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En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

[editar] Límite de una sucesión

La sucesión a_n = 2^{(4 − n)} para converge al valor 0, como se puede ver en la ilustración.

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto L, si existe, para valores grandes de n. Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a .

Formalmente, se dice que la sucesión a_n tiende hasta su límite L, o que converge o es convergente (a L), y se denota como:

si y sólo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural N tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural n mayor que N converjan a L cuando n crezca sin cota.

Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

[editar] Límite de una función

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más escricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

[editar] Límite de una sucesión de conjuntos

En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera A_n, se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales,

Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad.

[editar] Límites en redes topológicas

Todas las nociones anteriores de límite pueden ser unificadas y generalizadas a espacios topológicos arbitrarios mediante la introducción de redes topológicas y la definición de sus límites.

Sea (X,T) un espacio topológico y una red en X. Se dice que es un punto límite de la red si la red está eventualmente en cada entorno de x, es decir, si cualquiera que sea el entorno V de x (esto es, cualquiera que sea el conjunto V de forma que exista un abierto G tal que ) existe un de tal forma que para cada con se cumple que .

[editar] Límites en teoría de categorías

En teoría de categorías, una rama de la matemática, se define el concepto abstracto de límite, el cual usa propiedades esenciales de construcciones universales tales como productos y límites inversos.

[editar] Véase también

• Continuidad (matemáticas)
• Límite de una sucesión
• Límite de una función
• Límite de una red topológica
• Límite superior y límite inferior
• Límite (teoría de categorías)

[editar] Referencias

[editar] Enlaces externos

• Weisstein, Eric W., «Límite matemático» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, http://mathworld.wolfram.com/Limit.html, consultado el 29 de mayo de 2010 .
• Mathwords: Limit
• Límites de funciones. Introducción
• Introducción al Cálculo de Límites (vídeo)

En física, el término causalidad describe la relación entre causas y efectos, y es fundamental en todas las ciencias naturales, especialmente en física. En términos generales, la causalidad puede ser estudiada desde varias perspectivas: la filosófica, la de la computación y la estadística.

[editar] Introducción

En física clásica se asumía que todos los eventos están causados por otros anteriores y que dicha causalidad es expresable en términos de leyes de la naturaleza. Dicha pretensión llegó a su punto más alto en la afirmación de Pierre Simon Laplace. Laplace afirmó que si se conoce el estado actual del mundo con total precisión, uno puede predecir cualquier evento en el futuro. Esta perspectiva se conoce como determinismo o más precisamente determinismo causal.

Aunque el determinismo de Laplace parece correcto respecto a las ecuaciones aproximadas de la física clásica, la teoría del caos ha añadido pequeñas complicaciones. Muchos sistemas presentan una fuerte sensibilidad a las condiciones iniciales, lo que significa que condiciones iniciales muy similares en ciertos sistemas pueden conducir a comportamientos a largo plazo muy diferentes. Eso sucede por ejemplo en el tiempo atmosférico. Hacia 1987 era habitual usar superordenadores en la predicción del tiempo, por ejemplo el Cray X-MP del Centro Europeo para el Pronóstico del Tiempo a Medio Plazo, que operaba con una capacidad máxima de 800 megaflops, podía calcular en apenas media hora un pronóstico aceptable del tiempo para el día siguiente en todo el hemisferio. Y aunque cada día se realizaban pronósticos de los siguientes diez días, los resultados del pronóstico a partir del cuarto o quinto día diferían sensiblemente de lo previsto por el ordenador.^[1]

Sin embargo, por encima de la impredictibilidad práctica causada por el comportamiento estocástico o caótico de los sistemas clásicos, está el hecho de que la mecánica cuántica presenta junto con una evolución determinista recogida en la ecuación de Schrödinger, una evolución no-determinista recogida en el postulado del colapso de la función de onda.

[editar] Mecánica relativista

De acuerdo con los postulados comunes de la física newtoniana, la causa precede al efecto en el tiempo. Sin embargo, en la física moderna, el concepto más simple de causalidad ha necesitado ser clarificado. Por ejemplo, en la teoría de la relatividad especial, el concepto de causalidad se mantiene, pero el significado de "preceder en el tiempo" sigue siendo absoluto y no depende del observador (aunque no pasa igual con el concepto de simultaneidad de conceptos no relacionados causalmente, que ahora sí pasan a depender del observador). Consecuentemente, el principio relativista de causalidad dice que la causa precede a su efecto para observadores inerciales. Esto implica que, en términos de la teoría de la relatividad especial, una condición necesaria para que A sea causa de B, es que B sea un evento que pertenece al cono de luz de A (en términos de distancias espacio-temporales se dice que A y B están separados por intervalo temporaloide). A pesar de algunas obras de ciencia ficción, en los supuestos bajo los cuales la teoría de la relatividad especial es adecuada para describir el mundo, resulta imposible, no sólo influir en el pasado, sino también en objetos distantes mediante señales que se muevan más rápidas que la velocidad de la luz.

En la teoría general de la relatividad, el concepto de causalidad se generaliza de la manera más directa posible: el efecto debe pertenecer al cono de luz futuro de su causa, aún en espacio-tiempos curvos; aunque pueden aparecer ciertas complicaciones, como cuando uno trata soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein, como el Universo de Gödel, donde existen curvas temporales cerradas, y un observador puede verse a sí mismo en el pasado, y otra serie de peculiaridades que, no obstante, no incurren en ninguna paradoja.^[2]

[editar] Mecánica cuántica

Nuevas sutilezas se toman en cuenta cuando se investiga la causalidad en mecánica cuántica no relativista y teoría cuántica de campos (mecánica cuántica relativista). En la teoría cuántica de campos, la causalidad está estrechamente relacionada con el principio de localidad. El análisis de ese principio es delicado, y muchas veces ese análisis pasa por el uso del teorema de Bell. De todas maneras, el resultado de dicho análisis parece depender, en parte, de desde qué interpretación de la mecánica cuántica se interpreten los resultados.

Sin embargo, se sospecha que, aún con todas estas sutilezas, el principio de causalidad sigue siendo un concepto válido de toda teoría física realista. Así, parece que la noción de que los eventos pueden ser ordenados en causas y efectos es necesaria para prevenir ciertas paradojas del mundo que conocemos.

La base de la causalidad física son los procesos energéticos que están gobernados por el principio físico de la conservación de la energía.

[editar] Principio de causalidad

El principio de causalidad postula que todo efecto -todo evento- debe tener siempre una causa (que, en idénticas circunstancias, una causa tenga siempre un mismo efecto se conoce como "principio de uniformidad"). Se usa para la búsqueda de leyes definidas, que asignan a cada causa su correspondiente efecto.

Este principio refleja un comportamiento mecánico de la naturaleza, que hasta el siglo XX se había aceptado e interpretado en un sentido determinista. No obstante, a principios de este siglo Heisenberg introdujo su principio de incertidumbre, que modificaba profundamente el principio de causalidad clásico.

Heisenberg y otros padres de la mecánica cuántica introdujeron un modelo de átomo que renunciaba a la visión clásica de un compuesto de partículas y ondas. Se concluyó que estaba condenado al fracaso cualquier intento de establecer analogías entre la estructura atómica y nuestra intuición sobre objetos macroscópicos. La formulación matemática de la teoría de Heisenberg se llamó inicialmente mecánica matricial, porque requería del uso de las matrices del álgebra lineal clásica. Esta formulación resultó complementaria de la mecánica ondulatoria, del físico austriaco Erwin Schrödinger.

Usando esta mecánica, los niveles de energía u órbitas de electrones se describen en términos probabilísticos: en general, de una misma causa no se deriva siempre un mismo efecto, sino que existe una variedad de posibles efectos. Sólo se puede predecir (aunque, en principio, con una fiabilidad determinista total) la probabilidad de que, cuando la causa se produzca, ocurra cada uno de los efectos.

Este comportamiento resulta extraño para nuestra experiencia ordinaria. Su explicación la podemos resumir en los siguientes puntos, que deben aceptarse como postulados avalados por miles de observaciones experimentales:

• Existen propiedades de la materia (observables) que no se pueden medir simultáneamente (observables que no conmutan). Por ejemplo, la posición y la velocidad de una misma partícula sería un par de propiedades de este tipo. Para ilustrar esa situación con un análogo clásico burdo, piénsese que, si un microscopio es lo suficientemente sensible como para hacer visible un electrón, deberá enviar una cantidad mínima de luz u otra radiación apropiada sobre él, que lo haga visible. Pero el electrón es tan pequeño que este mínimo de radiación (digamos, un fotón) es suficiente para hacerle cambiar de posición apenas lo tocara, de modo que en el preciso instante de medir su posición, alteraríamos ésta.

• Supongamos que hemos medido una de estas propiedades observables, de modo que conocemos con precisión su valor. Cuando un instante después midamos la segunda propiedad, obtendremos uno de los posibles valores de esta segunda propiedad, pero no podemos predecir antes cuál: sólo se puede predecir la probabilidad con la que cada uno de los valores posibles serán obtenidos.

Para algunos autores, desde el punto de vista filosófico, esto supone renunciar al principio de causalidad: podemos hallar dos sistemas físicos que han sido preparados exactamente del mismo modo, pero tales que, al medir una misma propiedad de ambos, obtenemos un resultado distinto en cada caso. No existe ninguna causa por la que hayamos obtenido los resultados diferentes: la Naturaleza no es determinista. Sin embargo, sí se pueden determinar con precisión las probabilidades de obtener las posibles medidas. Y como los objetos macroscópicos están formados por números gigantescos de partículas, las predicciones probabilísticas cuánticas acaban siendo, estadísticamente hablando, totalmente precisas, lo que hace de la Mecánica Cuántica una teoría extraordinariamente exacta.

La interpretación descrita de la mecánica cuántica es la que se ha impuesto con el tiempo, y se le llama interpretación de Copenhague en honor de la escuela del físico danés Niels Bohr. Inicialmente, la renuncia al principio de causalidad en esta interpretación no fue aceptada por muchos físicos, incluyendo a Einstein, quien afirmó: “Dios no juega a los dados”. De hecho, el propio Einstein, en colaboración con Podolski y Rosen, ideó un experimento (Paradoja EPR, por las siglas de sus autores) tal que las conclusiones de la interpretación de Copenhague parecían absurdas. Bohr mostró que, aunque muy extrañas, estas conclusiones no son absurdas. Experimentos de este tipo fueron llevados a cabo a finales del siglo XX por Alain Aspect, y han confirmado la interpretación de Copenhague.

Sin embargo, esta interpretación se enfrenta todavía a la llamada paradoja del gato de Schrödinger (remarquemos que Schrödinger, como Einstein, fue uno de los padres de la Mecánica Cuántica). Esta paradoja, que afecta a la definición de lo que es un proceso de medida (la distinción entre la materia observada y la mente del observador), no ha podido ser aún explicada de forma satisfactoria.

Existen multitud de efectos que se derivan del principio de incertidumbre. Uno de ellos, que afecta al ejemplo de incertidumbre posición-velocidad anterior, es la imposibilidad de la ausencia completa de energía cinética o, digamos, velocidad, para una partícula (ni siquiera en el cero absoluto). Si la energía cinética alcanzara el punto cero y las partículas quedaran totalmente inmóviles, sería posible confinarlas y determinar su posición con precisión arbitraria, a la vez que conoceríamos su velocidad (que sería cero). Por tanto, debe existir alguna “energía residual del punto cero”, incluso en el cero absoluto, para mantener las partículas en movimiento, y también, por así decirlo, nuestra incertidumbre. Esa energía “punto cero” se puede calcular, y resulta suficiente para evitar que el helio líquido se solidifique, incluso a temperaturas tan próximas como se quiera del cero absoluto (el cero en sí resulta inaccesible).

Las consecuencias del principio de incertidumbre se constatan en todas las partes de la microfísica, y acaban resultando asombrosas cuando se extrapolan al Universo en su conjunto. Así:

• Desde los tiempos de Einstein, en 1930, se sabía que el principio de incertidumbre también llevaba a la imposibilidad de reducir el error en la medición de energía sin acrecentar la incertidumbre del tiempo durante el cual se toma la medida. (De hecho, al principio, Einstein creyó poder utilizar esta tesis como trampolín para refutar el principio de incertidumbre, pero también Bohr mostró que la tentativa de Einstein era errónea).

• De esta versión de la incertidumbre se seguía que en un proceso subatómico se podía violar durante breves lapsos la ley de la conservación de la energía (siempre y cuando todo volviese al estado de conservación cuando concluyese ese lapso). En general, cuanto mayor sea la desviación de la conservación, tanto más breve será el intervalo de tiempo en que ésta es tolerable. El físico japonés Hideki Yukawa aprovechó esta noción para elaborar su teoría de los piones, confirmada experimentalmente.

• Más aún, posibilitó la elucidación de ciertos fenómenos subatómicos presuponiendo que las partículas nacían de la nada como un reto a la energía de conservación, pero se extinguían antes del tiempo asignado a su detección, por lo cual eran sólo “partículas virtuales”. Hacia fines de la década 1940-1950, tres investigadores (premios Nobel de Física en 1965) elaboraron la teoría sobre esas partículas virtuales: los físicos norteamericanos Julian Schwinger y Richard Phillips Feynman, y el físico japonés Shin'ichirō Tomonaga. Los diagramas de Feynman son usados corrientemente en la física de partículas, donde llevan a predicciones extremadamente exactas.

• A partir de 1976 se han producido especulaciones acerca de que el Universo comenzó como una pequeña pero muy masiva partícula virtual que se expandió con extrema rapidez y que aún sigue expandiéndose. Según este punto de vista, el Universo se formó de la Nada y podemos preguntarnos acerca de la posibilidad de que haya un número infinito de Universos que se formen (y, llegado el momento, acaben) en esta Nada.

En resumen, el principio de incertidumbre afectó profundamente al pensamiento de físicos y filósofos. Ejerció una influencia directa sobre la cuestión filosófica de causalidad, la relación entre causa y efecto. Pero sus implicaciones para la ciencia no son las que se suponen popularmente a menudo. Se puede leer que el principio de incertidumbre anula toda certeza acerca de la naturaleza, y muestra que, al fin y al cabo, la ciencia no sabe ni sabrá nunca hacia dónde se dirige, que el conocimiento científico está a merced de los caprichos imprevisibles de un Universo donde el efecto no sigue necesariamente a la causa. Pero tanto si esta interpretación es válida desde el ángulo filosófico como si no, el principio de incertidumbre no ha modificado un ápice la actitud del científico ante la investigación. Y esto por varios motivos:

• La incertidumbre también existe a un nivel clásico. Por ejemplo, incluso si nos olvidamos de posibles efectos cuánticos, no se puede predecir con certeza el comportamiento de las moléculas individuales en un gas. Sin embargo, estas moléculas acatan ciertas leyes termodinámicas, y su conducta es previsible sobre una base estadística. Estas predicciones son infinitamente más precisas que las de las compañías aseguradoras, que planifican su actividad (y obtienen beneficios) calculando con índices de mortalidad fiables, aunque les sea imposible predecir cuándo morirá un individuo determinado.

• Ciertamente, en muchas observaciones científicas, la incertidumbre es tan insignificante comparada con la escala correspondiente de medidas, que se la puede descartar para todos los propósitos prácticos. Uno puede determinar simultáneamente la posición y el movimiento de una estrella, o un planeta, o una bola de billar, o incluso un grano de arena con exactitud absolutamente satisfactoria.

• La incertidumbre entre las propias partículas subatómicas no representa un obstáculo, sino una verdadera ayuda para los físicos. Se la ha empleado para entender el modelo atómico (que resultaba inestable desde el punto de vista no cuántico), esclarecer hechos sobre la radiactividad, sobre la absorción de partículas subatómicas por los núcleos, y otros muchos acontecimientos subatómicos. En ello se emplea una economía lógica y razonabilidad muy superior de lo que hubiera sido esperable sin él.

Es cierto que el principio de incertidumbre o, en general, la física cuántica, se enfrenta a la paradoja no resuelta del problema de la medición (el gato de Schrödinger). Pero ésta tiene sus orígenes en la distinción entre mente y materia, determinismo y libre albedrío, y profundiza en ella como nunca antes habían imaginado los filósofos. El principio de incertidumbre significa que el Universo es más complejo de lo que se suponía, pero no irracional.

[editar] Véase también

• Causalidad (filosofía)
• Determinismo científico
• Horizonte de sucesos
• Viaje a través del tiempo
• Más rápido que la luz

[editar] Referencias

[editar] Bibliografía

• I. Stewart: ¿Juega Dios a los dados?, Ed. Crítica, Barcelona, 2001, ISBN 978-84-8432-881-0.

[editar] Enlaces externos

• Causal Processes, Stanford Encyclopedia of Philosophy (en inglés)
• Caltech Tutorial on Relativity — Una hermosa discusión sobre cómo dos observadores con movimiento relativo uno respecto a otro ven diferentes "rebanadas" de tiempo (en inglés)

En matemáticas, dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

La noción de permutación suele aparecer en dos contextos:

• Como noción fundamental de combinatoria, centrándonos en el problema de su recuento.
• En teoría de grupos, al definir nociones de simetría.

[editar] Definición alternativa

La permutación antes citada "1,3,2" puede verse como la imagen de una aplicación σ de la lista inicial de objetos (1, 2, 3) en la lista de objetos reordenados (1, 3, 2). De este modo σ(1)=1, σ(2)=3 y σ(3)=2. También podemos definir a la permutación como la propia aplicación σ.

Así, formalmente, una permutación de un conjunto X es una biyección de X en sí mismo.

Aunque esta segunda definición generaliza a la primera al admitir conjuntos infinitos, el término permutación se usa principalmente para un conjunto finito X, y así lo haremos en el resto del artículo.

[editar] En combinatoria

La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado, respetando ciertas reglas. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben ser las combinaciones y determinar cuántas existen que cumplan dicha regla.

Un tipo importante de esas combinaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de elementos de un conjunto, el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas .

[editar] Recuento del número de permutaciones

Dado un conjunto finito y ordenado de elementos, el número de permutaciones diferentes posibles es igual a la factorial de n:
.

Dado que hay formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo sólo tenemos posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente.

[editar] Recuento del número de conjuntos ordenados de k elementos con k<n

Dado un conjunto A finito de cardinal n, tenemos formas de construir un conjunto ordenado B de k elementos donde .

A éste número se le llama permutaciones de n en k. Otras notaciones son o (en algunas partes del mundo se le conoce como variaciones y se denota ).

Basta demostrar que las permutaciones están ligadas al coeficiente binomial mediante la siguiente identidad:

Para ello, dado que el coeficiente binomial es la cantidad de conjuntos finitos de k elementos formados a partir de los elementos de un conjunto de n elementos, donde y cualquier conjunto finito con cardinal k se puede ordenar de k! maneras diferentes.

Observamos que para k=n recuperamos la fórmula de recuento de permutaciones y que para k=1, P(n,1)=n.

[editar] En teoría de grupos

[editar] Notaciones

Representación gráfica de la permutación σ que revela su estructura compuesta por 2 ciclos de longitud 4.

La primera forma de escribir una permutación σ, aunque no es la más compacta, consiste en escribirla en forma de matriz de dos filas, situando en la primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3,...,n, y en la segunda las imágenes correspondientes a los elementos reordenados σ(1), σ(2), σ(3),...,σ(n).
Por ejemplo, dado el conjunto ordenado {1,...,8} podemos expresar una permutación σ sobre éste mediante una matriz de correspondencias:

Claramente es biyectiva, ya que podemos encontrar una aplicación inversa σ ^{− 1} de forma que su composición genera la aplicación identidad. Para ello, en primer lugar intercambiamos las filas y finalmente reordenamos las columnas de modo que los elementos del dominio queden ordenados de forma natural:

[editar] Notación de ciclos

Existe otra notación más compacta, llamada notación de ciclos. Un ciclo de longitud s es una permutación que intercambia cíclicamente s elementos y fija los restantes.

Esta notación revela mejor la estructura interna de la permutación. Para ello:

1. Empezamos con cualquier elemento. Lo escribimos, a su derecha escribimos su imagen, a la derecha de esta, la imagen de su imagen, y seguimos así hasta que se complete un ciclo.
2. Luego cogemos cualquier elemento no contenido en el primer ciclo, volvemos a escribir su imagen a su derecha, y continuamos hasta completar el segundo ciclo.
3. El proceso continúa hasta que la permutación entera ha quedado descrita como producto de ciclos disjuntos.

Siguiendo con el mismo ejemplo de antes, en notación de ciclos, σ quedaría expresada como composición de dos ciclos:

[editar] Descomposición de una permutación en ciclos disjuntos

La descomposición realizada por el procedimiento anterior no es única en principio, pues podrían haberse obtenido cualquiera de estos resultados equivalentes:

La descomposición canónica de una permutación como producto de ciclos se obtiene colocando en primer lugar de cada ciclo el número más pequeño del mismo. Posteriormente se procede a la colocación de los ciclos, colocando primero el ciclo cuyo primer elemento sea menor. Frecuentemente, suelen omitirse los ciclos de longitud 1. Así la permutación (1 3)(2)(4 5) se escribe simplemente como (1 3)(4 5).

[editar] Descomposición de una permutación en trasposiciones

Una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Dicho de otro modo, es un ciclo de longitud 2. Una propiedad interesante es que cualquier permutación se puede construir como una composición de transposiciones, aunque no de manera única. Dadas dos descomposiciones en transposiciones de una permutación se cumple que ambas usaran un número par o ambas usarán un número impar, eso permite definir de manera unívoca la signatura de una permutación.

Las trasposiciones permiten descomponer una permutación cualquiera de una forma diferente a la descomposición en ciclos. En particular, las trasposiciones que aparezcan no tendrán que ser disjuntas: Por ejemplo, el ciclo (1 2 3 4) = (1 2) (2 3) (3 4). Aquí el orden de aplicación es importante: en primer lugar (3 4) deja el 4 en su sitio definitivo y el 3 descolocado. Después (2 3) deja en su sitio definitivo el 3 y el 2 descolocado, que quedará recolocado definitivamente por (1 2).

Para ver que cualquier permutación descompone como producto de trasposiciones bastará ver que todo ciclo lo hace. De hecho, la descomposición del ciclo de nuestro ejemplo se generaliza a la fórmula:

No habrá unicidad en la descomposición, ni siquiera en el número de trasposiciones necesarias. Pero se demuestra que si σ admite dos descomposiciones distintas con n y con m trasposiciones, entonces n y m tendrán la misma paridad (serán simultáneamente pares o impares). Dada una permutación cualquiera, se define el siguiente morfismo de grupos:

Donde es el grupo simétrico de n elementos y m es un número entero, tal que exiten transposiciones tales que:

[editar] Permutación par y permutación impar

Llamaremos permutación par (resp. impar) a la que se escribe como composición de un número par (resp. impar) de trasposiciones.

Como ejemplo, de las 6=3! permutaciones del conjunto {1, 2, 3}, escritas en notación de ciclos:

• (1 2), (2 3) y (1 3) son, de forma trivial, impares.
• (1 2 3) y (1 3 2) son pares, como es fácil de comprobar al aplicar la fórmula anterior de descomposición de un ciclo en trasposiciones.
• e (la identidad) también es par.

En general, se demuestra que la mitad de las n! permutaciones de un conjunto de n elementos son pares y la otra mitad impares.

[editar] Estructura de grupo

Dado un número natural , consideramos el conjunto X = {1,2,...,n}. Definimos el grupo de permutaciones de n elementos, que denotaremos por S_n, o lo que es lo mismo, el conjunto de aplicaciones biyectivas de X a X.

Las permutaciones pares forman un subgrupo normal de índice 2 del grupo S_n, al que llamaremos grupo alternado, y notaremos por A_n.

[editar] Véase también

• Ciclo (permutación)
• Matriz permutación

En matemáticas, y particularmente en teoría del orden, dado un conjunto parcialmente ordenado (A,≤), un elemento a ∈ A es el elemento máximo de A si cualquier otro elemento de A es menor o igual que él; es decir, si para todo x ∈ A, x ≤ a.

Un elemento mínimo se define dualmente, como aquel a ∈ A tal que cualquier otro es mayor o igual que él; es decir, tal que para todo x ∈ A, a ≤ x.

La propiedad de antisimetría de la relación de orden ≤ asegura que de existir un elemento máximo o mínimo en un conjunto, estos son únicos.

[editar] Véase también

• Elemento mayor y menor
• Elemento maximal y minimal
• Mayorante y minorante

[editar] Referencias

• Birkhoff, Garrett (1967) (en inglés). Lattice Theory (2da edición). Estados Unidos: American Mathematical Society, Colloquium Publications. pp. 423. ISSN 0065-9258. ISBN 0-8218-1025-1.

En probabilidad y estadística, la correlación indica la fuerza y la dirección de una relación lineal entre dos variables aleatorias. Se considera que dos variables cuantitativas están correlacionadas cuando los valores de una de ellas varían sistemáticamente con respecto a los valores homónimos de la otra: si tenemos dos variables (A y B) existe correlación si al aumentar los valores de A lo hacen también los de B y viceversa. La correlación entre dos variables no implica, por sí misma, ninguna relación de causalidad (Véase Cum hoc ergo propter hoc).

[editar] Fuerza, sentido y forma de la correlación

La relación entre dos super variables cuantitativas queda representada mediante la línea de mejor ajuste, trazada a partir de la nube de puntos. Los principales componentes elementales de una línea de ajuste y, por lo tanto, de una correlación, son la fuerza, el sentido y la forma:

• La fuerza extrema segun el caso, mide el grado en que la línea representa a la nube de puntos: si la nube es estrecha y alargada, se representa por una línea recta, lo que indica que la relación es fuerte; si la nube de puntos tiene una tendencia elíptica o circular, la relación es débil.

• El sentido mide la variación de los valores de B con respecto a A: si al crecer los valores de A lo hacen los de B, la relación es positiva; si al crecer los valores de A disminuyen los de B, la relación es negativa.

• La forma establece el tipo de línea que define el mejor ajuste: la línea rectal, la curva monotónica o la curva no monotónica.

[editar] Coeficientes de correlación

Existen diversos coeficientes que miden el grado de correlación, adaptados a la naturaleza de los datos. El más conocido es el coeficiente de correlación de Pearson (introducido en realidad por Francis Galton), que se obtiene dividiendo la covarianza de dos variables por el producto de sus desviaciones estándar. Otros coeficientes son:

• Coeficiente de correlación de Spearman
• Correlación canónica

[editar] Interpretación geométrica

Ambas series de valores e pueden estar consideradas como vectores en un espacio a n dimensiones. Reemplacemoslos por vectores centrados:

El coseno del ángulo alfa entre estos vectores es dada por la fórmula siguiente :

Pues cos(α) es el coeficiente de correlación de Pearson.

¡El coeficiente de correlación es el coseno entre ambos vectores centrados!

Por supuesto, del punto vista geométrica, no hablamos de correlación lineal: el coeficiente de correlación tiene siempre un sentido, cualquiera que sea su valor entre -1 y 1. Nos informa de modo preciso, no tanto sobre el grado de dependencia entre las variables, que sobre su distancia angular en la hiperesfera a n dimensiones.

La Iconografía de las correlaciones es un método de análisis multidimensional que reposa en esta idea.

la correlacion lineal se da cuando en una nube de puntos estos se encuentran o se distribuyen alrededor de una recta.

• Para cálculo infinitesimal (diferencial o integral) véase Cálculo infinitesimal
• Para el estudio de los números reales, los complejos, los vectores y sus funciones véase Análisis matemático

En general el término cálculo (del latín calculus = piedra)^[1] hace referencia, indistintamente, a la acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

No obstante, el uso más común del término cálculo es el lógico-matemático. Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos.

Cálculo como razonamiento y cálculo lógico-matemático

Las dos acepciones del cálculo (la general y la restringida) arriba definidas están íntimamente ligadas. El cálculo es una actividad natural y primordial en el hombre, que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar unas cosas con otras en un pensamiento o discurso. El cálculo lógico natural como razonamiento es el primer cálculo elemental del ser humano. El cálculo en sentido lógico-matemático aparece cuando se toma conciencia de esta capacidad de razonar y trata de formalizarse.

Por lo tanto, podemos distinguir dos tipos de operaciones:

1. Operaciones orientadas hacia la consecución de un fin, como prever, programar, conjeturar, estimar, precaver, prevenir, proyectar, configurar, etc. que incluyen en cada caso una serie de complejas actividades y habilidades tanto de pensamiento como de conducta. En su conjunto dichas actividades adquieren la forma de argumento o razones que justifican una finalidad práctica o cognoscitiva.
2. Operaciones formales como algoritmo que se aplica bien directamente a los datos conocidos o a los esquemas simbólicos de la interpretación lógico-matemática de dichos datos; las posibles conclusiones, inferencias o deducciones de dicho algoritmo son el resultado de la aplicación de reglas estrictamente establecidas de antemano.

Historia del cálculo

De la Roma Clásica a la Edad Media

Reconstrucción de un ábaco romano.

Un ábaco moderno.

El término "cálculo" procede del latín calculus, piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpan japonés, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.

Los antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra.

La consideración del cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles, quien en sus escritos lógicos fue el primero en formalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categóricos (silogismos). Este trabajo sería completado más tarde por los estoicos, los megáricos, la Escolástica.

El algoritmo actual de cálculo aritmético como universal es fruto de un largo proceso histórico a partir de las aportaciones de Muhammad ibn al-Juarismi en el siglo IX.^[2]

Se introdujo el 0, ya de antiguo conocido en la India y se construye definitivamente el sistema decimal de diez cifras con valor posicional de las mismas, introducido en Europa por los árabes. La escritura antigua de números en Babilonia, en Egipto, en Grecia o en Roma, hacía muy difícil un procedimiento mecánico de cálculo.^[3]

El sistema decimal fue muy importante para el desarrollo de la contabilidad de los comerciantes de la Baja Edad Media, en los inicios del capitalismo.

El concepto de función por tablas ya era practicado de antiguo pero adquirió especial importancia en la Universidad de Oxford en el siglo XIV.^[4] La idea de un lenguaje o algoritmo capaz de determinar todas las verdades, incluidas las de la fe, aparecen en el intento de Raimundo Lulio en su Ars Magna

A fin de lograr una operatividad mecánica se confeccionaban unas tablas a partir de las cuales se podía generar un algoritmo prácticamente mecánico. Este sistema de tablas ha perdurado en algunas operaciones durante siglos, como las tablas de logaritmos, o las funciones trigonométricas; las tablas venían a ser como la calculadora de hoy día; un instrumento imprescindible de cálculo. Las amortizaciones de los créditos en los bancos, por ejemplo, se calculaban a partir de tablas elementales hasta que se produjo la aplicación de la informática en el tercer tercio del siglo XX.

A finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos.^[5] De especial importancia es la creación del sistema contable por partida doble inventado por Luca Pacioli fundamental para el progreso del capitalismo en el Renacimiento.^[6]

Renacimiento

El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesía renacentista.

El desarrollo del álgebra (con la introducción de un sistema de símbolos por un lado, y la resolución de problemas por medio de las ecuaciones) vino de la mano de los grandes matemáticos renacentistas como Tartaglia, Stévin, Cardano o Vieta y fue esencial para el planteamiento y solución de los más diversos problemas que surgieron en la época como consecuencia de los grandes descubrimientos que hicieron posible el progreso científico que surgirá en el siglo XVII.^[7]

Siglos XVII y XVIII

Página del artículo de Leibniz "Explication de l'Arithmétique Binaire", 1703/1705.

En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados Descartes,^[8] Pascal^[9] y, finalmente, Leibniz y Newton^[10] con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.

El concepto de cálculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su aplicación al mundo de lo real^[11] adquiere una importancia y desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer relaciones matemáticas entre diversas medidas, esencial para el progreso de la ciencia física que, debido a esto, es tomada como nuevo modelo de Ciencia frente a la especulación tradicional filosófica, por el rigor y seguridad que ofrece el cálculo matemático. Cambia así el sentido tradicional de la Física como Ciencia de la Naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales.

A partir de entonces el propio sistema de cálculo permite establecer modelos sobre la realidad física, cuya comprobación experimental^[12] supone la confirmación de la teoría como sistema. Es el momento de la consolidación del llamado método científico cuyo mejor exponente es en aquel momento la Teoría de la Gravitación Universal y las leyes de la Mecánica de Newton.^[13]

Siglos XIX y XX

George Boole.

Durante el siglo XIX y XX el desarrollo científico y la creación de modelos teóricos fundados en sistemas de cálculo aplicables tanto en mecánica como en electromagnetismo y radioactividad, etc. así como en astronomía fue impresionante. Las geometrías no euclidianas encuentran aplicación en modelos teóricos de astronomía y física. El mundo deja de ser un conjunto de infinitas partículas que se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un espacio de configuración o espacio de fases de n dimensiones que físicamente se hacen consistentes en la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica, la teoría de cuerdas etc. que cambia por completo la imagen del mundo físico.

La lógica asimismo sufrió una transformación radical.^[14] La formalización simbólica fue capaz de integrar las leyes lógicas en un cálculo matemático, hasta el punto que la distinción entre razonamiento lógico-formal y cálculo matemático viene a considerarse como meramente utilitaria.

En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de formalización de todo el sistema matemático, Frege, y de matematización de la lógica, (Bolzano, Boole, Whitehead, Russell) fue posible la generalización del concepto como cálculo lógico. Se lograron métodos muy potentes de cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como “objeto” conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de Cantor.

Mediante el cálculo la lógica encuentra nuevos desarrollos como lógicas modales y lógicas polivalentes.

Los intentos de axiomatizar el cálculo como cálculo perfecto por parte de Hilbert y Poincaré, llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell etc.) a nuevos intentos de axiomatización, Axiomas de Zermelo-Fraenkel y a la demostración de Gödel de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto: consistente, decidible y completo en 1931, de grandes implicaciones lógicas, matemáticas y científicas.

Actualidad

En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la lógica de circuitos eléctrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones por segundo.

El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico.

Concepto general de cálculo

El cálculo es un sistema de símbolos no interpretados, es decir, sin significado alguno, en el que se establecen mediante reglas estrictas, las relaciones sintácticas entre los símbolos para la construcción de fórmulas bien formadas (fbf), así como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologías.

Un cálculo consiste en:

1. Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeración, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuándo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.
2. Un conjunto de reglas de formación de “expresiones bien formadas”(EBFs) que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuándo una expresión pertenece al sistema y cuándo no.
3. Un conjunto de reglas de transformación de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresión bien formada del cálculo podremos obtener una nueva expresión equivalente y bien formada que pertenece al cálculo.

Cuando en un cálculo así definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistema formal axiomático.

Un cálculo así definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Cálculo Perfecto:

1. Es consistente: No es posible que dada una expresión bien formada del sistema, f, y su negación, no − f, sean ambas teoremas del sistema. No puede haber contradicción entre las expresiones del sistema.
2. Decidible: Dada cualquier expresión bien formada del sistema podemos encontrar un método que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema.
3. Completo: Cuando dada cualquier expresión bien formada del sistema, podemos establecer la demostración o prueba de que es un teorema del sistema.

La misma lógica-matemática ha demostrado que tal sistema de cálculo perfecto "no es posible" (véase el Teorema de Gödel).

El cálculo lógico

Entendemos aquí por cálculo lógico, un algoritmo que permite cómoda y fácilmente inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como válidamente verdaderos.

La inferencia o deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enunciado como conclusión a partir de otro(s) (premisas) mediante la aplicación de reglas de inferencia.^[15]

Decimos que alguien infiere -o deduce- "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V.

Los hombres en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo. Partimos de enunciados empíricos -supuestamente verdaderos y válidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos, según las leyes de la lógica natural.^[16]

La lógica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar dichas leyes, fundamentarlas y convertirlas en las reglas que permiten la transformación de unos enunciados -premisas- en otros -conclusiones- con objeto de convertir las operaciones en un algoritmo riguroso y eficaz, que garantiza que dada la verdad de las premisas, la conclusión es necesariamente verdadera.

Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento mediante la simbolización adecuada de fórmulas o Expresiones bien formadas (EBF) construimos un modelo o sistema deductivo.

Sistematización de un cálculo de deducción natural

Reglas de formación de fórmulas

I. Una letra enunciativa (con o sin subíndice) es una EBF.

II. Si A es una EBF, ¬ A también lo es.

III. Si A es una EBF y B también, entonces A B; A B; A B; A B, también lo son.

IV. Ninguna expresión es una fórmula del Cálculo sino en virtud de I,II,III.

• A, B,... con mayúsculas están utilizadas como metalenguaje en el que cada variable expresa cualquier proposición, atómica (p,q,r,s....) o molecular (p/q), (p/q)...
• A, B,... son símbolos que significan variables; ¬, , , →, , son símbolos constantes.
• Existen diversas formas de simbolización. Utilizamos aquí la de uso más frecuente en España.^[17]

Reglas de transformación de fórmulas

1) Regla de sustitución (R.T.1):

Dada una tesis EBF del cálculo, en la que aparecen variables de enunciados, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas (EBF) del cálculo, será también una tesis EBF del cálculo. Y ello con una única restricción, si bien muy importante: cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece y siempre por el mismo sustituto.

Veamos el ejemplo:

1		Transformación
2		donde  ; y donde
3		donde

O viceversa

1		Transformación
2		donde
3		donde  ; y donde

2) Regla de separación (R.T.2):

Si X es una tesis EBF del sistema y lo es también X Y, entonces Y es una tesis EBF del sistema.

Esquemas de inferencia

Sobre la base de estas dos reglas, siempre podremos reducir un argumento cualquiera a la forma:

lo que constituye un esquema de inferencia en el que una vez conocida la verdad de cada una de las premisas A, B,...N y, por tanto, de su producto, podemos obtener la conclusión Y con valor de verdad V, siempre y cuando dicho esquema de inferencia sea una ley lógica, es decir su tabla de verdad nos muestre que es una tautología.

Por la regla de separación podremos concluir Y, de forma independiente como verdad.

Dada la poca operatividad de las tablas de verdad, el cálculo se construye como una cadena deductiva aplicando a las premisas o a los teoremas deducidos las leyes lógicas utilizadas como reglas de transformación, como se expone en cálculo lógico.

Concepto de modelo

Cuando en un Cálculo C, se establece una "correspondencia" de cada símbolo con elementos determinados individuales distinguibles entre sí, de un Universo L, real, (tal universo L no es un conjunto vacío, por las mismas condiciones que hemos establecido) ENTONCES se dice que L es un MODELO de C.

El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógico

Naturalmente el cálculo lógico es útil porque puede tener aplicaciones, pero ¿en qué consisten o cómo se hacen tales aplicaciones?

Podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C.

Para ello es necesario someter al lenguaje natural a un proceso de formalización de tal forma que podamos reducir las expresiones lingüísticas del lenguaje natural a EBFs de un cálculo mediante reglas estrictas manteniendo el sentido de verdad lógica de dichas expresiones del lenguaje natural. Esto es lo que se expone en cálculo lógico.

Las diversas formas en que tratemos las expresiones lingüísticas dan lugar a sistemas diversos de formalización y cálculo:

• Cálculo proposicional o cálculo de enunciados

La oración simple: "Llueve", o "Las farolas se apagan por la noche" son consideradas como posible valor de verdad o falsedad de una variable "p".

• Cálculo como lógica de clases

La oración simple "Todos los caballos corren por el campo" está analizada como: La clase de todos los posibles seres que corren por el campo (B) incluye a la clase formada por todos los posibles seres que sean caballos (A).

• Cálculo de predicados o cuantificacional

La oración simple "los perros muerden" se formaliza de la siguiente manera:

Todos los posibles perros;

P = todas las posibles acciones de morder.

Para todo x (siendo x un perro) x muerde = Todos los perros muerden.

En el caso de Desko que es mi perro al que simbolizo como una constante a:

P(a) = Mi perro Desko muerde.

• Cálculo como lógica de relaciones

Así la oración simple "Antonio es mayor que Pedro", se considera y simboliza bajo la relación "ser mayor que" (R) que se da entre Antonio (a) y Pedro (p) y se simboliza como aRp.

La simbolización y formación de EBFs en cada uno de esos cálculos, así como las reglas de cálculo se trata en cálculo lógico.

Cálculos matemáticos

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.

Cálculo aritmético

Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Proviene del griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente números y habilidad.

El número en aritmética elemental tiene la consideración de número natural referido, en el campo de la experiencia, a la unidad, entendida bien como cantidad bien como medida.

De hecho el cálculo más natural y primitivo surge de la necesidad de contar y medir.^[18] Pero las formas y modos para realizar el cálculo han surgido según las diversas formas de sistemas de numeración, así como su transcripción gráfica.

Algoritmos

Sistema numérico y sistema de numeración

El sistema de numeración decimal, considerado como universal en la utilización más corriente, es un sistema posicional con base en 10 elementos o cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9),^[19] que adquieren un valor posicional a la hora de determinar el número.

Las posiciones se inician por la derecha: La primera indica las unidades; la segunda las decenas; la tercera las centenas; la cuarta el millar; siendo cada cifra a la izquiera tantas unidades de la potencia de 10 que corresponda al número de la posición.^[20]

El número 7452: Se lee: Siete mil cuatrocientos cincuenta y dos. Y consta de 7 unidades de mil (7 unidades de millar; millar = 10³), 4 de cien (4 unidades de centenas; centena = 10²), 5 de 10 (5 unidades de decenas; decena = 10) y 2 unidades.

Operaciones básicas del cálculo: suma, resta, multiplicación y división

Las cuatro operaciones suma, resta, multiplicación y división son las operaciones básicas del cálculo, sobre las cuales se construyen todas las demás. Es lo que se enseña en la Escuela Primaria y se conoce como "Las cuatro reglas" y es considerado como la mínima expresión de un conocimiento básico.

1. Algoritmo de la Suma

El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operación de suma consiste en la unión de las unidades contenidas en dos números, "sumandos", siendo el resultado la "Suma". Las tablas se leen como "una y una dos".

2. Algoritmo de la resta

El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operación de resta se considera como la diferencia entre dos números, uno mayor "Minuendo" y otro menor "Sustraendo", siendo el resultado "Resta". Las tablas se leen como "de tres a cinco 2".

3. Algoritmo de la multiplicación

Una multiplicación de ejemplo

La multiplicación es una suma reiterativa de un mismo número, el "multiplicando", tantas veces como unidades tenga otro número, el "multiplicador". El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. "Que se leen "una por una es 1"; "cinco por cuatro veinte" etc.(véase el artículo Tabla de multiplicar)

4. Algoritmo de la división

La operación se realiza entre dos números, "dividendo" y "divisor", cuyo resultado expresa cuántas veces se encuentra contenido el divisor en el dividendo. Equivale a medir el dividendo tomando como unidad el divisor. El resultado se llama "cociente", y las unidades no divisibles se denominan "resto". Operacionalmente consiste en ir restando sucesivamente el divisor al dividendo hasta que finalmente quede un resto menor que el divisor. El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales que se leen: "una entre una a una".

Algoritmo de potencias y raíces

Algoritmo de la raíz cuadrada

Potencias

Por potencia se entiende el resultado de multiplicar un mismo número, llamado "base", tantas veces como indica un índice o "exponente".

Se representa como bⁿ, donde b es la base y n el exponente.

Así:

El algoritmo de cálculo de una potencia, aplicando las tablas de multiplicar sucesivamente y su algoritmo no ofrecen problema alguno.

Raíces

Mayor dificultad ofrece el cálculo de raíces, exponiendo como caso elemental, el algoritmo de la raíz cuadrada.

La raíz es la operación inversa de la potencia. Se expresa donde x se llama "radicando" y n "raiz", y se trata de calcular un número y tal que yⁿ + r = x siendo r un resto, si lo hubiera, por no ser la raíz exacta.

Este algoritmo de cálculo aritmético está en desuso desde la introducción de las calculadoras electrónicas en el ambiente educativo.

2. Cálculo algebraico

3. Cálculo infinitesimal: breve reseña

El cálculo infinitesimal, llamado por brevedad "cálculo", tiene su origen en la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño). Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" o exhaución para encontrar el área de un círculo con la exactitud finita requerida mediante el uso de polígonos regulares inscritos de cada vez mayor número de lados. En el periodo tardío de Grecia, el neoplatónico Pappus de Alejandría hizo contribuciones sobresalientes en este ámbito. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo en el periodo antiguo.

En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y Derivación en términos modernos). Fermat y Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670) quienes demostraron que los problemas del área y la tangente son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo.

El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravitación universal, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca controversias sobre quién de los dos fue el primero. Newton utilizó el cálculo en mecánica en el marco de su tratado "Principios matemáticos de filosofía natural", obra científica por excelencia, llamando a su método de "fluxiones". Leibniz utilizó el cálculo en el problema de la tangente a una curva en un punto, como límite de aproximaciones sucesivas, dando un carácter más filosófico a su discurso. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz por su versatilidad.

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y duda sobre sus fundamentos. De hecho, la noción de límite, central en el estudio del cálculo, era aun vaga e imprecisa en ese entonces. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo George Berkeley.

En el siglo XIX el trabajo de los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron con precisión los conceptos de límite en términos de épsilon_delta y de derivada, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los números reales. Fue el periodo de la fundamentación del cálculo. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales, al mismo tiempo que la aparición de las Computadoras ha incrementado las aplicaciones y velocidad del cálculo.

Actualmente, el cálculo infinitesimal tiene un doble aspecto: por un lado, se ha consolidado su carácter disciplinario en la formación de la sociedad culta del conocimiento, destacando en este ámbito textos propios de la disciplina como el de Louis Leithold, el de Earl W. Swokowski o el de James Stewart entre muchos otros; por otro su desarrollo como disciplina científica que ha desembocado en ámbitos tan especializados como el cálculo fraccional, la teoría de funciones analíticas de variable compleja o el análisis matemático. El éxito del cálculo ha sido extendido con el tiempo a las ecuaciones diferenciales, al cálculo de vectores, al cálculo de variaciones, al análisis complejo y a las topología algebraica y topología diferencial entre muchas otras ramas.

El desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la continuidad de sus elementos, en especial en la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte, meteorología, etc. hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc.

Como complemento del cálculo, en relación a sistemas teóricos o físicos cuyos elementos carecen de continuidad, se ha desarrollado una rama especial conocida como Matemática discreta.

Véase también

• Cálculo lógico
• algoritmo de Euclides
• Lenguaje formalizado
• Lenguaje formal
• Lógica proposicional
• Lógica de primer orden
• Sistema formal
• Silogismo
• Cifra (matemática)
• Puerta lógica
• Tabla de valores de verdad
• Calculista
• Teoría de conjuntos
• Historia del hardware de computador
• Regla de cálculo
• Sistema de numeración
• Teoría de números
• Matemáticas en el Antiguo Egipto
• Numeración egipcia
• Numeración griega
• Numeración romana

• acarreo
• Potenciación
• Radicación
• Logaritmación
• Álgebra

Referencias

Bibliografía

• MITCHELL, D. (1968). INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA. BARCELONA: EDITORIAL LABOR. 

• DEAÑO, ALFREDO (1974). INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA FORMAL. MADRID: ALIANZA EDITORIAL. ISBN 84-206-2064-5. 

• QUINE, W.V. (1981). FILOSOFÍA DE LA LÓGICA. MADRID: ALIANZA EDITORIAL. ISBN 84-206-2043-2. 

• COPI, IRVING M. (1982). LÓGICA SIMBÓLICA. MEXICO 22 D.F: EDITORIAL CONTINENTAL S.A. DE C.V.. ISBN 968-26-0134-7. 

• GARRIDO, M. (1974). LÓGICA SIMBÓLICA. MADRID. EDITORIAL TECNOS S.A.. ISBN 84-309-0537-5. 

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• PERELLÓ I VALLS, C. (1979). El cálculo en los siglos XVII y XVIII. Historia de la Ciencia. BARCELONA.ED.PLANETA. 84-320-0842-7. 

• HONDERICH, T. (Editor) (2001). Enciclopedia Oxford de Filosofía. Trd. Carmen García Trevijano. Madrid. Editorial Tecnos. 84-309-3699-2001. 

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• BUNGE, M. (1972). Teoría y realidad. Barcelona. Ariel. 

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• Tablas de Aritmética. Ed.EDIVAS S.L. Ref. 25. Zamudio. España.

Enlaces externos

• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Cálculo. Wikiquote

• Weisstein, Eric W., «Calculus» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, http://mathworld.wolfram.com/Calculus.html, consultado el 29 de mayo de 2010 .
• Cálculo de funciones
• http://www.cenidet.edu.mx/dda/docs/aplicacionteoriaactividad.pdf.
• Introducción a la lógica de clases
• Calculos financieros
• Calculos Diferencial en una variable - Libro Gratis

En matemáticas, dado un conjunto no vacío A, y una relación binaria entre sus elementos, se dice que esta relación binaria es una relación de dependencia, si es reflexiva y simétrica:

Propiedad reflexiva:

Propiedad simétrica:

[editar] Ejemplo 1

Dado el conjunto finito A, formado por los elementos:

y definida la relación binaria R como:

Que extensivamente resulta:

Podemos ver que la relación es reflexiva y simétrica, por lo tanto es una Relación de dependencia y que no es transitiva, por lo que no es una relación de equivalencia.

[editar] Ejemplo 2

Tomando el conjunto de los números reales, y la definición de distancia entre dos números x é y como el valor absoluto de su diferencia:

Decimos que dos números reales x é y cumplen la relación de proximidad cuando su distancia es menor que un valor D dado mayor que cero.

Esta relación es reflexiva:

y es simétrica:

Por lo que la relación de proximidad entre los números reales es una relación de dependencia.

Puede verse igualmente que la relación de proximidad, entre los números reales, no es transitiva:

por lo que no es una relación de equivalencia.

[editar] Véase también

Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

[editar] Conceptos previos

Considérese una función f(x), de variable real x, definida para todo valor de x excepto posiblemente para un cierto valor x₀. Es decir, f(x) está definida para x < x₀ y para x > x₀. Definamos también:

El límite por izquierda en x₀, es decir, el límite al aproximarse al valor x = x₀ mediante valores menores a x₀, como:

El límite por derecha en x₀, es decir, el límite al aproximarse al valor x = x₀ mediante valores mayores a x₀, como:

Si estos dos límites en el entorno del punto x₀ existen y son iguales se dice que la función tiene limite en este punto.

Si una función tiene limite en un punto y su valor coincide con el valor de la función en ese punto, entonces la función es continua en ese punto:

en cualquier otro caso es discontinua en ese punto.

[editar] Tipos de discontinuidades

La discontinuidad de una función puede ser clasificada en:

[editar] Discontinuidad evitable

Si una función tiene limite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:

o no existe:

se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, en ese punto, el valor del limite:

[editar] Discontinuidad esencial

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

1. Existen los límites laterales pero no coinciden.
2. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. Ver asíntota.
3. No existe alguno de los límites laterales o ambos.

[editar] Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

[editar] De salto finito

Existen el limite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:

[editar] De salto infinito

Si uno de los limites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el limite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:

como en el caso de que el limite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:

Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.

[editar] Discontinuidad asintótica

Si los dos limites laterales de la función en el punto x₀ son infinitos:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x = a la asíntota.

[editar] Discontinuidad de segunda especie

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los limites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

[editar] Galería de discontinuidades

De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.

De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.

Asintótica.	Asintótica.	Asintótica.	Asintótica.

De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.

De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.

De salto finito.	De salto finito.	De salto finito.	Evitable

[editar] Caso de continuidad

Una función y= f(x) es continua en un punto a, si los limites por la derecha y la izquierda son iguales, y coinciden con el valor de la función en ese punto.

[editar] Ejemplos

Función del ejemplo 1, f₁(x): una discontinuidad evitable.

• 1. Sea la función

El punto x₀ = 1 es una discontinuidad evitable. Esta función puede hacerse contínua simplemente redefiniendo la función en este punto para que valga f₁(x₀) = 1.

Función del ejemplo 2, f₂(x): una discontinuidad por salto.

• 2. Sea la función

El punto x₀ = 1 es una discontinuidad por salto.

Función del ejemplo 3, f₃(x): una discontinuidad esencial.

• 3. Sea la función

El punto x₀ = 1 es una discontinuidad esencial, para lo cual hubiese bastado que uno de los dos límites laterales no exista o sea infinito (en este caso se cumple para ambos límites laterales: para el límite por izquierda y para el límite por derecha).

• 4. Funciones que no son continuas en ninguna parte

Existen funciones que no son continuas en ningún punto. La más conocida es la función característica de Q, es decir la función que toma como valor 1 cuando x pertenece al conjunto de los racionales, y 0 si no.

Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y= 0, y una infinidad (menor) de puntos en la recta y= 1.

• 5. Discontinuidad evitable.

Una función presenta un punto de Discontinuidad evitable si en ese punto se cumple que:

Pueden ser transformadas en otra función continua, dándole a f(a) el valor adecuado que la hace continua. Si modificamos una función obtenemos otra función, no la misma, por ello se dice que son evitables.

La función:

Presenta los siguientes limites por la izquierda y por la derecha:

pero la función para x= 2 no esta definida:

en este un caso de discontinuidad evitable y además de un modo sencillo:

lo que es lo mismo:

simplificando:

esta función es continua para todo x de valor real y es equivalente a la primera función, excepto en que la primera es discontinua para x= 2.

• 6. Discontinuidad de primera especie

Una función presenta una discontinuidad de primera especie en un punto x1, si en este punto se cumple que:

se produce un salto en los extremos.

Un ejemplo de función con discontinuidad de este estilo es por ejemplo:

Que es continua (y diferenciable) en todos los puntos, excepto en los puntos con .

• 7. Discontinuidad de segunda especie

Son las que tienen puntos para los que existe solo uno de los limites laterales o ninguno.

Por ejemplo la función . Ésta tiene una discontinuidad de segunda especie en 0 pues no existe el límite:

• 8. Discontinuidad asintótica

La discontinuidad viene marcada por una asíntota vertical. Se cumple lo siguiente:

En la gráfica podemos ver la función:

Donde x₁ es un valor conocido, que presenta una asíntota vertical para x = x₁

[editar] Véase también

• Función continua
• Gráfica de una función
• Representación gráfica de una función
• Lista de funciones matemáticas
• Derivación (matemática)
• Continuo

[editar] Enlaces externos

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien y está definido por:

[editar] Propiedades

Dadas dos funciones reales:

Se tienen las siguientes propiedades:

[editar] Ejemplos

Algunos dominios de funciones reales de variable real:

El dominio de esta función es

El dominio de esta función es puesto que la función no está definida para x = 0.

El dominio de esta función es ya que los logaritmos están definidos sólo para números positivos.

El dominio de esta función es porque la raíz de un número negativo no existe en el campo de los Reales.

[editar] Cálculo del dominio de una función

Para el cálculo certero del dominio de una función, debemos introducir el concepto de restricción en el campo real. Estas restricciones nos ayudarán a identificar la existencia del dominio de una función. Las más usadas son:

[editar] Raíz n-ésima de f(x)

No existe restricción si n es impar, pero si n es par, la función f(x) necesariamente deberá ser mayor no estricto de cero, ya que las raíces negativas no están definidas en el campo real. Por ejemplo:

El índice de la raíz es par (2), por tanto

7x − 21 > = 0 despejando tenemos que

x>=3 El dominio entonces será el conjunto de todos los reales en el intervalo [3,+∞)

[editar] Logaritmo de f(x)

La restricción está al estudiar las propiedades de los logaritmos las cuales nos dicen que estos no están definidos para números negativos, por tanto toda función contenida dentro de un logaritmo es necesariamente mayor estricto de cero. Por ejemplo:

log₍x² − 9) Por la propiedad anteriormente citada tenemos que para que esta función exista, necesariamente

x² − 9 > 0 despejando obtendremos dos soluciones x > 3 y x < − 3. La unión de ambas soluciones representa el dominio de la función, que está definida como el conjunto (-∞, -3) U (3, +∞).

[editar] Fracciones

Otras propiedades de las matemáticas nos pueden ayudar a obtener el dominio de una función y excluir puntos donde esta no está definida, por ejemplo, una función que tenga forma de fracción no estará definida cuando el denominador valga cero, ya que esto es una indeterminación que daría una tendencia al infinito. Veamos

la función no estará definida cuando 10x − 2 = 0, despejando x = 1 / 5, es decir la variable x debe tener un valor diferente para poder existir, ya que en ese punto no está definida, por tanto el dominio de esta función será el conjunto de todos los reales menos ese punto. Su notación será R-{1/5}, que se lee, el conjunto de todos los reales menos el punto 0,20.

El grado de dificultad se incrementa cuando buscamos el dominio de una función con variable en el denominador contenida dentro de un radical de índice par o logaritmo, ya que esto nos traslada a resolver una desigualdad. No obstante, el método de polos y ceros nos permite resolver esta clase de inecuaciones con facilidad.

[editar] Ejemplo

Para evidenciar este caso veamos este problema. Hallar el dominio de la siguiente función:

Para que esta función exista, necesariamente

Ya que no existe logaritmo de expresiones negativas. La solución de esta desigualdad, es explicada paso por paso en el artículo polos y ceros anteriormente citado, su solución constituirá el dominio de la función que en este caso será:

solución: (-∞, -1/5) U (2/3, +∞)

[editar] Véase también

• Codominio
• Imagen

En matemáticas, el opuesto (o simétrico para la suma, o inverso aditivo), de un número es el número que, sumado con , da cero. El inverso aditivo de se denota .

Por ejemplo:

• El opuesto de es , porque ;
• El opuesto de es , porque .

Así, por el ejemplo anterior, .

Algebraicamente hablando, el opuesto de un elemento de un grupo es su elemento simétrico respecto de la operación binaria "" (cuando se usa la notación aditiva).

Aritméticamente, se lo puede calcular multiplicando por , es decir,

Conjuntos de números en que cada elemento tiene opuesto:

• Números enteros
• Números racionales
• Números reales
• Números complejos

Conjuntos de números sin opuesto:

• Números naturales
• Números cardinales
• Números ordinales

Nótese que los números enteros se construyen a partir de los números naturales a los que se añaden formalmente los opuestos.

[editar] Véase también

• Inverso multiplicativo
• Elemento neutro

[editar] Enlaces externos

• Margherita Barile, «Inverso aditivo», en Weisstein, Eric W. (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, http://mathworld.wolfram.com/AdditiveInverse.html .

La función recíproca y = 1/x. Para cada valor de x (eje horizontal) excepto el 0, y (eje vertical) representa su inverso multiplicativo.

En matemática, el inverso multiplicativo, recíproco o inversa de un número x, es el número, denotado como ¹⁄_x ó x ⁻¹, que multiplicado por x da 1 como resultado.

El 0 no tiene inverso multiplicativo. Todo número complejo, salvo el 0, tiene un inverso que es un número complejo. El inverso de un número real también es real, y el de un número racional también es racional.

Para obtener una aproximación del inverso multiplicativo de x, empleando únicamente la multiplicación y la resta, se puede empezar con un número y (una primera aproximación), y reemplazar y por 2y-xy². Una vez que la variación entre dos iteraciones sucesivas de y se haga lo suficientemente pequeña (y se mantenga pequeña), y será una aproximación del inverso de x.

Es decir:

• Si tenemos Y/X su inverso multiplicativo es X/Y; o bien
• Si tenemos X su inverso multiplicativo es 1/X.

[editar] Inverso multiplicativo en otros objetos matemáticos

El inverso multiplicativo es aplicable a distintos tipos de objetos matemáticos.

• La inversa de una matriz es otra matriz, denominada matriz inversa, que al multiplicarse por la original es igual a la matriz identidad.

• La inversa de una función es la resultante de despejar la variable independiente, convirtiéndola en dependiente. Gráficamente es un trazado paralelo a la recta diagonal y = x.

• En las matemáticas constructivas, para que un número real x tenga inverso, no es suficiente que sea falso que x = 0. Además, debe existir un número racional r tal que 0 < r < |x|.

En cuanto al algoritmo de aproximación presentado en el párrafo anterior, esto es necesario para demostrar que la variación en y llegará a ser arbitrariamente pequeña.

• En las aritmética modular, el inverso multiplicativo de x también está definido: es el número a tal que (a × x) mod n = 1. Sin embargo, este inverso multiplicativo sólo existe si a y n son primos entre sí. Por ejemplo, el inverso de 3 módulo 11 es 4, porque es la solución de (3 × x) mod 11 = 1. Un algoritmo empleado para el cálculo de inversos modulares es el Algoritmo extendido de Euclides.

[editar] Véase también

• elemento opuesto
• elemento simétrico
• división
• fracción
• grupo
• anillo

• Pregunta tú mismo.
• Visita el foro.
• Discussions in the 'Solo español' forum

Asimetría se refiere a la propiedad de determinados cuerpos, funciones matemáticas y otros tipos de elementos en los que, al aplicarles una regla de transformación efectiva, se observan cambios respecto al elemento original. Surge una discordia cuando no somos capaces de reconocer qué parte es la original de la asimetría.

[editar] Características

Además de la posición y la dispersión de un conjunto de datos, es común usar medidas de forma en su descripción. Una de estas medidas es una estadística que busca expresar la simetría (o falta de ella) que manifiestan los datos, denominada coeficiente de asimetría.

La diferencia de una observación respecto del promedio de los datos se encuentra elevada al cubo. Esto tiene como resultado que, observaciones alejadas del promedio, aportan un gran valor a la suma; ya sea positivo o negativo. En consecuencia, si los grandes valores de la diferencia están producidos por datos mayores que el promedio, el coeficiente tenderá a ser positivo. Si, por el contrario, predominan observaciones muy menores que el promedio, el coeficiente será negativo. Si, finalmente, las observaciones presentan un alto grado de simetría respecto al promedio, el coeficiente asumirá valores cercanos a cero o a un infinito que estcorrelacionado con el número de la varianza o el intervalo de clase, o se declara en forma racional con el cojunto matematico de medidas longitudinales.

Si el valor de este coeficiente es mayor que la varianza entonces se dice que la distribución de los datos se encuentra sesgada a la derecha o a la izquierda, si es menor que el intervalo de clase entonces se dice que está sesgada a la posición anterior.

En mecánica cuántica, la teoría perturbacional o teoría de perturbaciones es un conjunto de esquemas aproximados para describir sistemas cuánticos complicados en términos de otros más sencillos. La idea es empezar con un sistema simple y gradualmente ir activando hamiltonianos "perturbativos", que representan pequeñas alteraciones al sistema. Si la alteración o perturbación no es demasiado grande, las diversas magnitudes físicas asociadas al sistema perturbado (por ejemplo sus niveles de energía y sus estados propios) podrán ser generados de forma continua a partir de los del sistema sencillo. De esta forma, podemos estudiar el sistema complejo basándonos en el sistema sencillo.

En particular al estudiar las energías de un sistema físico, el método consiste en identificar dentro del Hamiltoniano (perturbado) qué parte de éste corresponde a un problema con solución conocida (Hamiltoniano no perturbado en caso que su solución sea analítica) y considerar el resto como un potencial que modifica al anterior Hamiltoniano. Dicha identificación permite escribir a los autoestados del Hamiltoniano perturbado como una combinación lineal de los autoestados del Hamiltoniano sin perturbar y a las autoenergías como las autoenergías del problema sin perturbar más términos correctivos.

[editar] Procedimiento

[editar] Caso no degenerado

Sea el Hamiltoniano de un sistema físico. De acuerdo con lo antes mencionado, el mismo se puede escribir como , donde corresponde al Hamiltoniano sin pertubar (cuyas soluciones se conocen) y es el potencial que modifica a . El parámetro controla la magnitud de la perturbación. En general es un parámetro ficticio que se usa por conveniencia matemática y que al final del análisis se toma . Por otro lado, los autoestados de se escriben como una combinación lineal de los autoestados de

y las energías como

donde es la k-ésima corrección a la energía. El índice indica el orden de la corrección comenzando por . Es decir, cuanto mayor sea , mejor aproximación se tendrá y para no hay corrección alguna. En las anteriores expresiones se ha supuesto que

y

Si reemplazamos las expresiones para H, E_n y en la segunda ecuación de la anterior línea se tiene

Esta igualdad se debe satisfacer para todo orden de λ. El primer término del lado izquierdo de la última línea corresponde al orden k = 0 y debe ser idénticamente nulo ya que del lado derecho de la igualdad no existen términos de dicho orden en λ. Esto implica que, para que toda la suma se anule, los , donde δ_nm es la delta de Kronecker.

Por otro lado, cuando k = 1 se tiene en el lado izquierdo el primer orden de λ que se obtiene en el lado derecho cuando k₁ + k₂ = 1, es decir cuando o bien cuando . Por lo tanto se tiene

Para el segundo orden, k = 2 y , y , entonces

Para el tercer orden, k = 3 y , , y , entonces

y así sucesivamente hasta el orden que se desee. A partir de las anterior igualdades es posible calcular todos los coeficientes de las combinaciones lineales y las correcciones a las energías . Para obtenerlas se procede del siguiente modo: primero se usa el hecho que con lo cual, para los tres órdenes respectivamente se tiene,

Para hallar las correcciones a la energía se debe multiplicar por el bra y usar que , obteniéndose entonces

Reordenando las anteriores expresiones y despejando para la corrección deseada se tiene

De este modo se han obtenido las correcciones para las energías en términos de relaciones recursivas partiendo de la primera corrección cuyo valor es el elemento de matriz . Las correcciones también dependen de los coeficientes de las combinaciones lineales. Estos pueden ser hallados con un razonamiento similar, en efecto, si en vez de haber multiplicar por se multiplica por con se tiene

Reordenando para este caso

Los coeficientes se calculan por normalización del estado . Una vez obtenidos todos los coeficientes y las correcciones a la energía del orden deseado se los reemplaza en las expresiones expuestas inicialmente para determinar los autoestados de H y las autoenergías de dicho operados, respectivamente.

Por ejemplo, si se desea calcular la corrección para la energía a primer orden y los autoestados correspondientes, las expresiones

se cortan para k = 1 quedando

luego, se reemplazan los resultados antes hallados

y se obtienen las aproximaciones de los estados y las energías para el problema con la perturbación V.

[editar] Teoría de perturbaciones de muchos cuerpos

También llamada "teoría de perturbaciones de Möller-Plesset" y "teoría de perturbaciones de Rayleigh y Schrödinger", por sus usos tempranos en mecánica cuántica, se le llama "de muchos cuerpos" por su popularidad entre los físicos que trabajan con sistemas infinitos. Para ellos, la consistencia con la talla del problema, que se discute más abajo, es una cuestión de gran importancia, obviamente.

[editar] Representación diagramática y consistencia con la talla del problema

La teoría perturbacional es, como la interacción de configuraciones, un procedimiento sistemático que se puede usar para encontrar la energía de correlación, más allá del nivel Hartree-Fock. La teoría de perturbaciones no es un método variacional, con lo que no da cotas superiores de la energía, sino solamente aproximaciones sucesivamente mejores. En cambio, sí que es consistente con la talla del problema (esto es: la energía de las energías calculadas para dos sistemas es igual a la energía calculada para el sistema suma).

R. P. Feynman ideó una representación diagramática de la teoría de perturbaciones de Rayleigh y Schrödinger, y la aplicó en sus trabajos de electrodinámica cuántica. Inspirado por él, J. Goldstone usó estas representaciones para demostrar la consistencia de la talla (mostró que ciertas contribuciones, que aparentemente rompían la consistencia, se anulaban sistemáticamente a cualquier orden de perturbación).

Con ayuda de estas mismas representaciones, H. P. Kelly llevó a cabo por primera vez la aproximación del par electrónico independiente, sumando ciertas partes de la perturbación (ciertos diagramas) hasta un orden infinito.

[editar] Aplicaciones de la teoría perturbacional

La teoría perturbacional es una herramienta extremadamente importante para la descripción de sistemas cuánticos reales, ya que es muy difícil encontrar soluciones exactas a la ecuación de Schrödinger a partir de hamiltonianos de complejidad moderada. De hecho, la mayoría de los hamiltonianos para los que se conocen funciones exactas, como el átomo de hidrógeno, el oscilador armónico cuántico y la partícula en una caja están demasiado idealizados como para describir a sistemas reales. A través de la teoría de las perturbaciones, es posible usar soluciones de hamiltonianos simples para generar soluciones para un amplio espectro de sistemas complejos. Por ejemplo, añadiendo un pequeño potencial eléctrico perturbativo al modelo mecanocuántico del átomo de hidrógeno, se pueden calcular las pequeñas desviaciones en las líneas espectrales del hidrógeno causadas por un campo eléctrico (el efecto Stark). (Hay que notar que, estrictamente, si el campo eléctrico externo fuera uniforme y se extendiera al infinito, no habría estado enlazado, y los electrones terminarían saliendo del átomo por efecto túnel, por débil que fuera el campo. El efecto Stark es una pseudoaproximación.)

Las soluciones que produce la teoría perturbacional no son exactas, pero con frecuencia son extremadamente acertadas. Típicamente, el resultado se expresa en términos de una expansión polinómica infinita que converge rápidamente al valor exacto cuando se suma hasta un grado alto (generalmente, de forma asintótica). En la teoría de la electrodinámica cuántica, en la que la interacción electrón - fotón se trata pertrubativamente, el cálculo del momento magnético del electrón está de acuerdo con los resultados experimentales hasta las primeras 11 cifras significativas. En electrodinámica cuántica y en teoría cuántica de campos, se usan técnicas especiales de cálculo, conocidas como diagramas de Feynman, para sumar de forma sistemática los términos de las series polinómicas.

Bajo ciertas circunstancias, la teoría perturbacional no es camino adecuado. Este es el caso cuando el sistema en estudio no se puede describir por una pequeña perturbación impuesta a un sistema simple. En cromodinámica cuántica, por ejemplo, la interacción de los quarks con el campo de los gluones no puede tratarse perturbativamente a bajas energías, porque la energía de interacción se hace demasiado grande. La teoría de perturbaciones tampoco puede describir estados con una generación no-continua, incluyendo estados enlazados y varios fenómenos colectivos como los solitones. Un ejemplo sería un sistema de partículas libres (sin interacción), en las que se introduce una interacción atractiva. Dependiendo de la forma de la interacción, se puede generar un conjunto de estados propios completamente nuevo, que correspondería a grupos de partículas enlazadas unas a otras. Un ejemplo de este fenómeno puede encontrarse en la superconductividad convencional, en la que la atracción entre electrones de conducción mediada por fonones lleva a la formación de electrones fuertemente correlacionados, conocidos como pares de Cooper. Con este tipo de sistemas, se debe usar otros esquemas de aproximación, como el método variacional o la aproximación WKB.

El problema de los sistemas no perturbativos ha sido aliviado por el advenimiento de los ordenadores modernos. Ahora es posible obtener soluciones numéricas, no perturbativas para ciertos problemas, usando métodos como la Teoría del Funcional de la Densidad (DFT). Estos avances han sido de particular utilidad para el campo de la química cuántica. También se han usado ordenadores para llevar a cabo cálculos de teoría perturbacional a niveles extraordinariamente altos de precisión, algo importante en física de partículas para obtener resultados comparables a los resultados experimentales.

[editar] Véase también

• Teorema adiabático

Función de densidad de probabilidad La línea verde corresponde a la distribución normal estandar
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	σ > 0
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana
Moda
Varianza
Coeficiente de simetría	0
Curtosis	0
Entropía
Función generadora de momentos (mgf)
Función característica

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.

La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:

• caracteres morfológicos de individuos como la estatura;
• caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
• caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;
• caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
• nivel de ruido en telecomunicaciones;
• errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
• etc.

La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.^[1] Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".

En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas.

[editar] Historia

Abraham de Moivre, descubridor de la distribución normal

La distribución normal fue presentada por vez primera por Abraham de Moivre en un artículo del año 1733,^[2] que fue reimpreso en la segunda edición de su The Doctrine of Chances, de 1738, en el contexto de cierta aproximación de la distribución binomial para grandes valores de n. Su resultado fue ampliado por Laplace en su libro Teoría analítica de las probabilidades (1812), y en la actualidad se llama Teorema de De Moivre-Laplace.

Laplace usó la distribución normal en el análisis de errores de experimentos. El importante método de mínimos cuadrados fue introducido por Legendre en 1805. Gauss, que afirmaba haber usado el método desde 1794, lo justificó rigurosamente en 1809 asumiendo una distribución normal de los errores. El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con profusión cuando analizaba datos astronómicos^[3] y algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre.^[4] Esta atribución del nombre de la distribución a una persona distinta de su primer descubridor es un claro ejemplo de la Ley de Stigler.

El nombre de "campana" viene de Esprit Jouffret que usó el término "bell surface" (superficie campana) por primera vez en 1872 para una distribución normal bivariante de componentes independientes. El nombre de "distribución normal" fue otorgado independientemente por Charles S. Peirce, Francis Galton y Wilhelm Lexis hacia 1875.^{[cita requerida]} A pesar de esta terminología, otras distribuciones de probabilidad podrían ser más apropiadas en determinados contextos; véase la discusión sobre ocurrencia, más abajo.

[editar] Definición formal

Hay varios modos de definir formalmente una distribución de probabilidad. La forma más visual es mediante su función de densidad. De forma equivalente, también pueden darse para su definición la función de distribución, los momentos, la función característica y la función generatriz de momentos, entre otros.

[editar] Función de densidad

Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si su función de densidad está dada por:

donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación típica (σ² es la varianza).^[5]

Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros toman los valores μ = 0 y σ = 1. En este caso la función de densidad tiene la siguiente expresión:

Su gráfica se muestra a la derecha y con frecuencia se usan tablas para el cálculo de los valores de su distribución.

[editar] Función de distribución

La función de distribución de la distribución normal está definida como sigue:

Por tanto, la función de distribución de la normal estándar es:

Esta función de distribución puede expresarse en términos de una función especial llamada función error de la siguiente forma:

y la propia función de distribución puede, por consiguiente, expresarse así:

El complemento de la función de distribución de la normal estándar, 1 − Φ(x), se denota con frecuencia Q(x), y es referida, a veces, como simplemente función Q, especialmente en textos de ingeniería.^{[6] [7]} Esto representa la cola de probabilidad de la distribución gaussiana. También se usan ocasionalmente otras definiciones de la función Q, las cuales son todas ellas transformaciones simples de Φ.^[8]

La inversa de la función de distribución de la normal estándar (función cuantil) puede expresarse en términos de la inversa de la función de error:

y la inversa de la función de distribución puede, por consiguiente, expresarse como:

Esta función cuantil se llama a veces la función probit. No hay una primitiva elemental para la función probit. Esto no quiere decir meramente que no se conoce, sino que se ha probado la inexistencia de tal función. Existen varios métodos exactos para aproximar la función cuantil mediante la distribución normal (véase función cuantil).

Los valores Φ(x) pueden aproximarse con mucha precisión por distintos métodos, tales como integración numérica, series de Taylor, series asintóticas y fracciones continuas.

[editar] Límite inferior y superior estrictos para la función de distribución

Para grandes valores de x la función de distribución de la normal estándar es muy próxima a 1 y está muy cerca de 0. Los límites elementales

en términos de la densidad son útiles.

Usando el cambio de variable v = u²/2, el límite superior se obtiene como sigue:

De forma similar, usando y la regla del cociente,

Resolviendo para proporciona el límite inferior.

[editar] Funciones generadoras

[editar] Función generadora de momentos

La función generadora de momentos se define como la esperanza de e^(tX). Para una distribución normal, la función generadora de momentos es:

como puede comprobarse completando el cuadrado en el exponente.

[editar] Función característica

La función característica se define como la esperanza de e^itX, donde i es la unidad imaginaria. De este modo, la función característica se obtiene reemplazando t por it en la función generadora de momentos.

Para una distribución normal, la función característica es^[9]

[editar] Propiedades

Algunas propiedades de la distribución normal son:

1. Es simétrica respecto de su media, μ;
   

   

   Distribución de probabilidad alrededor de la media en una distribución N(μ, σ).
2. La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ;
3. Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ.
4. Distribución de probabilidad en un entorno de la media:
   1. en el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución;
   2. en el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución;
   3. por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.
5. Si X ~ N(μ, σ²) y a y b son números reales, entonces (aX + b) ~ N(aμ+b, a²σ²).
6. Si X ~ N(μ_x, σ_x²) e Y ~ N(μ_y, σ_y²) son variables aleatorias normales independientes, entonces:
   • Su suma está normalmente distribuida con U = X + Y ~ N(μ_x + μ_y, σ_x² + σ_y²) (demostración). Recíprocamente, si dos variables aleatorias independientes tienen una suma normalmente distribuida, deben ser normales (Teorema de Crámer).
   • Su diferencia está normalmente distribuida con .
   • Si las varianzas de X e Y son iguales, entonces U y V son independientes entre sí.
   • La divergencia de Kullback-Leibler,
7. Si e son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas, entonces:
   • Su producto XY sigue una distribución con densidad p dada por donde K₀ es una función de Bessel modificada de segundo tipo.
   • Su cociente sigue una distribución de Cauchy con X / Y˜Cauchy(0,σ_X / σ_Y). De este modo la distribución de Cauchy es un tipo especial de distribución cociente.
8. Si son variables normales estándar independientes, entonces sigue una distribución χ² con n grados de libertad.
9. Si son variables normales estándar independientes, entonces la media muestral y la varianza muestral son independientes. Esta propiedad caracteriza a las distribuciones normales y contribuye a explicar por qué el test-F no es robusto respecto a la no-normalidad).

[editar] Estandarización de variables aleatorias normales

Como consecuencia de la Propiedad 1; es posible relacionar todas las variables aleatorias normales con la distribución normal estándar.

Si X ~ N(μ,σ²), entonces

es una variable aleatoria normal estándar: Z ~ N(0,1).

La transformación de una distribución X ~ N(μ, σ) en una N(0, 1) se llama normalización, estandarización o tipificación de la variable X.

Una consecuencia importante de esto es que la función de distribución de una distribución normal es, por consiguiente,

A la inversa, si Z es una distribución normal estándar, Z ~ N(0,1), entonces

es una variable aleatoria normal tipificada de media μ y varianza σ².

La distribución normal estándar está tabulada (habitualmente en la forma de el valor de la función de distribución Φ) y las otras distribuciones normales pueden obtenerse como transformaciones simples, como se describe más arriba, de la distribución estándar. De este modo se pueden usar los valores tabulados de la función de distribución normal estándar para encontrar valores de la función de distribución de cualquier otra distribución normal.

[editar] Momentos

Los primeros momentos de la distribución normal son:

Todos los cumulantes de la distribución normal, más allá del segundo, son cero.

Los momentos centrales de orden superior (2k con μ = 0) vienen dados por la fórmula

[editar] El Teorema del Límite Central

Gráfica de la función de distribución de una normal con μ = 12 y σ = 3, aproximando la función de distribución de una binomial con n = 48 y p = 1/4

El Teorema del límite central establece que bajo ciertas condiciones (como pueden ser independientes e idénticamente distribuidas con varianza finita), la suma de un gran número de variables aleatorias se distribuye aproximadamente como una normal.

La importancia práctica del Teorema del límite central es que la función de distribución de la normal puede usarse como aproximación de algunas otras funciones de distribución. Por ejemplo:

• Una distribución binomial de parámetros n y p es aproximadamente normal para grandes valores de n, y p no demasiado cercano a 1 ó 0 (algunos libros recomiendan usar esta aproximación sólo si np y n(1 − p) son ambos, al menos, 5; en este caso se debería aplicar una corrección de continuidad).
  La normal aproximada tiene parámetros μ = np, σ² = np(1 − p).

• Una distribución de Poisson con parámetro λ es aproximadamente normal para grandes valores de λ.
  La distribución normal aproximada tiene parámetros μ = σ² = λ.

La exactitud de estas aproximaciones depende del propósito para el que se necesiten y de la tasa de convergencia a la distribución normal. Se da el caso típico de que tales aproximaciones son menos precisas en las colas de la distribución. El Teorema de Berry-Esséen proporciona un límite superior general del error de aproximación de la función de distribución.

[editar] Divisibilidad infinita

Las normales tienen una distribución de probabilidad infinitamente divisible: dada una media μ, una varianza σ ² ≥ 0, y un número natural n, la suma X₁ + . . . + X_n de n variables aleatorias independientes

tiene esta específica distribución normal (para verificarlo, úsese la función característica de convolución y la inducción matemática).

[editar] Estabilidad

Las distribuciones normales son estrictamente estables.

[editar] Desviación típica e intervalos de confianza

Alrededor del 68% de los valores de una distribución normal están a una distancia σ > 1 (desviación típica) de la media, μ; alrededor del 95% de los valores están a dos desviaciones típicas de la media y alrededor del 99,7% están a tres desviaciones típicas de la media. Esto se conoce como la "regla 68-95-99,7" o la "regla empírica".

Para ser más precisos, el área bajo la curva campana entre μ − nσ y μ + nσ en términos de la función de distribución normal viene dada por

donde erf es la función error. Con 12 decimales, los valores para los puntos 1-, 2-, hasta 6-σ son:

1	0,682689492137
2	0,954499736104
3	0,997300203937
4	0,999936657516
5	0,999999426697
6	0,999999998027

La siguiente tabla proporciona la relación inversa de múltiples σ correspondientes a unos pocos valores usados con frecuencia para el área bajo la campana de Gauss. Estos valores son útiles para determinar intervalos de confianza para los niveles especificados basados en una curva normalmente distribuida (o estimadores asintóticamente normales):

0,80	1,28155
0,90	1,64485
0,95	1,95996
0,98	2,32635
0,99	2,57583
0,995	2,80703
0,998	3,09023
0,999	3,29052
0,9999	3,8906
0,99999	4,4172

donde el valor a la izquierda de la tabla es la proporción de valores que caerán en el intervalo dado y n es un múltiplo de la desviación típica que determina la anchura de el intervalo.

[editar] Forma familia exponencial

La distribución normal tiene forma de familia exponencial biparamétrica con dos parámetros naturales, μ y 1/σ², y estadísticos naturales X y X². La forma canónica tiene como parámetros y y estadísticos suficientes y

[editar] Distribución normal compleja

Considérese la variable aleatoria compleja gaussiana

donde X e Y son variables gaussianas reales e independientes con igual varianza . La función de distribución de la variable conjunta es entonces

Como , la función de distribución resultante para la variable gaussiana compleja Z es

[editar] Distribuciones relacionadas

• R˜Rayleigh(σ) es una distribución de Rayleigh si donde y son dos distribuciones normales independientes.

• es una distribución χ² con ν grados de libertad si donde X_k˜N(0,1) para y son independientes.

• Y˜Cauchy(μ = 0,θ = 1) es una distribución de Cauchy si Y = X₁ / X₂ para X₁˜N(0,1) y X₂˜N(0,1) son dos distribuciones normales independientes.

• Y˜Log-N(μ,σ²) es una distribución log-normal si Y = e^X y X˜N(μ,σ²).

• Relación con una distribución estable: si entonces X˜N(μ,σ²).

• Distribución normal truncada. si entonces truncando X por debajo de A y por encima de B dará lugar a una variable aleatoria de media donde y es la función de densidad de una variable normal estándar.

• Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida e Y = | X | , entonces Y tiene una distribución normal doblada.

[editar] Estadística descriptiva e inferencial

[editar] Resultados

De la distribución normal se derivan muchos resultados, incluyendo rangos de percentiles ("percentiles" o "cuantiles"), curvas normales equivalentes, stanines, z-scores, y T-scores. Además, un número de procedimientos de estadísticos de comportamiento están basados en la asunción de que esos resultados están normalmente distribuidos. Por ejemplo, el test de Student y el análisis de varianza (ANOVA) (véase más abajo). La gradación de la curva campana asigna grados relativos basados en una distribución normal de resultados.

[editar] Tests de normalidad

Los tests de normalidad se aplican a conjuntos de datos para determinar su similitud con una distribución normal. La hipótesis nula es, en estos casos, si el conjunto de datos es similar a una distribución normal, por lo que un P-valor suficientemente pequeño indica datos no normales.

• Prueba de Kolmogórov-Smirnov
• Test de Lilliefors
• Test de Anderson–Darling
• Test de Ryan–Joiner
• Test de Shapiro–Wilk
• Normal probability plot (rankit plot)
• Test de Jarque–Bera
• Test omnibús de Spiegelhalter

[editar] Estimación de parámetros

[editar] Estimación de parámetros de máxima verosimilitud

Supóngase que

son independientes y cada una está normalmente distribuida con media μ y varianza σ ² > 0. En términos estadísticos los valores observados de estas n variables aleatorias constituyen una "muestra de tamaño n de una población normalmente distribuida. Se desea estimar la media poblacional μ y la desviación típica poblacional σ, basándose en las valores observados de esta muestra. La función de densidad conjunta de estas n variables aleatorias independientes es

Como función de μ y σ, la función de verosimilitud basada en las observaciones X₁, ..., X_n es

con alguna constante C > 0 (de la cual, en general, se permitiría incluso que dependiera de X₁, ..., X_n, aunque desapareciera con las derivadas parciales de la función de log-verosimilitud respecto a los parámetros tenidos en cuenta, véase más abajo).

En el método de máxima verosimilitud, los valores de μ y σ que maximizan la función de verosimilitud se toman como estimadores de los parámetros poblacionales μ y σ.

Habitualmente en la maximización de una función de dos variables, se podrían considerar derivadas parciales. Pero aquí se explota el hecho de que el valor de μ que maximiza la función de verosimilitud con σ fijo no depende de σ. No obstante, encontramos que ese valor de μ, entonces se sustituye por μ en la función de verosimilitud y finalmente encontramos el valor de σ que maximiza la expresión resultante.

Es evidente que la función de verosimilitud es una función decreciente de la suma

Así que se desea el valor de μ que minimiza esta suma. Sea

la media muestral basada en las n observaciones. Nótese que

Sólo el último término depende de μ y se minimiza por

Esta es la estimación de máxima verosimilitud de μ basada en las n observaciones X₁, ..., X_n. Cuando sustituimos esta estimación por μ en la función de verosimilitud, obtenemos

Se conviene en denotar la "log-función de verosimilitud", esto es, el logaritmo de la función de verosimilitud, con una minúscula ℓ, y tenemos

entonces

Esta derivada es positiva, cero o negativa según σ² esté entre 0 y

o sea igual a esa cantidad, o mayor que esa cantidad. (Si hay solamente una observación, lo que significa que n = 1, o si X₁ = ... = X_n, lo cual sólo ocurre con probabilidad cero, entonces por esta fórmula, refleja el hecho de que en estos casos la función de verosimilitud es ilimitada cuando σ decrece hasta cero.)

Consecuentemente esta media de cuadrados de residuos es el estimador de máxima verosimilitud de σ², y su raíz cuadrada es el estimador de máxima verosimilitud de σ basado en las n observaciones. Este estimador es sesgado, pero tiene un menor error medio al cuadrado que el habitual estimador insesgado, que es n/(n − 1) veces este estimador.

[editar] Sorprendente generalización

La derivada del estimador de máxima verosimilitud de la matriz de covarianza de una distribución normal multivariante es despreciable. Involucra el teorema espectral y la razón por la que puede ser mejor para ver un escalar como la traza de una matriz 1×1 matrix que como un mero escalar. Véase estimación de la covarianza de matrices.

[editar] Estimación insesgada de parámetros

El estimador de máxima verosimilitud de la media poblacional μ, es un estimador insesgado de la media poblacional.

El estimador de máxima verosimilitud de la varianza es insesgado si asumimos que la media de la población es conocida a priori, pero en la práctica esto no ocurre. Cuando disponemos de una muestra y no sabemos nada de la media o la varianza de la población de la que se ha extraído, como se asumía en la derivada de máxima verosimilitud de arriba, entonces el estimador de máxima verosimilitud de la varianza es sesgado. Un estimador insesgado de la varianza σ² es la cuasi varianza muestral:

que sigue una distribución Gamma cuando las X_i son normales independientes e idénticamente distribuidas:

con media y varianza

La estimación de máxima verosimilitud de la desviación típica es la raíz cuadrada de la estimación de máxima verosimilitud de la varianza. No obstante, ni ésta, ni la raíz cuadrada de la cuasivarianza muestral proporcionan un estimador insesgado para la desviación típica (véase estimación insesgada de la desviación típica para una fórmula particular para la distribución normal.

[editar] Incidencia

Las distribuciones aproximadamente normales aparecen por doquier, como queda explicado por el teorema central del límite. Cuando en un fenómeno se sospecha la presencia de un gran número de pequeñas causas actuando de forma aditiva e independiente es razonable pensar que las observaciones serán "normales". Hay métodos estadísticos para probar empíricamente esta asunción, por ejemplo, el test de Kolmogorov-Smirnov.

Hay causas que pueden actuar de forma multiplicativa (más que aditiva). En este caso, la asunción de normalidad no está justificada y es el logaritmo de la variable en cuestión el que estaría normalmente distribuido. La distribución de las variables directamente observadas en este caso se denomina log-normal.

Finalmente, si hay una simple influencia externa que tiene un gran efecto en la variable en consideración, la asunción de normalidad no está tampoco justificada. Esto es cierto incluso si, cuando la variable externa se mantiene constante, las distribuciones marginales resultantes son, en efecto, normales. La distribución completa será una superposición de variables normales, que no es en general normal. Ello está relacionado con la teoría de errores (véase más abajo).

A continuación se muestran una lista de situaciones que estarían, aproximadamente, normalmente distribuidas. Más abajo puede encontrarse una discusión detallada de cada una de ellas:

• En problemas de recuento, donde el teorema central del límite incluye una aproximación de discreta a continua y donde las distribuciones infinitamente divisibles y descomponibles están involucradas, tales como:
  • variables aleatorias binomiales, asociadas con preguntas sí/no;
  • variables aleatorias de Poisson, asociadas con eventos raros;
• En medidas fisiológicas de especímenes biológicos:
  • El logaritmo de las medidas del tamaño de tejidos vivos (longitud, altura, superficie de piel, peso);
  • La longitud de apéndices inertes (pelo, garras, rabos, dientes) de especímenes biológicos en la dirección del crecimento;
  • Otras medidas fisiológicas podrían estar normalmente distribuidas, aunque no hay razón para esperarlo a priori;
• Se asume con frecuencia que los errores de medida están normalmente distribuidos y cualquier desviación de la normalidad se considera una cuestión que debería explicarse;
• Variables financieras, en el modelo Black-Scholes:
  • Cambios en el logaritmo de

Cambios en el logaritmo de tasas de cambio, índices de precios, índices de existencias de mercado; estas variables se comportan como el interés compuesto, no como el interés simple, por tanto, son multiplicativas;

• • Mientras que el modelo Black-Scholes presupone normalidad, en realidad estas variables exhiben colas pesadas, como puede verse en crash de las existencias de mercado;
  • Otras variables financieras podrían estar normalmente distribuidas, pero no hay razón para esperarlo a priori;
• Intensidad de la luz:
  • La intensidad de la luz láser está normalmente distribuida;
  • La luz térmica tiene una distribución de Bose-Einstein en escalas de tiempo muy breves y una distribución normal en grandes escalas de tiempo debido al teorema central del límite.

Es relevante para la biolgía y la economía el hecho de que los sistemas complejos tienden a mostrar la ley de potencias más que normal.

[editar] Recuento de fotones

La intensidad de la luz de una sola fuente varía con el tiempo, así como las fluctuaciones térmicas que pueden observarse si la luz se analiza a una resolución suficientemente alta. La mecánica cuántica interpreta las medidas de la intensidad de la luz como un recuento de fotones, donde la asunción natural es usar la distribución de Poisson. Cuando la intensidad de la luz se integra a lo largo de grandes periodos de tiempo mayores que el tiempo de coherencia, la aproximación Poisson - Normal es apropiada.

[editar] Medida de errores

La normalidad es la asunción central de la teoría matemática de errores. De forma similar en el ajuste de modelos estadístico, un indicador de la bondad del ajuste es que el error residual (así es como se llaman los errores en esta circunstancia) sea independiente y normalmente distribuido. La asunción es que cualquier desviación de la normalidad necesita ser explicada. En ese sentido, en ambos, ajuste de modelos y teoría de errores, la normalidad es la única observación que no necesita ser explicada, sino que es esperada. No obstante, si los datos originales no están normalmente distribuidos (por ejemplo, si siguen una distribución de Cauchy, entonces los residuos tampoco estarán normalmente distribuidos. Este hecho es ignorado habitualmente en la práctica.

Las medidas repetidas de la misma cantidad se espera que cedan el paso a resultados que están agrupados entorno a un valor particular. Si todas las fuentes principales de errores se han tomado en cuenta, se asume que el error que queda debe ser el resultado de un gran número de muy pequeños y aditivos efectos y, por consiguiente, normal. Las desviaciones de la normalidad se interpretan como indicaciones de errores sistemáticos que no han sido tomados en cuenta. Puede debatirse si esta asunción es válida.

Una famosa observación atribuida a Gabriel Lippmann dice:^{[cita requerida]}

Otra fuente podría ser Henri Poincaré.

[editar] Características físicas de especímenes biológicos

Los tamaños de los animales adultos siguen aproximadamente una distribución log-normal. La evidencia y explicación basada en modelos de crecimiento fue publicada por primera vez en el libro Problemas de crecimiento relativo, de 1932, por Julian Huxley.

Las diferencias de tamaño debido a dimorfismos sexuales u otros polimorfismos de insectos, como la división social de las abejas en obreras, zánganos y reinas, por ejemplo, hace que la distribución de tamaños se desvíe hacia la lognormalidad.

La asunción de que el tamaño lineal de los especímenes biológicos es normal (más que lognormal) nos lleva a una distribución no normal del peso (puesto que el peso o el volumen es proporcional al cuadrado o el cubo de la longitud y las distribuciones gaussianas sólo mantienen las transformaciones lineales). A la inversa, asumir que el peso sigue una distribución normal implica longitudes no normales. Esto es un problema porque, a priori, no hay razón por la que cualquiera de ellas (longitud, masa corporal u otras) debería estar normalmente distribuida. Las distribuciones lognormales, por otro lado, se mantienen entre potencias, así que el "problema" se desvanece si se asume la lognormalidad.

Por otra parte, hay algunas medidas biológicas donde se asume normalidad, tales como la presión sanguínea en humanos adultos. Esta asunción sólo es posible tras separar a hombres y mujeres en distintas poblaciones, cada una de las cuales está normalmente distribuida.

[editar] Variables financieras

El modelo normal de movimiento de activos no incluye movimientos extremos tales como quiebras financieras.

Ya en 1900 Louis Bachelier propuso representar los precios de cambio usando la distribución normal. Esta aproximación se ha modificado desde entonces ligeramente. A causa de la naturaleza multiplicativa del interés compuesto, los indicadores financieros como valores de mercado y precios de las materias primas exhiben un "comportamiento multiplicativo". Como tales, sus cambios periódicos (por ejemplo, cambios anuales) no son normales, sino lognormales. Esta es todavía la hipótesis más comúnmente aceptada en economía.

No obstante, en realidad las variables financieras exhiben colas pesadas y así, la asunción de normalidad infravalora la probabilidad de eventos extremos como quiebras financieras. Se han sugerido correcciones a este modelo por parte de matemáticos como Benoît Mandelbrot, quien observó que los cambios en el logaritmo durante breves periodos de tiempo (como un día) se aproximan bien por distribuciones que no tienen una varianza finita y, por consiguiente, el teorema central del límite no puede aplicarse. Más aún, la suma de muchos de tales cambios sigue una distribución de log-Levy.

[editar] Distribuciones en tests de inteligencia

A veces, la dificultad y número de preguntas en un test de inteligencia se selecciona de modo que proporcionen resultados normalmente distribuidos. Más aún, las puntuaciones "en crudo" se convierten a valores que marcan el cociente intelectual ajustándolas a la distribución normal. En cualquier caso se trata de un resultado causado deliberadamente por la construcción del test o de una interpretación de las puntuaciones que sugiere normalidad para la mayoría de la población. Sin embargo, la cuestión acerca de si la inteligencia en sí está normalmente distribuida es más complicada porque se trata de una variable latente y, por consiguiente, no puede observarse directamente.

[editar] Ecuación de difusión

La función de densidad de la distribución normal está estrechamente relacionada con la ecuación de difusión (homogénea e isótropa) y, por tanto, también con la ecuación de calor. Esta ecuación diferencial parcial describe el tiempo de evolución de una función de densidad bajo difusión. En particular, la función de densidad de masa

para la distribución normal con esperanza 0 y varianza t satisface la ecuación de difusión:

Si la densidad de masa para un tiempo t = 0 viene dada por la delta de Dirac, lo cual significa, esencialemente que toda la masa está inicialmente concentrada en un punto, entonces la función de densidad de masa en el tiempo t tendrá la forma de la función de densidad de la normal, con varianza creciendo linealmente con t. Esta conexión no es coincidencia: la difusión se debe a un movimiento Browniano que queda descrito matemáticamente por un proceso de Wiener, y tal proceso en un tiempo t también resultará normal con varianza creciendo linealmente con t'.

Más generalmente, si la densidad de masa inicial viene dada por una función φ(x), entonces la densidad de masa en un tiempo t vendrá dada por la convolución de φ y una función de densidad normal.

[editar] Uso en estadística computacional

[editar] Generación de valores para una variable aleatoria normal

Para simulaciones por ordenador es útil, en ocasiones, generar valores que podrían seguir una distribución normal. Hay varios métodos y el más básico de ellos es invertir la función de distribución de la normal estándar. Se conocen otros métodos más eficientes, uno de los cuales es la transformacion de Box-Muller. Un algoritmo incluso más rápido es el algoritmo zigurat. Ambos se discuten más abajo. Una aproximación simple a estos métodos es programarlos como sigue: simplemente súmense 12 desviaciones uniformes (0,1) y réstense 6 (la mitad de 12). Esto es bastante útil en muchas aplicaciones. La suma de esos 12 valores sigue la distribución de Irwin-Hall; son elegidos 12 para dar a la suma una varianza de uno, exactamente. Las desviaciones aleatorias resultantes están limitadas al rango (−6, 6) y tienen una densidad que es una doceava sección de una aproximación polinomial de undécimo orden a la distribución normal .^[10]

El método de Box-Muller dice que, si tienes dos números aleatorios U y V uniformemente distribuidos en (0, 1], (por ejemplo, la salida de un generador de números aleatorios), entonces X e Y son dos variables aleatorias estándar normalmente distribuidas, donde:

Esta formulación aparece porque la distribución χ² con dos grados de libertad (véase la propiedad 4, más arriba) es una variable aleatoria exponencial fácilmente generada (la cual corresponde a la cantidad lnU en estas ecuaciones). Así, un ángulo elegido uniformemente alrededor de un círculo vía la variable aleatoria V y un radio elegido para ser exponencial se transforman entonces en coordenadas x e y normalmente distribuidas.

Un método mucho más rápido que la transformación de Box-Muller, pero que sigue siendo exacto es el llamado algoritmo Zigurat, desarrollado por George Marsaglia. En alrededor del 97% de los casos usa sólo dos números aleatorios, un entero aleatorio y un uniforme aleatorio, una multiplicación y un test-si . Sólo un 3% de los casos donde la combinación de estos dos cae fuera del "corazón del zigurat", un tipo de rechazo muestral usando logaritmos, exponenciales y números aleatorios más uniformes deberían ser empleados.

Hay también alguna investigación sobre la conexión entre la rápida transformación de Hadamard y la distribución normal, en virtud de que la transformación emplea sólo adición y sustracción y por el teorema central del límite los números aleatorios de casi cualquier distribución serán transformados en la distribución normal. En esta visión se pueden combinar una serie de transformaciones de Hadamard con permutaciones aleatorias para devolver conjuntos de datos aleatorios normalmente distribuidos.

[editar] Aproximaciones numéricas de la distribución normal y su función de distribución

La función de distribución normal se usa extensamente en computación científica y estadística. Por consiguiente, ha sido implementada de varias formas.

La Biblioteca Científica GNU calcula valores de la función de distribución normal estándar usando aproximaciones por funciones racionales a trozos. Otro método de aproximación usa polinomios de tercer grado en intervalos.^[11] El artículo sobre el lenguaje de programación bc proporciona un ejemplo de cómo computar la función de distribución en GNU bc.

Para una discusión más detallada sobre cómo calcular la distribución normal, véase la sección 3.4.1C. de The Art of Computer Programming (El arte de la programación por ordenador), de Knuth.

[editar] Véase también

• Carl Friedrich Gauss.
• Cociente intelectual.
• Desenfoque gaussiano y convolución usando la distribución normal como núcleo.
• Distribución χ².
• Distribución de Pearson Familia general de distribuciones de probabilidad que extienden la distribución gaussiana para incluir diferentes valores de asimetrías y curtosis.
• Distribución gaussiana inversa
• Distribución logística
• Distribución log-normal
• Distribución Normal-gamma
• Distribución normal matriz
• Distribución normal multivariante
• Distribución normal torcida
• Distribución normal truncada
• Distribución t de Student
• Distribuciones Tweedie
• Función gaussiana (campana de Gauss).
• Función logit.
• Función probit
• Gradación de la curva campana
• Iannis Xenakis, distribución gaussiana en música.
• Integral del Gausss
• Normalmente distribuidas e incorreladas no implica independencia (un ejemplo de dos variables aleatorias normalmente distribuidas e incorreladas que no son independientes; esto no ocurriría en presencia de una distribución conjunta).
• Problema de Behrens–Fisher
• Proceso de Gauss
  • Puente Browniano
  • Proceso de Ornstein-Uhlenbeck
  • Proceso de Wiener
• Prueba de Mann-Whitney. Método no paramétrico que aproxima a una normal.
• Suma de variables aleatorias normalmente distribuidas
• Tabla distribución normal tipificada
• Tamaño de la muestra
• Teorema Central del Límite.
• Transformación de datos (Estadística). Técnicas simples de transformación de datos en una distribución normal.
• Teorema de Erdős-Kac, sobre la ocurrencia de la distribución normal en teoría de números.

[editar] Referencias

[editar] Enlaces externos

• Áreas bajo la curva normal Tabla conteniendo los valores de la función normal
• Calculadora de probabilidades en una distribución Normal. Permite hacer cálculos directos e inversos.
• Tabla de la distribución normal Tabla de la distribución normal en formato PDF

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la normal, a una serie de datos:

• Easy fit, "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting
• CumFreq [1] , libre sin costo, incluye la distribución normal, la lognormal, raíz-normal, cuadrado-normal, e intervalos de confianza a base de la distribución binomial

En matemáticas, una razón es una relación entre dos números semejantes (es decir, objetos, personas, estudiantes, cucharadas, unidades idénticas de cualquier dimensión), generalmente se expresa como "a es a b" o a:b, a veces se expresa aritméticamente como un cociente adimensional de los dos, que indica de manera explícita las veces que el primer número contiene el segundo.

Razón geométrica

La razón entre el ancho y la altura de un típico monitor de computadora.

La razón geométrica es la comparación de dos cantidades por su cociente, en donde se ve cuántas veces contiene una a la otra. Es necesario tener el dominio o rango para poder sacarla.

Ejemplo: 18 entre 6 es igual a 3 (18 tiene tres veces seis); su razón geométrica es 3.

La razón se puede escribir de 3 formas Ejemplo A. 50 sobre 70 B. 50 es a 70 C. 50: 70 El numerador de la razón se llama antecedente debido a que puede haberse dividido o multiplicado.

Razón aritmética

La razón aritmética de dos cantidades es la diferencia (o resta) de dichas cantidades. La razón aritmética se puede escribir colocando entre las dos cantidades el signo . o bien con el signo -. Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6.4 ó 6-4.

El primer término de una razón aritmética recibe el nombre de antecedente y el segundo el de consecuente. Así en la razón 6-4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

Propiedades de las razones Aritméticas

Como la razón aritmética de dos cantidades no es más que la resta indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda suma o resta.

PRIMERA PROPIEDAD

Si al antecedente se le suma o resta una cantidad la razón aritmética queda aumentada o disminuida dicha cantidad.

• Primer caso (con la suma)

• Segundo caso (con la resta)

SEGUNDA PROPIEDAD

Si al consecuente de una razón aritmética se suma o se resta una cantidad cualquiera, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en la cantidad de veces que indica dicho número.

• Primer caso (sumando una cantidad cualquiera al consecuente)

• Segundo caso (restando una cantidad cualquiera al consecuente)

Proporciones Aritméticas

Una "proporción aritmética" es la = de 2 razones. Las proporciones aritméticas se pueden representar de dos maneras distintas:

• a/b = c/d o bien
• a:b = c:d

y se lee "a es a b como c es a d".

Los términos primero y cuarto de una proporción aritmética reciben el nombre de extremos, mientras que los términos segundo y tercero se denominan medios. Los términos primero y tercero reciben el nombre de antecedentes, mientras que los términos segundo y cuarto se llaman consecuentes.

Así sea la proporción aritmética 10:5 = 8:4. Los términos 10 y 4 (son extremos) y, 5 y 8 (son medios).

Las proporciones aritméticas cuyos medios no son iguales reciben el nombre de proporciones aritméticas discretas. Por el contrario, si los medios de la proporción aritmética son iguales, ésta recibe el nombre de continua. En el caso del ejemplo se trata de una proporción aritmética discreta porque sus medios son desiguales (5 y 8).

En toda proporción (no continua):

• El producto de los extremos será igual al producto de los medios.

(10×4 = 5×8)

Se define la media aritmética de una proporción aritmética continua como cada uno de los medios iguales de dicha proporción aritmética. Sea: 10-8::8-6. La media aritmética es 8.

La media aritmética de una proporción aritmética es igual a la semisuma de los extremos.

La razón geométrica de dos números es el cociente exacto de dividir el primero a por el segundo b y se representa:

Se lee "a" es a "b" como "c" es a "d"

Donde el a, b son entero, fraccionario o mixto (desde el punto de la aritmética).

Las razones se pueden escribir de tres maneras diferentes:

Ejemplo:

Por lo tanto toda razón se puede expresar como una fracción y eventualmente como un decimal.

Véase también

• Proporcionalidad
• Relación de aspecto

El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.

[editar] Formulación general

Uno de los problemas típicos en cálculo diferencial es el de encontrar el valor de x para el cual la función f(x) alcanza un valor extremo (máximo o mínimo). En el cálculo de variaciones el problema es encontrar una función f(x) para la cual un funcional I[f] alcance un valor extremo. El funcional I[f] está compuesto por una integral que depende de x, de la función f(x) y algunas de sus derivadas.

Donde la función f(x) pertenece a algún espacio de funciones (espacio de Banach, espacio de Hilbert), y tanto ella como sus derivadas pueden tener restricciones.

Esta fórmula integral puede ser más complicada permitiendo a x ser un vector, y por lo tanto incluyendo derivadas parciales para f.

[editar] Problemas históricos

[editar] Problema Isoperimétrico

¿Cuál es el área máxima que puede rodearse con una curva de longitud dada?.

Ejemplo: Sean dos puntos A = (a,0),B = (b,0) en el eje x donde la distancia entre ellos está dada. Es decir AB = l. El problema de hallar una curva que maximice el área entre ella y el eje x sería:

Hallar una función f(x) de modo que,

max

con las restricciones

(longitud de arco)

f(a) = f(b) = 0

[editar] Braquistócrona

El problema de la curva braquistócrona se remonta a J. Bernoulli (1696). Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto P = (x₀,y₀) al origen de modo que un punto material que se desliza sin fricción sobre ella tarda el menor tiempo posible en ir de P al origen. Usando principios de mecánica clásica el problema puede formularse como,

min

donde g es la gravedad y las restricciones son, f(0) = 0, f(x₀) = y₀. Hay que notar que en x = x₀ existe una singularidad.

[editar] Véase también

• Ecuaciones de Euler-Lagrange.

La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.

[editar] Símbolo

El símbolo matemático '∝' se utiliza para indicar que dos valores son proporcionales. Por ejemplo, A ∝ B.

En Unicode este es el símbolo: U+221D.

[editar] Primer ejemplo

La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar) tendrá el mismo sabor que el otro, si el cocinero aficionado se muestra tan bueno como el chef que escribió la receta.

Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ( en el ejemplo) tal que

Si se consideran e como valores de variables e , entonces se dice que estas variables son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x.
La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):

Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente.

La relación «Ser proporcional a» es

• reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
• simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y
• transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes)

por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).

La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:

por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.

Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.

Una proporción está formada por dos razones iguales:

a : b = c : d

Dónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d .

Proporción múltiple:

Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales:

a : b = c : d = e : f

Y se puede expresar como una proporción múltiple:

a : c : e = b : d : f

En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios.

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:

1. verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por ; en la segunda línea se tiene que multiplicar por , luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)
2. verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o
3. verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un gran interés en este contexto). ya que no se puede comprobar.

[editar] Segundo ejemplo

Dos albañiles construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas; ¿ Qué superficie construirán cinco albañiles en cuatro horas ?

Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesis subyacentes.

Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.

Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia: ¿ Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas ? El parámetro "número de albañiles" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla roja). La superficie construida será multiplicada por . Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por (la subtabla azul es proporcional).

El resultado final es

metros cuadrados.

La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor:

[editar] Tercer ejemplo

Dos autos recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha tomado dos horas y media llegar al destino, rodando a una velocidad promedia de 70 km/h. El segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar?

Entre mayor velocidad tenga uno, menor tiempo durará el viaje. Si se multiplica por dos la velocidad, la duración del viaje se dividirá por dos. Aquí, claramente el tiempo del recorrido no es proporcional a la velocidad sino justamente lo contrario: es inversamente proporcional, es decir proporcional a la inversa de la velocidad. Esto permite responder a la pregunta:

cambiando una multiplicación por una división (primera tabla) o aplicando la proporcionalidad con la inversa de la velocidad (segunda tabla). El tiempo será , es decir una hora y 45 minutos.

Más generalmente, si una variable y es inversamente proporcional a otra variable x, se puede aplicar la proporcionalidad con , o más bien utilizar la siguiente equivalencia:

Es decir que el producto de los valores correspondientes (aquí en la misma línea) es constante. En el ejemplo: 70 × 2,5 = 100 × 1, 75 = 175 km, que es la longitud del recorrido.

Una tabla de variación proporcional es aquella que sigue una secuencia utilizando de base el precio de algún objeto u otra cosa que pueda aumentar o disminuir cierto número u objeto de forma proporcional. ejem:

número de canicas precio

Magnitudes Directamente Proporcionales:

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número,la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número.

Ejemplo:

Un automóvil consume 3 galones de gasolina por 120 km de recorrido ¿Cuantos kilómetros recorre con 20 galones?

Observamos que las magnitudes son directas Si la razón o cociente entre ellas es un valor constante.Con los datos de la tabla, hallamos la razón.

Elaboramos una tabla de proporcionalidad:

Gasolina 3 1 10 20 40 (galones)

Recorrido 120 40 400 800 1600 (kilómetros)

Con 20 galones de gasolina, el auto recorre 800 kilómetros: Mientras más kilómetros se recorran, mas galones de gasolina de consumirán. El número de kilómetros recorridos es directamente proporcional (D.P) al número de galones de gasolina. Siempre que las demás condiciones se mantuvieran constantes. Esto es, que no se modificaran las condiciones climáticas o geográficas que modificaran el consumo.

[editar] Aplicación en geometría

El concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se comparan dos triángulos semejantes. De hecho las propiedades de la proporcionalidad (reflexividad, simetría y transitividad) son las mismas que las de la semejanza.

[editar] Véase también

• Correlación
• Eudoxo de Cnidos
• Número áureo
• Tamaño de la muestra
• Triángulos semejantes

[editar] Enlaces externos

• Weisstein, Eric W., «Proportional» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, http://mathworld.wolfram.com/Proportional.html .

Función de densidad de probabilidad La línea verde corresponde a la distribución normal estandar
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	σ > 0
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana
Moda
Varianza
Coeficiente de simetría	0
Curtosis	0
Entropía
Función generadora de momentos (mgf)
Función característica

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.

La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:

• caracteres morfológicos de individuos como la estatura;
• caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
• caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;
• caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
• nivel de ruido en telecomunicaciones;
• errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
• etc.

La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.^[1] Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".

En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas.

[editar] Historia

Abraham de Moivre, descubridor de la distribución normal

La distribución normal fue presentada por vez primera por Abraham de Moivre en un artículo del año 1733,^[2] que fue reimpreso en la segunda edición de su The Doctrine of Chances, de 1738, en el contexto de cierta aproximación de la distribución binomial para grandes valores de n. Su resultado fue ampliado por Laplace en su libro Teoría analítica de las probabilidades (1812), y en la actualidad se llama Teorema de De Moivre-Laplace.

Laplace usó la distribución normal en el análisis de errores de experimentos. El importante método de mínimos cuadrados fue introducido por Legendre en 1805. Gauss, que afirmaba haber usado el método desde 1794, lo justificó rigurosamente en 1809 asumiendo una distribución normal de los errores. El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con profusión cuando analizaba datos astronómicos^[3] y algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre.^[4] Esta atribución del nombre de la distribución a una persona distinta de su primer descubridor es un claro ejemplo de la Ley de Stigler.

El nombre de "campana" viene de Esprit Jouffret que usó el término "bell surface" (superficie campana) por primera vez en 1872 para una distribución normal bivariante de componentes independientes. El nombre de "distribución normal" fue otorgado independientemente por Charles S. Peirce, Francis Galton y Wilhelm Lexis hacia 1875.^{[cita requerida]} A pesar de esta terminología, otras distribuciones de probabilidad podrían ser más apropiadas en determinados contextos; véase la discusión sobre ocurrencia, más abajo.

[editar] Definición formal

Hay varios modos de definir formalmente una distribución de probabilidad. La forma más visual es mediante su función de densidad. De forma equivalente, también pueden darse para su definición la función de distribución, los momentos, la función característica y la función generatriz de momentos, entre otros.

[editar] Función de densidad

Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si su función de densidad está dada por:

donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación típica (σ² es la varianza).^[5]

Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros toman los valores μ = 0 y σ = 1. En este caso la función de densidad tiene la siguiente expresión:

Su gráfica se muestra a la derecha y con frecuencia se usan tablas para el cálculo de los valores de su distribución.

[editar] Función de distribución

La función de distribución de la distribución normal está definida como sigue:

Por tanto, la función de distribución de la normal estándar es:

Esta función de distribución puede expresarse en términos de una función especial llamada función error de la siguiente forma:

y la propia función de distribución puede, por consiguiente, expresarse así:

El complemento de la función de distribución de la normal estándar, 1 − Φ(x), se denota con frecuencia Q(x), y es referida, a veces, como simplemente función Q, especialmente en textos de ingeniería.^{[6] [7]} Esto representa la cola de probabilidad de la distribución gaussiana. También se usan ocasionalmente otras definiciones de la función Q, las cuales son todas ellas transformaciones simples de Φ.^[8]

La inversa de la función de distribución de la normal estándar (función cuantil) puede expresarse en términos de la inversa de la función de error:

y la inversa de la función de distribución puede, por consiguiente, expresarse como:

Esta función cuantil se llama a veces la función probit. No hay una primitiva elemental para la función probit. Esto no quiere decir meramente que no se conoce, sino que se ha probado la inexistencia de tal función. Existen varios métodos exactos para aproximar la función cuantil mediante la distribución normal (véase función cuantil).

Los valores Φ(x) pueden aproximarse con mucha precisión por distintos métodos, tales como integración numérica, series de Taylor, series asintóticas y fracciones continuas.

[editar] Límite inferior y superior estrictos para la función de distribución

Para grandes valores de x la función de distribución de la normal estándar es muy próxima a 1 y está muy cerca de 0. Los límites elementales

en términos de la densidad son útiles.

Usando el cambio de variable v = u²/2, el límite superior se obtiene como sigue:

De forma similar, usando y la regla del cociente,

Resolviendo para proporciona el límite inferior.

[editar] Funciones generadoras

[editar] Función generadora de momentos

La función generadora de momentos se define como la esperanza de e^(tX). Para una distribución normal, la función generadora de momentos es:

como puede comprobarse completando el cuadrado en el exponente.

[editar] Función característica

La función característica se define como la esperanza de e^itX, donde i es la unidad imaginaria. De este modo, la función característica se obtiene reemplazando t por it en la función generadora de momentos.

Para una distribución normal, la función característica es^[9]

[editar] Propiedades

Algunas propiedades de la distribución normal son:

1. Es simétrica respecto de su media, μ;
   

   

   Distribución de probabilidad alrededor de la media en una distribución N(μ, σ).
2. La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ;
3. Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ.
4. Distribución de probabilidad en un entorno de la media:
   1. en el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución;
   2. en el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución;
   3. por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.
5. Si X ~ N(μ, σ²) y a y b son números reales, entonces (aX + b) ~ N(aμ+b, a²σ²).
6. Si X ~ N(μ_x, σ_x²) e Y ~ N(μ_y, σ_y²) son variables aleatorias normales independientes, entonces:
   • Su suma está normalmente distribuida con U = X + Y ~ N(μ_x + μ_y, σ_x² + σ_y²) (demostración). Recíprocamente, si dos variables aleatorias independientes tienen una suma normalmente distribuida, deben ser normales (Teorema de Crámer).
   • Su diferencia está normalmente distribuida con .
   • Si las varianzas de X e Y son iguales, entonces U y V son independientes entre sí.
   • La divergencia de Kullback-Leibler,
7. Si e son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas, entonces:
   • Su producto XY sigue una distribución con densidad p dada por donde K₀ es una función de Bessel modificada de segundo tipo.
   • Su cociente sigue una distribución de Cauchy con X / Y˜Cauchy(0,σ_X / σ_Y). De este modo la distribución de Cauchy es un tipo especial de distribución cociente.
8. Si son variables normales estándar independientes, entonces sigue una distribución χ² con n grados de libertad.
9. Si son variables normales estándar independientes, entonces la media muestral y la varianza muestral son independientes. Esta propiedad caracteriza a las distribuciones normales y contribuye a explicar por qué el test-F no es robusto respecto a la no-normalidad).

[editar] Estandarización de variables aleatorias normales

Como consecuencia de la Propiedad 1; es posible relacionar todas las variables aleatorias normales con la distribución normal estándar.

Si X ~ N(μ,σ²), entonces

es una variable aleatoria normal estándar: Z ~ N(0,1).

La transformación de una distribución X ~ N(μ, σ) en una N(0, 1) se llama normalización, estandarización o tipificación de la variable X.

Una consecuencia importante de esto es que la función de distribución de una distribución normal es, por consiguiente,

A la inversa, si Z es una distribución normal estándar, Z ~ N(0,1), entonces

es una variable aleatoria normal tipificada de media μ y varianza σ².

La distribución normal estándar está tabulada (habitualmente en la forma de el valor de la función de distribución Φ) y las otras distribuciones normales pueden obtenerse como transformaciones simples, como se describe más arriba, de la distribución estándar. De este modo se pueden usar los valores tabulados de la función de distribución normal estándar para encontrar valores de la función de distribución de cualquier otra distribución normal.

[editar] Momentos

Los primeros momentos de la distribución normal son:

Todos los cumulantes de la distribución normal, más allá del segundo, son cero.

Los momentos centrales de orden superior (2k con μ = 0) vienen dados por la fórmula

[editar] El Teorema del Límite Central

Gráfica de la función de distribución de una normal con μ = 12 y σ = 3, aproximando la función de distribución de una binomial con n = 48 y p = 1/4

El Teorema del límite central establece que bajo ciertas condiciones (como pueden ser independientes e idénticamente distribuidas con varianza finita), la suma de un gran número de variables aleatorias se distribuye aproximadamente como una normal.

La importancia práctica del Teorema del límite central es que la función de distribución de la normal puede usarse como aproximación de algunas otras funciones de distribución. Por ejemplo:

• Una distribución binomial de parámetros n y p es aproximadamente normal para grandes valores de n, y p no demasiado cercano a 1 ó 0 (algunos libros recomiendan usar esta aproximación sólo si np y n(1 − p) son ambos, al menos, 5; en este caso se debería aplicar una corrección de continuidad).
  La normal aproximada tiene parámetros μ = np, σ² = np(1 − p).

• Una distribución de Poisson con parámetro λ es aproximadamente normal para grandes valores de λ.
  La distribución normal aproximada tiene parámetros μ = σ² = λ.

La exactitud de estas aproximaciones depende del propósito para el que se necesiten y de la tasa de convergencia a la distribución normal. Se da el caso típico de que tales aproximaciones son menos precisas en las colas de la distribución. El Teorema de Berry-Esséen proporciona un límite superior general del error de aproximación de la función de distribución.

[editar] Divisibilidad infinita

Las normales tienen una distribución de probabilidad infinitamente divisible: dada una media μ, una varianza σ ² ≥ 0, y un número natural n, la suma X₁ + . . . + X_n de n variables aleatorias independientes

tiene esta específica distribución normal (para verificarlo, úsese la función característica de convolución y la inducción matemática).

[editar] Estabilidad

Las distribuciones normales son estrictamente estables.

[editar] Desviación típica e intervalos de confianza

Alrededor del 68% de los valores de una distribución normal están a una distancia σ > 1 (desviación típica) de la media, μ; alrededor del 95% de los valores están a dos desviaciones típicas de la media y alrededor del 99,7% están a tres desviaciones típicas de la media. Esto se conoce como la "regla 68-95-99,7" o la "regla empírica".

Para ser más precisos, el área bajo la curva campana entre μ − nσ y μ + nσ en términos de la función de distribución normal viene dada por

donde erf es la función error. Con 12 decimales, los valores para los puntos 1-, 2-, hasta 6-σ son:

1	0,682689492137
2	0,954499736104
3	0,997300203937
4	0,999936657516
5	0,999999426697
6	0,999999998027

La siguiente tabla proporciona la relación inversa de múltiples σ correspondientes a unos pocos valores usados con frecuencia para el área bajo la campana de Gauss. Estos valores son útiles para determinar intervalos de confianza para los niveles especificados basados en una curva normalmente distribuida (o estimadores asintóticamente normales):

0,80	1,28155
0,90	1,64485
0,95	1,95996
0,98	2,32635
0,99	2,57583
0,995	2,80703
0,998	3,09023
0,999	3,29052
0,9999	3,8906
0,99999	4,4172

donde el valor a la izquierda de la tabla es la proporción de valores que caerán en el intervalo dado y n es un múltiplo de la desviación típica que determina la anchura de el intervalo.

[editar] Forma familia exponencial

La distribución normal tiene forma de familia exponencial biparamétrica con dos parámetros naturales, μ y 1/σ², y estadísticos naturales X y X². La forma canónica tiene como parámetros y y estadísticos suficientes y

[editar] Distribución normal compleja

Considérese la variable aleatoria compleja gaussiana

donde X e Y son variables gaussianas reales e independientes con igual varianza . La función de distribución de la variable conjunta es entonces

Como , la función de distribución resultante para la variable gaussiana compleja Z es

[editar] Distribuciones relacionadas

• R˜Rayleigh(σ) es una distribución de Rayleigh si donde y son dos distribuciones normales independientes.

• es una distribución χ² con ν grados de libertad si donde X_k˜N(0,1) para y son independientes.

• Y˜Cauchy(μ = 0,θ = 1) es una distribución de Cauchy si Y = X₁ / X₂ para X₁˜N(0,1) y X₂˜N(0,1) son dos distribuciones normales independientes.

• Y˜Log-N(μ,σ²) es una distribución log-normal si Y = e^X y X˜N(μ,σ²).

• Relación con una distribución estable: si entonces X˜N(μ,σ²).

• Distribución normal truncada. si entonces truncando X por debajo de A y por encima de B dará lugar a una variable aleatoria de media donde y es la función de densidad de una variable normal estándar.

• Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida e Y = | X | , entonces Y tiene una distribución normal doblada.

[editar] Estadística descriptiva e inferencial

[editar] Resultados

De la distribución normal se derivan muchos resultados, incluyendo rangos de percentiles ("percentiles" o "cuantiles"), curvas normales equivalentes, stanines, z-scores, y T-scores. Además, un número de procedimientos de estadísticos de comportamiento están basados en la asunción de que esos resultados están normalmente distribuidos. Por ejemplo, el test de Student y el análisis de varianza (ANOVA) (véase más abajo). La gradación de la curva campana asigna grados relativos basados en una distribución normal de resultados.

[editar] Tests de normalidad

Los tests de normalidad se aplican a conjuntos de datos para determinar su similitud con una distribución normal. La hipótesis nula es, en estos casos, si el conjunto de datos es similar a una distribución normal, por lo que un P-valor suficientemente pequeño indica datos no normales.

• Prueba de Kolmogórov-Smirnov
• Test de Lilliefors
• Test de Anderson–Darling
• Test de Ryan–Joiner
• Test de Shapiro–Wilk
• Normal probability plot (rankit plot)
• Test de Jarque–Bera
• Test omnibús de Spiegelhalter

[editar] Estimación de parámetros

[editar] Estimación de parámetros de máxima verosimilitud

Supóngase que

son independientes y cada una está normalmente distribuida con media μ y varianza σ ² > 0. En términos estadísticos los valores observados de estas n variables aleatorias constituyen una "muestra de tamaño n de una población normalmente distribuida. Se desea estimar la media poblacional μ y la desviación típica poblacional σ, basándose en las valores observados de esta muestra. La función de densidad conjunta de estas n variables aleatorias independientes es

Como función de μ y σ, la función de verosimilitud basada en las observaciones X₁, ..., X_n es

con alguna constante C > 0 (de la cual, en general, se permitiría incluso que dependiera de X₁, ..., X_n, aunque desapareciera con las derivadas parciales de la función de log-verosimilitud respecto a los parámetros tenidos en cuenta, véase más abajo).

En el método de máxima verosimilitud, los valores de μ y σ que maximizan la función de verosimilitud se toman como estimadores de los parámetros poblacionales μ y σ.

Habitualmente en la maximización de una función de dos variables, se podrían considerar derivadas parciales. Pero aquí se explota el hecho de que el valor de μ que maximiza la función de verosimilitud con σ fijo no depende de σ. No obstante, encontramos que ese valor de μ, entonces se sustituye por μ en la función de verosimilitud y finalmente encontramos el valor de σ que maximiza la expresión resultante.

Es evidente que la función de verosimilitud es una función decreciente de la suma

Así que se desea el valor de μ que minimiza esta suma. Sea

la media muestral basada en las n observaciones. Nótese que

Sólo el último término depende de μ y se minimiza por

Esta es la estimación de máxima verosimilitud de μ basada en las n observaciones X₁, ..., X_n. Cuando sustituimos esta estimación por μ en la función de verosimilitud, obtenemos

Se conviene en denotar la "log-función de verosimilitud", esto es, el logaritmo de la función de verosimilitud, con una minúscula ℓ, y tenemos

entonces

Esta derivada es positiva, cero o negativa según σ² esté entre 0 y

o sea igual a esa cantidad, o mayor que esa cantidad. (Si hay solamente una observación, lo que significa que n = 1, o si X₁ = ... = X_n, lo cual sólo ocurre con probabilidad cero, entonces por esta fórmula, refleja el hecho de que en estos casos la función de verosimilitud es ilimitada cuando σ decrece hasta cero.)

Consecuentemente esta media de cuadrados de residuos es el estimador de máxima verosimilitud de σ², y su raíz cuadrada es el estimador de máxima verosimilitud de σ basado en las n observaciones. Este estimador es sesgado, pero tiene un menor error medio al cuadrado que el habitual estimador insesgado, que es n/(n − 1) veces este estimador.

[editar] Sorprendente generalización

La derivada del estimador de máxima verosimilitud de la matriz de covarianza de una distribución normal multivariante es despreciable. Involucra el teorema espectral y la razón por la que puede ser mejor para ver un escalar como la traza de una matriz 1×1 matrix que como un mero escalar. Véase estimación de la covarianza de matrices.

[editar] Estimación insesgada de parámetros

El estimador de máxima verosimilitud de la media poblacional μ, es un estimador insesgado de la media poblacional.

El estimador de máxima verosimilitud de la varianza es insesgado si asumimos que la media de la población es conocida a priori, pero en la práctica esto no ocurre. Cuando disponemos de una muestra y no sabemos nada de la media o la varianza de la población de la que se ha extraído, como se asumía en la derivada de máxima verosimilitud de arriba, entonces el estimador de máxima verosimilitud de la varianza es sesgado. Un estimador insesgado de la varianza σ² es la cuasi varianza muestral:

que sigue una distribución Gamma cuando las X_i son normales independientes e idénticamente distribuidas:

con media y varianza

La estimación de máxima verosimilitud de la desviación típica es la raíz cuadrada de la estimación de máxima verosimilitud de la varianza. No obstante, ni ésta, ni la raíz cuadrada de la cuasivarianza muestral proporcionan un estimador insesgado para la desviación típica (véase estimación insesgada de la desviación típica para una fórmula particular para la distribución normal.

[editar] Incidencia

Las distribuciones aproximadamente normales aparecen por doquier, como queda explicado por el teorema central del límite. Cuando en un fenómeno se sospecha la presencia de un gran número de pequeñas causas actuando de forma aditiva e independiente es razonable pensar que las observaciones serán "normales". Hay métodos estadísticos para probar empíricamente esta asunción, por ejemplo, el test de Kolmogorov-Smirnov.

Hay causas que pueden actuar de forma multiplicativa (más que aditiva). En este caso, la asunción de normalidad no está justificada y es el logaritmo de la variable en cuestión el que estaría normalmente distribuido. La distribución de las variables directamente observadas en este caso se denomina log-normal.

Finalmente, si hay una simple influencia externa que tiene un gran efecto en la variable en consideración, la asunción de normalidad no está tampoco justificada. Esto es cierto incluso si, cuando la variable externa se mantiene constante, las distribuciones marginales resultantes son, en efecto, normales. La distribución completa será una superposición de variables normales, que no es en general normal. Ello está relacionado con la teoría de errores (véase más abajo).

A continuación se muestran una lista de situaciones que estarían, aproximadamente, normalmente distribuidas. Más abajo puede encontrarse una discusión detallada de cada una de ellas:

• En problemas de recuento, donde el teorema central del límite incluye una aproximación de discreta a continua y donde las distribuciones infinitamente divisibles y descomponibles están involucradas, tales como:
  • variables aleatorias binomiales, asociadas con preguntas sí/no;
  • variables aleatorias de Poisson, asociadas con eventos raros;
• En medidas fisiológicas de especímenes biológicos:
  • El logaritmo de las medidas del tamaño de tejidos vivos (longitud, altura, superficie de piel, peso);
  • La longitud de apéndices inertes (pelo, garras, rabos, dientes) de especímenes biológicos en la dirección del crecimento;
  • Otras medidas fisiológicas podrían estar normalmente distribuidas, aunque no hay razón para esperarlo a priori;
• Se asume con frecuencia que los errores de medida están normalmente distribuidos y cualquier desviación de la normalidad se considera una cuestión que debería explicarse;
• Variables financieras, en el modelo Black-Scholes:
  • Cambios en el logaritmo de

Changes in the logarithm of tasas de cambio, índices de precios, índices de existencias de mercado; estas variables se comportan como el interés compuesto, no como el interés simple, por tanto, son multiplicativas;

• • Mientras que el modelo Black-Scholes presupone normalidad, en realidad estas variables exhiben colas pesadas, como puede verse en crash de las existencias de mercado;
  • Otras variables financieras podrían estar normalmente distribuidas, pero no hay razón para esperarlo a priori;
• Intensidad de la luz:
  • La intensidad de la luz láser está normalmente distribuida;
  • La luz térmica tiene una distribución de Bose-Einstein en escalas de tiempo muy breves y una distribución normal en grandes escalas de tiempo debido al teorema central del límite.

Es relevante para la biolgía y la economía el hecho de que los sistemas complejos tienden a mostrar power laws más que normal.

[editar] Recuento de fotones

La intensidad de la luz de una sola fuente varía con el tiempo, así como las fluctuaciones térmicas que pueden observarse si la luz se analiza a una resolución suficientemente alta. La mecánica cuántica interpreta las medidas de la intensidad de la luz como un recuento de fotones, donde la asunción natural es usar la distribución de Poisson. Cuando la intensidad de la luz se integra a lo largo de grandes periodos de tiempo mayores que el tiempo de coherencia, la aproximación Poisson - Normal es apropiada.

[editar] Medida de errores

La normalidad es la asunción central de la teoría matemática de errores. De forma similar en el ajuste de modelos estadístico, un indicador de la bondad del ajuste es que el error residual (así es como se llaman los errores en esta circunstancia) sea independiente y normalmente distribuido. La asunción es que cualquier desviación de la normalidad necesita ser explicada. En ese sentido, en ambos, ajuste de modelos y teoría de errores, la normalidad es la única observación que no necesita ser explicada, sino que es esperada. No obstante, si los datos originales no están normalmente distribuidos (por ejemplo, si siguen una distribución de Cauchy, entonces los residuos tampoco estarán normalmente distribuidos. Este hecho es ignorado habitualmente en la práctica.

Las medidas repetidas de la misma cantidad se espera que cedan el paso a resultados que están agrupados entorno a un valor particular. Si todas las fuentes principales de errores se han tomado en cuenta, se asume que el error que queda debe ser el resultado de un gran número de muy pequeños y aditivos efectos y, por consiguiente, normal. Las desviaciones de la normalidad se interpretan como indicaciones de errores sistemáticos que no han sido tomados en cuenta. Puede debatirse si esta asunción es válida.

Una famosa observación atribuida a Gabriel Lippmann dice:^{[cita requerida]}

Otra fuente podría ser Henri Poincaré.

[editar] Características físicas de especímenes biológicos

Los tamaños de los animales adultos siguen aproximadamente una distribución lognormal. La evidencia y explicación basada en modelos de crecimiento fue publicada por primera vez en el libro Problemas de crecimiento relativo, de 1932, por Julian Huxley.

Las diferencias de tamaño debido a dimorfismos sexuales u otros polimorfismos de insectos, como la división social de las abejas en obreras, zánganos y reinas, por ejemplo, hace que la distribución de tamaños se desvíe hacia la lognormalidad.

La asunción de que el tamaño lineal de los especímenes biológicos es normal (más que lognormal) nos lleva a una distribución no normal del peso (puesto que el peso o el volumen es proporcional al cuadrado o el cubo de la longitud y las distribuciones gaussianas sólo mantienen las transformaciones lineales). A la inversa, asumir que el peso sigue una distribución normal implica longitudes no normales. Esto es un problema porque, a priori, no hay razón por la que cualquiera de ellas (longitud, masa corporal u otras) debería estar normalmente distribuida. Las distribuciones lognormales, por otro lado, se mantienen entre potencias, así que el "problema" se desvanece si se asume la lognormalidad.

Por otra parte, hay algunas medidas biológicas donde se asume normalidad, tales como la presión sanguínea en humanos adultos. Esta asunción sólo es posible tras separar a hombres y mujeres en distintas poblaciones, cada una de las cuales está normalmente distribuida.

[editar] Variables financieras

El modelo normal de movimiento de activos no incluye movimientos extremos tales como quiebras financieras.

Ya en 1900 Louis Bachelier propuso representar los precios de cambio usando la distribución normal. Esta aproximación se ha modificado desde entonces ligeramente. A causa de la naturaleza multiplicativa del interés compuesto, los indicadores financieros como valores de mercado y precios de las materias primas exhiben un "comportamiento multiplicativo". Como tales, sus cambios periódicos (por ejemplo, cambios anuales) no son normales, sino lognormales. Esta es todavía la hipótesis más comúnmente aceptada en economía.

No obstante, en realidad las variables financieras exhiben colas pesadas y así, la asunción de normalidad infravalora la probabilidad de eventos extremos como quiebras financieras. Se han sugerido correcciones a este modelo por parte de matemáticos como Benoît Mandelbrot, quien observó que los cambios en el logaritmo durante breves periodos de tiempo (como un día) se aproximan bien por distribuciones que no tienen una varianza finita y, por consiguiente, el teorema central del límite no puede aplicarse. Más aún, la suma de muchos de tales cambios sigue una distribución de log-Levy.

[editar] Distribuciones en tests de inteligencia

A veces, la dificultad y número de preguntas en un test de inteligencia se selecciona de modo que proporcionen resultados normalmente distribuidos. Más aún, las puntuaciones "en crudo" se convierten a valores que marcan el cociente intelectual ajustándolas a la distribución normal. En cualquier caso se trata de un resultado causado deliberadamente por la construcción del test o de una interpretación de las puntuaciones que sugiere normalidad para la mayoría de la población. Sin embargo, la cuestión acerca de si la inteligencia en sí está normalmente distribuida es más complicada porque se trata de una variable latente y, por consiguiente, no puede observarse directamente.

[editar] Ecuación de difusión

La función de densidad de la distribución normal está estrechamente relacionada con la ecuación de difusión (homogénea e isótropa) y, por tanto, también con la ecuación de calor. Esta ecuación diferencial parcial describe el tiempo de evolución de una función de densidad bajo difusión. En particular, la función de densidad de masa

para la distribución normal con esperanza 0 y varianza t satisface la ecuación de difusión:

Si la densidad de masa para un tiempo t = 0 viene dada por la delta de Dirac, lo cual significa, esencialemente que toda la masa está inicialmente concentrada en un punto, entonces la función de densidad de masa en el tiempo t tendrá la forma de la función de densidad de la normal, con varianza creciendo linealmente con t. Esta conexión no es coincidencia: la difusión se debe a un movimiento Browniano que queda descrito matemáticamente por un proceso de Wiener, y tal proceso en un tiempo t también resultará normal con varianza creciendo linealmente con t'.

Más generalmente, si la densidad de masa inicial viene dada por una función φ(x), entonces la densidad de masa en un tiempo t vendrá dada por la convolución de φ y una función de densidad normal.

[editar] Uso en estadística computacional

[editar] Generación de valores para una variable aleatoria normal

Para simulaciones por ordenador es útil, en ocasiones, generar valores que podrían seguir una distribución normal. Hay varios métodos y el más básico de ellos es invertir la función de distribución de la normal estándar. Se conocen otros métodos más eficientes, uno de los cuales es la transformacion de Box-Muller. Un algoritmo incluso más rápido es el algoritmo zigurat. Ambos se discuten más abajo. Una aproximación simple a estos métodos es programarlos como sigue: simplemente súmense 12 desviaciones uniformes (0,1) y réstense 6 (la mitad de 12). Esto es bastante útil en muchas aplicaciones. La suma de esos 12 valores sigue la distribución de Irwin-Hall; son elegidos 12 para dar a la suma una varianza de uno, exactamente. Las desviaciones aleatorias resultantes están limitadas al rango (−6, 6) y tienen una densidad que es una doceava sección de una aproximación polinomial de undécimo orden a la distribución normal .^[10]

El método de Box-Muller dice que, si tienes dos números aleatorios U y V uniformemente distribuidos en (0, 1], (por ejemplo, la salida de un generador de números aleatorios), entonces X e Y son dos variables aleatorias estándar normalmente distribuidas, donde:

Esta formulación aparece porque la distribución χ² con dos grados de libertad (véase la propiedad 4, más arriba) es una variable aleatoria exponencial fácilmente generada (la cual corresponde a la cantidad lnU en estas ecuaciones). Así, un ángulo elegido uniformemente alrededor de un círculo vía la variable aleatoria V y un radio elegido para ser exponencial se transforman entonces en coordenadas x e y normalmente distribuidas.

Un método mucho más rápido que la transformación de Box-Muller, pero que sigue siendo exacto es el llamado algoritmo Zigurat, desarrollado por George Marsaglia. En alrededor del 97% de los casos usa sólo dos números aleatorios, un entero aleatorio y un uniforme aleatorio, una multiplicación y un test-si . Sólo un 3% de los casos donde la combinación de estos dos cae fuera del "corazón del zigurat", un tipo de rechazo muestral usando logaritmos, exponenciales y números aleatorios más uniformes deberían ser empleados.

Hay también alguna investigación sobre la conexión entre la rápida transformación de Hadamard y la distribución normal, en virtud de que la transformación emplea sólo adición y sustracción y por el teorema central del límite los números aleatorios de casi cualquier distribución serán transformados en la distribución normal. En esta visión se pueden combinar una serie de transformaciones de Hadamard con permutaciones aleatorias para devolver conjuntos de datos aleatorios normalmente distribuidos.

[editar] Aproximaciones numéricas de la distribución normal y su función de distribución

La función de distribución normal se usa extensamente en computación científica y estadística. Por consiguiente, ha sido implementada de varias formas.

La Biblioteca Científica GNU calcula valores de la función de distribución normal estándar usando aproximaciones por funciones racionales a trozos. Otro método de aproximación usa polinomios de tercer grado en intervalos.^[11] El artículo sobre el lenguaje de programación bc proporciona un ejemplo de cómo computar la función de distribución en GNU bc.

Para una discusión más detallada sobre cómo calcular la distribución normal, véase la sección 3.4.1C. de The Art of Computer Programming (El arte de la programación por ordenador), de Knuth.

[editar] Véase también

• Carl Friedrich Gauss.
• Cociente intelectual.
• Desenfoque gaussiano y convolución usando la distribución normal como núcleo.
• Distribución χ².
• Distribución de Pearson Familia general de distribuciones de probabilidad que extienden la distribución gaussiana para incluir diferentes valores de asimetrías y curtosis.
• Distribución gaussiana inversa
• Distribución logística
• Distribución log-normal
• Distribución Normal-gamma
• Distribución normal matriz
• Distribución normal multivariante
• Distribución normal torcida
• Distribución normal truncada
• Distribución t de Student
• Distribuciones Tweedie
• Función gaussiana (campana de Gauss).
• Función logit.
• Función probit
• Gradación de la curva campana
• Iannis Xenakis, distribución gaussiana en música.
• Integral del Gausss
• Normalmente distribuidas e incorreladas no implica independencia (un ejemplo de dos variables aleatorias normalmente distribuidas e incorreladas que no son independientes; esto no ocurriría en presencia de una distribución conjunta).
• Problema de Behrens–Fisher
• Proceso de Gauss
  • Puente Browniano
  • Proceso de Ornstein-Uhlenbeck
  • Proceso de Wiener
• Prueba de Mann-Whitney. Método no paramétrico que aproxima a una normal.
• Suma de variables aleatorias normalmente distribuidas
• Tabla distribución normal tipificada
• Tamaño de la muestra
• Teorema Central del Límite.
• Transformación de datos (Estadística). Técnicas simples de transformación de datos en una distribución normal.
• Teorema de Erdős-Kac, sobre la ocurrencia de la distribución normal en teoría de números.

[editar] Referencias

[editar] Enlaces externos

• Áreas bajo la curva normal Tabla conteniendo los valores de la función normal
• Calculadora de probabilidades en una distribución Normal. Permite hacer cálculos directos e inversos.
• Tabla de la distribución normal Tabla de la distribución normal en formato PDF

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la normal, a una serie de datos:

• Easy fit, "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting
• CumFreq [1] , libre sin costo, incluye la distribución normal, la lognormal, raíz-normal, cuadrado-normal, e intervalos de confianza a base de la distribución binomial

En ingeniería y física, el error aleatorio es aquel error inevitable que se produce por eventos únicos imposibles de controlar durante el proceso de medición. Se contrapone al concepto de error sistemático.

En un estudio de investigación, el error aleatorio viene determinado por el hecho de tomar sólo una muestra de una población para realizar inferencias. Puede disminuirse aumentando el tamaño de la muestra. Cuantificación:

1. Prueba de hipótesis
2. o cálculo de intervalo de confianza

Las fuentes de los errores aleatorios son difíciles de identificar o sus efectos no pueden corregirse del todo. Son numerosos y pequeños pero su acumulación hace que las medidas fluctuen alrededor de una media