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La "consonante" tríada mayor está compuesta de tres tonos, en una relación de números enteros: 6 a 5 a 4.

Traité de l’harmonie (Tratado de la armonía), de Jean-Philippe Rameau.

El término armonía (arcaicamente, y también aceptado harmonía) tiene muchos significados, musicales y extramusicales, relacionados de alguna manera entre sí. En general, "armonía" significa equilibrio en las proporciones entre las distintas partes de un todo, y en general, connota belleza. En música, la armonía es la disciplina que estudia la percepción del sonido en forma "vertical" o "simultánea" en forma de acordes y la relación que se establece con los de su entorno próximo. En la jerga del tango se llama "armonía" a la contramelodía ejecutada en el violín o las cuerdas de una orquesta.

Como otras disciplinas humanas,cuando el estudio de la armonía presenta dos versiones: el estudio descriptivo (es decir: las observaciónes de la práctica musical) y el estudio prescritivo (es decir: la transformación de esta práctica musical en un conjunto de normas de supuesta validez universal).

El estudio de la armonía sólo se justifica en relación a la música occidental, ya que la Occidental es la única cultura que posee una música "polifónica", es decir, una música en la que se usa ejecutar distintas notas musicales en forma simultánea y coordinada. De modo que, a pesar de que el estudio de la armonía pueda tener alguna base científica, las normas o las descripciones de la armonía tienen un alcance relativo, condicionado culturalmente.

En la música occidental, la armonía es la subdisciplina que estudia el encadenamiento de diversas notas superpuestas; es decir: la organización de los acordes. Se llama "acorde" a la combinación de tres o más notas diferentes que suenan simultáneamente (o que son percibidas como simultáneas, aunque sean sucesivas, como en un arpegio). Cuando la combinación es solo de dos notas, se llama "bicordio". Esto también puede ser considerado un acorde.

El estudio de la armonía se refiere generalmente al estudio de las progresiones armónicas y de los principios estructurales que las gobiernan.^[1]

La armonía se refiere al aspecto «vertical» (simultáneo en el tiempo) de la música, que se distingue del aspecto horizontal (la melodía, que es la sucesión de notas en el tiempo).^[2] La idea de vertical y horizontal es una metáfora explicativa, relacionada a la disposición de las notas musicales en una partitura: verticalmente se escriben las notas que se interpretan a la vez, y horizontalmente las que se interpretan en forma sucesiva.

En la escolástica musical, el contrapunto es una disciplina complementaria a la armonía (y que se confunde con ella), pero que se centra más en la elaboración de melodías que sean combinables simultáneamente que en los acordes resultantes de tal combinación. Es decir: se centra más en la percepción de las partes que en la del todo. Como disciplina creativa (y no como disciplina académica), el contrapunto tuvo su auge durante el Barroco, particularmente con la figura de Johann Sebastian Bach.

Definiciones [editar]

Las definiciones habituales de la armonía suelen describirla como la «ciencia que enseña a constituir los acordes y que sugiere la manera de combinarlos en la manera más equilibrada, consiguiendo así sensaciones de relajación, sosiego (armonía consonante), y de tensa e hiriente (armonía disonante)".

Esta definición se basa en la idea de que ciertas combinaciones de sonidos (intervalos o acordes) producen al oyente una sensación de tensión (combinaciones que se llaman "disonantes") y otras producen una sensación de reposo o calma (combinaciones "consonantes").

Esta diferencia entre sonidos "consonantes" y "disonantes" tiene una base acústica: cada sonido incluye dentro de sí a varios sonidos que suenan con menor volumen (llamados "armónicos"); cuando la combinación de sonidos ejecutados incluye a varias notas con sonidos "armónicos" en común, tales combinaciones serán percibidas como "consonantes".

Ahora bien, en la percepción humana no sólo intervienen factores físicos, sino también (y sobre todo) factores culturales. Lo que un hombre del siglo XV percibía como consonante, puede llamar la atención a uno del siglo XXI, y una combinación de sonidos que sugiere una sensación de "reposo" a un japonés puede no sugerírselo a un mexicano.

Si el estudio occidental de la armonía ha querido presentarla como una "ciencia", pues, es sólo un intento de legitimar como válida universalmente a una práctica musical concreta.

En la terminología musical, suele oponerse la melodía que la melodía es algo "lineal", a la armonía, que es el conjunto sonoro que forman las voces en un instante determinado.

Origen del término e historia del uso [editar]

El término «armonía» deriva del griego ἁρμονία (harmonía), que significa ‘acuerdo, concordancia’^[3] y éste del verbo ἁρμόζω (harmozo): ‘ajustarse, conectarse’.^[4]

Sin embargo, el término no se utilizaba en su acepción actual de armonía polifónica (es decir, de la relación ordenada entre varias melodías superpuestas, formando un todo que mantiene cierta autonomía respecto de cada una de las partes), ya que la ejecución simultánea de notas distintas (exceptuando las notas distantes entre sí en una o más octavas, que el oído humano percibe como idénticas) no formó parte de la práctica musical de Occidente hasta entrada la Edad Media.

En la música de la antigua Grecia, el término se usaba más bien como un sistema de clasificación de la relación entre un tono grave y otro agudo.^[1] En la Edad Media, el término se usaba para describir dos tonos que sonaban en combinación, y en el Renacimiento el concepto se expandió para denotar tres tonos sonando juntos.^[5]

El Traité de l’harmonie (1722), de Rameau, fue el primer texto acerca de la práctica musical que incluía el término «armonía» en el título. Sin embargo, no significa que esa fuera la primera discusión teórica acerca de este tema. Como todo texto teórico (particularmente de esta época), se basa en la observación de la práctica; Rameau observa la práctica musical de su época y elabora algunas reglas, otorgándole una supuesta validez universal. Especial importancia tiene en su desarrollo el fenómeno de la resonancia armónica para la justificación de los distintos elementos. Este y otros textos similares tienden a relevar y codificar las relaciones musicales que estaban íntimamente vinculadas con la evolución de la tonalidad desde el Renacimiento hasta fines del periodo románico.

El principio que subyace a estos textos es la noción de que la armonía sanciona la armoniosidad (los sonidos que complacen) si se adapta a ciertos principios compositivos preestablecidos.^[6]

Desarrollo [editar]

Melodía, contrapunto y armonía están totalmente interrelacionadas. Tradicionalmente, la armonía funciona como acompañamiento, armazón y base de una o más melodías. La melodía (dimensión horizontal de la música) es una sucesión (en el tiempo) de sonidos pertenecientes a acordes, que son enriquecidos con otros sonidos que adornan y suavizan, y que producen efectos expresivos, complementando a los anteriores gracias a las sutiles relaciones que entablan con los acordes en que se basa esa melodía (integrándose perfectamente con la armonía).

Tensión y reposo [editar]

Desde hace varios siglos se descubrió que algunas combinaciones de acordes producen una sensación de tensión y tendencia al reposo. Algunos acordes, en un determinado contexto, tienen un sentido conclusivo y otros un sentido transitorio (aunque en realidad esto es relativo y depende de su relación con el conjunto de la composición. En la música académica europea, desde el final del siglo XVII hasta comienzos del siglo XX, hasta el oído menos cultivado puede distinguir cuándo está próximo o distante el final de una frase musical.

La armonía tradicional de parte del estilo prebarroco, barroco, clásico y romántico se conoce como armonía tonal, ya que está basada en el sistema tonal, teniendo una fuerte función estructural, siendo determinante en la forma musical de una determinada composición.

A partir del romanticismo musical (siglo XIX), empieza a utilizarse con más fuerza el valor colorista de la armonía, debilitando paulatinamente la función estructural de la armonía tonal e introduciendo cada vez más modalismos (proceso que culmina con la aparición de compositores impresionistas, nacionalistas y contemporáneos neoclásicos que utilizarán una armonía más libre y modal).

En la música popular [editar]

La música popular suele utilizar armonías modales y muy características (caso del flamenco), o armonías con un mayor componente tonal empleadas de manera sencilla (caso del tango), como así también armonías modales parecidas a las utilizadas por ciertos compositores de música culta a principios del siglo XX (caso de música pop/rock/música electrónica). Lo que sí es cierto es que entre la música culta y la popular ha habido una continua trasferencia de materiales musicales, entre ellos los armónicos, aunque es la culta la que ha llevado más al extremo su desarrollo.

Notas [editar]

Enlaces externos [editar]

• [http://www.dolmetsch.com/theoryintro.htm Teoría e Historia de la Música En Línea (en inglés)
• Contenidos de armonía
• Teoría Musical En Línea
• Bases naturales de las escalas y La solución de 7 notas -- Por qué tantas escalas de 5 y 7 notas se encuentran en los escritos y artefactos antiguos.

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Las curvaturas principales en un punto de una superficie.

En matemáticas, la geometría diferencial de superficies propone definiciones y métodos para analizar la geometría de superficies o variedades diferenciales de dos dimensiones inmersas en variedades de Riemann y, en particular, en el Espacio Euclídeo.

Aquí se tratará de las superficies en .

Ecuación paramétrica de una superficie [editar]

Puesto que una superficie en es una variedad diferenciable de dimensión dos, en un entorno V de una superficie las coordenadas de cualquier punto de V pueden escribirse en función de dos parámetros:

Un punto Q = (u₀, v₀) se llama regular si en él se cumple que:

Esto es equivalente a pedir que el jacobiano del mapeo r (que va desde el dominio V en a ) tiene rango máximo, es decir, es igual a dos. Así se asegura la existencia del espacio tangente en cada punto de la superficie.

Plano tangente [editar]

Dada una superfice de y un punto se define como el único plano geométrico de que contiene al punto y (localmente) no interseca a la superficie en ningún otro punto, si la superficie es de curvatura gaussiana positiva. Si la superficie es de curvatura negativa o cero la intesecta. La ecuación analítica de este plano puede expresarse con ayuda de la ecuación paramétrica de una superificie:

Más sencillamente el plano anterior puede escribirse como el conjunto que satisface la siguiente ecuación:

Aquí, se ha usado la simplificación de notación ,... etc

Vector normal a la superficie [editar]

Un vector se dice normal a una superficie en un punto si es perpendicular al plano tangente en dicho punto de la superficie. Esa propiedad nos dice que un vector normal es perpendicular a cualquier otro vector contenido en el plano tangente. Si tomamos dos vectores diferentes y tangentes a la superficie en un punto su producto vectorial será perpendicular a ambos y por tanto perpendicular a cualquier combinación lineal de ambos, es decir, perpendicular a todo el plano generado por estos dos vectores. Podemos aprovechar esa propiedad para calcular el vector normal simplemente como el producto vectorial de los dos vectores linealmente independientes dados por la parametrización de la superficie. Así el vector normal puede calcularse como:

Si se conoce en cambio la ecuación de la superficie f(x, y, z) = 0 entonces el vector unitario normal se calcula simplemente como:

Primera forma fundamental [editar]

La primera forma fundamental I es un tensor 2-covariante, simétrico y definido sobre el espacio tangente a cada punto de la superficie S. Esta primera forma fundamental de hecho es el tensor métrico inducido por la métrica euclídea sobre la superficie. De hecho (S, I) constituye una variedad de Riemann con tensor métrico I. Gracias a la primera forma fundamental podemos estimar longitudes de curvas definidas sobre la superficie, ángulos de intersección entre curvas y el resto de conceptos métricos habituales. Por razones históricas las componentes de la primera forma fundamental se designan por E, F y G:

Además la forma cuadrática anterior es definida positiva, lo que implica que EG-F² > 0. La primera forma anterior puede escribirse como una combinación lineal de productos tensoriales de las 1-formas coordenadas conforme a:

Estas pueden calcularse explícitamente a partir de la parametrización:

Longitud de una curva [editar]

Dada una curva C contenida totalmente en una superficie S sus ecuaciones paramétricas podrán expresarse mediante:

La longitud de esta curva puede expresarse por una integral de las derivadas de las funciones u y v y las componentes de la primera forma fundamental:

Ángulo entre dos curvas [editar]

Similarmente dadas dos curvas C₁ y C₂ que intersectan en un punto P₀ y cuyas ecuaciones paramétricas son:

El ángulo α formado por las dos curvas en el punto de intersección viene definido por la ecuación:

Donde las derivadas se evalúan para los valores de parámetro t₁ y t₁ tales que . En particular el ángulo formado por las líneas coordenadas asociadas al sistema de coordenadas (u, v) viene dado por:

En particular el sistema de coordenadas se llama ortogonal si las líneas coordenadas son ortogonales (perpendiculares) entre sí en cada punto, eso sucede sí y solo sí F = 0.

Área de una región sobre la superficie [editar]

Dada una región Ω contenida en una superficie se define su área como:

Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces lo anterior se puede escribir sencillamente como:

Segunda forma fundamental [editar]

La segunda forma fundamental II de una superficie es la proyección sobre el vector normal a la superficie de la derivada covariante inducida por el tensor métrico o primera forma fundamental. Puede probarse, que esta segunda forma fundamental resulta ser un tensor 2-covariante y simétrico (es decir, da lugar a una forma bilineal definida sobre el espacio tangente a la superficie). Por razones históricas las componentes de la segunda forma fundamental se designan por L, M y N:

Fijado un entorno de la superficie parametrizado por las variables la segunda forma fundamental se escribe también, resultando un tensor de rango dos, como la siguiente combinación lineal:

de productos tensoriales de las 1-formas coordenadas . Las componentes de la segunda forma fundamental pueden calcularse explícitamente a partir de las coordenadas paramétricas:

Curvatura normal y geodésica [editar]

Cuando se tiene una curva sobre una superficie esta puede ser vista también como curva de a la que les son aplicables tanto las fórmulas de la geometría diferencial de curvas como las de la geometría diferencial de superficies. Eso permite relacionar la curvatura total de la curva con la curvatura de la curva vista o medida por un "habitante" de la superficie. En concreto la curvatura total (χ_γ) de una curva γ(t) puede ser descompuesta entre la curvatura medible desde la superficie, llamada curvatura normal (k_n) y la curvatura no medible desde la superficie, llamada curvatura geodésica (k_g), de hecho se cumple que:

Donde la curvatura geodésica y normal pueden calcularse a partir del ángulo que forman el vector normal a la superifice y el vector normal a la curva (n_γ):

La aceleración de cualquier punto material puede ser descompuesta en aceleración tangencial y aceleración normal. Si además el punto se mueve sobre la superficie, la aceleración normal puede descomponerse en aceleración propiamente normal y aceleración geodésica (debida al seguimiento que el punto hace de la superficie):

Donde son respectivamente el vector tangente a la curva, el vector normal a la curva y el vector normal a la superficie. Esa ecuación muestra que las líneas geodésicas a la superficie son precisamente aquellas curvas para las cuales su curvatura total coincide con su curvatura geodésica. Las curvaturas normal y geodésica de una curva sobre una superficie puden calcularse fácilmente a partir de los vectores tangente al a curva y las normales a la curva y la superficie:

Curvaturas principales [editar]

Si se considera un punto P₀ de la superficie y toda una colección de curvas contenidas en la superficie que pasan por P₀ se observa que la curvatura normal k_n de cualquiera de estas curvas en P₀ varía entre dos valores extremos k₁ < k_n < k₂. Estos dos valores de hecho son las soluciones k_i de la siguiente ecuación:

Un punto se llama umbilical si en él k₁ = k₂. Para un punto no-umbilical P₀ las direcciones tangentes a la superficie para las cuales se alcanza el máximo y el mínimo de la curvatura normal son siempre ortogonales. En cada punto estas dos direcciones ortogonales se llaman direcciones principales de curvatura. Una condición necesaria y suficiente para que la dirección dada por un vector sea principal es que si:

Entonces que esa dirección sea dirección principal de curvatura implica que:

Líneas de curvatura [editar]

Curvatura gaussiana [editar]

Tres superficies con curvatura gausiana negativa (izquierda), cero (centro) y positiva (derecha).

La curvatura gaussiana de una superficie es un número real K(P₀) que mide la curvatura intrínseca en cada punto regular P₀ de una superficie. Esta curvatura puede calcularse a partir de los determinantes de la primera y segunda formas fundamentales de la superficie:

Esta curvatura gaussiana en general varía de un punto a otro de la superficie y está relacionada con las curvaturas principales de cada punto (k₁ y k₂), mediante la relación K = k₁k₂.

Un caso interesante de superficie es la esfera, que tiene la misma curvatura en todos sus puntos. Calculando la curvatura de Gauss de una esfera (2-esfera). A partir de la fórmula anterior se llega fácilmente a que para una esfera de radio r, la curvatura gaussiana es igual en todos los puntos e igual a .

Si bien observamos que hay superficies que tienen curvatura constante, la curvatura gaussiana debe verse como una relación donde (una función diferenciable sobre S) que asigna a cada superficie su función de curvatura gaussiana.
La manera actual de definir la curvatura gaussiana es mediante el operador de forma (del inglés shape operator) de la superficie S:

, definido mediante

Donde son los vectores tangentes coordenados y están siendo evaluados en la posición p.

Con la derivada (jacobiano) del operador de forma

uno obtiene una transformación lineal auto-adjunta -llamada transformación de Weingarten- y así, la curvatura gaussiana es determinante de L, i.e.

Es relativamente fácil verificar que coincide con la definición dada arriba.

En términos de los componentes del tensor de curvatura de Riemann para las 2-variedad diferenciables, uno encuentra la relación

Ejemplo, la curvatura gaussiana de un toro es donde se ha usado la parametrización:

Véase también [editar]

• Geometría diferencial de curvas

Bibliografía [editar]

• Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autònoma de Catalunya, 1993. ISBN 84-7929-776-X.
• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.
• M. do Carmo: "Differential geometry of curves and surfaces".

Enlaces externos [editar]

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Enciclopedia en-línea de Springer-Verlag [1]

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En matemáticas, la geometría diferencial de curvas propone definiciones y métodos para analizar curvas simples en Variedades de Riemann, y en particular, en el Espacio Euclídeo.

Longitud de arco [editar]

Dada una curva suficientemente suave (diferenciable y de clase ), en y dado su vector de posición expresado mediante el parámetro t;

se define el llamado parámetro de arco s como:

La cual se puede expresar también de la siguiente forma en la cual resulta más fácil de recordar

Lo cual permite reparametrizar la curva de la siguiente manera:

donde

son las relaciones entre las dos parametrizaciones.

Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frênet-Serret [editar]

Vista esquemática del vector tangente, vector normal y vector binormal de una curva hélice.

Dada una curva parametrizada r(t) según un parámetro cualquiera t se define el llamado vector tangente, normal y binormal como:

ó bien

ó bien

ó bien

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frênet-Serret a raiz del estudio de Jean Frenet y Joseph Serret. Es interesante que para una partícula física desplazándose en el espacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidad o aceleración normal.

Si la curva está parametrizada según la longitud de arco, como se explicó en la sección anterior las fórmulas anteriores pueden simplificarse notablemente:

Donde la curvatura y la torsión son precisamente los parámetros χ y τ anteriores.

Curvatura y torsión [editar]

La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice, que más grande es la curvatura. Para una curva parametrizada cualquiera la curvatura es igual a:

Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se reducen a:

Además de la curvatura se suele definir el llamado radio de curvatura, como el inverso de la curvatura.

La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: cuanto más rápido cambia, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsión es nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene. Para el caso general la torsión viene dada por:

Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se reduce simplemente a:

Plano osculador [editar]

El plano osculador es el plano que contiene en cada punto de la curva a su vector tangente y a su vector normal. Para una partícula desplazándose en el espacio el plano osculador coincide con el plano que en cada instante contiene a la aceleración y la velocidad. La ecuación de este plano viene dada por:

Donde:
, el punto de la trayectoria.
, el vector velocidad en el punto considerado.
, las coordenadas de un punto genérico del plano osculador.

Centro de curvatura [editar]

En un entorno de un punto de una curva puede ser aproximado por un círculo, llamado círculo osculador por estar contenido en el plano osculador. El radio del círculo osculador coincide con el radio de curvatura (inverso de la curvatura). El centro de dicho círculo puede buscarse como:

O más sencillamente en función del parámetro de arco como:

Teorema fundamental de curvas [editar]

El teorema fundamental de curvas que enunciamos a continuación nos dice que conocido un punto de una curva y su vector tangente, la curva queda totalmente especificada si se conoce la función de curvatura y de torsión. Su enunciado es el siguiente:

Sea un intervalo. Dadas dos funciones continuas χ y τ de a y dado un sistema de referencia fijo (ortonormal) de , {x₀; e₁, e₂, e₃}, entonces existe una única curva parametrizada de , y tales que:

1. La curva pasa por x₀, y el vector tangente T a la curva en ese punto coincide con e₁.
2. A lo largo de la curva pueden definirse tres campos vectoriales T(s), N(s) y B(s) llamados respectivamente vector tangente, normal y binormal, perpendiculares entre sí y tales que en el punto inicial coinciden con e₁, e₂, e₃ (es decir, T(0) = e₁, N(0) = e₂, B(0) = e₃).
3. Se cumplen las siguientes ecuaciones:

O bien escrito matricialmente

donde el punto es la derivada con respecto al arcoparámetro s.

Esto tiene implicaciones físicas interesantes, por ejemplo, la trayectoria de una partícula queda especificada si se conocen la posición inicial, la velocidad inicial y la variación en el tiempo de las derivadas segundas (que están relacionadas con la curvatura y la torsión). Es por eso por lo que las leyes de Newton o las ecuaciones de Euler-Lagrange se expresan en términos de derivadas de segundo orden (que es necesario complementar con la posición y velocidades iniciales).

Véase también [editar]

• Geometría diferencial de superficies

Bibliografía [editar]

• Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autònoma de Barcelona, 1993. ISBN 84-7929-776-X.
• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externos [editar]

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.

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FRACTALES: THE GOLDEN MEAN

En la naturaleza también aparece la geometría fractal, como en este romanescu.

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.^[1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:^[2]

• Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
• Posee detalle a cualquier escala de observación.
• Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística).
• Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
• Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

No nos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras^[3] o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

Introducción [editar]

Los ejemplos clásicos [editar]

Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto.

sucesivos pasos de la construcción de la curva de Koch

Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica. Dichos ejemplos podían construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía al que hoy llamamos conjunto fractal. Así, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año después, su alfombra.

Construcción de la alfombra de Sierpinski:
Paso 1 (semilla)	Paso 2	Paso 3	Paso 4	Paso 5

Estos conjuntos mostraban las limitaciones del análisis clásico, pero eran vistos como objetos artificiales, una "galería de monstruos", como los denominó Poincaré. Pocos matemáticos vieron la necesidad de estudiar estos objetos en sí mismos.^[4]

En 1919 surge una herramienta básica en la descripción y medida de estos conjuntos: la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

Los conjuntos de Julia [editar]

Estos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia en los años 1920, surgen como resultado de la aplicación reiterada de funciones holomorfas .

Analicemos el caso particular de funciones polinómicas de grado mayor que uno. Al aplicar sucesivas veces una función polinómica es muy posible que el resultado tienda a . Al conjunto de valores de que no escapan al infinito mediante esta operación se le denomina conjunto de Julia relleno, y a su frontera, simplemente conjunto de Julia.

Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones.

En negro, conjunto de Julia relleno asociado a fc, c=φ-2, donde φ es el número áureo

Conjunto de Julia relleno asociado a fc, c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.4+0.6i

Conjunto de Julia relleno asociado a fc, c=-0.835-0.2321i

En negro, imagen del conjunto de Mandelbrot superpuesto con los conjuntos de Julia rellenos representados por algunos de sus puntos (en rojo los conjuntos de Julia conexos y en azul los no conexos).

Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot [editar]

La familia de conjuntos de Julia {f_c}, asociadas a la reiteración de funciones de la forma f_c(z) = z² + c presenta conjuntos de una variedad sorprendente.

Dicha familia tendrá especial relevancia al quedar parametrizada en un mapa de fractales llamado conjunto de Mandelbrot. Este conjunto M representa un mapa en que cada pixel, correspondiente a un valor del parámetro , se colorea de modo que refleje una propiedad básica del conjunto de Julia asociado a f_c. En concreto, si el conjunto de Julia asociado a f_c es conexo.

Características de un fractal [editar]

Autosimilitud [editar]

Autosimilitud exacta del copo de nieve de Koch.

Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.^[5]

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

• Autosimilitud exacta. este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).

Cuasiautosimilitud en el conjunto de Mandelbrot: al variar la escala obtenemos copias del conjunto con pequeñas diferencias.

• Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.
• Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch [editar]

Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son:

• La dimensión fractal. Las fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa (1.2), nubes, árboles, etc, Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matemáticos.

• La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definición más compleja que la de dimensión fractal. Su definición no suele usarse para comparar conjuntos del mundo real.

Autosimilitud estadística de un fractal generado por el proceso de agregación por difusión limitada.

Definición por algoritmos recursivos [editar]

Podemos destacar tres técnicas comunes para generar fractales:

• Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos conjuntos se reemplazan recursivamente por su imagen bajo un sistema de aplicaciones: el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragón, el copo de nieve de Koch o la Esponja de Menger, son algunos ejemplos.
• Fractales de algoritmos de Escape, definidos por una relación de recurrencia en cada punto del espacio (por ejemplo, el plano complejo): el conjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia, y el fractal de Lyapunov.
• Fractales aleatorios, generados por procesos estocásticos, no deterministas: el movimiento browniano,el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los árboles brownianos. Éstos últimos son producidos por procesos de agregación por difusión limitada..

Aspectos matemáticos [editar]

Intentos de definición rigurosa [editar]

El concepto de fractal no dispone en el año 2008 de una definición matemática precisa y de aceptación general. Intentos parciales de dar una definición fueron realizados por:

• B. Mandelbrot, que en 1982 definió fractal como un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica. Él mismo reconoció que su definición no era lo suficientemente general.
• D. Sullivan, que definió matemáticamente una de las categorías de fractales con su definición de conjunto cuasiautosimilar que hacía uso del concepto de cuasi-isometría.

Dimensión fractal [editar]

Puede definirse en términos del mínimo número N(ε) de bolas de radio ε necesarias para recubrir el conjunto, como el límite:

O en función del recuento del número de cajas N_n de una cuadrícula de anchura 1 / 2ⁿ que intersecan al conjunto:

Se demuestra que ambas definiciones son equivalentes, y que son invariantes bajo isometrías.^[6]

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch [editar]

De una definición más compleja, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch nos proporciona un número D_H(A), también invariante bajo isometrías, cuya relación con la dimensión fractal D_F(A) es la siguiente:

Esto permite distinguir en algunos casos entre conjuntos con la misma dimensión fractal.

Dimensión de fractales producidos por un IFS [editar]

En ese caso, cuando no haya solapamiento, se demuestra que D_F = D_H y que ambas pueden calcularse como solución de la ecuación:

donde c_i designa el factor de contracción de cada aplicación contractiva del IFS.

Aplicaciones [editar]

Se han utilizado técnicas de fractales en la compresión de datos y en diversas disciplinas científicas.

Compresión de imágenes [editar]

Comprimir la imagen de un objeto autosemejante como el helecho de la figura no es difícil: haciendo uso del teorema del collage, debemos encontrar un IFS, conjunto de transformaciones que lleva la figura completa (en negro) en cada una de sus partes autosemejantes (rojo, azul celeste y azul marino). La información sobre la imagen quedará codificada en el IFS, y la aplicación reiterada de dichas transformaciones permite obtener la imagen procesada en cuestión.

Pero el enfoque anterior plantea problemas con muchas imágenes reales: no esperamos, por ejemplo, que la imagen de un gato presente pequeños gatitos distorsionados sobre sí mismo. Para solventarlo, en 1989 Arnaud Jacquin creó el esquema de sistemas de funciones iteradas particionadas: en él se subdivide la imagen mediante una partición y para cada región resultante se busca otra región similar a la primera bajo las transformaciones apropiadas.^[7]

El esquema resultante es un sistema de compresión con pérdidas, de tiempo asimétrico. Lamentablemente aún se tarda mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la descodificación es muy rápida. La compresión, aunque dependa de muchos factores, suele ser equiparable a la compresión JPEG, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para decantarse por uno u otro sistema.

Modelado de formas naturales [editar]

Fracción de un fractal Mandelbrot.

Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (Las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio), como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja).

Sistemas dinámicos [editar]

Un atractor extraño: el Atractor de Lorenz.

Pero además las formas fractales no sólo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos (ver teoría del caos). Dinámica que consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de ciclos más complejos los cuales forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo. Las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.

En manifestaciones artísticas [editar]

Imagen generada con el programa Apophysis.

Se usan tanto en la composición armónica y rítmica de una melodía como en la síntesis de sonidos. Esto se debe al uso de lo que en composición se llaman "micromodos", o pequeños grupos de 3 notas, a partir de los cuales uno puede trabajarlos de manera horizontal (melódica), o vertical (armónica). A su vez, el ritmo puede ser trabajado en sucesiones temporales especificas, que son determinadas por sucesiones de fractales.

Literatura y poesía [editar]

Se usan también como punto de unión entre el arte y la ciencia, un ejemplo de eso es el científico-poeta chileno-alemán Mario Markus.

Artes gráficas [editar]

Con programas informáticos como Apophysis o Ultra Fractal se pueden hacer imágenes con técnicas diversas; cambiando parámetros, geometría de triángulos o con transformaciones aleatorias (a veces llamadas "mutaciones").

Extrapolación de conceptos a Ciencias Sociales [editar]

Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada, como revistas especializadas, monografías, prensa diaria o páginas de Internet fidedignas. Puedes añadirlas así o avisar al autor principal del artículo en su página de discusión pegando: {{subst:Aviso referencias|Fractal}} ~~~~

Varias ciencias particulares pueden hoy aprovechar los conceptos de la teoría de fractales en sus respectivas áreas de conocimiento. Incluso se han encontrado ejemplos de objetos fractales en ciencias sociales como la economía.^[8] Una extrapolación demasiado esquemática de la geometría fractal a las ciencias sociales será siempre una utopía, ya que la sociedad no es precisamente una abstracción matemática. Una sociedad no puede hallar una ecuación sumaria que genere una estructura determinada, por el simple hecho de que los pilares de una sociedad son más elásticos que simples coordenadas ideales. Sí que se da lo que la teoría del caos se denomina "sensibilidad extrema" a los "estados iniciales" de un proceso, que pueden redundar en drásticos cambios pasado un tiempo del inicio, como postula la Teoría del Caos, ¿No puede una crisis económica (nacional) repercutir sobre todo el sistema de la economía mundial?

Con el estudio del genoma humano, lo que se está tratando de hacer es sacar las leyes que rigen el desarrollo del ser humano, haciendo posible predecir fenómenos que antes eran imposibles de estudiar. Sin embargo, la sociedad no tiene un "ADN" tan rígido como el ser humano. El análisis del "ADN social", o sea, de todas sus tendencias internas de desarrollo, puede realizarse siguiendo los parámetros de esta teoría. Dicho de otra manera, es una forma novedosa que puede tomar el método dialéctico que funda Marx.

Marx también estudió otras ecuaciones sumarias que engendraban a la estructura capitalista mundial: Una de ellas era la propiedad privada de los medios de producción. Estudió cómo se desarrollaría este fenómeno histórico. Y sacó la conclusión de que la propiedad privada tendía al monopolio. Pero no pudo determinar "exactamente" el porvenir del sistema, ya que el capitalismo no tiene un ADN que permita predecir con exactitud su desarrollo diacrónico, histórico. Y si lo tuviera, en tiempos de Marx nadie lo entendería aún.

Por ello, las ciencias sociales se baten entre las ciencias duras y las blandas. No llega a ser una "ciencia dura" por esta imposibilidad de hallar leyes precisas. Pero puede hallar leyes elásticas, que acerquen al objeto de estudio sin renunciar a la ciencia. El método que puede servir para ello es la teoría del caos y los fractales.

En esto se relacionan la teoría de fractales y la teoría del caos, las cuales son parte de un mismo y novedoso paradigma emergente en la Ciencia. La teoría de Sistemas de Ludwig von Bertalanffy también tiene sus aportes para hacer, al igual que la Teoría de las catástrofes, de René Thom.

Referencias [editar]

Véase también [editar]

Enlaces externos [editar]

• Curso de fractales Información extensa y detallada sobre fractales.
• Geometría Fractal
• Fractovía Información sobre fractales.
• Armonia fractal de Doñana y las marismas Bellas imágenes aéreas de fractales naturales en las zonas húmedas del sur de España, Casa de la Ciencia, CSIC.
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre fractales.Commons

• Fractalina Galerías de Arte Fractal
• Galerías de arte fractal en el Open directory Project
• Replayer El archivo de Fractales que se publicó en USENET.
• Música fractal en el Open Directory Project
• Museo de Arte Fractal de Argentina
• Fractarte Arte Fractal.
• Destino Fractal Galerías de Arte Fractal y tutoriales sobre creación de Fractales
• Kairos Art Arte Fractal.

• Música fractal: el sonido del caos Introducción general sobre fractales y aplicación a la composición automática de música
• Codificación fractal de imágenes Analiza la aplicación de técnicas fractales a la compresión con pérdidas de imágenes

• Borlandia Applets en java que generan Fractales interactivos
• UltraFractal Programa shareware pero completamente funcional (únicamente mantiene una marca de agua si se quieren exportar imágenes)
• Apophysis Programa de código abierto para la creación de fractales (en inglés)
• IFS Illusions generador IFS freeware, para Windows
• FractInt generador fractal freeware, para DOS, Windows y existe un porte a Linux disponible. (en inglés)
• Sterling2 generador fractal freeware, para Windows (en inglés)
• XaoS zoomer interactivo de fractales para linux.

• "Fractales y Violines" Vídeo de fractales
• Video sobre la Armonia Fractal de Doñana y las Marismas. Casa de la Ciencia, Sevilla, España
• Documental reportaje "Armonía Fractal" del Programa Tesis, Canal Sur 2 Andalucía
• [1]Vídeo que ilustra la definición de fractal.

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Shiing-Shen Chern
240px
Nacimiento	26 de octubre de 1911 Jiaxing, Zhejiang,China
Fallecimiento	3 de diciembre de 2004 Tianjin,China
Residencia	China  Estados Unidos
Nacionalidad	China  Estados Unidos
Instituciones	Universidad Tsinghua Institute for Advanced Study University of Chicago University of California, Berkeley Universidad de Nankai
Alma máter	Universidad de Nankai Universidad Tsinghua Universidad de Hamburgo
Supervisor doctoral	Wilhelm Blaschke
Estudiantes destacados	Shing-Tung Yau
Conocido por	Teoría de Chern-Simons Teoría de Chern-Weil Clases de Chern
Premios destacados	National Medal of Science (1975) Premio Wolf (1983) Medalla Lobachevsky (2002) Premio Shaw (2004)
Cónyuge	Shih-ning (Cheng) Chern

Shiing-Shen Chern (26 de octubre de 1911 - 3 de diciembre de 2004) fue un matemático chino estadounidense, uno de los líderes en geometría diferencial del siglo XX.

Biografía [editar]

Chern nació en Jiaxing en la provincia de Zhejiang. Se trasladó a Tianjin en 1922 para estar con su padre, ya partir de 1926 estudió allí en Universidad de Nankai, se graduó en matemáticas en 1930. Él era un estudiante graduado bajo Dan Sun en la Universidad Tsinghua, de 1931 a 1934, trabajando en la geometría proyectiva diferencial.

En 1932 Wilhelm Blaschke de la Universidad de Hamburgo visitó Tsinghua y quedó impresionado con Chern. En 1934 Chern fue con una beca a Hamburgo, trabajando en la teoría Cartan-Kähler, y terminando su doctorado en 1936. En 1936-1937 estudió con Élie Cartan en París, volviendo a Beijing, China a una posición en profesores de Tsinghua (que había trasladado a Kunming después de los ataques japoneses).

En 1943 fue a Chern el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (IAS), trabajando allí sobre las clases características de geometría diferencial. Poco después, fue invitado por Solomon Lefschetz a ser un editor de Annals of Mathematics.

Él regresó a Shanghai en 1946 para fundar el Instituto de Matemáticas de la Academia Sínica, que más tarde fue trasladado a Nanking. A partir de 1948 fue de nuevo al IAS, convirtiéndose en un profesor de la Universidad de Chicago en 1949.

Se trasladó a la Universidad de California, Berkeley en 1960. Al año siguiente se convirtió en un ciudadano naturalizado de los Estados Unidos. En Berkeley, fundó el Instituto de Investigación de las Ciencias Matemáticas (MSRI) en 1981 y actuó como director hasta 1984. En 1985 fundó el Instituto de Matemáticas de Nankai en Tianjin, donde murió en 2004 a la edad de 93.

Investigación [editar]

El trabajo de Chern se extiende sobre todos los campos clásicos de la geometría diferencial. Incluye las áreas actualmente de moda (la teoría Chern-Simons derivada de un documento de 1974 escrito conjuntamente con Jim Simons), perennes con la (teoría Chern-Weil vinculada con la curvatura de invariantes de curvatura de clase característica de 1944, después del documento de Allendoerfer-Weil de 1943 sobre el Teorema de Gauss-Bonnet), las cotidianas (Clase de Chern), y algunos ámbitos, como la geometría proyectiva diferencial y redes matemáticas que tienen un perfil más bajo. Ha publicado los resultados en la geometría integral, el valor de distribución de la teoría de funciones holomórficas, y superficies mínimas.

Fue un verdadero seguidor de Élie Cartan, trabajando intensamente sobre la 'teoría de la equivalencia' a su vez en China de 1937 a 1943, en relativo aislamiento. En 1954 publicó su propio tratamiento del problema de pseudogrupo es que en efecto la piedra de toque de la teoría geométrica de Cartan. Solía pasar el Marco móvil con éxito sólo acompañado por su inventor; prefiere en la teoría de múltiples complejos para quedarse con la geometría, en lugar de seguir la teoría potencial. De hecho, uno de sus libros se titula, "Complex Manifolds without Potential Theory". En los últimos años de su vida, se propugna el estudio de la geometría de Finsler, escrito varios libros y artículos sobre el tema.

Distinciones y premios [editar]

Se le concedió la Medalla Nacional de Ciencias en 1975, el premio Wolf en matemáticas en 1984, y el premio Shaw en ciencias matemáticas en mayo de 2004. El asteroide 29552 Chern lleva su nombre.

Familia [editar]

Su esposa, Shih-ning (Cheng) Chern, que se casó en 1939, murió en 2000. él también tenía una hija, Mayo Chu (esposa del físico Paul Chu) y un hijo llamado Paul.

Transcripción y pronunciación [editar]

El apellido Chern es un apellido chino que es ahora generalmente escrito Chen. La insólita ortografía "Chern" es una transliteración en el antiguo Gwoyeu romatzyh (GR) romanización de chino mandarín utilizado a principios del siglo XX en China. Utiliza las normas especiales de ortografía para indicar los diferentes tonos de mandarín, que es un idioma tonal, con cuatro tonos. La r sin sonido en "Chern" indica una segunda sílaba de tono, por escrito "Chén" en pinyin, pero en la práctica a menudo escritos por no chinos sin la marca tonal. En GR En la ortografía de su nombre "Shiing Shen-" indica un tercer tono para Shiing y un primer tono de Shen, que son equivalentes a las sílabas "Xǐngshēn" en pinyin.

En inglés, Chern pronuncia su nombre "Churn", y esta pronunciación es ahora aceptada universalmente entre los matemáticos y físicos de habla inglesa.

Véase también [editar]

• Clases de Chern
• Teorema de Gauss-Bonnet generalizado
• Teoría Chern-Simons
• Formas de Chern-Simons
• Teoría Chern-Weil
• Homomorfismo Chern-Weil

Enlaces externos [editar]

• UC Berkeley obituary
• 1998 interview in Notices of the American Mathematical Society
• Shiing-Shen Chern en el Mathematics Genealogy Project.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Shiing-Shen Chern» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de St. Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Chern.html 
• Chern's Work in Geometry by Shing-Tung Yau

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Hermann Klaus Hugo Weyl
Hermann Weyl (izquierda) y Ernst Peschl (derecha)
Nacimiento	9 de noviembre 1885 Elmshorn,  Imperio Alemán
Fallecimiento	8 de diciembre 1955 Zúrich,  Suiza
Campo	Física matemática
Instituciones	Instituto de Estudios Avanzados de Princeton Universidad de Göttingen Escuela Politécnica Federal de Zúrich
Supervisor doctoral	David Hilbert

Hermann Weyl (9 de noviembre de 1885 - 8 de diciembre de 1955) fue un matemático alemán. Aunque bastante tiempo de su vida laboral la radicó en Zúrich y luego en Princeton, es identificado familiarmente con la tradición matemática de la Universidad de Göttingen, representada por David Hilbert y Hermann Minkowski. Su investigación ha sido muy relevante para la física teórica así como disciplinas puras, incluyendo la teoría de números. Fue uno de los matemáticos más influyentes del siglo XX, y un miembro clave del Instituto de Estudios Avanzados en sus orígenes, contribuyendo para una visión internacional e integrada.

Weyl publicó algunos trabajos técnicos y generales sobre el espacio, el tiempo, la materia, filosofía, lógica, simetría e historia de las matemáticas. Fue uno de los primeros en concebir la probabilidad de combinar la relatividad general con las leyes del electromagnetismo. Mientras ningún otro matemático de su generación aspiró al 'universalismo' de Poincaré o Hilbert, Weyl se acercó como ningún otro. Michael Atiyah, en particular, comentó alguna vez que siempre que investigaba en algún area, descubría que Weyl le había precedido.

La semejanza de nombres hace que a veces lo confundan con André Weil. Una broma matemática supone que, como estos dos personajes fueron realmente grandes, éste era un caso raro en el este tipo error nunca pudo haber causado alguna ofensa en alguno de ellos.

Biografía [editar]

Hermann Weyl nació en Elmshorn, una ciudad cercana a Hamburgo, en Alemania.

Desde 1904 a 1908 estudió matemática y física tanto en Göttingen como en Múnich. Su doctorado lo obtuvo en la Universidad de Göttingen bajo la supervisión de David Hilbert a quien admiraba mucho. Tras obtener un puesto de enseñanza durante unos años, dejó Göttingen por Zúrich para ocupar la cátedra de matemática en la ETH Zurich, donde fue colega de Einstein que se encontraba puliendo los detalles de la teoría de la relatividad general. Einstein ejerció una influencia duradera sobre Weyl, que quedó fascinado por la física matemática. Weyl conoció en 1921 a Erwin Schrödinger, quien fue nombrado Profesor en la Universidad de Zúrich. Llegaron a ser amigos íntimos con el tiempo.

Weyl dejó Zúrich en 1930 para ser el sucesor de Hilbert en Göttingen hasta el principio de la guerra en 1933. Los eventos le persuadieron a dirigir el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton. Continuó allí hasta su retiro en 1951. Junto con su esposa, vivió en Princeton y Zúrich, y murió en ésta última en 1955.

Contribuciones [editar]

Fundamentos geométricos de las variedades y física [editar]

En 1913, Weyl publicó Die Idee der Riemannschen Fläche (El concepto de una superficie de Riemann), que dio tratamiento unificado a las superficies de Riemann. Weyl usó la topología general para hacer más rigurosa la teoría de superficies de Riemann. Absorbió el trabajo previo de L. E. J. Brouwer sobre topología para este propósito.

En 1918, introdujo la noción de gauge, y dio el primer ejemplo de lo que sería conocido como teoría de gauge. La teoría de gauge de Weyl fue un intento sin éxito de modelar el campo electromagnético y el campo gravitatorio como propiedades geométricas del espacio-tiempo. El tensor de Weyl de la geometría riemanniana es de máxima importancia para comprender la naturaleza de la geometría conforme.

Fundamentos de matemática [editar]

En The Continuum Weyl desarrolló el análisis predicativo usando los niveles bajos de la teoría ramificada de tipos de Russell. Fue capaz de desarrollar la mayoría del cálculo clásico sin usar el axioma de elección, la prueba de contradicción o los conjuntos infinitos de Cantor. Weyl apeló durante este periodo al constructivismo radical del romántico e idealista subjetivo alemán Fichte.

Poco después de publicar The Continuum, Weyl desplazó por completo su postura brevemente al intuicionismo de Brouwer. En el Continuum, los puntos construibles existen como entidades discretas. Weyl quería un continuo que no fuese un agregado de puntos. Escribió un controvertido artículo diciendo de sí mismo y L. E. J. Brouwer que "Somos la revolución". Este artículo fue mucho más influyente a la hora de propagar las ideas intuicionistas que los trabajos originales del propio Brouwer.

George Pólya y Weyl hicieron una apuesta durante una reunión de matemáticos en Zúrich (9 de febrero de 1918) sobre la dirección futura de la matemática. Weyl predijo que en los 20 años siguientes, los matemáticos se darían cuenta de la vaguedad total de nociones tales como los números reales, conjuntos y numerabilidad, y más aún, que preguntarse por la verdad o falsedad de la propiedad del supremo de los números reales tenía tan poco sentido como preguntarse sobre la verdad de las afirmaciones básicas de Georg Hegel sobre la filosofía de la naturaleza. La existencia de esta apuesta queda documentada en una carta descubierta por Yuri Gurevich en 1995, y se dice que cuando venció el tiempo de la apuesta, los individuos presentes dieron a Pólya como vencedor (sin la concurrencia de Kurt Gödel).

Sin embargo, tras unos pocos años decidió que el intuicionismo de Brouwer ponía restricciones demasiado grandes a la matemática. El artículo "Crisis" molestó a Hilbert, maestro formalista de Weyl, pero más adelante en la década de 1920 Weyl reconcilió su postura parcialmente con la de Hilbert.

Tras 1928 Weyl decidió aparentemente que el intuicionismo matemático no se podía reconciliar con su entusiasmo por el pensamiento de Husserl. En las últimas décadas de su vida Weyl dio énfasis a la matemática como "construcción simbólica" y se desplazó a una postura no sólo más cercana a la de Hilbert sino también a la de Ernst Cassirer. Sin embargo, Weyl se refirió rara vez a Cassirer, y sólo escribió artículos breves y pasajes articulando esta postura.

Matemática de la relatividad [editar]

Weyl siguió el desarrollo de este campo de la física desde 1918 en su Raum, Zeit, Materie (Espacio, tiempo, materia), que alcanzó la cuarta edición en 1922. Su enfoque se basaba en la filosofía fenomenológica de Edmund Husserl, específicamente en su Ideen zu einer Phänomenologia de 1913. Aparentemente, ésta era la manera de Weyl de lidiar con la controvertida dependencia de Einstein en la física fenomenológica de Ernst Mach. Husserl había reaccionado vivamente a la crítica que hizo Frege de su primer trabajo sobre la filosofía de la aritmética y estaba investigando el sentido de la matemática y otras estructuras, que Fregue había distinguido de la referencia empírica. Por tanto, hay buenas razones para ver la teoría de gauge tal como se desarrolló de las ideas de Weyl como un formalismo de la medida física y no una teoría de nada físico, es decir, como un formalismo científico.

Grupos topológicos, grupos de Lie y teoría de la representación [editar]

De 1923 a 1938, Weyl desarrolló la teoría de grupos compactos en términos de representación de matrices. En el caso del grupo compacto de Lie, probó una fórmula de caracteres fundamental.

Estos resultados son fundamentales para entender la estructura simétrica de la mecánica cuántica, que él puso sobre una base de teoría de grupos. Esto incluye a los espinores. Junto con la formulación matemática de la mecánica cuántica, en gran medida debido a John von Neumann, esto dio el tratamiento que ha sido familiar desde alrededor de 1930. También estaban profundamente implicados los grupos no compactos y sus representaciones, particularmente el grupo de Heisenberg. Desde entonces, y ciertamente con la gran ayuda de las exposiciones de Weyl, los grupos de Lie y el álgebra de Lie se convirtieron en parte habitual de la matemática pura y la física teórica.

Su libro The Classical Groups, un texto seminal aunque difícil, reconsideró la teoría de invariantes. Cubría los grupos simétricos, todos los grupos lineales, los grupos ortogonales y los grupos simplécticos y resultados sobre sus invariantes y representaciones.

Análisis armónico y teoría analítica de números [editar]

Weyl mostró también la manera de usar sumatorios exponenciales en la aproximación diofántica, con su criterio para distribución uniforme modo 1, que fue un paso fundamental para la teoría analítica de números. Este trabajó se aplicaba tanto a la función zeta de Riemann como a la teoría aditiva de números. La desarrollaron muchos otros.

Citas [editar]

Este comentario de Weyl, aunque medio en broma, resume su personalidad:

Véase también [editar]

• Álgebra de Weyl
• Grupo de Weyl
• Desigualdad de Weyl
• Lema de Weyl
• Postulado de Weyl
• Espinor de Weyl
• Tensor de Weyl
• Teorema de Peter-Weyl
• Agujero de gusano

Trabajos Publicados [editar]

• (1918) The Continuum: A Critical Examination of the Foundation of Analysis. ISBN 0-486-67982-9.
• (1923) Mathematische Analyse des Raumproblems.
• (1924) Was ist Materie?.
• (1928) Gruppentheorie und Quantenmechanik.
•  (1934) «On generalized Riemann matrices» Ann. of Math. Vol. Vol. III. n.º 35. pp.~400--415.
• (1935) Elementary Theory of Invariants.
• (1949) Philosophy of Mathematics and Natural Science.
• (1952) Space Time Matter. título original: "Raum, Zeit, Materie". ISBN 0-486-60267-2.
• (1952) Symmetry. Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
• (1955) The Concept of a Riemann Surface. Addison-Wesley.
• (1968) Gesammelte Abhandlungen (vol. Vol IV). ed. Chandrasekharan, K. Springer.
• Classical Groups: Their Invariants And Representations. ISBN 0-691-05756-7.

Enlaces y Referencias externas [editar]

• Academia Nacional de Ciencias
• Biografía por Atiyah
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Hermann Weyl» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de St. Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Weyl.html 
• Weisstein, Eric W., "Weyl, Hermann (1885-1955)". Eric Weisstein's World of Science.
• Bell, John L., "Sobre la intuición y el contínuum" (PDF)
• Gurevich, Yuri, Platonism, Constructivism and Computer Proofs vs Proofs by Hand, Bulletin of the European Association of Theoretical Computer Science, 1995.
• Kilmister, C. W. "Zeno, Aristotle, Weyl and Shuard: two-and-a-half millennia of worries over number." 1980.
• Hermann Weyl en el Mathematics Genealogy Project

Plantilla:ORDENAR:Weyl, Hermann

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Hermann Weyl.Commons

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SUPERFICIE DE RIEMANN

En geometría diferencial, la geometría de Riemann es el estudio de las variedades diferenciales con métricas de Riemann; es decir de una aplicación que a cada punto de la variedad, le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, aplicación que varía suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre otras magnitudes) ángulo, longitud de curvas, y volumen. A partir de éstas, pueden obtenerse otras magnitudes por integración de las magnitudes locales.

Fue propuesta por primera vez de forma general por Bernhard Riemann en el siglo XIX. Como casos especiales particulares aparecen los dos tipos convencionales (geometría elíptica y geometría hiperbólica) de geometría No-Euclidiana, así como la geometría euclidiana misma. Todas estas geometrías se tratan sobre la misma base, al igual que una amplia gama de las geometrías con propiedades métricas que varían de punto a punto.

Cualquier variedad diferenciable admite una métrica de Riemann y esta estructura adicional ayuda a menudo a solucionar problemas de topología diferencial. También sirve como un nivel de entrada para la estructura más complicada de las variedades pseudo-Riemann, las cuales (en el caso particular de tener dimensión 4) son los objetos principales de la teoría de la relatividad general.

No hay introducción fácil a la geometría de Riemann. Los artículos siguientes pueden servir como introducción:

1. tensor métrico
2. variedad de Riemann
3. conexión de Levi-Civita
4. curvatura
5. Tensor de curvatura.

Teoremas clásicos en la geometría de Riemann [editar]

Lo que sigue es una lista no completa de los teoremas más clásicos de la geometría de Riemann. La elección se hace dependiendo de su belleza, de la importancia y simplicidad de la formulación.

Teoremas generales [editar]

1. Teorema de Gauss-Bonnet La integral de la curvatura de Gauss en un variedad de Riemann compacta de 2 dimensiones es igual a 2πχ(M), aquí χ(M) denota la característica de Euler de M.
2. Teorema de inmersión de Nash también llamado Teorema Fundamental de la geometría de Riemann. Indican que cada variedad de Riemann puede ser isométricamente sumergida en un espacio euclidiano Rⁿ.

Enlaces externos [editar]

• Uma milenar régua, na resolução de triângulos esféricos(en portugués)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En matemáticas, la geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables (tal y como la topología diferencial) tanto como las nociones de conexión y curvatura (que no se estudia en la topología diferencial).

Las aplicaciones modernas de la geometría diferencial han dado el estado del arte que goza la física.

Véase también [editar]

• Sobre curvas, superficies y variedades:
  • Geometría diferencial de curvas
  • Geometría diferencial de superficies
  • Geometría diferencial de variedades.
• Construcciones técnicas útiles en geometría diferencial:
  • Grupo de Lie
  • Fibrado
  • Clase característica
  • Derivada covariante.
• Geometría diferencial y física:
  • Geometría riemanniana
  • Teoría de gauge
  • tensor de curvatura
  • Relatividad

• Matemáticas vinculadas
• Álgebra, Álgebra multilineal
• Variable compleja
• Análisis
• Ecuaciones diferenciales
• Análisis funcional
• Métodos numéricos
• super cómputo
• Geometría, Geometría algebraica, Geometría simpléctica
• teoría de categorías

En su concepción moderna la geometría diferencial podría confundirse con el álgebra multilineal

Enlaces externos [editar]

• Variedades, tensores y física Curso avanzado de geometría diferencial, por Álvaro Tejero Cantero (con licencia libre)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

VARIEDAD (ARRIBA) Y ARMONÍA (ABAJO)

En una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo no es igual a 180°, pues una esfera no es un espacio euclídeo. Sin embargo, localmente, las leyes de la geometría euclídea son buenas aproximaciones. Este ejemplo ilustra cómo la esfera puede ser representada por una colección de mapas bidimensionales. La esfera es, por tanto, una variedad, en concreto, una variedad riemanniana.

Una variedad es el objeto geométrico estándar en matemática, que generaliza la noción intuitiva de curva (1-variedad) y de superficie (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre cuerpos variados (no forzosamente el de los reales);

Un poco más formalmente, podemos decir que una variedad de dimensión n es un espacio que se parece localmente a . Esto nos hace pensar que una variedad esta compuesta de parches n-dimensionales, que donde los parches se traslapan están pegados topológicamente (ver variedad diferenciable).

Una variedad se llama cerrada si no tiene borde y es compacta.

Un campo de investigación muy activo es el estudio de las 3-variedades, que pertenece al área de la topología de dimensiones bajas.

Introducción [editar]

Los mapas (o cartas) [editar]

Cuando nos desplazamos por la esfera terrestre nos orientamos utilizando mapas planos reunidos en un atlas. En el límite de cada mapa figura la información necesaria para "pegar" mentalmente el mapa siguiente. Para poder hacerlo, es necesaria una cierta redundancia en la información: así, tanto el mapa de Europa como el de Asia pueden contener Moscú. De un modo similar, en matemáticas es posible describir una variedad utilizando una colección de mapas o cartas reunidos en un atlas e indicando como pasar de un mapa a otro. El globo terrestre es un ejemplo típico de variedad, pues puede ser representado por una colección de mapas geográficos.

Un mapa es una porción de la variedad análoga a un espacio vectorial; los cambios de mapa indican cómo estas porciones de variedades se acoplan entre sí. Así, para describir un círculo, es posible tomar como mapas dos arcos superpuestos.

En general no es posible describir una variedad a partir de un solo mapa, pues la estructura global de la variedad es diferente de la estructura simple del espacio modelo. Por ejemplo, ningún mapa plano puede describir convenientemente toda la Tierra. Las variedades aparecen como espacios topológicos y sus topologías sólo están determinadas por la situación de sus respectivos mapas.

Dimensión y topología de las variedades [editar]

Figura 2. Ejemplos de curvas : ■ círculos, ■ parábolas, ■ hipérbolas, ■ cúbicas.

La primera noción relacionada con la variedad es su dimensión. La dimensión designa el número de parámetros independientes que es necesario fijar para situar localmente a un punto sobre la variedad.

• Las curvas son variedades de dimensión uno.
• En una superficie, son necesarias dos coordenadas. Sobre la esfera terrestre, por ejemplo, será necesario precisar la latitud y la longitud.
• Existen numerosas variedades de dimensión superior a dos. Estas variedades son representables gráficamente de manera compleja, para ello, por ejemplo se usan diagramas de Heegaard o diagramas Freedman-Kirby.

Todas las variedades con una misma dimensión n — o n-variedades — tienen la misma topología local. Así, una pequeña porción de la curva es análoga a una recta y una pequeña porción de superficie es análoga a un plano. No obstante, las variedades se distinguen por su aspecto global. Por ejemplo, en la figura 2 la variedad roja está formada por dos círculos, y resulta visiblemente imposible deformarla de manera continua para obtener una de las otras tres curvas. Del mismo modo, una esfera y un toro no se parecen topológicamente. En general, la topología global puede complicarse por la presencia de agujeros, asas, etc.

Variedad abstracta y subvariedad [editar]

Figura 4. Botella de Klein.

Existen numerosos subconjuntos del espacio tridimensional que pueden tener una estructura de variedades: el círculo, el cilindro, la esfera, la cinta de Möbius etc. Estos subconjuntos se denominan subvariedades.

Existen también las denominadas variedades abstractas, como la botella de Klein representada en la figura 4. La botella de Klein puede ser descrita por un sistema de mapas y coordenadas representado por la red de meridianos y paralelas de la figura.

El teorema de inmersión de Whitney muestra que toda variedad abstracta de dimensión n puede realizarse como subvariedad de un espacio de dimensión suficientemente grande (2n). Así, la botella de Klein no puede representarse en el espacio de tres dimensiones, pero forma una subvariedad del espacio de cuatro dimensiones.

En 1851 Bernhard Riemann ofreció la primera definición de variedad, a la que denominó Mannigfaltigkeit'

Las variedades de Riemann [editar]

Bernhard Riemann fue el primer matemático que extendió sistemáticamente la noción de superficie a los objetos de mayores dimensiones, a los que llamó Mannigfaltigkeit.^[1] De este término procede el inglés manifold. Riemann ofrece una descripción intuitiva de variedad, considerando una variedad de dimensión n como un "apilamiento" continuo de variedades de dimensión n-1. En la acepción moderna de variedad, esta descripción intuitiva sólo es válida localmente, es decir, en el entorno de cada punto de la variedad. Riemann utiliza este concepto para describir el conjunto de valores de una variable sometida a ciertas restricciones, como el conjunto de los parámetros que describen la posición de una figura en el espacio.

A partir de entonces, las variedades empiezan a aplicarse en numerosos dominios. En matemáticas, se aplican al estudio de la prolongación analítica y de las variedades abelianas en análisis complejo y al estudio de los flots diferenciables con la aplicación de premier retour de Poincaré. En física, las variedades se aplican a la definición de las mecánicas hamiltoniana y lagrangiana. En 1904, al estudiar las variedades de dimensión 3, Henri Poincaré descubre uno de los problemas más célebres de la teoría de las variedades, la conjetura de Poincaré, demostrada por Grigori Perelmán y validada en junio de 2006.

A pesar de su popularidad, la noción de variedad siguió siendo borrosa. En 1912 Hermann Weyl ofreció una descripción intrínseca de las variedades diferenciables.^[2] Las publicaciones de los años 30, con ocasión de la prueba del teorema de inmersión por Hassler Whitney, dejaron bien establecido el concepto.

Ejemplo: el círculo [editar]

Figura 1.

Después de la recta real, el ejemplo más simple de variedad es la circunferencia. Existen dos maneras de introducirlo: aquí vamos a pensar en una circunferencia trazado en el plano euclídeo , teniendo como coordenadas x e y. Supondremos que se trata de una circunferencia de centro (0,0) y de radio 1. Tal circunferencia está definido implícitamente por la ecuación x² + y² = 1.

Primer atlas [editar]

Localmente, la circunferencia parece una línea, que tiene una sola dimensión. En otros términos, una sola coordenada es suficiente para describir un pequeño arco de circunferencia. Consideremos, por ejemplo, la parte superior de la circunferencia, para la que la coordenada y es positiva (la parte amarilla en la figura 1). No importa qué punto de esta parte pueda ser descrito por la coordenada x. Existe, por lo tanto, un homeomorfismo χ_arriba, que une la parte amarilla de la circunferencia al intervalo abierto [−1, 1] que representa cada punto de la circunferencia por su primera coordenada:

A tal función se le denomina un mapa o carta. Del mismo modo, existen mapas para las partes inferiores (rojo), izquierda (azul) y derecha (verde) de la circunferencia. Juntas, todas ellas recubren la totalidad de la circunferencia y decimos que los cuatro mapas conforman un atlas de esa circunferencia.

Los dos mapas superior e izquierdo se superponen. Su intersección se sitúa en el cuarto de circunferencia donde las coordenadas x e y son, respectivamente, negativa y positiva. El mapa χ_arriba realiza una biyección que en (x,y) asocia x, partiendo de la zona de superposición hacia el intervalo ]-1,0[. El mapa χ_izquierda por el que (x,y) da y asocia a esta misma zona de superposición el intervalo ]0;1[. De este modo, es posible crear una función T del intervalo ]-1,0[ hacia ]0,1[ :

Tal función se llama aplicación de cambio de mapa, de cambio de cartas o simplemente de transición. Permite pasar del sistema de coordenadas x elegido para el primer mapa al sistema de coordenadas y elegido para el segundo.

Segundo atlas [editar]

La aplicación pendiente forma un mapa que describe todos los puntos de la circunferencia excepto uno.

Los mapas superior, inferior, derecho e izquierdo muestran que la circunferencia es una variedad, pero no conforman el único atlas posible. Los mapas no tienen por qué ser proyecciones geométricas y su número es prácticamente arbitrario.

He aquí otro ejemplo de descripción de una circunferencia. Si tomamos como punto de base el punto de coordenadas (-1, 0) y trazamos diferentes rectas desde ese punto; la recta derecha de pendiente s corta a la circunferencia en un punto único. La correspondencia entre entre la pendiente de la derecha y las coordenadas de un punto de intersección es en un sentido:

 ;

y en el otro:

.

Este primer mapa describe todos los puntos de la circunferencia excepto el punto de base.

Para construir el segundo mapa hacemos una simetría tomando como punto de base (+1, 0) y como pendiente -t con:

.

Estos dos mapas proporcionan un segundo atlas de la circunferencia, teniendo por aplicación de cambio de mapa

.

Cada mapa omite un solo punto, sea (−1,0) para s o (+1,0) para t, de modo que ningún mapa solo puede describir completamente la circunferencia.

Conclusión [editar]

Hemos visto que los dos atlas presentados son compatibles, es decir, que agrupando los cuatro mapas del primero y los dos del segundo, obtenemos un nuevo atlas, todavía más redundante. Cada uno de ellos, así como el atlas global, definen la misma noción de orientación (repérage) por mapa y coordenadas locales, es decir, la misma estructura de variedad. Más adelante, se mostrará cómo el resultado de la ecuación x² + y² = 1 permite también crear sistemas de mapas locales adaptados.

A partir de estos ejemplos, podemos comprobar la flexibilidad que nos permite la utilización de mapas: disponemos de una variedad infinita de atlas compatibles sobre la circunferencia. Nuestra elección dependerá de la geometría del problema estudiado. Sin embargo, podemos demostrar topológicamente que un solo mapa no podrá jamás cubrir la totalidad de la circunferencia.

Clases de variedades [editar]

Figura 5. La lemniscata (con la topología heredada del plano) no es una variedad, pues en el entorno del punto doble se parece a una cruz.

existe en diversas variantes, utilizadas según el dominio particular considerado:

• variedades diferenciables: son como las superficies lisas (sin puntos angulosos) y generalmente reales. En ellas se pueden definir en cualquier punto vectores (o planos) tangentes; se utilizan en la teoría de los grupos de Lie, el cálculo diferencial sobre espacios topológicos más generales (que se utilizan por ejemplo en mecánica);
• variedades algebraicas: son curvas o superficies definidas como raíces de polinomios de varias variables generalmente complejas;
• variedades aritméticas: son casos particulares de variedades algebraicas, más especializadas, para las aplicaciones orientadas a la teoría de números. El cuerpo de referencia es el de los números racionales, o una de sus extensiones.

Variedades topológicas [editar]

Las variedades más sencillas de definir son las variedades topológicas, pues se parecen localmente a un espacio euclídeo ordinario Rⁿ. Formalmente, una variedad topológica es un espacio topológico en que cada punto tiene un entorno homemorfo a un abierto de Rⁿ. Estos homeomorfismos son las cartas o mapas de la variedad.

Variedades diferenciables [editar]

Una esfera, ejemplo de variedad diferenciable.

Las variedades diferenciables conforman una subclase especial de las variedades topológicas. Si las cartas locales en una variedad son aplicaciones diferenciables en el espacio de coordenadas, entonces podemos definir funciones diferenciables en esa variedad y un espacio tangente en cada punto. En particular, es posible utilizar el cálculo en una variedad diferenciable. La esfera bidimensional es un ejemplo clásico de variedad diferenciable.

Variedades riemannianas [editar]

En la geometría de Riemann, una variedad de Riemann es una variedad diferenciable real en la cual cada espacio tangente se equipa con un producto interior de manera que varíe suavemente de punto a punto. Esto permite que se definan varias nociones métricas como longitud de curvas, ángulos, áreas (o volúmenes), curvatura, gradiente de funciones y divergencia de campos vectoriales.

Grupos de Lie [editar]

Informalmente, un grupo de Lie es un grupo continuo, es decir, un grupo en el que tanto sus elementos como la operación varían continuamente. Un ejemplo típico es el grupo de rotaciones del plano alrededor de un punto. Esta idea se usa en contraposición a la de grupo "abstracto" o "algebraico", en cuyo estudio prima más los aspectos operacionales que los geométricos.

Por ejemplo, el espacio euclídeo con la operación de adición de vectores, o el conjunto de matrices reales nxn con determinante 1 son grupos de Lie. El primero se interpreta geométricamente como un grupo traslaciones; el segundo, transformaciones lineales que conservan el volumen.

Formalmente, un grupo de Lie G es una variedad diferenciable real o compleja provista de una estructura de grupo, debiendo ser las operaciones sobre tal grupo igualmente diferenciables u holomorfas.

Otros tipos de variedades [editar]

• Una variedad compleja es una variedad modelada sobre Cⁿ con funciones de transición holomorfas. Estas variedades son los objetos básicos de estudio en geometría compleja. Una variedad compleja de dimensión compleja uno se llama superficie de Riemann. Notemos que una variedad compleja de dimensión n tendrá dimensión 2n considerada como variedad diferenciable real.
• Variedades de dimensión infinita: para permitir el uso de infinitas dimensiones podemos considerar las variedades de Banach, que son localmente homeomorfas a un espacio de Banach. Otra posibilidad son las variedades de Fréchet, localmente homeomorfas a espacios de Fréchet.
• Una variedad simpléctica es una clase de variedad usada para representar los espacios de fases en Mecánica Clásica. Para ello, están dotadas con una 2-forma que permite definir el corchete de Poisson. Muy relacionadas con este tipo de variedades están las variedades de contacto.

Construcción de variedades [editar]

Los modos de construcción de variedades maś usuales son:

• El producto cartesiano, que permite acceder a variedades de dimensiones superiores;
• El pegado de variedades, que permite complejizar la topología de las variedades conservando su dimensión;
• El cociente de variedades, que permite también complejizar la topología de las variedades, pero que en ocasiones implica una pérdida de dimensiones.

Producto de variedades [editar]

Un cilindro finito es una variedad con borde.

El producto cartesiano de dos o más variedades es también una variedad. La dimensión de la variedad producto es la suma de las dimensiones de sus factores. Su topología es la topología producto, y un producto cartesiano de cartas es una carta para la variedad producto. Si los talas utilizados definen una estructura diferenciable en los factores, el atlas producto define una estructura diferenciable en la variedad producto. Si uno de los factores tiene borde, la variedad producto también tendrá borde.

Los productos cartesianos pueden utilizarse para constuir toros y cilindros finitos: S¹ × S¹ y S¹ × [0, 1], respectivamente.

Pegado de variedades [editar]

Para realizar este procedimiento denominado suma conexa necesitamos dos variedades de la misma dimensión, de las que recortaremos una bola abierta. Este proceso dejará en cada variedad una frontera (la de la bola eliminada) que procederemos a identificar por medio de un homeomorfismo arbitrario.

Pegado de variedades por los bordes [editar]

En el procedimiento de suma conexa debemos crear artificialmente fronteras para después identificarlas. Si las variedades son variedades con borde, podremos identificar sus fronteras sin necesidad de crearlas previamente.

En principio, la definición de variedades prohíbe la presencia de bordes o fronteras, como un disco plano cerrado, por ejemplo. Sin embargo, es posible definir una noción de variedad con borde aceptando cartas que tengan por dominio abiertos de . De este modo, el borde de una variedad así definida será una variedad de dimensión n-1. Así, una bola cerrada es una 3-variedad con borde que tiene por borde una 2-variedad, la esfera.

Cociente de variedades [editar]

Un ejemplo de cociente son los espacios homogéneos. Supongamos que G es un grupo de Lie y H es un subgrupo cerrado. Entonces el cociente G/H (donde identificamos dos puntos de G si se puede pasar de uno a otro traslad'andolos por algún elemento de H ), es una variedad.

Propiedades invariantes [editar]

La Cinta de Möbius es un ejemplo de variedad no orientable. Es una superficie con una sola cara y un solo borde.

A diferencia de las curvas y las superficies, las variedades de dimensiones más altas no pueden ser comprendidas mediante la intuición espacial. En estos casos es muy difícil decidir si dos descripciones de una variedad se refieren a un mismo objeto. De ahí que se hayan desarrollado conceptos y criterios para describir los aspectos geométricos y topológicos intrínsecos a las variedades de más de tres dimensiones. Estos criterios se denominan invariantes, pues son los mismos en todas las descripciones posibles de una variedad dada. De este modo, podemos distinguir dos variedades si difieren en alguna propiedad invariante.

Existen propiedades invariantes locales y globales: las invariantes locales sirven para caracterizar a las variedades a las escalas más pequeñas; las invariantes globales tienen en cuenta la estructura espacial global de la variedad.

Las propiedades invariantes han sido caracterizadas por distintas ramas de la topología:

• En topología general o conjuntista encontramos la propiedad de Hausdorff o la dimensión. La propiedad de ser compacto, paracompacto o la conectividad son propiedades globales fundamentales, hasta el punto de que muchos matemáticos las incluyen en la propia definición de variedad.
• La topología algebraica es fuente de numerosas invariantes globales como el grupo fundamental o la orientabilidad. Varias ramas de las matemáticas como la teoría de homología y la teoría de las clases características se desarrollaron con el objetivo de estudiar las propiedades invariantes de las variedades.

Si una variedad está dotada de una estructura geométrica más rica, entonces suele tener propiedades invariantes locales. La curvatura de una variedad de Riemann, por ejemplo, es un invariante local.

Orientabilidad [editar]

En las variedades de dos y más dimensiones un criterio importante de invarianza es la cuestión de si tal variedad admite una orientación significativa. Consideremos una variedad topológica cuyas cartas mapean a Rⁿ. Dada una base ordenada para Rⁿ, una carta hace que el fragmento de la variedad a la que va referida adquiera orientación en el que las 3-dimensiones pueden verse como orientadas a la derecha o a la izquierda. Las cartas superpuestas no tienen porqué coincidir en su orientación, lo que da a las variedades una gran libertad. Para algunas variedades, como la esfera, pueden elegirse cartas de manera que las regiones superpuestas estén de acuerdo en su orientación (derecha o izquierda); estas variedades se denominan variedades orientables. Para otras, es imposible. Algunos ejemplos ilustrativos de variedades no orientables son la cinta de Möbius, una variedad con borde, la botella de Klein, que se intersecta a sí misma en un espacio de 3 dimensiones o el plano proyectivo real.

Género y la característica de Euler [editar]

Una taza sólida transformándose en un toro sólido

Para las variedades de 2 dimensiones el género (el número de asas en una superficie) es una invariante clave: un toro es una esfera con un asa, un doble toro es una esfera con dos asas, etc. De hecho, es posible caracterizar completamente una variedad compacta de dos dimensiones por su género y su orientabilidad. En las variedades de dimensiones más altas, el género es reemplazado por la característica de Euler.

Generalización [editar]

La categoría de las variedades (indefinidamente) diferenciables con morfismos (indefinidamente) diferenciables carece de ciertas propiedades deseables, y se ha tratado de generalizar las variedades (indefinidamente) diferenciables para corregir esto. Los espacios difeológicos usan una noción diferente de carta conocida como plots ( o placas). Espacio diferenciable y Espacio de Frölicher son otros intentos.

Aplicaciones de las variedades [editar]

En matemáticas [editar]

Existen numerosas aplicaciones de las variedades en matemáticas. El análisis real clásico y el análisis funcional han extendido su campo de investigación de los espacios vectoriales topológicos a las variedades. Del mismo modo, los procesos estocásticos como el movimiento browniano se extienden de los espacios reales de dimensión finita a las variedades. Asimismo, las variedades aparecen episódicamente en estadística. Por otro lado, muchos conjuntos interesantes tienen al mismo tiempo una estructura algebraica y una estructura de variedad compatibles. Es el caso del conjunto de las rotaciones en un espacio de 3 dimensiones, que forma una 3-variedad y un grupo. La teoría de los grupos de Lie estudia estas variedades con propiedades algebraicas. La teoría de los espacios homogéneos estudia sus acciones transitivas.

En física [editar]

La posición del péndulo doble se describe por dos parámetros angulares.

La posición de un punto sobre el toro.

Notas y referencias [editar]

Notas [editar]

Referencias [editar]

• Freedman, Michael H and Quinn, Frank, Topology of 4-Manifolds, Princeton University Press (1990).
• Guillemin, Victor and Pollack, Alan, Differential Topology, Prentice-Hall (1974), ISBN 0-13-212605-2.
• Hempel, John, 3-Manifolds, Princeton University Press (1976).
• Hirsch, Morris, Differential Topology, Springer (1997), ISBN 0-387-90148-5.
• Kirby, Robion C. and Siebenmann, Laurence C., Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations. Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1977), ISBN 0-691-08190-5.
• Lee, John M., Introduction to Topological Manifolds, Springer-Verlag, New York (2000), ISBN 0-387-98759-2. Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag, New York (2003) ISBN 0-387-95495-3.
• Massey, William S., Algebraic Topology: An Introduction, Harcourt, Brace & World, 1967.
• Milnor, John, Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton University Press, (revised, 1997), ISBN 0-691-04833-9.
• Munkres, James R., Topology, Prentice Hall, (2000) ISBN 0-13-181629-2.
• Neuwirth, L. P., editor, Knots, Groups, and 3-Manifolds. Papers Dedicated to the Memory of R. H. Fox, Princeton University Press, (1975).
• Spivak, Michael, Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. HarperCollins Publishers (1965), ISBN 0-8053-9021-9.
• Munkres, James R., "Topología" PEARSON EDUCACIÓN S.A.,(2ªedición) ISBN: 84-205-3180-4 (en español)

Véase también [editar]

• Conjetura de Poincaré.

Matemáticos [editar]

Geómetras que estudiaron la topología de variedades:

• Riemann
• Hermann Weyl
• Luigi Bianchi
• Shiing-Shen Chern

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Un sistema formal o un sistema axiomático es un artificio matemático compuesto de símbolos que se unen entre sí formando cadenas que a su vez pueden ser manipuladas según reglas para producir otras cadenas. De esta manera, el sistema formal es capaz de representar cierto aspecto de la realidad.

En las ciencias formales de la lógica y las matemáticas, así como en otras disciplinas relacionadas, como son la informática, la teoría de la información, y la estadística, un ‘’sistema formal’’ es una gramática formal usada para la modelización de diferentes propósitos. Llamamos ‘’formalización’’ al acto de crear un sistema formal, y se trata de una acción con la que pretendemos capturar y abstraer la esencia de determinadas características del mundo real, en un modelo conceptual expresado en un determinado lenguaje formal

En matemáticas, las pruebas formales son el resultado de sistemas formales, consistentes en axiomas y reglas de deducción. Los teoremas pueden ser obtenidos por medio de pruebas formales. Este punto de vista de las matemáticas ha sido denominado formalista; aunque en muchas ocasiones este término conlleva una acepción peyorativa. En ese sentido David Hilbert creó la disciplina denominada matemáticas dedicada al estudio de los sistemas formales, entendiendo que el lenguaje utilizado para ello, denominado metalenguaje era distinto del lenguaje del sistema formal que se pretendía estudiar. Con otra denominación, el metalenguaje o lenguaje obtenido mediante la gramática formal se llama también, en ocasiones, lenguaje objeto.

Un sistema así es la reducción de un lenguaje formalizado a meros símbolos, lenguaje formalizado y simbolizado sin contenido material alguno; un lenguaje reducido a mera forma que se expresa mediante fórmulas que reflejan las relaciones sintácticas entre los símbolos y las reglas de formación y transformación que permiten construir las fórmulas del sistema y pasar de una fórmula a otra.

El objetivo de un sistema formal es señalar como válidas determinadas cadenas. Estas cadenas válidas se denominan teoremas. Para obtener los teoremas se emplean las reglas de producción que convierten una cadena en otra. Hay ciertos teoremas iniciales que no se obtienen de ninguna regla, éstos son los axiomas que se suponen válidos por definición y se convierten en el germen de producción de teoremas.

Definición [editar]

El término formalismo se utiliza, en ocasiones como sinónimo de sistema formal, para un determinado propósito.

Un sistema formal matemático consiste en lo siguiente:

1. Un conjunto finito de símbolos que pueden ser usados para la construcción de fórmulas.
2. Una gramática, es decir, un mecanismo para la construcción de fórmulas bien formadas (‘’wff’’). También debe proporcionarse un algoritmo de decisión para conocer si una determinada fórmula es bien formada o no.
3. Un conjunto de axiomas que deben ser fórmulas ‘’wff’’.
4. Un conjunto de reglas de inferencia.
5. Un conjunto de teoremas. Este conjunto incluye todos los axiomas, más todas las ‘’wff’’ que pueden ser derivadas de los axiomas o de otros teoremas por medio de las reglas de inferencia. La gramática no necesariamente garantiza la decidibilidad de si una fórmula es teorema o no.

Problema de la decisión [editar]

El problema de la decisión consiste en saber si una cadena cualquiera es un teorema. El algoritmo que proporciona una respuesta a la pregunta de si la cadena es o no un teorema se denomina procedimiento de decisión. En alemán, Entscheidungsproblem.

Propiedades de los sistemas formales [editar]

• Coherencia: El sistema formal es coherente si cada teorema al ser interpretado no corresponde a una decisión verdadera.
• Completitud: El sistema formal es completo si cada proposición verdadera puede ser representada mediante un teorema. Es incompleto si alguna verdad no puede expresarse.
• Decidibilidad: Un sistema formal es decidible si existe un algoritmo que diga en tiempo finito si una cadena cualquiera es un teorema o no lo es.

La matemática como sistema formal [editar]

La matemática fue considerada por David Hilbert un sistema formal ya que toda la matemática puede ser interpretada a base de símbolos, axiomas y reglas de producción. Pero en 1931 Kurt Gödel demostró que la coherencia y la completitud no podían ser ciertos a la vez en las matemáticas, o al menos en los números enteros. Es lo que se denomína el teorema de la incompletitud de Gödel. Por otra parte Alonzo Church demostró que la matemática tampoco podía ser decidible, con lo que la idea de las matemáticas como sistema formal tal y como Hilbert pretendía resulto demolida.

El Sistema Axiomático de Peano (S.A.P) [editar]

El sistema de Peano es un sistema de postulados a partir del cual puede deducirse toda la aritmética de los números naturales. Los primitivos de este sistema son los términos "0" (cero), "número" y "sucesor", de los cuales, por ser primitivos no se da definición alguna. Sin embargo, se entiende por "0" dicho número, el término "número" designa a los números naturales 0, 1, 2, 3,... exclusivamente, y con "sucesor" de un número natural n se refiere al número natural inmediato siguiente de n en el orden natural. El Sistema de Peano contiene los 5 postulados que siguen:

• P1 0 es un número.
• P2 El sucesor de un número es siempre un número.
• P3 Dos números nunca tienen el mismo sucesor.
• P4 0 no es el sucesor de número alguno.
• P5 Si P es una propiedad tal que (a) cero tiene la propiedad P, y (b) siempre que un número n tenga la propiedad P el sucesor de n también tendrá la propiedad P, entonces todos los números tendrán la propiedad P.

El último postulado entraña el principio de inducción matemática e ilustra claramente el alcance de una "verdad" matemática por convención. Se construye la aritmética fundamental sobre esta base, definiendo los diversos números naturales como el sucesor de cero ( 0' ), el sucesor del sucesor de cero( 0 ), y así hasta el infinito.

Luego, se establece la definición de suma, que expresa que la adición de un número natural a otro dado puede considerérsela como la suma repetida de 1; esta última operación es fácilmente expresable por medio de la relación de sucesor:

(a) n + 0 = n; (b) n + k' = (n + k)'

Pasando ahora a la multiplicación de los números naturales, se la puede definir por medio de la siguiente definición por recurrencia, que expresa de manera rigurosa que el producto nk de dos números naturales puede ser considerado como la suma de k términos cada uno de los cuales es igual a n, en otros términos:

(a) n . 0 = 0; (b) n. k' = n. k + n

Véase también [editar]

• Lógica matemática
• Lenguaje formalizado

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El cálculo lógico, o derivación lógica, es un algoritmo que permite cómoda y fácilmente inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como válidamente verdaderos.

La inferencia o deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enunciado como -conclusión- a partir de otro(s) -premisa(s)- mediante la aplicación de reglas de inferencia.

Decimos que alguien infiere -o deduce- "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V.

Las personas en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo; partimos de enunciados empíricos -supuestamente verdaderos y válidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos.

La lógica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar las reglas que permiten la transformación de unos enunciados -premisas- en otros -conclusiones- con objeto de convertir las operaciones deductivas en un cálculo riguroso y eficaz.

Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento, mediante la simbolización adecuada de fórmulas o Expresiones bien formadas (EBF) construimos un modelo o sistema deductivo que, referido al lenguaje ordinario, llamamos de Cálculo de deducción natural.

La representación gráfica de los símbolos no está normalizada, lo que lleva a veces a ciertas dificultades de interpretación.

Sistematización de un cálculo [editar]

Reglas de formación de fórmulas [editar]

I.- Una letra enunciativa (con o sin subíndice) es una EBF (Expresión Bien Formada - del ingles wff o sea "well- formed formula" que significa "fórmula bien formada").

II.- Si A es una fórmula, ¬ A también lo es.

III.- Si A es una EBF y B también, A / B; A / B; A → B; A ↔ B también lo son.

IV.- Ninguna expresión es una fórmula del Cálculo sino en virtud de I, II, III.

Nota: A, B,... con mayúsculas están utilizadas como metalenguaje en el que cada variable expresa cualquier proposición, atómica o molecular.

Nota: Para la definición como función lógica de ¬, /, /, →, y ↔, véase Tabla de valores de verdad

Reglas de transformación de fórmulas [editar]

R.T.1: Dada una tesis EBF del cálculo, en la que aparecen variables de enunciados, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas (EBF) del cálculo, será también una tesis EBF del cálculo. Y ello con una única restricción, si bien muy importante: cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece y siempre por el mismo sustituto.

Veamos el ejemplo:

Esta regla recibe el nombre de regla de sustitución

R.T.2: Si X es una tesis EBF del sistema y lo es también X --> Y, entonces Y es una tesis EBF del sistema.

Esta regla recibe el nombre de regla de separación

Sobre la base de estas dos reglas, siempre podremos reducir un argumento cualquiera a la forma:

[A / B / C...... / N ] ----> Y

lo que constituye un esquema de inferencia en el que de la verdad de las premisas A, B, N y su producto, podemos obtener la conclusión Y.

Concepto de modelo [editar]

Cuando en un Cálculo C, se establece una "correspondencia" de cada símbolo con elementos determinados individuales distinguibles entre sí, de un Universo L, real, (tal universo L no es un conjunto vacío, por las mismas condiciones que hemos establecido) ENTONCES se dice que L es un MODELO de C.

El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógico [editar]

Naturalmente el cálculo lógico es útil porque puede tener aplicaciones.

Pero ¿En qué consiste o cómo se hacen tales aplicaciones?

Para el cálculo de enunciados podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C.

Esto es lo que hacemos mediante las

Reglas de simbolización [editar]

Regla I.

Cada uno de los enunciados simples del lenguaje natural se sustituirá por variables proposicionales simbolizadas por letras minúsculas, p, q, r, s, t,.....

Regla II.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "no", "no es cierto", "no es el caso que" "es falso", "es imposible" y todas aquellas que sean equivalentes, se sustituirán por el símbolo ¬

Llueve, p; No llueve: ¬ p

Regla III.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "y", "ni" "pero", "que", "mas", y todas las que sean equivalentes, se sustituyen por el símbolo /

Llueve: p; Hace frío: q; Llueve y hace frío: p / q;

Regla IV.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "o", "o...o", "bien...bien", "ya...ya", y sus equivalentes, se sustituyen por el símbolo /

Llueve: p; Hace frío: q; O llueve o hace frío: p / q

Regla V.

Las expresiones naturales tales como "si.... entonces", "luego....", "por tanto", "por consiguiente", "con tal que...", "se infiere", "se deduce" y sus equivalentes se sustituirán por el símbolo →

Llueve: p; Hace frío: q; Si llueve entonces hace frío: p → q

Regla VI.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "...si y solo si...", "..equivale a..", "..es.igual a..." m "vale por...","...es lo mismo que...", y sus equivalentes se sustituirán por el símbolo ↔

Llueve: p; Hace frío: q; Si y sólo si llueve entonces hace frío: p ↔ q

Uso de paréntesis:

1.- No se utiliza paréntesis en aquellos casos en que los conectores afecten a enunciados simples o atómicos.

2.- Se utiliza paréntesis cuando el conector afecte a toda una conjunción, disyunción, condicional o bicondicional.

3.- Se utiliza el paréntesis en las expresiones conjuntivas y disyuntivas precedidas o seguidas de un condicionador o bicondicionador.

4.- Se utiliza el paréntesis en las expresiones que nos interese precisar la dominancia del conector, o bien porque los conectores posean la misma dominancia -como en el caso del conjuntor y del disyuntor que son idempotentes-o bien porque el sentido de la expresión exige la alteración de la dominancia de las conectivas fuertes -el condicionador y el bicondicionador que son las conectivas fuertes.

Cadena deductiva [editar]

Es una secuencia finita de enunciados de los cuales uno, la conclusión, se sigue necesariamente de los anteriores. Cada enunciado que forma parte de una determinada cadena deductiva constituye una línea de derivación.

- Las distintas líneas de derivación se colocarán una debajo de otra numeradas correlativamente a partir del uno.

- Las líneas correspondientes a las premisas iniciales irán provistas de un guión que precederá al número que tengan asignado.

- Si la línea corresponde a una fórmula inferida, se indicará a su derecha la regla aplicada y las premisas o las líneas a las que se ha aplicado la regla.

¿De qué manera puede obtenerse la conclusión? [editar]

a) La conclusión puede obtenerse "directamente" aplicando reglas de inferencia sobre las premisas iniciales.

b) Cuando en el desarrollo de la derivación es necesario utilizar premisas adicionales (supuestos no contemplados en las premisas dadas), decimos que la derivación es "subordinada", esto es, la obtención de la conclusión se subordina a la utilización de tales supuestos.

c) En caso de que la conclusión no pueda obtenerse por los métodos ya reseñados, recurriremos a la derivación "indirecta" o de "reducción al absurdo".

Observaciones técnicas

- Las líneas de derivación que introducen provisionalmente supuestos no contemplados en las premisas iniciales, deberán llevar una señal en escuadra mirando hacia abajo. El significado de la señal es: "supongamos por el momento..."

- Los supuestos provisionales deberán ser cancelados antes de establecer la conclusión. Un supuesto provisional queda cancelado cuando, en una línea posterior de dicha derivación, se obtiene una fórmula tal que permite la deducción inmediata de otra fórmula que es independiente del referido supuesto. La cancelación de un supuesto se expresa cerrando la escuadra.

- La reducción al absurdo consiste en suponer como premisa provisional la negación de la fórmula que se pretende demostrar y obtener, mediante este supuesto, una contradicción. La consecuencia lógica será la negación del supuesto, es decir, la afirmación de la conclusión deseada.

- Todo supuesto provisional o las fórmulas de él derivadas incluidas dentro de las escuadras no podrán utilizarse después de la cancelación del supuesto como elementos de nuevas inferencias.

== Reglas del cálculo de deducción natural. Cálculo proposicional ==vvv

En este cálculo la proposición lógica es considerada como un todo en su condición de poder ser V, verdadera, o F, falsa.

Se distinguen las reglas primitivas y las derivadas. Las derivadas son producto de las primitivas, pero facilitan y reducen los pasos de la deducción. Asimismo las de reemplazo significan que una expresión puede ser sustituida directamente por su equivalente, a veces como definición.

=== Reglas primitivas ===vvv

Las reglas primitivas son las siguientes:

Introducción del negador, demostración indirecta o absurdo I.N.

Eliminación del negador o Ex contradictione quodlibet ECQ

Resulta curiosa esta regla, pero es la que justifica argumentos tales como: "Si esto que dices es verdad, yo soy el Papa de Roma", que, son válidos aunque inútiles, pues se da por supuesta la falsedad de las premisas.

Por eso "ex contradictione quod libet", es decir, de una contradicción podemos concluir lo que queramos.

Introducción del conjuntor o producto: I.C.

Eliminación del conjuntor o simplificación: E.C.

Introducción del disyuntor o adición: I.D.

Eliminación del disyuntor o casos: E.D.

Introducción del implicador o teoría de la deducción I.I.

Eliminación del implicador o Modus ponens E.I.

Reglas derivadas [editar]

Algunas de las reglas derivadas más utilizadas:

Silogismo hipotético o Transitividad del condicional S.H.

Silogismo disyuntivo o inferencia de la alternativa S.D.

Modus tollens M.T.

Reglas de Reemplazo [editar]

En las que las líneas de cierre son dobles indicando que ambas fórmulas son equivalentes, es decir, pueden sustituirse directamente una por otra puesto que su conexión es un bicondicional

Leyes de [De Morgan]http://es.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan]]

Conmutación de la conjunción

Conmutación de la disyunción

Asociativa de la conjunción AC.

Asociativa de la disyunción AD.