MATEMÁTICAS4: SE PODRÍAN ESTUDIAR LAS VARIACIONES, LA PROPORCIÓN Y LAS RAZONES MATEMÁTICAS. CLARAMENTE NOS HEMOS "DESVIADO" AL MÁXIMO, PERO NO SE SI TODO ESTO RESULTA ARMÓNICO, Y SI PUEDE SER "DESPROPORCIONADO" O MUY "TRASCENDENTAL". El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.

26 de febrero de 2011 - 12:04 - Matemáticas4

Cálculo de variaciones

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El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.

Contenido

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[editar] Formulación general

Uno de los problemas típicos en cálculo diferencial es el de encontrar el valor de $x$ para el cual la función $f (x)$ alcanza un valor extremo (máximo o mínimo). En el cálculo de variaciones el problema es encontrar una función $f (x)$ para la cual un funcional $I [f]$ alcance un valor extremo. El funcional $I [f]$ está compuesto por una integral que depende de $x$ , de la función $f (x)$ y algunas de sus derivadas.

$I[f]=int_a^b f(x,p(r),c'(x),...),dx$

Donde la función $f (x)$ pertenece a algún espacio de funciones (espacio de Banach, espacio de Hilbert), y tanto ella como sus derivadas pueden tener restricciones.

Esta fórmula integral puede ser más complicada permitiendo a $x$ ser un vector, y por lo tanto incluyendo derivadas parciales para $f$ .

[editar] Problemas históricos

[editar] Problema Isoperimétrico

Artículo principal: Isoperimetría

¿Cuál es el área máxima que puede rodearse con una curva de longitud dada?.

Ejemplo: Sean dos puntos $A = (a,0), B = (b,0)$ en el eje x donde la distancia entre ellos está dada. Es decir $A B = l$ . El problema de hallar una curva que maximice el área entre ella y el eje x sería:

Hallar una función $f (x)$ de modo que,

$I[f]=int_a^b f(x) dx =$ max

con las restricciones

$G[f] = int_a^b sqrt{1+(f'(x))^2} dx = l$ (longitud de arco)

$f (a) = f (b) = 0$

[editar] Braquistócrona

El problema de la curva braquistócrona se remonta a J. Bernoulli (1696). Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto $P = (x 0, y 0)$ al origen de modo que un punto material que se desliza sin fricción sobre ella tarda el menor tiempo posible en ir de $P$ al origen. Usando principios de mecánica clásica el problema puede formularse como,

$T[f]=int_{0}^{x_0}frac {sqrt{1+(f'(x))^2}} {sqrt{2g(y_0-y)}} dx =$ min

donde g es la gravedad y las restricciones son, $f (0) = 0$ , $f (x 0) = y 0$ . Hay que notar que en $x = x 0$ existe una singularidad.

[editar] Véase también

Ecuaciones de Euler-Lagrange.

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