MATEMÁTICAS4: DISCONTINUIDAD. Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

09 de marzo de 2011 - 13:40 - Matemáticas4

Clasificación de discontinuidades

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Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

Contenido

[editar] Conceptos previos

Considérese una función $f (x)$ , de variable real $x$ , definida para todo valor de $x$ excepto posiblemente para un cierto valor $x 0$ . Es decir, $f (x)$ está definida para $x < x 0$ y para $x > x 0$ . Definamos también:

El límite por izquierda en $x 0$ , es decir, el límite al aproximarse al valor $x = x 0$ mediante valores menores a $x 0$ , como:

$L^{-} = underset{x to { x_0}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x)$

El límite por derecha en $x 0$ , es decir, el límite al aproximarse al valor $x = x 0$ mediante valores mayores a $x 0$ , como:

$L^{+} = underset{x to { x_0}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x)$

Si estos dos límites en el entorno del punto $x 0$ existen y son iguales se dice que la función tiene limite en este punto.

$left . begin{array}{c} underset{x to { x_0}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L^{-} underset{x to { x_0}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L^{+} L^{-} = L^{+} end{array} right } quad underset{x to { x_0}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L$

Si una función tiene limite en un punto y su valor coincide con el valor de la función en ese punto, entonces la función es continua en ese punto:

$left . begin{array}{r} underset{x to { x_0}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L f(x_0) = L end{array} right } quad Continua$

en cualquier otro caso es discontinua en ese punto.

[editar] Tipos de discontinuidades

La discontinuidad de una función puede ser clasificada en:

$Discontinuidad { color{Red} left { begin{array}{l} Evitable Esencial { color{PineGreen} left { begin{array}{l} De ; primera ; especie { color{Blue} left { begin{array}{l} De ; salto ; finito De ; salto ; infinito Asint acute{o} tica end{array} right . } De ; segunda ; especie end{array} right . } end{array} right . }$

[editar] Discontinuidad evitable

Si una función tiene limite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:

$left . begin{array}{r} underset{x to { x_0}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L f(x_0) ne L end{array} right } quad Discontinuidad ; evitable$

o no existe:

$left . begin{array}{r} underset{x to { x_0}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L nexists ; f(x_0) end{array} right } quad Discontinuidad ; evitable$

se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, en ese punto, el valor del limite:

$left . begin{array}{r} underset{x to { x_0}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L f(x_0) = L end{array} right } quad Continua$

[editar] Discontinuidad esencial

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

Existen los límites laterales pero no coinciden.
Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. Ver asíntota.
No existe alguno de los límites laterales o ambos.

[editar] Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

[editar] De salto finito

Existen el limite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

$left . begin{array}{c} underset{x to { x_0}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L^{-} underset{x to { x_0}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L^{+} L^{-} ne L^{+} end{array} right } quad Discontinuidad ; de ; salto ; finito$

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:

$Salto = |lim_{xto {x_0}^{-}}f(x)-lim_{xto {x_0}^{+}}f(x)|$

[editar] De salto infinito

Si uno de los limites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el limite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:

$left . begin{array}{c} underset{x to { x_0}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L underset{x to { x_0}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty end{array} right } quad Discontinuidad ; de ; salto ; infinito$

como en el caso de que el limite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:

$left . begin{array}{c} underset{x to { x_0}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty underset{x to { x_0}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L end{array} right } quad Discontinuidad ; de ; salto ; infinito$

Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.

[editar] Discontinuidad asintótica

Si los dos limites laterales de la función en el punto $x 0$ son infinitos:

$left . begin{array}{c} underset{x to { x_0}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty underset{x to { x_0}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty end{array} right } quad Discontinuidad ; asint acute{o} tica$

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo $x = a$ la asíntota.

[editar] Discontinuidad de segunda especie

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los limites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

[editar] Galería de discontinuidades


$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty nexists ; underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty nexists ; underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L nexists ; underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L nexists ; underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) f(a) = L end{array} right .$
De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.


$left { begin{array}{l} nexists ; underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty end{array} right .$	$left { begin{array}{l} nexists ; underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty end{array} right .$	$left { begin{array}{l} nexists ; underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L end{array} right .$	$left { begin{array}{l} nexists ; underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L f(a) = L end{array} right .$
De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.


$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty end{array} right .$
Asintótica.	Asintótica.	Asintótica.	Asintótica.


$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty f(a) = L end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty f(a) = L end{array} right .$
De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.


$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L f(a) = L end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = -infty underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L f(a) = L end{array} right .$
De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.


$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L1 underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L2 L1 ne L2 end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L1 underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L2 L1 ne L2 end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L1 underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L2 L1 ne L2 end{array} right .$	$left { begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L nexists ; f(a) end{array} right .$
De salto finito.	De salto finito.	De salto finito.	Evitable

[editar] Caso de continuidad

Una función y= f(x) es continua en un punto a, si los limites por la derecha y la izquierda son iguales, y coinciden con el valor de la función en ese punto.

$left . begin{array}{r} left . begin{array}{l} underset{x to {a}^{-}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L underset{x to {a}^{+}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L end{array} right } underset{x to {a}}{L acute{imath}m} ; f(x) = L f(a) = L end{array} right } underset{x to {a}}{L acute{imath}m} ; f(x) = f(a)$

[editar] Ejemplos

Función del ejemplo 1,

f 1 (x)

: una discontinuidad evitable.

1. Sea la función

$f_1(x)=left{begin{matrix}x^2 & mbox{ para } x<1 0 & mbox { para } x=1 2-x& mbox{ para } x>1end{matrix}right.$

El punto $x 0 = 1$ es una discontinuidad evitable. Esta función puede hacerse contínua simplemente redefiniendo la función en este punto para que valga $f 1 (x 0) = 1$ .

Función del ejemplo 2,

f 2 (x)

: una discontinuidad por salto.

2. Sea la función

$f_2(x)=left{begin{matrix}x^2 & mbox{ para } x<1 0 & mbox { para } x=1 2-(x-1)^2& mbox{ para } x>1end{matrix}right.$

El punto $x 0 = 1$ es una discontinuidad por salto.

Función del ejemplo 3,

f 3 (x)

: una discontinuidad esencial.

3. Sea la función

$f_3(x)=left{begin{matrix}sinfrac{5}{x-1} & mbox{ para } x<1 0 & mbox { para } x=1 frac{0.1}{x-1}& mbox{ para } x>1end{matrix}right.$

El punto $x 0 = 1$ es una discontinuidad esencial, para lo cual hubiese bastado que uno de los dos límites laterales no exista o sea infinito (en este caso se cumple para ambos límites laterales: para el límite por izquierda y para el límite por derecha).

4. Funciones que no son continuas en ninguna parte

Existen funciones que no son continuas en ningún punto. La más conocida es la función característica de Q, es decir la función que toma como valor 1 cuando x pertenece al conjunto de los racionales, y 0 si no.

Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y= 0, y una infinidad (menor) de puntos en la recta y= 1.

5. Discontinuidad evitable.

Una función presenta un punto de Discontinuidad evitable si en ese punto se cumple que:

$lim_{x to a^-} f(x) = lim_{x to a^+} f(x)$
$nexists f(a)$

Pueden ser transformadas en otra función continua, dándole a f(a) el valor adecuado que la hace continua. Si modificamos una función obtenemos otra función, no la misma, por ello se dice que son evitables.

ejemplo: