Matemáticas4

MATEMÁTICAS4: ¿SE DERIVA LA EXISTENCIA DEL ORDEN? ¿ES SU CONSECUENCIA LÓGICA?. Concepto matemático esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables sus cualidades, propiedades y consecuencias.

Derivación (matemática)

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Concepto matemático esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables sus cualidades, propiedades y consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Posiblemente buscaba derivada, Derivación numérica o Diferencia finita.

Contenido [ocultar] 1 Definición de derivación 1.1 Ejemplos de derivación 1.1.1 La derivada parcial 1.1.2 La derivada direccional 2 Definiciones 2.1 Consecuencias 2.1.1 Propiedad de la derivación de una función localmente constante 2.1.1.1 Ejemplo 2.1.2 Propiedad de la derivación del producto con la función meseta 2.1.3 Propiedad 3 Bibliografía

[editar] Definición de derivación

Sea una variedad diferenciable y , llamaremos derivación en el punto a

aplicación lineal, es decir:

• 

• 

y tal que δ_p(f)g _{| p} + f _{| p}δ_p(g), , es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación

es el conjunto de funciones diferenciables en , y es un álgebra conmutativa, (es un espacio vectorial). es equivalente a , es decir, evaluado en el punto

[editar] Ejemplos de derivación

[editar] La derivada parcial

Sea y , veamos que la aplicación siguiente es derivación:

 

Demostración:

Veamos primero que es lineal, es decir, que vemos que:

• 

• 

Veamos finalmente que es una derivación:Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

[editar] La derivada direccional

Sea , de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

[editar] Definiciones

Sea una variedad diferenciable y , llamaremos espacio tangente a en al espacio vectorial de las derivaciones de en , notado por , y sus elementos se llamaran vectores tangentes a en

[editar] Consecuencias

[editar] Propiedad de la derivación de una función localmente constante

Sea una variedad diferenciable, , y tal que entorno abierto en donde f(x) = λ, , entonces tenemos que

Demostración:

Por linealidad de tenemos λδ_p(1),aquí aplicando la condición de derivación a tenemos de simplificar, este último, resulta aplicadolo al anterior resulta que

[editar] Ejemplo

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase :

• la función meseta ρ asociada a , donde ρ(x) = 1, compacto cuyo interior contiene a

[editar] Propiedad de la derivación del producto con la función meseta

Sea una variedad diferenciable, , y ρ una función meseta asociada a , tenemos que:

Demostración:

Aplicando la regla de Leibniz tenemos que , por la propiedad anterior tenemos que

[editar] Propiedad

Sea una variedad diferenciable, y tal que entorno abierto en donde , entonces tenemos que .

Demostración:

Sea ρ una función meseta asociada a , tenemos así que en todo también por tanto y por la propiedad anterior tenemos que

[editar] Bibliografía

• Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 3002.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Derivaci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)"

Categoría: Geometría diferencial

MATEMÁTICAS4: TEORÍA DEL ORDEN. La teoría del orden es una rama de la matemática que estudia varias clases de relaciones binarias que capturan la noción intuitiva del orden matemático. Este artículo da una introducción detallada a este campo e incluye algunas de las definiciones más básicas. Para una rápida búsqueda de un término orden teórico, hay también un glosario de teoría del orden. Una lista de asuntos sobre orden recoge los artículos que existen en relación a esta teoría del orden.

Teoría del orden

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La teoría del orden es una rama de la matemática que estudia varias clases de relaciones binarias que capturan la noción intuitiva del orden matemático. Este artículo da una introducción detallada a este campo e incluye algunas de las definiciones más básicas. Para una rápida búsqueda de un término orden teórico, hay también un glosario de teoría del orden. Una lista de asuntos sobre orden recoge los artículos que existen en relación a esta teoría del orden.

Contenido [ocultar] 1 Trasfondo y motivación 2 Introducción a las definiciones básicas 2.1 Conjuntos parcialmente ordenados 2.2 Visualizando órdenes 2.3 Elementos especiales dentro de un orden 2.4 Dualidad 2.5 Construyendo nuevos órdenes 3 Funciones entre órdenes 4 Tipos especiales de orden 5 Subconjuntos de conjuntos ordenados 6 Áreas matemáticas relacionadas 6.1 Álgebra universal 6.2 Topología 6.3 Teoría de categorías 7 Esquema de temas relacionados 8 Referencias

[editar] Trasfondo y motivación

El orden aparece por todas partes - por lo menos, si se trata de matemática y áreas relacionadas tales como la informática. El primer orden que uno típicamente encuentra en la educación matemática de la escuela primaria es el orden ≤ de los números naturales. Este concepto intuitivo es fácilmente extendido a otros conjuntos de números, tal como los enteros y reales. De hecho la idea de ser mayor o menor que otro número es una de las intuiciones básicas de los sistemas de numeración en general (que uno generalmente se interesa también en la diferencia real de dos números, que no viene dada por el orden). Otro ejemplo popular de un orden es el orden lexicográfico de las palabras en un diccionario.

Los tipos antedichos de orden tienen una propiedad especial: cada elemento se puede comparar con cualquier otro elemento, es decir es o mayor, o menor, o igual. Sin embargo, esto no siempre es un requisito deseable. Un ejemplo bien conocido es el orden de los subconjuntos de un conjunto. Si un conjunto contiene los elementos de cierto otro conjunto, entonces se puede decir que es menor o igual. Con todo, hay conjuntos que pueden no ser comparables de este modo, puesto que cada uno puede contener algún elemento que no esté presente en el otro. Por lo tanto, inclusión de subconjuntos es un orden parcial, en comparación con los órdenes totales dados antes.

Alentadas por los amplios usos prácticos de los órdenes, se pueden definir numerosas clases especiales de conjuntos ordenados, algunas de las cuales han llegado a ser campos matemáticos por sí mismos. Además, la teoría del orden no se restringe a las varias clases de relaciones de orden, sino que también considera funciones apropiadas entre ellas. Un ejemplo simple de una propiedad orden teórica viene del análisis donde encontramos con frecuencia a las funciones monótonas.

[editar] Introducción a las definiciones básicas

Esta sección tiene como objetivo dar una primera guía al reino de los conjuntos ordenados. Está dirigida al lector que tiene un conocimiento básico teoría de conjuntos y aritmética y que sabe qué es una relación binaria, pero que no está familiarizado, hasta ahora, con consideraciones teóricas sobre orden.

[editar] Conjuntos parcialmente ordenados

Como ya se hizo alusión arriba, un orden es una relación binaria especial. Por lo tanto consideremos algún conjunto P y una relación binaria ≤ en P. Entonces ≤ es un orden parcial si es reflexiva, antisimétrica, y transitiva, es decir, para todo a, b y c en P, tenemos que:

a ≤ a (reflexividad)si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c (transitividad)si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b, (antisimetría).

Un conjunto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado, o, en breve, poset (del inglés partially ordered set). El término conjunto ordenado a veces también se utiliza para los posets, mientras esté claro del contexto que no se quiere significar ninguna otra clase de órdenes. Comprobando esta propiedad, se ve inmediatamente que los bien conocidos órdenes de los naturales, enteros, racionales y reales son todos órdenes en el antedicho sentido. Sin embargo, tienen la propiedad adicional de ser total, es decir, para todo a, b en X

a ≤ b o b ≤ a (totalidad)

este orden se puede también llamar orden lineal o cadena. mientras que muchos órdenes clásicos son lineales, el orden entre subconjuntos de un conjunto proporciona un ejemplo donde éste no es el caso. De hecho, muchas propiedades avanzadas de los posets son interesantes principalmente para un orden no lineal.

[editar] Visualizando órdenes

Antes de proceder con más ejemplos y definiciones, será provechoso poder exhibir un orden de una manera gráfica conveniente, para proporcionar un "cuadro" que uno pueda tener en mente (o en papel) cuando se intente acceder a conceptos más abstractos. Para este propósito se han introducidos los, así llamados, diagramas de Hasse. Estos son grafos donde los vértices son los elementos del poset y la relación de orden está indicada por las aristas y la posición relativa de los vértices. Los órdenes se dibujan de abajo hacia arriba: si un elemento x es menor que y entonces existe una trayectoria de x hasta y que se dirige hacia arriba. A menudo es necesario que la conexión entre puntos se intersequen, pero los puntos nunca deben ser situados en conexión directa entre otros dos puntos.

Aún los conjuntos infinitos pueden a veces ser ilustrados por diagramas similares, usando puntos suspensivos (...) después de dibujar un suborden finito que sea lo suficientemente instructivo. Esto funciona bien para los números naturales, pero falla para los reales, donde no existe el inmediato sucesor. Sin embargo, frecuentemente se obtiene una intuición relacionada con diagramas de este tipo.

Todos los órdenes antedichos son muy comunes en matemática, sin embargo hay también ejemplos que uno no considera a menudo como órdenes. Por ejemplo, la relación de identidad "=" en un conjunto es un orden parcial. Dentro de este orden, cualesquiera dos (i.e. distintos) elementos son incomparables. Es también la única relación que es un orden parcial y una relación de equivalencia. El diagrama de Hasse de tal orden discreto es solamente una colección de puntos etiquetados, sin ninguna arista entre ellos.

Otro ejemplo viene dado por la relación de divisibilidad "|". Para dos números naturales n y m, escribimos n|m si n divide a m sin resto. Uno ve fácilmente que esto da realmente un orden parcial. Un ejercicio instructivo es dibujar el diagrama de Hasse para el conjunto de los números naturales que son menores o iguales que, digamos, 13, ordenados por |.

[editar] Elementos especiales dentro de un orden

En un conjunto parcialmente ordenado hay algunos elementos que desempeñan un papel especial. El ejemplo más básico está dado por el mínimo de un poset. Por ejemplo, 0 es el mínimo de los números naturales y el conjunto vacío es el mínimo bajo el orden de subconjuntos. Formalmente, esto se puede describir por la propiedad:

0 ≤ a, para todo elemento a del conjunto ordenado.

Es frecuente encontrar la notación 0 para el mínimo, incluso cuando no se refiera a números. Sin embargo, en un orden de un conjunto numérico, esta notación puede ser inadecuada o ambigua, puesto que el número 0 no siempre es el mínimo. Un ejemplo es el antedicho orden de divisibilidad |, donde 1 es el mínimo puesto que divide a todo el resto de números. Por otra parte, 0 es un número que se divide por todo el resto de números. ¡Por lo tanto es el máximo del orden! Otros términos frecuentes para estos elementos son fondo y tapa o cero y uno. Pueden no existir los elementos "mínimo" o "máximo", como demuestra el ejemplo de los números reales. Por otra parte, si existen son siempre únicos. En contraste, consideremos la relación de divisibilidad | en el conjunto {2, 3, 4, 5, 6}. Aunque este conjunto no tiene ni tapa ni fondo, los elementos 2, 3, y 5 no tienen ningún elemento debajo, mientras que 4, 5, y 6 no tienen ninguno otro número arriba. Tales elementos se llaman minimales y maximales, respectivamente. Formalmente, un elemento m es minimal si:

a ≤ m implica a = m, para todo elemento a.

Intercambiando ≤ con ≥ obtenemos la definición de maximal. Como el ejemplo demuestra, puede haber muchos elementos minimales o maximales y algún elemento puede ser maximal y minimal (e.g. 5 arriba). Sin embargo, si hay un elemento mínimo, entonces es el único elemento minimal del orden. (Si se sigue estrictamente la definición dada. Lamentablemente hay una tradición matemática "a contrario": considerar los minimales y maximales en el conjunto despojado de su máximo y su mínimo, si los hubiere. Esto debe recordarse. N.T.). Una vez más, en los posets no siempre hay infinitos elementos maximales - el conjunto de todos los subconjuntos finitos en un conjunto infinito dado, ordenado por inclusión de subconjuntos, proporciona uno, entre muchos, contraejemplo. Una herramienta importante para asegurar la existencia de elementos maximales bajo ciertas condiciones es el Lema de Zorn.

Los subconjuntos de un conjunto parcialmente ordenado heredan el orden. Ya aplicamos esto al considerar el subconjunto {2, 3, 4, 5, 6} de los números naturales con el orden de divisibilidad inducido. Hay también elementos de un poset que son especiales con respecto a cierto subconjunto del orden. Esto conduce a la definición de cota superior. Dado un subconjunto S de cierto poset P, una cota superior de S es un elemento b de P que está sobre todo elemento de S. Formalmente, esto significa que

s ≤ b, para todo s en S.

Cota inferior se define invirtiendo el orden. Por ejemplo, -5 es una cota inferior de los números naturales como subconjunto de los enteros. Dado un conjunto de conjuntos , una cota superior para éstos conjuntos viene dado por su unión. De hecho, esta cota superior es muy especial: es el más pequeño conjunto que contiene todos los conjuntos dados. Por lo tanto, encontramos la menor cota superior de un conjunto de conjuntos. Este concepto se llama también supremo y para un conjunto S se escribe sup S o VS para su menor cota superior. Inversamente, la mayor cota inferior se la conoce como ínfimo y se denota inf S o ^S. Este concepto desempeña un papel importante en muchos usos de la teoría del orden. Para dos elementos x y y, uno también escribe x v y y x ^ y para sup{x, y} e inf{x, y}, respectivamente.

Usando Wikipedia TeX markup, uno puede también escribir y , así como símbolos grandes y . Observe, sin embargo, que todos esos símbolos pueden no tener símbolo de tamaño correspondiente al de la fuente del texto estándar y, por tanto, se prefiere utilizarlos en líneas adicionales. Muchos de los navegadores de hoy son incapaces de representar ∨ para v y ∧ para ^ en algunas plataformas, y por lo tanto se evita aquí.

Considere otro ejemplo en la relación | para los números naturales. La menor cota superior de dos números es el menor número que es múltiplo de ambos, es decir el mínimo común múltiplo. Mayor cota inferior es, alternativamente, el máximo común divisor.

[editar] Dualidad

En las anteriores definiciones, a menudo, observamos que un concepto puede ser definido por invertir simplemente el orden en una definición anterior. Este es el caso para "menor" y "mayor", para "mínimo" y "máximo", para "cota superior " y "cota inferior", etcétera. Esto es una situación general en teoría de orden: Un orden dado se puede invertir con solamente intercambiar su dirección, pictóricamente dar vuelta el diagrama de Hasse de arriba para abajo. Esto da el, así llamado, orden dual, inverso u opuesto.

Cada definición orden teórica tiene su dual: es la noción que se obtiene al aplicar la definición al orden inverso. Dada la simetría de todos los conceptos, esta operación preserva los teoremas del orden parcial. Para un resultado matemático dado, se puede, simplemente, invertir el orden y substituir todo definición por su dual y obtener otro teorema válido. Esto es importante y útil, puesto que uno obtiene dos teoremas al precio de uno. Más detalle y ejemplos se pueden encontrar en el artículo sobre dualidad en teoría de orden.

[editar] Construyendo nuevos órdenes

Hay muchas maneras de construir órdenes, o para combinar órdenes en uno nuevo. El orden dual es un primer ejemplo. Otra importante construcción es el producto cartesiano de dos conjuntos parcialmente ordenados, junto con el orden producto en pares de elementos. Esto se define por los órdenes originales haciendo (a, x) ≤ (b, y) si a ≤ b y x ≤ y. La unión disjunta de dos posets es otra típica construcción, donde el orden es exactamente la unión de los órdenes originales.

Como en el caso del orden usual de números, cada orden parcial ≤ da lugar a un orden estricto <, al definir a < b si a ≤ b y no b ≤ a. Esta transformación puede ser invertida haciendo a ≤ b si a < b o a = b.

[editar] Funciones entre órdenes

Es razonable requerir que las funciones entre conjuntos parcialmente ordenados tengan ciertas propiedades adicionales, que se relacionen con la relación de orden de los dos conjuntos. La condición más fundamental que se presenta en este contexto es la monotonía. Un función f de un poset P a un poset Q es monótona u orden preservante, si a ≤ b en P implica f(a) ≤ f(b) en Q. La conversa de esta implicación conduce a una función que es orden reflectante, es decir una función f como arriba para la cuál f(a) ≤ f(b) implica a ≤ b. Por otra parte, una función puede también ser orden inversora o antítona, si a ≤ b implica f(a) ≥ f(b).

Una inmersión de orden es una función f entre órdenes que es orden preservante y orden reflectante. Ejemplos para esta definición se encuentran fácilmente. Por ejemplo, función que mapea un número natural en su sucesor es claramente monótona con respecto al orden natural. Cualquier función de un orden discreto, es decir un conjunto ordenado por el orden identidad "=", es también monótono. Mapear cada número natural al correspondiente número real da un ejemplo para una inmersión de orden. El complemento conjuntista en un conjunto de partes es un ejemplo de una función antítona.

Una importante pregunta es cuándo dos órdenes son "esencialmente iguales", es decir cuándo son lo mismo salvo retitular elementos. Un isomorfismo de orden es una función que define tal renombrar. Un isomorfismo de orden es una función monótona biyectiva que tiene una inversa monótona. Esto es equivalente a una inmersión de orden sobreyectiva. Por lo tanto, la imagen f(P) de una inmersión de orden es siempre isomorfa a P, lo que justifica el término "inmersión".

Un más elaborado tipo de función es la, así llamada, conexión de Galois. Conexiones de Galois monótonas pueden ser vistas como una generalización de los isomorfismos de orden, puesto que están constituidas por dos funciones en inversa dirección, que no son inversas absolutas una de la otra, pero tienen cercana relación.

Otro tipo especial de endofunción en un poset es el operador de clausura, que no solamente es monotónico, sino también idempotente, es decir. f(x) = f(f(x)), y extensivo, es decir. x ≤ f(x). éste tiene mucho uso en todo clase de "clausuras" que aparecen en matemática.

Además de compatible con la mera relación de orden, una función entre posets puede también comportarse bien con respecto a elementos especiales y construcciones. Por ejemplo, cuando se habla de posets con menor elemento, parece razonable considerar solamente una función monotónica que preserve este elemento, es decir que mapee menor elemento en menor elemento. Si el ínfimo binario ^ existe, entonces una propiedad razonable puede ser requerir que f(x^y) = f(x) ^ f(y), para todo x y y. Todas estas propiedades, y de hecho muchas más, pueden ser agrupadas bajo la etiqueta función que preserva límite.

Finalmente, uno puede invertir la visión, cambiar funciones de orden a orden de funciones. De hecho, las funciones entre dos posets P y Q pueden ser ordenadas vía el orden punto a punto. Para dos funciones f y g, se tiene f ≤ g si f(x) ≤ g(x) para todo elemento x en P. Esto ocurrirá por ejemplo en teoría de dominios, donde los espacios funcionales desempeñan un importante papel.

[editar] Tipos especiales de orden

Muchas de las estructuras que son estudiadas en teoría de orden emplean relaciónes con propiedades adicionales. De hecho, algunas relaciones que no son de orden parcial son de especial interés. Principalmente, el concepto de preorden tiene que ser mencionado. Un preorden es una relación que es reflexiva y transitiva, pero no necesariamente antisimétrica. Cada preorden induce una relación de equivalencia entre elementos, donde a es equivalente a b, si a ≤ b y a ≥ b. Los preórdenes pueden ser convertidos en órdenes identificando todo elemento equivalente con respecto a esta relación.

Tipos básicos de órdenes especiales ya se dieron en forma de orden total. Una simple pero útil propiedad adicional conduce al, así llamado, buen orden, dentro del que todo subconjunto no vacío tiene un menor elemento (también denominado primer elemento). Muchos otros tipos de orden se presentan cuando se garantiza la existencia de ínfimos y supremos de ciertos conjuntos. Centrándose en este aspecto, generalmente referido como completitud de órdenes, se obtiene:

• Posets acotados, es decir posets con menor y mayor elementos (que son precisamente supremo e ínfimo del conjunto vacío),

• reticulados, en que cada conjunto finito no vacío tiene supremo e ínfimo,

• reticulados completos, donde cada conjunto tiene supremo e ínfimo, y

• órdenes parciales dirigidos completos (dcpos), que garantizan la existencia de supremo en todo subconjunto dirigido y son estudiados en teoría de dominios.

Sin embargo, uno puede ir incluso más allá: si todo ínfimo finito no vacío existe, entonces ^ puede ser visto como una operación binaria total en el sentido del álgebra universal. Por lo tanto, en un reticulado, dos operaciones ^ y v están disponibles, y se puede definir nuevas propiedades dando identidades, tal como

x ^ (y v z) = (x ^ y) v (x ^ z), para todo x, y, y z.

Este condición se llama distributividad y dar lugar a los reticulados distributivos. Hay algunas otras importantes leyes de distributividad que son discutidas en el artículo sobre la distributividad en teorías de orden. Algunas estructuras de orden adicionales que son a menudo especificadas vía operación algebraica y definiendo identidades son

• álgebras de Heyting y

• álgebras de Boole,

en que ambas introducen una nueva operación ~ llamada negación. Ambas estructuras desempeñan un papel en lógica matemática y especialmente las álgebras de Boole tienen importante uso en informática. Finalmente, varias estructuras en matemática combinan orden con operaciones aún más algebraicas, como el caso de quantales, que permite la definición de una operación de adición.

Existen muchas otras importantes propiedades de los posets. Por ejemplo, un poset es localmente finito si cada intervalo cerrado [a, b] en él es finito. Los posets localmente finitos dan lugar a álgebras de incidencia que alternadamente pueden ser utilizadas para definir característica de Euler de posets finitos acotados.

[editar] Subconjuntos de conjuntos ordenados

En un conjunto ordenado, uno puede definir muchos tipos especiales de subconjuntos basados en el orden dado. Un ejemplo simple son los conjuntos superiores, es decir conjuntos que contienen todo elemento que esté sobre ellos en el orden. Formalmente, la clausura superior de un conjunto S en un poset P viene dado por el conjunto {x en P| hay algún y en S con y ≤ x}. Un conjunto que es igual a su clausura superior se llama un conjunto superior. conjunto inferior es definido dualmente.

Subconjuntos inferiores más complicados son los ideales, que tienen la propiedad adicional que cada dos de sus elementos tiene cota superior dentro del ideal. Su noción dual son los filtros. Un concepto relacionado es el de subconjunto dirigido, que como un ideal contiene cota superior de un subconjunto finito, pero no tiene porque ser un conjunto inferior. Además, a menudo se generaliza a conjuntos preordenados.

Un subconjunto que es - como sub-poset - linealmente ordenado, se llama una cadena. La noción opuesta, anticadena, es un subconjunto que no contiene ningún par de elementos comparables, es decir que es un orden discreto.

[editar] Áreas matemáticas relacionadas

aunque la mayoría de las áreas matemáticas usan orden de uno u otra manera, también hay algunas teorías que tienen una relación que va mucho más allá de la mera utilización. Junto con su importante punto de contacto con la teoría de orden, algunas serán presentadas abajo.

[editar] Álgebra universal

Según lo ya mencionado, los métodos y el formalismo del álgebra universal son una herramienta importante para muchas consideraciones orden teóricas. Aparte de formalizar órdenes en términos de estructuras algebraicas que satisfacen ciertas identidades, se pueden también establecer otras conexiones con el álgebra. Un ejemplo es la correspondencia entre las álgebras de Boole y los anillos de Boole. Otros aspectos tienen que ver con la existencia de construcciones libres, tal como los reticulados libres basados en un conjunto de generadores. Además, los operadores de clausura son importantes en el estudio del álgebra universal.

[editar] Topología

En topología el orden desempeña un muy prominente papel. De hecho, el conjunto de los abiertos proporciona un clásico ejemplo de un reticulado completo, más exactamente un álgebra de Heyting completa (o "marco" o "locale"). Los filtros y las redes son nociones relacionadas con la teoría de orden y el operador clausura conjuntista puede ser utilizado para definir una topología. Más allá de esta relación, la topología de puede mirar únicamente en términos del reticulado de conjuntos abiertos, que conduce al estudio de la topología sin puntos. Además, un preorden natural de elementos del conjunto subyacente de una topología viene dada por el, así llamado, orden de especialización, que es realmente un orden parcial si la topología es T₀.

Inversamente, en teoría de orden, uno a menudo hace uso de resultados topológicos. Hay varias maneras de definir subconjuntos de un orden que pueden ser considerados como conjunto abiertos de una topología. Especialmente, es interesante considerar topologías en un poset (X, ≤) que reobtiene ≤ como su orden de especialización. La más fina de tales topologías es la topología de Alexandrov, dada al tomar todos los conjuntos superiores ("upper") como abiertos. Inversamente, la más gruesa topología que induce el orden de especialización es la topología superior, que tiene los complementos de los ideales principales (es decir conjuntos de la forma { y en X|y ≤ x} para cada x) como una subbase. Adicionalmente, una topología con orden de especialización ≤ puede ser orden consistente, significando que sus conjuntos abiertos son "inaccesibles por supremos dirigidos" (con respecto ≤). La topología más fina de un orden consistente es la topología de Scott, que es más gruesa que la topología de Alexandrov. Una tercera topología importante en esta línea es la topología de Lawson. Hay cercanas conexiones entre estas topologías y los conceptos de la teoría de orden. Por ejemplo, una función preserva supremos dirigidos si y sólo si es continuo con respecto a la topología de Scott (por este razón esta propiedad orden teórica es también llamada continuidad de Scott).

[editar] Teoría de categorías

La visualización de órdenes con diagramas de Hasse tiene una generalización directa: en vez exhibir elemento menores bajo los mayores, la dirección del orden se puede también representar dando la dirección de las aristas del grafo. De esta manera, cada orden se ve como equivalente a un grafo dirigido acíclico, donde los nodos son los elementos del poset y hay una trayectoria dirigida de a a b si y solamente si a ≤ b. Eliminando el requisito acíclico, uno puede también obtener todos los preórdenes.

Cuando es equipado con todas las aristas transitivas, estos grafos son solamente categorías especiales, donde los elementos son los objetos y cada conjunto de morfismos entre dos elementos es a lo sumo un singletón. Funciones entre órdenes se convierten en funtores entre categorías. Interesantemente, muchas ideas de la teoría de orden son simplemente pequeñas versiones de los conceptos de la teoría de las categorías. Por ejemplo, un ínfimo es precisamente un producto categórico. Más en general, uno puede subsumir supremos e ínfimos bajo la noción abstracta de un límite categórico (o colímite, respectivamente). Otro lugar en donde las ideas categoriales surgen es el concepto de una conexión de Galois (monótona), que es precisamente igual a un par de funtores adjuntos.

Pero la teoría de las categorías también tiene un impacto en la teoría de orden de mayor escala. Clases de posets con funciones apropiadas según lo discutido arriba forman interesantes categorías. A menudo uno puede también establecer construcción de órdenes, como el orden producto, en término de categoría. Otras intuiciones resultan cuando categorías de orden resultan equivalentes categóricas a otra categoría, por ejemplo de espacios topológicos. Este línea de investigación conduce a varios teoremas de representación, a menudo recogidos bajo la etiqueta dualidad de Stone.

[editar] Esquema de temas relacionados

• Álgebra de incidencia
• Función de Möbius

Teoría del orden   Bien ordenado Orden total Parcialmente ordenado Preordenado Relación reflexiva Relación transitiva Relación antisimétrica Relación total Orden bien fundamentado

[editar] Referencias

• G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, and D. S. Scott, Continuous Lattices and Domains, In Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 93, Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-80338-1

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_orden"

Categoría: Teoría del orden

MATEMÁTICAS4: RELACIÓN. El concepto relación puede referirse a muy distintos ámbitos:

Relación

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El concepto relación puede referirse a muy distintos ámbitos:

Contenido [ocultar] 1 En el sentido de "relato" 1.1 Folclore 1.2 Literatura 2 En el sentido de "conexión" 2.1 Astronomía 2.2 Biología 2.3 Ciencias sociales 2.4 Edafología 2.5 Física 2.6 Ingeniería 2.7 Informática 2.8 Lingüística 2.9 Matemáticas 2.10 Sexualidad y amistad 2.11 En filosofía

[editar] En el sentido de "relato"

[editar] Folclore

• • Relaciones (folclore): un tipo de diálogo en verso entre el hombre y la mujer característico de ciertas tradiciones folclóricas musicales, en países como la Argentina y Uruguay.

[editar] Literatura

• • Relación (literatura), el relato de los hechos de un viaje; aplicado muy frecuentemente por los Cronistas de Indias:
    • Brevísima relación de la destrucción de las Indias, de Bartolomé de las Casas y otros libros de relación o cartas de relación, como las de Hernán Cortés, o la
    • Relación de las cosas de Yucatán, de Diego de Landa
    • Relaciones Topográficas de Felipe II, una recopilación protoestadística
    • Relación que dio Alvar Núñez Cabeza de Vaca de lo acaescido en las Indias en la armada donde iva por Gobernador Pánfilo de Narvaez, alias La relación

[editar] En el sentido de "conexión"

Con el significado de conexión entre dos cosas, es muy habitual en todo tipo de ciencias:

[editar] Astronomía

• • Relación Tully-Fisher

[editar] Biología

• • Interacción biológica
  • Relación intraespecífica
  • Relación interespecífica
  • Relación ventilación perfusión

[editar] Ciencias sociales

• • Relación social
  • Relaciones de producción
  • Relaciones económicas
  • Relaciones de clientela, séquito y vasallaje
  • Poder de relación, una ampliación de los tres poderes clásicos
  • Relación jurídica
  • Relaciones internacionales, (consideradas desde cada país Relaciones exteriores)
  • Relaciones públicas
  • Relaciones humanas

[editar] Edafología

• Relación agua-suelo

[editar] Física

• • Relación de energía-momento
  • Relación de Clausius-Clapeyron
  • Relación señal/ruido
  • Relación de Mayer
  • Relaciones de Kramers-Kronig

[editar] Ingeniería

• • Relación agua-cemento
  • Relación de compresión
  • Relación empuje a peso

[editar] Informática

• • Base de datos relacional

[editar] Lingüística

• • Relación semántica

[editar] Matemáticas

• • Relación matemática
  • Álgebra relacional
  • Relación de orden
  • Relación simétrica
  • Relación antisimétrica
  • Relación binaria
  • Relación n-aria
  • Relación reflexiva
  • Relación antirreflexiva
  • Relación espuria
  • Relación transitiva
  • Relación de Parseval
  • Modelo relacional
  • Modelo relacional de datos: Concepto desarrollado por Edgar Codd en 1970 basado en el concepto de una relación n-aria.
  • Diagrama entidad-relación
  • Relaciones de Cardano
  • Relaciones Métricas en el Triángulo

[editar] Sexualidad y amistad

• Haciendo referencia específicamente a la dimensión sexual:
  • Relación sexual
  • Relación homoerótica
  • Relaciones conyugales
  • Relaciones extraconyugales
  • Relaciones prematrimoniales
  • Relaciones personales
  • Relaciones afectivas
  • Como sinónimo de amistad: Las amistades peligrosas (Les liaisions dangereuses), novela de Pierre Chodelos de Leclos, de la que se hizo una famosa película.

[editar] En filosofía

• Absoluto y Relativo.
• Relaciones internas y externas.
• Relaciones lógicas.

 

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MATEMÁTICAS4: RELACIÓN MATEMÁTICA. Una relación , de los conjuntos es un subconjunto del producto cartesiano.

Relación matemática

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Una relación , de los conjuntos es un subconjunto del producto cartesiano

Una Relación binaria es una relación entre dos conjuntos.

El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas.

Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: en este caso se representa como , pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.

[editar] Tipos de relaciones

En las relaciones se diferencian los tipos según el número de conjuntos en el producto cartesiano, que es el número de términos de la relación:

Relación unaria: un solo conjunto Relación binaria: con dos conjuntos Relación ternaria: con tres conjuntos Relación cuaternaria: con cuatro conjuntos ...Relación n-aria: caso general con n conjuntos

[editar] Véase también

• Modelo relacional
• Modelo entidad-relación
• Cálculo relacional
• Álgebra relacional

• Correspondencia matemática
• Relación de equivalencia
• Función matemática
• Relación de orden
• Relación binaria
• Relación n-aria

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Categoría: Relaciones

MATEMÁTICAS4: LA DIVINA PROPORCIÓN. EL NÚMERO AUREO. El número áureo o de oro (también llamado número plateado, razón extrema y media,[1] razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional.

Número áureo

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Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

El número áureo o de oro (también llamado número plateado, razón extrema y media,^[1] razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:^[2]

También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),^[3] por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi (Φ,φ) es más común.

Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como cohetes, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

Contenido [ocultar] 1 Definición 2 Historia del número áureo 3 El número áureo en las Matemáticas 3.1 Fórmula de la relación Áurea 3.2 Propiedades y representaciones 3.2.1 Ángulo de oro 3.2.2 Propiedades algebraicas 3.2.3 Representación mediante fracciones continuas 3.2.4 Representación mediante ecuaciones algebraicas 3.2.5 Representación trigonométrica 3.2.6 Representación mediante raíces anidadas 3.2.7 Relación con la serie de Fibonacci 3.3 El número áureo en la geometría 3.3.1 El rectángulo áureo de Euclides 3.3.2 En el pentagrama 3.3.3 El teorema de Ptolomeo y el pentágono 3.3.4 Relación con los sólidos platónicos 4 El número áureo en la Naturaleza 5 El número áureo en el ser humano 6 El número áureo en el Arte 7 El número áureo en el misticismo 8 Véase también 9 Referencias 10 Bibliografía 11 Enlaces externos

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[editar] Definición

Números γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binario	1,1001111000110111011...
Decimal	1,6180339887498948482...
Hexadecimal	1,9E3779B97F4A7C15F39...
Fracción continua
Algebraico

Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

Para obtener el valor de a partir de esta razón considere lo siguiente:

Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:

Multiplicando ambos lados por x y reordenando:

Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación son

La solución positiva es el valor del número áureo.

[editar] Historia del número áureo

Existen varios textos que sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fue usado conscientemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas. También es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además para que se pueda considerar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio y Álvaro Valarezo concluyen que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.^[4]

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera:

"Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."

Euclides en Los Elementos.

Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir es irracional.

Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido que el historiador griego Proclo escribió:

"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen."

Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.

Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave a la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.

A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito. Para Platón cada uno de los sólidos correspondía a una de las partículas que conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el dodecaedro.

En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Proporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo:

1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo, y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.
4. La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.

En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos

“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”

Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cósmico).

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales). Ohm escribe en una nota al pie:

"Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada."

Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales).

A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.

En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ del griego τομή que significa corte o sección. Sin embargo, la moderna denominación Φ ó φ, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Live, de Sir Theodore Cook.

[editar] El número áureo en las Matemáticas

[editar] Fórmula de la relación Áurea

Para conseguir un número cuya relación con otro sea φ se puede utilizar esta fórmula:

Siendo siempre a>b, a>0 y b>0

Si por ejemplo, queremos un valor áureo para 2 siendo éste el segmento menor, o sea b, resulta que:

Ordenando:

Con la fórmula Cuadrática:

[editar] Propiedades y representaciones

[editar] Ángulo de oro

[editar] Propiedades algebraicas

• Φ es el único número real positivo tal que:

La expresión anterior es fácil de comprobar:

• Φ posee además las siguientes propiedades:

• Las potencias del número áureo pueden ser escritas en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, estableciendo una verdadera sucesión recurrente de potencias.

El caso más simple es: Φⁿ = Φ^{n − 1} + Φ^{n − 2}, cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.

Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma a₁u_{n + k − 1} + a₂u_{n + k − 2} + ... + a_ku_n, donde a_i es cualquier número real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es k = 2, a₁ = 1 y a₂ = 1.

Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:

Φⁿ = Φ^{n − 2} + 2Φ^{n − 3} + Φ^{n − 4}. Aquí k = 4, a₁ = 0, a₂ = 1, a₃ = 2 y a₄ = 1.

Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:

Φⁿ = Φ^{n − 3} + 3Φ^{n − 4} + 3Φ^{n − 5} + Φ^{n − 6}

En general:

.

En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8, ..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de Φ, hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de Φ corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.

Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay un parentesco.

 

• El número áureo es la unidad fundamental «ε» del cuerpo y la sección áurea es su inversa, «». En esta extensión el «emblemático» número irracional cumple las siguientes igualdades:

.

[editar] Representación mediante fracciones continuas

La expresión mediante fracciones continuas es:

Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado de aproximabilidad mediante racionales posible.^[5]

Por ello se dice que φ es el número más alejado de lo reacional o el número más irracional. Este es el motivo por el cual aparece en el teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser.

[editar] Representación mediante ecuaciones algebraicas

El número áureo y la sección áurea son soluciones de las siguientes ecuaciones:

[editar] Representación trigonométrica

Éstas corresponden al hecho de que el diámetro de un pentágono regular (distancia entre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el pentagrama.

En 1994 se derivaron las siguientes ecuaciones relacionando al número áureo con el número de la Bestia:

Lo que puede combinarse en la expresión:

Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan los grados sexagesimales como unidad angular, ya que las ecuaciones no se mantienen para unidades diferentes.

[editar] Representación mediante raíces anidadas

Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917.

El teorema general dice:

La expresión (donde a_i = a), es igual a la mayor de las raíces de la ecuación x² - x - a = 0; o sea,

[editar] Relación con la serie de Fibonacci

Si se denota el enésimo número de Fibonacci como F_n, y al siguiente número de Fibonacci, como F_{n + 1}, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo:  ;  ; y , lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:

Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, sin embargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson.

Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Por ejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios, como pudieran ser 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3 - 7 - 10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301 ... Los cocientes de términos sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercan asintóticamente por exceso y por defecto al mismo límite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 = 1,613636...; 301/186 = 1,6182795... ^[6]

A mediados del siglo XIX el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:

[editar] El número áureo en la geometría

El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, pentágonos o aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

• Relaciones entre las partes del pentágono.
• Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.
• Relaciones entre las partes del decágono.
• Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.

[editar] El rectángulo áureo de Euclides

Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.

El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides en su proposición 2.11 de Los elementos obtiene su construcción.>

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto

resultando evidente que

de donde, finalmente

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este último es asimismo un rectángulo áureo.

[editar] En el pentagrama

Pentagrama que ilustra algunas de las razones áureas: los segmentos rojo y azul, azul y verde, verde y morado.

El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, interseca a otro segmento en una razón áurea.

El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen como los triángulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.

[editar] El teorema de Ptolomeo y el pentágono

Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentágono regular.

Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema un cuadrilátero es formado al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que b² = a² + ab lo que implica:

[editar] Relación con los sólidos platónicos

El número áureo está relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo. Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2, pueden darse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos: (0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)

Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1, también se pueden dar en términos similares: (±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)

Las 12 esquinas de los rectángulos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro.

Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se pueden expresar también en términos del número áureo:

Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinas de los rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro:

El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.

[editar] El número áureo en la Naturaleza

Existen desacuerdos sobre la neutralidad en el punto de vista de la versión actual de este artículo o sección. En la página de discusión puedes consultar el debate al respecto.

Concha de nautilus en espiral logarítmica.

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o los números de Fibonacci:

• Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la aparición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático . El cociente de dos términos sucesivos de la Sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.^[7]

• La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
• La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
• La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci.
• La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
• La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
• La distancia entre las espirales de una Piña.

• La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.^{[8] [9]} Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente.^[10]
• Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999..." En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º 30' 28" en el mejor de los casos. Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empíricamente por Church y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. En la práctica no puede medirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea, con una pequeña desviación respecto al valor teórico.
• En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión tiende al número áureo.
• Existen cristales de Pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentágonos irregulares. Sin embargo, las proporciones de dicho poliedro irregular no involucran el número áureo.
• El número áureo en el cine:

El número Fi aparece en la película de Disney "Donald en el país de las Matemágicas"

[editar] El número áureo en el ser humano

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• La Anatomía de los humanos se basa en una relación Φ estadística y aproximada, así vemos que:
  • La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
  • La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
  • La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
  • La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ.
  • La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz
  • Es Φ la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar
  • Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene Φ, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).

[editar] El número áureo en el Arte

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Hombre de VitruvioLeonardo da Vinci

• Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo , donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice (inexistente en la actualidad) y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), se apoya en la interpretación de un pasaje de Heródoto (Historiae, libro II, cap. 124) y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de interés geométrico.^[11] No obstante, con base en mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades.

• La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Teeteto de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados "estáticos" y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o reducibles a ellas, "dinámicos". El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5.^[12] Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del Partenón en un rectángulo de módulo . Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales. Este rectángulo es descompuesto en seis de módulo y cuatro cuadrados.^[13] Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores, en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.^[14]

• En el cuadro Leda atómica de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka.

• En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
• El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros.
• Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.
• En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).
• En la pág. 56 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones de este número fi (1,618) en la naturaleza.
• En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del nautilus.

• Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión.
• En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos el personaje central, Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola incorrectamente como Theta (θ) en vez de Phi (Φ).

[editar] El número áureo en el misticismo

En la cruz latina, símbolo del catolicismo, la relación entre el palo vertical y el horizontal es el número áureo. Así mismo, el palo horizontal divide al vertical en secciones áureas. ^{[cita requerida]}

[editar] Véase también

• Número π
• Espiral logarítmica
• Estrella mágica
• Sucesión de Fibonacci
• Composición áurea
• Pitágoras
• Luca Pacioli
• Matila Ghyka
• Roger Penrose
• Decágono regular

[editar] Referencias

1. ↑ Fernando Corbalán (2010). La proporción áurea. RBA Coleccionables S. A.. ISBN 978-84-473-6623-1. 
2. ↑ Este número es irracional, aunque es algebraico y también constructible mediante regla y compás, y existen numerosas aproximaciones racionales con mayor o menor error. En el año 2008 se obtuvieron cien mil millones de cifras decimales correctas. (Ver: http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html) Al igual que ocurre con la raíz cuadrada de dos, es posible construir un segmento idealmente exacto con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un compás de abertura variable. ¿Qué significa esto? Que ningún dibujo puede ser tan fino como para representar el concreto y real valor puntual del número áureo. Cualquier objeto construido por el hombre o formado naturalmente, aunque se tuviera la intención manifiesta de lograr una representación de ese número, llevaría consigo un error inevitable. Un segmento de recta tan pequeño como el diámetro aparente de la partícula atómica más pequeña tiene tantos puntos geométricos como toda la recta. Con todo, la construcción geométrica es idealmente exacta y por este motivo se estimó durante un tiempo considerable a la geometría como superior a la aritmética. La diferencia está en que el valor aritmético está dado como un infinito potencial y el valor geométrico como un infinito actual, generando un segmento de recta constructible.
3. ↑ Proporción Áurea en WolframMathWorld
4. ↑ Mario Livio (2002). The Golden Ratio. Broadway Books. ISBN 0-7679-0816-3. 
5. ↑ Bad approximable numbers in WolframMathWorld
6. ↑ Trabajo presentado por Mark Barr y Shooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.
7. ↑ N. N. Vorobiov; traducción de Carlos vega (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, rústica, 112 páginas. 
8. ↑ Matila Ghyka (1953). Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo V: "Del Crecimiento Armonioso", páginas 118 a 144. 
9. ↑ D'Arcy Wentworth Thompson (1917). "On Growth and Form". Cambridge University Press.  D'Arcy Wentworth Thompson (1992). "On Growth and Form". Dover edition, 1116 páginas.  D'Arcy Thompson (1980). "Sobre el Crecimiento y la Forma. Editorial Hermann Blume, Madrid. Existen ediciones de unas 300 páginas, una reciente de Cambridge.
10. ↑ Es una paráfrasis de un pensamiento de Ruskin mencionado en la página 139 del libro citado de Matila Ghyka
11. ↑ "Lógicamente, la tesis de la sección áurea parecería más probable, porque de ella emana una construcción rigurosa, elegante y sencilla del triángulo meridiano, mientras que en la otra hipótesis, aún suponiendo conocido con una aproximación muy grande el valor de π, la construcción sería puramente empírica y desprovista de verdadero interés geométrico" [Es notable, además, que aunque los antiguos no sabían de la trascendencia de π, estaban completamente conscientes de la carencia de exactitud de algunos intentos de cuadratura del círculo] Matila Ghyka (1953). Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo VIII: "La Pirámide de Keops", página 222. 
12. ↑ Jay Hambidge (1920; 1930; 1931). "Dynamic Symmetry The Greek Vase". Yale University Press, New Haven. Jay Hambidge (22/08/2007). Dynamic Symmetry The greek vase. Rough Draf Printing. ISBN 978-1-60386-037-6. 
13. ↑ Jay Hambidge (1924). "The Parthenon and Other Greek temples, their Dynamic Symmetry". Yale University Press, New haven. Hay todavía disponibles ejemplares de esa edición, tanto nuevos como usados y a la venta a aproximadamente $ (USA) 250. 
14. ↑ Banister; Fletcher. "A History of Architecture". B. T. Basford, Londres. 

[editar] Bibliografía

En orden cronológico:

• Jarolimek (Viena, 1890). Der Mathematischen Schlüssel zu der Pyramide des Cheops. 

• Kleppisch, K. (1921). Die Cheops-Pyramide: Ein Denkmal Mathematischer Erkenntnis. Múnich: Oldenburg. 

• Cook, Theodore Andrea (1979; obra original: 1914). The Curves of Live. Nueva York: Dover. ISBN 0-486-23701-X; ISBN 978-0-486-23701-5. 

• Pacioli, Luca (1991). La Divina Proporción. Tres Cantos: Ediciones Akal, S. A.. ISBN 978-84-7600-787-7. 

• Ghyka, Matila (1992). El Número de Oro. Barcelona: Poseidón, S.L.. ISBN 978-84-85083-11-4. 

• Ghyka, Matila (2006). El Número de Oro. I Los ritmos. II Los Ritos. Madrid: Ediciones Apóstrofe, S. L.. ISBN 978-84-455-0275-4. 

• Corbalán, Fernando (2010). La proporción áurea. RBA Coleccionables S. A.. ISBN 978-84-473-6623-1. 

[editar] Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número áureo. Commons
• Astronomy.swin.edu.au (Fi, la sección áurea).
• ChampionTrees.org (Fi: la proporción divina).
• GoldenRatio.com.ar (propiedades interesantes del número áureo y aplicación en la biología).
• MCS.Surrey.ac.uk (La sección áurea: fi).
• MathWorld.Wolfram.com/GoldenRatio.html (la sección áurea).
• Rt000z8y.EresMas.net (una buena página que explica Φ detalladamente]
• Rt000z8y.EresMas.net (más ejemplos de Φ en la vida).
• Castor.es (El número Fi en la arquitectura, pintura, animales, plantas etc.)
• Gráficas de sucesiones áureas en MATLAB
• Gráficas de sucesiones áureas en MATLAB II
• El número de Oro - La Razón Aurea
• http://www.palermo.edu/ingenieria/downloads/Investigacion/ElNumeroyloSagrado1P.pdf

 

 

 

 

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