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MATEMÁTICAS4: ¿ES LO MISMO EL LÍMITE QUE EL TÉRMINO O EL FÍN?. En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

petalofucsia - 20 de junio de 2011 - 20:12 - Matemáticas4

Límite matemático

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En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

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[editar] Límite de una sucesión

La sucesión

a n = 2 (4 - n)

para $scriptstyle n in mathbb{N}_0$ converge al valor 0, como se puede ver en la ilustración.

Artículo principal: Límite de una sucesión

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto $L$ , si existe, para valores grandes de $n$ . Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando $x$ tiende a $infty$ .

Formalmente, se dice que la sucesión $a n$ tiende hasta su límite $L$ , o que converge o es convergente (a $L$ ), y se denota como:

$lim_{ntoinfty}a_n = L$

si y sólo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural $N$ tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural $n$ mayor que $N$ converjan a $L$ cuando $n$ crezca sin cota.

Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

$a_n to L Leftrightarrow$ $forallvarepsilon>0, exists N>0 : forall n > N, |a_n - L|<varepsilon$

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

[editar] Límite de una función

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Artículo principal: Límite de una función

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

$lim_{xto c} , , f(x) = L$

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más escricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f de x cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

$begin{array}{l} underset {xto c}{lim} , , f(x) = L iff forall varepsilon > 0 exists delta > 0 : 0<|x-c|<delta longrightarrow |f(x)-L|<varepsilon end{array}$

[editar] Límite de una sucesión de conjuntos

Artículo principal: Límite (sucesión de conjuntos)

En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera $A n$ , se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales,

$lim_{nrightarrowinfty}A_n=liminf_{nrightarrowinfty}A_n=limsup_{nrightarrowinfty}A_n={bigcup_{n=1}^infty}left({bigcap_{m=n}^infty}A_mright)={bigcap_{n=1}^infty}left({bigcup_{m=n}^infty}A_mright)$

Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad.

[editar] Límites en redes topológicas

Véase también: Red (matemáticas)

Todas las nociones anteriores de límite pueden ser unificadas y generalizadas a espacios topológicos arbitrarios mediante la introducción de redes topológicas y la definición de sus límites.

Sea $(X, T)$ un espacio topológico y $(x_d)_{d in D}$ una red en $X$ . Se dice que $x in X$ es un punto límite de la red $(x in lim_{d in D} x_d)$ si la red está eventualmente en cada entorno de $x$ , es decir, si cualquiera que sea el entorno $V$ de $x$ (esto es, cualquiera que sea el conjunto $V$ de forma que exista un abierto $G$ tal que $x in G subset V$ ) existe un $d_0 in D$ de tal forma que para cada $d in D$ con $d_0 sim d$ se cumple que $x_d in V$ .

[editar] Límites en teoría de categorías

Artículo principal: Límite (teoría de categorías)

En teoría de categorías, una rama de la matemática, se define el concepto abstracto de límite, el cual usa propiedades esenciales de construcciones universales tales como productos y límites inversos.

[editar] Véase también

[editar] Referencias

[editar] Enlaces externos

Weisstein, Eric W., «Límite matemático» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, http://mathworld.wolfram.com/Limit.html, consultado el 29 de mayo de 2010 .
Mathwords: Limit
Límites de funciones. Introducción
Introducción al Cálculo de Límites (vídeo)

Obtenido de «http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico»

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MATEMÁTICAS4: CAUSALIDAD. En física, el término causalidad describe la relación entre causas y efectos, y es fundamental en todas las ciencias naturales, especialmente en física. En términos generales, la causalidad puede ser estudiada desde varias perspectivas: la filosófica, la de la computación y la estadística.

petalofucsia - 17 de junio de 2011 - 13:16 - Matemáticas4

Causalidad (física)

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Para otros usos de este término, véase Causalidad.

En física, el término causalidad describe la relación entre causas y efectos, y es fundamental en todas las ciencias naturales, especialmente en física. En términos generales, la causalidad puede ser estudiada desde varias perspectivas: la filosófica, la de la computación y la estadística.

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[editar] Introducción

En física clásica se asumía que todos los eventos están causados por otros anteriores y que dicha causalidad es expresable en términos de leyes de la naturaleza. Dicha pretensión llegó a su punto más alto en la afirmación de Pierre Simon Laplace. Laplace afirmó que si se conoce el estado actual del mundo con total precisión, uno puede predecir cualquier evento en el futuro. Esta perspectiva se conoce como determinismo o más precisamente determinismo causal.

Aunque el determinismo de Laplace parece correcto respecto a las ecuaciones aproximadas de la física clásica, la teoría del caos ha añadido pequeñas complicaciones. Muchos sistemas presentan una fuerte sensibilidad a las condiciones iniciales, lo que significa que condiciones iniciales muy similares en ciertos sistemas pueden conducir a comportamientos a largo plazo muy diferentes. Eso sucede por ejemplo en el tiempo atmosférico. Hacia 1987 era habitual usar superordenadores en la predicción del tiempo, por ejemplo el Cray X-MP del Centro Europeo para el Pronóstico del Tiempo a Medio Plazo, que operaba con una capacidad máxima de 800 megaflops, podía calcular en apenas media hora un pronóstico aceptable del tiempo para el día siguiente en todo el hemisferio. Y aunque cada día se realizaban pronósticos de los siguientes diez días, los resultados del pronóstico a partir del cuarto o quinto día diferían sensiblemente de lo previsto por el ordenador.^[1]

Sin embargo, por encima de la impredictibilidad práctica causada por el comportamiento estocástico o caótico de los sistemas clásicos, está el hecho de que la mecánica cuántica presenta junto con una evolución determinista recogida en la ecuación de Schrödinger, una evolución no-determinista recogida en el postulado del colapso de la función de onda.

[editar] Mecánica relativista

De acuerdo con los postulados comunes de la física newtoniana, la causa precede al efecto en el tiempo. Sin embargo, en la física moderna, el concepto más simple de causalidad ha necesitado ser clarificado. Por ejemplo, en la teoría de la relatividad especial, el concepto de causalidad se mantiene, pero el significado de "preceder en el tiempo" sigue siendo absoluto y no depende del observador (aunque no pasa igual con el concepto de simultaneidad de conceptos no relacionados causalmente, que ahora sí pasan a depender del observador). Consecuentemente, el principio relativista de causalidad dice que la causa precede a su efecto para observadores inerciales. Esto implica que, en términos de la teoría de la relatividad especial, una condición necesaria para que A sea causa de B, es que B sea un evento que pertenece al cono de luz de A (en términos de distancias espacio-temporales se dice que A y B están separados por intervalo temporaloide). A pesar de algunas obras de ciencia ficción, en los supuestos bajo los cuales la teoría de la relatividad especial es adecuada para describir el mundo, resulta imposible, no sólo influir en el pasado, sino también en objetos distantes mediante señales que se muevan más rápidas que la velocidad de la luz.

En la teoría general de la relatividad, el concepto de causalidad se generaliza de la manera más directa posible: el efecto debe pertenecer al cono de luz futuro de su causa, aún en espacio-tiempos curvos; aunque pueden aparecer ciertas complicaciones, como cuando uno trata soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein, como el Universo de Gödel, donde existen curvas temporales cerradas, y un observador puede verse a sí mismo en el pasado, y otra serie de peculiaridades que, no obstante, no incurren en ninguna paradoja.^[2]

[editar] Mecánica cuántica

Nuevas sutilezas se toman en cuenta cuando se investiga la causalidad en mecánica cuántica no relativista y teoría cuántica de campos (mecánica cuántica relativista). En la teoría cuántica de campos, la causalidad está estrechamente relacionada con el principio de localidad. El análisis de ese principio es delicado, y muchas veces ese análisis pasa por el uso del teorema de Bell. De todas maneras, el resultado de dicho análisis parece depender, en parte, de desde qué interpretación de la mecánica cuántica se interpreten los resultados.

Sin embargo, se sospecha que, aún con todas estas sutilezas, el principio de causalidad sigue siendo un concepto válido de toda teoría física realista. Así, parece que la noción de que los eventos pueden ser ordenados en causas y efectos es necesaria para prevenir ciertas paradojas del mundo que conocemos.

La base de la causalidad física son los procesos energéticos que están gobernados por el principio físico de la conservación de la energía.

[editar] Principio de causalidad

El principio de causalidad postula que todo efecto -todo evento- debe tener siempre una causa (que, en idénticas circunstancias, una causa tenga siempre un mismo efecto se conoce como "principio de uniformidad"). Se usa para la búsqueda de leyes definidas, que asignan a cada causa su correspondiente efecto.

Este principio refleja un comportamiento mecánico de la naturaleza, que hasta el siglo XX se había aceptado e interpretado en un sentido determinista. No obstante, a principios de este siglo Heisenberg introdujo su principio de incertidumbre, que modificaba profundamente el principio de causalidad clásico.

Heisenberg y otros padres de la mecánica cuántica introdujeron un modelo de átomo que renunciaba a la visión clásica de un compuesto de partículas y ondas. Se concluyó que estaba condenado al fracaso cualquier intento de establecer analogías entre la estructura atómica y nuestra intuición sobre objetos macroscópicos. La formulación matemática de la teoría de Heisenberg se llamó inicialmente mecánica matricial, porque requería del uso de las matrices del álgebra lineal clásica. Esta formulación resultó complementaria de la mecánica ondulatoria, del físico austriaco Erwin Schrödinger.

Usando esta mecánica, los niveles de energía u órbitas de electrones se describen en términos probabilísticos: en general, de una misma causa no se deriva siempre un mismo efecto, sino que existe una variedad de posibles efectos. Sólo se puede predecir (aunque, en principio, con una fiabilidad determinista total) la probabilidad de que, cuando la causa se produzca, ocurra cada uno de los efectos.

Este comportamiento resulta extraño para nuestra experiencia ordinaria. Su explicación la podemos resumir en los siguientes puntos, que deben aceptarse como postulados avalados por miles de observaciones experimentales:

Existen propiedades de la materia (observables) que no se pueden medir simultáneamente (observables que no conmutan). Por ejemplo, la posición y la velocidad de una misma partícula sería un par de propiedades de este tipo. Para ilustrar esa situación con un análogo clásico burdo, piénsese que, si un microscopio es lo suficientemente sensible como para hacer visible un electrón, deberá enviar una cantidad mínima de luz u otra radiación apropiada sobre él, que lo haga visible. Pero el electrón es tan pequeño que este mínimo de radiación (digamos, un fotón) es suficiente para hacerle cambiar de posición apenas lo tocara, de modo que en el preciso instante de medir su posición, alteraríamos ésta.

Supongamos que hemos medido una de estas propiedades observables, de modo que conocemos con precisión su valor. Cuando un instante después midamos la segunda propiedad, obtendremos uno de los posibles valores de esta segunda propiedad, pero no podemos predecir antes cuál: sólo se puede predecir la probabilidad con la que cada uno de los valores posibles serán obtenidos.

Para algunos autores, desde el punto de vista filosófico, esto supone renunciar al principio de causalidad: podemos hallar dos sistemas físicos que han sido preparados exactamente del mismo modo, pero tales que, al medir una misma propiedad de ambos, obtenemos un resultado distinto en cada caso. No existe ninguna causa por la que hayamos obtenido los resultados diferentes: la Naturaleza no es determinista. Sin embargo, sí se pueden determinar con precisión las probabilidades de obtener las posibles medidas. Y como los objetos macroscópicos están formados por números gigantescos de partículas, las predicciones probabilísticas cuánticas acaban siendo, estadísticamente hablando, totalmente precisas, lo que hace de la Mecánica Cuántica una teoría extraordinariamente exacta.

La interpretación descrita de la mecánica cuántica es la que se ha impuesto con el tiempo, y se le llama interpretación de Copenhague en honor de la escuela del físico danés Niels Bohr. Inicialmente, la renuncia al principio de causalidad en esta interpretación no fue aceptada por muchos físicos, incluyendo a Einstein, quien afirmó: “Dios no juega a los dados”. De hecho, el propio Einstein, en colaboración con Podolski y Rosen, ideó un experimento (Paradoja EPR, por las siglas de sus autores) tal que las conclusiones de la interpretación de Copenhague parecían absurdas. Bohr mostró que, aunque muy extrañas, estas conclusiones no son absurdas. Experimentos de este tipo fueron llevados a cabo a finales del siglo XX por Alain Aspect, y han confirmado la interpretación de Copenhague.

Sin embargo, esta interpretación se enfrenta todavía a la llamada paradoja del gato de Schrödinger (remarquemos que Schrödinger, como Einstein, fue uno de los padres de la Mecánica Cuántica). Esta paradoja, que afecta a la definición de lo que es un proceso de medida (la distinción entre la materia observada y la mente del observador), no ha podido ser aún explicada de forma satisfactoria.

Existen multitud de efectos que se derivan del principio de incertidumbre. Uno de ellos, que afecta al ejemplo de incertidumbre posición-velocidad anterior, es la imposibilidad de la ausencia completa de energía cinética o, digamos, velocidad, para una partícula (ni siquiera en el cero absoluto). Si la energía cinética alcanzara el punto cero y las partículas quedaran totalmente inmóviles, sería posible confinarlas y determinar su posición con precisión arbitraria, a la vez que conoceríamos su velocidad (que sería cero). Por tanto, debe existir alguna “energía residual del punto cero”, incluso en el cero absoluto, para mantener las partículas en movimiento, y también, por así decirlo, nuestra incertidumbre. Esa energía “punto cero” se puede calcular, y resulta suficiente para evitar que el helio líquido se solidifique, incluso a temperaturas tan próximas como se quiera del cero absoluto (el cero en sí resulta inaccesible).

Las consecuencias del principio de incertidumbre se constatan en todas las partes de la microfísica, y acaban resultando asombrosas cuando se extrapolan al Universo en su conjunto. Así:

Desde los tiempos de Einstein, en 1930, se sabía que el principio de incertidumbre también llevaba a la imposibilidad de reducir el error en la medición de energía sin acrecentar la incertidumbre del tiempo durante el cual se toma la medida. (De hecho, al principio, Einstein creyó poder utilizar esta tesis como trampolín para refutar el principio de incertidumbre, pero también Bohr mostró que la tentativa de Einstein era errónea).

De esta versión de la incertidumbre se seguía que en un proceso subatómico se podía violar durante breves lapsos la ley de la conservación de la energía (siempre y cuando todo volviese al estado de conservación cuando concluyese ese lapso). En general, cuanto mayor sea la desviación de la conservación, tanto más breve será el intervalo de tiempo en que ésta es tolerable. El físico japonés Hideki Yukawa aprovechó esta noción para elaborar su teoría de los piones, confirmada experimentalmente.

Más aún, posibilitó la elucidación de ciertos fenómenos subatómicos presuponiendo que las partículas nacían de la nada como un reto a la energía de conservación, pero se extinguían antes del tiempo asignado a su detección, por lo cual eran sólo “partículas virtuales”. Hacia fines de la década 1940-1950, tres investigadores (premios Nobel de Física en 1965) elaboraron la teoría sobre esas partículas virtuales: los físicos norteamericanos Julian Schwinger y Richard Phillips Feynman, y el físico japonés Shin'ichirō Tomonaga. Los diagramas de Feynman son usados corrientemente en la física de partículas, donde llevan a predicciones extremadamente exactas.

A partir de 1976 se han producido especulaciones acerca de que el Universo comenzó como una pequeña pero muy masiva partícula virtual que se expandió con extrema rapidez y que aún sigue expandiéndose. Según este punto de vista, el Universo se formó de la Nada y podemos preguntarnos acerca de la posibilidad de que haya un número infinito de Universos que se formen (y, llegado el momento, acaben) en esta Nada.

En resumen, el principio de incertidumbre afectó profundamente al pensamiento de físicos y filósofos. Ejerció una influencia directa sobre la cuestión filosófica de causalidad, la relación entre causa y efecto. Pero sus implicaciones para la ciencia no son las que se suponen popularmente a menudo. Se puede leer que el principio de incertidumbre anula toda certeza acerca de la naturaleza, y muestra que, al fin y al cabo, la ciencia no sabe ni sabrá nunca hacia dónde se dirige, que el conocimiento científico está a merced de los caprichos imprevisibles de un Universo donde el efecto no sigue necesariamente a la causa. Pero tanto si esta interpretación es válida desde el ángulo filosófico como si no, el principio de incertidumbre no ha modificado un ápice la actitud del científico ante la investigación. Y esto por varios motivos:

La incertidumbre también existe a un nivel clásico. Por ejemplo, incluso si nos olvidamos de posibles efectos cuánticos, no se puede predecir con certeza el comportamiento de las moléculas individuales en un gas. Sin embargo, estas moléculas acatan ciertas leyes termodinámicas, y su conducta es previsible sobre una base estadística. Estas predicciones son infinitamente más precisas que las de las compañías aseguradoras, que planifican su actividad (y obtienen beneficios) calculando con índices de mortalidad fiables, aunque les sea imposible predecir cuándo morirá un individuo determinado.

Ciertamente, en muchas observaciones científicas, la incertidumbre es tan insignificante comparada con la escala correspondiente de medidas, que se la puede descartar para todos los propósitos prácticos. Uno puede determinar simultáneamente la posición y el movimiento de una estrella, o un planeta, o una bola de billar, o incluso un grano de arena con exactitud absolutamente satisfactoria.

La incertidumbre entre las propias partículas subatómicas no representa un obstáculo, sino una verdadera ayuda para los físicos. Se la ha empleado para entender el modelo atómico (que resultaba inestable desde el punto de vista no cuántico), esclarecer hechos sobre la radiactividad, sobre la absorción de partículas subatómicas por los núcleos, y otros muchos acontecimientos subatómicos. En ello se emplea una economía lógica y razonabilidad muy superior de lo que hubiera sido esperable sin él.

Es cierto que el principio de incertidumbre o, en general, la física cuántica, se enfrenta a la paradoja no resuelta del problema de la medición (el gato de Schrödinger). Pero ésta tiene sus orígenes en la distinción entre mente y materia, determinismo y libre albedrío, y profundiza en ella como nunca antes habían imaginado los filósofos. El principio de incertidumbre significa que el Universo es más complejo de lo que se suponía, pero no irracional.

[editar] Véase también

[editar] Referencias

↑ O. Stewart, 2001, p.169
↑ «Revisiting the Light Cone of the Goedel Universe». arXiv.

[editar] Bibliografía

I. Stewart: ¿Juega Dios a los dados?, Ed. Crítica, Barcelona, 2001, ISBN 978-84-8432-881-0.

[editar] Enlaces externos

Causal Processes, Stanford Encyclopedia of Philosophy (en inglés)
Caltech Tutorial on Relativity — Una hermosa discusión sobre cómo dos observadores con movimiento relativo uno respecto a otro ven diferentes "rebanadas" de tiempo (en inglés)

Obtenido de «http://es.wikipedia.org/wiki/Causalidad_(f%C3%ADsica)»

Categorías: Tiempo | Relatividad

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MATEMÁTICAS4: LA ESCRITURA DE LA GENTE, MUESTRA "VARIACIONES" DE PERSONA A PERSONA, NO ES EXACTA. ESTO CONSISTE EN ELEVAR A LAS POTENCIAS (ALGO QUE IBA A SUCEDER CON EL DNA). En matemáticas, dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto. EJEMPLO: Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

petalofucsia - 09 de abril de 2011 - 16:09 - Matemáticas4

Permutación

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En matemáticas, dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

La noción de permutación suele aparecer en dos contextos:

Como noción fundamental de combinatoria, centrándonos en el problema de su recuento.
En teoría de grupos, al definir nociones de simetría.

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[editar] Definición alternativa

La permutación antes citada "1,3,2" puede verse como la imagen de una aplicación σ de la lista inicial de objetos (1, 2, 3) en la lista de objetos reordenados (1, 3, 2). De este modo σ(1)=1, σ(2)=3 y σ(3)=2. También podemos definir a la permutación como la propia aplicación σ.

Así, formalmente, una permutación de un conjunto X es una biyección de X en sí mismo.

Aunque esta segunda definición generaliza a la primera al admitir conjuntos infinitos, el término permutación se usa principalmente para un conjunto finito X, y así lo haremos en el resto del artículo.

[editar] En combinatoria

La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado, respetando ciertas reglas. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben ser las combinaciones y determinar cuántas existen que cumplan dicha regla.

Un tipo importante de esas combinaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de elementos de un conjunto, el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas .

[editar] Recuento del número de permutaciones

Dado un conjunto finito y ordenado $A ,!$ de $n,!$ elementos, el número de permutaciones diferentes posibles es igual a la factorial de n:
$n!=n(n-1)(n-2)cdots 2,!$ .

Demostración

Dado que hay $n ,!$ formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos $(n-1) ,!$ formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo sólo tenemos $(n-k+1) ,!$ posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos $n(n-1)(n-2) cdots 2 cdot 1 ,!$ formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente. $Box ,!$

[editar] Recuento del número de conjuntos ordenados de k elementos con k<n

Dado un conjunto $A$ finito de cardinal $n$ , tenemos $P(n,k)=frac{n!}{(n-k)!}$ formas de construir un conjunto ordenado $B$ de $k$ elementos donde $k leq n$ .

A éste número se le llama permutaciones de n en k. Otras notaciones son $P^n_k$ o $left[{natop k}right]$ (en algunas partes del mundo se le conoce como variaciones y se denota $V^n_k$ ).

Demostración

Basta demostrar que las permutaciones están ligadas al coeficiente binomial mediante la siguiente identidad:

$P(n,k) = k!,C(n,k)$

Para ello, dado que el coeficiente binomial es la cantidad de conjuntos finitos de $k$ elementos formados a partir de los elementos de un conjunto de $n$ elementos, donde $n geq k$ y cualquier conjunto finito con cardinal $k$ se puede ordenar de $k!$ maneras diferentes. $Box$

Observamos que para k=n recuperamos la fórmula de recuento de permutaciones y que para k=1, P(n,1)=n.

[editar] En teoría de grupos

[editar] Notaciones

Representación gráfica de la permutación σ que revela su estructura compuesta por 2 ciclos de longitud 4.

La primera forma de escribir una permutación σ, aunque no es la más compacta, consiste en escribirla en forma de matriz de dos filas, situando en la primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3,...,n, y en la segunda las imágenes correspondientes a los elementos reordenados σ(1), σ(2), σ(3),...,σ(n).
Por ejemplo, dado el conjunto ordenado ${1,...,8}$ podemos expresar una permutación $σ$ sobre éste mediante una matriz de correspondencias:

$sigma = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 3 & 4 & 5 & 7 & 6 & 1 & 8 & 2 end{pmatrix}$

Claramente es biyectiva, ya que podemos encontrar una aplicación inversa $σ - 1$ de forma que su composición genera la aplicación identidad. Para ello, en primer lugar intercambiamos las filas y finalmente reordenamos las columnas de modo que los elementos del dominio queden ordenados de forma natural:

$sigma^{-1} = begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 7 & 6 & 1 & 8 & 2 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 end{pmatrix}= begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 6 & 8 & 1 & 2 & 3 & 5 & 4 & 7 end{pmatrix}$

[editar] Notación de ciclos

Existe otra notación más compacta, llamada notación de ciclos. Un ciclo de longitud s es una permutación que intercambia cíclicamente s elementos y fija los restantes.

Esta notación revela mejor la estructura interna de la permutación. Para ello:

Empezamos con cualquier elemento. Lo escribimos, a su derecha escribimos su imagen, a la derecha de esta, la imagen de su imagen, y seguimos así hasta que se complete un ciclo.
Luego cogemos cualquier elemento no contenido en el primer ciclo, volvemos a escribir su imagen a su derecha, y continuamos hasta completar el segundo ciclo.
El proceso continúa hasta que la permutación entera ha quedado descrita como producto de ciclos disjuntos.

Siguiendo con el mismo ejemplo de antes, en notación de ciclos, $σ$ quedaría expresada como composición de dos ciclos:

σ

= (1 3 5 6 )(2 4 7 8)

[editar] Descomposición de una permutación en ciclos disjuntos

La descomposición realizada por el procedimiento anterior no es única en principio, pues podrían haberse obtenido cualquiera de estos resultados equivalentes:

σ

= (1 3 5 6)(2 4 7 8)=(2 4 7 8) (1 3 5 6)=(7 8 2 4)(6 1 3 5)

La descomposición canónica de una permutación como producto de ciclos se obtiene colocando en primer lugar de cada ciclo el número más pequeño del mismo. Posteriormente se procede a la colocación de los ciclos, colocando primero el ciclo cuyo primer elemento sea menor. Frecuentemente, suelen omitirse los ciclos de longitud 1. Así la permutación (1 3)(2)(4 5) se escribe simplemente como (1 3)(4 5).

[editar] Descomposición de una permutación en trasposiciones

Una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Dicho de otro modo, es un ciclo de longitud 2. Una propiedad interesante es que cualquier permutación se puede construir como una composición de transposiciones, aunque no de manera única. Dadas dos descomposiciones en transposiciones de una permutación se cumple que ambas usaran un número par o ambas usarán un número impar, eso permite definir de manera unívoca la signatura de una permutación.

Las trasposiciones permiten descomponer una permutación cualquiera de una forma diferente a la descomposición en ciclos. En particular, las trasposiciones que aparezcan no tendrán que ser disjuntas: Por ejemplo, el ciclo (1 2 3 4) = (1 2) (2 3) (3 4). Aquí el orden de aplicación es importante: en primer lugar (3 4) deja el 4 en su sitio definitivo y el 3 descolocado. Después (2 3) deja en su sitio definitivo el 3 y el 2 descolocado, que quedará recolocado definitivamente por (1 2).

Para ver que cualquier permutación descompone como producto de trasposiciones bastará ver que todo ciclo lo hace. De hecho, la descomposición del ciclo de nuestro ejemplo se generaliza a la fórmula:

$(a_1,ldots, a_n) = (a_1,a_2)(a_2,a_3)cdots(a_{n-1},a_n).$

No habrá unicidad en la descomposición, ni siquiera en el número de trasposiciones necesarias. Pero se demuestra que si $σ$ admite dos descomposiciones distintas con n y con m trasposiciones, entonces n y m tendrán la misma paridad (serán simultáneamente pares o impares). Dada una permutación cualquiera, se define el siguiente morfismo de grupos:

$varepsilon:S_n to ({-1,1},cdot) approx (mathbb{Z}_2,+), qquad varepsilon(sigma) = (-1)^m$

Donde $scriptstyle S_n$ es el grupo simétrico de n elementos y m es un número entero, tal que exiten transposiciones $scriptstyle tau_i$ tales que:

$sigma = tau_1tau_2dotstau_m in S_n$

[editar] Permutación par y permutación impar

Llamaremos permutación par (resp. impar) a la que se escribe como composición de un número par (resp. impar) de trasposiciones.

Como ejemplo, de las 6=3! permutaciones del conjunto {1, 2, 3}, escritas en notación de ciclos:

(1 2), (2 3) y (1 3) son, de forma trivial, impares.
(1 2 3) y (1 3 2) son pares, como es fácil de comprobar al aplicar la fórmula anterior de descomposición de un ciclo en trasposiciones.
e (la identidad) también es par.

En general, se demuestra que la mitad de las n! permutaciones de un conjunto de n elementos son pares y la otra mitad impares.

[editar] Estructura de grupo

Artículo principal: grupo simétrico

Dado un número natural $n geq 1$ , consideramos el conjunto $X = {1,2,..., n}$ . Definimos el grupo de permutaciones de $n$ elementos, que denotaremos por $S n$ , o lo que es lo mismo, el conjunto de aplicaciones biyectivas de $X$ a $X$ .

Las permutaciones pares forman un subgrupo normal de índice 2 del grupo S_n, al que llamaremos grupo alternado, y notaremos por $A n$ .

[editar] Véase también

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Categorías: Permutaciones | Álgebra abstracta | Teoría de conjuntos

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MATEMÁTICAS4: TEORÍA DEL ORDEN. ELEMENTO MÁXIMO. En matemáticas, y particularmente en teoría del orden, dado un conjunto parcialmente ordenado (A,≤), un elemento a ∈ A es el elemento máximo de A si cualquier otro elemento de A es menor o igual que él; es decir, si para todo x ∈ A, x ≤ a.

petalofucsia - 05 de abril de 2011 - 11:46 - Matemáticas4

Elemento máximo y mínimo

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En matemáticas, y particularmente en teoría del orden, dado un conjunto parcialmente ordenado (A,≤), un elemento a ∈ A es el elemento máximo de A si cualquier otro elemento de A es menor o igual que él; es decir, si para todo x ∈ A, x ≤ a.

Un elemento mínimo se define dualmente, como aquel a ∈ A tal que cualquier otro es mayor o igual que él; es decir, tal que para todo x ∈ A, a ≤ x.

La propiedad de antisimetría de la relación de orden ≤ asegura que de existir un elemento máximo o mínimo en un conjunto, estos son únicos.

[editar] Véase también

[editar] Referencias

Birkhoff, Garrett (1967) (en inglés). Lattice Theory (2da edición). Estados Unidos: American Mathematical Society, Colloquium Publications. pp. 423. ISSN 0065-9258. ISBN 0-8218-1025-1.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_m%C3%A1ximo_y_m%C3%ADnimo"

Categoría: Teoría del orden

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MATEMÁTICAS4: CORRELACIÓN. En probabilidad y estadística, la correlación indica la fuerza y la dirección de una relación lineal entre dos variables aleatorias. Se considera que dos variables cuantitativas están correlacionadas cuando los valores de una de ellas varían sistemáticamente con respecto a los valores homónimos de la otra: si tenemos dos variables (A y B) existe correlación si al aumentar los valores de A lo hacen también los de B y viceversa. La correlación entre dos variables no implica, por sí misma, ninguna relación de causalidad (Véase Cum hoc ergo propter hoc).

petalofucsia - 01 de abril de 2011 - 08:17 - Matemáticas4

Correlación

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En probabilidad y estadística, la correlación indica la fuerza y la dirección de una relación lineal entre dos variables aleatorias. Se considera que dos variables cuantitativas están correlacionadas cuando los valores de una de ellas varían sistemáticamente con respecto a los valores homónimos de la otra: si tenemos dos variables (A y B) existe correlación si al aumentar los valores de A lo hacen también los de B y viceversa. La correlación entre dos variables no implica, por sí misma, ninguna relación de causalidad (Véase Cum hoc ergo propter hoc).

[editar] Fuerza, sentido y forma de la correlación

La relación entre dos super variables cuantitativas queda representada mediante la línea de mejor ajuste, trazada a partir de la nube de puntos. Los principales componentes elementales de una línea de ajuste y, por lo tanto, de una correlación, son la fuerza, el sentido y la forma:

La fuerza extrema segun el caso, mide el grado en que la línea representa a la nube de puntos: si la nube es estrecha y alargada, se representa por una línea recta, lo que indica que la relación es fuerte; si la nube de puntos tiene una tendencia elíptica o circular, la relación es débil.

El sentido mide la variación de los valores de B con respecto a A: si al crecer los valores de A lo hacen los de B, la relación es positiva; si al crecer los valores de A disminuyen los de B, la relación es negativa.

La forma establece el tipo de línea que define el mejor ajuste: la línea rectal, la curva monotónica o la curva no monotónica.

[editar] Coeficientes de correlación

Existen diversos coeficientes que miden el grado de correlación, adaptados a la naturaleza de los datos. El más conocido es el coeficiente de correlación de Pearson (introducido en realidad por Francis Galton), que se obtiene dividiendo la covarianza de dos variables por el producto de sus desviaciones estándar. Otros coeficientes son:

[editar] Interpretación geométrica

Ambas series de valores $X (x_1, ldots, x_n)$ e $Y (y_1, ldots, y_n)$ pueden estar consideradas como vectores en un espacio a n dimensiones. Reemplacemoslos por vectores centrados:

$X (x_1 - bar x, ldots, x_n - bar x)$ e $Y (y_1 - bar y, ldots, y_n - bar y)$ .

El coseno del ángulo alfa entre estos vectores es dada por la fórmula siguiente :

$cos(alpha) = dfrac{displaystyle sum_{i=1}^N (x_i - bar x)cdot(y_i - bar y)}{sqrt{displaystyle sum_{i=1}^N (x_i - bar x)^2}cdotsqrt{displaystyle sum_{i=1}^N (y_i - bar y)^2}}$

Pues $c o s (α)$ es el coeficiente de correlación de Pearson.

¡El coeficiente de correlación es el coseno entre ambos vectores centrados!

Si r = 1, el ángulo

α = 0

°, ambos vectores son colineales (paralelos).Si r = 0, el ángulo

α = 90

°, ambos vectores son ortogonales.Si r =-1, el ángulo

α = 180

°, ambos vectores son colineales de dirección opuesto.Más generalmente :

α = a r c C o s (r)

Por supuesto, del punto vista geométrica, no hablamos de correlación lineal: el coeficiente de correlación tiene siempre un sentido, cualquiera que sea su valor entre -1 y 1. Nos informa de modo preciso, no tanto sobre el grado de dependencia entre las variables, que sobre su distancia angular en la hiperesfera a n dimensiones.

La Iconografía de las correlaciones es un método de análisis multidimensional que reposa en esta idea.

la correlacion lineal se da cuando en una nube de puntos estos se encuentran o se distribuyen alrededor de una recta.

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Categoría: Covarianza y correlación

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MATEMÁTICAS4: EL CÁLCULO. ¿ES LÓGICO EL CÁLCULO?. En general el término cálculo (del latín calculus = piedra)[1] hace referencia, indistintamente, a la acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

petalofucsia - 20 de marzo de 2011 - 09:16 - Matemáticas4

Cálculo

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Para otros usos de este término, véase Cálculo (desambiguación).

Para cálculo infinitesimal (diferencial o integral) véase Cálculo infinitesimal
Para el estudio de los números reales, los complejos, los vectores y sus funciones véase Análisis matemático

En general el término cálculo (del latín calculus = piedra)^[1] hace referencia, indistintamente, a la acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

No obstante, el uso más común del término cálculo es el lógico-matemático. Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos.

Contenido

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Cálculo como razonamiento y cálculo lógico-matemático

Las dos acepciones del cálculo (la general y la restringida) arriba definidas están íntimamente ligadas. El cálculo es una actividad natural y primordial en el hombre, que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar unas cosas con otras en un pensamiento o discurso. El cálculo lógico natural como razonamiento es el primer cálculo elemental del ser humano. El cálculo en sentido lógico-matemático aparece cuando se toma conciencia de esta capacidad de razonar y trata de formalizarse.

Por lo tanto, podemos distinguir dos tipos de operaciones:

Operaciones orientadas hacia la consecución de un fin, como prever, programar, conjeturar, estimar, precaver, prevenir, proyectar, configurar, etc. que incluyen en cada caso una serie de complejas actividades y habilidades tanto de pensamiento como de conducta. En su conjunto dichas actividades adquieren la forma de argumento o razones que justifican una finalidad práctica o cognoscitiva.
Operaciones formales como algoritmo que se aplica bien directamente a los datos conocidos o a los esquemas simbólicos de la interpretación lógico-matemática de dichos datos; las posibles conclusiones, inferencias o deducciones de dicho algoritmo son el resultado de la aplicación de reglas estrictamente establecidas de antemano.

Resultado que es: Conclusión de un proceso de razonamiento.Resultado aplicable directamente a los datos iniciales (resolución de problemas).Modelo de relaciones previamente establecido como teoría científica y significativo respecto a determinadas realidades (Creación de modelos científicos).Mero juego formal simbólico de fundamentación, creación y aplicación de las reglas que constituyen el sistema formal del algoritmo (Cálculo lógico-matemático, propiamente dicho).

Dada la importancia que históricamente ha adquirido la actividad lógico-matemática en la cultura humana el presente artículo se refiere a este último sentido. De hecho la palabra, en su uso habitual, casi queda restringida a este ámbito de aplicación; para algunos, incluso, queda reducida a un solo tipo de cálculo matemático, pues en algunas universidades se llamaba "Cálculo" a una asignatura específica de cálculo matemático.

En un artículo general sobre el tema no puede desarrollarse el contenido de lo que supone el cálculo lógico-matemático en la actualidad. Aquí se expone solamente el fundamento de sus elementos más simples, teniendo en cuenta que sobre estas estructuras simples se construyen los cálculos más complejos tanto en el aspecto lógico como en el matemático.

Historia del cálculo

De la Roma Clásica a la Edad Media

Reconstrucción de un ábaco romano.

Un ábaco moderno.

El término "cálculo" procede del latín calculus, piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpan japonés, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.

Los antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra.

La consideración del cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles, quien en sus escritos lógicos fue el primero en formalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categóricos (silogismos). Este trabajo sería completado más tarde por los estoicos, los megáricos, la Escolástica.

El algoritmo actual de cálculo aritmético como universal es fruto de un largo proceso histórico a partir de las aportaciones de Muhammad ibn al-Juarismi en el siglo IX.^[2]

Se introdujo el 0, ya de antiguo conocido en la India y se construye definitivamente el sistema decimal de diez cifras con valor posicional de las mismas, introducido en Europa por los árabes. La escritura antigua de números en Babilonia, en Egipto, en Grecia o en Roma, hacía muy difícil un procedimiento mecánico de cálculo.^[3]

El sistema decimal fue muy importante para el desarrollo de la contabilidad de los comerciantes de la Baja Edad Media, en los inicios del capitalismo.

El concepto de función por tablas ya era practicado de antiguo pero adquirió especial importancia en la Universidad de Oxford en el siglo XIV.^[4] La idea de un lenguaje o algoritmo capaz de determinar todas las verdades, incluidas las de la fe, aparecen en el intento de Raimundo Lulio en su Ars Magna

A fin de lograr una operatividad mecánica se confeccionaban unas tablas a partir de las cuales se podía generar un algoritmo prácticamente mecánico. Este sistema de tablas ha perdurado en algunas operaciones durante siglos, como las tablas de logaritmos, o las funciones trigonométricas; las tablas venían a ser como la calculadora de hoy día; un instrumento imprescindible de cálculo. Las amortizaciones de los créditos en los bancos, por ejemplo, se calculaban a partir de tablas elementales hasta que se produjo la aplicación de la informática en el tercer tercio del siglo XX.

A finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos.^[5] De especial importancia es la creación del sistema contable por partida doble inventado por Luca Pacioli fundamental para el progreso del capitalismo en el Renacimiento.^[6]

Renacimiento

Ejemplo de aplicación de un cálculo algebraico a la resolución de un problema según la interpretación de una teoría física La expresión del cálculo algebraico $y = x t$ , indica las relaciones sintácticas que existen entre tres variables que no tienen significado alguno. Pero si interpretamos $y$ como espacio, $x$ como velocidad y $t$ como tiempo, tal ecuación modeliza una teoría física que establece que el espacio recorrido por un móvil con velocidad constante es directamente proporcional a la velocidad con que se mueve y al tiempo que dura su movimiento.Al mismo tiempo, según dicha teoría, sirve para resolver el problema de calcular cuántos kilómetros ha recorrido un coche que circula de Madrid a Barcelona a una velocidad constante de 60 km/h durante 4 horas de recorrido. 240 kilómetros recorridos = 60 km x 4 h

El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesía renacentista.

El desarrollo del álgebra (con la introducción de un sistema de símbolos por un lado, y la resolución de problemas por medio de las ecuaciones) vino de la mano de los grandes matemáticos renacentistas como Tartaglia, Stévin, Cardano o Vieta y fue esencial para el planteamiento y solución de los más diversos problemas que surgieron en la época como consecuencia de los grandes descubrimientos que hicieron posible el progreso científico que surgirá en el siglo XVII.^[7]

Siglos XVII y XVIII

Página del artículo de Leibniz "Explication de l'Arithmétique Binaire", 1703/1705.

En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados Descartes,^[8] Pascal^[9] y, finalmente, Leibniz y Newton^[10] con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.

El concepto de cálculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su aplicación al mundo de lo real^[11] adquiere una importancia y desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer relaciones matemáticas entre diversas medidas, esencial para el progreso de la ciencia física que, debido a esto, es tomada como nuevo modelo de Ciencia frente a la especulación tradicional filosófica, por el rigor y seguridad que ofrece el cálculo matemático. Cambia así el sentido tradicional de la Física como Ciencia de la Naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales.

A partir de entonces el propio sistema de cálculo permite establecer modelos sobre la realidad física, cuya comprobación experimental^[12] supone la confirmación de la teoría como sistema. Es el momento de la consolidación del llamado método científico cuyo mejor exponente es en aquel momento la Teoría de la Gravitación Universal y las leyes de la Mecánica de Newton.^[13]

Siglos XIX y XX

George Boole.

Durante el siglo XIX y XX el desarrollo científico y la creación de modelos teóricos fundados en sistemas de cálculo aplicables tanto en mecánica como en electromagnetismo y radioactividad, etc. así como en astronomía fue impresionante. Las geometrías no euclidianas encuentran aplicación en modelos teóricos de astronomía y física. El mundo deja de ser un conjunto de infinitas partículas que se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un espacio de configuración o espacio de fases de $n$ dimensiones que físicamente se hacen consistentes en la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica, la teoría de cuerdas etc. que cambia por completo la imagen del mundo físico.

La lógica asimismo sufrió una transformación radical.^[14] La formalización simbólica fue capaz de integrar las leyes lógicas en un cálculo matemático, hasta el punto que la distinción entre razonamiento lógico-formal y cálculo matemático viene a considerarse como meramente utilitaria.

En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de formalización de todo el sistema matemático, Frege, y de matematización de la lógica, (Bolzano, Boole, Whitehead, Russell) fue posible la generalización del concepto como cálculo lógico. Se lograron métodos muy potentes de cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como “objeto” conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de Cantor.

Mediante el cálculo la lógica encuentra nuevos desarrollos como lógicas modales y lógicas polivalentes.

Los intentos de axiomatizar el cálculo como cálculo perfecto por parte de Hilbert y Poincaré, llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell etc.) a nuevos intentos de axiomatización, Axiomas de Zermelo-Fraenkel y a la demostración de Gödel de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto: consistente, decidible y completo en 1931, de grandes implicaciones lógicas, matemáticas y científicas.

Actualidad

En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la lógica de circuitos eléctrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones por segundo.

El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico.

Concepto general de cálculo

El cálculo es un sistema de símbolos no interpretados, es decir, sin significado alguno, en el que se establecen mediante reglas estrictas, las relaciones sintácticas entre los símbolos para la construcción de fórmulas bien formadas (fbf), así como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologías.

Un cálculo consiste en:

Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeración, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuándo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.
Un conjunto de reglas de formación de “expresiones bien formadas”(EBFs) que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuándo una expresión pertenece al sistema y cuándo no.
Un conjunto de reglas de transformación de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresión bien formada del cálculo podremos obtener una nueva expresión equivalente y bien formada que pertenece al cálculo.

Cuando en un cálculo así definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistema formal axiomático.

Un cálculo así definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Cálculo Perfecto:

Es consistente: No es posible que dada una expresión bien formada del sistema, $f$ , y su negación, $n o - f$ , sean ambas teoremas del sistema. No puede haber contradicción entre las expresiones del sistema.
Decidible: Dada cualquier expresión bien formada del sistema podemos encontrar un método que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema.
Completo: Cuando dada cualquier expresión bien formada del sistema, podemos establecer la demostración o prueba de que es un teorema del sistema.

La misma lógica-matemática ha demostrado que tal sistema de cálculo perfecto "no es posible" (véase el Teorema de Gödel).

El cálculo lógico

Artículo principal: Cálculo lógico

Entendemos aquí por cálculo lógico, un algoritmo que permite cómoda y fácilmente inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como válidamente verdaderos.

La inferencia o deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enunciado como conclusión a partir de otro(s) (premisas) mediante la aplicación de reglas de inferencia.^[15]

Decimos que alguien infiere -o deduce- "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V.

Los hombres en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo. Partimos de enunciados empíricos -supuestamente verdaderos y válidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos, según las leyes de la lógica natural.^[16]

La lógica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar dichas leyes, fundamentarlas y convertirlas en las reglas que permiten la transformación de unos enunciados -premisas- en otros -conclusiones- con objeto de convertir las operaciones en un algoritmo riguroso y eficaz, que garantiza que dada la verdad de las premisas, la conclusión es necesariamente verdadera.

Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento mediante la simbolización adecuada de fórmulas o Expresiones bien formadas (EBF) construimos un modelo o sistema deductivo.

Sistematización de un cálculo de deducción natural

Reglas de formación de fórmulas

I. Una letra enunciativa (con o sin subíndice) es una EBF.

II. Si A es una EBF, ¬ A también lo es.

III. Si A es una EBF y B también, entonces A $land$ B; A $lor$ B; A $rightarrow$ B; A $leftrightarrow$ B, también lo son.

IV. Ninguna expresión es una fórmula del Cálculo sino en virtud de I,II,III.

Notas:

A, B,... con mayúsculas están utilizadas como metalenguaje en el que cada variable expresa cualquier proposición, atómica (p,q,r,s....) o molecular (p/q), (p/q)...
A, B,... son símbolos que significan variables; ¬, $land$ , $lor$ , →, $leftrightarrow$ , son símbolos constantes.
Existen diversas formas de simbolización. Utilizamos aquí la de uso más frecuente en España.^[17]

Reglas de transformación de fórmulas

1) Regla de sustitución (R.T.1):

Dada una tesis EBF del cálculo, en la que aparecen variables de enunciados, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas (EBF) del cálculo, será también una tesis EBF del cálculo. Y ello con una única restricción, si bien muy importante: cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece y siempre por el mismo sustituto.

Veamos el ejemplo:

1	$left [ left ( p land q right ) lor r right ]rightarrow t lor s$	Transformación
2	$A lor r rightarrow B$	donde $A = left ( p land q right )$ ; y donde $B = left ( t lor s right )$
3	$C rightarrow B$	donde $C = A lor r$

O viceversa

1	$C rightarrow B$	Transformación
2	$A lor r rightarrow B$	donde $A lor r = C$
3	$left [ left ( p land q right ) lor r right ]rightarrow t lor s$	donde $(p land q) = A$ ; y donde $(t lor s) = B$

2) Regla de separación (R.T.2):

Si X es una tesis EBF del sistema y lo es también X $rightarrow$ Y, entonces Y es una tesis EBF del sistema.

Esquemas de inferencia

Sobre la base de estas dos reglas, siempre podremos reducir un argumento cualquiera a la forma:

$[A land B land C....land N]rightarrow Y$

lo que constituye un esquema de inferencia en el que una vez conocida la verdad de cada una de las premisas A, B,...N y, por tanto, de su producto, podemos obtener la conclusión Y con valor de verdad V, siempre y cuando dicho esquema de inferencia sea una ley lógica, es decir su tabla de verdad nos muestre que es una tautología.

Por la regla de separación podremos concluir Y, de forma independiente como verdad.

Dada la poca operatividad de las tablas de verdad, el cálculo se construye como una cadena deductiva aplicando a las premisas o a los teoremas deducidos las leyes lógicas utilizadas como reglas de transformación, como se expone en cálculo lógico.

Concepto de modelo

Cuando en un Cálculo C, se establece una "correspondencia" de cada símbolo con elementos determinados individuales distinguibles entre sí, de un Universo L, real, (tal universo L no es un conjunto vacío, por las mismas condiciones que hemos establecido) ENTONCES se dice que L es un MODELO de C.

El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógico

Artículo principal: Cálculo lógico

Naturalmente el cálculo lógico es útil porque puede tener aplicaciones, pero ¿en qué consisten o cómo se hacen tales aplicaciones?

Podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C.

Para ello es necesario someter al lenguaje natural a un proceso de formalización de tal forma que podamos reducir las expresiones lingüísticas del lenguaje natural a EBFs de un cálculo mediante reglas estrictas manteniendo el sentido de verdad lógica de dichas expresiones del lenguaje natural. Esto es lo que se expone en cálculo lógico.

Las diversas formas en que tratemos las expresiones lingüísticas dan lugar a sistemas diversos de formalización y cálculo:

Cálculo proposicional o cálculo de enunciados

Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como una proposición atómica, como un todo sin analizar.

La oración simple: "Llueve", o "Las farolas se apagan por la noche" son consideradas como posible valor de verdad o falsedad de una variable "p".

Cálculo como lógica de clases

Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del análisis de la oración como una relación de individuos o posibles individuos que pertenecen o no pertenecen a una clase.Siendo una clase el criterio, como una propiedad o una definición, que permite ordenar a todos los posibles individuos de un Universo determinado como pertenecientes o no pertenecientes a dicha clase. La clase como propiedad o definición define al conjunto de posibles individuos, pero es independiente de la existencia de dichos individuos; no se identifica con el conjunto de individuos. Clase = Pegaso; Propiedad o definición = Caballo con alas; Individuos = ninguno.Esta es la forma en la que en la actualidad se interpreta la lógica silogística de Aristóteles, que queda así se reducida a un cálculo según la lógica de clases.

La oración simple "Todos los caballos corren por el campo" está analizada como: La clase de todos los posibles seres que corren por el campo (B) incluye a la clase formada por todos los posibles seres que sean caballos (A).

Cálculo de predicados o cuantificacional

Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del análisis de la misma de forma que una posible función predicativa (P), se predica de unos posibles sujetos variables (x) [tomados en toda su posible extensión: (Todos los x); o referente a algunos indeterminados: (algunos x)], o de una constante individual existente (a).

La oración simple "los perros muerden" se formaliza de la siguiente manera:

$land x =$ Todos los posibles perros;

$P =$ todas las posibles acciones de morder.

$land xP(x) =$ Para todo $x$ (siendo $x$ un perro) $x$ muerde = Todos los perros muerden.

En el caso de Desko que es mi perro al que simbolizo como una constante $a$ :

$P (a) =$ Mi perro Desko muerde.

Cálculo como lógica de relaciones

Cuando se toma la oración simple significativa con posible valor de verdad propio, verdado o falso, como resultado del análisis de la oración como una relación "R" que se establece entre un sujeto y un predicado.

Así la oración simple "Antonio es mayor que Pedro", se considera y simboliza bajo la relación "ser mayor que" (R) que se da entre Antonio (a) y Pedro (p) y se simboliza como $a R p$ .

La simbolización y formación de EBFs en cada uno de esos cálculos, así como las reglas de cálculo se trata en cálculo lógico.

Cálculos matemáticos

Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.

Cálculo aritmético

Artículo principal: Aritmética

Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Proviene del griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente números y habilidad.

El número en aritmética elemental tiene la consideración de número natural referido, en el campo de la experiencia, a la unidad, entendida bien como cantidad bien como medida.

De hecho el cálculo más natural y primitivo surge de la necesidad de contar y medir.^[18] Pero las formas y modos para realizar el cálculo han surgido según las diversas formas de sistemas de numeración, así como su transcripción gráfica.

Algoritmos

Artículo principal: Algoritmo

Sistema numérico y sistema de numeración

Artículo principal: Sistema numérico

Artículo principal: Sistema de numeración

El sistema de numeración decimal, considerado como universal en la utilización más corriente, es un sistema posicional con base en 10 elementos o cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9),^[19] que adquieren un valor posicional a la hora de determinar el número.

Las posiciones se inician por la derecha: La primera indica las unidades; la segunda las decenas; la tercera las centenas; la cuarta el millar; siendo cada cifra a la izquiera tantas unidades de la potencia de 10 que corresponda al número de la posición.^[20]

El número 7452: Se lee: Siete mil cuatrocientos cincuenta y dos. Y consta de 7 unidades de mil (7 unidades de millar; millar = 10³), 4 de cien (4 unidades de centenas; centena = 10²), 5 de 10 (5 unidades de decenas; decena = 10) y 2 unidades.

Operaciones básicas del cálculo: suma, resta, multiplicación y división

Las cuatro operaciones suma, resta, multiplicación y división son las operaciones básicas del cálculo, sobre las cuales se construyen todas las demás. Es lo que se enseña en la Escuela Primaria y se conoce como "Las cuatro reglas" y es considerado como la mínima expresión de un conocimiento básico.

1. Algoritmo de la Suma

Artículo principal: Suma

El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operación de suma consiste en la unión de las unidades contenidas en dos números, "sumandos", siendo el resultado la "Suma". Las tablas se leen como "una y una dos".

2. Algoritmo de la resta

Artículo principal: Resta

El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operación de resta se considera como la diferencia entre dos números, uno mayor "Minuendo" y otro menor "Sustraendo", siendo el resultado "Resta". Las tablas se leen como "de tres a cinco 2".

3. Algoritmo de la multiplicación

Una multiplicación de ejemplo

Artículo principal: Multiplicación

La multiplicación es una suma reiterativa de un mismo número, el "multiplicando", tantas veces como unidades tenga otro número, el "multiplicador". El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. "Que se leen "una por una es 1"; "cinco por cuatro veinte" etc.(véase el artículo Tabla de multiplicar)

4. Algoritmo de la división

Artículo principal: División

La operación se realiza entre dos números, "dividendo" y "divisor", cuyo resultado expresa cuántas veces se encuentra contenido el divisor en el dividendo. Equivale a medir el dividendo tomando como unidad el divisor. El resultado se llama "cociente", y las unidades no divisibles se denominan "resto". Operacionalmente consiste en ir restando sucesivamente el divisor al dividendo hasta que finalmente quede un resto menor que el divisor. El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales que se leen: "una entre una a una".

Algoritmo de potencias y raíces

Algoritmo de la raíz cuadrada

Potencias

Por potencia se entiende el resultado de multiplicar un mismo número, llamado "base", tantas veces como indica un índice o "exponente".

Se representa como $b n$ , donde b es la base y n el exponente.

Así: $5^3 = 5 times 5 times 5= 125$

El algoritmo de cálculo de una potencia, aplicando las tablas de multiplicar sucesivamente y su algoritmo no ofrecen problema alguno.

Raíces

Artículo principal: Formas de resolver la raíz cuadrada

Mayor dificultad ofrece el cálculo de raíces, exponiendo como caso elemental, el algoritmo de la raíz cuadrada.

La raíz es la operación inversa de la potencia. Se expresa $sqrt[n]{x}$ donde $x$ se llama "radicando" y $n$ "raiz", y se trata de calcular un número $y$ tal que $y n + r = x$ siendo $r$ un resto, si lo hubiera, por no ser la raíz exacta.

Este algoritmo de cálculo aritmético está en desuso desde la introducción de las calculadoras electrónicas en el ambiente educativo.

2. Cálculo algebraico

Artículo principal: Álgebra elemental

3. Cálculo infinitesimal: breve reseña

El cálculo infinitesimal, llamado por brevedad "cálculo", tiene su origen en la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño). Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" o exhaución para encontrar el área de un círculo con la exactitud finita requerida mediante el uso de polígonos regulares inscritos de cada vez mayor número de lados. En el periodo tardío de Grecia, el neoplatónico Pappus de Alejandría hizo contribuciones sobresalientes en este ámbito. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo en el periodo antiguo.

En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y Derivación en términos modernos). Fermat y Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670) quienes demostraron que los problemas del área y la tangente son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo.

El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravitación universal, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca controversias sobre quién de los dos fue el primero. Newton utilizó el cálculo en mecánica en el marco de su tratado "Principios matemáticos de filosofía natural", obra científica por excelencia, llamando a su método de "fluxiones". Leibniz utilizó el cálculo en el problema de la tangente a una curva en un punto, como límite de aproximaciones sucesivas, dando un carácter más filosófico a su discurso. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz por su versatilidad.

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y duda sobre sus fundamentos. De hecho, la noción de límite, central en el estudio del cálculo, era aun vaga e imprecisa en ese entonces. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo George Berkeley.

En el siglo XIX el trabajo de los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron con precisión los conceptos de límite en términos de épsilon_delta y de derivada, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los números reales. Fue el periodo de la fundamentación del cálculo. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales, al mismo tiempo que la aparición de las Computadoras ha incrementado las aplicaciones y velocidad del cálculo.

Actualmente, el cálculo infinitesimal tiene un doble aspecto: por un lado, se ha consolidado su carácter disciplinario en la formación de la sociedad culta del conocimiento, destacando en este ámbito textos propios de la disciplina como el de Louis Leithold, el de Earl W. Swokowski o el de James Stewart entre muchos otros; por otro su desarrollo como disciplina científica que ha desembocado en ámbitos tan especializados como el cálculo fraccional, la teoría de funciones analíticas de variable compleja o el análisis matemático. El éxito del cálculo ha sido extendido con el tiempo a las ecuaciones diferenciales, al cálculo de vectores, al cálculo de variaciones, al análisis complejo y a las topología algebraica y topología diferencial entre muchas otras ramas.

El desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la continuidad de sus elementos, en especial en la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte, meteorología, etc. hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc.

Como complemento del cálculo, en relación a sistemas teóricos o físicos cuyos elementos carecen de continuidad, se ha desarrollado una rama especial conocida como Matemática discreta.

Véase también

Referencias

↑ La palabra castellana cálculo se deriva del latín calculus que significa piedra, ya que se utilizaban guijarros para auxiliarse en la resolución de los problemas de cálculo aritmético, para contar y realizar las operaciones aritméticas elementales. En medicina las piedras de la vesícula o del riñón se llaman cálculos
↑ La palabra algoritmo se introdujo en matemáticas en honor a este matemático árabe.
↑ Muy interesante la descripción de este proceso en Cifra (matemática)
↑ Ver lógica empírica
↑ Sacrobosco, Algoritmos 1488; Georg von Peurbach, Algorithmus, 1492; Luca Pacioli; Summa de Arithmetica proportioni et porportionalita, 1494. Muy interesante y divertida exposición de esta guerra en Cifra (matemática)
↑ Sombart W.: El burgués:Contribución a la historia espiritual del hombre económico moderno. 1979. Madrid. Alianza
↑ La brújula y las grandes rutas marítimas, con el descubrimiento de América; la transformación de la guerra por la aplicación de la pólvora, que suscita el interés por el estudio del movimiento de los proyectiles Tartaglia;la aceptación del préstamo con interés y la creación de las sociedades por acciones que iniciaron el primer gran capitalismo; la nuevas tablas astronómicas sustituyendo las tablas alfonsinas (Tycho Brahe); y el copernicanismo que rompe la imagen medieval del mundo
↑ Que llega a concebir el mundo como racional sometido a una mathesis universal, la extensión, que convierte el mundo material en un inmenso mecanismo, teoría mecanicista, perfectamente calculable según un orden matemático que surge del análisis concebido como método de investigación.
↑ Cálculo de cónicas, estudio mecánico de las presiones, principio de Pascal de enorme importancia en la hidroestática, y finalmente en el cálculo de probabilidades.
↑ Con su famosa polémica acerca de la invención del cálculo infinitesimal de tanta importancia y que parece comprobado ser producto independiente de cada uno de ellos
↑ Cálculo de movimientos como el de caída libre de los graves, Galileo,; trayectoria de los planetas, Kepler; trayectoria de proyectiles para la artillería; medidas astronómicas y geográficas; presiones, Torricelli y Pascal; y todas las aplicaciones prácticas de estos cálculos para la práctica de la navegación y la naciente industria: bombas de vacío, prensa hidráulica, electricidad, magnetismo etc.
↑ Véase en Lógica empírica su aplicación por Galileo al movimiento de caída libre de los graves.
↑ El modelo de Newton se basa en una geometría analítica espacial de tres dimensiones inmutables como espacio absoluto y una sucesión constante e inmutable en una dirección de tiempo absoluto en los que una infinidad de partículas materiales masas se mueven según un principio universal la Gravitación Universal $G={m*m' over r^2}$ , y unas leyes dinámicas que rigen el movimiento: Principio de inercia; Principio de acción y reacción; y Principio fundamental de la dinámica, $f = m * a$
↑ La Lógica de Aristóteles se mantuvo prácticamente como tal a lo largo de los siglos. Kant, a finales del siglo XVIII, opinaba que la Lógica aristotélica no había sufrido modificaciones sustanciales durante tanto tiempo por tratarse de una ciencia formal, a priori y analítica, y consideraba que había dado de sí todo lo que podía ofrecer
↑ La deducción suele definirse como una inferencia en la que a partir de verdades universales se concluye verdades particulares. Este criterio no se acomoda bien a la lógica actual, pues se prefiere la idea de inferencia como transformación conforme las reglas establecidas; en cualquier caso dichas reglas, que necesariamente se basan en tautologías, pueden considerarse como principios universales o generales, sobre los cuales se construye una deducción; por ello la distinción no deja de ser una matización técnica de poca importancia.
↑ La habilidad peculiar del Sr.Holmes
↑ Desgraciadamente la representación gráfica de los símbolos no está normalizada, lo que lleva a veces a ciertas dificultades de interpretación.
↑ ..."La aritmética no es, como tampoco, la geometría, una promoción natural de una razón inmutable. La Aritmética no está fundada en la razón. Es la doctrina de la razón la que está fundada en la aritmética elemental. Antes de saber contar apenas sabíamos qué era la razón. En general, el espíritu debe plegarse a las condiciones del saber”. Bachelard. Filosofía del No
↑ La grafía es normalmente aceptada como numeración arábiga, introducida en occidente en sustitución de la antigua numeración romana no posicional, que dificultaba enormemente los cálculos
↑ Por lo que el 0 a la izquierda no significa nada.

Bibliografía

MITCHELL, D. (1968). INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA. BARCELONA: EDITORIAL LABOR.

DEAÑO, ALFREDO (1974). INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA FORMAL. MADRID: ALIANZA EDITORIAL. ISBN 84-206-2064-5.

QUINE, W.V. (1981). FILOSOFÍA DE LA LÓGICA. MADRID: ALIANZA EDITORIAL. ISBN 84-206-2043-2.

COPI, IRVING M. (1982). LÓGICA SIMBÓLICA. MEXICO 22 D.F: EDITORIAL CONTINENTAL S.A. DE C.V.. ISBN 968-26-0134-7.

GARRIDO, M. (1974). LÓGICA SIMBÓLICA. MADRID. EDITORIAL TECNOS S.A.. ISBN 84-309-0537-5.

Trueta i Raspall, J. et alii. (1977). Historia de la Ciencia. I. BARCELONA.ED.PLANETA. 84-320-0841-9.

BERGADÁ, D. (1979). La matemática renacentista. Historia de la Ciencia. BARCELONA.ED.PLANETA. 84-320-0842-7.

PERELLÓ I VALLS, C. (1979). El cálculo en los siglos XVII y XVIII. Historia de la Ciencia. BARCELONA.ED.PLANETA. 84-320-0842-7.

HONDERICH, T. (Editor) (2001). Enciclopedia Oxford de Filosofía. Trd. Carmen García Trevijano. Madrid. Editorial Tecnos. 84-309-3699-2001.

NAVARRO, C. Y NADAL, B. (1982). Aspectos de la Matemática en el siglo XX. Historia de la Ciencia. BARCELONA.ED.PLANETA. 81-320-0840-0.

BUNGE, M. (1972). Teoría y realidad. Barcelona. Ariel.

STEWART I. (1977). Conceptos de matemática moderna. Madrid. Alianza Universidad. 84-206-2187-0.

BLACKBURN, S. (2001). Enciclopedia Oxford de Filosofía. Madrid. Editorial Tecnos. 84-309-3699-2001.

Tablas de Aritmética. Ed.EDIVAS S.L. Ref. 25. Zamudio. España.

Enlaces externos

Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Cálculo. Wikiquote

Weisstein, Eric W., «Calculus» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, http://mathworld.wolfram.com/Calculus.html, consultado el 29 de mayo de 2010 .
Cálculo de funciones
http://www.cenidet.edu.mx/dda/docs/aplicacionteoriaactividad.pdf.
Introducción a la lógica de clases
Calculos financieros
Calculos Diferencial en una variable - Libro Gratis

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo"

Categorías: Cálculo | Teoría de números | Operaciones básicas de la aritmética

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MATEMÁTICAS4: ¿CREE QUE AL HABER NACIDO EN EL ORÍGEN, LA GENTE, GUARDA UNA RELACIÓN DE DEPENDENCIA CONMIGO?. En matemáticas, dado un conjunto no vacío A, y una relación binaria entre sus elementos, se dice que esta relación binaria es una relación de dependencia, si es reflexiva y simétrica.

petalofucsia - 09 de marzo de 2011 - 15:41 - Matemáticas4

Relación de dependencia

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Relación binaria homogénea subtipos 02.svg

En matemáticas, dado un conjunto no vacío A, y una relación binaria entre sus elementos, se dice que esta relación binaria es una relación de dependencia, si es reflexiva y simétrica:

Propiedad reflexiva:

$forall a in A : ; (a,a) in R$

Propiedad simétrica:

$forall a, b in A : ; (a,b) in R quad longrightarrow quad (b,a) in R$

[editar] Ejemplo 1

Dado el conjunto finito A, formado por los elementos:

$A = {a, b, c } ,$

y definida la relación binaria R como:

$R = { a, b } times { a, b } quad cup quad { a, c } times { a ,c }$

Que extensivamente resulta:

$R = { (a,a),(a,b),(b,a),(b,b), (a,c),(c,a),(c,c) } ,$

Podemos ver que la relación es reflexiva y simétrica, por lo tanto es una Relación de dependencia y que no es transitiva, por lo que no es una relación de equivalencia.

[editar] Ejemplo 2

Tomando el conjunto de los números reales, y la definición de distancia entre dos números x é y como el valor absoluto de su diferencia:

$forall x, y in R : ; D = |x-y|$

Decimos que dos números reales x é y cumplen la relación de proximidad cuando su distancia es menor que un valor D dado mayor que cero.

$(x, y) in R : ; (x, y) in R^2 quad land quad |x-y| < D$ El par ordenado (x, y) cumple la relación de proximidad si x, y son números reales y la distancia entre x é y es menor que D.

Esta relación es reflexiva:

$forall x in R : ; |x-x| < D$ Para todo x número real, la distancia con si mismo es menor que D.

y es simétrica:

$forall x, y in R : ; |x-y| < D quad longrightarrow quad |y-x| < D$ Si para todo x, y números reales, la distancia entre x é y es menor que D, entonces la distancia entre y y x también es menor que D.

Por lo que la relación de proximidad entre los números reales es una relación de dependencia.

Puede verse igualmente que la relación de proximidad, entre los números reales, no es transitiva:

$forall x, y, z in R : ; Big ( |x-y| < D quad land quad |y-z| < D Big ) quad nrightarrow quad |x-z| < D$ Si para todo x, y, z números reales, se cumple que la distancia entre x é y es menor que D, y la distancia entre y y z es menor que D, no implica necesariamente que la distancia entre x y z sea menor que D.

por lo que no es una relación de equivalencia.

[editar] Véase también

Relación matemática Relación binaria Relación de equivalencia Conjunto preordenado Conjunto parcialmente ordenado

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_dependencia"

Categorías: Teoría de conjuntos | Relaciones

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MATEMÁTICAS4: DISCONTINUIDAD. Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

petalofucsia - 09 de marzo de 2011 - 13:40 - Matemáticas4

Clasificación de discontinuidades

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(Redirigido desde Discontinuidad (matemáticas))

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Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

Contenido

[editar] Conceptos previos

Considérese una función $f (x)$ , de variable real $x$ , definida para todo valor de $x$ excepto posiblemente para un cierto valor $x 0$ . Es decir, $f (x)$ está definida para $x < x 0$ y para $x > x 0$ . Definamos también:

El límite por izquierda en $x 0$ , es decir, el límite al aproximarse al valor $x = x 0$ mediante valores menores a $x 0$ , como:

$L^{-} = underset{x to { x_0}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x)$

El límite por derecha en $x 0$ , es decir, el límite al aproximarse al valor $x = x 0$ mediante valores mayores a $x 0$ , como:

$L^{+} = underset{x to { x_0}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x)$

Si estos dos límites en el entorno del punto $x 0$ existen y son iguales se dice que la función tiene limite en este punto.

$left . begin{array}{c} underset{x to { x_0}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L^{-} underset{x to { x_0}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L^{+} L^{-} = L^{+} end{array} right } quad underset{x to { x_0}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L$

Si una función tiene limite en un punto y su valor coincide con el valor de la función en ese punto, entonces la función es continua en ese punto:

$left . begin{array}{r} underset{x to { x_0}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L f(x_0) = L end{array} right } quad Continua$

en cualquier otro caso es discontinua en ese punto.

[editar] Tipos de discontinuidades

La discontinuidad de una función puede ser clasificada en:

$Discontinuidad { color{Red} left { begin{array}{l} Evitable Esencial { color{PineGreen} left { begin{array}{l} De ; primera ; especie { color{Blue} left { begin{array}{l} De ; salto ; finito De ; salto ; infinito Asint acute{o} tica end{array} right . } De ; segunda ; especie end{array} right . } end{array} right . }$

[editar] Discontinuidad evitable

Si una función tiene limite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:

$left . begin{array}{r} underset{x to { x_0}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L f(x_0) ne L end{array} right } quad Discontinuidad ; evitable$

o no existe:

$left . begin{array}{r} underset{x to { x_0}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L nexists ; f(x_0) end{array} right } quad Discontinuidad ; evitable$

se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, en ese punto, el valor del limite:

$left . begin{array}{r} underset{x to { x_0}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L f(x_0) = L end{array} right } quad Continua$

[editar] Discontinuidad esencial

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

Existen los límites laterales pero no coinciden.
Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. Ver asíntota.
No existe alguno de los límites laterales o ambos.

[editar] Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

[editar] De salto finito

Existen el limite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

$left . begin{array}{c} underset{x to { x_0}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L^{-} underset{x to { x_0}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L^{+} L^{-} ne L^{+} end{array} right } quad Discontinuidad ; de ; salto ; finito$

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:

$Salto = |lim_{xto {x_0}^{-}}f(x)-lim_{xto {x_0}^{+}}f(x)|$

[editar] De salto infinito

Si uno de los limites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el limite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:

$left . begin{array}{c} underset{x to { x_0}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L underset{x to { x_0}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty end{array} right } quad Discontinuidad ; de ; salto ; infinito$

como en el caso de que el limite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:

$left . begin{array}{c} underset{x to { x_0}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty underset{x to { x_0}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L end{array} right } quad Discontinuidad ; de ; salto ; infinito$

Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.

[editar] Discontinuidad asintótica

Si los dos limites laterales de la función en el punto $x 0$ son infinitos:

$left . begin{array}{c} underset{x to { x_0}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty underset{x to { x_0}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty end{array} right } quad Discontinuidad ; asint acute{o} tica$

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo $x = a$ la asíntota.

[editar] Discontinuidad de segunda especie

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los limites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

[editar] Galería de discontinuidades


$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty nexists ; underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty nexists ; underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L nexists ; underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L nexists ; underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) f(a) = L end{array} right .$
De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.


$left { begin{array}{l} nexists ; underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty end{array} right .$	$left { begin{array}{l} nexists ; underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty end{array} right .$	$left { begin{array}{l} nexists ; underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L end{array} right .$	$left { begin{array}{l} nexists ; underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L f(a) = L end{array} right .$
De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.


$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty end{array} right .$
Asintótica.	Asintótica.	Asintótica.	Asintótica.


$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty f(a) = L end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty f(a) = L end{array} right .$
De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.


$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L f(a) = L end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L f(a) = L end{array} right .$
De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.


$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L1 underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L2 L1 ne L2 end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L1 underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L2 L1 ne L2 end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L1 underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L2 L1 ne L2 end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L nexists ; f(a) end{array} right .$
De salto finito.	De salto finito.	De salto finito.	Evitable

[editar] Caso de continuidad

Una función y= f(x) es continua en un punto a, si los limites por la derecha y la izquierda son iguales, y coinciden con el valor de la función en ese punto.

$left . begin{array}{r} left . begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L end{array} right } underset{x to {a}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L f(a) = L end{array} right } underset{x to {a}}{L acute{imath}m} ; f(x) = f(a)$

[editar] Ejemplos

Función del ejemplo 1,

f 1 (x)

: una discontinuidad evitable.

1. Sea la función

$f_1(x)=left{begin{matrix}x^2 & mbox{ para } x<1 0 & mbox { para } x=1 2-x& mbox{ para } x>1end{matrix}right.$

El punto $x 0 = 1$ es una discontinuidad evitable. Esta función puede hacerse contínua simplemente redefiniendo la función en este punto para que valga $f 1 (x 0) = 1$ .

Función del ejemplo 2,

f 2 (x)

: una discontinuidad por salto.

2. Sea la función

$f_2(x)=left{begin{matrix}x^2 & mbox{ para } x<1 0 & mbox { para } x=1 2-(x-1)^2& mbox{ para } x>1end{matrix}right.$

El punto $x 0 = 1$ es una discontinuidad por salto.

Función del ejemplo 3,

f 3 (x)

: una discontinuidad esencial.

3. Sea la función

$f_3(x)=left{begin{matrix}sinfrac{5}{x-1} & mbox{ para } x<1 0 & mbox { para } x=1 frac{0.1}{x-1}& mbox{ para } x>1end{matrix}right.$

El punto $x 0 = 1$ es una discontinuidad esencial, para lo cual hubiese bastado que uno de los dos límites laterales no exista o sea infinito (en este caso se cumple para ambos límites laterales: para el límite por izquierda y para el límite por derecha).

4. Funciones que no son continuas en ninguna parte

Existen funciones que no son continuas en ningún punto. La más conocida es la función característica de Q, es decir la función que toma como valor 1 cuando x pertenece al conjunto de los racionales, y 0 si no.

Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y= 0, y una infinidad (menor) de puntos en la recta y= 1.

5. Discontinuidad evitable.

Una función presenta un punto de Discontinuidad evitable si en ese punto se cumple que:

$lim_{x to a^-} f(x) = lim_{x to a^+} f(x)$
$nexists f(a)$

Pueden ser transformadas en otra función continua, dándole a f(a) el valor adecuado que la hace continua. Si modificamos una función obtenemos otra función, no la misma, por ello se dice que son evitables.

ejemplo: