Matemáticas4

MATEMÁTICAS4: NÚMERO AÚREO. ¿SON LOS NÚMEROS DIVINOS? ¿SE ASOCIAN CON LA DIVINIDAD? ¿TIENEN PODER?. El número áureo o de oro (también llamado número plateado, razón extrema y media,[1] razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional

petalofucsia - 14 de diciembre de 2010 - 14:05 - Matemáticas4

Número áureo

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Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

El número áureo o de oro (también llamado número plateado, razón extrema y media,^[1] razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:^[2]

$varphi = frac{1 + sqrt{5}}{2} approx 1.618033988749894848204586834365638117720309 ...$

También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),^[3] por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi (Φ,φ) es más común.

Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como cohetes, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

[editar] Definición

Números γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binario	1,1001111000110111011...
Decimal	1,6180339887498948482...
Hexadecimal	1,9E3779B97F4A7C15F39...
Fracción continua	$1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{ddots}}}}$
Algebraico	$frac{1 + sqrt{5}}{2}$

Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

$frac{a + b}{a} = frac{a}{b} = varphi$

Para obtener el valor de $varphi$ a partir de esta razón considere lo siguiente:

Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:

$frac{1 + x}{x} = frac{x}{1}$

Multiplicando ambos lados por x y reordenando:

$x^2 - x -1 = 0$

Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación son

$x_1 = frac{1 + sqrt{5}}{2} = varphi approx 1,61803$

$x_2 = frac{1 - sqrt{5}}{2} = -frac{1}{varphi} approx -0,61803$

La solución positiva es el valor del número áureo.

[editar] Historia del número áureo

Existen varios textos que sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fue usado conscientemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas. También es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además para que se pueda considerar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio y Álvaro Valarezo concluyen que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.^[4]

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera:

"Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."

Euclides en Los Elementos.

Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir es irracional.

Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido que el historiador griego Proclo escribió:

"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen."

Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.

Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave a la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.

A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito. Para Platón cada uno de los sólidos correspondía a una de las partículas que conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el dodecaedro.

En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Proporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo:

La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo, y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.
La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.

En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos

“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”

Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cósmico).

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales). Ohm escribe en una nota al pie:

"Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada."

Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales).

A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.

En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ del griego τομή que significa corte o sección. Sin embargo, la moderna denominación Φ ó φ, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Live, de Sir Theodore Cook.

[editar] El número áureo en las Matemáticas

[editar] Fórmula de la relación Áurea

Para conseguir un número cuya relación con otro sea φ se puede utilizar esta fórmula:

$a^{2} = b^{2}+ab$

Siendo siempre a>b, a>0 y b>0

Si por ejemplo, queremos un valor áureo para 2 siendo éste el segmento menor, o sea b, resulta que:

$a^2 = 4 + 2a$

Ordenando:

$a^2 - 2a -4 = 0$

Con la fórmula Cuadrática:

$a = 1 + sqrt{5}$

[editar] Propiedades y representaciones

[editar] Ángulo de oro

${frac{360^circ}{varphi+{1}}} approx 137{,}5^circ$

[editar] Propiedades algebraicas

Φ es el único número real positivo tal que:

$varphi^2 = varphi + 1$

La expresión anterior es fácil de comprobar:

$varphi^2 = frac{1 + 2sqrt{5} + 5}{2^2} = frac{6 + 2sqrt{5}}{2^2} = frac{3 + sqrt{5}}{2}$ $varphi + 1 = frac{1 + sqrt{5}}{2} + frac{2}{2} = frac{3 + sqrt{5}}{2}$

Φ posee además las siguientes propiedades:

$varphi - 1 = frac{1}{varphi}$ $varphi^3 = frac {varphi + 1} {{varphi - 1}}$

Las potencias del número áureo pueden ser escritas en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, estableciendo una verdadera sucesión recurrente de potencias.

El caso más simple es: $Φ n = Φ n - 1 + Φ n - 2$ , cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.

Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma $a 1 u n + k - 1 + a 2 u n + k - 2 + ... + a k u n$ , donde $a i$ es cualquier número real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es $k = 2$ , $a 1 = 1$ y $a 2 = 1$ .

Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:

$Φ n = Φ n - 2 + 2Φ n - 3 + Φ n - 4$ . Aquí $k = 4$ , $a 1 = 0$ , $a 2 = 1$ , $a 3 = 2$ y $a 4 = 1$ .

Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:

$Φ n = Φ n - 3 + 3Φ n - 4 + 3Φ n - 5 + Φ n - 6$

En general:

$Phi^n = sum_{i=0}^{textstyle frac {1}{2} k}{textstyle frac{1}{2}kchoose i}Phi^{left [textstyle n-left(textstyle frac{1}{2}k+iright)right]}textstyle;k=2jin mathbb{N},textstyle, nin mathbb{N},textstyle, iin mathbb{N}$ .

En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8, ..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de $Φ$ , hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de $Φ$ corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.

Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay un parentesco.

El número áureo $frac{sqrt{5} + 1}{2}$ es la unidad fundamental «ε» del cuerpo $mathbb{R}left(sqrt{5}right)$ y la sección áurea $frac{sqrt{5} - 1}{2}$ es su inversa, « $varepsilon^{-1}$ ». En esta extensión el «emblemático» número irracional $sqrt{2}$ cumple las siguientes igualdades:

$sqrt{2}=frac{sqrt{5}+1}{2}sqrt{3-sqrt{5}}=frac{sqrt{5}-1}{2}sqrt{3+sqrt{5}}$ .

[editar] Representación mediante fracciones continuas

La expresión mediante fracciones continuas es:

$varphi = 1 + frac{1}{varphi} quad longrightarrow quad varphi = 1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + ...}}}}$

Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado de aproximabilidad mediante racionales posible.^[5]

Por ello se dice que $φ$ es el número más alejado de lo reacional o el número más irracional. Este es el motivo por el cual aparece en el teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser.

[editar] Representación mediante ecuaciones algebraicas

$(varphi)(varphi - 1) = 1 quad longrightarrow quad (varphi)^2 - varphi - 1 = 0 quad longrightarrow quad varphi = frac{1 + sqrt{5}}{2}$

El número áureo $frac{sqrt{5} + 1}{2}$ y la sección áurea $frac{sqrt{5} - 1}{2}$ son soluciones de las siguientes ecuaciones:

$x^2 - sqrt{5}, x + 1 = 0$

$x^3 - y^3 - 4 = 0$

$x^4 - 3 x^2 + 1 = 0 = (x^2 - x - 1) (x^2 + x - 1)$

[editar] Representación trigonométrica

$varphi = 1+2sin(pi/10) = 1 + 2sin 18^circ$ $varphi = {1 over 2}csc(pi/10) = {1 over 2}csc 18^circ$ $varphi = 2cos(pi/5)=2cos 36^circ$ $varphi = frac{1}{2} sec frac{2}{5} , pi = frac{1}{2} sec 72^circ$ $varphi = frac{sin(2pi/5)}{sin(1pi/5)} , = frac{sin(72^circ)}{sin(36^circ)}$

Éstas corresponden al hecho de que el diámetro de un pentágono regular (distancia entre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el pentagrama.

En 1994 se derivaron las siguientes ecuaciones relacionando al número áureo con el número de la Bestia:

$frac{varphi}{2}=-sin666^circ=-cos(6cdot 6 cdot 6^circ).$

Lo que puede combinarse en la expresión:

$varphi=-sin666^circ-cos(6cdot 6 cdot 6^circ).$

Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan los grados sexagesimales como unidad angular, ya que las ecuaciones no se mantienen para unidades diferentes.

[editar] Representación mediante raíces anidadas

$varphi = sqrt{1 + varphi} quad longrightarrow quad varphi = sqrt{1 + sqrt{1 + sqrt{1 + sqrt{1 +cdots }}}}$

Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917.

El teorema general dice:

La expresión $lim_{n to infty} sqrt{a_1 + sqrt{a_2 + sqrt{a_3 + sqrt{a_4 +sqrt{cdots + sqrt{a_n}}}}}}$ (donde $a i = a$ ), es igual a la mayor de las raíces de la ecuación x² - x - a = 0; o sea, $frac {1 + sqrt{1 + 4a}}{2}$

[editar] Relación con la serie de Fibonacci

Si se denota el enésimo número de Fibonacci como F_n, y al siguiente número de Fibonacci, como F_{n + 1}, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: $textstyle frac{3}{2}= 1,5$ ; $textstyle frac{8}{5} = 1,6$ ; y $textstyle frac{21}{13}= 1,61538461...$ , lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:

$varphi = 1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + ...}}}} = lim_{n to infty}frac{F_{n +1}}{F_n} = phi$

Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, sin embargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson.

Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Por ejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios, como pudieran ser 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3 - 7 - 10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301 ... Los cocientes de términos sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercan asintóticamente por exceso y por defecto al mismo límite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 = 1,613636...; 301/186 = 1,6182795... ^[6]

A mediados del siglo XIX el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:

$F_n = frac{1}{sqrt{5}} left [ left (frac{1 +sqrt{5}}{2} right )^n - left (frac{1 - sqrt{5}}{2}right )^n right ]quad=frac{1}{sqrt{5}} left [ left ( phi right )^n - left (frac{-1}{phi} right )^n right ] quad$

[editar] El número áureo en la geometría

El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, pentágonos o aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

Relaciones entre las partes del pentágono.
Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.
Relaciones entre las partes del decágono.
Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.

[editar] El rectángulo áureo de Euclides

Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.

El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides en su proposición 2.11 de Los elementos obtiene su construcción.>

$GC = sqrt{5}$

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto

$GE=GC=sqrt{5}$

resultando evidente que

$AE = AG + GE = 1 + sqrt{5}$

de donde, finalmente

$frac{AE}{AD} = frac{1 + sqrt{5}}{2}= varphi$

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este último es asimismo un rectángulo áureo.

[editar] En el pentagrama

Pentagrama que ilustra algunas de las razones áureas: los segmentos rojo y azul, azul y verde, verde y morado.

El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, interseca a otro segmento en una razón áurea.

El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen como los triángulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.

[editar] El teorema de Ptolomeo y el pentágono

Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentágono regular.

Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema un cuadrilátero es formado al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que b² = a² + ab lo que implica:

${b over a}={{(1+sqrt{5})}over 2},.$

[editar] Relación con los sólidos platónicos

El número áureo está relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo. Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2, pueden darse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos: (0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)

Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1, también se pueden dar en términos similares: (±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)

Las 12 esquinas de los rectángulos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro.

Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se pueden expresar también en términos del número áureo:

$A = 3sqrt{15 +20varphi} cdot a^2$ $V = frac {4 + 7varphi}{2} cdot a^3$

Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinas de los rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro:

El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.

[editar] El número áureo en la Naturaleza

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Concha de nautilus en espiral logarítmica.

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o los números de Fibonacci:

Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la aparición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático . El cociente de dos términos sucesivos de la Sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.^[7]

La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci.
La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
La distancia entre las espirales de una Piña.

La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.^[8] ^[9] Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente.^[10]
Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999..." En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º 30' 28" en el mejor de los casos. Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empíricamente por Church y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. En la práctica no puede medirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea, con una pequeña desviación respecto al valor teórico.
En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión tiende al número áureo.
Existen cristales de Pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentágonos irregulares. Sin embargo, las proporciones de dicho poliedro irregular no involucran el número áureo.
El número áureo en el cine:

El número Fi aparece en la película de Disney "Donald en el país de las Matemágicas"

[editar] El número áureo en el ser humano

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La Anatomía de los humanos se basa en una relación Φ estadística y aproximada, así vemos que:
- La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
- La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
- La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
- La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ.
- La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz
- Es Φ la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar
- Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene Φ, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).

[editar] El número áureo en el Arte

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Hombre de Vitruvio Leonardo da Vinci

Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo $left( 1,;sqrt{frac{sqrt{5} + 1}{2}},;frac{sqrt{5} + 1}{2}right)$ , donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice (inexistente en la actualidad) y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), se apoya en la interpretación de un pasaje de Heródoto (Historiae, libro II, cap. 124) y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de interés geométrico.^[11] No obstante, con base en mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades.

La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Teeteto de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados "estáticos" y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o reducibles a ellas, "dinámicos". El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5.^[12] Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del Partenón en un rectángulo de módulo $frac {4Phi - 2}{Phi + 1}$ . Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales. Este rectángulo es descompuesto en seis de módulo $sqrt {5}$ y cuatro cuadrados.^[13] Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores, en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.^[14]

En el cuadro Leda atómica de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka.

En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros.
Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.
En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).
En la pág. 56 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones de este número fi (1,618) en la naturaleza.
En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del nautilus.

Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión.
En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos el personaje central, Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola incorrectamente como Theta (θ) en vez de Phi (Φ).

[editar] El número áureo en el misticismo

En la cruz latina, símbolo del catolicismo, la relación entre el palo vertical y el horizontal es el número áureo. Así mismo, el palo horizontal divide al vertical en secciones áureas. ^{[cita requerida]}

[editar] Véase también

[editar] Referencias

↑ Fernando Corbalán (2010). La proporción áurea. RBA Coleccionables S. A.. ISBN 978-84-473-6623-1.
↑ Este número es irracional, aunque es algebraico y también constructible mediante regla y compás, y existen numerosas aproximaciones racionales con mayor o menor error. En el año 2008 se obtuvieron cien mil millones de cifras decimales correctas. (Ver: http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html) Al igual que ocurre con la raíz cuadrada de dos, es posible construir un segmento idealmente exacto con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un compás de abertura variable. ¿Qué significa esto? Que ningún dibujo puede ser tan fino como para representar el concreto y real valor puntual del número áureo. Cualquier objeto construido por el hombre o formado naturalmente, aunque se tuviera la intención manifiesta de lograr una representación de ese número, llevaría consigo un error inevitable. Un segmento de recta tan pequeño como el diámetro aparente de la partícula atómica más pequeña tiene tantos puntos geométricos como toda la recta. Con todo, la construcción geométrica es idealmente exacta y por este motivo se estimó durante un tiempo considerable a la geometría como superior a la aritmética. La diferencia está en que el valor aritmético está dado como un infinito potencial y el valor geométrico como un infinito actual, generando un segmento de recta constructible.
↑ Proporción Áurea en WolframMathWorld
↑ Mario Livio (2002). The Golden Ratio. Broadway Books. ISBN 0-7679-0816-3.
↑ Bad approximable numbers in WolframMathWorld
↑ Trabajo presentado por Mark Barr y Shooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.
↑ N. N. Vorobiov; traducción de Carlos vega (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, rústica, 112 páginas.
↑ Matila Ghyka (1953). Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo V: "Del Crecimiento Armonioso", páginas 118 a 144.
↑ D'Arcy Wentworth Thompson (1917). "On Growth and Form". Cambridge University Press. D'Arcy Wentworth Thompson (1992). "On Growth and Form". Dover edition, 1116 páginas. D'Arcy Thompson (1980). "Sobre el Crecimiento y la Forma. Editorial Hermann Blume, Madrid. Existen ediciones de unas 300 páginas, una reciente de Cambridge.
↑ Es una paráfrasis de un pensamiento de Ruskin mencionado en la página 139 del libro citado de Matila Ghyka
↑ "Lógicamente, la tesis de la sección áurea parecería más probable, porque de ella emana una construcción rigurosa, elegante y sencilla del triángulo meridiano, mientras que en la otra hipótesis, aún suponiendo conocido con una aproximación muy grande el valor de π, la construcción sería puramente empírica y desprovista de verdadero interés geométrico" [Es notable, además, que aunque los antiguos no sabían de la trascendencia de π, estaban completamente conscientes de la carencia de exactitud de algunos intentos de cuadratura del círculo] Matila Ghyka (1953). Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo VIII: "La Pirámide de Keops", página 222.
↑ Jay Hambidge (1920; 1930; 1931). "Dynamic Symmetry The Greek Vase". Yale University Press, New Haven. Jay Hambidge (22/08/2007). Dynamic Symmetry The greek vase. Rough Draf Printing. ISBN 978-1-60386-037-6.
↑ Jay Hambidge (1924). "The Parthenon and Other Greek temples, their Dynamic Symmetry". Yale University Press, New haven. Hay todavía disponibles ejemplares de esa edición, tanto nuevos como usados y a la venta a aproximadamente $ (USA) 250.
↑ Banister; Fletcher. "A History of Architecture". B. T. Basford, Londres.

[editar] Bibliografía

En orden cronológico:

Jarolimek (Viena, 1890). Der Mathematischen Schlüssel zu der Pyramide des Cheops.

Kleppisch, K. (1921). Die Cheops-Pyramide: Ein Denkmal Mathematischer Erkenntnis. Múnich: Oldenburg.

Cook, Theodore Andrea (1979; obra original: 1914). The Curves of Live. Nueva York: Dover. ISBN 0-486-23701-X; ISBN 978-0-486-23701-5.

Pacioli, Luca (1991). La Divina Proporción. Tres Cantos: Ediciones Akal, S. A.. ISBN 978-84-7600-787-7.

Ghyka, Matila (1992). El Número de Oro. Barcelona: Poseidón, S.L.. ISBN 978-84-85083-11-4.

Ghyka, Matila (2006). El Número de Oro. I Los ritmos. II Los Ritos. Madrid: Ediciones Apóstrofe, S. L.. ISBN 978-84-455-0275-4.

Corbalán, Fernando (2010). La proporción áurea. RBA Coleccionables S. A.. ISBN 978-84-473-6623-1.

[editar] Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número áureo. Commons
Astronomy.swin.edu.au (Fi, la sección áurea).
ChampionTrees.org (Fi: la proporción divina).
GoldenRatio.com.ar (propiedades interesantes del número áureo y aplicación en la biología).
MCS.Surrey.ac.uk (La sección áurea: fi).
MathWorld.Wolfram.com/GoldenRatio.html (la sección áurea).
Rt000z8y.EresMas.net (una buena página que explica Φ detalladamente]
Rt000z8y.EresMas.net (más ejemplos de Φ en la vida).
Castor.es (El número Fi en la arquitectura, pintura, animales, plantas etc.)
Gráficas de sucesiones áureas en MATLAB
Gráficas de sucesiones áureas en MATLAB II
El número de Oro - La Razón Aurea
http://www.palermo.edu/ingenieria/downloads/Investigacion/ElNumeroyloSagrado1P.pdf

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo"

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MATEMÁTICAS4: EL NÚMERO PI. π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería.

petalofucsia - 14 de diciembre de 2010 - 14:02 - Matemáticas4

Número π

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π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

$pi approx 3{,}14159265358979323846...$

El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.

π

es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es una constante en geometría euclidiana.

Lista de números – Números irracionales ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
Binario	11,00100100001111110110…
Decimal	3,14159265358979323846…
Hexadecimal	3,243F6A8885A308D31319…
Fracción continua	$3 + cfrac{1}{7 + cfrac{1}{15 + cfrac{1}{1 + cfrac{1}{292 + ddots}}}}$ Nótese que la fracción continua no es periódica.

Contenido

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[editar] El nombre π

Letra griega pi. Símbolo adoptado en 1706 por William Jones y popularizado por Leonhard Euler.

La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro) de un círculo,^[1] notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660), y propuesto su uso por el matemático galés William Jones^[2] (1675-1749), aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748, quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (que no se debe confundir con el número de Arquímedes).

[editar] Historia del cálculo del valor π

La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π son las siguientes.

[editar] Antiguo Egipto

Detalle del papiro Rhind.

El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind,^[3] donde se emplea un valor aproximado de π afirmando que: el área de un círculo es similar a la de un cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a 8/9 del diámetro. En notación moderna:

$S = pi r^2 simeq left( frac{8}{9} cdot d right)^2 = frac{64}{81} d^2 = frac{64}{81} left(4 r^2right)$

$pi simeq frac{256}{81} = 3{,}16049 ldots$

Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua cultura egipcia, en dos se habla de círculos. Uno es el papiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Sólo en el primero se habla del valor aproximado del número π. El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su libro The Exact Sciences in Antiquity,^[4] describe un método inspirado en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de π, mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 9.

[editar] Mesopotamia

Algunos matemáticos mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos, valores de π igual a 3, alcanzando en algunos casos valores más aproximados, como el de 3 + 1/8.

[editar] Referencias bíblicas

Una de las referencias indirectas más antiguas del valor aproximado de π se puede encontrar en un versículo de la Biblia:

«Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tenía cinco codos de altura y a su alrededor un cordón de treinta codos.»

I Reyes 7:23 (Reina-Valera 1995)

Una cita similar se puede encontrar en II Crónicas 4:2. En él aparece en una lista de requerimientos para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C. Ambas citas dan 3 como valor de π lo que supone una notable pérdida de precisión respecto de las anteriores estimaciones egipcia y mesopotámica.

Método de Arquímedes para encontrar dos valores que se aproximen al número π, por exceso y defecto.

Método de aproximación de Liu Hui.

[editar] Antigüedad clásica

El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el valor de π, entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método usado por Arquímedes^[5] era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.

Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero romano Vitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8 midiendo la distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro conocido.

En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones:

$pi simeq frac{377}{120} = 3{,}1416 ldots$

[editar] Matemática china

El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticos expertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrólogo chino Chang Hong (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximación $sqrt {10}$ , que dedujo de la razón entre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita. Un siglo después, el astrónomo Wang Fang lo estimó en 142/45 (3,155555), aunque se desconoce el método empleado.^[6] Pocos años después, hacia 263, el matemático Liu Hui fue el primero en sugerir^[7] que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96^[8] o 192^[6] lados. Posteriormente estimó π como 3,14159 empleando un polígono de 3.072 lados.^[8] ^[9]

A finales del siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de π en 3,1415926 al que llamó «valor por defecto» y 3,1415927 «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de π: 22/7 y 355/113 muy conocidas ambas,^[10] siendo la última aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta más de nueve siglos después, en el siglo XV.^[8]

[editar] Matemática india

Usando un polígono regular inscrito de 384 lados, a finales del siglo V el matemático indio Aryabhata estimó el valor en 3,1416. A mediados del siglo VII, estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmagupta calcula π como $sqrt {10}$ , cálculo mucho menos preciso que el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene una aproximación exacta hasta 11 dígitos (3,14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar la estimación.^[6]

[editar] Matemática islámica

En el siglo IX Al-Jwarizmi en su "Álgebra" (Hisab al yabr ua al muqabala) hace notar que el hombre práctico usa 22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de π con nueve dígitos, empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2π = 6,2831853071795865.

[editar] Renacimiento europeo

John Wallis (1616–1703).

Leonhard Euler (1707–1783).

A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en los cálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para π. El matemático Fibonacci, en su «Practica Geometriae», amplifica el método de Arquímedes, proporcionando un intervalo más estrecho. Algunos matemáticos del siglo XVII, como Viète, usaron polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse con buena precisión a 3,141592653. En 1593 el flamenco Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus) obtiene una precisión de 16 dígitos decimales usando el método de Arquímedes.

[editar] Época moderna (pre-computacional)

En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de π. Se dice que estaba tan orgulloso de esta hazaña que lo mandó grabar en su lápida. Los libros de matemática alemanes durante muchos años denominaron a π como número ludolfiano. En 1665 Isaac Newton desarrolla la serie^[11]

$arcsin {x} = x + frac {1}{2} cdot frac {x^3}{3} + frac{1 cdot 3}{2cdot 4} cdot frac {x^5}{5} + frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6} cdot frac{x^7}{7} + ldots$

Con $x = frac {1} {2}$ obtuvo una serie para $arcsin(frac {1} {2}) = frac {pi} {6}$ .

El matemático inglés John Wallis desarrolló en 1655 la conocida serie Producto de Wallis:

$frac{2}{1} cdot frac{2}{3} cdot frac{4}{3} cdot frac{4}{5} cdot frac{6}{5} cdot frac{6}{7} cdot frac{8}{7} cdot frac{8}{9} cdot dots = frac{pi}{2}$ .

En 1699, a sugerencia de Edmond Halley, el matemático inglés Abraham Sharp (1651-1742) calculó pi con una precisión de 71 dígitos decimales usando la serie de Gregory:

$arctan (x) = x - frac {x^3} {3} + frac {x^5} {5} - ldots$

Con $x = frac {1} {sqrt{3}}$ se obtiene una serie para $arctan (frac {1} {sqrt{3}}) = frac {pi} {6}$ . Para alcanzar la precisión obtenida, debió usar alrededor de trescientos términos en la serie. En 1720 el francés Thomas de Lagny utilizó el mismo método para obtener una aproximación de 127 dígitos (solo los primeros 112 eran correctos).

Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 la siguiente serie matemática que lleva su nombre:

$sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - dots = frac{pi}{4}$ .

Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3,14159 andc. = π». Leonhard Euler adoptó el conocido símbolo en 1737, que se convirtió en la notación habitual hasta nuestros días.

El matemático japonés Takebe empezó a calcular el número π en el año 1722, con el mismo método expuesto por Arquímedes, y fue ampliando el número de lados para polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1.024 lados. Este ingente trabajo consiguió que se determinara π con 41 decimales.

En 1789 el matemático de origen esloveno Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en 1706, fue el primero en averiguar los primeros 140 decimales de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord se mantuvo durante 52 años, hasta que en 1841 William Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales 152 eran correctos.

El matemático aficionado de origen inglés William Shanks dedicó cerca de 20 años a calcular π y llegó a obtener 707 decimales en 1873. En el año 1944, D. F. Ferguson encontró un error en la posición decimal 528 de la serie de Shanks, a partir del cual todos los dígitos posteriores eran erróneos. En 1947, Ferguson recalculó π con 808 decimales con la ayuda de una calculadora mecánica.

Algunas aproximaciones históricas de valores de π, anteriores a la época computacional, se muestran en la siguiente tabla:

Año	Matemático o documento	Cultura	Aproximación	Error (en partes por millón)
~1900 a. C.	Papiro de Ahmes	Egipcia	2⁸/3⁴ ~ 3,1605	6016 ppm
~1600 a. C.	Tablilla de Susa	Babilónica	25/8 = 3,125	5282 ppm
~600 a. C.	La Biblia (Reyes I, 7,23)	Judía	3	45070 ppm
~500 a. C.	Bandhayana	India	3,09	16422 ppm
~250 a. C.	Arquímedes de Siracusa	Griega	entre 3 10/71 y 3 1/7 empleó 211875/67441 ~ 3,14163	<402 ppm 13,45 ppm
~150	Claudio Ptolomeo	Greco-egipcia	377/120 = 3,141666...	23,56 ppm
263	Liu Hui	China	3,14159	0,84 ppm
263	Wang Fan	China	157/50 = 3,14	507 ppm
~300	Chang Hong	China	10^1/2 ~ 3,1623	6584 ppm
~500	Zu Chongzhi	China	entre 3,1415926 y 3,1415929 empleó 355/113 ~ 3,1415929	<0,078 ppm 0,085 ppm
~500	Aryabhata	India	3,1416	2,34 ppm
~600	Brahmagupta	India	10^1/2 ~ 3,1623	6584 ppm
~800	Al-Juarismi	Persa	3,1416	2,34 ppm
1220	Fibonacci	Italiana	3,141818	72,73 ppm
1400	Madhava	India	3,14159265359	0,085 ppm
1424	Al-Kashi	Persa	2π = 6,2831853071795865	0,1 ppm

[editar] Época moderna (computacional)

Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con la mayor cantidad de cifras posible. De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords, obteniendo 2.037 cifras decimales en 70 horas. Poco a poco fueron surgiendo ordenadores que batían récords y, de esta forma, pocos años después (1954) un NORAC llegó a 3.092 cifras. Durante casi toda la década de los años 1960 los IBM fueron batiendo récords, hasta que un IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250.000 cifras decimales (en 8 h y 23 min). Durante esta época se probaban las nuevas computadoras con algoritmos para la generación de series de números procedentes de π.

En la década de 2000, los ordenadores son capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. En 2009 se hallaron más de dos billones y medio de decimales de pi mediante el uso de una supercomputadora T2K Tsukuba System, compuesta por 640 computadoras de alto rendimiento, que juntas consiguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops. Lo obtuvieron en 73 horas y 36 minutos.

Año	Descubridor	Ordenador utilizado	Número de cifras decimales
1949	G.W. Reitwiesner y otros^[12]	ENIAC	2.037
1954		NORAC	3.092
1959	Guilloud	IBM 704	16.167
1967		CDC 6600	500.000
1973	Guillord y Bouyer^[12]	CDC 7600	1.001.250
1981	Miyoshi y Kanada^[12]	FACOM M-200	2.000.036
1982	Guilloud		2.000.050
1986	Bailey	CRAY-2	29.360.111
1986	Kanada y Tamura^[12]	HITAC S-810/20	67.108.839
1987	Kanada, Tamura, Kobo y otros	NEC SX-2	134.217.700
1988	Kanada y Tamura	Hitachi S-820	201.326.000
1989	Hermanos Chudnovsky	CRAY-2 y IBM-3090/VF	480.000.000
1989	Hermanos Chudnovsky	IBM 3090	1.011.196.691
1991	Hermanos Chudnovsky		2.260.000.000
1994	Hermanos Chudnovsky		4.044.000.000
1995	Kanada y Takahashi	HITAC S-3800/480	6.442.450.000
1997	Kanada y Takahashi	Hitachi SR2201	51.539.600.000
1999	Kanada y Takahashi	Hitachi SR8000	68.719.470.000
1999	Kanada y Takahashi	Hitachi SR8000	206.158.430.000
2002	Kanada y otros^[12] [3]	Hitachi SR8000/MP	1.241.100.000.000
2004		Hitachi	1.351.100.000.000
2009	Daisuke Takahashi^[13]	T2K Tsukuba System	2.576.980.370.000
2009	Fabrice Bellard^[14]	Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB	2.699.999.990.000
2010	Shigeru Kondo	2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz	5.000.000.000.000

En la época computacional del cálculo de π las cifras se han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords.

[editar] Características matemáticas

Se muestra la relación entre un cuadrado de lado

r

y un círculo de radio

r

. El área del círculo es

π r 2

[editar] Definiciones

Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante.^[15] No obstante, existen diversas definiciones del número $π$ , pero las más común es:

$π$ es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

Por tanto, también $π$ es:

El área de un círculo unitario (de radio unidad del plano euclídeo).
El menor número real $x$ positivo tal que $sen(x) = 0$ .

También es posible definir analíticamente $π$ ; dos definiciones son posibles:

La ecuación sobre los números complejos $e i x + 1 = 0$ admite una infinidad de soluciones reales positivas, la más pequeña de las cuales es precisamente $π$ .
La ecuación diferencial $S''(x) + S (x) = 0$ con las condiciones de contorno $S (0) = 0, S'(0) = 1$ para la que existe solución única, garantizada por el teorema de Picard-Lindelöf, es un función analítica cuya raíz positiva más pequeña es precisamente $π$ .

[editar] Número irracional y trascendente

Artículo principal: Prueba de que π es irracional

Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.

También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler,^[16] 1953), es decir, no sólo es trascendental sino que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales "rápidamente convergente" (Stoneham 1970^{[cita requerida]}).

[editar] Las primeras cincuenta cifras decimales

A pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada la máxima cantidad posible de decimales. Los cincuenta primeros son:

$π$ ≈ 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

Para ver secuencias mayores de este número consúltese las referencias, así como Las primeras diez mil cifras decimales A00796 y OEIS.

En ciencia e ingeniería, esta constante puede emplearse, la mayoría de las veces, con una precisión de sólo una docena de decimales. Con cincuenta decimales se podría describir con precisión la curvatura del Universo con un error más pequeño que el tamaño de un protón.^[17]

[editar] Fórmulas que contienen el número π

[editar] En geometría

Longitud de la circunferencia de radio r: C = 2 π r

Áreas de secciones cónicas:

Área del círculo de radio r: A = π r²
Área de la elipse con semiejes a y b: A = π ab

Áreas de cuerpos de revolución:

Área del cilindro: 2 π r (r+h)
Área del cono: π r² + π r g
Área de la esfera: 4 π r²

Volúmenes de cuerpos de revolución:

Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³
Volumen de un cilindro recto de radio r y altura h: V = π r² h
Volumen de un cono recto de radio r y altura h: V = π r² h / 3

Ecuaciones expresadas en radianes:

Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes.

[editar] En probabilidad

La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²
Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4
El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante).
Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: Dπ/2L

[editar] En análisis matemático

Fórmula de Leibniz: $sum_{n=0}^{infty }{{{left(-1right)^{n}}over{2,n+1}}}=frac{1}{1} - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + frac{1}{9} - cdots = frac{pi}{4}$
Producto de Wallis: $prod_{n=1}^{infty }{{{4,n^2}over{4,n^2-1}}}=frac{2}{1} cdot frac{2}{3} cdot frac{4}{3} cdot frac{4}{5} cdot frac{6}{5} cdot frac{6}{7} cdot frac{8}{7} cdot frac{8}{9} cdots = frac{pi}{2}$
Euler: $sum_{n=0}^{infty }cfrac{2^n n!^2}{(2n + 1)!}=1 + frac{1}{3} + frac{1 cdot 2}{3 cdot 5} + frac{1 cdot 2 cdot 3}{3 cdot 5 cdot 7} + cdots = frac{pi}{2}$
Identidad de Euler $e^{pi i} + 1 = 0;$
Área bajo la campana de Gauss: $int_{-infty}^{infty} e^{-x^2} dx = sqrt{pi}$
Fórmula de Stirling: $n! approx sqrt{2 pi n} left(frac{n}{e}right)^n$
Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1735: $zeta(2) = frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + cdots = frac{pi^2}{6}$
Euler: $zeta(4)= frac{1}{1^4} + frac{1}{2^4} + frac{1}{3^4} + frac{1}{4^4} + cdots = frac{pi^4}{90}$
Además, π tiene varias representaciones como fracciones continuas: $frac{4}{pi} = 1 + cfrac{1}{3 + cfrac{4}{5 + cfrac{9}{7 + cfrac{16}{9 + cfrac{25}{11 + cfrac{36}{13 + cfrac{ldots}{ddots}}}}}}}$
También como desarrollo en series: $pi = sum_{k=0}^infty frac{2(-1)^k; 3^{frac{1}{2} - k}}{2k+1}$
Formas de representación aproximada a $π$ ^[18] $frac {355}{113} = 3.141592....$ $sqrt[29] {261424513284461} approx pi$
Método de Montecarlo En un círculo de radio r inscrito en un cuadrado de lado 2R (2 veces el radio), el área del círculo es πr² y la del cuadrado (2r)². De esto se deduce que la relación de área entre el cuadrado y el círculo de π/4.^[19]

[editar] Cómputos de π

Categoría principal: Algoritmos de cálculo de Pi

[editar] Pi y los números primos

Utilizando el inverso del producto de Euler para la función zeta de Riemann y para el valor del argumento igual a 2 se obtiene:

$frac{1}{zeta(2)}=lim_{ntoinfty atop p_n in mathbf{P}}left (1-frac{1}{2^2}right )left (1-frac{1}{3^2}right )left (1-frac{1}{5^2}right )left (1-frac{1}{7^2}right )left (1-frac{1}{11^2}right )...left (1-frac{1}{p_{n}^2}right )=frac{6}{pi^2}$

donde p_n es el n-ésimo número primo. Euler fue el primero en hallar este valor de la función zeta (empleando la expresión de sumatoria) y resolviendo así el famoso Problema de Basilea.

[editar] Fórmula de Machin

Una forma exacta de poder calcular π en términos de tangentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula de Machin, descubierta en 1706:

$frac{pi}{4} = 4 arctanfrac{1}{5} - arctanfrac{1}{239}$

Muchos matemáticos emplearon esta fórmula para averiguar dígitos por encima de la centena (por ejemplo, el ya citado Shanks, que con esta fórmula calculó 707 posiciones decimales de π).

[editar] Métodos eficientes

Los primeros millones de dígitos de π y 1/π se pueden consultar en Proyecto Gutenberg (véase enlaces externos). Uno de los records más recientes fue alcanzado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio, fijando el número pi con 1.241.100.000.000 dígitos; se necesitaron unas 602 horas con un superordenador de 64 nodos Hitachi SR8000 con una memoria de un terabyte capaz de llevar a cabo 2 billones de operaciones por segundo, más de seis veces el record previo (206 mil millones de dígitos). Para ello se emplearon las siguientes fórmulas modificadas de Machin:

K. Takano (1982).

$frac{pi}{4} = 12 arctanfrac{1}{49} + 32 arctanfrac{1}{57} - 5 arctanfrac{1}{239} + 12 arctanfrac{1}{110443}$

F. C. W. Störmer (1896).

$frac{pi}{4} = 44 arctanfrac{1}{57} + 7 arctanfrac{1}{239} - 12 arctanfrac{1}{682} + 24 arctanfrac{1}{12943}$

Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan ingente de dígitos que puede decirse que ya no es útil sino para comprobar el funcionamiento de los superordenadores. La limitación no está en la computación sino en la memoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidad tan grande de números.

[editar] Aproximaciones geométricas a π

Es posible obtener una aproximación al valor de π de forma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron obtener sin éxito una solución exacta al problema del valor de π mediante el empleo de regla y compás. El problema griego conocido como cuadratura del círculo o, lo que es lo mismo, obtener un cuadrado de área igual al área de un círculo cualquiera, lleva implícito el cálculo del valor exacto de π.

Una vez demostrado que era imposible la obtención de π mediante el uso de regla y compás, se desarrollaron varios métodos aproximados. Dos de las soluciones aproximadas más elegantes son las debidas a Kochanski (usando regla y compás) y la de Mascheroni (empleando únicamente un compás).

[editar] Método de Kochanski

Método de Kochanski.

Se dibuja una circunferencia de radio R. Se inscribe el triángulo equilátero OEG. Se traza una recta paralela al segmento EG que pase por A, prolongándola hasta que corte al segmento OE, obteniendo D. Desde el punto D y sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de la circunferencia y se obtiene el punto C. El segmento BC es aproximadamente la mitad de la longitud de la circunferencia.

Demostración (suponiendo R = 1)

$BC^2=AB^2+(3-DA)^2 ,!$

$OF= frac{sqrt{3}}{2}$

$frac{DA}{EF} = frac{OA}{OF} rightarrow frac{DA}{1/2}=frac{1}{sqrt{3}/2} rightarrow DA=frac{sqrt{3}}{3}$

Sustituyendo en la primera fórmula:

$BC^2= 2^2+left (3-frac{sqrt{3}}{3}right )^2 rightarrow BC = sqrt{40-6 sqrt{3} over 3}=3,141533...$

[editar] Método de Mascheroni

Método de Mascheroni.

Método desarrollado por Lorenzo Mascheroni: se dibuja una circunferencia de radio R y se inscribe un hexágono regular. El punto D es la intersección de dos arcos de circunferencia: BD con centro en A', y CD con centro en A. Obtenemos el punto E como intersección del arco DE, con centro en B, y la circunferencia. El segmento AE es un cuarto de la longitud de la circunferencia, aproximadamente.

Demostración (suponiendo R = 1)

$AD=AC=sqrt{3}$ $OD=sqrt{3-1}=sqrt{2}$

$BE=BD=sqrt{(OD-MB)^2+MO^2}$ $BE=BD=sqrt{left( sqrt{2}-frac{sqrt{3}}{2} right)^2+frac{1}{4}}=sqrt{3-sqrt{6}}$

Por el teorema de Ptolomeo, en el cuadrilátero ABEB'

$BB' cdot AE=AB cdot EB' + BE cdot AB'$

$2 cdot AE= sqrt{1+sqrt{6}}+sqrt{9-3 cdot sqrt{6}}=3,142399...$

[editar] Uso en matemáticas y ciencia

π es ubicuo en matemáticas; aparece incluso en lugares que carecen de una conexión directa con los círculos de la geometría euclídea.^[20]

[editar] Geometría y trigonometría

Véase también: Área de un círculo

Para cualquier círculo de radio r y diámetro d = 2r, la longitud de la circunferencia es πd y el área del círculo es πr². Además, π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de muchas otras figuras geométricas relacionadas con la circunferencia, como elipses, esferas, conos, y toroides.^[21] π aparece en integrales definidas que describen la circunferencia, área o volumen de figuras generadas por circunferencias y círculos. En el caso básico, la mitad del área de un círculo unitario es:^[22]

$int_{-1}^1 sqrt{1-x^2},dx = frac{pi}{2}$

y la mitad de la longitud de la circunferencia unitaria es:^[23]

$int_{-1}^1frac{1}{sqrt{1-x^2}},dx = pi$

Se puede integrar formas más complejas como sólidos de revolución.^[24]

De la definición de las funciones trigonométricas desde el círculo unitario se llega a que el seno y el coseno tienen período 2π. Lo que significa, para todo x y enteros n, sin(x) = sin(x + 2πn) y cos(x) = cos(x + 2πn). Porque sin(0) = 0, sin(2πn) = 0 para todos los enteros n. Además, el ángulo 180° es igual a π radianes. En otras palabras 1° = (π/180) radianes.

En matemáticas modernas, π es a menudo definido usando funciones trigonométricas, por ejemplo como el menor entero positivo x para el cual sinx = 0, para evitar dependencias innecesarias de las sutilezas de la geometría euclidiana y la integración. Equivalentemente, π puede ser definido usando funciones trigonométricas inversas, por ejemplo como π = 2 arccos(0) o π = 4 arctan(1). Expandir funciones trigonométricas inversas como series de potencias es la manera más fácil de obtener series infinitas para π.

[editar] Análisis superior y teoría de números

La frecuente aparición de π en análisis complejo puede estar relacionada con el comportamiento de la función exponencial de una variable compleja, descrito por la fórmula de Euler

$e^{ivarphi} = cos varphi + isin varphi !$

donde i es la unidad imaginaria que satisface la ecuación $i 2 = - 1$ y e ≈ 2.71828 es el número de Euler. Esta fórmula implica que las potencias imaginarias de e describen rotaciones un círculo unitario en el plano complejo; estas rotaciones tienen un período de 360º = 2π. En particular, la rotación de 180º φ = π resulta en la notable identidad de Euler

$e^{i pi} = -1.!$

Hay n diferentes raíces n-ésimas de la unidad

$e^{2 pi i k/n} qquad (k = 0, 1, 2, dots, n - 1).$

La integral de Gauss

$int_{-infty}^{infty}e^{-x^2}dx=sqrt{pi}.$

Una consecuencia es que el resultado de la división entre la función gamma de un semientero (la mitad de un número impar) y √π es un número racional.

[editar] Física

Aunque no es una constante física, π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principios fundamentales del Universo, Debido en gran parte a su relación con la naturaleza del círculo y, correspondientemente, con el sistema de coordenadas esféricas. Usando unidades como las unidades de Planck se puede eliminar a veces a π de las fórmulas.

La constante cosmológica:^[25] $Lambda = {{8pi G} over {3c^2}} rho$
Principio de incertidumbre de Heisenberg:^[26] $Delta x, Delta p ge frac{h}{4pi}$
Ecuación del campo de Einstein de la relatividad general:^[27] $R_{ik} - {g_{ik} R over 2} + Lambda g_{ik} = {8 pi G over c^4} T_{ik}$
Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica:^[28] $F = frac{left|q_1q_2right|}{4 pi varepsilon_0 r^2}$
Permeabilidad magnética del vacío:^[29] $mu_0 = 4 pi cdot 10^{-7},mathrm{N/A^2},$
Tercera ley de Kepler: $frac{P^2}{a^3}={(2pi)^2 over G (M+m)}$

[editar] Probabilidad y estadística

En probabilidad y estadística, hay muchas distribuciones cuyas fórmulas contienen a π, incluyendo:

la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, que depende de la integral gaussiana:^[30]

$f(x) = {1 over sigmasqrt{2pi} },e^{-(x-mu )^2/(2sigma^2)}$

la función de densidad de probabilidad para la distribución de Cauchy (estándar):^[31]

$f(x) = frac{1}{pi (1 + x^2)}.$

Nótese que para todas las funciones de densidad de probabilidad se cumple que $int_{-infty}^{infty} f(x),dx = 1$ , entonces las fórmulas anteriores pueden usarse para producir otras fórmulas integrales para π.^[32]

Representación del experimento en el modelo de la "aguja de Buffon", se lanzas dos agujas (a, b) ambas con longitud l. En el dibujo la aguja a está cruzando la línea mientras que la aguja b no.

El problema de la aguja de Buffon es llamado en ocasiones como una aproximación empírica de π. Se trata de lanzar una aguja de longitud l repetidamente sobre una superficie en la que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí, en t unidades, de manera uniforme (con t > l de forma que la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja se lanza n veces y x de esas cae cruzando una línea, entonces se puede aproximar π usando el Método de Montecarlo, lanzándola gran cantidad de veces:^[33] ^[34] ^[35] ^[36]

$pi approx frac{2nl}{xt}.$

Aunque este resultado es matemáticamente impecable, no puede usarse más que para determinar unos cuantos dígitos de π experimentalmente. Para conseguirse sólo tres dígitos correctos (incluyendo el "3" inicial) requiere de millones de lanzamientos,^[33] y el número de lanzamientos crece exponencialmente con el número de dígitos deseados. Además, cualquier error en la medida de las longitudes l y t se transfiere directamente como un error en la aproximación de π. Por ejemplo, una diferencia de un simple átomo en una aguja de 10 centímetros podría acarrear errores en el noveno dígito del resultado. En la práctica, incertidumbres en la determinación de si la aguja en realidad cruza una línea que parece estar solo tocándola lleva el límite de precisión alcanzable a mucho menos de 9 dígitos.

[editar] Curiosidades

[editar] Reglas mnemotécnicas

Es muy frecuente emplear poemas como regla mnemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi.

Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos es con este poema, sólo hay que contar las letras de cada palabra:

Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros

Otra versión, que permite enumerar los 27 primeros dígitos, es la siguiente:
"¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!" Nótese que para el segundo 1 (3,14159...) se utiliza la letra griega π.
Un tercer poema:

Voy a amar a solas, deprimido
no sabrán jamás que sueño hallarte,
perímetro difícil, escondido
que en mis neuronas late...
Oscuro el camino para ver
los secretos que tú ocultas
¿hallarlos podré?...

Otra regla, que permite recordar las primeras 32 cifras:
"Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual."Aquí también se utiliza la letra griega π para el primer 1.

Existen cuentos amplios que son capaces de hacer memorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el titulado "Cadaeic Cadenza", escrito en 1996 por el matemático Michael Keith y que ofrece la posibilidad de memorizar los primeros 3.834 dígitos. De esta forma, tomando "A" como 1, "B" como 2, "C" como 3, etc., el nombre de la historia saca los dígitos de pi, como "Cadaeic" es la primera palabra de 7 dígitos de pi:

C a d a e i c
3.1 4 1 5 9 3

Es de resaltar que en cada idioma existen diferentes reglas mnemotécnicas (se aconseja visitar cada Wikipedia para descubrir el arte empleado en cada idioma).

[editar] Aparición en medios

En el año 1998 aparece una película del director Darren Aronofsky denominada Pi sobre un matemático que cree que el mundo se representa por números.
Alfred Hitchcock en su film Cortina rasgada hace aparecer el símbolo π como una organización de espionaje.
En La Película The Net, Aparece en la parte inferior derecho de una pagina de conciertos y música, de un programa llamado The Mozart Ghost, Aparentemente es solo un adorno, pero cuando se presiona CRTL+ALT+Click en π, se Accede a la interface de datos de el Guardián de la Puerta, un Programa de los Pretorianos, Que pedia un Usuario y un Password.
En la serie de dibujos The Simpsons, en el episodio "Bye Bye Nerdie", el Professor Frink grita, a voz en cuello, que "¡π es igual a tres!", para atraer la atención de un auditorio compuesto por científicos. Cuando todos se dan vuelta para mirarlo, pide disculpas por haberse visto obligado a semejante sacrilegio.
En la serie Futurama aparecen diferentes referencias a π, tales como 'aceite π en 1', y 'compre en πkea'.
La novela Contacto de Carl Sagan —sobre la que luego se filmó la película homónima— toma a π (aunque no en base decimal) como un número que esconde la esencia misma del universo.

[editar] Datos interesantes

"Piso-Pi", mosaico en la entrada del edificio de las matemáticas en TU Berlín.

Detalle del "Mazda Pi", se añadieron 27 cifras decimales de π a este automóvil.

Tarta con el número pi.

Construcción aproximada para la cuadratura del círculo, encontrada por Ramanujan.

El día 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la aproximación de π.
El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se marca también como el día pi en el que los fans de este número lo celebran con diferentes actuaciones. Curiosamente es el cumpleaños de Einstein.
355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como una simulación ¡cuasi-perfecta!
Los usuarios del buscador A9.com que eligen su tienda virtual como amazon.com ofrecen descuentos de (π/2)% en sus compras.
John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona π en una canción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada "Something Tells Me". La canción acaba con una letra como: "What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!".
El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se puede consultar en el Proyecto Gutenberg o en este enlace.
La numeración de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza según los dígitos de π. La versión del año 2002 se etiquetó con 3.141592
Se emplea este número en la serie de señales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por una civilización inteligente extraterrestre.
La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es $6 / π 2$
Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono en las 50.000.000 primeras cifras de π
En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantos dígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como: RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».
En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial recitando durante 13 horas 83.431 dígitos del número pi sin parar, doblando el anterior record en posesión del también japonés Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record recitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire.
El máximo número de dígitos de π necesario para buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.
Existe una canción de Kate Bush llamada "Pi" en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número.
En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es ∗31416.^[37]
El valor principal de la expresión $i i$ es un número real y está dado por^[38] $i^i=left(e^{ipi /2}right)^i=e^{i^2pi /2}=e^{-pi /2}=0.207879...$
En la página web thinkgeek.com pueden comprarse camisetas y accesorios con π. En el enlace se puede ver una camiseta en la que se construye la letra π con sus primeros 4493 digitos.^[39] ^[40]
Existe un vehículo Mazda 3 modificado, al que se le añadieron 27 cifras de π, después del 3.^[41]
Srinivasa Ramanujan publicó una solución aproximada, con regla y compás, a la cuadratura del círculo en 1913 en la que obtuvo un segmento aproximadamente igual a $r sqrt{pi}$ :^[42]

$mbox{segmento} =frac{d}{2}sqrt{frac{355}{113}}approx rsqrt{pi}$

[editar] Días de Aproximación a Pi

Artículo principal: Día Pi

Según determinadas coincidencias numéricas, los Días de Aproximación a Pi son:

[editar] Cuestiones abiertas sobre π

Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decimales de π?
La denominada cuestión de Brouwer: en la expansión decimal de π, ¿existe alguna posición donde exista una sucesión de mil ceros consecutivos?
¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir, ¿tiene cada uno de los diez dígitos del sistema decimal la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal?
No se sabe si π+e, π/e , ln(π) son irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a ocho y con coeficientes enteros del orden 10⁹.^[43] ^[44]

[editar] Referencias

↑ G L Cohen and A G Shannon, John Ward's method for the calculation of pi, Historia Mathematica 8 (2) (1981), 133-144
↑ New Introduction to Mathematics, William Jones, 1706, London
↑ Gay Robins y Charles Shute: The Rhind Mathematical Papyrus: an ancient Egyptian text, British Museum Publications, London , 1987, véase “Squaring the Circle”, páginas 44 a 46.
↑ "The Exact Sciences in Antiquity", Otto Neugebauer, 1957, Dover, New York ,(nueva edición de 1969).
↑ Petr Beckmann: A History of Pi, publicado por primera vez por The Golem Press, 1971, edición consultada por Barnes and Noble Books, New York , 1993.
↑ ^a ^b ^c Bailey DH, Borwein JM, Borwein PB, y Plouffle S, "The quest for Pi", The Mathematical Intelligencer 19 (1997), pp. 50-57.
↑ A. Volkov, Calculation of π in ancient China: from Liu Hui to Zu Chongzhi, Historia Sci. (2) 4 (2) (1994), 139-157
↑ ^a ^b ^c Boyer Carl (1999). Historia de la Matemática. Madrid : Alianza Editorial. 84-206-8186-5.
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Biografía de Liu Hui» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Liu_Hui.html
↑ C. Jami, Une histoire chinoise du 'nombre π', Archive for History of Exact Sciences 38 (1) (1988), 39-50
↑ Arndt J., Haenel C. Pi unleashed (trad. de C. y D. Lischka). Berlin, Nueva York: Springer, 2001, p. 188 y 228. ISBN 978-3-540-66572-4
↑ ^a ^b ^c ^d ^e Bailey David H. , Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation (2003). Disponible en este enlace. Consultada:22 de abril de 2008
↑ Yomiuri Online, 17 de agosto de 2009, «円周率計算で世界一…筑波大がギネス申請» (en japonés)
↑ Pi Computation Record, por Fabrice Bellard (en inglés)
↑ Euclides, Elementos. Libro V
↑ Mahler, K. "On the Approximation of ." Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 30-42, 1953.
↑ Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Borwein, Jonathan M. (January 1997). "The Quest for Pi". Mathematical Intelligencer (1): 50-57.
↑ Existen otras doce representaciones de π en http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/
↑ Calculation of Pi Using the Montecarlo Method
↑ «Japonés rompe el récord de memorizar cifras de pi». BBC News (2 de febrero de 2005). Consultado el 30-10-2007.
↑ «Área y circunferencia de un Círculo de Arquímedes». Penn State. Consultado el 08-11-2007.
↑ Weisstein, Eric W (28 de enero de 2006). «Unit Disk Integral». MathWorld. Consultado el 08-11-2007.
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↑ Weisstein, Eric W (4 de mayo de 2006). «Solid of Revolution». MathWorld. Consultado el 08-11-2007.
↑ Miller, Cole. «The Cosmological Constant» (PDF). University of Maryland. Consultado el 08-11-2007.
↑ Imamura, James M (2005-08-17). «Heisenberg Uncertainty Principle». University of Oregon. Consultado el 09-11-2007.
↑ Einstein, Albert (1916). «The Foundation of the General Theory of Relativity» (PDF). Annalen der Physik. http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html.
↑ Nave, C. Rod (2005-06-28). «Coulomb's Constant». HyperPhysics. Georgia State University. Consultado el 09-11-2007.
↑ «Magnetic constant». NIST (2006 CODATA recommended values). Consultado el 09-11-2007.
↑ Weisstein, Eric W., «Gaussian Integral» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, http://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html, consultado el 08-11-2007 .
↑ Weisstein, Eric W., «Cauchy Distribution» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, http://mathworld.wolfram.com/CauchyDistribution.html, consultado el 08-11-2007 .
↑ Weisstein, Eric W., «Probability Function» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, http://mathworld.wolfram.com/ProbabilityFunction.html, consultado el 08-11-2007 .
↑ ^a ^b Weisstein, Eric W., «Buffon's Needle Problem» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html, consultado el 10-11-2007 .
↑ Bogomolny, Alexander. «Math Surprises: An Example» (en inglés). Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. Consultado el 28-10-2007.
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↑ «The Monte Carlo algorithm/method». datastructures (2007-01-09). Consultado el 07-11-2007.
↑ Plan de seguridad para el subte Artículo del diario Clarín
↑ Unidad imaginaria en Mathworld [1] (en inglés). consulta: 21 de abril de 2008
↑ Camisetas de pi en gaussianos.com. Consultado: 23 de abril de 2008.
↑ Página de ventas de camisetas pi en thinkgeek.com. Consultado: 23 de abril de 2008
↑ "Mazda Pi" en Gaussianos.com. Consultado: 23 de abril de 2008
↑ Ramanujan, Srinivasa (1913). «Squaring the circle» (djvu). Journal of the Indian Mathematical Society. http://en.wikisource.org/wiki/Squaring_the_circle.
↑ Bailey, D. H. "Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving π, e and Euler's Constant." Math. Comput. 50, 275-281, 1988a.
↑ Pi en Mathworld [2] (en inglés). consulta: 21 de abril de 2008

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número π. Commons
Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Número π. Wikiquote
Historia del cálculo de Pi y algoritmos utilizados.
Rodríguez del Río, Roberto (2008) El número Pi: de la Geometría al Cálculo Numérico.
Historia de Pi, en astroseti.org
Club de Amigos de Pi
Para buscar cualquier número entre las primeras 200.000.000 de cifras de Pi
Programa para el cálculo de π y de otro gran número de constantes (en Inglés)
Lista con los valores calculados con autores y valores (en Inglés)
Diseño de una moneda. El valor de Pi

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Categorías: Constantes matemáticas | Π | Números | Números trascendentes | Números adimensionales

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MATEMÁTICAS4: ¿ESTÁN RELACIONADOS LOS NÚMEROS CON LO DIVINO, DADO NUESTRO ORÍGEN DIVINO Y ESPIRITUAL? ¿DE DÓNDE SALE LA INTELIGENCIA? ¿DEL ESPÍRITU? ¿SE ASOCIA CON LA GEOMETRÍA? EL PODER PARA CREARLO TODO, ¿SALE DE LOS NÚMEROS? EXAMINEMOS PHI Y EL NÚMERO AUREO FI. El número áureo o de oro (también llamado número plateado, razón extrema y media,[1] razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional. π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería.

petalofucsia - 14 de diciembre de 2010 - 13:58 - Matemáticas4

NUMEROS DIVINOS

1 UNO. El principio, representa la causa inicial de las cosas. Las personas con este número son enérgicos está siempre dispuesto al cambio. Sus mejores atributos la valentía y la voluntad pero deben sacrificarse para ser constantes y menos dominantes. Simboliza al Sol.

2 DOS. Son sensibles y emocionales y con tendencias a las contradicciones, deben de tener cuidado con las indicisiones. Actua reciprocamente con otros, simbolo de la dualidad y de la oposición. Asociado a la Luna.

3 TRES. Práctico, comunicativo, creativos, inteligentes. Les gusta experimentar con lo que les interesa y están expuestos a grandes pasiones amorosas. Deben tener cuidado con la inconstancia y la inestabilidad. Su planeta Júpiter.

4 CUATRO. Realistas, emprendedores, fieles, honestos. Las personas influenciadas por el 4 buscan el orden y la disciplina . Tienen que aprender a no ser tan inflexibles para no llegar a sentirse aislados. Su planeta Urano.

5 CINCO. Impulsivos, elocuentes, curiosos, activos. No se adaptan a la rutina y siempre buscan aventuras donde puedan sentirse libres. Les cuesta adaptarse a alguien que no comparta sus mismas ideas de libertad. Está simbolizado por Mercurio.

6 SEIS. Leales, buscan la comodidad del hogar , el amor para ellos es más romántico y maternal , sus anhelos y esfuerzos se orientan hacia los demás, buscan la armonía y la diplomacia en su entorno. A veces, pueden ser algo dictadores, necesitan que los demá demás actuen como ellos desean . Su planeta Venus.

7 SIETE . Las personas con este número son Idealistas , sensibles, originales, intuitivos . Se considera un número portador de la suerte y se le puede llamar el número del filósofo. Deben evitar ser demasiado introvertidos, suelen tener tendencia a destruir. Su planeta es Neptuno.

8 OCHO. Voluntariosos, individualistas, serios, pacientes, no muy desmotrativos en sus sentimientos pero con notable fuerza para amar. Son exigentes consigos mismos y con los demás. Su planeta Saturno.

9 NUEVE. Activos, luchadores, llenos de contrastes y altibajos. Es el número de la realización. Su lado negativo es la hipersensibilidad a cualquier problema. Su planeta Marte.

Obtenido de http://www.trebolcuatrohojas.com/index.php?option=com_content&view=article&id=56:los-numeros-divinos&catid=46:ocultismo&Itemid=93

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MATEMÁTICAS4: ¿ESTÁ RELACIONADO EL ESPÍRITU CON LA GEOMETRÍA? SE ASOCIAN PERSONAS Y FIGURAS GEOMÉTRICAS Y SE PUEDEN APRECIAR ESTAS FIGURAS GEOMÉTRICAS EN LA VISIÓN O EN LOS OJOS. ¿HAY AQUÍ UNA RELACIÓN CON LA ESPIRITUALIDAD O CON EL ESPÍRITU? ¿HAY UNA RELACIÓN ENTRE LA GEOMETRÍA (CIENCIA DE LA MEDIDA) Y EL ESPÍRITU?. La Geometría sagrada es un concepto planteado por el esoterismo y el gnosticismo. La creencia básica es que existen ciertas relaciones entre la geometría y la matemática y la espiritualidad, Dios y diversos conceptos místicos.

petalofucsia - 14 de diciembre de 2010 - 13:40 - Matemáticas4

Geometría sagrada

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La Geometría sagrada es un concepto planteado por el esoterismo y el gnosticismo. La creencia básica es que existen ciertas relaciones entre la geometría y la matemática y la espiritualidad, Dios y diversos conceptos místicos.

La Flor de la vida

Contenido

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[editar] Fundamentos de Diseño

Cilindro proyectado en dos planos

En todo diseño se tienen en cuenta cuatro componentes, lo conceptual, lo visual, lo relacional y lo práctico. Son elementos conceptuales aquellos que no son visibles: Son el punto, la línea, el plano y el volumen. Cuando los elementos conceptuales se hacen visibles, adquieren forma.

[editar] Las figuras geométricas

La palabra forma se confunde con figura, no obstante, una forma tri-dimensional puede tener múltiples figuras bi-dimensionales, cuando se la ve sobre una superficie lisa. La forma es entonces la apariencia visual total de un diseño y se identifica por su figura, tamaño, color y textura. La geometría descriptiva ha sido la encargada de la representación gráfica en superficies bidimensionales, de resolver los problemas del espacio en los que intervienen puntos, líneas y planos. Mediante proyecciones , translada los puntos de una figura a una superficie. Tal rama de la geometría resume la teoría del dibujo técnico.

[editar] El número Pi

El número pi es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

[editar] La sección áurea

rectángulo proporcional

Relaciones entre las partes del pentágono.
Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.
Relaciones entre las partes del decágono.
Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.

[editar] Los sólidos platónicos

Para Platón, hay cinco sólidos tridimensionales de aristas, ángulos y caras iguales, tales sólidos platónicos son: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro.Esta exposición la hace en su diálogo el Timeo, en el que plantea que de la quinta combinación, (dodecaedro) Dios se sirvió para trazar el plano del universo.^[1]


Tetraedro – Fuego	Cubo – Tierra	Octaedro – Aire	Icosaedro – Agua	Dodecaedro – Cosmos

[editar] Interpretación

Para Blavatsky la geometría es la quinta llave que permite interpretar la vida, las cuatro primeras son: La fisiológica, la psicológica, la astrológica y la metafísica, la sexta es la simbólica y la séptima la matemática.^[2]

[editar] Clave fisiológica

Hombre vitruviano

Desde la fisiología la aplicación de la geometría se puede encontrar en el Hombre vitruviano propuesto por Leonardo da Vinci. Cuando el perímetro son iguales, se produce la relación pi. Para Fritjof Capra los tres criterios clave para la vida y sus teorías subyacentes son:

El patrón de organización, como configuración de relaciones (forma, orden y cualidad) que determina las características esenciales del sistema.
La estructura o la corporeización física (substancia, materia, cantidad) del patrón de organización del sistema.
El proceso vital como actividad involucrada en la continua corporeización física.

Rupert Sheldrake postula la existencia de los campos morfogenéticos, como agentes causales del desarrollo y mantenimiento de la forma biológica.^[3]

Los siete chakras están ubicados en el cuerpo humano de forma armónica, mediante los cuales ascienden espirales energéticas formando un ángulo de 90 grados a medida que pasan de un chakra el siguiente.

[editar] Clave Psicológica

Fruto y flor de la vida

La Psicología de la Gestalt plantea la existencia de todos irreductibles como un aspecto clave de la percepción. Se perciben patrones perceptuales integrados, conjuntos organizados dotados de significado. Para Carl Jung , un Mándala es un arquetipo (Jung) que representa los contenidos de conciencia de una persona, la manera como codifica la luz del conocimiento.^[4]

[editar] Clave astrológica

Desde la astrología la división del zodíaco en doce partes, permite la comprensión del proceso de la vida, y se resume en tres libros en los cuales estudian y aprenden tres tipos de seres humanos.

El libro de la Vida. Las doce constelaciones. Para Iniciados.
El libro de la Sabiduría. Los doce planetas. Para Discípulos.
El libro de la Forma. Las doce jerarquías creadoras. Para la humanidad.

Por lo tanto, la astrología trata de la vida y las vidas , que animan los "puntos de luz" dentro de la vida universal.^[5]

[editar] Clave metafísica

Cubo de Metatrón

Desde la metafísica el símbolo más representativo es el cubo de Metatrón, ya que contiene la réplica tridimensional de cuatro de los cinco sólidos platónicos, a los que Pitágoras llamaba sólidos perfectos. En las Escuelas de Egipto, a estas cinco formas, más la esfera se les consideraba originarias de los cinco elementos primordiales:tierra, fuego, aire, agua y éter.^[6]

[editar] Clave geométrica

La Merkaba

Teniendo en cuenta la geometría, la vida se inicia como un óvulo o esfera, pasa a convertirse en un tetraedro, después en una estrella tetraédrica y posteriormente en un cubo, a continuación en una nueva esfera y termina en un corpúsculo tubular.

[editar] Clave simbólica

De acuerdo con la semiótica, un símbolo es la representación de una idea. Para Djwhal Khul la representación del punto, la línea, el triángulo, el cuadrado, la cruz, el pentágono y el círculo, significa el reconocimiento de un vínculo con el conocimiento que ha determinado el desarrollo hasta la fecha. Plantea que en todas las razas hay siete formas análogas y actualmente son veintiuno los símbolos básicos que en forma geométrica encierran los conceptos de la civilización. Están adquiriendo forma el loto y la antorcha flamígera.^[7]

La esfera giratoria de materia puede ser representada empleando los mismos símbolos generales cósmicos que se utilizan para representar la evolución:

El círculo representa el límite de la materia indiferenciada.
La circunferencia con un punto en el centro representa la producción de calor en el corazón de la materia como un punto de fuego.
La división del círculo en dos partes, marca la rotación activa y la iniciación del movimiento del átomo de la materia.
La división del círculo en cuatro partes representa la cruz de brazos iguales del espíritu santo, personificación de la materia inteligente activa. Como símbolo astrológico representa el planeta Tierra.
La Esvástica representa el fuego que se extiende de la periferia al centro en cuatro direcciones, que circula e irradia gradualmente alrededor de toda ella.^[8]

[editar] Clave matemática

Leonardo Fibonacci fue el matemático que descubrió determinado orden en el crecimiento de las plantas. La secuencia es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... Si se divide un término de esta secuencia por el siguiente, repitiendo el proceso el número se va acercando a 1,6180339 (89/55), coincidiendo con el número áureo definido por Euclides. La causa de este modelo secuencial se encuentra en la espiral media dorada que gira sin principio ni fin.

En matemáticas, rosa polar es el nombre que recibe cualquier miembro de una familia de curvas de ecuación $r(theta) = cos (ktheta),$ por asemejarse a una flor de pétalos. Esta familia, también conocida como rhodoneas (del griego rhodon, rosa), fue estudiada por el matemático Luigi Guido Grandi, en torno al 1725, en su libro Flores Geometrici.^[9]

[editar] Referencias

↑ Platón. Timeo o de la naturaleza
↑ H. P. Blavatsky. La Doctrina secreta.Tomo II. Buenos Aires: Kier. Segunda Edición. pág 35
↑ Fritjof Capra. La trama de la vida. Barcelona: Anagrama. 1998.
↑ Carl Jung. El secreto de la Flor de Oro. Buenos Aires: Paidós. 1961.
↑ Alice Bailey. Tratado sobre los siete rayos. Tomo III. Astrología esotérica. Buenos Aires: Fundación Lucis. 1995
↑ Bob Frisell. La cuarta dimensión. Hermética.
↑ Alice Bailey. Tratado sobre los siete rayos. Tomo II. Psicología esotérica. Buenos Aires: Fundación Lucis.1994
↑ Alice Bailey. Tratado sobre fuego cósmico. Buenos Aires: Fundación Lucis. 1995
↑ Grandi, Guido. Flores geometrici ex Rhodonearum, et cloeliarum Curvarum descriptione resultantes.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_sagrada"

Categorías: Arquitectura | Geometría | Esoterismo | Espiritualidad

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MATEMÁTICAS4: ¿ESTÁ RELACIONADO EL ESPÍRITU CON LA GEOMETRÍA Ó "CIENCIA DE LA MEDIDA"? AQUÍ SE HABLABA DE QUE LA MEDIDA ERA BÁSICA EN INTELIGENCIA, AL PONDERAR, COMPARAR Y MEDIR LAS COSAS. La geometría, del griego geo (tierra) y metrón (medida), es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo. Tiene su aplicación práctica en física, mecánica, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías).

petalofucsia - 14 de diciembre de 2010 - 13:37 - Matemáticas4

Geometría

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Alegoría.

La geometría, del griego geo (tierra) y metrón (medida), es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo. Tiene su aplicación práctica en física, mecánica, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías).

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[editar] Historia

Artículo principal: Historia de la Geometría

La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos».

El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.

[editar] Axiomas, definiciones y teoremas

La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos.

Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben de perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del modelo tradicional.

[editar] Axiomas

En geometría sintética, los axiomas son proposiciones o afirmaciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Se distinguen cuatro grupos de axiomas. Un quinto grupo de axiomas (el axioma de paralelismo) es el que distinguirá una geometría de otra.

En geometría analítica, los axiomas se definen en función del punto; no tiene sentido hablar de recta o plano. $f (x)$ puede definir cualquier función llámese recta, circunferencia, cuadrado de la circunferencia, planos, entre otros.

[editar] Tipos de geometría

Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran:

[editar] Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Geometría. Commons
Wikcionario tiene definiciones para geometría.Wikcionario
Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Geometría.Wikiversidad
Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
Geometría elemental en cnice.mec.es
Carlos Ivorra Castillo: Geometría
Geometría

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MATEMÁTICAS4: EL CÍRCULO. Un circulo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio. Es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia.

petalofucsia - 14 de diciembre de 2010 - 11:42 - Matemáticas4

Círculo

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Para otros usos de este término, véase Círculo (desambiguación).

Un circulo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio. Es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia.

En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, la primera:^[1] una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia con área definida; mientras que se denomina circunferencia^[2] a la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud. "Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)."^[3]

Contenido

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[editar] Etimología

La palabra círculo proviene del latín circulus, que es el diminutivo de circus y significa "redondez".^[4] Según otros autores, "cerco".

[editar] Usos del término círculo

En lenguaje coloquial, a veces, se utiliza la palabra círculo como sinónimo de circunferencia.^[5]

En castellano, en la gran mayoría de los textos de matemática círculo significa superficie plana limitada por una circunferencia.

En cartografía se utiliza el término círculo como sinónimo de circunferencia, en expresiones tales como círculo polar ártico.

Se suele utilizar el término geométrico disco, asociado al concepto círculo, en textos de topología, una rama de las matemáticas. En algunos textos de topología que, normalmente, son traducciones del inglés, se utiliza círculo como sinónimo de circunferencia.

En inglés, la palabra circle^[6] expresa el concepto de circunferencia (curva cerrada plana equidistante del centro), mientras que circumference^[7] significa perímetro del círculo (la longitud de la circunferencia). Sin embargo, disk^[8] se asocia al concepto de círculo (superficie plana limitada por una circunferencia).

[editar] Elementos del círculo

El círculo, la circunferencia, y sus elementos principales: el centro, el radio, el diámetro, el arco, etc.

El círculo comparte con la circunferencia que lo delimita los siguientes elementos:

[editar] Puntos

Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.

[editar] Segmentos

Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral.

Diámetro: son dos radios que hacen un angulo de 180º, los radio se unen en el medio de la circunferencia.

Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.

[editar] Rectas características

Recta secante: es la recta que «corta» al círculo en dos partes.

Recta tangente: es la recta que «toca» al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.

Recta exterior: es aquella recta que no «toca» ningún punto del círculo.

[editar] Curvas

Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo delimita, la circunferencia de radio máximo. Comparte con dicha circunferencia el arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia de radio máximo.

[editar] Superficies

El círculo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes elementos:

Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen sus extremos.

Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda.

Semicírculo: es la superficie delimitada por un diámetro y media circunferencia exterior.

Corona circular: es la superficie delimitada entre dos circunferencias concéntricas.

Trapecio circular: es la superficie limitada por dos circunferencias y dos radios.

[editar] Ángulos

Ángulos en el círculo.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Existen diversos tipos de ángulos singulares en un círculo. Cuando un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo, recibe el nombre de ángulo central, mientras que cuando los extremos y el vértice están sobre el círculo el ángulo se denomina inscrito. Un ángulo formado por una cuerda y una recta tangente se denomina semi-inscrito.

En un círculo de radio unidad, la amplitud de un ángulo central coincide con la longitud del arco que subtiende, medido en radianes. Así, un ángulo central recto mide π/2 radianes, y la longitud del arco es π/2 si el radio es la unidad; si el radio mide r, el arco medirá r x π/2.

La longitud de un arco de ángulo central α, dado en grados sexagesimales, medirá 2π x r x α / 360.

Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar la posición del vértice. Un ángulo semi-inscrito mide la mitad del arco que se encuentra entre la cuerda y la tangente (véase arco capaz).

[editar] Área del círculo

Artículo principal: Área de un círculo

Un círculo de radio $r ,$ , tendrá un área:

$A = pi cdot r^2$ ; en función del radio (r).

$A = frac{pi cdot d^2}{4}$ ; en función del diámetro (d), pues $r = frac{d}{2}$

$A = frac{C^2}{4 cdot pi}$ ; en función de la longitud de la circunferencia máxima (C),

pues la longitud de dicha circunferencia es: $C = 2 cdot pi cdot r$

Área del círculo como superficie interior del polígono de infinitos lados

El área del círculo: $A = pi cdot r^2$ ,

se deduce, sabiendo que la superficie interior de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2, es decir: $A = frac{p cdot a}{2}$ .

Considerando la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio de la circunferencia, y el perímetro con la longitud, por tanto:

$A = frac{p cdot a}{2} = frac{L cdot r}{2} = frac{(2 cdot pi cdot r) cdot r}{2} = frac{2 cdot pi cdot r^2}{2} = pi cdot r^2$

[editar] El círculo en topología

En geometría y topología, un círculo es la región del plano acotado por una circunferencia. Se llama cerrado o abierto dependiendo si contiene o no a la circunferencia que lo limita.

En coordenadas cartesianas el círculo abierto con centro $(a, b)$ y radio R será:

$D={(x, y)in {mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 < R^2}$ .

El círculo cerrado con el mismo centro y radio es:

$overline{ D }={(x, y)in {mathbb R^2}: (x-a)^2-(y+b)^3 le R^2}$

Una esfera es la palabra usada para indicar un objeto tridimensional consistente en los puntos del espacio euclídeo $mathbb{R}^3$ que están a una distancia menor o igual a una cantidad fija denominada también radio, radio de la esfera.

Lamentablemente, geómetras y topólogos adoptan convenios incompatibles para el significado de "n-esfera". Para los geómetras, la superficie de la esfera es llamada 3-esfera, mientras que topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la indican como $S^2;$ .^[9]

[editar] Véase también

[editar] Referencias

↑ RAE, círculo
↑ RAE, circunferencia
↑ Círculo, en la enciclopedia Encarta.
↑ Roque Bárcia. Filosofía de la lengua española, Sinónimos castellanos, Tomo II. p. 131.
↑ Los diversos usos del término: Círculo, en El Pais.com
↑ Weisstein, Eric W. "Circle", en MathWorld
↑ Weisstein, Eric W. "Circumference", en MathWorld
↑ Weisstein, Eric W. "Disk", en MathWorld
↑ «Sphere - from Wolfram MathWorld».

[editar] Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre círculos y circunferencias. Commons
Wikcionario tiene definiciones para círculo.Wikcionario
Círculo, en Descartes, del Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa. Ministerio de Educación, Política Social y Deporte de España
Círculo y circunferencia en webdelprofesor.ula.ve, de la Universidad de Los Andes, Venezuela
Weisstein, Eric W. "Circle", en MathWorld (circunferencia) (acc. 17-03-09)
Weisstein, Eric W. "Circumference", en MathWorld (longitud del perímetro del círculo) (acc. 17-03-09)
Weisstein, Eric W. "Disk", en MathWorld (círculo: superficie plana limitada por una circunferencia) (acc. 17-03-09)

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo"

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MATEMÁTICAS4: ¿CON QUÉ FIGURA GEOMETRICA NOS CORRESPONDEMOS? EL DESTELLO. Resplandor vivo y efímero, ráfaga de luz, que se enciende y amengua o apaga casi instantáneamente.

petalofucsia - 14 de diciembre de 2010 - 11:39 - Matemáticas4

destello

m. Resplandor, ráfaga de luz intensa, momentánea y oscilante:
esos destellos son del faro.
Manifestación repentina o momentánea de alguna cualidad o una actitud:
al final de su escapada tuvo un destello de cordura.

destellar

tr. Despedir o emitir destellos de luz:
mientras el semáforo destelle en ámbar, puedes pasar con precaución.

Preguntas en los foros con la(s) palabra(s) 'destello' en el título:

destellogenial [ destello genial ]

'destello' también aparece en estas entradas

flash - instantáneo - ráfaga

destello

resplandor, brillo, chispazo, fulgor, centelleo
atisbo, indicio, asomo, señal

destellar

brillar, resplandecer, centellear, relumbrar, fulgurar, refulgir

'destello' también aparece en estas entradas

chispazo - fluorescencia - fogonazo - lumbre - refulgencia - relámpago - relumbrón - reverberación

destello.

1. m. Acción de destellar.

2. m. Resplandor vivo y efímero, ráfaga de luz, que se enciende y amengua o apaga casi instantáneamente.

3. m. vislumbre (‖ conjetura).

4. m. ant. destilación.

destellar.

(Del lat. destillāre).

1. tr. Despedir destellos o emitir rayos, chispazos o ráfagas de luz, generalmente intensos y de breve duración.

2. intr. ant. Dicho de un líquido: destilar. Era u. t. c. tr.

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MATEMÁTICAS4: DERIVACIÓN LÓGICA. ¿SE DERIVA LA EXISTENCIA DEL ORDEN? ¿ES SU CONSECUENCIA LÓGICA?. El cálculo lógico, o derivación lógica, es un algoritmo que permite cómoda y fácilmente inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como válidamente verdaderos.

petalofucsia - 11 de diciembre de 2010 - 12:48 - Matemáticas4

Cálculo lógico

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El cálculo lógico, o derivación lógica, es un algoritmo que permite cómoda y fácilmente inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como válidamente verdaderos.

La inferencia o deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enunciado como -conclusión- a partir de otra(s) -premisa(s)- mediante la aplicación de reglas de inferencia.

Decimos que alguien infiere -o deduce- "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V.

Las personas en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo; partimos de enunciados empíricos -supuestamente verdaderos y válidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos.

La lógica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar las reglas que permiten la transformación de unos enunciados -premisas- en otros -conclusiones- con objeto de convertir las operaciones deductivas en un cálculo riguroso y eficaz.

Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento, mediante la simbolización adecuada de fórmulas o Expresiones bien formadas (EBF) construimos un modelo o sistema deductivo que, referido al lenguaje ordinario, llamamos de Cálculo de deducción natural.

La representación gráfica de los símbolos no está normalizada, lo que lleva a veces a ciertas dificultades de interpretación.

Contenido

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[editar] Sistematización de un cálculo

[editar] Reglas de formación de fórmulas

I.- Una letra enunciativa (con o sin subíndice) es una EBF (Expresión Bien Formada - del ingles wff o sea "well- formed formula" que significa "fórmula bien formada").

II.- Si A es una fórmula, ¬ A también lo es.

III.- Si A es una EBF y B también, A / B; A / B; A → B; A ↔ B también lo son.

IV.- Ninguna expresión es una fórmula del Cálculo sino en virtud de I, II, III.

Nota: A, B,... con mayúsculas están utilizadas como metalenguaje en el que cada variable expresa cualquier proposición, atómica o molecular.

Nota: Para la definición como función lógica de ¬, /, /, →, y ↔, véase Tabla de valores de verdad

[editar] Reglas de transformación de fórmulas

R.T.1: Dada una tesis EBF del cálculo, en la que aparecen variables de enunciados, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas (EBF) del cálculo, será también una tesis EBF del cálculo. Y ello con una única restricción, si bien muy importante: cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece y siempre por el mismo sustituto.

Veamos el ejemplo:

1	$left [ left ( p land q right ) lor r right ]rightarrow t lor s$	Regla de Transformación
2	$A lor r rightarrow B$	donde $A = left ( p land q right )$ ; y donde $B = left ( t lor s right )$
3	$C rightarrow B$	donde $C = A lor r$

O viceversa

1	$C rightarrow B$	Regla de Transformación
2	$A lor r rightarrow B$	donde $A lor r = C$
3	$left [ left ( p land q right ) lor r right ]rightarrow t lor s$	donde $(p land q) = A$ ; y donde $(t lor s) = B$

Esta regla recibe el nombre de regla de sustitución

R.T.2: Si X es una tesis EBF del sistema y lo es también X --> Y, entonces Y es una tesis EBF del sistema.

Esta regla recibe el nombre de regla de separación

Sobre la base de estas dos reglas, siempre podremos reducir un argumento cualquiera a la forma:

[A / B / C...... / N ] ----> Y

lo que constituye un esquema de inferencia en el que de la verdad de las premisas A, B, N y su producto, podemos obtener la conclusión Y.

[editar] Concepto de modelo

Cuando en un Cálculo C, se establece una "correspondencia" de cada símbolo con elementos determinados individuales distinguibles entre sí, de un Universo L, real, (tal universo L no es un conjunto vacío, por las mismas condiciones que hemos establecido) ENTONCES se dice que L es un MODELO de C.

[editar] El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógico

Naturalmente el cálculo lógico es útil porque puede tener aplicaciones.

Pero ¿En qué consiste o cómo se hacen tales aplicaciones?

Para el cálculo de enunciados podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C. Este proceso es lo que se llama formalización del lenguaje.

El lenguaje científico necesita "formalizar el lenguaje" a fin de evitar ambigüedades en las expresiones y en los contenidos semánticos de las palabras.

Cuando es posible se llega a una formalización completamente sometida a reglas previamente establecidas, como se pretende en este caso, y los elementos que constituyen las Expresiones bien formadas (EBF)s del lenguaje natural se pueden sustituir por variables sin significado, sin contenido semántico alguno porque realizarían la misma función que cualquier expresión de la lengua que cumpla la función sintáctica de la expresión. Entonces podemos proceder como en un cálculo.

No siempre es posible, pero es, sería, el lenguaje ideal de la ciencia,^[1] porque evitaría la necesidad de "interpretación". No habría más que sustiuir variables por variables lingüísticas y constantes por sus expresiones lingüísticas formalizadas.

Es lo que se pretende en este apartado: someter las expresiones del lenguaje natural a unas variables simbólicas mediante unas reglas de simbolización:

[editar] Reglas de simbolización

Regla I.

Cada uno de los enunciados simples del lenguaje natural se sustituirá por variables proposicionales simbolizadas por letras minúsculas, p, q, r, s, t,.....

Regla II.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "no", "no es cierto", "no es el caso que" "es falso", "es imposible" y todas aquellas que sean equivalentes, se sustituirán por el símbolo ¬

Llueve, p; No llueve: ¬ p

Regla III.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "y", "ni" "pero", "que", "mas", y todas las que sean equivalentes, se sustituyen por el símbolo /

Llueve: p; Hace frío: q; Llueve y hace frío: p / q;

Regla IV.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "o", "o...o", "bien...bien", "ya...ya", y sus equivalentes, se sustituyen por el símbolo /

Llueve: p; Hace frío: q; O llueve o hace frío: p / q

Regla V.

Las expresiones naturales tales como "si.... entonces", "luego....", "por tanto", "por consiguiente", "con tal que...", "se infiere", "se deduce" y sus equivalentes se sustituirán por el símbolo →

Llueve: p; Hace frío: q; Si llueve entonces hace frío: p → q

Regla VI.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "...si y solo si...", "..equivale a..", "..es.igual a..." m "vale por...","...es lo mismo que...", y sus equivalentes se sustituirán por el símbolo ↔

Llueve: p; Hace frío: q; Si y sólo si llueve hace frío: p ↔ q

Uso de paréntesis:

1.- No se utiliza paréntesis en aquellos casos en que los conectores afecten a enunciados simples o atómicos.

2.- Se utiliza paréntesis cuando el conector afecte a toda una conjunción, disyunción, condicional o bicondicional.

3.- Se utiliza el paréntesis en las expresiones conjuntivas y disyuntivas precedidas o seguidas de un condicionador o bicondicionador.

4.- Se utiliza el paréntesis en las expresiones que nos interese precisar la dominancia del conector, o bien porque los conectores posean la misma dominancia -como en el caso del conjuntor y del disyuntor que son idempotentes-o bien porque el sentido de la expresión exige la alteración de la dominancia de las conectivas fuertes -el condicionador y el bicondicionador que son las conectivas fuertes.

[editar] Cadena deductiva

Es una secuencia finita de enunciados de los cuales uno, la conclusión, se sigue necesariamente de los anteriores. Cada enunciado que forma parte de una determinada cadena deductiva constituye una línea de derivación.

- Las distintas líneas de derivación se colocarán una debajo de otra numeradas correlativamente a partir del uno.

- Las líneas correspondientes a las premisas iniciales irán provistas de un guión que precederá al número que tengan asignado.

- Si la línea corresponde a una fórmula inferida, se indicará a su derecha la regla aplicada y las premisas o las líneas a las que se ha aplicado la regla.

Nº línea	EBF	Regla	Líneas
-1	Premisa
-2	Premisa
&	EBF	Regla S	línea €, 2
$	EBF	Regla R	línea 1
n-2	EBF	Regla X	líneas 1,$
n-1	EBF	Regla T	líneas 2,(n-2)
n	EBF	Regla U	líneas &, (n-1)
Cierre	conclusión

[editar] ¿De qué manera puede obtenerse la conclusión?

a) La conclusión puede obtenerse "directamente" aplicando reglas de inferencia sobre las premisas iniciales.

b) Cuando en el desarrollo de la derivación es necesario utilizar premisas adicionales (supuestos no contemplados en las premisas dadas), decimos que la derivación es "subordinada", esto es, la obtención de la conclusión se subordina a la utilización de tales supuestos.

c) En caso de que la conclusión no pueda obtenerse por los métodos ya reseñados, recurriremos a la derivación "indirecta" o de "reducción al absurdo".

Observaciones técnicas

- Las líneas de derivación que introducen provisionalmente supuestos no contemplados en las premisas iniciales, deberán llevar una señal en escuadra mirando hacia abajo. El significado de la señal es: "supongamos por el momento..."

Línea n	┌ X	Significa que X es un supuesto provisional no contemplado en las premisas.
Línea n+1	│	Línea no utilizable fuera del supuesto.
Líneas	│	Línea no utilizable fuera del supuesto.
línea n+a	└ Y	Significa el cierre del supuesto y su cancelanción

- Los supuestos provisionales deberán ser cancelados antes de establecer la conclusión. Un supuesto provisional queda cancelado cuando, en una línea posterior de dicha derivación, se obtiene una fórmula tal que permite la deducción inmediata de otra fórmula que es independiente del referido supuesto. La cancelación de un supuesto se expresa cerrando la escuadra.

- La reducción al absurdo consiste en suponer como premisa provisional la negación de la fórmula que se pretende demostrar y obtener, mediante este supuesto, una contradicción. La consecuencia lógica será la negación del supuesto, es decir, la afirmación de la conclusión deseada.

- Todo supuesto provisional o las fórmulas de él derivadas incluidas dentro de las escuadras no podrán utilizarse después de la cancelación del supuesto como elementos de nuevas inferencias.

[editar] Reglas del cálculo de deducción natural. Cálculo proposicional

En este cálculo la proposición lógica es considerada como un todo en su condición de poder ser V, verdadera, o F, falsa.

Se distinguen las reglas primitivas y las derivadas. Las derivadas son producto de las primitivas, pero facilitan y reducen los pasos de la deducción. Asimismo las de reemplazo significan que una expresión puede ser sustituida directamente por su equivalente, a veces como definición.

[editar] Reglas primitivas

Ejemplo de cálculo proposicional

Si dos gases tienen la misma temperatura entonces sus moléculas tienen el mismo promedio de energía cinética.

Volúmenes iguales de dos gases tienen el mismo número de moléculas.

Las presiones de dos gases son iguales si es el mismo su número de moléculas y sus energías cinéticas son iguales.

Por consiguiente si dos gases tienen la misma temperatura y el mismo volumen, tienen la misma presión.

Simbolización proposicional

Para dos gases:

t: Tener la misma temperatura.

c: Tener las moléculas la misma energía cinética.

v: Tener volúmenes iguales.

m: Tener igual número de moléculas.

p: Tener presiones iguales.

Esquema de inferencia, o argumento

t-->c / v-->m / (m/c)-->p, |- (t/v)-->p

Cálculo de Deducción

- 1 t--> c

- 2 v --> m

- 3 (m / c) --> p

┌ 4 t / v Supuesto

│ 5 t E.C.4

│ 6 v E.C.4

│ 7 c M.P.1,5

│ 8 m M.P.2,6

│ 9 m / c I.C.7,8

│ 10 c / m C.C.9

└ 11 p M.P.3-9

___________ Cierre supuesto

12 (t / v) --> p I.I.4-10

Las reglas primitivas son las siguientes:

Introducción del negador, demostración indirecta o absurdo I.N.

┌línea (n)	A	Supuesto provisional
│	-	Líneas derivadas provisionales
│	-	no utilizables fuera del supuesto
└ línea (n+a)	B / ¬ B	Regla I.C, línea s, r
	_________	Línea de cierre
Línea (n+a)+1	¬ A	Regla I.N. líneas (n - n+a+1)	Conclusión

Eliminación del negador o Ex contradictione quodlibet ECQ

línea n	A		Fórmula de la cadena
línea n+a	¬A		Fórmula de la cadena
	_______	Línea de cierre
	C		Regla E.N.,líneas n, n+a	Conclusión

Resulta curiosa esta regla, pero es la que justifica argumentos tales como: "Si esto que dices es verdad, yo soy el Papa de Roma", que, son válidos aunque inútiles, pues se da por supuesta la falsedad de las premisas.

Por eso "ex contradictione quod libet", es decir, de una contradicción podemos concluir lo que queramos.

Introducción del conjuntor o producto: I.C.

línea n	A		Fórmula de la cadena
línea n+a	B		Fórmula de la cadena
	_______	Cierre
	A / B		Regla I.C., líneas n, n+a	Conclusión

Eliminación del conjuntor o simplificación: E.C.

línea n	A / B
	_________	Cierre
	A		Regla E.C. línea n	Conclusión

Introducción del disyuntor o adición: I.D.

línea n	A		Fórmula de la cadena
	_________	Cierre
	A / B		Regla I.D., línea n	Conclusión

Eliminación del disyuntor o casos: E.D.

línea n	A / B
┌línea (n+1)	A	Supuesto provisional
│	-	Líneas derivadas provisionales
│	-	no utilizables fuera del supuesto
└ línea (n+ b)	C	Regla X, línea s, r

┌línea (n+x)	B	Supuesto provisional
│	-	Líneas derivadas provisionales
│	-	no utillizables fuera del supuesto
└ línea (n+x)+a	C	Regla T, línea t, r
	_________	Cierre
	C	Casos,líneas [(n+1-n+b),(n+x-n+x+a)]

Introducción del implicador o teoría de la deducción I.I.

┌línea (n)	A	Supuesto provisional
│	-	Líneas derivadas provisionales
│	-	no utilizables fuera del supuesto
└ línea (n+a)	B	Regla X, línea s, r
	_________	Cierre
Línea (n+b)+1	A → B	Regla I.I. líneas (n+1-n+b),conclusión

Eliminación del implicador o Modus ponens E.I.

línea n	A → B		Fórmula de la cadena
línea n+a	A		Fórmula de la cadena
	_________	Cierre
	B		Regla E.I., líneas n, n+a	Conclusión

[editar] Reglas derivadas

Algunas de las reglas derivadas más utilizadas:

Silogismo hipotético o Transitividad del condicional S.H.

línea n	A → B		Fórmula de la cadena
línea n+a	B → C		Fórmula de la cadena
	_________	Línea de cierre
	A → C		Regla S.H., líneas n, n+a	Conclusión

Silogismo disyuntivo o inferencia de la alternativa S.D.

línea n	A / B		Fórmula de la cadena
línea n+a	¬ A		Fórmula de la cadena
	_________	Línea de cierre
	B		Regla S.H., líneas n, n+a	Conclusión

Modus tollens M.T.

línea n	A → B		Fórmula de la cadena
línea n+a	¬ B		Fórmula de la cadena
	_________	Línea de cierre
	¬ A		Regla M.T., líneas n, n+a	Conclusión

[editar] Reglas de Reemplazo

En las que las líneas de cierre son dobles indicando que ambas fórmulas son equivalentes, es decir, pueden sustituirse directamente una por otra puesto que su conexión es un bicondicional

Leyes de De Morgan^[2]

línea n	¬(A / B)		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	(¬ A / ¬ B)		Regla de De Morgan 1., línea n.	Conclusión

línea n	¬(A / B)		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	(¬ A / ¬ B)		Regla de De Morgan 2., línea n.	Conclusión

Conmutación de la conjunción

línea n	A / B		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	B / A		Conmutación conjunción CC., línea n.	Conclusión

Conmutación de la disyunción

línea n	A / B		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	B / A		Conmutación disyunción CD., línea n.	Conclusión

Asociativa de la conjunción AC.

línea n	[A / (B / C)]		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A / B) / C]		Asociativa conjunción AC., línea n.	Conclusión

Asociativa de la disyunción AD.

línea n	[A / (B / C)]		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A / B) / C]		Asociativa disyunción AD., línea n.	Conclusión

Distributiva de la conjunción

línea n	[A / (B / C)]		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A / B) / (A / C)]		Distributiva de la conjunción DC., línea n.	Conclusión

Distributiva de la disyunción

línea n	[A / (B / C)]		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A / B) / (A / C)]		Distributiva de la disyunción DD., líneas n.	Conclusión

Doble negación

línea n	¬¬A		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	A		Doble negación DN., línea n.	Conclusión

Transposición

línea n	(A → B)		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	(¬B → ¬A)		Transposición., línea n.	Conclusión

Definición del implicador

línea n	A → B		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	¬A / B		Implicación, Imp., línea n.	Conclusión

Equivalencia 1

línea n	A ↔ B		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A → B) / (B → A)		Equivalencia 1., línea n.	Conclusión

Equivalencia 2

línea n	A ↔ B		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A / B) / (¬A / ¬B)		Equivalencia 2., línea n.	Conclusión

Exportación

línea n	[(A / B) → C]		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[A → (B → C)]		Exportación. Exp., línea n,	Conclusión

Identidad

línea n	A		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	A		Identidad, línea n,	Conclusión

Tautología

línea n	A		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	(A / A)		Exportación. Exp., línea n.	Conclusión

[editar] Cálculo como lógica de clases

Artículo principal: Teoría de conjuntos

La lógica de clases considera la proposición considerando la pertenencia o no pertenencia de un elemento o individuo a una determinada clase. Es la interpretación de una proposición o enunciado lingüístico bajo la formalización de la teoría de conjuntos.

Por clase se entiende un conjunto de individuos que tienen una propiedad común. Nótese que la propiedad define a la clase, no al individuo, lo que lo diferencia esencialmente de la lógica de predicados. En este caso, por tanto, el valor de verdad viene dado por la pertenencia o no pertenencia a una clase. Por ello, la tabla de valores de verdad se explicita como tablas de pertenencia.

Así, no es lo mismo decir: "Hs = Sócrates es un hombre" (donde atribuimos una cualidad que atañe al ser mismo de Sócrates), que decir: "S $in$ H = Sócrates pertenece a la clase de los hombres."

La clase tiene sentido aun cuando no existan individuos. Así, la clase hombre, como concepto de hombre, existe aunque no existan los hombres. De la misma forma que existe el concepto de "caballos con alas", aun cuando no existan pegasos.

Actualmente la lógica llamada tradicional, silogística, se interpreta como lógica de clases.

[editar] Elementos y su simbolización

Clase vacío $emptyset$

Clase universal $baremptyset$

Universo: es la clase de todas las clases, de todos los elementos del universo que estemos considerando. Se la llama clase universal. U
Clase vacía: clase que no tiene ningún elemento : Ø
Individuos: $x 2 x 3 .... x n$
Clase: conjunto de individuos que tienen una propiedad en común. Puede significarse de varias maneras:

A =

(x 1, x 2, x 3 .... x n)

- Por enumeraciónA = (Todos los nacidos en Asturias) - Por definición de una propiedadA = $bigwedge x$ ( x/ nacido en Asturias) - Por un función proposicional cuantificada^[3]

Pertenencia: $in$ No pertenencia: $notin$
Generalizador: $bigwedge x$ Todo x.^[4]
Particularizador: $bigvee x$ Algún x.^[5]
Conectivas : $land, vee, rightarrow, leftrightarrow$ - Definidas de igual forma que en la lógica de enunciados relativas a la pertenencia o no pertenencia de un individuo a una clase.
La negación se define como una operación entre las clases, la clase complementaria.

[editar] Operaciones entre las clases y su simbolización

Clase complementaria $bar A$

Union de clases:
$A cup B$

Clase intersección:
$A cap B$

Clase diferencia:
$~A-~B$

Clase diferencia simétrica:
$~ADelta~B$

a) Clase complementaria: clase complementaria de una clase A es la clase formada por todos los elementos que no pertenecen a esa clase A.

$A = bigwedge x (x in A)$

$bar A = bigwedge x (x notin A)$ Observemos que equivale a la negación.

Definición Clase Complementaria

$A$	$bar A$
$in$	$notin$
$notin$	$in$

b) Clase unión o unión de clases: la clase unión de dos clases A y B es la clase formada por los elementos que pertenecen a una o a otra clase.

A = $bigwedge x (x in A)$

B = $bigwedge x (x in B)$

$A cup B$ = $bigwedge x (x in A lor x in B)$

Observamos que equivale a la disyunción.

Definición Clase Unión de Clases

$A$	$B$	$A cup B$
$in$	$in$	$in$
$in$	$notin$	$in$
$notin$	$in$	$in$
$notin$	$notin$	$notin$

b)Intersección de clases o clase intersección: clase intersección de dos clases A y B es la clase formada por los elementos que pertenecen a una y a otra clase.

A = $bigwedge x (x in A)$

B = $bigwedge x (x in B)$

$A cap B$ = $bigwedge x (x in A land x in B)$

Definición Clase Intersección de Clases

$A$	$B$	$A cap B$
$in$	$in$	$in$
$in$	$notin$	$notin$
$notin$	$in$	$notin$
$notin$	$notin$	$notin$

Observamos que equivale a la conjunción.

c)Diferencia: clase diferencia es la clase formada por los elementos de A que no pertenecen a B.

A = $bigwedge x (x in A)$

B = $bigwedge x (x in B)$

$A - B = A cap overline{B}$ = $bigwedge x (x in A land x in overline{B})$

Definición Clase Diferencia de Clases

$A$	$B$	$A - B$
$in$	$in$	$notin$
$in$	$notin$	$in$
$notin$	$in$	$notin$
$notin$	$notin$	$notin$

[editar] Relaciones entre las clases

Equivalencia de clases:
$~A = ~B$

$Leftrightarrow$

$A subseteq B$ $and$ $B subseteq A$

$Leftrightarrow$

$A Delta B = emptyset$

Inclusión de clases:
$~A subseteq ~B$

$Leftrightarrow$

$A - B = emptyset$

Disyunción de clases:
$A cap B = emptyset$

a) Identidad o equivalencia: puede suceder que todos los miembros de una clase lo sean también de otra, y viceversa. Por ejemplo:

$A = bigwedge x (x in A)$ ;

$B = bigwedge x (x in B)$

$A = B$ ; $def. bigwedge x (x in A leftrightarrow x in B)$

A = Todos los niños que tienen un año de edad. B = Todos los niños nacidos hace un año.

Pongamos atención en que la equivalencia se refiere a la extensión de los individuos que pertenecen a la clase, pero formalmente la propiedad que la define puede ser diversa. Por ello tiene sentido decir A = B como clases diferentes, pero equivalentes.

b) Inclusión: cuando todos los miembros de una clase pertenecen a otra

$A = bigwedge x (x in A)$ ;

$B = bigwedge x (x in B)$

$A subseteq B$ ; $def. bigwedge x (x in A rightarrow x in B)$

c) Disyunción: cuando ningún elemento de B pertenece a A, ni ningún elemento de A pertenece a B.

$A = bigwedge x (x in A)$ ;

$B = bigwedge x (x in B)$

$A | B$ ; $def. bigwedge x(x in A rightarrow x notin B) land (x in B rightarrow notin A)$ ; $A | B = A subseteq bar{B}$

[editar] Proposiciones tipo

La clásica clasificación aristotélica:

Tipo A: todos los S son P. "Todos los hombres son mortales", se interpreta como:^[6]

$bigwedge x (x in S to x in P)leftrightarrow quad Ssubset P$

Tipo E: ningún S es P. "Ningún hombre es mortal", se interpreta como:

$bigwedge x (x in S to x notin P)$ $leftrightarrow$ $S subset bar P$

Tipo I: algún S es P. "Algún hombre es mortal", se interpreta como

$bigvee x (x in S land x in P)$ $leftrightarrow$ $S cap P$

Tipo O: algún S es No-P. ´"Algún hombre no es mortal", se interpreta como

$bigvee x (x in S land x notin P)$ $leftrightarrow$ $lnot (S subset P)$

[editar] Reglas del cálculo de clases

Como leyes lógicas, es decir tautologías que se pueden comprobar mediante tablas de pertenencia, se estableces algunas reglas que resultan útiles para los algoritmos de cálculo de deducción de proposiciones:

Leyes asociativas: $A cup (B cup C) = (A cup B) cup C$

$A cap (B cap C) = (A cap B) cap C$

Leyes conmutativas: $A cup B = B cup A$

$A cap B = B cap A$

Leyes distributivas: $A cup (B cap C) = (A cup B) cap (A cup C)$

$A cap (B cup C) = (A cap B) cup (A cap C)$

Ley de involución: $A = bar bar A$

Leyes de De Morgan: $lnot (A cup B) leftrightarrow bar bar A cap bar bar B$

$lnot (A cap B) leftrightarrow bar bar A cup bar bar B$

Leyes de absorción: $A cup (A cap B) = A$

$A cap (A cup B) = A$

Ley de contraposición: $A subset B = bar B subset bar A$

Ley de la transitividad: $big[(A subset B) wedge (B subset C) big] to (A subset C)$

Junto con estas leyes específicas se mantienen las mismas reglas del cálculo de enunciados, en las relaciones de unas proposiciones con otras.

[editar] Reglas del cálculo cuantificacional. Cálculo de predicados

Cuando el argumento no se fundamenta en las relaciones conectivas entre las proposiciones como un todo, sino en el análisis de las proposiciones, se hace necesario la ampliación del cálculo lógico como son, ahora, las reglas de cuantificación, para el cálculo cuantificacional.

La cuantificación permite explicitar el ámbito de aplicación de un predicado a un sujeto o conjunto de sujetos. Por lo que el cálculo según este modo de análisis de la proposición se conoce como “cálculo de predicados”.

[editar] Reglas de simbolización

La expresión $P x$ denota cualquier proposición o función proposicional.

Siendo $P$ un predicado que se aplica a una variable individual $x$ .

$P$ = ser cuadrado; $x$ = cualquier cosa; $P x$ = cualquier cosa cuadrada

Una función proposicional sin cuantificación alguna no puede tener valor de verdad V o falsedad F y no es, por tanto, una proposición.

La expresión $P a$ denota la ocurrencia de $P x$ en $a$ . Siendo a, b, c, d, e…. constantes individuales.

$P$ = ser cuadrado; $a$ = esta mesa; $P a$ = Esta mesa es cuadrada

En este caso $P a$ es una proposición singular, en que $x$ = $a$ , y $P a$ puede tener valor V o F.

Una proposición no puede tener ocurrencias libres, variables sin cuantificar, para poder tener valor V o F.

La sustitución de una variable $x$ en una función proposicional $P x$ ha de hacerse bajo la condición de que la variable $w$ , como variable de individuos, debe estar libre en $P w$ en todos los lugares en que $x$ ocurre libre en $P x$ . (Si $P x$ no contiene ocurrencias libres de $x$ , entonces $P x$ y $P w$ son idénticas; $x$ y $w$ son lo mismo).

Una ocurrencia libre es la ocurrencia de una variable $u$ , $v$ , $x$ , $z$ , etc. no sometida al alcance de un cuantificador universal o existencial.

Por ejemplo:

Sustituyendo la variable $x$ = ser una rueda, por la variable $y$ = ser una rueda de bicicleta, respecto al predicado $P$ = ser redondo, cuando el universo, o contexto de que se trata es el de las bicicletas:

$Px leftrightarrow Py$ y por tanto $x$ = $y$

[editar] Cuantificadores

$bigwedge$ Generalizador Universal

Es el resultado del producto de a / b / c / d / e / f…….... en todas las ocurrencias posibles de x. Equivale a “Todos los posibles x”

$bigvee$ Particularizador existencial

Es el resultado de la adición a / b / c / d / e / f..... en todas las ocurrencias posibles de x. Equivale “Existen algunos, o al menos un individuo que verifica Px.

Instanciación

Sustituyendo en una función proposicional las variables de individuos x, y, z,... por constantes a, b, c..... como individuos: Pedro, Juan, este libro, etc.

Ejemplos:

P = Ser cuadrado x = cualquier cosa a = esta mesa

$bigwedge$ x Px = Para todo x, para cualquier x, x es cuadrado

$bigvee$ x Px = Para algún x, se da Px. Existe al menos un x tal que x es cuadrado

Px = Ser cuadrado Pa = Esta mesa es cuadrada

[editar] Clases de proposiciones

Singulares:

Ma Siendo M = ser mortal a = Antonio Ma ↔ Antonio es mortal

Generales:

Siendo:

P = Ser hombre M = Ser mortal x = variable individual, cualquier individuo

$bigwedge$ x (Px → Mx) Para todo x si Px entonces Mx ↔ Todos los hombres son mortales

$bigvee$ x (Px / Mx) Existe algún x para el que Px / Mx ↔ Algún hombre es mortal

$bigwedge$ x (Px → ¬Mx) Para todo x si Px entonces ¬Mx ↔ Ningún hombre es mortal

$bigvee$ x (Px / ¬Mx) Existe algún x tal que Px / ¬Mx ↔ Algún hombre no es mortal

Proposiciones múltiplemente generales:

Enunciados compuestos cuyos componentes son proposiciones generales con más de una variable de individuos y/o con proposiciones singulares.

Sea el caso de la proposición:

$bigwedge$ x (Px → Lx)] → Ld Que podría equivaler a: Si todos los perros ladran, entonces Desko (mi perro) ladra.

Si fuera el caso $bigwedge$ x (Px → Lx) → Ly

Px y Lx, son ocurrencias ligadas, sometidas al alcance de un cuantificador.

Ly en cambio es una ocurrencia libre, y por eso puede sustituirse por otra variable o por una constante, como Ld.

[editar] Reglas del cálculo cuantificacional

Ejemplo de cálculo de predicados

Todos los médicos curan. Por tanto, si los que curan saben medicina, entonces Juan, que es médico, sabe medicina.

Simbolización proposicional

M = Ser médico C = curar S = Saber medicina k = Juan

Esquema de inferencia, o argumento

/x (Mx-->Cx) |- /x (Cx-->Sx) -->(Mk-->Sk)

Cálculo de Deducción

- 1 /x (Mx-->Cx)

┌ 2 /x (Cx-->Sx)

│┌ 3 Mk

││ 4 Mk--> Ck I.U.1

││ 5 Ck M.P.4,3

││ 6 Ck-->Sk I.U.2

││ 7 Sk M.P.6,5

│└ 8 Mk-->Sk I.I.3,7

└ ___________ Cierre supuesto

9 /x (Cx-->Sx)-->(Mk-->Sk) I.I.2-8

Además de todas las reglas referidas a las proposiciones como un todo, se tienen las siguientes:

Instanciación Universal. I.U.

Línea n	/xPx
	¯¯¯¯¯¯¯¯¯	línea de cierre
Línea n+a	Py	U.I. línea n. Conclusión

Generalización existencial. E.G.

Línea n	Py
	¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯	línea de cierre
Línea n+a	/xPx		E.G. línea n. Conclusión

Instanciación existencial. I.E.

línea n	/xPx
┌línea (n+1)	Py	Supuesto provisional
│		Líneas derivadas provisionales
│		no utilizables fuera del supuesto
└ línea (n+a)	p	Regla &&, línea s, r
	______	Línea de cierre
Línea (n+a)+1	p	Regla E.I. líneas (n - n+a+1)	Conclusión

Con la condición de que y sea una variable que no ocurre libre ni en p ni en ningún renglón que preceda a Py.

Generalización universal. G.U.

Línea n	Py
	¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯	línea de cierre
Línea n+a	/xPx		G.U. línea n. Conclusión

Con la condición de que y sea una variable que no ocurre libre ni en /xPx ni en ninguna hipótesis dentro de cuyo alcance se encuentra Py

Negación de un cuantificador N.C.

/xPx	¬xPx	x¬Px	¬x¬Px
======	======	======	======	Doble línea de cierre
¬/x ¬Px	/x¬Px	¬/xPx	/xPx

Principio de identidad Id.

Identidad: Px

y = x	¬Px	y = x	p
¯¯¯¯¯	¯¯¯¯¯	¯¯¯¯¯	¯¯¯¯¯	Línea de cierre
├ Py	├ ¬(y = x)	├ x = y	├ x = x

[editar] Cálculo de relaciones

En algunas ocasiones la validez de un argumento reside en las relaciones que una o varias proposiciones establecen entre varios individuos.

Así la relación “ser más grande que” fundamenta un argumento claramente válido:

Antonio es más grande que Pepe, y Pepe es más grande que Juan. Luego Antonio es más grande que Juan.

Simbolización

Sea la relación

R = ser más grande que;

a = Antonio;

p = Pepe

Rap Simboliza la proposición Antonio es más grande que Pepe.

Nota importante: Es fundamental la consideración del orden de las constantes o variables de la relación. No es lo mismo Rab que Rba como se comprende fácilmente. Aun cuando pueda haber relaciones en las que el orden no varía la relación lógica, por ejemplo “ser igual a”.

Sea ahora el argumento anteriormente considerado, donde

R = ser más grande que; a = Antonio; p = Pepe; j = Juan

El esquema de inferencia consecuente sería:

(Rap / Rpj) → Raj

Que nos da la forma de un esquema de inferencia basado en relaciones.

Clases de proposiciones

En función del número de los individuos entre los que se da la relación:

Diádicas, triádicas, tetrádicas…….

Diádica Raj Antonio es amigo de Juan

Triádica: Rsmv Segovia está entre Madrid y Valladolid

Tetrádica: Ramjc Antonio cambió la moto a Juan por un coche

Funciones proposicionales

Si sustituimos las constantes individuales por variables de individuos tendríamos:

Rxy Rxyz Rwxyz

Proposiciones generales y cuantificadores

Salta a la vista la dificultad que encierra el manejo de tantas variables y sus cuantificadores; por eso simplificamos la consideración a relaciones binarias.

Para ejemplificación de las proposiciones consideramos la relación A = amar a

/x /y Axy Todo ama a todo

/y /x Axy Todo es amado por todo

/x /y Axy Algo ama a algo

/y /x Axy Algo es atraído por algo

/x /y Axy Nada ama cosa alguna

/y /x Axy Nada es amado por cosa alguna

Teniendo en cuenta las posibles conectivas entre variables y cuantificadores la simbolización requiere un análisis lógico complejo del lenguaje, teniendo en cuenta que no siempre es necesario explicitar relaciones cuando éstas no intervienen en la forma lógica del argumento.

La simbolización, debido a la ambigüedad del lenguaje, y a veces al contenido de las mismas relaciones, no siempre es clara ni convincente a la hora de determinar el sentido lógico de la expresión lingüística simbolizada en proposiciones lógicas. Por eso a modo de ejemplo simbolizamos:

Consideremos la expresión: Algún golfista aficionado gana a todos los profesionales.

Consideraremos el caso de “alguno que es aficionado” = /x Ax; /y = Todos los que son profesionales; y G = ganar a.

Analizamos la expresión:

/x {(x es un aficionado) / (x puede ganar a todos los profesionales)}

y luego como:

/x {(x es un aficionado) / /y (Si y es profesional --> (x gana a y)}

lo que usando nuestras simbolizaciones:

/x {Ax / /y (Ay --> Gxy)}

Es evidente que la práctica hace innecesarios los pasos intermedios.

Reglas de cálculo

No es necesariio introducir nuevas reglas para tratar los argumentos que incluyen relaciones. La lista de reglas del cálculo proposicional y cuantificacional posibilitan tratar todos los argumentos relacionales, si bien la reducción de las proposiciones a unidades proposicionales a las que se puedan aplicar las reglas es realmente complicado.

[editar] Referencias

↑ Como llegaron a pretender los neopositivistas
↑ http://es.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan]
↑ Que se lee: Todo x tal que x pertenece a la clase de los nacidos en Asturias
↑ Conjuntor grande; equivale a la conjunción de todos los elementos que pertenecen a la clase: $x_1 land x_2 land x_3....land x_n$
↑ Disjuntor grande; equivale a la disjunción de todos los elementos que pertenecen a la clase: $x_1 lor x_2 lor x_3....lor x_n$
↑ En la formalización gráfica de los silogismos esta relación de inclusión, es decir los juicios universales afirmativos tipo A, se representan interpretando la proposición como: "No hay ningún S que no sea P. Véase Silogismo

Convención para la representación gráfica del Juicio tipo A