Lógica frente a pensamiento mágico

LÓGICA FRENTE A PENSAMIENTO MÁGICO. GENIALIDAD. LA VARIEDAD. Una variedad es el objeto geométrico estándar en matemática, que generaliza la noción intuitiva de curva (1-variedad) y de superficie (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre cuerpos variados (no forzosamente el de los reales).

petalofucsia - 20 de abril de 2010 - 09:33 - Lógica frente a pensamiento mágico

Variedad (matemática)

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VARIEDAD (ARRIBA) Y ARMONÍA (ABAJO)

En una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo no es igual a 180°, pues una esfera no es un espacio euclídeo. Sin embargo, localmente, las leyes de la geometría euclídea son buenas aproximaciones. Este ejemplo ilustra cómo la esfera puede ser representada por una colección de mapas bidimensionales. La esfera es, por tanto, una variedad, en concreto, una variedad riemanniana.

Una variedad es el objeto geométrico estándar en matemática, que generaliza la noción intuitiva de curva (1-variedad) y de superficie (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre cuerpos variados (no forzosamente el de los reales);

Un poco más formalmente, podemos decir que una variedad de dimensión n es un espacio que se parece localmente a $mathbb{R}^n$ . Esto nos hace pensar que una variedad esta compuesta de parches n-dimensionales, que donde los parches se traslapan están pegados topológicamente (ver variedad diferenciable).

Una variedad se llama cerrada si no tiene borde y es compacta.

Un campo de investigación muy activo es el estudio de las 3-variedades, que pertenece al área de la topología de dimensiones bajas.

Introducción [editar]

Los mapas (o cartas) [editar]

Cuando nos desplazamos por la esfera terrestre nos orientamos utilizando mapas planos reunidos en un atlas. En el límite de cada mapa figura la información necesaria para "pegar" mentalmente el mapa siguiente. Para poder hacerlo, es necesaria una cierta redundancia en la información: así, tanto el mapa de Europa como el de Asia pueden contener Moscú. De un modo similar, en matemáticas es posible describir una variedad utilizando una colección de mapas o cartas reunidos en un atlas e indicando como pasar de un mapa a otro. El globo terrestre es un ejemplo típico de variedad, pues puede ser representado por una colección de mapas geográficos.

Un mapa es una porción de la variedad análoga a un espacio vectorial; los cambios de mapa indican cómo estas porciones de variedades se acoplan entre sí. Así, para describir un círculo, es posible tomar como mapas dos arcos superpuestos.

En general no es posible describir una variedad a partir de un solo mapa, pues la estructura global de la variedad es diferente de la estructura simple del espacio modelo. Por ejemplo, ningún mapa plano puede describir convenientemente toda la Tierra. Las variedades aparecen como espacios topológicos y sus topologías sólo están determinadas por la situación de sus respectivos mapas.

Dimensión y topología de las variedades [editar]

Figura 2. Ejemplos de curvas : ■ círculos, ■ parábolas, ■ hipérbolas, ■ cúbicas.

La primera noción relacionada con la variedad es su dimensión. La dimensión designa el número de parámetros independientes que es necesario fijar para situar localmente a un punto sobre la variedad.

Las curvas son variedades de dimensión uno.
En una superficie, son necesarias dos coordenadas. Sobre la esfera terrestre, por ejemplo, será necesario precisar la latitud y la longitud.
Existen numerosas variedades de dimensión superior a dos. Estas variedades son representables gráficamente de manera compleja, para ello, por ejemplo se usan diagramas de Heegaard o diagramas Freedman-Kirby.

Todas las variedades con una misma dimensión n — o n-variedades — tienen la misma topología local. Así, una pequeña porción de la curva es análoga a una recta y una pequeña porción de superficie es análoga a un plano. No obstante, las variedades se distinguen por su aspecto global. Por ejemplo, en la figura 2 la variedad roja está formada por dos círculos, y resulta visiblemente imposible deformarla de manera continua para obtener una de las otras tres curvas. Del mismo modo, una esfera y un toro no se parecen topológicamente. En general, la topología global puede complicarse por la presencia de agujeros, asas, etc.

Variedad abstracta y subvariedad [editar]

Figura 4. Botella de Klein.

Existen numerosos subconjuntos del espacio tridimensional que pueden tener una estructura de variedades: el círculo, el cilindro, la esfera, la cinta de Möbius etc. Estos subconjuntos se denominan subvariedades.

Existen también las denominadas variedades abstractas, como la botella de Klein representada en la figura 4. La botella de Klein puede ser descrita por un sistema de mapas y coordenadas representado por la red de meridianos y paralelas de la figura.

El teorema de inmersión de Whitney muestra que toda variedad abstracta de dimensión n puede realizarse como subvariedad de un espacio de dimensión suficientemente grande (2n). Así, la botella de Klein no puede representarse en el espacio de tres dimensiones, pero forma una subvariedad del espacio de cuatro dimensiones.

En 1851 Bernhard Riemann ofreció la primera definición de variedad, a la que denominó Mannigfaltigkeit'

Véase también: Historia de la Geometría

Las variedades de Riemann [editar]

Bernhard Riemann fue el primer matemático que extendió sistemáticamente la noción de superficie a los objetos de mayores dimensiones, a los que llamó Mannigfaltigkeit.^[1] De este término procede el inglés manifold. Riemann ofrece una descripción intuitiva de variedad, considerando una variedad de dimensión n como un "apilamiento" continuo de variedades de dimensión n-1. En la acepción moderna de variedad, esta descripción intuitiva sólo es válida localmente, es decir, en el entorno de cada punto de la variedad. Riemann utiliza este concepto para describir el conjunto de valores de una variable sometida a ciertas restricciones, como el conjunto de los parámetros que describen la posición de una figura en el espacio.

A partir de entonces, las variedades empiezan a aplicarse en numerosos dominios. En matemáticas, se aplican al estudio de la prolongación analítica y de las variedades abelianas en análisis complejo y al estudio de los flots diferenciables con la aplicación de premier retour de Poincaré. En física, las variedades se aplican a la definición de las mecánicas hamiltoniana y lagrangiana. En 1904, al estudiar las variedades de dimensión 3, Henri Poincaré descubre uno de los problemas más célebres de la teoría de las variedades, la conjetura de Poincaré, demostrada por Grigori Perelmán y validada en junio de 2006.

A pesar de su popularidad, la noción de variedad siguió siendo borrosa. En 1912 Hermann Weyl ofreció una descripción intrínseca de las variedades diferenciables.^[2] Las publicaciones de los años 30, con ocasión de la prueba del teorema de inmersión por Hassler Whitney, dejaron bien establecido el concepto.

Ejemplo: el círculo [editar]

Figura 1.

Después de la recta real, el ejemplo más simple de variedad es la circunferencia. Existen dos maneras de introducirlo: aquí vamos a pensar en una circunferencia trazado en el plano euclídeo $mathbb{R}^2$ , teniendo como coordenadas x e y. Supondremos que se trata de una circunferencia de centro (0,0) y de radio 1. Tal circunferencia está definido implícitamente por la ecuación $x 2 + y 2 = 1$ .

Primer atlas [editar]

Localmente, la circunferencia parece una línea, que tiene una sola dimensión. En otros términos, una sola coordenada es suficiente para describir un pequeño arco de circunferencia. Consideremos, por ejemplo, la parte superior de la circunferencia, para la que la coordenada y es positiva (la parte amarilla en la figura 1). No importa qué punto de esta parte pueda ser descrito por la coordenada x. Existe, por lo tanto, un homeomorfismo χ_arriba, que une la parte amarilla de la circunferencia al intervalo abierto [−1, 1] que representa cada punto de la circunferencia por su primera coordenada:

$chi_{mathrm{arriba}}(x,y) = x. ,$

A tal función se le denomina un mapa o carta. Del mismo modo, existen mapas para las partes inferiores (rojo), izquierda (azul) y derecha (verde) de la circunferencia. Juntas, todas ellas recubren la totalidad de la circunferencia y decimos que los cuatro mapas conforman un atlas de esa circunferencia.

Los dos mapas superior e izquierdo se superponen. Su intersección se sitúa en el cuarto de circunferencia donde las coordenadas x e y son, respectivamente, negativa y positiva. El mapa χ_arriba realiza una biyección que en (x,y) asocia x, partiendo de la zona de superposición hacia el intervalo ]-1,0[. El mapa χ_izquierda por el que (x,y) da y asocia a esta misma zona de superposición el intervalo ]0;1[. De este modo, es posible crear una función T del intervalo ]-1,0[ hacia ]0,1[ :

$T_{mathrm{arriba}rightarrowmathrm{izquierda}}(x) = chi_{mathrm{izquierda}}left(chi_{mathrm{arriba}}^{-1}(x)right) = chi_{mathrm{izquierda}}left(x, sqrt{1-x^2}right) = sqrt{1-x^2}.$

Tal función se llama aplicación de cambio de mapa, de cambio de cartas o simplemente de transición. Permite pasar del sistema de coordenadas x elegido para el primer mapa al sistema de coordenadas y elegido para el segundo.

Segundo atlas [editar]

La aplicación pendiente forma un mapa que describe todos los puntos de la circunferencia excepto uno.

Los mapas superior, inferior, derecho e izquierdo muestran que la circunferencia es una variedad, pero no conforman el único atlas posible. Los mapas no tienen por qué ser proyecciones geométricas y su número es prácticamente arbitrario.

He aquí otro ejemplo de descripción de una circunferencia. Si tomamos como punto de base el punto de coordenadas (-1, 0) y trazamos diferentes rectas desde ese punto; la recta derecha de pendiente s corta a la circunferencia en un punto único. La correspondencia entre entre la pendiente de la derecha y las coordenadas de un punto de intersección es en un sentido:

$chi_{mathrm{menos}}(x,y) = s = {yover{1+x}}$ ;

y en el otro:

$x = {{1-s^2}over{1+s^2}},qquad y = {{2s}over{1+s^2}};$ .

Este primer mapa describe todos los puntos de la circunferencia excepto el punto de base.

Para construir el segundo mapa hacemos una simetría tomando como punto de base (+1, 0) y como pendiente -t con:

$chi_{mathrm{mas}}(x,y) = t = {yover{1-x}}$ .

Estos dos mapas proporcionan un segundo atlas de la circunferencia, teniendo por aplicación de cambio de mapa

$t = {1over s}=varphi(s)$ .

Cada mapa omite un solo punto, sea (−1,0) para s o (+1,0) para t, de modo que ningún mapa solo puede describir completamente la circunferencia.

Conclusión [editar]

Hemos visto que los dos atlas presentados son compatibles, es decir, que agrupando los cuatro mapas del primero y los dos del segundo, obtenemos un nuevo atlas, todavía más redundante. Cada uno de ellos, así como el atlas global, definen la misma noción de orientación (repérage) por mapa y coordenadas locales, es decir, la misma estructura de variedad. Más adelante, se mostrará cómo el resultado de la ecuación $x 2 + y 2 = 1$ permite también crear sistemas de mapas locales adaptados.

A partir de estos ejemplos, podemos comprobar la flexibilidad que nos permite la utilización de mapas: disponemos de una variedad infinita de atlas compatibles sobre la circunferencia. Nuestra elección dependerá de la geometría del problema estudiado. Sin embargo, podemos demostrar topológicamente que un solo mapa no podrá jamás cubrir la totalidad de la circunferencia.

Clases de variedades [editar]

Figura 5. La lemniscata (con la topología heredada del plano) no es una variedad, pues en el entorno del punto doble se parece a una cruz.

existe en diversas variantes, utilizadas según el dominio particular considerado:

variedades diferenciables: son como las superficies lisas (sin puntos angulosos) y generalmente reales. En ellas se pueden definir en cualquier punto vectores (o planos) tangentes; se utilizan en la teoría de los grupos de Lie, el cálculo diferencial sobre espacios topológicos más generales (que se utilizan por ejemplo en mecánica);
variedades algebraicas: son curvas o superficies definidas como raíces de polinomios de varias variables generalmente complejas;
variedades aritméticas: son casos particulares de variedades algebraicas, más especializadas, para las aplicaciones orientadas a la teoría de números. El cuerpo de referencia es el de los números racionales, o una de sus extensiones.

Variedades topológicas [editar]

Artículo principal: Variedad topológica

Las variedades más sencillas de definir son las variedades topológicas, pues se parecen localmente a un espacio euclídeo ordinario Rⁿ. Formalmente, una variedad topológica es un espacio topológico en que cada punto tiene un entorno homemorfo a un abierto de Rⁿ. Estos homeomorfismos son las cartas o mapas de la variedad.

Variedades diferenciables [editar]

Artículo principal: Variedad diferenciable

Una esfera, ejemplo de variedad diferenciable.

Las variedades diferenciables conforman una subclase especial de las variedades topológicas. Si las cartas locales en una variedad son aplicaciones diferenciables en el espacio de coordenadas, entonces podemos definir funciones diferenciables en esa variedad y un espacio tangente en cada punto. En particular, es posible utilizar el cálculo en una variedad diferenciable. La esfera bidimensional es un ejemplo clásico de variedad diferenciable.

Variedades riemannianas [editar]

Artículo principal: Variedad riemanniana

En la geometría de Riemann, una variedad de Riemann es una variedad diferenciable real en la cual cada espacio tangente se equipa con un producto interior de manera que varíe suavemente de punto a punto. Esto permite que se definan varias nociones métricas como longitud de curvas, ángulos, áreas (o volúmenes), curvatura, gradiente de funciones y divergencia de campos vectoriales.

Grupos de Lie [editar]

Artículo principal: Grupo de Lie

Informalmente, un grupo de Lie es un grupo continuo, es decir, un grupo en el que tanto sus elementos como la operación varían continuamente. Un ejemplo típico es el grupo de rotaciones del plano alrededor de un punto. Esta idea se usa en contraposición a la de grupo "abstracto" o "algebraico", en cuyo estudio prima más los aspectos operacionales que los geométricos.

Por ejemplo, el espacio euclídeo $mathbb R^n$ con la operación de adición de vectores, o el conjunto de matrices reales nxn con determinante 1 son grupos de Lie. El primero se interpreta geométricamente como un grupo traslaciones; el segundo, transformaciones lineales que conservan el volumen.

Formalmente, un grupo de Lie $G$ es una variedad diferenciable real o compleja provista de una estructura de grupo, debiendo ser las operaciones sobre tal grupo igualmente diferenciables u holomorfas.

Otros tipos de variedades [editar]

Una variedad compleja es una variedad modelada sobre Cⁿ con funciones de transición holomorfas. Estas variedades son los objetos básicos de estudio en geometría compleja. Una variedad compleja de dimensión compleja uno se llama superficie de Riemann. Notemos que una variedad compleja de dimensión n tendrá dimensión 2n considerada como variedad diferenciable real.
Variedades de dimensión infinita: para permitir el uso de infinitas dimensiones podemos considerar las variedades de Banach, que son localmente homeomorfas a un espacio de Banach. Otra posibilidad son las variedades de Fréchet, localmente homeomorfas a espacios de Fréchet.
Una variedad simpléctica es una clase de variedad usada para representar los espacios de fases en Mecánica Clásica. Para ello, están dotadas con una 2-forma que permite definir el corchete de Poisson. Muy relacionadas con este tipo de variedades están las variedades de contacto.

Construcción de variedades [editar]

Los modos de construcción de variedades maś usuales son:

El producto cartesiano, que permite acceder a variedades de dimensiones superiores;
El pegado de variedades, que permite complejizar la topología de las variedades conservando su dimensión;
El cociente de variedades, que permite también complejizar la topología de las variedades, pero que en ocasiones implica una pérdida de dimensiones.

Producto de variedades [editar]

Un cilindro finito es una variedad con borde.

El producto cartesiano de dos o más variedades es también una variedad. La dimensión de la variedad producto es la suma de las dimensiones de sus factores. Su topología es la topología producto, y un producto cartesiano de cartas es una carta para la variedad producto. Si los talas utilizados definen una estructura diferenciable en los factores, el atlas producto define una estructura diferenciable en la variedad producto. Si uno de los factores tiene borde, la variedad producto también tendrá borde.

Los productos cartesianos pueden utilizarse para constuir toros y cilindros finitos: S¹ × S¹ y S¹ × [0, 1], respectivamente.

Pegado de variedades [editar]

Artículo principal: Suma conexa

Para realizar este procedimiento denominado suma conexa necesitamos dos variedades de la misma dimensión, de las que recortaremos una bola abierta. Este proceso dejará en cada variedad una frontera (la de la bola eliminada) que procederemos a identificar por medio de un homeomorfismo arbitrario.

Pegado de variedades por los bordes [editar]

En el procedimiento de suma conexa debemos crear artificialmente fronteras para después identificarlas. Si las variedades son variedades con borde, podremos identificar sus fronteras sin necesidad de crearlas previamente.

En principio, la definición de variedades prohíbe la presencia de bordes o fronteras, como un disco plano cerrado, por ejemplo. Sin embargo, es posible definir una noción de variedad con borde aceptando cartas que tengan por dominio abiertos de $R^{n-1}times R_+^*$ . De este modo, el borde de una variedad así definida será una variedad de dimensión n-1. Así, una bola cerrada es una 3-variedad con borde que tiene por borde una 2-variedad, la esfera.

Cociente de variedades [editar]

Un ejemplo de cociente son los espacios homogéneos. Supongamos que G es un grupo de Lie y H es un subgrupo cerrado. Entonces el cociente G/H (donde identificamos dos puntos de G si se puede pasar de uno a otro traslad'andolos por algún elemento de H ), es una variedad.

Propiedades invariantes [editar]

Artículo principal: invariante

La Cinta de Möbius es un ejemplo de variedad no orientable. Es una superficie con una sola cara y un solo borde.

A diferencia de las curvas y las superficies, las variedades de dimensiones más altas no pueden ser comprendidas mediante la intuición espacial. En estos casos es muy difícil decidir si dos descripciones de una variedad se refieren a un mismo objeto. De ahí que se hayan desarrollado conceptos y criterios para describir los aspectos geométricos y topológicos intrínsecos a las variedades de más de tres dimensiones. Estos criterios se denominan invariantes, pues son los mismos en todas las descripciones posibles de una variedad dada. De este modo, podemos distinguir dos variedades si difieren en alguna propiedad invariante.

Existen propiedades invariantes locales y globales: las invariantes locales sirven para caracterizar a las variedades a las escalas más pequeñas; las invariantes globales tienen en cuenta la estructura espacial global de la variedad.

Las propiedades invariantes han sido caracterizadas por distintas ramas de la topología:

En topología general o conjuntista encontramos la propiedad de Hausdorff o la dimensión. La propiedad de ser compacto, paracompacto o la conectividad son propiedades globales fundamentales, hasta el punto de que muchos matemáticos las incluyen en la propia definición de variedad.
La topología algebraica es fuente de numerosas invariantes globales como el grupo fundamental o la orientabilidad. Varias ramas de las matemáticas como la teoría de homología y la teoría de las clases características se desarrollaron con el objetivo de estudiar las propiedades invariantes de las variedades.

Si una variedad está dotada de una estructura geométrica más rica, entonces suele tener propiedades invariantes locales. La curvatura de una variedad de Riemann, por ejemplo, es un invariante local.

Orientabilidad [editar]

En las variedades de dos y más dimensiones un criterio importante de invarianza es la cuestión de si tal variedad admite una orientación significativa. Consideremos una variedad topológica cuyas cartas mapean a Rⁿ. Dada una base ordenada para Rⁿ, una carta hace que el fragmento de la variedad a la que va referida adquiera orientación en el que las 3-dimensiones pueden verse como orientadas a la derecha o a la izquierda. Las cartas superpuestas no tienen porqué coincidir en su orientación, lo que da a las variedades una gran libertad. Para algunas variedades, como la esfera, pueden elegirse cartas de manera que las regiones superpuestas estén de acuerdo en su orientación (derecha o izquierda); estas variedades se denominan variedades orientables. Para otras, es imposible. Algunos ejemplos ilustrativos de variedades no orientables son la cinta de Möbius, una variedad con borde, la botella de Klein, que se intersecta a sí misma en un espacio de 3 dimensiones o el plano proyectivo real.

Género y la característica de Euler [editar]

Artículo principal: Característica de Euler

Una taza sólida transformándose en un toro sólido $D^2times S^1$

Para las variedades de 2 dimensiones el género (el número de asas en una superficie) es una invariante clave: un toro es una esfera con un asa, un doble toro es una esfera con dos asas, etc. De hecho, es posible caracterizar completamente una variedad compacta de dos dimensiones por su género y su orientabilidad. En las variedades de dimensiones más altas, el género es reemplazado por la característica de Euler.

Generalización [editar]

La categoría de las variedades (indefinidamente) diferenciables con morfismos (indefinidamente) diferenciables carece de ciertas propiedades deseables, y se ha tratado de generalizar las variedades (indefinidamente) diferenciables para corregir esto. Los espacios difeológicos usan una noción diferente de carta conocida como plots ( o placas). Espacio diferenciable y Espacio de Frölicher son otros intentos.

Aplicaciones de las variedades [editar]

En matemáticas [editar]

Existen numerosas aplicaciones de las variedades en matemáticas. El análisis real clásico y el análisis funcional han extendido su campo de investigación de los espacios vectoriales topológicos a las variedades. Del mismo modo, los procesos estocásticos como el movimiento browniano se extienden de los espacios reales de dimensión finita a las variedades. Asimismo, las variedades aparecen episódicamente en estadística. Por otro lado, muchos conjuntos interesantes tienen al mismo tiempo una estructura algebraica y una estructura de variedad compatibles. Es el caso del conjunto de las rotaciones en un espacio de 3 dimensiones, que forma una 3-variedad y un grupo. La teoría de los grupos de Lie estudia estas variedades con propiedades algebraicas. La teoría de los espacios homogéneos estudia sus acciones transitivas.

En física [editar]

El doble péndulo y su espacio de configuración: el toro

La posición del péndulo doble se describe por dos parámetros angulares.

La posición de un punto sobre el toro.

Notas y referencias [editar]

Notas [editar]

↑ Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse, tesis de doctorado de 1851 y Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liege tesis de habilitación de 1854
↑ Hermann Weyl, The concept of a Riemann surface, Addison Wesley, édition de 1955

Referencias [editar]

Freedman, Michael H and Quinn, Frank, Topology of 4-Manifolds, Princeton University Press (1990).
Guillemin, Victor and Pollack, Alan, Differential Topology, Prentice-Hall (1974), ISBN 0-13-212605-2.
Hempel, John, 3-Manifolds, Princeton University Press (1976).
Hirsch, Morris, Differential Topology, Springer (1997), ISBN 0-387-90148-5.
Kirby, Robion C. and Siebenmann, Laurence C., Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations. Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1977), ISBN 0-691-08190-5.
Lee, John M., Introduction to Topological Manifolds, Springer-Verlag, New York (2000), ISBN 0-387-98759-2. Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag, New York (2003) ISBN 0-387-95495-3.
Massey, William S., Algebraic Topology: An Introduction, Harcourt, Brace & World, 1967.
Milnor, John, Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton University Press, (revised, 1997), ISBN 0-691-04833-9.
Munkres, James R., Topology, Prentice Hall, (2000) ISBN 0-13-181629-2.
Neuwirth, L. P., editor, Knots, Groups, and 3-Manifolds. Papers Dedicated to the Memory of R. H. Fox, Princeton University Press, (1975).
Spivak, Michael, Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. HarperCollins Publishers (1965), ISBN 0-8053-9021-9.
Munkres, James R., "Topología" PEARSON EDUCACIÓN S.A.,(2ªedición) ISBN: 84-205-3180-4 (en español)

Véase también [editar]

Conjetura de Poincaré.

Matemáticos [editar]

Geómetras que estudiaron la topología de variedades:

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_(matem%C3%A1tica)"

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LÓGICA FRENTE A PENSAMIENTO MÁGICO: LA GENIALIDAD. LA VARIEDAD (USUAL EN LOS GENIOS). Una variedad es el objeto geométrico estándar en matemática, que generaliza la noción intuitiva de curva (1-variedad) y de superficie (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre cuerpos variados (no forzosamente el de los reales).

petalofucsia - 20 de abril de 2010 - 09:27 - Lógica frente a pensamiento mágico

variedad

f. Diferencia, diversidad:
la película gustó a una gran variedad de público.
Conjunto de cosas diversas:
aquí venden una gran variedad de artículos para el hogar.
bot. y zool. Cada uno de los grupos en que se dividen algunas especies, con características comunes y rasgos de diferenciación secundarios:
el almendro tiene variedades de fruto dulce y amargo.
f. pl. Espectáculo teatral ligero, formado por varios números de índole diversa:
fue actriz de variedades antes de pasar al cine.

Preguntas en los foros con la(s) palabra(s) 'variedad' en el título:

Variedad romance arcaizante (España)

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variedad

pluralidad, multiplicidad, diversidad, heterogeneidad, complejidad, diferencia
- Antónimos: uniformidad, homogeneidad

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diversidad - especie - gama - género - heterogeneidad - homogeneidad - mezcolanza - miscelánea - modalidad - multiplicidad - pluralidad - uniformidad

variedad.

(Del lat. variĕtas, -ātis).

1. f. Cualidad de vario.

2. f. Diferencia dentro de la unidad.

3. f. Conjunto de cosas diversas.

4. f. Inconstancia, inestabilidad o mutabilidad de las cosas.

5. f. Mudanza o alteración en la sustancia de las cosas o en su uso.

6. f. Acción y efecto de variar.

7. f. Bot. y Zool. Cada uno de los grupos en que se dividen algunas especies de plantas y animales y que se distinguen entre sí por ciertos caracteres que se perpetúan por la herencia.

8. f. pl. Espectáculo teatral ligero en que se alternan números de diverso carácter.

vario, a

adj. Diverso, distinto, diferente:
los colores del prisma eran varios e inconstantes.
Que tiene variedad:
en esta salsa entran varias especias.
adj. y pron. indef. pl. Algunos, unos cuantos:
varias personas se reunieron a la entrada de la catedral.
m. pl. Apartado de cualquier conjunto que reúne elementos de diversos tipos, sin clasificar.
Conjunto de libros, folletos, hojas sueltas o documentos, de diferentes autores, materias o tamaños, reunidos en tomos, legajos o cajas:
los documentos o folletos efímeros se catalogan en varios.

variar

tr. Modificar, hacer que algo sea diferente de lo que era antes:
han variado la disposición de los muebles.
Dar variedad:
procura variar el menú para hacerlo atractivo.
intr. Cambiar, ser diferente:
es sorprendente cómo varía el paisaje de esta región.
♦ Se conj. como vaciar.

vario

diverso, diferente, variado, complejo, heterogéneo, dispar
- Antónimos: homogéneo, único

variar

modificar, cambiar, transformar, alterar, mudar, reformar, renovar, permutar
- Antónimos: mantener, uniformar, igualar

'VARIO' también aparece en estas entradas

múltiple - polifacético

vario, ria.

(Del lat. varĭus).

1. adj. Diverso o diferente.

2. adj. Inconstante o mudable.

3. adj. Indiferente o indeterminado.

4. adj. Que tiene variedad o está compuesto de diversos adornos o colores.

5. adj. pl. Algunos, unos cuantos.

6. m. Conjunto de libros, folletos, hojas sueltas o documentos, de diferentes autores, materias o tamaños, reunidos en tomos, legajos o cajas.

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LÓGICA: SISTEMA FORMAL. Un sistema formal o un sistema axiomático es un artificio matemático compuesto de símbolos que se unen entre sí formando cadenas que a su vez pueden ser manipuladas según reglas para producir otras cadenas. De esta manera, el sistema formal es capaz de representar cierto aspecto de la realidad.

petalofucsia - 13 de noviembre de 2009 - 21:38 - Lógica frente a pensamiento mágico

Sistema formal

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Un sistema formal o un sistema axiomático es un artificio matemático compuesto de símbolos que se unen entre sí formando cadenas que a su vez pueden ser manipuladas según reglas para producir otras cadenas. De esta manera, el sistema formal es capaz de representar cierto aspecto de la realidad.

En las ciencias formales de la lógica y las matemáticas, así como en otras disciplinas relacionadas, como son la informática, la teoría de la información, y la estadística, un ‘’sistema formal’’ es una gramática formal usada para la modelización de diferentes propósitos. Llamamos ‘’formalización’’ al acto de crear un sistema formal, y se trata de una acción con la que pretendemos capturar y abstraer la esencia de determinadas características del mundo real, en un modelo conceptual expresado en un determinado lenguaje formal

En matemáticas, las pruebas formales son el resultado de sistemas formales, consistentes en axiomas y reglas de deducción. Los teoremas pueden ser obtenidos por medio de pruebas formales. Este punto de vista de las matemáticas ha sido denominado formalista; aunque en muchas ocasiones este término conlleva una acepción peyorativa. En ese sentido David Hilbert creó la disciplina denominada matemáticas dedicada al estudio de los sistemas formales, entendiendo que el lenguaje utilizado para ello, denominado metalenguaje era distinto del lenguaje del sistema formal que se pretendía estudiar. Con otra denominación, el metalenguaje o lenguaje obtenido mediante la gramática formal se llama también, en ocasiones, lenguaje objeto.

Un sistema así es la reducción de un lenguaje formalizado a meros símbolos, lenguaje formalizado y simbolizado sin contenido material alguno; un lenguaje reducido a mera forma que se expresa mediante fórmulas que reflejan las relaciones sintácticas entre los símbolos y las reglas de formación y transformación que permiten construir las fórmulas del sistema y pasar de una fórmula a otra.

El objetivo de un sistema formal es señalar como válidas determinadas cadenas. Estas cadenas válidas se denominan teoremas. Para obtener los teoremas se emplean las reglas de producción que convierten una cadena en otra. Hay ciertos teoremas iniciales que no se obtienen de ninguna regla, éstos son los axiomas que se suponen válidos por definición y se convierten en el germen de producción de teoremas.

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Definición [editar]

El término formalismo se utiliza, en ocasiones como sinónimo de sistema formal, para un determinado propósito.

Un sistema formal matemático consiste en lo siguiente:

Un conjunto finito de símbolos que pueden ser usados para la construcción de fórmulas.
Una gramática, es decir, un mecanismo para la construcción de fórmulas bien formadas (‘’wff’’). También debe proporcionarse un algoritmo de decisión para conocer si una determinada fórmula es bien formada o no.
Un conjunto de axiomas que deben ser fórmulas ‘’wff’’.
Un conjunto de reglas de inferencia.
Un conjunto de teoremas. Este conjunto incluye todos los axiomas, más todas las ‘’wff’’ que pueden ser derivadas de los axiomas o de otros teoremas por medio de las reglas de inferencia. La gramática no necesariamente garantiza la decidibilidad de si una fórmula es teorema o no.

Problema de la decisión [editar]

El problema de la decisión consiste en saber si una cadena cualquiera es un teorema. El algoritmo que proporciona una respuesta a la pregunta de si la cadena es o no un teorema se denomina procedimiento de decisión. En alemán, Entscheidungsproblem.

Propiedades de los sistemas formales [editar]

Coherencia: El sistema formal es coherente si cada teorema al ser interpretado no corresponde a una decisión verdadera.
Completitud: El sistema formal es completo si cada proposición verdadera puede ser representada mediante un teorema. Es incompleto si alguna verdad no puede expresarse.
Decidibilidad: Un sistema formal es decidible si existe un algoritmo que diga en tiempo finito si una cadena cualquiera es un teorema o no lo es.

La matemática como sistema formal [editar]

La matemática fue considerada por David Hilbert un sistema formal ya que toda la matemática puede ser interpretada a base de símbolos, axiomas y reglas de producción. Pero en 1931 Kurt Gödel demostró que la coherencia y la completitud no podían ser ciertos a la vez en las matemáticas, o al menos en los números enteros. Es lo que se denomína el teorema de la incompletitud de Gödel. Por otra parte Alonzo Church demostró que la matemática tampoco podía ser decidible, con lo que la idea de las matemáticas como sistema formal tal y como Hilbert pretendía resulto demolida.

El Sistema Axiomático de Peano (S.A.P) [editar]

El sistema de Peano es un sistema de postulados a partir del cual puede deducirse toda la aritmética de los números naturales. Los primitivos de este sistema son los términos "0" (cero), "número" y "sucesor", de los cuales, por ser primitivos no se da definición alguna. Sin embargo, se entiende por "0" dicho número, el término "número" designa a los números naturales 0, 1, 2, 3,... exclusivamente, y con "sucesor" de un número natural n se refiere al número natural inmediato siguiente de n en el orden natural. El Sistema de Peano contiene los 5 postulados que siguen:

P1 0 es un número.
P2 El sucesor de un número es siempre un número.
P3 Dos números nunca tienen el mismo sucesor.
P4 0 no es el sucesor de número alguno.
P5 Si P es una propiedad tal que (a) cero tiene la propiedad P, y (b) siempre que un número n tenga la propiedad P el sucesor de n también tendrá la propiedad P, entonces todos los números tendrán la propiedad P.

El último postulado entraña el principio de inducción matemática e ilustra claramente el alcance de una "verdad" matemática por convención. Se construye la aritmética fundamental sobre esta base, definiendo los diversos números naturales como el sucesor de cero ( 0' ), el sucesor del sucesor de cero( 0 ), y así hasta el infinito.

Luego, se establece la definición de suma, que expresa que la adición de un número natural a otro dado puede considerérsela como la suma repetida de 1; esta última operación es fácilmente expresable por medio de la relación de sucesor:

(a) n + 0 = n; (b) n + k' = (n + k)'

Pasando ahora a la multiplicación de los números naturales, se la puede definir por medio de la siguiente definición por recurrencia, que expresa de manera rigurosa que el producto nk de dos números naturales puede ser considerado como la suma de k términos cada uno de los cuales es igual a n, en otros términos:

(a) n . 0 = 0; (b) n. k' = n. k + n

Véase también [editar]

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_formal"

Categoría: Lógica matemática

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LÓGICA: EL CÁLCULO LÓGICO. El cálculo lógico, o derivación lógica, es un algoritmo que permite cómoda y fácilmente inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como válidamente verdaderos.

petalofucsia - 13 de noviembre de 2009 - 21:37 - Lógica frente a pensamiento mágico

Cálculo lógico

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El cálculo lógico, o derivación lógica, es un algoritmo que permite cómoda y fácilmente inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como válidamente verdaderos.

La inferencia o deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enunciado como -conclusión- a partir de otro(s) -premisa(s)- mediante la aplicación de reglas de inferencia.

Decimos que alguien infiere -o deduce- "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V.

Las personas en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo; partimos de enunciados empíricos -supuestamente verdaderos y válidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos.

La lógica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar las reglas que permiten la transformación de unos enunciados -premisas- en otros -conclusiones- con objeto de convertir las operaciones deductivas en un cálculo riguroso y eficaz.

Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento, mediante la simbolización adecuada de fórmulas o Expresiones bien formadas (EBF) construimos un modelo o sistema deductivo que, referido al lenguaje ordinario, llamamos de Cálculo de deducción natural.

La representación gráfica de los símbolos no está normalizada, lo que lleva a veces a ciertas dificultades de interpretación.

Sistematización de un cálculo [editar]

Reglas de formación de fórmulas [editar]

I.- Una letra enunciativa (con o sin subíndice) es una EBF (Expresión Bien Formada - del ingles wff o sea "well- formed formula" que significa "fórmula bien formada").

II.- Si A es una fórmula, ¬ A también lo es.

III.- Si A es una EBF y B también, A / B; A / B; A → B; A ↔ B también lo son.

IV.- Ninguna expresión es una fórmula del Cálculo sino en virtud de I, II, III.

Nota: A, B,... con mayúsculas están utilizadas como metalenguaje en el que cada variable expresa cualquier proposición, atómica o molecular.

Nota: Para la definición como función lógica de ¬, /, /, →, y ↔, véase Tabla de valores de verdad

Reglas de transformación de fórmulas [editar]

R.T.1: Dada una tesis EBF del cálculo, en la que aparecen variables de enunciados, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas (EBF) del cálculo, será también una tesis EBF del cálculo. Y ello con una única restricción, si bien muy importante: cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece y siempre por el mismo sustituto.

Veamos el ejemplo:

1	[(p / q) / r ]	--->	t / s
2	A / r	--->	B	donde A = p / q y B = t / s
3	C	--->	B	donde C = A / r

Esta regla recibe el nombre de regla de sustitución

R.T.2: Si X es una tesis EBF del sistema y lo es también X --> Y, entonces Y es una tesis EBF del sistema.

Esta regla recibe el nombre de regla de separación

Sobre la base de estas dos reglas, siempre podremos reducir un argumento cualquiera a la forma:

[A / B / C...... / N ] ----> Y

lo que constituye un esquema de inferencia en el que de la verdad de las premisas A, B, N y su producto, podemos obtener la conclusión Y.

Concepto de modelo [editar]

Cuando en un Cálculo C, se establece una "correspondencia" de cada símbolo con elementos determinados individuales distinguibles entre sí, de un Universo L, real, (tal universo L no es un conjunto vacío, por las mismas condiciones que hemos establecido) ENTONCES se dice que L es un MODELO de C.

El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógico [editar]

Naturalmente el cálculo lógico es útil porque puede tener aplicaciones.

Pero ¿En qué consiste o cómo se hacen tales aplicaciones?

Para el cálculo de enunciados podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C.

Esto es lo que hacemos mediante las

Reglas de simbolización [editar]

Regla I.

Cada uno de los enunciados simples del lenguaje natural se sustituirá por variables proposicionales simbolizadas por letras minúsculas, p, q, r, s, t,.....

Regla II.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "no", "no es cierto", "no es el caso que" "es falso", "es imposible" y todas aquellas que sean equivalentes, se sustituirán por el símbolo ¬

Llueve, p; No llueve: ¬ p

Regla III.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "y", "ni" "pero", "que", "mas", y todas las que sean equivalentes, se sustituyen por el símbolo /

Llueve: p; Hace frío: q; Llueve y hace frío: p / q;

Regla IV.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "o", "o...o", "bien...bien", "ya...ya", y sus equivalentes, se sustituyen por el símbolo /

Llueve: p; Hace frío: q; O llueve o hace frío: p / q

Regla V.

Las expresiones naturales tales como "si.... entonces", "luego....", "por tanto", "por consiguiente", "con tal que...", "se infiere", "se deduce" y sus equivalentes se sustituirán por el símbolo →

Llueve: p; Hace frío: q; Si llueve entonces hace frío: p → q

Regla VI.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "...si y solo si...", "..equivale a..", "..es.igual a..." m "vale por...","...es lo mismo que...", y sus equivalentes se sustituirán por el símbolo ↔

Llueve: p; Hace frío: q; Si y sólo si llueve entonces hace frío: p ↔ q

Uso de paréntesis:

1.- No se utiliza paréntesis en aquellos casos en que los conectores afecten a enunciados simples o atómicos.

2.- Se utiliza paréntesis cuando el conector afecte a toda una conjunción, disyunción, condicional o bicondicional.

3.- Se utiliza el paréntesis en las expresiones conjuntivas y disyuntivas precedidas o seguidas de un condicionador o bicondicionador.

4.- Se utiliza el paréntesis en las expresiones que nos interese precisar la dominancia del conector, o bien porque los conectores posean la misma dominancia -como en el caso del conjuntor y del disyuntor que son idempotentes-o bien porque el sentido de la expresión exige la alteración de la dominancia de las conectivas fuertes -el condicionador y el bicondicionador que son las conectivas fuertes.

Cadena deductiva [editar]

Es una secuencia finita de enunciados de los cuales uno, la conclusión, se sigue necesariamente de los anteriores. Cada enunciado que forma parte de una determinada cadena deductiva constituye una línea de derivación.

- Las distintas líneas de derivación se colocarán una debajo de otra numeradas correlativamente a partir del uno.

- Las líneas correspondientes a las premisas iniciales irán provistas de un guión que precederá al número que tengan asignado.

- Si la línea corresponde a una fórmula inferida, se indicará a su derecha la regla aplicada y las premisas o las líneas a las que se ha aplicado la regla.

Nº línea	EBF	Regla	Líneas
-1	Premisa
-2	Premisa
&	EBF	Regla S	línea €, 2
$	EBF	Regla R	línea 1
n-2	EBF	Regla X	líneas 1,$
n-1	EBF	Regla T	líneas 2,(n-2)
n	EBF	Regla U	líneas &, (n-1)
Cierre	conclusión

¿De qué manera puede obtenerse la conclusión? [editar]

a) La conclusión puede obtenerse "directamente" aplicando reglas de inferencia sobre las premisas iniciales.

b) Cuando en el desarrollo de la derivación es necesario utilizar premisas adicionales (supuestos no contemplados en las premisas dadas), decimos que la derivación es "subordinada", esto es, la obtención de la conclusión se subordina a la utilización de tales supuestos.

c) En caso de que la conclusión no pueda obtenerse por los métodos ya reseñados, recurriremos a la derivación "indirecta" o de "reducción al absurdo".

Observaciones técnicas

- Las líneas de derivación que introducen provisionalmente supuestos no contemplados en las premisas iniciales, deberán llevar una señal en escuadra mirando hacia abajo. El significado de la señal es: "supongamos por el momento..."

Línea n	┌ X	Significa que X es un supuesto provisional no contemplado en las premisas.
Línea n+1	│	Línea no utilizable fuera del supuesto.
Líneas	│	Línea no utilizable fuera del supuesto.
línea n+a	└ Y	Significa el cierre del supuesto y su cancelanción

- Los supuestos provisionales deberán ser cancelados antes de establecer la conclusión. Un supuesto provisional queda cancelado cuando, en una línea posterior de dicha derivación, se obtiene una fórmula tal que permite la deducción inmediata de otra fórmula que es independiente del referido supuesto. La cancelación de un supuesto se expresa cerrando la escuadra.

- La reducción al absurdo consiste en suponer como premisa provisional la negación de la fórmula que se pretende demostrar y obtener, mediante este supuesto, una contradicción. La consecuencia lógica será la negación del supuesto, es decir, la afirmación de la conclusión deseada.

- Todo supuesto provisional o las fórmulas de él derivadas incluidas dentro de las escuadras no podrán utilizarse después de la cancelación del supuesto como elementos de nuevas inferencias.

== Reglas del cálculo de deducción natural. Cálculo proposicional ==vvv

En este cálculo la proposición lógica es considerada como un todo en su condición de poder ser V, verdadera, o F, falsa.

Se distinguen las reglas primitivas y las derivadas. Las derivadas son producto de las primitivas, pero facilitan y reducen los pasos de la deducción. Asimismo las de reemplazo significan que una expresión puede ser sustituida directamente por su equivalente, a veces como definición.

=== Reglas primitivas ===vvv

Ejemplo de cálculo proposicional

Si dos gases tienen la misma temperatura entonces sus moléculas tienen el mismo promedio de energía cinética.

Volúmenes iguales de dos gases tienen el mismo número de moléculas.

Las presiones de dos gases son iguales si es el mismo su número de moléculas y sus energías cinéticas son iguales.

Por consiguiente si dos gases tienen la misma temperatura y el mismo volumen, tienen la misma presión.

Simbolización proposicional

Para dos gases:

t: Tener la misma temperatura.

c: Tener las moléculas la misma energía cinética.

v: Tener volúmenes iguales.

m: Tener igual número de moléculas.

p: Tener presiones iguales.

Esquema de inferencia, o argumento

t-->c / v-->m / (m/c)-->p, |- (t/v)-->p

Cálculo de Deducción

- 1 t--> c

- 2 v --> m

- 3 (m / c) --> p

┌ 4 t / v Supuesto

│ 5 t E.C.4

│ 6 v E.C.4

│ 7 c M.P.1,5

│ 8 m M.P.2,6

│ 9 m / c I.C.7,8

│ 10 c / m C.C.9

└ 11 p M.P.3-9

___________ Cierre supuesto

12 (t / v) --> p I.I.4-10

Las reglas primitivas son las siguientes:

Introducción del negador, demostración indirecta o absurdo I.N.

┌línea (n)	A	Supuesto provisional
│	-	Líneas derivadas provisionales
│	-	no utilizables fuera del supuesto
└ línea (n+a)	B / ¬ B	Regla I.C, línea s, r
	_________	Línea de cierre
Línea (n+a)+1	¬ A	Regla I.N. líneas (n - n+a+1)	Conclusión

Eliminación del negador o Ex contradictione quodlibet ECQ

línea n	A		Fórmula de la cadena
línea n+a	¬A		Fórmula de la cadena
	_______	Línea de cierre
	C		Regla E.N.,líneas n, n+a	Conclusión

Resulta curiosa esta regla, pero es la que justifica argumentos tales como: "Si esto que dices es verdad, yo soy el Papa de Roma", que, son válidos aunque inútiles, pues se da por supuesta la falsedad de las premisas.

Por eso "ex contradictione quod libet", es decir, de una contradicción podemos concluir lo que queramos.

Introducción del conjuntor o producto: I.C.

línea n	A		Fórmula de la cadena
línea n+a	B		Fórmula de la cadena
	_______	Cierre
	A / B		Regla I.C., líneas n, n+a	Conclusión

Eliminación del conjuntor o simplificación: E.C.

línea n	A / B
	_________	Cierre
	A		Regla E.C. línea n	Conclusión

Introducción del disyuntor o adición: I.D.

línea n	A		Fórmula de la cadena
	_________	Cierre
	A / B		Regla I.D., línea n	Conclusión

Eliminación del disyuntor o casos: E.D.

línea n	A / B
┌línea (n+1)	A	Supuesto provisional
│	-	Líneas derivadas provisionales
│	-	no utilizables fuera del supuesto
└ línea (n+ b)	C	Regla X, línea s, r

┌línea (n+x)	B	Supuesto provisional
│	-	Líneas derivadas provisionales
│	-	no utillizables fuera del supuesto
└ línea (n+x)+a	C	Regla T, línea t, r
	_________	Cierre
	C	Casos,líneas [(n+1-n+b),(n+x-n+x+a)]

Introducción del implicador o teoría de la deducción I.I.

┌línea (n)	A	Supuesto provisional
│	-	Líneas derivadas provisionales
│	-	no utilizables fuera del supuesto
└ línea (n+a)	B	Regla X, línea s, r
	_________	Cierre
Línea (n+b)+1	A → B	Regla I.I. líneas (n+1-n+b),conclusión

Eliminación del implicador o Modus ponens E.I.

línea n	A → B		Fórmula de la cadena
línea n+a	A		Fórmula de la cadena
	_________	Cierre
	B		Regla E.I., líneas n, n+a	Conclusión

Reglas derivadas [editar]

Algunas de las reglas derivadas más utilizadas:

Silogismo hipotético o Transitividad del condicional S.H.

línea n	A → B		Fórmula de la cadena
línea n+a	B → C		Fórmula de la cadena
	_________	Línea de cierre
	A → C		Regla S.H., líneas n, n+a	Conclusión

Silogismo disyuntivo o inferencia de la alternativa S.D.

línea n	A / B		Fórmula de la cadena
línea n+a	¬ A		Fórmula de la cadena
	_________	Línea de cierre
	B		Regla S.H., líneas n, n+a	Conclusión

Modus tollens M.T.

línea n	A → B		Fórmula de la cadena
línea n+a	¬ B		Fórmula de la cadena
	_________	Línea de cierre
	¬ A		Regla M.T., líneas n, n+a	Conclusión

Reglas de Reemplazo [editar]

En las que las líneas de cierre son dobles indicando que ambas fórmulas son equivalentes, es decir, pueden sustituirse directamente una por otra puesto que su conexión es un bicondicional

Leyes de [De Morgan]http://es.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan]]

línea n	¬(A / B)		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	(¬ A / ¬ B)		Regla de De Morgan 1., línea n.	Conclusión

línea n	¬(A / B)		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	(¬ A / ¬ B)		Regla de De Morgan 2., línea n.	Conclusión

Conmutación de la conjunción

línea n	A / B		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	B / A		Conmutación conjunción CC., línea n.	Conclusión

Conmutación de la disyunción

línea n	A / B		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	B / A		Conmutación disyunción CD., línea n.	Conclusión

Asociativa de la conjunción AC.

línea n	[A / (B / C)]		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A / B) / C]		Asociativa conjunción AC., línea n.	Conclusión

Asociativa de la disyunción AD.

línea n	[A / (B / C)]		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A / B) / C]		Asociativa disyunción AD., línea n.	Conclusión

Distributiva de la conjunción

línea n	[A / (B / C)]		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A / B) / (A / C)]		Distributiva de la conjunción DC., línea n.	Conclusión

Distributiva de la disyunción

línea n	[A / (B / C)]		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A / B) / (A / C)]		Distributiva de la disyunción DD., líneas n.	Conclusión

Doble negación

línea n	¬¬A		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	A		Doble negación DN., línea n.	Conclusión

Transposición

línea n	(A → B)		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	(¬B → ¬A)		Transposición., línea n.	Conclusión

Definición del implicador

línea n	A → B		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	¬A / B		Implicación, Imp., línea n.	Conclusión

Equivalencia 1

línea n	A ↔ B		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A → B) / (B → A)		Equivalencia 1., línea n.	Conclusión

Equivalencia 2

línea n	A ↔ B		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A / B) / (¬A / ¬B)		Equivalencia 2., línea n.	Conclusión

Exportación

línea n	[(A / B) → C]		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[A → (B → C)]		Exportación. Exp., línea n,	Conclusión

Identidad

línea n	A		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	A		Identidad, línea n,	Conclusión

Tautología

línea n	A		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	(A / A)		Exportación. Exp., línea n.	Conclusión

Cálculo como lógica de clases [editar]

Artículo principal: Teoría de conjuntos

La lógica de clases considera la proposición considerando la pertenencia o no pertenencia de un elemento o individuo a una determinada clase. Es la interpretación de una proposición o enunciado lingüístico bajo la formalización de la teoría de conjuntos.

Por clase se entiende un conjunto de individuos que tienen una propiedad común. Nótese que la propiedad define a la clase, no al individuo, lo que lo diferencia esencialmente de la lógica de predicados. En este caso, por tanto, el valor de verdad viene dado por la pertenencia o no pertenencia a una clase. Por ello, la tabla de valores de verdad se explicita como tablas de pertenencia.

Así, no es lo mismo decir: "Hs = Sócrates es un hombre" (donde atribuimos una cualidad que atañe al ser mismo de Sócrates), que decir: "S $in$ H = Sócrates pertenece a la clase de los hombres."

La clase tiene sentido aun cuando no existan individuos. Así, la clase hombre, como concepto de hombre, existe aunque no existan los hombres. De la misma forma que existe el concepto de "caballos con alas", aun cuando no existan pegasos.

Actualmente la lógica llamada tradicional, silogística, se interpreta como lógica de clases.

Elementos y su simbolización [editar]

Clase universal

Universo: es la clase de todas las clases, de todos los elementos del universo que estemos considerando. Se la llama clase universal. U
Clase vacía: clase que no tiene ningún elemento : Ø
Individuos: $x 2 x 3 .... x n$
Clase: conjunto de individuos que tienen una propiedad en común. Puede significarse de varias maneras:

A = (

x 2 x 3 .... x n

) - Por enumeración A = (Todos los nacidos en Asturias) - Por definición de una propiedad A = /x ( x/ nacido en Asturias) - Por un función proposicional cuantificada^[1]

Pertenencia: $in$ No pertenencia: $notin$
Generalizador: / Todo x.
Particularizador: V Algún x
Conectivas : /, V, -->, <--> - Definidas de igual forma que en la lógica de enunciados
La negación se define como una operación entre las clases, la clase complementaria.

Operaciones entre las clases y su simbolización [editar]

a) Clase complementaria: clase complementaria de una clase A es la clase formada por todos los elementos que no pertenecen a esa clase A.

$A = land x (x in A)$

$bar A = land x (x notin A)$ Observemos que equivale a la negación.

Definición Clase Complementaria

$A$	$bar A$
$in$	$notin$
$notin$	$in$

b) Clase unión o unión de clases: la clase unión de dos clases A y B es la clase formada por los elementos que pertenecen a una o a otra clase.

A = $land x (x in A)$

B = $land x (x in B)$

$A cup B$ = $land x (x in A lor x in B)$

Observamos que equivale a la disyunción.

Definición Clase Unión de Clases

$A$	$B$	$A cup B$
$in$	$in$	$in$
$in$	$notin$	$in$
$notin$	$in$	$in$
$notin$	$notin$	$notin$

b)Intersección de clases o clase intersección: clase intersección de dos clases A y B es la clase formada por los elementos que pertenecen a una y a otra clase.

A = $land x (x in A)$

B = $land x (x in B)$

$A cap B$ = $land x (x in A land x in B)$

Definición Clase Intersección de Clases

$A$	$B$	$A cap B$
$in$	$in$	$in$
$in$	$notin$	$notin$
$notin$	$in$	$notin$
$notin$	$notin$	$notin$

Observamos que equivale a la conjunción.

c)Diferencia: clase diferencia es la clase formada por los elementos de A que no pertenecen a B.

A = $land x (x in A)$

B = $land x (x in B)$

$A - B = A cap overline{B}$ = $land x (x in A land x in overline{B})$

Definición Clase Diferencia de Clases

$A$	$B$	$A - B$
$in$	$in$	$notin$
$in$	$notin$	$in$
$notin$	$in$	$notin$
$notin$	$notin$	$notin$

Relaciones entre las clases [editar]

Equivalencia de clases

Inclusión de clasesl

Disyunción de clases

a) Identidad o equivalencia: puede suceder que todos los miembros de una clase lo sean también de otra, y viceversa. Por ejemplo:

$A = land x (x in A)$ ;

$B = land x (x in B)$

$A = B$ def. $land x (x in A leftrightarrow x in B)$

A = Todos los niños que tienen un año de edad. B = Todos los niños nacidos hace un año.

Pongamos atención en que la equivalencia se refiere a la extensión de los individuos que pertenecen a la clase, pero formalmente la propiedad que la define puede ser diversa. Por ello tiene sentido decir A = B como clases diferentes, pero equivalentes.

b) Inclusión: cuando todos los miembros de una clase pertenecen a otra

$A = land x (x in A)$ ;

$B = land x (x in B)$

$A subset B$ def. $land x (x in A rightarrow x in B)$

c) Disyunción: cuando ningún elemento de B pertenece a A, ni ningún elemento de A pertenece a B.

$A = land x (x in A)$ ;

$B = land x (x in B)$

$A | B def. land x(x in A rightarrow x notin B) land (x in B rightarrow notin A)$ ; A | B = $A subset bar{B}$

Proposiciones tipo [editar]

La clásica clasificación aristotélica:

Tipo A: todos los S son P. "Todos los hombres son mortales", se interpreta como:^[2]

$land x (x in S to x in P)leftrightarrow quad Ssubset P$

Tipo E: ningún S es P. "Ningún hombre es mortal", se interpreta como:

$lor x (x in S to x notin P)$ $leftrightarrow$ $S subset bar P$

Tipo I: algún S es P. "Algún hombre es mortal", se interpreta como

$lor x (x in S land x in P)$ $leftrightarrow$ $S cap P$

Tipo O: algún S es No-P. ´"Algún hombre no es mortal", se interpreta como

$land x (x in S land x notin P)$ $leftrightarrow$ $lnot (S subset P)$

Reglas del cálculo de clases [editar]

Como leyes lógicas, es decir tautologías que se pueden comprobar mediante tablas de pertenencia, se estableces algunas reglas que resultan útiles para los algoritmos de cálculo de deducción de proposiciones:

Leyes asociativas: $A cup (B cup C) = (A cup B) cup C$

$A cap (B cap C) = (A cap B) cap C$

Leyes conmutativas: $A cup B = B cup A$

$A cap B = B cap A$

Leyes distributivas: $A cup (B cap C) = (A cup B) cap (A cup C)$

$A cap (B cup C) = (A cap B) cup (A cap C)$

Ley de involución: $A = bar bar A$

Leyes de Morgan: $lnot (A cup B) leftrightarrow bar bar A cap bar bar B$

$lnot (A cap B) leftrightarrow bar bar A cup bar bar B$

Leyes de absorción: $A cup (A cap B) = A$

$A cap (A cup B) = A$

Ley de contraposición: $A subset B = bar B subset bar A$

Ley de la transitividad: $big[(A subset B) wedge (B subset C) big] to (A subset C)$

Junto con estas leyes específicas se mantienen las mismas reglas del cálculo de enunciados, en las relaciones de unas proposiciones con otras.

Reglas del cálculo cuantificacional. Cálculo de predicados [editar]

Cuando el argumento no se fundamenta en las relaciones conectivas entre las proposiciones como un todo, sino en el análisis de las proposiciones, se hace necesario la ampliación del cálculo lógico como son, ahora, las reglas de cuantificación, para el cálculo cuantificacional.

La cuantificación permite explicitar el ámbito de aplicación de un predicado a un sujeto o conjunto de sujetos. Por lo que el cálculo según este modo de análisis de la proposición se conoce como “cálculo de predicados”.

Reglas de simbolización [editar]

La expresión Px denota cualquier proposición o función proposicional.

Siendo P un predicado que se aplica a una variable individual x.

P = ser cuadrado x = cualquier cosa Px = cualquier cosa cuadrada

Una función proposicional sin cuantificación alguna no puede tener valor de verdad V o falsedad F y no es, por tanto, una proposición.

La expresión Pa denota la ocurrencia de Px en a. Siendo a, b, c, d, e…. constantes individuales.

P = ser cuadrado a = esta mesa Pa = Esta mesa es cuadrada

En este caso Pa es una proposición singular, en que x = a, y Pa puede tener valor V o F.

Una proposición no puede tener ocurrencias libres, variables sin cuantificar, para poder tener valor V o F.

La sustitución de una variable x en una función proposicional Px ha de hacerse bajo la condición de que la variable w, como variable de individuos, debe estar libre en Pw en todos los lugares en que x ocurre libre en Px. (Si Px no contiene ocurrencias libres de x, entonces Px y Pw son idénticas; x y w son lo mismo).

Una ocurrencia libre es la ocurrencia de una variable u, v, x, z, etc. no sometida al alcance de un cuantificador universal o existencial.

Por ejemplo:

Sustituyendo la variable x = ser una rueda, por la variable y = ser una rueda de bicicleta, respecto al predicado P = ser redondo, cuando el universo, o contexto de que se trata es el de las bicicletas:

Px ↔ Py y por tanto x = y

Cuantificadores [editar]

/ Generalizador Universal

Es el resultado del producto de a / b / c / d / e / f…….... en todas las ocurrencias posibles de x. Equivale a “Todos los posibles x”

/ Particularizador existencial

Es el resultado de la adición a / b / c / d / e / f..... en todas las ocurrencias posibles de x. Equivale “Existen algunos, o al menos un individuo que verifica Px.

Instanciación

Sustituyendo en una función proposicional las variables de individuos x, y, z,... por constantes a, b, c..... como individuos: Pedro, Juan, este libro, etc.

Ejemplos:

P = Ser cuadrado x = cualquier cosa a = esta mesa

/x Px = Para todo x, para cualquier x, x es cuadrado

/x Px = Para algún x, se da Px. Existe al menos un x tal que x es cuadrado

Px = Ser cuadrado Pa = Esta mesa es cuadrada

Clases de proposiciones [editar]

Singulares:

Ma Siendo M = ser mortal a = Antonio Ma ↔ Antonio es mortal

Generales:

Siendo:

P = Ser hombre M = Ser mortal x = variable individual, cualquier individuo

/x (Px → Mx) Para todo x si Px entonces Mx ↔ Todos los hombres son mortales

/x (Px / Mx) Existe algún x para el que Px / Mx ↔ Algún hombre es mortal

/x (Px → ¬Mx) Para todo x si Px entonces ¬Mx ↔ Ningún hombre es mortal

/x (Px / ¬Mx) Existe algún x tal que Px / ¬Mx ↔ Algún hombre no es mortal

Proposiciones múltiplemente generales:

Enunciados compuestos cuyos componentes son proposiciones generales con más de una variable de individuos y/o con proposiciones singulares.

Sea el caso de la proposición:

/x [Px → Lx)] → Ld Que podría equivaler a: Si todos los perros ladran, entonces Desko (mi perro) ladra.

Si fuera el caso /x [Px → Lx)] → Ly

Px y Lx, son ocurrencias ligadas, sometidas al alcance de un cuantificador.

Ly en cambio es una ocurrencia libre, y por eso puede sustituirse por otra variable o por una constante, como Ld.

Reglas del cálculo cuantificacional [editar]

Ejemplo de cálculo de predicados

Todos los médicos curan. Por tanto, si los que curan saben medicina, entonces Juan, que es médico, sabe medicina.

Simbolización proposicional

M = Ser médico C = curar S = Saber medicina k = Juan

Esquema de inferencia, o argumento

/x (Mx-->Cx) |- /x (Cx-->Sx) -->(Mk-->Sk)

Cálculo de Deducción

- 1 /x (Mx-->Cx)

┌ 2 /x (Cx-->Sx)

│┌ 3 Mk

││ 4 Mk--> Ck I.U.1

││ 5 Ck M.P.4,3

││ 6 Ck-->Sk I.U.2

││ 7 Sk M.P.6,5

│└ 8 Mk-->Sk I.I.3,7

└ ___________ Cierre supuesto

9 /x (Cx-->Sx)-->(Mk-->Sk) I.I.2-8

Además de todas las reglas referidas a las proposiciones como un todo, se tienen las siguientes:

Instanciación Universal. I.U.

Línea n	/xPx
	¯¯¯¯¯¯¯¯¯	línea de cierre
Línea n+a	Py	U.I. línea n. Conclusión

Generalización existencial. E.G.

Línea n	Py
	¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯	línea de cierre
Línea n+a	/xPx		E.G. línea n. Conclusión

Instanciación existencial. I.E.

línea n	/xPx
┌línea (n+1)	Py	Supuesto provisional
│		Líneas derivadas provisionales
│		no utilizables fuera del supuesto
└ línea (n+a)	p	Regla &&, línea s, r
	______	Línea de cierre
Línea (n+a)+1	p	Regla E.I. líneas (n - n+a+1)	Conclusión

Con la condición de que y sea una variable que no ocurre libre ni en p ni en ningún renglón que preceda a Py.

Generalización universal. G.U.

Línea n	Py
	¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯	línea de cierre
Línea n+a	/xPx		G.U. línea n. Conclusión

Con la condición de que y sea una variable que no ocurre libre ni en /xPx ni en ninguna hipótesis dentro de cuyo alcance se encuentra Py

Negación de un cuantificador N.C.

/xPx	¬xPx	x¬Px	¬x¬Px
======	======	======	======	Doble línea de cierre
¬/x ¬Px	/x¬Px	¬/xPx	/xPx

Principio de identidad Id.

Identidad: Px

y = x	¬Px	y = x	p
¯¯¯¯¯	¯¯¯¯¯	¯¯¯¯¯	¯¯¯¯¯	Línea de cierre
├ Py	├ ¬(y = x)	├ x = y	├ x = x

Cálculo de relaciones [editar]

En algunas ocasiones la validez de un argumento reside en las relaciones que una o varias proposiciones establecen entre varios individuos.

Así la relación “ser más grande que” fundamenta un argumento claramente válido:

Antonio es más grande que Pepe, y Pepe es más grande que Juan. Luego Antonio es más grande que Juan.

Simbolización

Sea la relación

R = ser más grande que;

a = Antonio;

p = Pepe

Rap Simboliza la proposición Antonio es más grande que Pepe.

Nota importante: Es fundamental la consideración del orden de las constantes o variables de la relación. No es lo mismo Rab que Rba como se comprende fácilmente. Aun cuando pueda haber relaciones en las que el orden no varía la relación lógica, por ejemplo “ser igual a”.

Sea ahora el argumento anteriormente considerado, donde

R = ser más grande que; a = Antonio; p = Pepe; j = Juan

El esquema de inferencia consecuente sería:

(Rap / Rpj) → Raj

Que nos da la forma de un esquema de inferencia basado en relaciones.

Clases de proposiciones

En función del número de los individuos entre los que se da la relación:

Diádicas, triádicas, tetrádicas…….

Diádica Raj Antonio es amigo de Juan

Triádica: Rsmv Segovia está entre Madrid y Valladolid

Tetrádica: Ramjc Antonio cambió la moto a Juan por un coche

Funciones proposicionales

Si sustituimos las constantes individuales por variables de individuos tendríamos:

Rxy Rxyz Rwxyz

Proposiciones generales y cuantificadores

Salta a la vista la dificultad que encierra el manejo de tantas variables y sus cuantificadores; por eso simplificamos la consideración a relaciones binarias.

Para ejemplificación de las proposiciones consideramos la relación A = amar a

/x /y Axy Todo ama a todo

/y /x Axy Todo es amado por todo

/x /y Axy Algo ama a algo

/y /x Axy Algo es atraído por algo

/x /y Axy Nada ama cosa alguna

/y /x Axy Nada es amado por cosa alguna

Teniendo en cuenta las posibles conectivas entre variables y cuantificadores la simbolización requiere un análisis lógico complejo del lenguaje, teniendo en cuenta que no siempre es necesario explicitar relaciones cuando éstas no intervienen en la forma lógica del argumento.

La simbolización, debido a la ambigüedad del lenguaje, y a veces al contenido de las mismas relaciones, no siempre es clara ni convincente a la hora de determinar el sentido lógico de la expresión lingüística simbolizada en proposiciones lógicas. Por eso a modo de ejemplo simbolizamos:

Consideremos la expresión: Algún golfista aficionado gana a todos los profesionales.

Consideraremos el caso de “alguno que es aficionado” = /x Ax; /y = Todos los que son profesionales; y G = ganar a.

Analizamos la expresión:

/x {(x es un aficionado) / (x puede ganar a todos los profesionales)}

y luego como:

/x {(x es un aficionado) / /y (Si y es profesional --> (x gana a y)}

lo que usando nuestras simbolizaciones:

/x {Ax / /y (Ay --> Gxy)}

Es evidente que la práctica hace innecesarios los pasos intermedios.

Reglas de cálculo

No es necesariio introducir nuevas reglas para tratar los argumentos que incluyen relaciones. La lista de reglas del cálculo proposicional y cuantificacional posibilitan tratar todos los argumentos relacionales, si bien la reducción de las proposiciones a unidades proposicionales a las que se puedan aplicar las reglas es realmente complicado.

Referencias [editar]

↑ Que se lee: Todo x tal que x pertenece a la clase de los nacidos en Asturias
↑ En la formalización gráfica de los silogismos esta relación de inclusión, es decir los juicios universales afirmativos tipo A, se representan interpretando la proposición como: "No hay ningún S que no sea P. Véase Silogismo

Convención para la representación gráfica del Juicio tipo A

Véase también [editar]

Bibliografía [editar]

DEAÑO, ALFREDO (1974). INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA FORMAL. MADRID: ALIANZA EDITORIAL. ISBN 84-206-2064-5.

COPI, IRVING M. (1982). LÓGICA SIMBÓLICA. MEXICO 22 D.F: EDITORIAL CONTINENTAL S.A. DE C.V.. ISBN 968-26-0134-7.

GARRIDO, M. (1974). LÓGICA SIMBÓLICA. MADRID: TECNOS. ISBN 84-309-0537-5.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_l%C3%B3gico"

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LÓGICA. CONSECUENCIA LÓGICA. En lógica, la consecuencia lógica es la relación entre las premisas y la conclusión de un argumento deductivamente válido.[1] La relación de consecuencia lógica es por lo tanto un concepto central a la lógica.[1] Dos características generalmente aceptadas de la relación de consecuencia lógica son que es necesaria y además formal.

petalofucsia - 13 de noviembre de 2009 - 21:35 - Lógica frente a pensamiento mágico

Consecuencia lógica

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En lógica, la consecuencia lógica es la relación entre las premisas y la conclusión de un argumento deductivamente válido.^[1] La relación de consecuencia lógica es por lo tanto un concepto central a la lógica.^[1] Dos características generalmente aceptadas de la relación de consecuencia lógica son que es necesaria y además formal.^[1]

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Explicaciones de la consecuencia lógica [editar]

En esta sección se introducen algunas explicaciones conocidas de la noción de consecuencia lógica.

Consecuencia semántica [editar]

Una manera estándar de caracterizar a la noción de consecuencia lógica es a través de la teoría de modelos.^[1] A la noción de consecuencia lógica definida de esta manera se la llama consecuencia semántica, para distinguirla de otras concepciones de la misma noción. Según esta estrategia, una conclusión es una consecuencia lógica de las premisas cuando es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. O dicho más precisamente, cuando toda interpretación que hace verdaderas a las premisas también hace verdadera a la conclusión.^[1] Es decir, cuando todo modelo de las premisas es también un modelo de la conclusión.^[1]

Cuando una conclusión A es una consecuencia semántica de un conjunto de premisas $Γ$ en un lenguaje formal L, se escribe:

$Gamma models_{L} A$

Consecuencia sintáctica [editar]

Otra manera de caracterizar a la relación de consecuencia lógica es a través de la teoría de la demostración.^[1] A la noción de consecuencia lógica definida de esta manera se la llama consecuencia sintáctica, para distinguirla de otras concepciones de la misma noción. Según esta estrategia, una conclusión es una consecuencia lógica de las premisas cuando existe una demostración de la conclusión a partir de las premisas.^[1] Es decir cuando, usando solamente las premisas y las reglas de inferencia permitidas, es posible construir una derivación de la conclusión.

Cuando una conclusión A es una consecuencia sintáctica de un conjunto de premisas $Γ$ en un sistema formal S, se escribe:

$Gamma vdash_{S} A$

Véase también [editar]

Validez (lógica)

Notas y referencias [editar]

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Beall, JC; Restall, Greg «Logical Consequence» (en inglés). Stanford Encyclopedia of Philosophy. (Fall 2009 Edition) Ed. Edward N. Zalta. Consultado el 19 de octubre de 2009.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Consecuencia_l%C3%B3gica"

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LÓGICA MATEMÁTICA. La lógica matemática es un subcampo de la lógica y las matemáticas. Consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática guarda estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica.

petalofucsia - 13 de noviembre de 2009 - 21:34 - Lógica frente a pensamiento mágico

Lógica matemática

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Para otros usos de este término, véase Lógica (desambiguación).

La lógica matemática es un subcampo de la lógica y las matemáticas. Consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática guarda estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica.

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.

La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.

La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. El primer término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración.

La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la "matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

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[editar] Historia

Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.

Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada.

Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.

El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelos). La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.

[editar] Áreas

La Mathematics Subject Classification divide la lógica matemática en las siguientes áreas:

Filosófica y crítica
Lógica general (que incluye campos como la lógica modal y la lógica borrosa)
Teoría de modelos
Teoría de la computabilidad
Teoría de conjuntos
Teoría de la demostración y matemática constructiva
Lógica algebraica
Modelos no-estándar

En algunos casos hay conjunción de intereses con la Informática teórica, pues muchos pioneros de la informática, como Alan Turing, fueron matemáticos y lógicos. Así, el estudio de la semántica de los lenguajes de programación procede de la teoría de modelos, así como también la verificación de programas, y el caso particular de la técnica del model checking. También el isomorfismo de Churry-Howard entre pruebas y programas se corresponde con la teoría de pruebas, donde la lógica intuicionista y la lógica lineal son especialmente significativas. Algunos sistemas lógicos como el cálculo lambda, y la lógica combinatoria entre otras han devenido, incluso, auténticos lenguajes de programación, creando nuevos paradigmas como son la programación funcional y la programación lógica.

[editar] Lógica de predicados

La lógica de predicados es un lenguaje formal donde las sentencias bien formadas son producidas por las reglas enunciadas a continuación.

[editar] Lenguajes y estructuras de primer orden

Un lenguaje de primer orden' $mathfrak{L},$ es una colección de distintos símbolos clasificados como sigue:

El símbolo de igualdad' $=,$ ; las conectivas $lor,$ , $lnot,$ ; el cuantificador universal $forall,$ y el paréntesis $(,$ , $),$ .
Un conjunto contable de símbolos de variable ${v_i}_{i = 0}^infty,$ .
Un conjunto de símbolos de constante ${c_alpha}_{alpha in Alpha},$ .
Un conjunto de símbolos de función ${f_beta}_{beta in Beta},$ .
Un conjunto de símbolos de relación ${R_gamma}_{gamma in Gamma},$ .

Así, para especificar un orden, generalmente sólo hace falta especificar la colección de símbolos constantes, símbolos de función y símbolos relacionales, dado que el primer conjunto de símbolos es estándar. Los paréntesis tienen como único propósito de agrupar símbolos y no forman parte de la estructura de las funciones y relaciones.

Los símbolos carecen de significado por sí solos. Sin embargo, a este lenguaje podemos dotarlo de una semántica apropiada.

Una $mathfrak{L},$ -estructura sobre el lenguaje $mathfrak{L},$ , es una tupla consistente en un conjunto no vacío $A,$ , el universo del discurso, junto a:

Para cada símbolo constante $c,$ de $mathfrak{L},$ , tenemos un elemento $c^{mathfrak{A}} in A,$ .
Para cada símbolo de function $n,$ -aria $f,$ de $mathfrak{L},$ , una function $n,$ -aria $f^{mathfrak{A}} : A^n longrightarrow A,$ .
Para cada símbolo de relación $n,$ -aria $R,$ de $mathfrak{L},$ , una relación $n,$ -aria sobre $A,$ , esto es, un subconjunto $R^{mathfrak{A}} subseteq A^n,$ .

A menudo, usaremos la palabra modelo para denotar esta estructura.

[editar] Véase también

[editar] Bibliografía adicional

Agazzi, Evandro (1986). Lógica simbólica. Editorial Herder. ISBN 978-84-254-0130-5.

[editar] Enlaces externos

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LÓGICA INFORMAL. La lógica informal, o lógica no formal, es el estudio de los argumentos, tal como se presentan en la vida diaria, en oposición al estudio de los argumentos en una forma técnica o artificial, que corresponde a la lógica formal.

petalofucsia - 13 de noviembre de 2009 - 21:33 - Lógica frente a pensamiento mágico

Lógica informal

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La lógica informal, o lógica no formal, es el estudio de los argumentos, tal como se presentan en la vida diaria, en oposición al estudio de los argumentos en una forma técnica o artificial, que corresponde a la lógica formal. Esta parte de la lógica se dedica principalmente a diferenciar entre formas correctas e incorrectas en que se desarrolla el lenguaje y el pensamiento cotidiano, en especial al estudio de los procesos para obtener conclusiones a partir de información dada. Parte del principio que el pensamiento y el lenguaje humano es a menudo incorrecto, o tendencioso. Se le atribuyen sus inicios a Aristóteles, que hizo el primer estudio de las falacias lógicas, que se encuentran en la vida cotidiana.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_informal"

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LÓGICA FORMAL. La lógica formal, a diferencia de la lógica informal, se dedica al estudio de los razonamientos correctos, desarrollándolos de manera formal y esquematizada, es decir de una forma no cotidiana. Este tipo de lógica parte de los razonamientos correctos conocidos para desarrollar una teoría lógica y consecuentemente, razonamientos más complejos que no se utilizan normalmente en la vida cotidiana. A partir de la idea de que quien la estudia "razona bien", puede desarrollar argumentos racionales extremadamente complejos, y de gran alcance. Este tipo de lógica no debe ser confundido con la lógica simbólica ni con la lógica matemática, que son tipos de lógica que se encuentran dentro del campo de la lógica formal.

petalofucsia - 13 de noviembre de 2009 - 21:32 - Lógica frente a pensamiento mágico

Lógica formal

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La lógica formal, a diferencia de la lógica informal, se dedica al estudio de los razonamientos correctos, desarrollándolos de manera formal y esquematizada, es decir de una forma no cotidiana. Este tipo de lógica parte de los razonamientos correctos conocidos para desarrollar una teoría lógica y consecuentemente, razonamientos más complejos que no se utilizan normalmente en la vida cotidiana. A partir de la idea de que quien la estudia "razona bien", puede desarrollar argumentos racionales extremadamente complejos, y de gran alcance. Este tipo de lógica no debe ser confundido con la lógica simbólica ni con la lógica matemática, que son tipos de lógica que se encuentran dentro del campo de la lógica formal.

la logica formal es tambien la capacidad de decidir entre el bien moral o poder decidir cual es lo mejor la conciencia o el bien moral ...

$T e x t o d e t i t u l a r$ [editar]

Texto en negrita

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