MATEMÁTICAS2: DERIVACIÓN. Concepto matemático esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables sus cualidades, propiedades y consecuencias.
Derivación (matemática)
Concepto matemático esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables sus cualidades, propiedades y consecuencias.
Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.
Posiblemente buscaba derivada, Derivación numérica o Diferencia finita.
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[editar] Definición de derivación
Sea una variedad diferenciable y , llamaremos derivación en el punto a
aplicación lineal, es decir:Observación
es el conjunto de funciones diferenciables en , y es un álgebra conmutativa, (es un espacio vectorial). es equivalente a , es decir, evaluado en el punto[editar] Ejemplos de derivación
[editar] La derivada parcial
Sea y , veamos que la aplicación siguiente es derivación:
Demostración:
[editar] La derivada direccional
Sea , de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:
[editar] Definiciones
Sea una variedad diferenciable y , llamaremos espacio tangente a en al espacio vectorial de las derivaciones de en , notado por , y sus elementos se llamaran vectores tangentes a en
[editar] Consecuencias
[editar] Propiedad de la derivación de una función localmente constante
Sea una variedad diferenciable, , y tal que entorno abierto en donde f(x) = λ, , entonces tenemos que
Demostración:
Por linealidad de tenemos λδp(1),aquí aplicando la condición de derivación a tenemos de simplificar, este último, resulta aplicadolo al anterior resulta que[editar] Ejemplo
Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase :
- la función meseta ρ asociada a , donde ρ(x) = 1, compacto cuyo interior contiene a
[editar] Propiedad de la derivación del producto con la función meseta
Sea una variedad diferenciable, , y ρ una función meseta asociada a , tenemos que:
Demostración:
Aplicando la regla de Leibniz tenemos que , por la propiedad anterior tenemos que[editar] Propiedad
Sea una variedad diferenciable, y tal que entorno abierto en donde , entonces tenemos que .
Demostración:
Sea ρ una función meseta asociada a , tenemos así que en todo también por tanto y por la propiedad anterior tenemos que[editar] Bibliografía
- Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 3002.
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