociente. O sea:

Según su resto, las divisiones se clasifican como exactas si su resto es cero ó inexactas cuando no lo es.

Generalmente, al resto de dividir x entre y se suele expresar como .

En la práctica, el resto de una división puede calcularse usando ecuaciones, en términos de otras funciones. En términos de la función parte entera , el resto se puede definir como:

La expresión x mod 0 queda sin definir en la mayoría de los sistemas numéricos, aunque algunos la definen como igual a x.

[editar] Implementación para el cálculo del resto

Para números pequeños se suele implementar la función de arriba, que es muy sencilla. Para la implementación con números grandes, existen métodos mucho más eficientes, como el algoritmo de reducción de Montgomery y la reducción de Barrett. La reducción de Barrett toma el hecho de que existen números q y r de manera que x = mq+r y 0 ≤ r < m (véase Algoritmo de la división), y lo utiliza para estimar q utilizando sólo operaciones de recorrimiento en lugar de divisiones.

Algoritmo Reducción de Barrett

Entradas: (x en forma de lista de dígitos) con (m en forma de lista de dígitos) Salida: Si entonces: Mientras haga lo siguiente: Devuelva r

[editar] Véase también

• producto
• división
• divisores
• Aritmética modular
• Algoritmo de Euclides

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Resto"

Categoría: Aritmética

MATEMÁTICAS2: DIVISIÓN (MATEMÁTICAS). La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La división es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental, inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida.

División (matemática)

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La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La división es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental, inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida.

Según su resto, las divisiones se clasifican como exactas si su resto es cero ó inexactas cuando no lo es.

Al resultado entero de la división se denomina cociente y si la división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo, la operación tendrá un resto o residuo, donde:

Que también puede expresarse:

dividendo = cociente × divisor + resto

Contenido [ocultar] 1 Tabla 1.1 Algoritmo de división 1.2 Algoritmo de la división 2 La división entre otros objetos matemáticos 2.1 División de monomios 2.2 División de un polinomio por un monomio 2.3 División de polinomios 3 Criterios de divisibilidad 4 Véase también 5 Enlaces externos

Tabla

El algoritmo se construye a partir de una tabla elemental, que es inversa de la de multiplicar.

La lectura de la tabla es, por ejemplo, 10 : 5 = 2, leído: «diez entre cinco igual a dos» o, bien «diez dividido cinco es igual a dos».

TABLA DE DIVIDIR

1 : 1 = 1	2 : 2 = 1	3 : 3 = 1	4 : 4 = 1	5 : 5 = 1	6 : 6 = 1	7 : 7 = 1	8 : 8 = 1	9 : 9 = 1
2 : 1 = 2	4 : 2 = 2	6 : 3 = 2	8 : 4 = 2	10 : 5 = 2	12 : 6 = 2	14 : 7 = 2	16 : 8 = 2	18 : 9 = 2
3 : 1 = 3	6 : 2 = 3	9 : 3 = 3	12 : 4 = 3	15 : 5 = 3	18 : 6 = 3	21 : 7 = 3	24 : 8 = 3	27 : 9 = 3
4 : 1 = 4	8 : 2 = 4	12 : 3 = 4	16 : 4 = 4	20 : 5 = 4	24 : 6 = 4	28 : 7 = 4	32 : 8 = 4	36 : 9 = 4
5 : 1 = 5	10 : 2 = 5	15 : 3 = 5	20 : 4 = 5	25 : 5 = 5	30 : 6 = 5	35 : 7 = 5	40 : 8 = 5	45 : 9 = 5
6 : 1 = 6	12 : 2 = 6	18 : 3 = 6	24 : 4 = 6	30 : 5 = 6	36 : 6 = 6	42 : 7 = 6	48 : 8 = 6	54 : 9 = 6
7 : 1 = 7	14 : 2 = 7	21 : 3 = 7	28 : 4 = 7	35 : 5 = 7	42 : 6 = 7	49 : 7 = 7	56 : 8 = 7	63 : 9 = 7
8 : 1 = 8	16 : 2 = 8	24 : 3 = 8	32 : 4 = 8	40 : 5 = 8	48 : 6 = 8	56 : 7 = 8	64 : 8 = 8	72 : 9 = 8
9 : 1 = 9	18 : 2 = 9	27 : 3 = 9	36 : 4 = 9	45 : 5 = 9	54 : 6 = 9	63 : 7 = 9	72 : 8 = 9	81 : 9 = 9

Ejemplo de una división.

Algoritmo de división

Un algoritmo para dividir dos números, por ejemplo 8593 (dividendo) y 23 (divisor), es el siguiente:

Se escribe el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha, contenido en una escuadra abierta hacia la derecha o galera.

Se toma la primera cifra del dividendo (8) y se divide por la primera del divisor (2). En el caso de que la primera cifra del dividendo sea menor que la del divisor se toman dos cifras del dividendo.

Ahora se trata de encontrar el máximo cociente que multiplicado por el divisor sea menor que las dos primeras cifras del dividendo (o tres en el caso señalado).

Puesto que 8:2=4, se multiplica 4x23=92, que excede a 85 (es decir, 92>85), por lo que se toma una unidad inferior, en este caso 3. En efecto, 3x23=69. Este producto se resta de las dos primeras cifras (o tres en el caso señalado), obteniendo 85-69=16.

A este resto se le añade la cifra siguiente del dividendo, 9. Con dicho número, 169, se procede de igual manera que con las primeras cifras, y sucesivamente con todas las cifras del dividendo.

Las dos primeras, en este caso, 1<2. 16:2=8. 8x23=184; 169<184. Por lo que consideramos una unidad menos, 7x23=161, cuyo resto con 169 es 8. Se "baja" ahora la cifra siguiente del dividendo 3, formándose ahora el número 83. 8:2=4; 4x23=92; 83<92. Se toma el 3. 3x23=69; 83-69=14.

Al no haber más cifras del dividendo, este 14 es el resto, que siempre ha de ser menor que el divisor.

El resultado es el siguiente: 8593 dividido por 23 da un cociente de 373 y un resto de 14; donde se ha de verificar que: 373x23+14=8593.

Algoritmo de la división

Hallemos la división de dividendo 948 y divisor 32. La disposición y algoritmo se describen abajo, siendo el resultado: cociente 29, y resto 20.

Donde la primera cifra del cociente, "2", es el número que multiplicado por el divisor se aproxima más por defecto a las dos primeras cifras, como número, del dividendo; las cifras "30" que se sitúan debajo es el resto, que representa la diferencia entre dicha multiplicación "64" y las dos primeras cifras del dividendo "94"; (si fuera necesario para poder realizar la multiplicación por defecto, se podrían tomar una cifra más del dividendo).

A dichas cifras "30" se le añade la cifra posterior derecha de del dividendo "8", que, tomado como número 308, se constituye en nuevo dividendo al que se le aplica el mismo procedimiento, dando un nuevo cociente como cifra "9" y un resto de 20. El resultado cociente es el número formado por las dos cifras 29.

Comprobación:

29 * 32 + 20 = 948

Esta es una de las maneras por las que se puede verificar si está bien realizada la división.

La división entre otros objetos matemáticos

División de monomios

Para dividir dos monomios se dividen sus coeficientes y se restan los exponentes de la parte literal. Si la división de los coeficientes no es exacta, se suele representar como fracción.

División de un polinomio por un monomio

Se divide cada término del polinomio por el monomio, separando los coeficientes parciales con sus propios signos.

División de polinomios

Regla para la división de dos polinomios:

1. Se ordenan los polinomios dados con respecto a una letra. Si falta algún término para ordenar el dividendo, se deja el espacio o se pone cero.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
3. Se multiplica este cociente por cada término del divisor y este producto se resta del dividendo.
4. A la diferencia obtenida se le agrega el siguiente término del dividendo y se repite la operación hasta que se hayan dividido todos los términos del dividendo.

Existen otros algoritmos para dividir polinomios, como el de Horner, el de Ruffini o el teorema del resto. Algunos de estos métodos sólo son aplicables a ciertos tipos de polinomios.

Criterios de divisibilidad

Artículo principal: Divisibilidad

• Un número es divisible por 2 si es par (su última cifra es 2, 4, 6, 8 ó 0).
• Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Un número es divisible por 4 si el número formado por las últimas dos cifras es múltiplo de 4 o termina en doble 0.
• Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
• Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3.
• Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es cero o múltiplo de 7.
• Un número es divisible por 8 si el número formado por las últimas tres cifras es múltiplo de 8.
• Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
• Un número es divisible por 10 si termina en 0.
• Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de las cifras de los lugares pares y la suma de los valores absolutos de los lugares impares, en el sentido posible, es múltiplo de 11.
• Un número es divisible por 12 si es divisible por 3 y 4.

Estos criterios sirven en particular para descomponer los enteros en factores primos, lo que se usa en cálculos como el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.

Véase también

• División por cero
• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre División (matemática). Wikiquote

Enlaces externos

• Matemáticas en la BBC
• Ejemplos de divisiones (Álgebra)

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)"

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