Matemáticas2

MATEMÁTICAS2: NÚMEROS RACIONALES. En sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional.

Número racional

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En sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional.

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos.

Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero).

El conjunto de los números racionales se denota por , que significa «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.

Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales.

Contenido [ocultar] 1 Historia 2 Construcción de los números racionales 2.1 Definición de suma y multiplicación en Q 2.2 Relaciones de equivalencia y orden en Q 2.3 Notación 3 Unicidad de un racional 4 Propiedades de los números racionales 4.1 Propiedades de la suma y multiplicación 4.2 Existencia de neutros e inversos 4.3 Equivalencias notables en Q 4.4 Los números enteros en Q 5 Otras notaciones de números en Q 5.1 Fracciones mixtas 5.2 El conjunto de los números decimales en Q 6 Representación decimal de los números racionales 7 Referencias 8 Véase también

[editar] Historia

En el Antiguo Egipto ya se calculaba utilizando aquéllas cuyos denominadores son enteros positivos, como: cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas, de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como fracción egipcia. Además, se puede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia.

El jeroglífico de una boca abierta ( ) denotaba la barra de fracción (/), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción.

Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.

Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.

En el siglo XIII Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.

[editar] Construcción de los números racionales

• Consideremos las parejas de números enteros donde .

• denota a . A se le llama numerador y a se le llama denominador

• Al conjunto de estos números se le denota por . Es decir

[editar] Definición de suma y multiplicación en Q

• Se define la suma

• Se define la multiplicación

[editar] Relaciones de equivalencia y orden en Q

• Se define la equivalencia cuando

• Los racionales positivos son todos los tales que

• Los racionales negativos son todos los tales que

• Se define el orden cuando

[editar] Notación

• Los números de tipo son denotados por

• Las sumas de tipo son denotadas por

• denota a

• Todo número se denota simplemente por .

 

[editar] Unicidad de un racional

Un número racional sólo puede provenir de una única fracción irreducible.

[editar] Propiedades de los números racionales

El conjunto de los números racionales con la suma y multiplicación definida de esta manera forman un Cuerpo.

[editar] Propiedades de la suma y multiplicación

• La suma en Q es conmutativa, esto es:
• La suma en Q es asociativa, esto es:
• La multiplicación en Q es asociativa, esto es:
• La multiplicación se distribuye en la suma, esto es

[editar] Existencia de neutros e inversos

• Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por 0.
• Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por 1.
• Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que
• Cada número racional: con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo tal que

[editar] Equivalencias notables en Q

• si y
• 
• 
• , a y b ≠ 0
• , a y b ≠ 0.

[editar] Los números enteros en Q

• Si p es un número entero entonces existe el número que equivale a p y mantiene todas sus propiedades de entero. Es decir, se define

[editar] Otras notaciones de números en Q

[editar] Fracciones mixtas

Cada número racional se puede expresar de forma única como donde

• A es un entero no negativo, es decir
• es un racional irreducible no negativo menor que uno. Se expresa como
• u es una unidad. Es decir

La notación es muy sencilla, las reglas son

• denota a
• denota a

Por ejemplo

[editar] El conjunto de los números decimales en Q

• Un número decimal es un número racional de la forma
• denota al conjunto de los números de este tipo. Es decir
• Expresión Racional de un número decimal: el número a en base 10 con un punto a n lugares del extremo derecho, por ejemplo se denota como 1.78

[editar] Representación decimal de los números racionales

Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos:

• Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:

• Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

• Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo:

Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera:

Artículo principal: Número periódico

• Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. Ejemplo:
• Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo:
• Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número entonces y , por lo que el número buscado será .

[editar] Referencias

• Cárdenas; Raggi (1990). Álgebra Superior. México D.F. : Trillas. ISBN 968-24-3783-0. 

[editar] Véase también

Números Complejos Reales Racionales Enteros Naturales Uno Primos Compuestos Cero Negativos Fraccionarios Fracción propia Fracción impropia Irracionales Algebraicos irracionales Trascendentes Imaginarios

 

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional"

Categorías: Teoría de cuerpos | Fracciones

MATEMÁTICAS2: NÚMERO PERFECTO. Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Dicho de otra forma, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo.

Número perfecto

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Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Dicho de otra forma, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo.

Así, 6 es un número perfecto, porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.

El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula :

• n = 2:   2¹ × (2² – 1) = 6
• n = 3:   2² × (2³ – 1) = 28
• n = 5:   2⁴ × (2⁵ – 1) = 496
• n = 7:   2⁶ × (2⁷ – 1) = 8128

Al darse cuenta que 2ⁿ – 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2^n–1(2ⁿ – 1) genera un número perfecto par siempre que 2ⁿ – 1 es primo.

Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente los cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría con n = 11, el quinto número primo. Sin embargo, 2¹¹ – 1 = 2047 = 23 × 89 no es primo y por tanto n = 11 no genera un número perfecto. Dos de las otras suposiciones equivocadas eran:

• El quinto número perfecto tendría cinco dígitos, ya que los cuatro primeros tienen 1, 2, 3 y 4, respectivamente.
• Los números perfectos terminarían alternativamente en 6 y en 8.

El quinto número perfecto (33550336) tiene 8 dígitos, contradiciendo así la primera suposición. En cuanto a la segunda, el quinto número perfecto acaba en 6, pero también el sexto (8589869056) termina en 6. (El que la última cifra de un número perfecto par expresado en base 10 siempre sea 6 u 8 no es difícil de demostrar.)

Es verdad que si 2ⁿ – 1 es un número primo, entonces 2^n–1(2ⁿ – 1) es un número perfecto, pero el recíproco no es necesariamente cierto. Hoy en día, a los números primos generados por la fórmula 2ⁿ – 1 se los conoce como números primos de Mersenne, en honor al monje del siglo XVII Marin Mersenne, quien estudió teoría de números y números perfectos.

Posteriormente, Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares se generan a partir de la fórmula que ya descubrió Euclides.

No se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, existen algunos resultados parciales al respecto. Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10³⁰⁰, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 10⁷, dos de ellos deben ser mayores que 10.000 y tres factores deben ser mayores que 100.

Considerando la suma de los divisores propios existen otros tipos de números.

• Números defectivos: la suma de los divisores propios es menor que el número.
• Números abundantes: la suma es mayor que el número.
• Números amigos: a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b y viceversa.
• Números sociables: como los amigos, pero con un ciclo mayor de números.

Se puede decir que el número perfecto es un número amigo de sí mismo.

Contenido [ocultar] 1 Otras propiedades de los números perfectos pares 1.1 Son números triangulares 1.2 Son números combinatorios o coeficientes del binomio 1.3 Son números hexagonales 2 Cuestiones abiertas 3 Implementación en lenguajes de programación 3.1 Lenguaje Visual Basic .Net 3.2 Lenguaje C 3.3 Lenguaje PHP 3.4 LogoFE (Lenguaje Logo) 3.5 VisualBasic 3.6 C# 3.7 Haskell 3.8 Java 3.9 Python 3.10 SLE 3.11 Fortran 90 3.12 Scheme 3.13 Batch Script 3.14 Extended Pascal 3.15 PSeInt 4 Véase también 5 Enlaces externos

[editar] Otras propiedades de los números perfectos pares

[editar] Son números triangulares

Un número triangular es de la forma , donde «n» es un número entero positivo cualquiera distinto de cero. Si partimos de la identidad y distribuimos el producto del lado derecho obtenemos: . La expresión 2^p − 1 es un número primo de Mersenne y vemos que el término derecho de la identidad adopta la forma correspondiente a la definición de número triangular. Podemos afirmar que un número perfecto par es un número triangular y su orden es un número primo de Mersenne.

[editar] Son números combinatorios o coeficientes del binomio

Como todos los números triangulares están en la tercera columna del triángulo de Pascal y acabamos de ver que todo número perfecto par es un número triangular, los números perfectos son también números combinatorios. , donde 2^p es la potencia correspondiente a un número primo de Mersenne aumentado en una unidad.

[editar] Son números hexagonales

Un número hexagonal es de la forma n(2n − 1) = 2n² − n, para «n» un número entero positivo cualquiera distinto de cero. Surge inmediatamente de la identidad , llamando «n» al número 2^{p − 1}.

[editar] Cuestiones abiertas

Por cuestión abierta se entiende una propiedad de la que todavía no se tiene una demostración, tanto de su afirmación como de su negación. Son cuestiones abiertas:

• Determinar si existen infinitos números perfectos. Hasta el año 2008 se conocen 46 números perfectos.
• Demostrar la imposibilidad de un número perfecto impar o encontrar uno.

[editar] Implementación en lenguajes de programación

[editar] Lenguaje Visual Basic .Net

Module Module1
    'Numero perfecto
    Sub Main()
        Dim Resultado As Integer
        For index As Integer = 1 To 8200
            Resultado = Perfecto(index)
            Console.WriteLine(Resultado)
            'Comparo el numero con el total sumado
            If Resultado = index Then
                Console.WriteLine("El numero " & index & " es PERFECTO: " & Resultado)
            Else
                Console.WriteLine("El numero " & index & " no es perfecto: " & Resultado)
            End If
        Next
        Console.ReadKey()
    End Sub
    Function Perfecto(ByVal Numero As Integer) 'Averiguo si el numero es perfecto
        Dim Total As Integer
        For index As Integer = 1 To Numero - 1
            If Numero Mod index = 0 Then
                Total = Total + index
            End If
        Next
        Return Total
    End Function
End Module

[editar] Lenguaje C

El siguiente código permite determinar si un número es perfecto:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
 
int numeroPerfecto(int num);
 
main()
{
    int numero;
 
    printf("nIngrese un numero: ");
    scanf("%i", &numero);
 
    if(numeroPerfecto(numero))
        printf("nEs Perfecton");
    else
        printf("nNo es Perfecton");
    system("pause");
}
 
int numeroPerfecto(int num)
{
    int acum = 0 ;
    int i;
 
    for( i = 1; i<=(num/2); i++ )
        if( num%i == 0 )
            acum += i;
    if( acum == num )
        return 1;
    else
        return 0;
 
}

Otro ejemplo:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
int main (void)
{
    int n,i,resto,suma;
 
    printf ("nEste programa comprueba si un numero entero es perfecto o no");
    printf ("nnIntroduce el numero: "); 
    scanf ("%i",&n);  
    suma=0;
    resto=0;
    for (i=1; i<=(n/2); i++)       //cuenta desde 1 hasta n/2 : El mayor múltiplo posible de n, asumiendo que n es divisible por 2, es n/2.
    {
    resto=n%i;
    if (resto==0)       
    suma=suma+i;
    }
    if (n==suma)
    printf ("nEl numero %i es perfectonn",n);
    else
    printf ("nEl numero %i no es perfectonn",n);
 
system ("pause");
return (0); 
}

[editar] Lenguaje PHP

<?php 
/* Este programa crea números perfectos en un rango dado. */
$inicio = 0; //número donde inica el rango
$fin = 1000; //número donde ternina el rango
 
for ($orsq=$inicio; $orsq<=$fin; $orsq++) //ciclo que nos sirve para recorer el rango deseado
   {
      $c=0; // contador para almacenar los datos con residuo con valor de cero
	for ($b=1; $b<$orsq; $b++) //ciclo for para efectuar la división desde el valor de inicio hasta el número de fin
        {
           $o=$orsq%$b; //operación para obtener el residuo si es Cero
           if ($o==0) //decisión si secumple
            {
             $c=$c+$b; //sumará al contador el valor de contador más el número que posee residuo cero
            }
        }
          if ($c==$orsq)//si el contador es igual al valor recorido en el primer ciclo entonses es un numero perfecto
            {
	 echo "$orsq es un numero perfecto<br />"; // visualizar el número perfecto
	 }
   }
?>

Otro ejemplo:

        <?php
            /* Funcion que al pasarle un numero nos imprime si es perfecto o no, nos regresa 1 en caso de ser perfecto y 
               0 en caso contrario.
               Autor: Eduardo Cortez*/
 
            function numeroPerfecto($numero){
                for($i=1;$i<$numero;$i++){
                    $residuo=$numero%$i;
                    if($residuo==0){
                        $sum=$i+$sum;
                    }
                }
                if($sum==$numero){
                    echo("El numero es perfecto");
                    return 1;
                }else{
                    echo("El numero no es perfecto");
                    return 0;
                }
            }
        ?>

>

[editar] LogoFE (Lenguaje Logo)

muestra divisores 16
[1 2 4 8 16]

muestra menosultimo divisores 16
[1 2 4 8]

muestra suma menosultimo divisores 16
15

muestra expon [[suma menosultimo divisores] mismo] 16
[15 16]

muestra serie frase [1 1] 16
[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16]

muestra escoge [esigual expon [[suma menosultimo divisores] mismo]] serie frase [1 1] 100
[1 6 28]

muestra escoge [esigual expon [[suma menosultimo divisores] mismo]] serie frase [1 1] 1000
[1 6 28 496]

funciona "perfectos.menores.que [escoge [esigual expon [[suma menosultimo divisores] mismo]] serie frase [1 1]]

muestra perfectos.menores.que 100
[1 6 28]

[editar] VisualBasic

Este código permite ver si un número es perfecto o no, aunque está limitado a los cinco primeros números perfectos ya que el sexto provoca un error de desbordamiento.

numero = Val(TextBox1.Text)
sumas = 0
For i = 1 To numero - 1
    If numero Mod i = 0 Then sumas = sumas + i
Next
If sumas = numero Then
    Label5.Text = Str(numero) + " es un numero perfecto"
Else
    Label5.Text = Str(numero) + " no es un numero perfecto"
End If

[editar] C#

El siguiente código en C# muestra la cantidad de números perfectos indicada por cant.

private static bool EsPerfecto(Int64 n)
{
    Int64 t = 0;
    for (Int64 i = 1; i < n; i++)
        if (n % i == 0) t += i;
    return (n == t);
}
 
private static void Lista(int cant)
{
    for (Int64 i = 1; cant > 0; i++)
    {
        if (EsPerfecto(i))
        {
            Console.WriteLine(i);
            cant--;
        }
    }
}
 
static void Main(string[] args)
{
    Lista(3);//Imprime los primeros 3
    Console.ReadLine();
}

[editar] Haskell

El siguiente código genera la lista de números perfectos.

listaperfec :: [Int]
listaperfec = [x | x <- [2..], perfecto x]
	 where perfecto n = sum(divisores n) == n 
	 			where divisores n = [x | x <- [1..(n-1)], n `mod` x == 0]
 
 
 
 
sum::[Int]->Int
sum [] = 0
sum (x:xs) = x+ (sum xs)
 
=== Otra Alternativa más Eficiente ===
 
{-
  Función para determinar si un número es primo
-}
 
esPrimo :: Integer -> Integer -> Bool
esPrimo _ 1 = True
esPrimo x n = if ((mod x n) == 0) then False
			 else (esPrimo x (n - 1))
 
{-
	Función para dar la lista de los Números Perfectos
-}
 
perfectos :: [Integer]
perfectos = [x | x <- [2..], esPrimo (2^x-1) (2^x - 2) , x <- [(2^(x-1))*(2^x-1)]]

[editar] Java

Este código permite comprobar si un número dado es perfecto.

class perfecto {
    public static void main(String args[]) {
        int numero=6;
        int sumas=1, menor=2, Mayor=numero;
        while ( menor < Mayor ) {
            Mayor = numero / menor;
            if ( numero % menor == 0 ) 
                sumas += menor;
            if ( Mayor != menor && numero % Mayor == 0 )
                sumas += Mayor;
            menor++;
	}
        if (sumas == numero) {
            System.out.println("El numero "+numero+" es un numero perfecto;");
        } else {
            System.out.println("El numero "+numero+" no es un numero perfecto;");
        }
    }
}

[editar] Python

from math import sqrt
def perfecto(num):
    contador = 0
    for i in range(1,sqrt(num)):
        if num % i == 0:
            contador += i
    if contador == num:
        print u"Es un número perfecto."
    else:
        print u"No es un número perfecto."
# llamando al método, probando con el número 6
perfecto(6)

[editar] SLE

Generador de números perfectos

variables
 
t,v,x,y,z,maxnum	:numerico
 
inicio
leer(maxnum)
cls()
v=2
desde x=6 hasta maxnum{
desde y=2 hasta x{				
si(x%y==0){
z=x/y
t=t+z}}
si(x==6){imprimir("1.- 1n")}
si(t==x){imprimir(v,".- ",x,"n"); v=v+1}
t=0}
imprimir("programa finalizado")
fin

[editar] Fortran 90

Este código permite ver si un número es perfecto o no, aunque está limitado a los cinco primeros números perfectos ya que el sexto provoca un error de desbordamiento.

program Perfecto
implicit none
integer ::num
Print*, "Dime un número"
Read*, num
If (perfect(num)) then
	Print*,"Es perfecto"
else
	Print*, "No es perfecto"
endif
pause
!!
Contains
	logical function perfect(n)
		Integer :: n,suma,i
		suma=0
		perfect=.false.
		Do i=1,n-1
			If (mod(n,i)==0) suma=suma+i
		enddo
		If (suma==n) perfect=.true.
	endfunction
endprogram

[editar] Scheme

Este código permite comprobar si un número dado es perfecto.

;funcion principal
(define (perfecto? A)
  (cond 
    ((= A 1) "No es Perfecto")
    ((= A (apply +(divisores A))) "Es perfecto")
    (else "No es Perfecto")
    )
  )
;funciones auxiliares
(define (divisores A)
  (cond
    ((= A 1) '(1))
    (else (cons 1 (divisores-aux A 2)))
    )
  )
(define (divisores-aux A B)
  (cond
    ((= A B) ())
    ((integer? (/ A B))(cons B (divisores-aux A (+ B 1))))
    (else (divisores-aux A (+ B 1)))
    )
  )

[editar] Batch Script

@echo off
:: Numeros perfectos, Leo Gutierrez R.
:code
set /p "numero=Numero : "
if not defined numero (goto:code)
set /a "i=1"
set /a "suma=0"
set /a "operacion=0"
:bucle
if %i% equ %numero% (goto:end)
set /a "operacion=%numero% %% %i%"
if %operacion% equ 0 (set /a "suma+=%i%")
set /a "i+=1"
goto:bucle
:end
if %suma% equ %numero% (
echo El numero es perfecto.
) else (
echo El numero no es perfecto.
)
goto:eof

[editar] Extended Pascal

Program NumerosPerfectos(input, output);
(*Este programa encuentra números perfectos.*)
 
Var
numero, divisor, acumulador : integer;
 
Begin
For numero:=1 To maxint Do
	Begin
		acumulador:=0; (*Este bucle calcula los divisores del número y los suma para realizar la comprobación.*)
		For divisor:=1 To numero-1 Do If (numero Mod divisor = 0) Then acumulador:=(acumulador + divisor);
		If (acumulador = numero) Then writeln(acumulador)
	End
End.

[editar] PSeInt

Proceso ITESA_LEVO
	Escribir "--------------------------------Numero Perfecto--------------------------------";
	Escribir "Ingrese el numero:";
	Leer n;
	c<-1;
        a<-0;
Repetir
	r<-n%c;
	Si r=0 Entonces
	escribir c;
	a<-a+c;
	FinSi
	c<-c+1;
Hasta Que c=n
Si a=n Entonces
	Escribir "----";
	Escribir a;
	Escribir "El numero es perfecto!";
Sino
    Escribir "----";
	Escribir a;
	Escribir "El numero no es perfecto!";
FinSi
FinProceso

[editar] Véase también

• Números amigos
• Números sociables

[editar] Enlaces externos

• Determinación geométrica de los números primos y perfectos
• Historia de los números perfectos

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_perfecto"

Categoría: Teoría de números

MATEMÁTICAS2: EL NÚMERO PERFECTO. Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Dicho de otra forma, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo.

El número perfecto

 

Escribe Vitruvio en el capítulo primero del libro tercero:


Los matemáticos afirmaron que el número perfecto es el número seis, pues posee unas divisiones que suman seis, de la siguiente manera: la sexta parte, es el uno; la tercera parte, es el dos, la mitad del seis, es el tres; dos terceras partes componen el número cuatro, en griego dimoeron; cinco partes del número seis -pentemoeron-, es el número cinco; y el número perfecto y final ephectum; formaremos el número ocho sumando seis mas una tercera parte, que en latín se llama terciarium y en griego epiritos; añadiendo al número seis su mitad se logra el número nueve, que es un número sesquiáltero, en griego hemiolios; si al número seis le sumamos dos terceras partes obtenemos la decena, en griego eipidimoeros; el número once es el resultante de sumar cinco al número seis, es decir, un quintario, en griego epipemptos; el número doce se obtiene sumando dos veces el número seis, el número elemental, que se denomina diplasios. De igual modo, el pie es la sexta parte de la altura del hombre, o lo que es lo mismo, sumando seis veces un pie delimitaremos la altura del cuerpo; por ello coincidieron en que tal numero -el seis- es el número perfecto, y además observaron que un codo equivale a seis palmos, o lo que es lo mismo, veinticuatro dedos.

Da la impresión de que las ciudades griegas también concluyeron, a partir de esta relación -como el codo equivale a seis palmos, que el dracma, que era la moneda que usaban, equivalía a seis monedas de bronce acuñadas, como sucede con el as, que llaman óbolo; una cuarta parte del óbolo, que algunos llamaban dichalca y otros trichalca, les sirvió para fijar el dracma con una equivalencia de veinticuatro, en correspondencia con los veinticuatro dedos que mide un codo.

---

Los autores antiguos fijaron un número perfecto, que es el llamado diez, pues es el número total de los dedos de la mano; a partir del palmo, descubrieron el pie. A Platón le pareció perfecto el número diez, ya que sumando cada una de las sustancias individuales -monadas-, se obtiene la decena (es decir el número diez es el total de sumar 1+2+3+4). Si alcanzamos el número once y el número doce, como sobrepasan el número diez, no pueden ser números perfectos y ningún número será perfecto hasta que alcancemos la segunda decena; en efecto, cada uno de estos números son sustancias individuales, son como partes o fracciones de la decena.
Nuestros antepasados se inclinaron, en un principio, por el número diez y establecieron el denario con una equivalencia de diez ases de bronce; de aquí la etimología del termino dinario que se mantiene hasta nuestros días. Una cuarta parte del denario es el sestercio, que equivale a dos ases y medio.

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Con el tiempo, al caer en la cuenta de que eran ambos números perfectos -el seis y el diez- sumaron ambos en un nuevo número, consiguiendo otro número perfectísimo que es el dieciséis. Descubrieron el pie, como verdadero origen de este número. Así, cuando restamos dos palmos de un codo, nos queda un pie de cuatro palmos; y el palmo equivale a cuatro dedos. Por tanto, el pie tiene una equivalencia de dieciséis dedos, como otros tantos ases equivalen a un denario. L.III-C.I

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Comenta Vitruvio en el libro V como para Pitágoras es el número 216 el más indicado para contener el conocimiento: "Les pareció bien escribir sus teorías y sus reglas en unos volúmenes de "estructura cúbica": fijaron el cubo como el conjunto de 216 versos. L.V-Prefacio.

Obtenido de http://leonardocodigoabierto.blogspot.com/2006/11/el-nmero-perfecto.html

MATEMÁTICAS2: CUADRADOS MÁGICOS. Un cuadrado mágico es la disposición de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma, la constante mágica. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.

Cuadrados mágicos para adivinar el pensamiento

Por pseudópodo

Hace cosa de dos meses vi a un mago hacer un truco de adivinación del pensamiento. El mago elegía a alguien del público y le pedía que pensara un color. Tras unos segundos de concentración, le “llegaba” el pensamiento, lo anotaba en una pizarra y le pedía al espectador que lo dijera en voz alta (“naranja”). A continuación, se repetía el proceso, con un animal (que resultó ser “murciélago”) y con un número (fue “34”). Finalmente, el mago daba la vuelta a la pizarra, que tenía tres casillas: en la primera ponía naranja, en la segunda murciélago, y en la tercera, 34. Grandes aplausos.

No soy de esos listos que se sienten en la obligación de destripar el truco. Normalmente me limito a sentarme y a disfrutar; además, no suelo tener la menor idea de cómo lo hacen. Pero en este caso, la manera de elegir el número me puso en guardia. En vez de pedirle a alguien que lo pensara, se hacía una cosa mucho más elaborada. El mago invitaba a un niño a subir al escenario, y le ponía ante un cuadrado formado por 16 números. Con un rotulador, el niño tachaba la fila y la columna que quisiera, y marcaba el número en que se cruzaban. Marcaba otra fila y otra columna, y así hasta cuatro veces. Sumaba los cuatro números marcados y ese era el número elegido, el que el mago había adivinado (y escrito en la pizarra) previamente.

Naturalmente, pensé de inmediato en un cuadrado mágico (¿qué puede ser más apropiado para un mago?).

Para explicar qué es un cuadrado mágico, empezamos colocando los 16 números en orden:

Por supuesto cada hilera, sea horizontal (fila) o vertical (columna), suma un número distinto. Pero podemos desordenarlos hábilmente para que todos los resultados sean iguales. Entonces tenemos un cuadrado mágico. Probablemente el más célebre es el que aparece en Melancolía, el grabado de Durero:

 es decir:

Todas las hileras (y hasta las diagonales) suman 34.

Pero….¡34 es el número que adivinó el mago! Su cuadrado debía ser una variante de cuadrado mágico, sólo que en él lo que suma siempre 34 no son las hileras sino algo que voy a llamar antihileras: conjuntos de cuatro números para los que no se repite ni fila ni columna. Por ejemplo, las diagonales son antihileras, pero hay muchas más: en el cuadrado ordenado de arriba, los números 1, 7, 12 y 14 forman una antihilera. No es difícil contar el número de antihileras: para un cuadrado 4 x 4 hay 96 24 diferentes (24 = 4!).

Desde que vi el truco llevo pensando en cómo construir un cuadrado 4 x 4 que sea mágico por antihileras; es decir, en el que todas las posibles antihileras sumen lo mismo (pensé en llamarlo cuadrado antimágico, pero el nombre ya se ha usado para otra cosa). No parece fácil, porque hay que conseguir 96 24 sumas iguales, frente a ocho en un cuadrado mágico ordinario (“mágico por hileras”), o diez si imponemos la condición también a las diagonales).

Hace un par de días encontré una solución. Y lo mejor es que es tan sencilla (bochornosamente sencilla, para haber tardado dos meses en encontrarla)… que les voy a dejar a ustedes el placer de dar con ella.

Postdata: No he explicado del todo el truco del mago. Está claro cómo adivinaba el número, pero ¿cómo adivinaba el color y el animal? Muy sencillo: los escribía después de que se hubieran dicho en voz alta. Lo que escribía al principio del truco, antes de que dijeran el color, era el número.

Obtenido de http://pseudopodo.wordpress.com/2008/03/23/cuadrados-magicos-para-adivinar-el-pensamiento/

 

MATEMÁTICAS2: CUADRADO MÁGICO. Un cuadrado mágico es la disposición de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma, la constante mágica. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.

Cuadrado mágico

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Un cuadrado mágico es la disposición de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma, la constante mágica. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.

Contenido [ocultar] 1 Introducción 2 Historia 2.1 El cuadrado mágico de Durero 2.2 El cuadrado mágico de la Sagrada Familia 3 Construcción de cuadrados mágicos 3.1 Cuadrados mágicos de orden impar (I) 3.2 Cuadrados mágicos de orden impar (II) 3.3 Cuadrados mágicos de orden múltiplo de 4 3.4 Cuadrados mágicos de orden múltiplo de 4 más 2 4 Variantes 5 Cuadrados mágicos esotéricos 5.1 Propiedad de equivalencia 5.2 Propiedad de las esquinas 5.3 Propiedades del centro 5.4 Propiedades posicionales 5.5 Propiedades de las diagonales (diametrales) 5.6 Elaborar cuadrados mágicos esotéricos 5.6.1 Caso impar 5.6.2 Caso par 5.7 Alusiones a la Cábala 5.8 Conclusiones 6 Bibliografía complementaria 7 Véase también 8 Enlaces externos

[editar] Introducción

Consideremos la sucesión aritmética 1, 2, 3, 4... 36 (cuadrado de orden 6), y dispongamos los números ordenadamente en dos series dispuestas en zig-zag:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
36	35	34	33	32	31	30	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20	19

Resulta evidente que cualquier par de números alineados verticalmente suma lo mismo ya que a medida que nos desplazamos por las columnas, en la fila superior se añade una unidad, mientras que en la fila inferior se resta. La suma es en todos los casos la de los números extremos:

n² + 1 = 36 + 1 = 37

1	2	3	4	5	6
12	11	10	9	8	7
13	14	15	16	17	18
24	23	22	21	20	19
25	26	27	28	29	30
36	35	34	33	32	31

Si disponemos el conjunto de números en seis filas (ver tabla a la derecha), fácilmente se puede apreciar que las sumas en las distintas columnas han de ser necesariamente iguales, ya que los números se encuentran agrupados por pares tal y como estaban en el primer caso (compárese los pares de filas 1ª-6ª, 2ª-5ª y 3ª-4ª con la disposición original). Ahora sin embargo, por ser tres los pares de filas (n/2), la suma será:

cantidad que se denomina constante mágica, y que en nuestro caso es n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.

Orden n	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
M2 (n)	15	34	65	111	175	260	369	505	671	870	1105

 

Salta a la vista que el cuadro anterior no es un cuadrado mágico, ya que al disponerse los números de forma consecutiva, las sumas de las cifras de cada fila son cada vez mayores. Sin embargo hemos encontrado seis series de números comprendidos entre 1 y 36, de forma tal que, sin repetirse ninguno, las sumas de las series son la constante mágica. Si en vez de la disposición anterior colocamos los números consecutivamente, obtenemos una disposición en la que los números de la diagonal principal se pueden escribir de la forma (a-1)×n + a.

Calculando la suma, sabiendo que las filas a van de 1 a n:

De nuevo la constante mágica. Más aún, cualquier serie de seis valores en los que no haya dos de la misma fila o columna sumará la constante mágica. Escribiendo el término i, j de la matriz como (i-1)×n + j, y tomando 6 términos cualesquiera con la condición de que ni i, ni j se repitan y varíen de 1 hasta n, la ecuación resultante será exactamente la misma que en el caso anterior y la suma, por tanto, la constante mágica.

Como se puede demostrar, la cantidad de series posibles de n números que cumplan la condición anterior es n!, 720 en cuadrados de orden 6, y ni siquiera son todas las posibles, ya que antes habíamos obtenido seis que no están incluidas entre ellas. En definitiva, siendo posible construir (n²)! matrices en las que ningún término se repita y existiendo al menos n! (en realidad muchas más) combinaciones de números que sumen la constante mágica, se comprende intituivamente que lo que sería de magia es que con tal multitud de posibilidades fuera imposible construir cuadrados mágicos.

De orden 3 existe un único cuadrado mágico (las distintas variaciones se pueden obtener por rotación o reflexión), en 1693 Bernard Frenicle de Bessy estableció que hay 880 cuadrados mágicos de orden 4 [1], posteriormente se ha encontrado que existen 275.305.224 cuadrados mágicos de orden 5; el número de cuadrados de mayor orden se desconoce aún pero según estimaciones de Klaus Pinn y C. Wieczerkowski realizadas en 1998 mediante los métodos de Montecarlo y de mecánica estadística existen (1,7745 ± 0,0016) × 10¹⁹ cuadrados de orden 6 y (3,7982 ± 0,0004) × 10³⁴ cuadrados de orden 7.

Por lo que respecta a órdenes inferiores, es evidente que de orden uno existe un único cuadrado mágico,   1  , mientras que de orden 2 no existe ninguno, lo que se puede demostrar considerando el cuadrado mágico a, b, c, d de la figura; para que tal disposición fuera un cuadrado mágico deberían cumplirse las siguientes ecuaciones (siendo M la constante mágica o cualquier cantidad, si se quiere):

a b c d

a + b = Ma + c = Ma + d = Mb + c = Mb + d = Mc + d = M

escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial y buscando el orden de la matriz de coeficientes, se obtiene que es tres, mientras que el número de incógnitas es cuatro, de modo que el sistema sólo tiene la solución trivial a = b = c = d = M/2 siendo imposible construir un cuadrado mágico en el que las cuatros cifras sean distintas.

The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).
Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII,
edición de la Dinastía Ming, 1457-1463.

Biblioteca del Congreso de los EE.UU.

[editar] Historia

4	9	2
3	5	7
8	1	6

En la antigua China ya se conocían los cuadrados mágicos desde el III milenio a. C., como atestigua el Lo Shu. Según la leyenda, un cierto día se produjo el desbordamiento de un río; la gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al dios del río Lo (uno de los desbordados) para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían, aparecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazón de la tortuga, de este modo pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce.

Igualmente conocieron combinaciones de esta clase los indios, egipcios, árabes y griegos. A tales cuadrados, las diferentes culturas les han atribuido propiedades astrológicas y adivinatorias portentosas grabándose con frecuencia en talismanes. Así, como recoge Cornelius Agrippa en De oculta philosophia libri tres (1533), el cuadrado de orden 3 (15) estaba consagrado a Saturno, el de 4 (34) a Júpiter, el de 5 (65) a Marte, el del 6 (111) al Sol, el del 7 (175) a Venus, el del 8 (260) a Mercurio y el de 9 (369) a la Luna; idéntica atribución puede encontrarse en la astrología hindú.

La introducción de los cuadrados mágicos en occidente se atribuye a Emanuel Moschopoulos en torno al siglo XIV, autor de un manuscrito en el que por vez primera se explican algunos métodos para construirlos. Con posterioridad, el estudio de sus propiedades, ya con carácter científico, atrajo la atención de grandes matemáticos que dedicaron al asunto obras diversas a pesar de la manifiesta inutilidad práctica de los cuadrados mágicos. Entre ellos cabe citar a Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frenicle, Bachet, La Hire, Saurin, Euler,... diríase que ningún matemático ilustre ha podido escapar a su hechizo.

Melancolía I, grabado de Alberto Durero; el cuadrado mágico aparece en la esquina superior derecha.

[editar] El cuadrado mágico de Durero

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

El cuadrado mágico de Alberto Durero, tallado en su obra Melancolía está considerado el primero de las artes europeas. En el cuadrado de orden cuatro se obtiene la constante mágica (34) en filas, columnas, diagonales principales, y en las cuatro submatrices de orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los números de las esquinas, los cuatro números centrales, los dos números centrales de las filas (o columnas) primera y última, etc. y siendo las dos cifras centrales de la última fila 1514 el año de ejecución de la obra.

Algunas disposiciones particulares en el cuadrado mágico de Durero que suman la constante mágica.

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

 

Fachada de la Sagrada Familia

[editar] El cuadrado mágico de la Sagrada Familia

La Fachada de la Pasión del Templo Expiatorio de la Sagrada Familia en Barcelona, diseñada por el escultor Josep María Subirachs, muestra un cuadrado mágico de orden 4.

La constante mágica del cuadrado es 33, la edad de Jesucristo en la Pasión. También se ha atribuido la elección de este número como una velada alusión a la supuesta adscripción masónica, que nunca ha sido demostrada, de Antonio Gaudí, ya que 33 son los grados tradicionales de la masonería. Estructuralmente, es muy similar al cuadrado mágico de Melancolía, pero dos de los números del cuadrado (el 12 y el 16) están disminuidos en dos unidades (10 y 14) con lo que aparecen repeticiones. Esto permite rebajar la constante mágica en 1.

[editar] Construcción de cuadrados mágicos

Hay numerosas formas de construir cuadrados mágicos, pero las más sencillas consisten en seguir ciertas configuraciones o fórmulas que generan patrones regulares. Además pueden imponerse condiciones adicionales al cuadrado, obteniéndose cuadrados bi-mágicos, tri-mágicos, etc. Análogamente pueden construirse círculos, polígonos y cubos mágicos.

No existe un método general para construir cuadrados mágicos de cualquier orden, siendo necesario distinguir entre los de orden impar, los de orden múltiplo de 4 y el resto de orden par (4×m + 2).

[editar] Cuadrados mágicos de orden impar (I)

Estos cuadrados pueden generarse según el método publicado en 1691 por Simon de la Loubere, llamado a veces método siamés, país en el que desempeñó el cargo de embajador de Luis XIV, método ya conocido por los astrólogos orientales. Comenzando en la casilla central de la primera fila con el primer número, se rellena la diagonal quebrada con los siguientes en sentido NO (ó NE). Completada la primera diagonal se desciende una posición y se rellena la segunda en el mismo sentido que la anterior, repitiéndose el paso anterior con el resto de diagonales hasta completar el cuadrado.

Obviamente, se podría haber comenzado en cualquiera de las casillas centrales de las filas o columnas perimetrales, siendo en cada caso la dirección de las diagonales hacia fuera del cuadrado y el sentido del desplazamiento una vez finalizada cada diagonal el dado por la posición relativa del centro del cuadrado respecto de la casilla inicial.

Resulta evidente que comenzando por cualquier otra casilla las sumas de las filas y columnas será la constante mágica, ya que la posición relativa de las cifras será la misma que en el caso anterior; sin embargo, en la diagonal paralela a la dirección de rellenado no se cumplirá esta condición (sí en la otra). De hecho, la particular elección de la casilla inicial responde a la necesidad de que en la diagonal paralela a la dirección de llenado se coloquen consecutivamente los cinco números centrales de la serie ya que cualesquiera otros cinco números consecutivos no sumarán la constante mágica.

[editar] Cuadrados mágicos de orden impar (II)

Paso 1: Se escriben los números del 1 al n². Se escribe el 1 en la casilla superior del rombo y se seguirá de forma oblicua como se ve en este ejemplo. El cuadrado mágico será un cuadrado inscrito en el rombo que hemos formado.

				1
			6		2
		11		7		3
	16		12		8		4
21		17		13		9		5
	22		18		14		10
		23		19		15
			24		20
				25

Paso 2: Trasladamos los números de las esquinas del rombo a las casillas vacías que hay en el lado opuesto del cuadrado.

				1
			6		2
		11	24	7	20	3
	16	4	12	25	8	16	4
21		17	5	13	21	9		5
	22	10	18	1	14	22	10
		23	6	19	2	15
			24		20
				25

Paso 3: Quitamos las esquinas del rombo: ya tenemos un cuadrado mágico de orden impar.

11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

[editar] Cuadrados mágicos de orden múltiplo de 4

Se construye un cuadrado con los números dispuestos consecutivamente (véase el segundo cuadrado de orden seis de la introducción), disposición en la que como sabemos, las sumas de las diagonales son la constante mágica. Una vez hecho esto, y conservando la submatriz central de orden n/2 y las cuatro submatrices de esquina de orden n/4 los números restantes se giran 180º respecto del centro del cuadrado, o si se prefiere se recolocan en orden decreciente (en ambos casos el resultado es el mismo).

Partiendo de la misma disposición y escogiendo patrones simétricos similares de las cifras a conservar pueden construirse cuadrados mágicos diferentes al obtenido antes, como el siguiente:

[editar] Cuadrados mágicos de orden múltiplo de 4 más 2

Para construir esta clase de cuadrados se puede usar el método LUX. En parte se basa en el método de la Loubere, que se usa en la construcción de cuadrados mágicos de orden impar (ver más arriba).

Como ejemplo, vamos a construir un cuadrado mágico de lado 10.

1º paso:

Vamos a agrupar las casillas en subcuadrados de 2x2, y cada uno de ellos lo etiquetaremos de la siguiente forma:

- Los cuadrados de las k+1 primeras filas, donde k es la división entera del tamaño del cuadrado entre cuatro, se etiquetan con la letra L (3 filas en este caso).

- Los cuadrados de la siguiente fila se etiquetan con la letra U.

- Los cuadrados de las filas restantes se etiquetan con la letra X.

Estas letras más adelante nos indicarán cómo rellenar cada subcuadrado de 2x2.

	L		L		L		L		L
	L		L		L		L		L
	L		L		L		L		L
	U		U		U		U		U
	X		X		X		X		X

2º paso:

Se intercambia el cuadrado U central con el cuadrado L inmediatamente superior.

	L		L		L		L		L
	L		L		L		L		L
	L		L		U		L		L
	U		U		L		U		U
	X		X		X		X		X

3º paso:

Etiquetaremos cada subcuadrado de 2x2 con un número siguiendo el método de la Loubere. De esta forma indicaremos el orden en el que se va a rellenar cada subcuadrado.

17		24		1		8		15
	L		L		L		L		L
23		5		7		14		16
	L		L		L		L		L
4		6		13		20		22
	L		L		U		L		L
10		12		19		21		3
	U		U		L		U		U
11		18		25		2		9
	X		X		X		X		X

4º paso:

Ahora, al subcuadrado i-ésimo le corresponden los números 4i - 3, 4i - 2, 4i - 1 y 4i. Por ejemplo, al subcuadrado 10 le corresponden los números 37, 38, 39, y 40.

Sólo nos falta saber cómo se colocan los cuatro números dentro de su subcuadrado correspondiente, y ahí entra en juego el etiquetado LUX.

4º número	1º número
2º número	3º número

Subcuadrado tipo L

1º número	4º número
2º número	3º número

Subcuadrado tipo U

1º número	4º número
3º número	2º número

Subcuadrado tipo X

Como puede verse, las letras recuerdan a la forma que hacen los números al colocarse en cada cuadrado.

Con todos estos elementos ya puede construirse el cuadrado:

68	65	96	93	4	1	32	29	60	57
66	67	94	95	2	3	30	31	58	59
92	89	20	17	28	25	56	53	64	61
90	91	18	19	26	27	54	55	62	63
16	13	24	21	49	52	80	77	88	85
14	15	22	23	50	51	78	79	86	87
37	40	45	48	76	73	81	84	9	12
38	39	46	47	74	75	82	83	10	11
41	44	69	72	97	100	5	8	33	36
43	42	71	70	99	98	7	6	35	34

[editar] Variantes

Existen multitud de variantes de los cuadrados mágicos simples que acabamos de describir, así como métodos alternativos de construcción de los mismos que pueden encontrarse en las páginas abajo indicadas, de modo que aquí nos limitaremos a hacer una breve descripción de algunas de la variantes existentes.

49	48	11	46	6	12	3
7	13	14	31	32	35	43
8	30	28	21	26	20	42
45	33	23	25	27	17	5
9	34	24	29	22	16	41
10	15	36	19	18	37	40
47	2	39	4	44	38	1

 

Hay, por ejemplo, cuadrados mágicos que continúan siendo mágicos cuando se les quita una banda exterior; incluso los hay que continúan siendo mágicos si se les quita una banda y luego una segunda banda,...

El cuadrado completo de la figura, de orden 7, tiene por constante mágica 175 (los cuarenta y nueve primeros números); el cuadrado interior de orden 5 que comprende los números centrales de la serie anterior (13 a 37), también es mágico y tiene por constante mágica 125, al igual que el cuadrado de orden tres central (números 21 a 29) que tiene una constante mágica de 75.

7	2	11	14
9	16	5	4
6	3	10	15
12	13	8	1

Algunos cuadrados conservan la suma mágica a lo largo de todas las diagonales quebradas, además de filas, columnas y diagonales principales, como el de la derecha. Estas disposiciones se suelen denominar cuadrados diabólicos, aunque también se llama a veces así al cuadrado de Durero que no cumple esta condición. Éste último también se ha llamado a veces cuadrado satánico porque existen muchas combinaciones, ciertamente peculiares, de números simétricamente distribuidos a lo largo de la matriz con los que se consigue la suma mágica, como ya mostramos con anterioridad cuando hablamos de él. Al respecto cabe recordar que el número de combinaciones de n cifras, tomadas de la serie aritmética 1 a n×n, es incluso superior al de cuadrados que se pueden construir con dichas cifras, por lo que encontrar disposiciones aparentemente peculiares tales que se obtenga la suma mágica es más común de lo que se cree. Si nos fijamos por ejemplo en el cuadrado diabólico de la figura, veremos que tales disposiciones también suman 34 (las cuatro esquinas y las cuatro centrales, las cuatro submatrices de orden cuatro, etc., y además las diagonales quebradas, claro que en él no aparece la fecha de creación de Melancolía como sucedía en el cuadrado de Durero, en el que existen más de 34 combinaciones).

Si entendemos los cuadrados mágicos como matrices, con sus operaciones usuales de suma y producto, el cuadrado mágico de orden 3 tiene la interesante propiedad de que su matriz inversa vuelve a ser un cuadrado mágico que tiene valores fraccionarios positivos y negativos y cuya constante mágica es 1/15.

Éste es el cuadrado mágico de orden 3 habitual...

4	9	2
3	5	7
8	1	6

...y éste es su cuadrado mágico inverso.

23/360	-52/360	53/360
38/360	8/360	-22/360
-37/360	68/360	-7/360

Los cuadrados p-mágicos son aquellos tales que elevadas todas las cifras del cuadrado a la k potencia, siendo 1≤k≤p, siguen siendo mágicos:

• El cuadrado bi-mágico menor conocido es el de orden 8 mostrado más adelante y que tiene por constantes mágicas 260 (k=1) y 11180 (k=2). Se conjetura que no existen cuadrados bi-mágicos de orden inferior, aunque no existe prueba concluyente de ello. En 1998, J. R. Hendricks demostró que es imposible construir cuadrados bi-mágicos de orden 3, salvo el que contiene 9 cifras iguales, que de mágico tiene más bien poco.

• Se han construido cuadrados tri-mágicos de órdenes 12, 32, 64, 81 y 128; el único de orden 12 fue construido por el matemático alemán Walter Trump en junio de 2002.

• El primer cuadrado tetra-mágico, de orden 64, lo obtuvo Andrés González, en junio de 1998, usando números del 1 al 4096 sin repetir ninguno de ellos. Puede segregarse en 64 tableros de ajedrez y siempre sumaría igual, indistintamende de la posición en las que resulten las filas norte, sur, este y oeste. Según González, en esta obra no se usó ningún ordenador para cuadrarlo. El cuadro se encuentra registrado en el Archivo Internacional Central de Objetos de Arte [2].

• El primer cuadrado tetra-mágico, de orden 512, lo obtuvieron André Viricel y Christian Boyer en mayo de 2001; un mes más tarde presentaron el primer cuadrado penta-mágico, de orden 1024. Ya en 2003, presentaron un cuadrado tetra-mágico de orden 256 y el matemático chino Li Wen uno penta-mágico de orden 729.

16 41 36 5 27 62 55 18 26 63 54 19 13 44 33 8 1 40 45 12 22 51 58 31 23 50 59 30 4 37 48 9 38 3 10 47 49 24 29 60 52 21 32 57 39 2 11 46 43 14 7 34 64 25 20 53 61 28 17 56 42 15 6 35		1 22 33 41 62 66 79 83 104 112 123 144 9 119 45 115 107 93 52 38 30 100 26 136 75 141 35 48 57 14 131 88 97 110 4 70 74 8 106 49 12 43 102 133 96 39 137 71 140 101 124 42 60 37 108 85 103 21 44 5 122 76 142 86 67 126 19 78 59 3 69 23 55 27 95 135 130 89 56 15 10 50 118 90 132 117 68 91 11 99 46 134 54 77 28 13 73 64 2 121 109 32 113 36 24 143 81 72 58 98 84 116 138 16 129 7 29 61 47 87 80 34 105 6 92 127 18 53 139 40 111 65 51 63 31 20 25 128 17 120 125 114 82 94
Cuadrado bi-mágico de orden 8 (constantes mágicas 260 y 11.180)
	Cuadrado tri-mágico de orden 12 (constantes mágicas 870, 83.810 y 9 082.800)

Pueden construirse cuadrados mágicos con números extraídos de cualquier sucesión aritmética independientemente del número inicial y de la razón de la serie. Siendo a₀ el primer término y r la razón, fácilmente se demuestra que la constante mágica será en este caso:

Análogamente, se pueden construir cuadrados mágicos a partir de sucesiones geométricas, en cuyo caso serán los productos los que den por resultado la constante mágica. Estos pueden construirse con las reglas dadas para los cuadrados aritméticos, sin más que sustituir el término de la serie geométrica en la posición indicada por la correspondiente de la serie aritmética:

Sucesión aritmética 6 1 8 7 5 3 2 9 4
	Correspondencia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 4 8 16 32 64 128 256		Sucesión geométrica 32 1 128 64 16 4 2 256 8

La constante mágica es en el caso general

cuya similitud con la ya obtenida para las series aritméticas es palpable.

También se han construido cuadrados mágicos con series de números primos consecutivos, o con las cifras decimales de los recrípocos de la serie aritmética de los números naturales, etc.

Por último señalaremos la existencia de disposiciones mágicas n-dimensionales; así, con la serie 1 - n³ pueden construirse cubos mágicos, y en general, con la serie 1 - n^r cuadrados mágicos r-dimensionales de orden n, con sus respectivas variantes multi-mágicas y cuya visualización no es inmediata, aunque pueden tratarse cómodamente mediante el empleo de ordenadores.

[editar] Cuadrados mágicos esotéricos

Nota: para apreciar las comparaciones, para los cuadrados mágicos esotéricos, se ha tomado otros colores, diferentes a los empleados hasta aquí.

Un cuadrado mágico esotérico, utiliza criterios más restrictivos en cuanto a condicionantes para ser tenido por un cuadrado mágico, tanto es así, que solo existe uno por cada n. A continuación se detallan los condicionantes.

[editar] Propiedad de equivalencia

28	21	26
23	25	27
24	29	22

 

8	1	6
3	5	7
4	9	2

En sentido esotérico, solo se considera cuadrado mágico, a aquellos que tienen las mismas cifras que el número de casillas (que siguen la serie de números naturales desde 1 hasta n²). El cuadrado de la figura (color naranja, a la izquierda) no es un cuadrado mágico esotérico. En este caso es el resultado de un cuadrado mágico de n=3 a cuyas cifras se le ha sumado 20, comparar con el original (color naranja a la derecha)de n=3, viendo la ubicación de las cifras y su concordancia.

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[editar] Propiedad de las esquinas

• En sentido esotérico, un cuadrado mágico, debe reunir unas condiciones de suma de sus esquinas (que llamamos Cifra mágica-2, o de segundo orden). Explicación de como se halla:

• Si llamamos Composición al sumatorio de los números que componen el cuadrado mágico: C= sum (1+2+3....), o también C= ((n²+1)×(n²/2)...

• ...y si llamamos Número base (Nb) a la Composición dividida entre el número de casillas que componen el cuadrado, tendremos que Nb= C / (n²). El número base también puede calcularse de la siguiente manera: Nb= (n²+1)/2 (obsérvese en la tabla adjunta más abajo la relación de sus cifras entre ambas columas donde Nb es casi la mitad de n² ). El número base en un cuadrado mágico esotérico de n= impar siempre aparece en la casilla central, lo que en cierto modo ayuda a reconocer y rechazar de un simple vistazo los que no cumplan dicha condición. (Véase la sección propiedades posicionales más abajo para más detalles).

• También obtenemos la Cifra mágica, al multiplicar el Número base por n Cm=Nb×n (o a la inversa, obtenemos Nb, al dividir la Cifra mágica entre n Nb= Cm/n ).

 

r	_	_	s
_	_	_	_
_	_	_	_
t	_	_	u

 

r	_	s
_	_	_
t	_	u

Y siendo Cifra mágica-2 la suma de las esquinas entonces: Cm2= r+s+t+uEntonces Cm2, la suma de las esquinas Cm2= Cm - (Nb( n-4))O también (partiendo de que Cm=Nb×n) : Cm2= Nb×n - (Nb(n-4)).O reduciendo : Cm2= 4Cm / n.Se señalan en los dibujos las casillas de esquina, para cuadrados de n=4 y n=3

• Se deduce que si el cuadrado tiene menos esquinas de 4, entonces dicha cifra es sumada, que si es mayor de 4 esquinas, la cifra es restada. Para el caso de 4 esquinas exactas, ni se suma ni se resta, o bien se suma y se resta, (como prefiera ser considerado).

• Podemos comprobar que en el cuadrado mágico de 4 la suma de las 4 esquinas Cm2 =Cm (Cifra mágica2= Cifra mágica).

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También la suma de las cifras de las 4 casillas que forman una cruz (las que están en el medio entre dos esquinas adyacentes), suman Cm2. La particularidad de n=par_impar produce dos casos.

 

_	C	_
R	_	U
_	Z	_

 

_	_	C1	C2	_	_
_	_	_	_	_	_
R1	_	_	_	_	U1
R2	_	_	_	_	U2
_	_	_	_	_	_
_	_	Z1	Z2	_	_

• Para el caso de n=impar: Cm2= C +R +U +Z (dibujo de la izquierda)

• Y para el caso de n=par las dos casillas adyacentes que forman la cruz en las mismas condiciones, solo que en este caso al ser dos grupos de 4 casillas, es dos veces CM; =2 Cm2): Cm2=(C1 +C2 +R1 +R2 + U1 +U2 +Z1 +Z2 )/2 (dibujo de la derecha)

Se muestran un cuadrado de n=3 para ejemplo de caso impar, y uno de n=6 para ejemplo de caso par. Obsérvese que del caso par, se toman las dos casillas centrales de CRUZ, razón, por la que hay que dividir luego entre dos.

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• Se ha remarcado en la tabla el ejemplo mostrado sobre el cuadrado mágico con el caso de n= 7 : al aplicar C=1225; Nb=25; Cm= 25×7=175; Cm2= 175- (25(7-4)=100

• Se puede comprobar Cm2=R+S+T+U, (las esquinas, en amarillo 22 + 4 + 46 + 28 ) = 100

• Igualmente se puede comprobar Cm2=C+R+U+Z,(los centros en cruz, en oscuro 41 + 13 + 9 + 37 ) = 100

Es decir C+R+U+Z=R+S+T+U

 

lado n del cuadrado	Casillas n×n	Sumatorio (n²+1)×(n²/2)	Cifra mágica C/n	Número base Cm/n	Cifra mágica-2 Cm2= 4Cm / n
n	n²	C	Cm	Nb	Cm2
1	1	1	1	1	4 No mág.
2	4	10	5	2,5	10 No mág.
3	9	45	15	5	20
4	16	136	34	8,5	34
5	25	325	65	13	52
6	36	666	111	18,5	74
7	49	1225	175	25	100
8	64	2080	260	32,5	130
9	81	3321	369	41	164

 

22	47	16	41	10	35	4
5	23	48	17	42	11	29
30	6	24	49	18	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	14	32	1	26	44	20
21	39	8	33	2	27	45
46	15	40	9	34	3	28

.

• Puede entenderse que el cuadrado de 1, no tiene 4 esquinas, y sin embargo su cifra mágica-2, es 4, al no poder sumar más que 1, queda fuera de ser un cuadrado mágico esotérico.
• El cuadrado de dos, si tiene 4 esquinas, pero su cifra mágica-2 arroja un resultado de 10, lo cual es imposible que resulte. Se explica más arriba en este artículo, el porqué un cuadrado mágico de n=2, no lo es (Cm no resulta), y aquí además porqué no es esotérico.

[editar] Propiedades del centro

En un cuadrado mágico esotérico también se cumple la siguiente condición (además de todo lo anteriormente explicado):

* En los casos impares: Obtenemos la Cifra Mágica-2 en los cuadrados mágicos esotéricos al multiplicar el valor central de la casilla por 4* En el caso de los cuadrados pares: Obtenemos la Cifra Mágica-2 con la suma de sus 4 casillas centrales ( al igual que sucede con los centros en cruz explicados más arriba en que deben tomarse 2).

Es decir el 'peso específico' del centro se mantiene en equilibrio. Si quisiéramos usar una fórmula general sería esta: la media de las casillas centrales * 4. Dado que los casos impares no tiene una casilla central como única, debe considerarse el menor caso que reúna esa condición, siendo siempre 4 casillas.

Se puede comprobar con el ejemplo de 7 casillas de más arriba, o con el de 3,etc.

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[editar] Propiedades posicionales

Por la que se considera a un cuadrado mágico esotérico que está ordenado cuando se cumplen además otras condicones que son ligeramente distintas en los cuadrados de n-par sobre los de n-impar. (el mismo cuadrado rotado o reflejado, deja de ser ordenado aunque no deja de ser esotérico.

1. n-impar: Nb ocupa la casila central. La cifra mayor está encima de la casilla central y la inferior debajo.La esquina r está ocupada por la cifra Nb-(n/2-(1/2)) y la opuesta u por lacifra Nb+(n/2-(1/2)). La esquina s está ocupada por la cifra n/2+(1/2) y la casilla opuesta t, por 2×Nb- (la cifra de s), o lo que es igual, por la cifra mayor del cuadrado mágico, - (n/2-(1/2)).

Diagonales: La diagonal que va desde la esquina superior izquierda hacia la esquina inferor derecha siempre lleva sus casillas numeradas correlativamente. La otra diagonal lleva sus casillas numeradas en saltos de n comenzando justamente por (n +1)/2

1. n-par : La casilla r (la 1ª), es ocupada por la cifra n, la cifra 1 ocupa la casilla s, y la última cifra, la diagonal t, y la casila u=t+s-r.Al ser par, no existe casilla central, y por lo mismo Nb, no es entero, y no ocupa casilla.

Diagonales: la 1ª diagonal lleva las casillas numeradas en saltos de n -1 empezando por n y la otra diagonal lleva las casillas numeradas en saltos de n +1 empezando por 1 y acabando en n².

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[editar] Propiedades de las diagonales (diametrales)

Se verifica que la suma de dos casillas diametralmente opuestas siempre suman n² + 1. Se aplica por igual a los casos de n= impar como a los casos de n=par, siendo sólo diferente, que para el caso impar el centro es una casilla y para el caso par no hay casilla definida

Para no saturar su comprobación se ilustran sólo cuatro ejemplos denominados a, b, c, d con su correspondiente diametralmente opuesto respecto del centro (que se ha dejado a propósito).Puede verificarse con los valores del cuadrado de la derecha. Siendo: DI= n² + 1= 7² + 1= 50 se demuestra que: para a DI= 47 + 3= 50 , para b DI=42 + 8= 50, para c DI=6 + 44= 50, para d DI=31 + 19= 50 ...

-	a	-	-	-	-	04
-	-	-	-	b	11	-
-	c	-	-	18	-	-
-	d	-	25	-	d	-
-	-	32	-	-	c	-
-	39	b	-	-	-	-
46	-	-	-	-	a	-

22	47	16	41	10	35	4
5	23	48	17	42	11	29
30	6	24	49	18	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	14	32	1	26	44	20
21	39	8	33	2	27	45
46	15	40	9	34	3	28

Puede verse entonces que la propiedad de las esquinas es una consecuencia natural derivada de ésta. Esta propiedad junto con las propiedades posicionales proporcionan todas las reglas necesarias para elaborar una fórmula general con la que elaborar cuadrados mágicos esotéricos de cualquier tamaño que se aborda a continuación.

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[editar] Elaborar cuadrados mágicos esotéricos

• El proceso de elaborar cuadrados mágicos esotéricos se aborda en 2 fases. como se ha venido viendo a los largo del artículo, los casos de n par o impar conllevan situaciones que requieren diferente trato.
• De entrada y por abreviar acordamos llamar a cada diagonal con los siguientes símbolos: diagonal directa (arriba izquierda hacia abajo derecha) con lo llamaremos d . Diagonal inversa (arriba derecha hacia abajo izquierda) lo llamaremos d /
• Lista de figuras: para reconocer mejor el cambio operado en cada paso se ha despejado el cuadrado de todo lo no necesario para entender el paso, por dicha razón a cada paso no necesariamente se va acumulando los valores ya obtenidos.

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[editar] Caso impar

Para explicar cómo elaborar un cuadrado mágico esotérico de lado impar, previamente decidimos n que para el ejemplo será 9

Siendo n=9 calculamos el nº de casillas n²=9*9=81 y a su vez calculamos NB con cualqiera de las fórmulas que se dieron anteriormente, al caso NB = (n²+1) /2=41. NB no precisa ser calculado en este instante, sin embargo sirve de verificación para constatar que se trata de un cuadrado mágico esotérico y no de otro cualquiera.

FI	GU	RA	AA	AA	AA	AA	AA	01
-	-	-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	81	-	-	-	-
-	-	-	-	41	-	-	-	-
-	-	-	-	1	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-	-	-

FI	GU	RA	AA	AA	AA	AA	AA	02
-	-	-	-	-	-	-	-	5
-	-	-	-	-	-	-	14	-
-	-	-	-	-	-	23	-	-
-	-	-	-		32	-	-	-
-	-	-	-	41	-	-	-	-
-	-	-	50		-	-	-	-
-	-	59	-	-	-	-	-	-
-	68	-	-	-	-	-	-	-
77	-	-	-	-	-	-	-	-

• Se muestra el cuadrado vacío y donde irán los valores 1, NB y n² como se indica en propiedades posicionales más arriba en el artículo. (ver figura-1 ). Se hace notar la importancia estratégica de NB, que se emplea en el paso-3
• Paso 1: elaborar la diagonal principal; d / como se indica en propiedades posicionales: calculamos la primera cifra: = (n + 1) /2 = 9 +1 /2=5 primer valor por tanto 5, los siguientes serán ((nº fila-1) * n) + valor 1ª fila caso de la fila 2= ((2-1) * 9) +5=14, sucesivamente aplicando el mismo cálculo serán: 23,32,41,50,59,68 y 77 (ver figura-2).

En la imagen (figura-8) 1ª a a la derecha de la figura 7 se muestra un método rápido de rellenar ambas diagonales sin necesidad de calcular.

FI	GU	RA	AA	AA	AA	AA	AA	03
-	-	-	-	-	-	-	-	5
-	-	-	-	-	-	-	14	-
-	-	-	-	-	-	23	-	-
-	-	-	-		32	-	-	-
-	-	-	-	41	-	-	-	-
-	-	-	50		42	-	-	-
-	-	59	-	-	-	43	-	-
-	68	-	-	-	-	-	44	-
77	-	-	-	-	-	-	-	45

FI	GU	RA	AA	AA	AA	AA	AA	04
*	-		-		-		-	5
-	38	-		-		-	14	-
	-	39	-		-	23	-
-		-	40		32	-		-
	-		-	41	-		-
-		-	50		42	-		-
	-	59	-	51	-	43	-
-	68	-	60	-	52	-	44	-
77	-	69	-	61	-	53	-	45

• Paso 2: elaborar las diagonales respecto de la princial; todas las d que desembocan a d / tiene valores correlativos por consiguiente, empezando por la casilla central hacia abajo serán: 42,43,44,45 (figura-3) y hacia arriba serán: 40,39,38,37... proceder igualmente desde el resto de las casillas que forman d / . Con esto ya tenemos resuelto la mitad del cuadrado, todas las casillas impares... (figura-4). Para no enturbiar la figura-4 se rellenan sólo unas pocas casillas y se marcan los demás afectados con el mismo color de fondo que éstos...

Puede verse en la imagen (figura-9) (la 2ª a la derecha de la figura-7, más abajo), cuáles casillas son estas, tomadas del cuadrado original del que se toman los valores, y que al caso son correlativos. Obsérvese el giro a 45º de la imagen para ver la concordancia claramente. La imagen ilustra la no necesidad de calcular dichas casillas. Por ejemplo para la primera fila se ve que éstas son: 37 - 29 - 21 - 13 y 5.

FI	GU	RA	AA	AA	AA	AA	AA	05
37	-	29	-	21	-	13	-	5
-	38	-	30	-	22	-	14	-
47	-	39	-	31	-	23	-	15
-	48	-	40		32	-	24	-
57	-	49	-	41	-	33	-	25
-	58	-	50		42	-	34	-
67	-	59	-	51	-	43	-	35
-	68	-	60	-	52	-	44	-
77	-	69	-	61	-	53	-	45

FI	GU	RA	AA	AA	AA	AA	AA	06
	-	29	70		-		-
-		-		-		-		-
	-		-		-		-
-		-				-		-
	17			41			-
-	58	-				-	34	-
	-		10	51	-		75
-		-		-		-		-
	-		-		-		-

• Paso 3: Desde este momento hay que considerar el cuadrado en 4 zonas, primero en 2 separadas por d / y nuevamente dividimos cada zona en 2 de acuerdo a d (ver figura-5 donde pintamos cada área de un color (sólo las casilla que faltan por resolver)) . Cada una de las 4 zonas delimitadas se resuelve con suma o resta de un valor ya existente en la casilla adhyacente operando con NB, siendo condicionado cada zona al siguiente criterio; El valor de cada casilla resulta de operar la casilla inmediata al lado:
• En la zona norte, izquierda + NB
• En la zona sur, derecha - NB
• En la zona oeste, inferior - NB
• En la zona este, superior + NB . Esto es, una casilla en la zona este se calcula sumando el valor de la que está encima de ésta + NB.

En última imagen (3ª a la derecha de la figura-7) se muestra de donde proceden estas casillas en el cuadrado original, y como se ubican en cada sector. Compárese cada sector con la ubicación de la figura-9. Puede verse como los sectores han sido trasladados. Todas las casillas corresponden a las que se muestran en la figura-7 en color amarillo.

Se ha calculado sólo una casilla en cada zona(ver figura-6), para apreciar con más claridad cada caso, analicemos por ejemplo la de la zona este. Tomemos (ver figura-5) la casilla situada entre aquella que tiene el valor 34 y la que tiene valor 44, valdrá, lo que vale la casilla según se indica por la zona a que corresponde, este caso la de encima de ella + NB= 34 + 41=75 ( ver resultado en figura-6 y comprobar con figura-7).

La figura-7 muestra el cuadrado completamente relleno y de un mismo color las casilas obtenidas en cada paso. Corresponde a cada paso los siguientes colores: paso 1: marrón, paso 2: arena, paso 3: amarillo. A la derecha se muestra una imagen donde se relacionan las casillas que corresponden a las diagonales sin necesidad de calcular, nótese que el cuadrado de la imagen (figura 8) tiene todas sus casillas correlativamente numeradas del 1 al 81.

FI	GU	RA	AA	AA	AA	AA	AA	07
37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	30	71	22	63	14	46
47	7	39	80	31	72	23	55	15
16	48	8	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	18	50	1	42	74	34	66
67	27	59	10	51	2	43	75	35
36	68	19	60	11	52	3	44	76
77	28	69	20	61	12	53	4	45

Rellenar las diagonales sin calcular

Rellenar casillas diagonales respecto de la diagonal principal

Rellenar las casillas del paso 3 sin calcular

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[editar] Caso par

• Los métodos explicados detalladamente valen para cualquiera que sea el número de n, que por razones de espacio se ha trabajado con ejemplos cuyo n resulta fácilmente manejable.
• Cuando ya se conocen las reglas pueden construirse siguiendo otro criterio basándose en la relación que mantienen entre sí las casillas. Con todo se recomienda seguir las instrucciones cuando se hace manualmente.
• Una vez realizado un cuadrado mágico esotérico puede fácilmente mudarse en cualquier otro tipo de cuadrado mágico simplemente por sustitución, adición, giro ó cualquier otro método.

 

[editar] Alusiones a la Cábala

• Primera alusión a la Cábala: Hay equivalencias entre las cifras de los cuadrados mágicos esotéricos y las letras del alfabeto hebreo, considerado por los cabalistas, de modo que sólo cuando se aplica al cuadrado adecuado, puede tomarse correctamente el resultado cabalístico, siendo inexacto las conclusiones si se toma el cuadrado mágico equivocado.

Las reglas particulares, así como esta general, ha sido desconocida por muchos que a lo largo de los tiempos trataron de desentrañar sus misterios o de desenmascarar sus mentiras, es por ello que los estudios de aquellos que ignoraron tales cuestiones carecen de validez, pues la palabra tomaba el número de acuerdo a las reglas de éste para interpretar la palabra, y no la palabra se convertía en número para interpretar la palabra, como tales pretendían. Así como las palabras tenían sus reglas, también las tenían los números, y era así como se convertía en sagrada su interpretación, pues no bastaba con conocer los números si no se conocían sus reglas, igual que no basta para comprender un idioma, aunque se conozcan sus letras, si se desconocen sus reglas....

• Segunda alusión a la Cábala : Es de señalar que sin embargo, a pesar de lo anotado más arriba de esta sección, los mencionados como cuadrados satánicos, estrictamente en sentido esotérico, no son tenido por tales si no tan solo el cuadrado de n=6 esotérico, ya que la suma de sus cifras (Composición), suma 666. Y es en donde los cabalistas buscan o debieran buscar el número de la Bestia tal como se menciona en la Biblia.

[editar] Conclusiones

• Como se puede apreciar desde el principio del artículo, el cuadrado mágico, denota un gran equilibrio en su construcción. El cuadrado mágico esotérico requiere un equilibrio mayor aún, razón por la que no cualquier cuadrado mágico es esotérico.

• Para entender ese equilibrio (en general), puede hacerse una idealización de la siguiente forma: Imaginemos que cada casilla representa una pieza de un peso tal como refleja el número contenido en ella. Bien, ahora imaginemos que colocamos la matriz en equilibrio sobre su centro geométrico, por las sumas que en apartados superiores de este artículo se han explicado y suponiendo pesos exactos, la tabla queda equilibrada. Si las casillas de la tabla fuesen posicionadas en su orden correlativo, veríamos que no mantendrían su equilibrio, y que una zona sería notoriamente más pesada que la otra.

• Puede considerarse que el cuadrado mágico por tanto es un método de equilibrar una superficie (o una dimensión si se considera el cubo mágico) en su centro geométrico, que a su vez es el centro de gravedad. Asumiendo esta misma definición diferenciaríamos el cuadrado mágico del cuadrado mágico esotérico en que éste último a su vez no considera aquellas situaciones que son simétricas, múltiplos o cuyo orden hace vacilar el equilibrio en gran medida si se retira un "peso" del tablero. Evidentemente sólo aquél orden que mantenga el mayor número de proporciones equivalentes respecto de dicho centro geométrico, lo mantendrá también respecto de su centro de gravedad, e igualmente si estaba en una situación de equilibrio, al retirar una única pieza la rotura del equilibrio será menor que otro orden (disposición) que por ejemplo, sólo iguale proporciones perimetrales.

• Cuanto menor es el número del lado de casillas tanto menor es la proporción de equilibrio entre partes simétricas. Excepto que consideremos el caso del 1.

• El equilibrio mencionado al caso, por tanto consiste en un orden específico de numeración (o posicionamiento, si quiere idealizarse con los pesos) que conlleva a que el centro de geométrico sea también el centro de gravedad.

• No se conocen aplicaciones tecnológicas concretas que se beneficien de estas características, razón por la cual sigue recluido al divertimento curiosidad y al pensamiento matemático.

[editar] Bibliografía complementaria

• Andrews, William Symes: Magic Squares and Cubes. Nueva York: Dover, 1960. ISBN 0-486-20658-0
• Fults, John Lee: Magic Squares. La Salle, Illinois: Open Court, 1974. ISBN 0-87548-197-3
• Pickover, Clifford: The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, 2003. ISBN 0-691-11597-4
• Knorr Rosenroth: Aesch Mezareph o Fuego Purificador, original: Sulzbach año-1677-84, presente edición en español: Muñoz Moya y Montraveta editores, Cerdanyola del Valles, año-1987, ISBN 84-86335-32-9
• Cornelio Agrippa: Numerología Oculta , Ediciones Obelisco año-1996 ISBN 978-84-7720-493-0

[editar] Véase también

• Matemáticas recreativas

[editar] Enlaces externos

• Enciclopedia Libre
• Página de Miguel Molina (10 de enero de 2004).
• Página de Blai Figueras Álvarez (10 de enero de 2004).
• Cuadrados mágicos con las letras de diversos alfabetos (en inglés)
• Magic Squares (en inglés)

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_m%C3%A1gico"

Categoría: Cuadrados mágicos

MATEMÁTICAS2: PROPORCIONALIDAD. La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.

Proporcionalidad

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La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.

Contenido [ocultar] 1 Símbolo 2 Primer ejemplo 3 Segundo ejemplo 4 Tercer ejemplo 5 Aplicación en geometría 6 Véase también 7 Enlaces externos

[editar] Símbolo

El símbolo matemático ’∝’ se utiliza para indicar que dos valores son proporcionales. Por ejemplo, A ∝ B.

En Unicode este es el símbolo: U+221D.

[editar] Primer ejemplo

La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar tendrá el mismo sabor que el otro, si el cocinero aficionado se muestra tan bueno como el chef que escribió la receta.

Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ( en el ejemplo) tal que

 

Si se consideran e como valores de variables e , entonces se dice que estas variables son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x.
La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):

Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente.

La relación «Ser proporcional a» es

• reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
• simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y
• transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes)

por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).

La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:

por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.

Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.

Una proporción está formada por dos razones iguales:

a : b = c : d

Dónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d .

Proporción múltiple:

Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales:

a : b = c : d = e : f

Y se puede expresar como una proporción múltiple:

a : c : e = b : d : f

En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios.

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:

1. verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por ; en la segunda línea se tiene que multiplicar por , luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)
2. verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o
3. verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un enorme interés en este contexto).

[editar] Segundo ejemplo

Dos albañiles construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas; ¿ Qué superficie construirán cinco albañiles en cuatro horas ?

Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesis subyacentes.

Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.

Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia: ¿ Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas ? El parámetro "número de albañiles" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla roja). La superficie construida será multiplicada por . Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por (la subtabla azul es proporcional).

El resultado final es

metros cuadrados.

La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor:

[editar] Tercer ejemplo

Dos autos recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha tomado dos horas y media llegar al destino, rodando a una velocidad promedia de 70 km/h. El segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar?

Entre mayor velocidad tenga uno, menor tiempo durará el viaje. Si se multiplica por dos la velocidad, la duración del viaje se dividirá por dos. Aquí, claramente el tiempo del recorrido no es proporcional a la velocidad sino justamente lo contrario: es inversamente proporcional, es decir proporcional a la inversa de la velocidad. Esto permite responder a la pregunta:

cambiando una multiplicación por una división (primera tabla) o aplicando la proporcionalidad con la inversa de la velocidad (segunda tabla). El tiempo será , es decir una hora y 45 minutos.

Más generalmente, si una variable y es inversamente proporcional a otra variable x, se puede aplicar la proporcionalidad con , o más bien utilizar la siguiente equivalencia:

Es decir que el producto de los valores correspondientes (aquí en la misma línea) es constante. En el ejemplo: 70 × 2,5 = 100 × 1, 75 = 175 km, que es la longitud del recorrido.

Una tabla de variación proporcional es aquella que sigue una secuencia utilizando de base el precio de algún objeto u otra cosa que pueda aumentar o disminuir cierto número u objeto de forma proporcional. ejem:

número de canicas precio

2 canicas 50 centavos4 canicas 1 peso6 canicas 1,50 pesos

Magnitudes Directamente Proporcionales:

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número,la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número.

Ejemplo:

Un automóvil consume 3 galones de gasolina por 120 km de recorrido ¿Cuantos kilómetros recorre con 20 galones?

Observamos que las magnitudes son directas Si la razón o cociente entre ellas es un valor constante.Con los datos de la tabla, hallamos la razón.

Elaboramos una tabla de proporcionalidad:

Gasolina 3 1 10 20 40 (galones)

Recorrido 120 40 400 800 1600 (kilómetros)

Con 20 galones de gasolina, el auto recorre 800 kilómetros: Mientras más kilómetros se recorran, mas galones de gasolina de consumirán. El número de kilómetros recorridos es directamente proporcional (D.P) al número de galones de gasolina. Siempre que las demás condiciones se mantuvieran constantes. Esto es, que no se modificaran las condiciones climáticas o geográficas que modificaran el consumo.

[editar] Aplicación en geometría

El concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se comparan dos triángulos semejantes. De hecho las propiedades de la proporcionalidad (reflexividad, simetría y transitividad) son las mismas que las de la semejanza.

[editar] Véase también

• Correlación
• Eudoxo de Cnidos
• Número áureo
• Tamaño de la muestra
• Triángulos semejantes

[editar] Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Proportional» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad"

Categoría: Matemática elemental

MATEMÁTICAS2: INFERENCIAS. Una inferencia es una evaluación que realiza la mente entre expresiones bien formadas de un lenguaje, (EBF), que, al ser relacionadas intelectualmente como abstracción, permiten trazar una línea lógica de condición o implicación lógica entre las diferentes EBFs. De esta forma partiendo de la verdad o falsedad posible (como hipótesis), o conocida (como argumento) de alguna o algunas de ellas puede deducirse la verdad o falsedad de alguna o algunas de las otras EBFs.

Inferencia

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Según la RAE se define inferencia como sacar una consecuencia o deducir algo de otra cosa.

Una inferencia es una evaluación que realiza la mente entre expresiones bien formadas de un lenguaje, (EBF), que, al ser relacionadas intelectualmente como abstracción, permiten trazar una línea lógica de condición o implicación lógica entre las diferentes EBFs. De esta forma partiendo de la verdad o falsedad posible (como hipótesis), o conocida (como argumento) de alguna o algunas de ellas puede deducirse la verdad o falsedad de alguna o algunas de las otras EBFs.

Surge así lo que conocemos como postulado^[1] o transformada de una expresión original conforme a reglas previamente establecidas^[2] que puede enmarcarse en uno o varios contextos referenciales diversos^[3] obteniéndose en cada uno de ellos un significado como valor de verdad equivalente.^{[4] [5] [6]}

Es la operación lógica utilizada en los motores de inferencia de los Sistemas Expertos.

Contenido [ocultar] 1 Inferencia lógica 1.1 En la lógica tradicional 1.1.1 Inferencias inmediatas 1.2 En la lógica actual 1.2.1 Esquema de inferencia 2 Inferencia por evidencias 3 Clases de inferencia 4 Inferencia Estadística, (administración y gestión) 5 Inferencia aplicada al conocimiento del comportamiento humano 6 Véase también 7 Referencias

[editar] Inferencia lógica

[editar] En la lógica tradicional

En la lógica tradicional, llamada aristotélica, la forma esencial de inferencia es el silogismo.

No obstante se reconocían algunas inferencias directas o inmediatas

[editar] Inferencias inmediatas

La filosofía tradicional aristotélica consideraba la posibilidad de inferencias inmediatas: aquellas que pueden obtenerse directamente a partir de la relación que establece un juicio^[7] respecto a los términos, sujeto y predicado, que le constituyen, en función de la cualidad (afirmativo-negativo) y la cantidad (universal-particular) del mismo.

Aristóteles estudió con detalle ciertas operaciones que permitían tales inferencias inmediatas o directas. Para ello elaboró el llamado cuadro de oposición de los juicios, en el que dadas las relaciones que cada juicio aristotélico, A,E,I,O, lleva implícitas se pueden establecer ciertas inferencias directas.

Artículo principal: Cuadro de oposición de los juicios

Asimismo en la lógica tradicional se admitían ciertas operaciones lógicas de transformación de un juicio manteniendo sus condiciones de verdad. Tales operaciones eran:

• Conversión lógica
• Obversión lógica
• Contraposición lógica
• Inversión lógica

 

La lógica tradicional aristotélica no resuelve del todo bien los problemas que surgen de los juicios negativos por lo que este tipo de operaciones lógicas se prestan a argumentaciones que producen resultados aberrantesexistencia de los ángeles o demonios partiendo del juicio: Todos los hombres son mortales → Ningún no-mortal es hombre (por conversión); ningun no-mortal es hombre → Todo no-mortal es no-hombre (por obversión); Todo no-mortal es no-hombre → Algún no-hombre es no-mortal (conversión per accidens)</ref>

La lógica actual formaliza los enunciados lingüísticos bien como relación de clases o como funciones proposicionales o relaciones.^[8] Hoy se exige el rigor formal de la aplicación de una regla de inferencia.^[9] La idea de inferencia inmediata no es más que la aplicación de una regla modo implícito. La formalidad lógica, sin embargo, exige que sea explícita la regla que permite la transformación de una EBF.

[editar] En la lógica actual

Artículo principal: Cálculo lógico

Se llama inferencia lógica a la aplicación de una regla de transformación que permite transformar una fórmula o expresión bien formada (EBF) de un sistema formal en otra EBF como teorema del mismo sistema. Ambas expresiones se relacionan mediante una relación de equivalencia, es decir, que ambas tienen los mismos valores de verdad o, dicho de otra forma, la verdad de una coimplica la verdad de la otra.

podría ser transformada en:

donde ; y .

Elaborando la tabla de valores de verdad de dicha equivalencia contenida en la función del bicondicional el resultado ha de resultar una tautología.

[editar] Esquema de inferencia

Artículo principal: Cálculo lógico

Se refiere a la estructura lógico-formal que permite obtener una expresión bien formada (EBF) desligada, libre, como teorema de un sistema formal previamente definido por la regla de separación estrictas de formación y transformación de fórmulas.

Dicha estructura es el fundamento de un argumento lógico-formal mediante la aplicación de la regla de Sustitución de fórmulas.

   donde representa cada variable la premisa de un argumento. Conocida la verdad de cada una, como premisas de un argumento, su producto verdadero exige la verdad de todas y cada una de dichas expresiones; lo que permite establecer D como expresión libre y conclusión del argumento. esto es un afalsa

[editar] Inferencia por evidencias

• Evidencia inductiva: Surge de la constatación de una misma ocurrencia en una serie de casos. Observando que muchos lobos tienen la cola larga, infiero que “los lobos tienen la cola larga”, como una generalización.

• Evidencia enumerativa: Cuando se enumeran todos los casos la inferencia se convierte en una verdad demostrada, como inducción completa. Tal es el caso de que tras contar a todos y cada uno se pueda inferir: “los alumnos de esta clase son 22”.

Aristóteles y con él la escolástica tradicional admitía una inducción perfecta, siempre y cuando la relación entre los individuos y la clase, como concepto, sea aprehendida como conexión esencial necesaria de un proceso de abstracción; o bien entre clases como conceptos incluidas en otra clase, como concepto. De esta forma tal inducción venía a ser una forma de silogismo, en la relación de conceptos entre sí. Así, en la medida en que, águilas, cigüeñas, gorriones, .... etc. vuelan, y todas y cada una de las clases de tales animales son aves, se puede concluir que la conexión aves y volar es esencial, "Todas las aves vuelan".

Argumentos así provocaron incidentes tan insólitos en la historia de la ciencia como la aparición del ornitorrinco.^[10]

Por otro lado el conocimiento de la experiencia siempre singular, cada caso único e irrepetible, hace problemática la posibilidad de llegar al conocimiento de conceptos universales, esenciales; y plantea el problema del status epistemológico de la ciencia como conocimiento de conceptos y leyes universales.

Al ponerse en cuestión el mundo de las formas esenciales, y la propia entidad conceptual entendida como clase lógica, y la posibilidad de la no existencia de individuos dentro de una clase bien definida, la inferencia inductiva sobre un universo no conocido en todas sus ocurrencias produce el llamado problema de la inducción, que por su carácter excede del caso de este artículo referido a la inferencia.(Véase inductivismo).

[editar] Clases de inferencia

• Inferir por lógica clásica: Inferencia que sólo admite dos valores: verdadero o falso.
• Inferencia trivaluada: Una inferencia de este estilo da como posibles resultados tres valores.
• Inferencia multivaluada: Una inferencia de este estilo da como posibles resultados múltiples valores.
• Inferencia difusa: Una inferencia de este estilo describe todos los casos multivaluados con exactitud y precisión.
• Inferencia probabilística en el sentido de una inducción que permite establecer una verdad con mayor índice de probabilidad que las demás.

Si bien, cuando el universo posible es de infinitas ocurrencias la probabilidad siempre será 0. Por lo que algunos establecen para el estatuto de la ciencia el falsacionismo, como método científico y contrastación de teorías y las lógicas humanas.

[editar] Inferencia Estadística, (administración y gestión)

Cuando la descripción se aplica a condiciones de certeza, como en las tablas del mercado de valores en que se muestra un censo de los valores negociados, se convierte en una entidad metodológica. Sin embargo, en la mayoría de los problemas estadísticos actuales se emplea más una muestra que un censo, y la descripción se ha convertido simplemente en una preparación de la siguiente rama de la estadística: inferencia.

Cuando hacemos uso de la inferencia, llegamos a una conclusión o formulamos una afirmación bajo ciertas condiciones de incertidumbre. La incertidumbre puede ser el resultado de las condiciones aleatorias, implícitas en el trabajo con muestras, o del desconocimiento de las leyes aleatorias precisas que son aplicables a una situación específica. No obstante en la teoría de la conclusión, la incertidumbre sobre la exactitud de la afirmación que se ha hecho o de la conclusión que se ha sacado se expone simplemente en términos de probabilidad de que ocurra.

La inferencia trata de dos tipos principales de problemas:la estimación y la contrastación de hipótesis

[editar] Inferencia aplicada al conocimiento del comportamiento humano

Se puede inferir todo lo que sea inteligible. Dentro del campo de la inteligencia humana, encontramos campos muy interesantes, tal como la inteligencia emocional. Dado que el cerebro humano está sujeto a leyes físicas, existe la posibilidad de que el comportamiento humano sea potencialmente previsible, con un grado de incertidumbre, al mismo grado que el resto de ciencias lo pudiera ser, pues todas se basan en la inteligencia del hombre. La capacidad de inferir el sentimiento humano se llama empatía; cada sentimiento motiva a actuar de cierta manera. La capacidad de predecir como va a actuar cierta persona roza lo esotérico, pero nada más lejos de la realidad, se pueden generar modelos de comportamientos humanos y el grado de exactitud de la predicción dependerá de lo empático que sea la persona (Dado que la única máquina capaz de reproducir una mente, hasta la fecha, es un cerebro humano).

[editar] Véase también

• Deducción
• Cálculo
• Validez lógica
• Motor de inferencia

[editar] Referencias

1. ↑ posibilidad o hipótesis
2. ↑ producto o conjunción de todos los elementos abstractos que intervienen, y aplicación de reglas de transformación, como un cálculo o argumento
3. ↑ Modelos teóricos
4. ↑ Chomsky, Noam - The Psychology Of Language And Thought
5. ↑ Noam Chomsky - Logical Syntax And Semantics, Their Linguistic Relevance
6. ↑ Noam Chomsky - Syntactic Structures ISBN 3-11-017279-8
7. ↑ Véase proposición (lógica):proposición, enunciado y creencia
8. ↑ Véase Cálculo lógico
9. ↑ Es decir la aplicación de una «ley lógica» o tautología que garantice la verdad de la transformación como una verdad equivalente que se muestra en todos los posibles casos de la tabla de verdad de las dos proposiciones relacionadas con un coimplicador
10. ↑ U. Eco. Kant y el ornitorrincio

• STEBBING, L.S. (1930). A Modern Introduction to logic. LONDRES. 

• HARMAN, G. (1965). The Inference to the Best Explanation. Philosophical Rewiew. 

• ECO.U. (1999). Kant y el ornitorrinco. Barcelona. Editorial Lumen. 84-264-1265-3. 

• Carl Heyel, ed. (1984). Gestión y Administración de Empresas. Barcelona.. 

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Categoría: Lógica

MATEMÁTICAS2: INTERFERENCIA. En física , la interferencia es cualquier proceso que altera, modifica o destruye una onda durante su trayecto en el medio en que se propaga. La palabra destrucción, en este caso, debe entenderse en el sentido de que las ondas cambian de forma al unirse con otras; esto es, después de la interferencia normalmente vuelven a ser las mismas ondas con la misma frecuencia.

Interferencia

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En física , la interferencia es cualquier proceso que altera, modifica o destruye una onda durante su trayecto en el medio en que se propaga. La palabra destrucción, en este caso, debe entenderse en el sentido de que las ondas cambian de forma al unirse con otras; esto es, después de la interferencia normalmente vuelven a ser las mismas ondas con la misma frecuencia.

Contenido [ocultar] 1 Superposición de ondas 2 Superposición de ondas de la misma frecuencia 3 Pulsaciones o batidos 4 Enlaces externos

[editar] Superposición de ondas

Artículo principal: Principio de superposición

Sucesión (de arriba hacia abajo) de interferencia constructiva de ondas. El punto representa el antinodo y las flechas representan la dirección de las ondas.

Sucesión (de arriba hacia abajo) de una Interferencia destructiva. Las flechas representan la dirección de las ondas, mientras los puntos representan el nodo que produce la interferencia.

En la mecánica ondulatoria la interferencia es el resultado de la superposición de dos o más ondas, resultando en la creación de un nuevo patrón de ondas. Aunque la acepción más usual para interferencia se refiere a la superposición de dos o más ondas de frecuencia idéntica o similar. Matemáticamente, la onda resultante es la suma algebraica de las ondas incidentes, de tal forma que la función de onda en un punto es la suma de todas las funciones de onda en ese punto.

El principio de superposición de ondas establece que la magnitud del desplazamiento ondulatorio en cualquier punto del medio es igual a la suma de los desplazamientos en ese mismo punto de todas las ondas presentes. Esto es consecuencia de que la Ecuación de onda es lineal, y por tanto si existen dos o más soluciones, cualquier combinación lineal de ellas será también solución.

[editar] Superposición de ondas de la misma frecuencia

En la superposición de ondas con la misma frecuencia el resultado depende de la diferencia de fase δ. Si sumamos dos ondas y₁ = Asin(kx − ωt) y y₂ = Asin(kx − ωt + δ), la onda resultante tendrá la misma frecuencia y amplitud 2A. Este tipo de interferencias da lugar a patrones de interferencia, ya que dependiendo de la fase, la interferencia será destructiva (las ondas se encuentran desfasadas 180 grados o π radianes) o constructiva (desfase de 0 grados/radianes).

Definicion 2 PULSACIONES y/o Batidos

 

La superposición de ondas de frecuencias ƒ1 y ƒ2 muy cercanas entre sí produce un fenómeno particular denominado pulsación (o batido).

En esos casos nuestro sistema auditivo no es capaz de percibir separadamente las dos frecuencias presentes, sino que se percibe una frecuencia única promedio (ƒ1 + ƒ2) / 2, pero que cambia en amplitud a una frecuencia de ƒ2 - ƒ1 .

Es decir, si superponemos dos ondas senoidales de 300 Hz y 304 Hz, nuestro sistema auditivo percibirá un único sonido cuya altura corresponde a una onda de 302 Hz y cuya amplitud varía con una frecuencia de 4 Hz (es decir, cuatro veces por segundo).

Las pulsaciones se perciben para diferencias en las frecuencias de hasta aproximadamente 15-20 Hz. Diferencias mayores de 15-20 Hz le dan al sonido percibido un carácter áspero, mientras que si la diferencia aumenta comienzan nuevamente a percibirse las dos ondas simultánea y separadamente.

[editar] Pulsaciones o batidos

Si se da el caso de que la frecuencia de ambas ondas no es igual (f₁,f₂), pero si son valores muy cercanos entre sí, la onda resultante es una onda modulada en amplitud por la llamada "frecuencia de batido" cuyo valor corresponde a f_batido = Δf = | f₁ − f₂ | , la frecuencia de esta onda modulada corresponde a la media de las frecuencias que interfieren.

Este fenómeno se usa por ejemplo, para afinar instrumentos (por ejemplo, un piano y un diapasón), ya que cuando las pulsaciones desaparecen, esto quiere decir que las frecuencias de ambos instrumentos son iguales (o casi iguales a un nivel que el batido no es detectable).

[editar] Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Interferencia.Commons
• i-Wireless Proyecto que estudia las interferencias de las redes Wi-Fi.

 

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Categorías: Telecomunicaciones | Mecánica de ondas | Interferencia