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Lógica frente a pensamiento mágico

LÓGICA FRENTE A PENSAMIENTO MÁGICO: GENIALIDAD. ARMONÍA. El término armonía (arcaicamente, y también aceptado harmonía) tiene muchos significados, musicales y extramusicales, relacionados de alguna manera entre sí. En general, "armonía" significa equilibrio en las proporciones entre las distintas partes de un todo, y en general, connota belleza. En música, la armonía es la disciplina que estudia la percepción del sonido en forma "vertical" o "simultánea" en forma de acordes y la relación que se establece con los de su entorno próximo. En la jerga del tango se llama "armonía" a la contramelodía ejecutada en el violín o las cuerdas de una orquesta.

Armonía

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Para otros usos del término, vea Armonía (desambiguación).
La "consonante" tríada mayor está compuesta de tres tonos, en una relación de números enteros: 6 a 5 a 4.
Traité de l’harmonie (Tratado de la armonía), de Jean-Philippe Rameau.

El término armonía (arcaicamente, y también aceptado harmonía) tiene muchos significados, musicales y extramusicales, relacionados de alguna manera entre sí. En general, "armonía" significa equilibrio en las proporciones entre las distintas partes de un todo, y en general, connota belleza. En música, la armonía es la disciplina que estudia la percepción del sonido en forma "vertical" o "simultánea" en forma de acordes y la relación que se establece con los de su entorno próximo. En la jerga del tango se llama "armonía" a la contramelodía ejecutada en el violín o las cuerdas de una orquesta.

Como otras disciplinas humanas,cuando el estudio de la armonía presenta dos versiones: el estudio descriptivo (es decir: las observaciónes de la práctica musical) y el estudio prescritivo (es decir: la transformación de esta práctica musical en un conjunto de normas de supuesta validez universal).

El estudio de la armonía sólo se justifica en relación a la música occidental, ya que la Occidental es la única cultura que posee una música "polifónica", es decir, una música en la que se usa ejecutar distintas notas musicales en forma simultánea y coordinada. De modo que, a pesar de que el estudio de la armonía pueda tener alguna base científica, las normas o las descripciones de la armonía tienen un alcance relativo, condicionado culturalmente.

En la música occidental, la armonía es la subdisciplina que estudia el encadenamiento de diversas notas superpuestas; es decir: la organización de los acordes. Se llama "acorde" a la combinación de tres o más notas diferentes que suenan simultáneamente (o que son percibidas como simultáneas, aunque sean sucesivas, como en un arpegio). Cuando la combinación es solo de dos notas, se llama "bicordio". Esto también puede ser considerado un acorde.

El estudio de la armonía se refiere generalmente al estudio de las progresiones armónicas y de los principios estructurales que las gobiernan.[1]

La armonía se refiere al aspecto «vertical» (simultáneo en el tiempo) de la música, que se distingue del aspecto horizontal (la melodía, que es la sucesión de notas en el tiempo).[2] La idea de vertical y horizontal es una metáfora explicativa, relacionada a la disposición de las notas musicales en una partitura: verticalmente se escriben las notas que se interpretan a la vez, y horizontalmente las que se interpretan en forma sucesiva.

En la escolástica musical, el contrapunto es una disciplina complementaria a la armonía (y que se confunde con ella), pero que se centra más en la elaboración de melodías que sean combinables simultáneamente que en los acordes resultantes de tal combinación. Es decir: se centra más en la percepción de las partes que en la del todo. Como disciplina creativa (y no como disciplina académica), el contrapunto tuvo su auge durante el Barroco, particularmente con la figura de Johann Sebastian Bach.

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Definiciones [editar]

Las definiciones habituales de la armonía suelen describirla como la «ciencia que enseña a constituir los acordes y que sugiere la manera de combinarlos en la manera más equilibrada, consiguiendo así sensaciones de relajación, sosiego (armonía consonante), y de tensa e hiriente (armonía disonante)".

Esta definición se basa en la idea de que ciertas combinaciones de sonidos (intervalos o acordes) producen al oyente una sensación de tensión (combinaciones que se llaman "disonantes") y otras producen una sensación de reposo o calma (combinaciones "consonantes").

Esta diferencia entre sonidos "consonantes" y "disonantes" tiene una base acústica: cada sonido incluye dentro de sí a varios sonidos que suenan con menor volumen (llamados "armónicos"); cuando la combinación de sonidos ejecutados incluye a varias notas con sonidos "armónicos" en común, tales combinaciones serán percibidas como "consonantes".

Ahora bien, en la percepción humana no sólo intervienen factores físicos, sino también (y sobre todo) factores culturales. Lo que un hombre del siglo XV percibía como consonante, puede llamar la atención a uno del siglo XXI, y una combinación de sonidos que sugiere una sensación de "reposo" a un japonés puede no sugerírselo a un mexicano.

Si el estudio occidental de la armonía ha querido presentarla como una "ciencia", pues, es sólo un intento de legitimar como válida universalmente a una práctica musical concreta.

En la terminología musical, suele oponerse la melodía que la melodía es algo "lineal", a la armonía, que es el conjunto sonoro que forman las voces en un instante determinado.

Origen del término e historia del uso [editar]

El término «armonía» deriva del griego ἁρμονία (harmonía), que significa ‘acuerdo, concordancia’[3] y éste del verbo ἁρμόζω (harmozo): ‘ajustarse, conectarse’.[4]

Sin embargo, el término no se utilizaba en su acepción actual de armonía polifónica (es decir, de la relación ordenada entre varias melodías superpuestas, formando un todo que mantiene cierta autonomía respecto de cada una de las partes), ya que la ejecución simultánea de notas distintas (exceptuando las notas distantes entre sí en una o más octavas, que el oído humano percibe como idénticas) no formó parte de la práctica musical de Occidente hasta entrada la Edad Media.

En la música de la antigua Grecia, el término se usaba más bien como un sistema de clasificación de la relación entre un tono grave y otro agudo.[1] En la Edad Media, el término se usaba para describir dos tonos que sonaban en combinación, y en el Renacimiento el concepto se expandió para denotar tres tonos sonando juntos.[5]

El Traité de l’harmonie (1722), de Rameau, fue el primer texto acerca de la práctica musical que incluía el término «armonía» en el título. Sin embargo, no significa que esa fuera la primera discusión teórica acerca de este tema. Como todo texto teórico (particularmente de esta época), se basa en la observación de la práctica; Rameau observa la práctica musical de su época y elabora algunas reglas, otorgándole una supuesta validez universal. Especial importancia tiene en su desarrollo el fenómeno de la resonancia armónica para la justificación de los distintos elementos. Este y otros textos similares tienden a relevar y codificar las relaciones musicales que estaban íntimamente vinculadas con la evolución de la tonalidad desde el Renacimiento hasta fines del periodo románico.

El principio que subyace a estos textos es la noción de que la armonía sanciona la armoniosidad (los sonidos que complacen) si se adapta a ciertos principios compositivos preestablecidos.[6]

Desarrollo [editar]

Melodía, contrapunto y armonía están totalmente interrelacionadas. Tradicionalmente, la armonía funciona como acompañamiento, armazón y base de una o más melodías. La melodía (dimensión horizontal de la música) es una sucesión (en el tiempo) de sonidos pertenecientes a acordes, que son enriquecidos con otros sonidos que adornan y suavizan, y que producen efectos expresivos, complementando a los anteriores gracias a las sutiles relaciones que entablan con los acordes en que se basa esa melodía (integrándose perfectamente con la armonía).

Tensión y reposo [editar]

Desde hace varios siglos se descubrió que algunas combinaciones de acordes producen una sensación de tensión y tendencia al reposo. Algunos acordes, en un determinado contexto, tienen un sentido conclusivo y otros un sentido transitorio (aunque en realidad esto es relativo y depende de su relación con el conjunto de la composición. En la música académica europea, desde el final del siglo XVII hasta comienzos del siglo XX, hasta el oído menos cultivado puede distinguir cuándo está próximo o distante el final de una frase musical.

La armonía tradicional de parte del estilo prebarroco, barroco, clásico y romántico se conoce como armonía tonal, ya que está basada en el sistema tonal, teniendo una fuerte función estructural, siendo determinante en la forma musical de una determinada composición.

A partir del romanticismo musical (siglo XIX), empieza a utilizarse con más fuerza el valor colorista de la armonía, debilitando paulatinamente la función estructural de la armonía tonal e introduciendo cada vez más modalismos (proceso que culmina con la aparición de compositores impresionistas, nacionalistas y contemporáneos neoclásicos que utilizarán una armonía más libre y modal).

En la música popular [editar]

La música popular suele utilizar armonías modales y muy características (caso del flamenco), o armonías con un mayor componente tonal empleadas de manera sencilla (caso del tango), como así también armonías modales parecidas a las utilizadas por ciertos compositores de música culta a principios del siglo XX (caso de música pop/rock/música electrónica). Lo que sí es cierto es que entre la música culta y la popular ha habido una continua trasferencia de materiales musicales, entre ellos los armónicos, aunque es la culta la que ha llevado más al extremo su desarrollo.

Notas [editar]

  1. a b Carl Dahlhaus: «Harmony», en Grove Music Online, editado por L. Macy, GroveMusic.com (acceso por suscripción; consultado el 24 de febrero de 2007).
  2. Deborah Jamini: Harmony and Composition: Basics to Intermediate (pág. 147), 2005. ISBN 1-4120-3333-0.
  3. «Harmony», definición en The Concise Oxford Dictionary of English Etymology in English Language Reference, consultado en OxfordReference.com el 24 de febrero de 2007).
  4. Perseus.Tufts.edu («Harmonia», en A Greek-English Lexicon, de Henry George Liddell y Robert Scott).
  5. Según el Grove.
  6. Arnold Whittall, «Harmony», en is gayubview=Main&entry=t114.e3144 The Oxford Companion to Music, ed. [[Alison Latham: Oxford University Press, 2002; consultado el 16 de noviembre de 2007.

Enlaces externos [editar]

LÓGICA FRENTE A PENSAMIENTO MÁGICO (GENIALIDAD Y GEOGRAFÍA): GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE SUPERFICIES. En matemáticas, la geometría diferencial de superficies propone definiciones y métodos para analizar la geometría de superficies o variedades diferenciales de dos dimensiones inmersas en variedades de Riemann y, en particular, en el Espacio Euclídeo.

Geometría diferencial de superficies

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Las curvaturas principales en un punto de una superficie.

En matemáticas, la geometría diferencial de superficies propone definiciones y métodos para analizar la geometría de superficies o variedades diferenciales de dos dimensiones inmersas en variedades de Riemann y, en particular, en el Espacio Euclídeo.

Aquí se tratará de las superficies en mathbb{R}^3.

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Ecuación paramétrica de una superficie [editar]

Puesto que una superficie en mathbb{R}^3 es una variedad diferenciable de dimensión dos, en un entorno V de una superficie las coordenadas de cualquier punto de V pueden escribirse en función de dos parámetros:

mathbf{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)),

Un punto Q = (u0, v0) se llama regular si en él se cumple que:

frac{partial mathbf{r}(u_0,v_0)}{partial u} times frac{partial mathbf{r}(u_0,v_0)}{partial v} neq 0

Esto es equivalente a pedir que el jacobiano del mapeo r (que va desde el dominio V en mathbb{R}^2 a mathbb{R}^3) tiene rango máximo, es decir, es igual a dos. Así se asegura la existencia del espacio tangente en cada punto de la superficie.

Plano tangente [editar]

Dada una superfice S , de mathbb{R}^3 y un punto  P_0 = (x_0, y_0, z_0) in S , se define como el único plano geométrico de mathbb{R}^3 que contiene al punto P_0, y (localmente) no interseca a la superficie en ningún otro punto, si la superficie es de curvatura gaussiana positiva. Si la superficie es de curvatura negativa o cero la intesecta. La ecuación analítica de este plano puede expresarse con ayuda de la ecuación paramétrica de una superificie:

 Pi_{S,P_0} = left {  mathbf{r}=(x,y,z)in  Bbb{R}| mathbf{r}= mathbf{r}(u_0,v_0) + alpha frac{partialmathbf{r}(u_0,v_0)}{partial u} + beta frac{partialmathbf{r}(u_0,v_0)}{partial v}, alpha,betainmathbb{R}  right }

Más sencillamente el plano anterior puede escribirse como el conjunto (x, y, z), que satisface la siguiente ecuación:

  begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0  x'_u(P_0) & y'_u(P_0) & z'_u(P_0)  x'_v(P_0) & y'_v(P_0) & z'_v(P_0) end{vmatrix} = 0

Aquí, se ha usado la simplificación de notación x'_u=frac{partial x}{partial u},... etc

Vector normal a la superficie [editar]

Un vector se dice normal a una superficie en un punto si es perpendicular al plano tangente en dicho punto de la superficie. Esa propiedad nos dice que un vector normal es perpendicular a cualquier otro vector contenido en el plano tangente. Si tomamos dos vectores diferentes y tangentes a la superficie en un punto su producto vectorial será perpendicular a ambos y por tanto perpendicular a cualquier combinación lineal de ambos, es decir, perpendicular a todo el plano generado por estos dos vectores. Podemos aprovechar esa propiedad para calcular el vector normal simplemente como el producto vectorial de los dos vectores linealmente independientes dados por la parametrización de la superficie. Así el vector normal puede calcularse como:

 mathbf{n} = frac{frac{partialmathbf{r}(u_0,v_0)}{partial u} times frac{partialmathbf{r}(u_0,v_0)}{partial v}}{ left Vert frac{partialmathbf{r}(u_0,v_0)}{partial u} times frac{partialmathbf{r}(u_0,v_0)}{partial v} right |}= frac{mathbf{r}'_u(u_0,v_0) times mathbf{r}'_v(u_0,v_0)}{left Vert mathbf{r}'_u(u_0,v_0) times mathbf{r}'_v(u_0,v_0) right |}


Si se conoce en cambio la ecuación de la superficie f(x, y, z) = 0 entonces el vector unitario normal se calcula simplemente como:

 mathbf{n} = frac{nabla f}{left Vert nabla f right |} = frac{(f'_x, f'_y, f'_z)}{sqrt{{f'}_x^2 + {f'}_y^2 + {f'}_z^2}}


Primera forma fundamental [editar]

La primera forma fundamental I es un tensor 2-covariante, simétrico y definido sobre el espacio tangente a cada punto de la superficie S. Esta primera forma fundamental de hecho es el tensor métrico inducido por la métrica euclídea sobre la superficie. De hecho (S, I) constituye una variedad de Riemann con tensor métrico I. Gracias a la primera forma fundamental podemos estimar longitudes de curvas definidas sobre la superficie, ángulos de intersección entre curvas y el resto de conceptos métricos habituales. Por razones históricas las componentes de la primera forma fundamental se designan por E, F y G:

(I_{kl}(u,v)) =begin{pmatrix} E(u,v) & F(u,v)  F(u,v) & G(u,v) end{pmatrix} = begin{pmatrix} g_{11}(u,v) & g_{12}(u,v)  g_{21}(u,v) & g_{22}(u,v) end{pmatrix}


Además la forma cuadrática anterior es definida positiva, lo que implica que EG-F2 > 0. La primera forma anterior puede escribirse como una combinación lineal de productos tensoriales de las 1-formas coordenadas du, dv, conforme a:

I(u,v) = E(u,v) du otimes du + F(u,v) du otimes dv + F(u,v) dv otimes du + G(u,v) dv otimes dv


Estas pueden calcularse explícitamente a partir de la parametrización:

E(u,v) = frac{partial mathbf{r}}{partial u} cdot  frac{partial mathbf{r}}{partial u} = mathbf{r}'_u cdot mathbf{r}'_u qquad F(u,v) = frac{partial mathbf{r}}{partial u} cdot  frac{partial mathbf{r}}{partial v} = mathbf{r}'_u cdot mathbf{r}'_v qquad G(u,v) = frac{partial mathbf{r}}{partial v} cdot  frac{partial mathbf{r}}{partial v} = mathbf{r}'_v cdot mathbf{r}'_v


Longitud de una curva [editar]

Dada una curva C contenida totalmente en una superficie S sus ecuaciones paramétricas podrán expresarse mediante:

mathbf{r}(t)= left ( x(u(t),v(t)), y(u(t),v(t)), z(u(t),v(t)) right )


La longitud de esta curva puede expresarse por una integral de las derivadas de las funciones u y v y las componentes de la primera forma fundamental:

 L_C = int_C sqrt{Eu'(t)^2+2Fu'(t)v'(t)+Gv'(t)^2} quad dt


Ángulo entre dos curvas [editar]

Similarmente dadas dos curvas C1 y C2 que intersectan en un punto P0 y cuyas ecuaciones paramétricas son:

mathbf{r_1}(t)= left( x_1(u_1(t),v_1(t)), quad y_1(u_1(t),v_1(t)), quad z_1(u_1(t),v_1(t))  right) mathbf{r_2}(t)= left ( x_2(u_2(t),v_2(t)),quad y_2(u_2(t),v_2(t)), quad z_2(u_2(t),v_2(t)) right )


El ángulo α formado por las dos curvas en el punto de intersección viene definido por la ecuación:

cos alpha = frac{Eu'_1u'_2+F(u'_1v'_2+u'_2v'_1)+Gv'_1v'_2}{sqrt{E(u'_1)^2+2Fu'_1v'_1+G(v'_1)^2} quad sqrt{E({u'}_2)^2+2F{u'}_2{v'}_2+G({v'}_2)^2}}


Donde las derivadas se evalúan para los valores de parámetro t1 y t1 tales que P_0 = mathbf{r_1}(t_1) = mathbf{r_2}(t_2). En particular el ángulo formado por las líneas coordenadas asociadas al sistema de coordenadas (u, v) viene dado por:

cos alpha_{(u,v)} = frac{F}{sqrt{EG}}


En particular el sistema de coordenadas se llama ortogonal si las líneas coordenadas son ortogonales (perpendiculares) entre sí en cada punto, eso sucede sí y solo sí F = 0.

Área de una región sobre la superficie [editar]

Dada una región Ω contenida en una superficie se define su área como:

 A(Omega) = iint_Omega sqrt{EG-F^2} dudv


Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces lo anterior se puede escribir sencillamente como:

 A(Omega) = iint_Omega sqrt{1+ left(frac{partial f}{partial x} right )^2+ left(frac{partial f}{partial y}right )^2} dxdy


Segunda forma fundamental [editar]

La segunda forma fundamental II de una superficie es la proyección sobre el vector normal a la superficie de la derivada covariante inducida por el tensor métrico o primera forma fundamental. Puede probarse, que esta segunda forma fundamental resulta ser un tensor 2-covariante y simétrico (es decir, da lugar a una forma bilineal definida sobre el espacio tangente a la superficie). Por razones históricas las componentes de la segunda forma fundamental se designan por L, M y N:

(II_{kl}(u,v)) =begin{pmatrix} L(u,v) & M(u,v)  M(u,v) & N(u,v) end{pmatrix} = begin{pmatrix} b_{11}(u,v) & b_{12}(u,v)  b_{21}(u,v) & b_{22}(u,v) end{pmatrix}


Fijado un entorno de la superficie parametrizado por las variables u,v, la segunda forma fundamental se escribe también, resultando un tensor de rango dos, como la siguiente combinación lineal:

II = L(u,v) duotimes du + M(u,v) duotimes dv + M(u,v) dvotimes du + N(u,v) dvotimes dv

de productos tensoriales de las 1-formas coordenadas du,dv,. Las componentes de la segunda forma fundamental pueden calcularse explícitamente a partir de las coordenadas paramétricas:

 L(u,v) = b_{11}(u,v) = mathbf{n} cdot frac{partial^2 mathbf{r}}{partial u^2} = -frac{partial mathbf{n}}{partial u} cdot frac{partial mathbf{r}}{partial u}  M(u,v) = b_{12}(u,v) = b_{21}(u,v) = mathbf{n} cdot frac{partial^2 mathbf{r}}{partial u partial v} = -frac{partial mathbf{n}}{partial u} cdot frac{partial mathbf{r}}{partial v} = -frac{partial mathbf{n}}{partial v} cdot frac{partial mathbf{r}}{partial u}  N(u,v) = b_{22}(u,v) = mathbf{n} cdot frac{partial^2 mathbf{r}}{partial v^2} = -frac{partial mathbf{n}}{partial v} cdot frac{partial mathbf{r}}{partial v}


Curvatura normal y geodésica [editar]

Cuando se tiene una curva sobre una superficie esta puede ser vista también como curva de mathbb{R}^3 a la que les son aplicables tanto las fórmulas de la geometría diferencial de curvas como las de la geometría diferencial de superficies. Eso permite relacionar la curvatura total de la curva con la curvatura de la curva vista o medida por un "habitante" de la superficie. En concreto la curvatura total (χγ) de una curva γ(t) puede ser descompuesta entre la curvatura medible desde la superficie, llamada curvatura normal (kn) y la curvatura no medible desde la superficie, llamada curvatura geodésica (kg), de hecho se cumple que:

chi_gamma^2 = k_n^2 + k_g^2 ,


Donde la curvatura geodésica y normal pueden calcularse a partir del ángulo que forman el vector normal a la superifice y el vector normal a la curva (nγ):

 k_n = chi_gamma cos xi qquad k_g = chi_gamma sin xi qquad qquad  xi := arccos(mathbf{n}_gamma cdot mathbf{n})


La aceleración de cualquier punto material puede ser descompuesta en aceleración tangencial y aceleración normal. Si además el punto se mueve sobre la superficie, la aceleración normal puede descomponerse en aceleración propiamente normal y aceleración geodésica (debida al seguimiento que el punto hace de la superficie):

 mathbf{a} = frac{d^2 gamma(t) }{dt^2} = frac{dV(t)}{dt} mathbf{hat{t}} + (chi_gamma V^2) mathbf{hat{n}}_gamma = frac{dV(t)}{dt} mathbf{hat{t}} + (k_n V^2) mathbf{hat{n}} + (k_g V^2) mathbf{hat{n}} times mathbf{hat{t}}


Donde mathbf{hat{t}}, mathbf{hat{n}}_gamma, mathbf{hat{t}} son respectivamente el vector tangente a la curva, el vector normal a la curva y el vector normal a la superficie. Esa ecuación muestra que las líneas geodésicas a la superficie son precisamente aquellas curvas para las cuales su curvatura total coincide con su curvatura geodésica. Las curvaturas normal y geodésica de una curva sobre una superficie puden calcularse fácilmente a partir de los vectores tangente al a curva y las normales a la curva y la superficie:

k_n = frac{II(gamma'(t),gamma'(t))}{I(gamma'(t),gamma'(t))} =  frac{Lu'(t)^2+2Mu'(t)v'(t)+Nv'(t)^2}{Eu'(t)^2+2Fu'(t)v'(t)+Gv'(t)^2}


k_g = frac{mathbf{n} cdot (gamma'(t) times gamma''(t))}{||gamma'(t)||^3}

Curvaturas principales [editar]

Si se considera un punto P0 de la superficie y toda una colección de curvas contenidas en la superficie que pasan por P0 se observa que la curvatura normal kn de cualquiera de estas curvas en P0 varía entre dos valores extremos k1 < kn < k2. Estos dos valores de hecho son las soluciones ki de la siguiente ecuación:

(EG-F^2)k_i^2+(2FM-EN-GL)k_i+(LN-M^2)=0


Un punto se llama umbilical si en él k1 = k2. Para un punto no-umbilical P0 las direcciones tangentes a la superficie para las cuales se alcanza el máximo y el mínimo de la curvatura normal son siempre ortogonales. En cada punto estas dos direcciones ortogonales se llaman direcciones principales de curvatura. Una condición necesaria y suficiente para que la dirección dada por un vector mathbf{V} sea principal es que si:

 mathbf{V} = alpha frac{partial mathbf{r}(u,v)}{partial u} +  beta frac{partial mathbf{r}(u,v)}{partial v}


Entonces que esa dirección sea dirección principal de curvatura implica que:

 (EM-LF)alpha^2 + (EN-LG) alpha beta + (FN-MG)beta^2 = 0 ,


Líneas de curvatura [editar]

Curvatura gaussiana [editar]

Tres superficies con curvatura gausiana negativa (izquierda), cero (centro) y positiva (derecha).

La curvatura gaussiana de una superficie es un número real K(P0) que mide la curvatura intrínseca en cada punto regular P0 de una superficie. Esta curvatura puede calcularse a partir de los determinantes de la primera y segunda formas fundamentales de la superficie:

K(P_0)= frac{LN-M^2}{EG-F^2}=frac{b_{11}b_{22}-{b_{12}}^2}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^2}

Esta curvatura gaussiana en general varía de un punto a otro de la superficie y está relacionada con las curvaturas principales de cada punto (k1 y k2), mediante la relación K = k1k2.

Un caso interesante de superficie es la esfera, que tiene la misma curvatura en todos sus puntos. Calculando la curvatura de Gauss de una esfera (2-esfera). A partir de la fórmula anterior se llega fácilmente a que para una esfera de radio r, la curvatura gaussiana es igual en todos los puntos e igual a K(S^2) = 1/r^2>0;.

Si bien observamos que hay superficies que tienen curvatura constante, la curvatura gaussiana debe verse como una relación K:Sto K(S) donde K(S)in C^1(S,mathbb{R}) (una función diferenciable sobre S) que asigna a cada superficie su función de curvatura gaussiana.
La manera actual de definir la curvatura gaussiana es mediante el
operador de forma (del inglés shape operator) de la superficie S:

Ncolon Sto S^2 qquad, definido mediante N(p)=frac{partial_utimespartial_v}{|partial_utimespartial_v|}|_p


Donde partial_u,partial_v son los vectores tangentes coordenados y están siendo evaluados en la posición p.

Con la derivada (jacobiano) del operador de forma

L(p)=N'(p):T_pSto T_{N(p)}S^2

uno obtiene una transformación lineal auto-adjunta -llamada transformación de Weingarten- y así, la curvatura gaussiana es determinante de L, i.e.

K(p)=det[L(p)],

Es relativamente fácil verificar que coincide con la definición dada arriba.

En términos de los componentes del tensor de curvatura de Riemann para las 2-variedad diferenciables, uno encuentra la relación

K=frac{R_{1212}}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^2} = frac{h_{11}h_{22}-{h_{12}}^2}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^2}

Ejemplo, la curvatura gaussiana de un toro es frac{cos v}{2+cos v} donde se ha usado la parametrización:

(v,w)stackrel{phi}to ((2+cos v)cos w,(2+cos v)sin w,sin v)

Véase también [editar]

Bibliografía [editar]

  • Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autònoma de Catalunya, 1993. ISBN 84-7929-776-X.
  • Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.
  • M. do Carmo: "Differential geometry of curves and surfaces".

Enlaces externos [editar]

LÓGICA FRENTE A PENSAMIENTO MÁGICO: GENIALIDAD: GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS. En matemáticas, la geometría diferencial de curvas propone definiciones y métodos para analizar curvas simples en Variedades de Riemann, y en particular, en el Espacio Euclídeo.

Geometría diferencial de curvas

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En matemáticas, la geometría diferencial de curvas propone definiciones y métodos para analizar curvas simples en Variedades de Riemann, y en particular, en el Espacio Euclídeo.

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Longitud de arco [editar]

Artículo principal: Longitud de arco

Dada una curva suficientemente suave (diferenciable y de clase C^2(Iota),), en mathbb{R}^3 y dado su vector de posición mathbf r(t) expresado mediante el parámetro t;

 mathbf{r}(t)=x(t)mathbf i+y(t)mathbf j+z(t)mathbf k qquad t in [a,b] ,

se define el llamado parámetro de arco s como:

s =phi(t)= int_{a}^{t} sqrt{left [ x'(tau) right ] ^2 + left [ y'(tau)right ]^2 + left [z'(tau)right ] ^2} , dtau

La cual se puede expresar también de la siguiente forma en la cual resulta más fácil de recordar

s =phi(t)= int_{a}^{t} {left Vert mathbf{r}'(tau) right |}dtau

Lo cual permite reparametrizar la curva de la siguiente manera:

 mathbf{tilde{r}}(s)=left (tilde{x}(s), tilde{y}(s), tilde{z}(s) right)


donde

 tilde{x}(phi(t))=x(t), qquad tilde{y}(phi(t))=y(t), qquad tilde{z}(phi(t))=z(t)


son las relaciones entre las dos parametrizaciones.

Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frênet-Serret [editar]

Vista esquemática del vector tangente, vector normal y vector binormal de una curva hélice.

Dada una curva parametrizada r(t) según un parámetro cualquiera t se define el llamado vector tangente, normal y binormal como:


 mathbf{T}(t)=mathbf{N}(t)times mathbf{B}(t) ó bien mathbf{T}(t)=frac{mathbf{r}'(t)}{left Vert mathbf{r}'(t) right |} mathbf{B}(t)=mathbf{T}(t)times mathbf{N}(t) ó bien mathbf{B}(t)=frac{mathbf{r}'(t)times mathbf{r}''(t)}{left Vert mathbf{r}'(t)times mathbf{r}''(t) right |} mathbf{N}(t)=mathbf{B}(t)times mathbf{T}(t) ó bien mathbf{N}(t)=frac{[mathbf{r}'(t)times mathbf{r}''(t)]times mathbf{r}'(t)}{left Vert [mathbf{r}'(t)times mathbf{r}''(t)]times mathbf{r}'(t) right |}


Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frênet-Serret a raiz del estudio de Jean Frenet y Joseph Serret. Es interesante que para una partícula física desplazándose en el espacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidad o aceleración normal.

Si la curva está parametrizada según la longitud de arco, como se explicó en la sección anterior las fórmulas anteriores pueden simplificarse notablemente:

 mathbf{T}(s) = frac{dtilde{mathbf{r}}(s)}{ds} qquad mathbf{N}(s) = frac{1}{chi}frac{dmathbf{T}(s)}{ds} qquad mathbf{B}(s) = frac{1}{tau}left( frac{dmathbf{N}(s)}{ds}+chimathbf{T}right)

Donde la curvatura y la torsión son precisamente los parámetros χ y τ anteriores.

Curvatura y torsión [editar]

La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice, que más grande es la curvatura. Para una curva parametrizada cualquiera la curvatura es igual a:

 chi(t) = frac{left Vert mathbf{r}'(t) times mathbf{r}''(t) right |}{left Vert mathbf{r}'(t) right |^3}


Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se reducen a:

 chi(s) = left Vert mathbf{tilde{r}}''(s) right |


Además de la curvatura se suele definir el llamado radio de curvatura, como el inverso de la curvatura.

La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: cuanto más rápido cambia, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsión es nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene. Para el caso general la torsión viene dada por:

 tau(t) = frac{mathbf{r}'(t) cdot left (mathbf{r}''(t) times mathbf{r}'''(t) right )}{left Vert mathbf{r}'(t)times mathbf{r}''(t) right |^2}


Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se reduce simplemente a:

 tau(s) = frac{mathbf{tilde{r}}'(s) cdot left (mathbf{tilde{r}}''(s) times mathbf{tilde{r}}'''(s) right )}{left Vert mathbf{tilde{r}}''(s) right |^2}


Plano osculador [editar]

El plano osculador es el plano que contiene en cada punto de la curva a su vector tangente y a su vector normal. Para una partícula desplazándose en el espacio el plano osculador coincide con el plano que en cada instante contiene a la aceleración y la velocidad. La ecuación de este plano viene dada por:

 det begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0  x'_0 & y'_0 & z'_0  y'_0z''_0-y''_0z'_0 & z'_0x''_0-z''_0x'_0 & x'_0y''_0-x''_0y'_0  end{vmatrix} = 0

Donde:
(x_0, y_0, z_0) ,, el punto de la trayectoria.
(x'_0, y'_0, z'_0) ,, el vector velocidad en el punto considerado.
(x, y, z) ,, las coordenadas de un punto genérico del plano osculador.

Centro de curvatura [editar]

Osculating circle.svg

En un entorno de un punto de una curva puede ser aproximado por un círculo, llamado círculo osculador por estar contenido en el plano osculador. El radio del círculo osculador coincide con el radio de curvatura (inverso de la curvatura). El centro de dicho círculo puede buscarse como:

 mathbf{r}_c(t) = mathbf{r}(t) -   frac{|mathbf{r}'(t)|^2(mathbf{r}'(t)cdotmathbf{r}''(t))}{| mathbf{r}'(t)timesmathbf{r}''(t)|^2}mathbf{r}'(t)+ frac{| mathbf{r}'(t) |^4}{| mathbf{r}'(t)timesmathbf{r}''(t)|^2}mathbf{r}''(t)

O más sencillamente en función del parámetro de arco como:

 mathbf{tilde{r}}_c(s) = mathbf{tilde{r}}(s) +  frac{mathbf{tilde{r}}''(s)}{| mathbf{tilde{r}}''(s)|^2}

Teorema fundamental de curvas [editar]

El teorema fundamental de curvas que enunciamos a continuación nos dice que conocido un punto de una curva y su vector tangente, la curva queda totalmente especificada si se conoce la función de curvatura y de torsión. Su enunciado es el siguiente:

Sea JsubsetR un intervalo. Dadas dos funciones continuas χ y τ de J, a R y dado un sistema de referencia fijo (ortonormal) de mathbb{R}^3, {x0; e1, e2, e3}, entonces existe una única curva parametrizada de R^3, mathbf{x}:JtoR^3 y tales que:

  1. La curva pasa por x0, y el vector tangente T a la curva en ese punto coincide con e1.
  2. A lo largo de la curva pueden definirse tres campos vectoriales T(s), N(s) y B(s) llamados respectivamente vector tangente, normal y binormal, perpendiculares entre sí y tales que en el punto inicial coinciden con e1, e2, e3 (es decir, T(0) = e1, N(0) = e2, B(0) = e3).
  3. Se cumplen las siguientes ecuaciones:

begin{cases} cfrac{dmathbf{x}(s)}{ds} = mathbf{T}(s) & cfrac{dmathbf{T}(s)}{ds}=chi(s) mathbf{N}(s)  cfrac{dmathbf{N}(s)}{ds}=-chi(s) mathbf{T}(s)+tau(s) mathbf{B}(s) & cfrac{dmathbf{B}(s)}{ds}=-tau(s) mathbf{N}(s) end{cases}

O bien escrito matricialmente

  begin{bmatrix} dot{T} dot{N} dot{B}  end{bmatrix}  = begin{bmatrix}           0 &  chi & 0        -chi &     0 & tau            0 & -tau & 0  end{bmatrix} begin{bmatrix} T N B end{bmatrix}

donde el punto es la derivada con respecto al arcoparámetro s.

Esto tiene implicaciones físicas interesantes, por ejemplo, la trayectoria de una partícula queda especificada si se conocen la posición inicial, la velocidad inicial y la variación en el tiempo de las derivadas segundas (que están relacionadas con la curvatura y la torsión). Es por eso por lo que las leyes de Newton o las ecuaciones de Euler-Lagrange se expresan en términos de derivadas de segundo orden (que es necesario complementar con la posición y velocidades iniciales).

Véase también [editar]

Bibliografía [editar]

Enlaces externos [editar]

LÓGICA FRENTE A PENSAMIENTO MÁGICO: GENIALIDAD: GEOMETRÍA FRACTAL. Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.[1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

Fractal

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FRACTALES: THE GOLDEN MEAN

En la naturaleza también aparece la geometría fractal, como en este romanescu.

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.[1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.


A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:[2]

No nos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras[3] o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

Contenido

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Introducción [editar]

Los ejemplos clásicos [editar]

Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto.

sucesivos pasos de la construcción de la curva de Koch

Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica. Dichos ejemplos podían construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía al que hoy llamamos conjunto fractal. Así, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año después, su alfombra.

Construcción de la alfombra de Sierpinski:
Menger 0.PNGMenger 1.PNGMenger 2.PNGMenger 3.PNGMenger 4.PNG
Paso 1 (semilla)Paso 2Paso 3Paso 4Paso 5

Estos conjuntos mostraban las limitaciones del análisis clásico, pero eran vistos como objetos artificiales, una "galería de monstruos", como los denominó Poincaré. Pocos matemáticos vieron la necesidad de estudiar estos objetos en sí mismos.[4]

En 1919 surge una herramienta básica en la descripción y medida de estos conjuntos: la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

Los conjuntos de Julia [editar]

Estos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia en los años 1920, surgen como resultado de la aplicación reiterada de funciones holomorfas z mapsto f(z) mapsto f(f(z)) mapsto ldots.

Analicemos el caso particular de funciones polinómicas de grado mayor que uno. Al aplicar sucesivas veces una función polinómica es muy posible que el resultado tienda a infty. Al conjunto de valores de z in C que no escapan al infinito mediante esta operación se le denomina conjunto de Julia relleno, y a su frontera, simplemente conjunto de Julia.

Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones.

Ejemplos de conjuntos de Julia para fc(z) = z2 + c
En negro, imagen del conjunto de Mandelbrot superpuesto con los conjuntos de Julia rellenos representados por algunos de sus puntos (en rojo los conjuntos de Julia conexos y en azul los no conexos).

Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot [editar]

La familia de conjuntos de Julia {fc}, asociadas a la reiteración de funciones de la forma fc(z) = z2 + c presenta conjuntos de una variedad sorprendente.

Dicha familia tendrá especial relevancia al quedar parametrizada en un mapa de fractales llamado conjunto de Mandelbrot. Este conjunto M representa un mapa en que cada pixel, correspondiente a un valor del parámetro c in mathbb{C}, se colorea de modo que refleje una propiedad básica del conjunto de Julia asociado a fc. En concreto, c in M si el conjunto de Julia asociado a fc es conexo.

Características de un fractal [editar]

Autosimilitud [editar]

Autosimilitud exacta del copo de nieve de Koch.

Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.[5]

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

  • Autosimilitud exacta. este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).
Cuasiautosimilitud en el conjunto de Mandelbrot: al variar la escala obtenemos copias del conjunto con pequeñas diferencias.
  • Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.
  • Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch [editar]

Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son:

  • La dimensión fractal. Las fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa (1.2), nubes, árboles, etc, Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matemáticos.
  • La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definición más compleja que la de dimensión fractal. Su definición no suele usarse para comparar conjuntos del mundo real.
Autosimilitud estadística de un fractal generado por el proceso de agregación por difusión limitada.

Definición por algoritmos recursivos [editar]

Podemos destacar tres técnicas comunes para generar fractales:

Aspectos matemáticos [editar]

Intentos de definición rigurosa [editar]

El concepto de fractal no dispone en el año 2008 de una definición matemática precisa y de aceptación general. Intentos parciales de dar una definición fueron realizados por:

  • B. Mandelbrot, que en 1982 definió fractal como un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica. Él mismo reconoció que su definición no era lo suficientemente general.
  • D. Sullivan, que definió matemáticamente una de las categorías de fractales con su definición de conjunto cuasiautosimilar que hacía uso del concepto de cuasi-isometría.

Dimensión fractal [editar]

Artículo principal: Dimensión fractal

Puede definirse en términos del mínimo número N(ε) de bolas de radio ε necesarias para recubrir el conjunto, como el límite:

D_F=lim_{epsilon to 0}{ ln N(epsilon) over ln(1/epsilon)}

O en función del recuento del número de cajas Nn de una cuadrícula de anchura 1 / 2n que intersecan al conjunto:

D_F=lim_{n to infty}{ ln N_n over ln(2^n)}

Se demuestra que ambas definiciones son equivalentes, y que son invariantes bajo isometrías.[6]

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch [editar]

De una definición más compleja, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch nos proporciona un número DH(A), también invariante bajo isometrías, cuya relación con la dimensión fractal DF(A) es la siguiente:

0 leq D_H(A) leq D_F(A)

Esto permite distinguir en algunos casos entre conjuntos con la misma dimensión fractal.

Dimensión de fractales producidos por un IFS [editar]

En ese caso, cuando no haya solapamiento, se demuestra que DF = DH y que ambas pueden calcularse como solución de la ecuación:

c_1^D+c_2^D+ dots + c_k^D=1

donde ci designa el factor de contracción de cada aplicación contractiva del IFS.

Aplicaciones [editar]

Se han utilizado técnicas de fractales en la compresión de datos y en diversas disciplinas científicas.

Compresión de imágenes [editar]

Fractal fern explained.png

Comprimir la imagen de un objeto autosemejante como el helecho de la figura no es difícil: haciendo uso del teorema del collage, debemos encontrar un IFS, conjunto de transformaciones que lleva la figura completa (en negro) en cada una de sus partes autosemejantes (rojo, azul celeste y azul marino). La información sobre la imagen quedará codificada en el IFS, y la aplicación reiterada de dichas transformaciones permite obtener la imagen procesada en cuestión.

Pero el enfoque anterior plantea problemas con muchas imágenes reales: no esperamos, por ejemplo, que la imagen de un gato presente pequeños gatitos distorsionados sobre sí mismo. Para solventarlo, en 1989 Arnaud Jacquin creó el esquema de sistemas de funciones iteradas particionadas: en él se subdivide la imagen mediante una partición y para cada región resultante se busca otra región similar a la primera bajo las transformaciones apropiadas.[7]

El esquema resultante es un sistema de compresión con pérdidas, de tiempo asimétrico. Lamentablemente aún se tarda mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la descodificación es muy rápida. La compresión, aunque dependa de muchos factores, suele ser equiparable a la compresión JPEG, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para decantarse por uno u otro sistema.

Modelado de formas naturales [editar]

Fracción de un fractal Mandelbrot.

Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (Las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio), como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja).

Sistemas dinámicos [editar]

Un atractor extraño: el Atractor de Lorenz.

Pero además las formas fractales no sólo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos (ver teoría del caos). Dinámica que consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de ciclos más complejos los cuales forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo. Las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.

En manifestaciones artísticas [editar]

Imagen generada con el programa Apophysis.

Se usan tanto en la composición armónica y rítmica de una melodía como en la síntesis de sonidos. Esto se debe al uso de lo que en composición se llaman "micromodos", o pequeños grupos de 3 notas, a partir de los cuales uno puede trabajarlos de manera horizontal (melódica), o vertical (armónica). A su vez, el ritmo puede ser trabajado en sucesiones temporales especificas, que son determinadas por sucesiones de fractales.

Literatura y poesía [editar]

Se usan también como punto de unión entre el arte y la ciencia, un ejemplo de eso es el científico-poeta chileno-alemán Mario Markus.

Artes gráficas [editar]

Con programas informáticos como Apophysis o Ultra Fractal se pueden hacer imágenes con técnicas diversas; cambiando parámetros, geometría de triángulos o con transformaciones aleatorias (a veces llamadas "mutaciones").

Extrapolación de conceptos a Ciencias Sociales [editar]

Varias ciencias particulares pueden hoy aprovechar los conceptos de la teoría de fractales en sus respectivas áreas de conocimiento. Incluso se han encontrado ejemplos de objetos fractales en ciencias sociales como la economía.[8] Una extrapolación demasiado esquemática de la geometría fractal a las ciencias sociales será siempre una utopía, ya que la sociedad no es precisamente una abstracción matemática. Una sociedad no puede hallar una ecuación sumaria que genere una estructura determinada, por el simple hecho de que los pilares de una sociedad son más elásticos que simples coordenadas ideales. Sí que se da lo que la teoría del caos se denomina "sensibilidad extrema" a los "estados iniciales" de un proceso, que pueden redundar en drásticos cambios pasado un tiempo del inicio, como postula la Teoría del Caos, ¿No puede una crisis económica (nacional) repercutir sobre todo el sistema de la economía mundial?

Con el estudio del genoma humano, lo que se está tratando de hacer es sacar las leyes que rigen el desarrollo del ser humano, haciendo posible predecir fenómenos que antes eran imposibles de estudiar. Sin embargo, la sociedad no tiene un "ADN" tan rígido como el ser humano. El análisis del "ADN social", o sea, de todas sus tendencias internas de desarrollo, puede realizarse siguiendo los parámetros de esta teoría. Dicho de otra manera, es una forma novedosa que puede tomar el método dialéctico que funda Marx.

Marx también estudió otras ecuaciones sumarias que engendraban a la estructura capitalista mundial: Una de ellas era la propiedad privada de los medios de producción. Estudió cómo se desarrollaría este fenómeno histórico. Y sacó la conclusión de que la propiedad privada tendía al monopolio. Pero no pudo determinar "exactamente" el porvenir del sistema, ya que el capitalismo no tiene un ADN que permita predecir con exactitud su desarrollo diacrónico, histórico. Y si lo tuviera, en tiempos de Marx nadie lo entendería aún.

Por ello, las ciencias sociales se baten entre las ciencias duras y las blandas. No llega a ser una "ciencia dura" por esta imposibilidad de hallar leyes precisas. Pero puede hallar leyes elásticas, que acerquen al objeto de estudio sin renunciar a la ciencia. El método que puede servir para ello es la teoría del caos y los fractales.

En esto se relacionan la teoría de fractales y la teoría del caos, las cuales son parte de un mismo y novedoso paradigma emergente en la Ciencia. La teoría de Sistemas de Ludwig von Bertalanffy también tiene sus aportes para hacer, al igual que la Teoría de las catástrofes, de René Thom.


Referencias [editar]

  1. Benoît Mandelbrot, La Geometría Fractal de la Naturaleza, Tusquets, ISBN 84-8310-549-7
  2. Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd., pp. XXV. ISBN 0-470-84862-6.
  3. ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?
  4. Stewart, Ian. De aquí al infinito. Crítica, Grijalbo Mondadori, S.A., 1998. ISBN 84-7423-853-6.
  5. B. Mandelbrot. Los objetos fractales. Forma, azar y dimensión. Tusquets Editores, S.A., 1993. ISBN 978-84-7223-458-1
  6. Barnsley, M. Fractals everywhere.Academic Press Inc, 1988. ISBN 0-12-079062-9. (Cap 5)
  7. Jacquin, A.E.;Image coding based on a fractal theory of iterated contractive image transformations. Image Processing, IEEE Transactions on Volume 1, Issue 1, Jan. 1992 Page(s):18 - 30
  8. Tesis doctoral: La Dimensión Fractal en el Mercado de Capitales Jesús Muñoz San Miguel. Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. Universidad de Sevilla. Julio de 2002.

Véase también [editar]

Enlaces externos [editar]

Arte fractal Libros con licencia CC Software Vídeos

LÓGICA FRENTE A PENSAMIENTO MÁGICO: GENIALIDAD. GEOMETRÍA DIFERENCIAL. SHIING-SHEN CHERN. Shiing-Shen Chern (26 de octubre de 1911 - 3 de diciembre de 2004) fue un matemático chino estadounidense, uno de los líderes en geometría diferencial del siglo XX.

Shiing-Shen Chern

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Shiing-Shen Chern
240px
Nacimiento26 de octubre de 1911
Jiaxing, Zhejiang,China
Fallecimiento3 de diciembre de 2004
Tianjin,China
ResidenciaBandera de la República Popular China China
Bandera de los Estados Unidos Estados Unidos
NacionalidadBandera de la República Popular China China
Bandera de los Estados Unidos Estados Unidos
InstitucionesUniversidad Tsinghua
Institute for Advanced Study
University of Chicago
University of California, Berkeley
Universidad de Nankai
Alma máterUniversidad de Nankai
Universidad Tsinghua
Universidad de Hamburgo
Supervisor doctoralWilhelm Blaschke
Estudiantes
destacados
Shing-Tung Yau
Conocido porTeoría de Chern-Simons
Teoría de Chern-Weil
Clases de Chern
Premios
destacados
National Medal of Science (1975)
Premio Wolf (1983)
Medalla Lobachevsky (2002)
Premio Shaw (2004)
CónyugeShih-ning (Cheng) Chern

Shiing-Shen Chern (26 de octubre de 1911 - 3 de diciembre de 2004) fue un matemático chino estadounidense, uno de los líderes en geometría diferencial del siglo XX.

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Biografía [editar]

Chern nació en Jiaxing en la provincia de Zhejiang. Se trasladó a Tianjin en 1922 para estar con su padre, ya partir de 1926 estudió allí en Universidad de Nankai, se graduó en matemáticas en 1930. Él era un estudiante graduado bajo Dan Sun en la Universidad Tsinghua, de 1931 a 1934, trabajando en la geometría proyectiva diferencial.

En 1932 Wilhelm Blaschke de la Universidad de Hamburgo visitó Tsinghua y quedó impresionado con Chern. En 1934 Chern fue con una beca a Hamburgo, trabajando en la teoría Cartan-Kähler, y terminando su doctorado en 1936. En 1936-1937 estudió con Élie Cartan en París, volviendo a Beijing, China a una posición en profesores de Tsinghua (que había trasladado a Kunming después de los ataques japoneses).

En 1943 fue a Chern el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (IAS), trabajando allí sobre las clases características de geometría diferencial. Poco después, fue invitado por Solomon Lefschetz a ser un editor de Annals of Mathematics.

Él regresó a Shanghai en 1946 para fundar el Instituto de Matemáticas de la Academia Sínica, que más tarde fue trasladado a Nanking. A partir de 1948 fue de nuevo al IAS, convirtiéndose en un profesor de la Universidad de Chicago en 1949.

Se trasladó a la Universidad de California, Berkeley en 1960. Al año siguiente se convirtió en un ciudadano naturalizado de los Estados Unidos. En Berkeley, fundó el Instituto de Investigación de las Ciencias Matemáticas (MSRI) en 1981 y actuó como director hasta 1984. En 1985 fundó el Instituto de Matemáticas de Nankai en Tianjin, donde murió en 2004 a la edad de 93.

Investigación [editar]

El trabajo de Chern se extiende sobre todos los campos clásicos de la geometría diferencial. Incluye las áreas actualmente de moda (la teoría Chern-Simons derivada de un documento de 1974 escrito conjuntamente con Jim Simons), perennes con la (teoría Chern-Weil vinculada con la curvatura de invariantes de curvatura de clase característica de 1944, después del documento de Allendoerfer-Weil de 1943 sobre el Teorema de Gauss-Bonnet), las cotidianas (Clase de Chern), y algunos ámbitos, como la geometría proyectiva diferencial y redes matemáticas que tienen un perfil más bajo. Ha publicado los resultados en la geometría integral, el valor de distribución de la teoría de funciones holomórficas, y superficies mínimas.

Fue un verdadero seguidor de Élie Cartan, trabajando intensamente sobre la 'teoría de la equivalencia' a su vez en China de 1937 a 1943, en relativo aislamiento. En 1954 publicó su propio tratamiento del problema de pseudogrupo es que en efecto la piedra de toque de la teoría geométrica de Cartan. Solía pasar el Marco móvil con éxito sólo acompañado por su inventor; prefiere en la teoría de múltiples complejos para quedarse con la geometría, en lugar de seguir la teoría potencial. De hecho, uno de sus libros se titula, "Complex Manifolds without Potential Theory". En los últimos años de su vida, se propugna el estudio de la geometría de Finsler, escrito varios libros y artículos sobre el tema.

Distinciones y premios [editar]

Se le concedió la Medalla Nacional de Ciencias en 1975, el premio Wolf en matemáticas en 1984, y el premio Shaw en ciencias matemáticas en mayo de 2004. El asteroide 29552 Chern lleva su nombre.

Familia [editar]

Su esposa, Shih-ning (Cheng) Chern, que se casó en 1939, murió en 2000. él también tenía una hija, Mayo Chu (esposa del físico Paul Chu) y un hijo llamado Paul.

Transcripción y pronunciación [editar]

El apellido Chern es un apellido chino que es ahora generalmente escrito Chen. La insólita ortografía "Chern" es una transliteración en el antiguo Gwoyeu romatzyh (GR) romanización de chino mandarín utilizado a principios del siglo XX en China. Utiliza las normas especiales de ortografía para indicar los diferentes tonos de mandarín, que es un idioma tonal, con cuatro tonos. La r sin sonido en "Chern" indica una segunda sílaba de tono, por escrito "Chén" en pinyin, pero en la práctica a menudo escritos por no chinos sin la marca tonal. En GR En la ortografía de su nombre "Shiing Shen-" indica un tercer tono para Shiing y un primer tono de Shen, que son equivalentes a las sílabas "Xǐngshēn" en pinyin.

En inglés, Chern pronuncia su nombre "Churn", y esta pronunciación es ahora aceptada universalmente entre los matemáticos y físicos de habla inglesa.

Véase también [editar]

Enlaces externos [editar]

LÓGICA FRENTE A PENSAMIENTO MÁGICO: GENIALIDAD: HERMANN WEYL (GEOMETRÍA DIFERENCIAL). Weyl publicó algunos trabajos técnicos y generales sobre el espacio, el tiempo, la materia, filosofía, lógica, simetría e historia de las matemáticas. Fue uno de los primeros en concebir la probabilidad de combinar la relatividad general con las leyes del electromagnetismo. Mientras ningún otro matemático de su generación aspiró al 'universalismo' de Poincaré o Hilbert, Weyl se acercó como ningún otro. Michael Atiyah, en particular, comentó alguna vez que siempre que investigaba en algún area, descubría que Weyl le había precedido.

Hermann Weyl

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Hermann Klaus Hugo Weyl
Hermann Weyl.jpg
Hermann Weyl (izquierda) y Ernst Peschl (derecha)
Nacimiento9 de noviembre 1885
Elmshorn, Flag of the German Empire.svg Imperio Alemán
Fallecimiento8 de diciembre 1955
Zúrich, Flag of Switzerland.svg Suiza
CampoFísica matemática
InstitucionesInstituto de Estudios Avanzados de Princeton
Universidad de Göttingen
Escuela Politécnica Federal de Zúrich
Supervisor doctoralDavid Hilbert

Hermann Weyl (9 de noviembre de 1885 - 8 de diciembre de 1955) fue un matemático alemán. Aunque bastante tiempo de su vida laboral la radicó en Zúrich y luego en Princeton, es identificado familiarmente con la tradición matemática de la Universidad de Göttingen, representada por David Hilbert y Hermann Minkowski. Su investigación ha sido muy relevante para la física teórica así como disciplinas puras, incluyendo la teoría de números. Fue uno de los matemáticos más influyentes del siglo XX, y un miembro clave del Instituto de Estudios Avanzados en sus orígenes, contribuyendo para una visión internacional e integrada.

Weyl publicó algunos trabajos técnicos y generales sobre el espacio, el tiempo, la materia, filosofía, lógica, simetría e historia de las matemáticas. Fue uno de los primeros en concebir la probabilidad de combinar la relatividad general con las leyes del electromagnetismo. Mientras ningún otro matemático de su generación aspiró al 'universalismo' de Poincaré o Hilbert, Weyl se acercó como ningún otro. Michael Atiyah, en particular, comentó alguna vez que siempre que investigaba en algún area, descubría que Weyl le había precedido.

La semejanza de nombres hace que a veces lo confundan con André Weil. Una broma matemática supone que, como estos dos personajes fueron realmente grandes, éste era un caso raro en el este tipo error nunca pudo haber causado alguna ofensa en alguno de ellos.

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Biografía [editar]

Hermann Weyl nació en Elmshorn, una ciudad cercana a Hamburgo, en Alemania.

Desde 1904 a 1908 estudió matemática y física tanto en Göttingen como en Múnich. Su doctorado lo obtuvo en la Universidad de Göttingen bajo la supervisión de David Hilbert a quien admiraba mucho. Tras obtener un puesto de enseñanza durante unos años, dejó Göttingen por Zúrich para ocupar la cátedra de matemática en la ETH Zurich, donde fue colega de Einstein que se encontraba puliendo los detalles de la teoría de la relatividad general. Einstein ejerció una influencia duradera sobre Weyl, que quedó fascinado por la física matemática. Weyl conoció en 1921 a Erwin Schrödinger, quien fue nombrado Profesor en la Universidad de Zúrich. Llegaron a ser amigos íntimos con el tiempo.

Weyl dejó Zúrich en 1930 para ser el sucesor de Hilbert en Göttingen hasta el principio de la guerra en 1933. Los eventos le persuadieron a dirigir el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton. Continuó allí hasta su retiro en 1951. Junto con su esposa, vivió en Princeton y Zúrich, y murió en ésta última en 1955.

Contribuciones [editar]

Fundamentos geométricos de las variedades y física [editar]

En 1913, Weyl publicó Die Idee der Riemannschen Fläche (El concepto de una superficie de Riemann), que dio tratamiento unificado a las superficies de Riemann. Weyl usó la topología general para hacer más rigurosa la teoría de superficies de Riemann. Absorbió el trabajo previo de L. E. J. Brouwer sobre topología para este propósito.

En 1918, introdujo la noción de gauge, y dio el primer ejemplo de lo que sería conocido como teoría de gauge. La teoría de gauge de Weyl fue un intento sin éxito de modelar el campo electromagnético y el campo gravitatorio como propiedades geométricas del espacio-tiempo. El tensor de Weyl de la geometría riemanniana es de máxima importancia para comprender la naturaleza de la geometría conforme.

Fundamentos de matemática [editar]

En The Continuum Weyl desarrolló el análisis predicativo usando los niveles bajos de la teoría ramificada de tipos de Russell. Fue capaz de desarrollar la mayoría del cálculo clásico sin usar el axioma de elección, la prueba de contradicción o los conjuntos infinitos de Cantor. Weyl apeló durante este periodo al constructivismo radical del romántico e idealista subjetivo alemán Fichte.

Poco después de publicar The Continuum, Weyl desplazó por completo su postura brevemente al intuicionismo de Brouwer. En el Continuum, los puntos construibles existen como entidades discretas. Weyl quería un continuo que no fuese un agregado de puntos. Escribió un controvertido artículo diciendo de sí mismo y L. E. J. Brouwer que "Somos la revolución". Este artículo fue mucho más influyente a la hora de propagar las ideas intuicionistas que los trabajos originales del propio Brouwer.

George Pólya y Weyl hicieron una apuesta durante una reunión de matemáticos en Zúrich (9 de febrero de 1918) sobre la dirección futura de la matemática. Weyl predijo que en los 20 años siguientes, los matemáticos se darían cuenta de la vaguedad total de nociones tales como los números reales, conjuntos y numerabilidad, y más aún, que preguntarse por la verdad o falsedad de la propiedad del supremo de los números reales tenía tan poco sentido como preguntarse sobre la verdad de las afirmaciones básicas de Georg Hegel sobre la filosofía de la naturaleza. La existencia de esta apuesta queda documentada en una carta descubierta por Yuri Gurevich en 1995, y se dice que cuando venció el tiempo de la apuesta, los individuos presentes dieron a Pólya como vencedor (sin la concurrencia de Kurt Gödel).

Sin embargo, tras unos pocos años decidió que el intuicionismo de Brouwer ponía restricciones demasiado grandes a la matemática. El artículo "Crisis" molestó a Hilbert, maestro formalista de Weyl, pero más adelante en la década de 1920 Weyl reconcilió su postura parcialmente con la de Hilbert.

Tras 1928 Weyl decidió aparentemente que el intuicionismo matemático no se podía reconciliar con su entusiasmo por el pensamiento de Husserl. En las últimas décadas de su vida Weyl dio énfasis a la matemática como "construcción simbólica" y se desplazó a una postura no sólo más cercana a la de Hilbert sino también a la de Ernst Cassirer. Sin embargo, Weyl se refirió rara vez a Cassirer, y sólo escribió artículos breves y pasajes articulando esta postura.

Matemática de la relatividad [editar]

Weyl siguió el desarrollo de este campo de la física desde 1918 en su Raum, Zeit, Materie (Espacio, tiempo, materia), que alcanzó la cuarta edición en 1922. Su enfoque se basaba en la filosofía fenomenológica de Edmund Husserl, específicamente en su Ideen zu einer Phänomenologia de 1913. Aparentemente, ésta era la manera de Weyl de lidiar con la controvertida dependencia de Einstein en la física fenomenológica de Ernst Mach. Husserl había reaccionado vivamente a la crítica que hizo Frege de su primer trabajo sobre la filosofía de la aritmética y estaba investigando el sentido de la matemática y otras estructuras, que Fregue había distinguido de la referencia empírica. Por tanto, hay buenas razones para ver la teoría de gauge tal como se desarrolló de las ideas de Weyl como un formalismo de la medida física y no una teoría de nada físico, es decir, como un formalismo científico.

Grupos topológicos, grupos de Lie y teoría de la representación [editar]

De 1923 a 1938, Weyl desarrolló la teoría de grupos compactos en términos de representación de matrices. En el caso del grupo compacto de Lie, probó una fórmula de caracteres fundamental.

Estos resultados son fundamentales para entender la estructura simétrica de la mecánica cuántica, que él puso sobre una base de teoría de grupos. Esto incluye a los espinores. Junto con la formulación matemática de la mecánica cuántica, en gran medida debido a John von Neumann, esto dio el tratamiento que ha sido familiar desde alrededor de 1930. También estaban profundamente implicados los grupos no compactos y sus representaciones, particularmente el grupo de Heisenberg. Desde entonces, y ciertamente con la gran ayuda de las exposiciones de Weyl, los grupos de Lie y el álgebra de Lie se convirtieron en parte habitual de la matemática pura y la física teórica.

Su libro The Classical Groups, un texto seminal aunque difícil, reconsideró la teoría de invariantes. Cubría los grupos simétricos, todos los grupos lineales, los grupos ortogonales y los grupos simplécticos y resultados sobre sus invariantes y representaciones.

Análisis armónico y teoría analítica de números [editar]

Weyl mostró también la manera de usar sumatorios exponenciales en la aproximación diofántica, con su criterio para distribución uniforme modo 1, que fue un paso fundamental para la teoría analítica de números. Este trabajó se aplicaba tanto a la función zeta de Riemann como a la teoría aditiva de números. La desarrollaron muchos otros.

Citas [editar]

Este comentario de Weyl, aunque medio en broma, resume su personalidad:

"En mi trabajo siempre he intentado unir la verdad con la belleza, pero cuando he tenido que escoger entre una de las dos, habitualmente escogí la belleza". "La pregunta sobre el fundamento y el significado definitivos de la matemática sigue abierta; no sabemos en qué dirección encontrará su solución ni siquiera si se puede esperar una respuesta objetiva. "Matematizar" podría perfectamente ser una actividad creativa del hombre, como la lengua o la música, de originalidad primaria, cuyas decisiones históricas desafían completamente la racionalización objetiva". -- Hermann Weyl (Gesammelte Abhandlungen) "Los problemas de la matemática no lo son en un vacío ... " -- Herman Weyl "El círculo vicioso [de las definiciones impredicativas], que ha reptado hasta el análisis a través de la naturaleza brumosa de los conceptos habituales de conjunto y función, no es en análisis una forma de error menor, fácilmente evitable". -- Hermann Weyl "En estos días el ángel de la topología y el demonio del álgebra abstracta luchan por el alma de cada disciplina individual de la matemática."

Véase también [editar]

Trabajos Publicados [editar]

  • (1918) The Continuum: A Critical Examination of the Foundation of Analysis. ISBN 0-486-67982-9.
  • (1923) Mathematische Analyse des Raumproblems.
  • (1924) Was ist Materie?.
  • (1928) Gruppentheorie und Quantenmechanik.
  •  (1934) «On generalized Riemann matrices» Ann. of Math. Vol. Vol. III. n.º 35. pp.~400--415.
  • (1935) Elementary Theory of Invariants.
  • (1949) Philosophy of Mathematics and Natural Science.
  • (1952) Space Time Matter. título original: "Raum, Zeit, Materie". ISBN 0-486-60267-2.
  • (1952) Symmetry. Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
  • (1955) The Concept of a Riemann Surface. Addison-Wesley.
  • (1968) Gesammelte Abhandlungen (vol. Vol IV). ed. Chandrasekharan, K. Springer.
  • Classical Groups: Their Invariants And Representations. ISBN 0-691-05756-7.

Enlaces y Referencias externas [editar]

Plantilla:ORDENAR:Weyl, Hermann

LÓGICA FRENTE A PENSAMIENTO MÁGICO: GENIALIDAD: LA GEOMETRÍA DE RIEMANN. GEOMETRÍA DIFERENCIAL. En geometría diferencial, la geometría de Riemann es el estudio de las variedades diferenciales con métricas de Riemann; es decir de una aplicación que a cada punto de la variedad, le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, aplicación que varía suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre otras magnitudes) ángulo, longitud de curvas, y volumen. A partir de éstas, pueden obtenerse otras magnitudes por integración de las magnitudes locales.

Geometría de Riemann

De Wikipedia, la enciclopedia libre

SUPERFICIE DE RIEMANN

En geometría diferencial, la geometría de Riemann es el estudio de las variedades diferenciales con métricas de Riemann; es decir de una aplicación que a cada punto de la variedad, le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, aplicación que varía suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre otras magnitudes) ángulo, longitud de curvas, y volumen. A partir de éstas, pueden obtenerse otras magnitudes por integración de las magnitudes locales.

Fue propuesta por primera vez de forma general por Bernhard Riemann en el siglo XIX. Como casos especiales particulares aparecen los dos tipos convencionales (geometría elíptica y geometría hiperbólica) de geometría No-Euclidiana, así como la geometría euclidiana misma. Todas estas geometrías se tratan sobre la misma base, al igual que una amplia gama de las geometrías con propiedades métricas que varían de punto a punto.

Cualquier variedad diferenciable admite una métrica de Riemann y esta estructura adicional ayuda a menudo a solucionar problemas de topología diferencial. También sirve como un nivel de entrada para la estructura más complicada de las variedades pseudo-Riemann, las cuales (en el caso particular de tener dimensión 4) son los objetos principales de la teoría de la relatividad general.

No hay introducción fácil a la geometría de Riemann. Los artículos siguientes pueden servir como introducción:

  1. tensor métrico
  2. variedad de Riemann
  3. conexión de Levi-Civita
  4. curvatura
  5. Tensor de curvatura.


Teoremas clásicos en la geometría de Riemann [editar]

Lo que sigue es una lista no completa de los teoremas más clásicos de la geometría de Riemann. La elección se hace dependiendo de su belleza, de la importancia y simplicidad de la formulación.

Teoremas generales [editar]

  1. Teorema de Gauss-Bonnet La integral de la curvatura de Gauss en un variedad de Riemann compacta de 2 dimensiones es igual a 2πχ(M), aquí χ(M) denota la característica de Euler de M.
  2. Teorema de inmersión de Nash también llamado Teorema Fundamental de la geometría de Riemann. Indican que cada variedad de Riemann puede ser isométricamente sumergida en un espacio euclidiano Rn.

Enlaces externos [editar]

LÓGICA FRENTE A PENSAMIENTO MÁGICO: GEOMETRÍA DIFERENCIAL (GEOMETRÍA FRACTAL Y DIFERENCIAL). En matemáticas, la geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables (tal y como la topología diferencial) tanto como las nociones de conexión y curvatura (que no se estudia en la topología diferencial).

Geometría diferencial

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En matemáticas, la geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables (tal y como la topología diferencial) tanto como las nociones de conexión y curvatura (que no se estudia en la topología diferencial).

Las aplicaciones modernas de la geometría diferencial han dado el estado del arte que goza la física.

Véase también [editar]

En su concepción moderna la geometría diferencial podría confundirse con el álgebra multilineal

Enlaces externos [editar]