Matemáticas2

MATEMÁTICAS2: INTEGRACIÓN NUMÉRICA. En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.

petalofucsia - 28 de noviembre de 2010 - 18:33 - Matemáticas2

Integración numérica

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:

$int_a^b f(x), dx$

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

$y'(x) = f(x), quad y(a) = 0$

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida.

Contenido

[ocultar]

[editar] Razones para la integración numérica

Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales.

[editar] Métodos para integrales unidimensionales

Los métodos de integración numérica pueden ser descritos generalmente como combinación de evaluaciones del integrando para obtener una aproximación a la integral. Una parte importante del análisis de cualquier método de integración numérica es estudiar el comportamiento del error de aproximación como una función del número de evaluaciones del integrando. Un método que produce un pequeño error para un pequeño número de evaluaciones es normalmente considerado superior. Reduciendo el número de evaluaciones del integrando se reduce el número de operaciones aritméticas involucradas, y por tanto se reduce el error de redondeo total. También, cada evaluación cuesta tiempo, y el integrando puede ser arbitrariamente complicado.

De todos modos, un modo de integración por «fuerza bruta» puede hacerse siempre, de un modo muy simplista, evaluando el integrando con incrementos muy pequeños.

[editar] Métodos basados en funciones de interpolación

Hay una extensa familia de métodos que se basan en aproximar la función a integrar $f (x)$ por otro función $g (x)$ de la cual se conoce la integral exacta. La función que sustituye la original se encuentra de forma que en un cierto número de puntos tenga el mismo valor que la original. Como los puntos extremos forman parte siempre de este conjunto de puntos, la nueva función se llama una interpolación de la función original. Cuando los puntos extremos no se utilizan para encontrar la función que sustituye a la original entonces se dice extrapolación. Típicamente estas funciones son polinomios.

[editar] Fórmulas de Newton-Cotes

La interpolación con polinomios evaluada en puntos igualmente separados en $[a, b]$ da las fórmulas de Newton-Cotes, de las que la regla del rectángulo, la del trapecio y la de Simpson son ejemplos. Si se escogen los nodos hasta $k = n + 1$ será la fórmula de Newton-Cotes cerrada y si se escogen $k = n - 1$ será la fórmula de Newton-Cotes abierta.

[editar] Regla del rectángulo

El método más simple de este tipo es hacer a la función interpoladora ser una función constante (un polinomio de orden cero) que pasa a través del punto $(a, f (a))$ . Este método se llama la regla del rectángulo:

$int_a^b f(x) dx sim (b-a) f(a)$

[editar] Regla del punto medio

Ilustración de la regla del punto medio.

Si en el método anterior la función pasa a través del punto $(frac{a+b}{2}, f(frac{a+b}{2}))$ este método se llama la regla del punto medio:

$int_a^b f(x) dx sim (b-a) f(frac{a+b}{2})$

[editar] Regla del trapecio

Ilustración de la regla del trapecio.

La función interpoladora puede ser una función afín (un polinomio de grado 1 o sea una recta) que pasa a través de los puntos $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$ . Este método se llama regla del trapecio:

$int_a^b f(x) dx sim (b-a) frac{f(a)+f(b)}{2}$

[editar] Regla de Simpson

Ilustración de la regla de Simpson.

La función interpoladora puede ser un polinomio de grado 2 que pasa a través de los puntos $(a, f(a))$ , $(frac{a+b}{2}, f(frac{a+b}{2}))$ y $(b, f(b))$ . Este método se llama regla de Simpson:

$int_{a}^{b} f(x) , dx approx frac{b-a}{6}left[f(a) + 4fleft(frac{a+b}{2}right)+f(b)right]$ .

[editar] Reglas compuestas

Para cualquier regla interpoladora, se puede hacer una aproximación más precisa dividiendo el intervalo $[a, b]$ en algún número $n$ de subintervalos, hallando una aproximación para cada subintervalo, y finalmente sumando todos los resultados. Las reglas que surgen de hacer esto se llaman reglas compuestas, y se caracterizan por perder un orden de precisión global frente a las correspondientes simples, si bien globalmente dan valores más precisos de la integral, a costa eso sí de incrementar significativamente el coste operativo del método. Por ejemplo, la regla del trapecio compuesta puede expresarse como:

$int_a^b f(x) dx sim frac{b-a}{n} left( frac{f(a) + f(b)}{2} + sum_{k=1}^{n-1} fleft(a + k frac{b-a}{n}right) right)$

donde los subintervalos tienen la forma $[kh, (k+1)h]$ con
$h = frac {b-a}{n}$
y $k = 0, 1, 2, ldots, n-1$ .

[editar] Métodos de extrapolación

La precisión de un método de integración del tipo Newton-Cotes es generalmente una función del número de puntos de evaluación. El resultado es usualmente más preciso cuando el número de puntos de evaluación aumenta, o, equivalentemente, cuando la anchura del paso entre puntos decrece. ¿Qué pasa cuando la anchura del paso tiende a cero? Esto puede responderse extrapolando el resultado de dos o más anchuras de paso (extrapolación de Richardson). La función de extrapolación puede ser un polinomio o una función racional. Los métodos de extrapolación están descritos en más detalle por Stoer y Bulirsch (Sección 3.4). En particular, al aplicar el método de extrapolación de Richardson a la regla del trapecio compuesta se obtiene el método de Romberg.

[editar] Integración gaussiana

Si se permite variar los intervalos entre los puntos de interpolación, se encuentra otro grupo de fórmulas de integración, llamadas fórmulas de integración gaussianas. Una regla de integración gaussiana es típicamente más precisa que una regla de Newton-Cotes que requiera el mismo número de evaluaciones del integrando, si el integrando es suave (es decir, si se puede derivar muchas veces).

[editar] Algoritmos adaptativos

Si f no tiene muchas derivadas definidas en todos sus puntos, o si las derivadas toman valores muy elevados, la integración gausiana es a menudo insuficiente. En este caso, un algoritmo similar al siguiente lo haría mejor:

def integral(f, a, b):
    """Este algoritmo calcula la integral definida de una función
    en el intervalo [a,b], adaptativamente, eligiendo pasos más
    pequeños cerca de los puntos problemáticos.
    h0 es el paso inicial."""
    
    x = a
    h = h0
    acumulador = 0
    while x < b:
        if x+h > b:  h = b - x
        if error de la cuadratura sobre [x,x+h] para f es demasiado grande:
            haz h más pequeño
        else:
            acumulador += integral(f, x, x+h)
            x += h
            if error de la cuadratura sobre [x,x+h] es demasiado pequeño:
                haz h más grande
    return acumulador

Algunos detalles del algoritmo requieren mirarlo con cuidado. Para muchos casos, estimar el error de la integral sobre un intervalo para un función f no es obvio. Una solución popular es usar dos reglas de integración distintas, y tomar su diferencia como una estimación del error de la integral. El otro problema consiste en decidir qué es «demasiado grande» o «demasiado pequeño». Un criterio posible para «demasiado grande» es que el error de la integral no sea mayor que th, donde t, un número real, es la tolerancia que queremos tener para el error global. Pero también, si h es ya minúsculo, puede no valer la pena hacerlo todavía más pequeño si el error de la integral es aparentemente grande. Este tipo de análisis de error usualmente se llama «a posteriori» ya que calculamos el error después de haber calculado la aproximación.

La heurística para integración adaptativa está discutida en Forsythe et al (sección 5.4).

[editar] Estimación del error conservativa (a priori)

Supongamos que $f$ tiene una primera derivada sobre $[a, b]$ acotada. El teorema del valor medio para $f$ , para $x < b$ , da

$(x-a)f'(y_x) = f(x) - f(a)$

para algún $y_x$ en $[a, x]$ dependiendo de $x$ . Si integramos en $x$ de $a$ a $b$ en ambos lados de la igualdad y tomamos valores absolutos, tenemos

$left| int_a^b f(x) dx - (b - a) f(a) right| = left| int_a^b (x-a) f'(y_x) dx right|$

Se puede aproximar más la integral en el lado derecho metiendo el valor absoluto en el integrando, y reemplazando el término en $f$ por una cota superior:

$left| int_a^b f(x) dx - (b - a) f(a) right| le frac{(b-a)^2}{2} sup_{ale x le b} left| f'(x) right|$

Así, si aproximamos la integral $int_a^b f(x) dx$ por su regla de integración $(b-a) f(a)$ , el error no es mayor que el lado derecho de la ecuación.

[editar] Integrales múltiples

Los métodos de integración que se han comentado hasta aquí se han diseñado todos para calcular integrales de una dimensión.

Para calcular integrales de diversas dimensiones, un enfoque es expresar la integral múltiple como repetición de integrales de una dimensión haciendo uso del teorema de Fubini.

Este enfoque lleva a una cantidad de evaluaciones de la función que crece exponencialmente a medida que crece el número de dimensiones. Se conocen dos métodos para superar esta llamada maldición de la dimensión.

[editar] Montecarlo

Artículo principal: Integración de Monte Carlo

Los métodos de Montecarlo y métodos de cuasi-Montecarlo son fáciles de aplicar a integrales multidimensionales, y pueden producir una mejor exactitud por el mismo número de evaluaciones de la función que en integraciones repetidas empleando métodos unidimensionales. Una clase grande de métodos útiles de Montecarlo son los llamados algoritmos de Cadena de Markov de Montecarlo, los cuales incluyen el algoritmo de Metropolis-Hastings y muestreo de Gibbs.

[editar] Programas para integración numérica

La integración numérica es uno de los problemas estudiados más intensivamente en el análisis numérico. Entre las muchas implementaciones en programas se encuentran:

QUADPACK (parte de SLATEC) (código fuente): QUADPACK es una colección de algoritmos en Fortran para integración numérica basada en reglas gausianas.
GSL: GNU Scientific Library. La Librería Científica de GNU (GSL) es una librería numérica escrita en C que provee una amplia gama de rutinas matemáticas, como la integración por Montecarlo.
ALGLIB: Es una colección de algoritmos en C# / C++ / Delphi / Visual Basic / etc., para la integración numérica]].

Se pueden encontrar algoritmos de integración numérica en GAMS class H2.

[editar] Referencias

George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 5.)
William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Chapter 4.)
Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Chapter 3.)

[editar] Enlaces externos

Método del Trapecio en Calculadoras HP: DEACHP Software.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9rica"

Categoría: Integración numérica

0 comentarios

MATEMÁTICAS2: DERIVACIÓN NUMÉRICA. La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

petalofucsia - 28 de noviembre de 2010 - 18:31 - Matemáticas2

Derivación numérica

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsqueda

Se ha sugerido que este artículo o sección sea fusionado en Diferencia finita.(Discusión).
Una vez que hayas realizado la fusión de artículos, pide la fusión de historiales en WP:TAB/F.

La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

Por definición la derivada de una función $f (x)$ es:

$f^prime (x)= lim_{h to 0} frac {f(x+h)-f(x)} {h}$

Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:

Diferencias hacia adelante: $f^prime (x_0) approx frac {f(x_0+h)-f(x_0)} {h}$ Diferencias hacia atrás: $f^prime (x_0) approx frac {f(x_0)-f(x_0-h)} {h}$

La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:

Diferencias centrales: $f^prime (x_0) approx frac {f(x_0+h)-f(x_0-h)} {2h}$ $f^{prime prime} (x_0) approx frac {f(x_0+h)-2 f(x_0)+f(x_0-h)} {h^2}$

[editar] Véase también

Integración numérica

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Derivaci%C3%B3n_num%C3%A9rica"

Categoría: Análisis numérico

0 comentarios

MATEMÁTICAS2: DERIVACIÓN. Concepto matemático esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables sus cualidades, propiedades y consecuencias.

petalofucsia - 28 de noviembre de 2010 - 18:29 - Matemáticas2

Derivación (matemática)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsqueda

Concepto matemático esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables sus cualidades, propiedades y consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Posiblemente buscaba derivada, Derivación numérica o Diferencia finita.

Contenido

[ocultar]

[editar] Definición de derivación

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable y $p in M$ , llamaremos derivación en el punto $p_{}^{}$ a

$forall delta_p : mathcal{F}(M) longrightarrow{} mathbb{R}$ aplicación $mathbb{R}-$ lineal, es decir: $forall f,g in mathcal{F}(M), forall lambda in mathbb{R},$

$delta_p^{}(g+f)= delta_p(g)+ delta_p(f)^{},$

$delta_p^{}(lambda f)=lambda delta_p(f)^{}.$

y tal que $delta_p(f cdot g) =$

δ p (f) g | p + f | p δ p (g),

$forall f,g in mathcal{F}(M)$ , es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación

$mathcal{F}(M)$ es el conjunto de funciones diferenciables en $M_{}^{}$ , y es un $mathbb{R}-$ álgebra conmutativa, (es un $mathbb{R}-$ espacio vectorial). $f_{|p}^{}$ es equivalente a $f(p)_{}^{}$ , es decir, $f_{}^{}$ evaluado en el punto $p_{}^{}.$

[editar] Ejemplos de derivación

[editar] La derivada parcial

Sea $M= mathbb{R}^n$ y $p in M$ , veamos que la aplicación siguiente es derivación:

$begin{matrix} frac{{partial cdot}}{{partial x_i}}_{|p}: & { mathcal{F}(M) } & longrightarrow{} & mathbb{R} & {f} & mapsto & {frac{{partial f}}{{partial x_i}}}_{|p} end{matrix}.$

Demostración:

Veamos primero que es $mathbb{R}-$ lineal, es decir, que $forall f,g in mathcal{F}(M) ; y ; forall lambda in mathbb{R}$ vemos que:

$frac{{partial (f+g)}}{{partial x_i}}_{|p}=frac{{partial f}}{{partial x_i}}_{|p}+frac{{partial g}}{{partial x_i}}_{|p},$

$frac{{partial (lambda g )}}{{partial x_i}}_{|p}=lambda frac{{partial g}}{{partial x_i}}_{|p}.$

Veamos finalmente que es una derivación: $frac{{partial (f cdot g)}}{{partial x_i}}_{|p}=frac{{partial f}}{{partial x_i}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}frac{{partial g}}{{partial x_i}}_{|p}.$ Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

[editar] La derivada direccional

Sea $M= mathbb{R}^n ,; p in M ; y ; v in M : || v ||=1$ , de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

$begin{matrix} frac{{partial cdot}}{{partial v}}_{|p}: & { mathcal{F}(M) } & longrightarrow{} & mathbb{R} & {f} & mapsto & {frac{{partial f}}{{partial v}}}_{|p} end{matrix}.$

[editar] Definiciones

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable y $p in M$ , llamaremos espacio tangente a $M_{}^{}$ en $p_{}^{}$ al $mathbb{R}-$ espacio vectorial de las derivaciones de $M_{}^{}$ en $p_{}^{}$ , notado por $mathcal{T}_p M$ , y sus elementos se llamaran vectores tangentes a $M_{}^{}$ en $p_{}^{}.$

[editar] Consecuencias

[editar] Propiedad de la derivación de una función localmente constante

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p in M$ , $forall delta_p in mathcal{T}_p M$ y $f in mathcal{F}(M)$ tal que $exists{} U_{}^{}$ entorno abierto en $p_{}^{}$ donde $f (x) = λ$ , $forall x in M$ , entonces tenemos que $delta_p^{} f = 0 .$

Demostración:

Por linealidad de $delta_p^{}$ tenemos $delta_p ( f ) = delta_p ( lambda ) = delta_p ( lambda cdot 1) =$

λδ p (1),

aquí aplicando la condición de derivación a $delta_p^{} (1)$ tenemos $delta_p (1) = delta_p (1 cdot 1) =$ $delta_p (1) 1 + 1 delta_p^{} (1) =$ $delta_p (1) + delta_p^{} (1) ,$ de simplificar, este último, resulta $delta_p^{} (1) = 0$ aplicadolo al anterior resulta que $delta_p^{} ( f ) = 0 .$

[editar] Ejemplo

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase $mathcal{C}^{ infty }$ :

la función meseta $ρ$ asociada a $(p,V)_{}^{}$ , donde $ρ(x) = 1,$ $forall x in k subset V, ; k$ compacto cuyo interior contiene a $p_{}^{}.$

[editar] Propiedad de la derivación del producto con la función meseta

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p in M , ; forall delta_p in mathcal{T}_p M$ , $f in mathcal{F}(M)$ y $ρ$ una función meseta asociada a $(p,V)_{}^{}$ , tenemos que:

$delta_p^{} (rho cdot f) = delta_p( f ) .$

Demostración:

Aplicando la regla de Leibniz tenemos que $delta_p^{} (rho cdot f)=$ $delta_p^{}(rho) f(p) + rho(p) delta_p(f)$ , por la propiedad anterior tenemos que $delta_p^{} (rho cdot f)=$ $0 cdot f(p) + 1 cdot delta_p^{}(f)=$ $delta_p^{}(f).$

[editar] Propiedad

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p in M , ; forall delta_p in mathcal{T}_p M$ y $f,g in mathcal{F}(M)$ tal que $exists{} V_{}^{}$ entorno abierto en $p_{}^{}$ donde $f_{|V}^{}=g_{|V}$ , entonces tenemos que $delta_p^{} ( f ) = delta_p ( g )$ .

Demostración:

Sea

ρ

una función meseta asociada a $(p,V)_{}^{}$ , tenemos así que $rho cdot f = rho cdot g_{}^{}$ en todo $M_{}^{}$ también $rho cdot f,rho cdot g in mathcal{F}(M)$ por tanto $delta_p^{} (rho cdot f ) = delta_p ( rho cdot g )$ y por la propiedad anterior tenemos que $delta_p^{} ( f ) = delta_p ( g ) .$

[editar] Bibliografía

Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 3002.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Derivaci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)"

Categoría: Geometría diferencial

0 comentarios

MATEMÁTICAS2: DONDE NACÍ YO EN EL ORÍGEN DE LA LÍNEA DEL TIEMPO, COMO QUE SE AVANZA CON MÁS INTEGRACIÓN QUE EN OTROS PUNTOS. La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

petalofucsia - 28 de noviembre de 2010 - 18:24 - Matemáticas2

Integración

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsqueda

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.

Para otros usos de este término, véase Integración (desambiguación).

«Integral» redirige aquí. Para otras acepciones, véase Integral (desambiguación).

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

[editar] Principales objetivos del cálculo integral

Sus principales objetivos a estudiar son:

Área de una región plana
Cambio de variable
Integrales indefinidas
Integrales definidas
Integrales impropias
Integrales múltiples (dobles o triples)
Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales
Métodos de integración
Teorema fundamental del cálculo
Volumen de un sólido de revolución

[editar] Teoría

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

$int_a^b f(x),dx$

es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

[editar] Historia

[editar] Integración antes del cálculo

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.

Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación.

[editar] Newton y Leibniz

Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con el descubrimiento del teorema fundamental del cálculo, realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase más amplia de problemas. También cabe destacar todo el marco estructural alrededor de las matemáticas que desarrollaron también Newton y Leibniz. El llamado cálculo infinitesimal permitió analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos. Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el cálculo moderno, cuya notación para las integrales procede directamente del trabajo de Leibniz.

[editar] Formalización de las integrales

Aunque Newton y Leibniz suministraron un enfoque sistemático a la integración, su trabajo carecía de un cierto nivel de rigor. Es memorable el ataque del obispo Berkeley calificando los infinitesimales como los "fantasmas de las cantidades que se desvanecen". El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, en la primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación adecuada por parte de Cauchy. La integración fue rigurosamente formalizada por primera vez por Riemann, empleando límites. A pesar de que todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo acotado, más tarde se consideraron funciones más generales para las cuales no se aplica la definición de Riemann, y Lebesgue formuló una definición diferente de la integral^[1] basada en la teoría de la medida. También se propusieron otras definiciones de integral, que amplían las definiciones de Riemann y Lebesgue.

[editar] Notación

Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundía fácilmente con $dot{x}$ o $x',!$ , que Newton usaba para indicar la derivación, y además la notación "caja" era difícil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas.

La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675.^[2] ^[3] Para indicar summa (en latín, "suma" o "total"), adaptó el símbolo integral, "∫", a partir de una letra S alargada. La notación moderna de la integral definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera vez Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819–20, reimpresa en su libro de 1822.^[4] ^[5] En la notación matemática en árabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido .^[6]

[editar] Terminología y notación

Los chelos también poseen el símbolo de la Integral

Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de la cual se calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integración a la región sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un dominio de integración, se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida). En general, el integrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio de integración puede ser un área, un volumen, una región de dimensión superior, o incluso un espacio abstracto que no tiene estructura geométrica en ningún sentido usual.

El caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real x sobre el intervalo [a, b], se escribe

$int_a^b f(x),dx .$

El signo ∫, una "S" larga, representa la integración; a y b son el límite inferior y el límite superior de la integración y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx puede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Por ejemplo, puede verse simplemente como una indicación de que x es la variable de integración, como una representación de los pesos en la suma de Riemann, una medida (en la integración de Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (en análisis no estándar) o como una cantidad matemática independiente: una forma diferencial. Los casos más complicados pueden variar la notación ligeramente.

[editar] Conceptos y aplicaciones

Este artículo o sección tiene un estilo difícil de entender para los lectores interesados en el tema. Si tienes capacidad, por favor edítalo, contribuye a hacerlo más accesible para el público general, sin eliminar los detalles técnicos que interesan a los especialistas.

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.

Aproximaciones a la integral de √x entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo).

Para empezar, se considerará la curva y = f(x) entre x = 0 y x = 1, suponiendo que f(x) = √x. La pregunta es:

¿Cuál es el área bajo la función f, al intervalo desde 0 hasta 1?

Esta área (todavía desconocida) será la integral de f. La notación para esta integral será

$int_0^1 sqrt x , dx ,!$ .

Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1. Tal como se puede ver, el verdadero valor de la integral tiene que ser de alguna forma más pequeño. Reduciendo el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación se obtendrá un mejor resultado; así, se parte el intervalo en cinco pasos, empleando para la aproximación los puntos 0, ¹⁄₅, ²⁄₅, así hasta 1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva, así √¹⁄₅, √²⁄₅, y así hasta √1 = 1. Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una mejor aproximación de la integral que se está buscando,

$sqrt {frac {1} {5}} left ( frac {1} {5} - 0 right ) + sqrt {frac {2} {5}} left ( frac {2} {5} - frac {1} {5} right ) + ldots + sqrt {frac {5} {5}} left ( frac {5} {5} - frac {4} {5} right ) approx 0,7497,!$

Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que la aproximación continúa dando un valor más grande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se coge el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el área, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeño. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notación

$int f(x) , dx ,!$

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la función (como las alzadas, y = f(x)) multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).

Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones de derivación e integración. Aplicándolo a la curva raíz cuadrada, se tiene que mirar la función relacionada F(x) = ²⁄_3x^3/2 y simplemente coger F(1)−F(0), donde 0 y 1 son las fronteras del intervalo [0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = x^q, con q ≠ −1, la función relacionada, la llamada primitiva es F(x) = (x^q+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como

$int_0^1 sqrt x cdot dx = int_0^1 x^{frac{1}{2}} cdot dx = int_0^1 d left({textstyle frac {2} {3x^{frac{3}{2}}}} right) = {textstyle frac 2 3}.$

Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann definió formalmente las integrales como el límite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el límite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definición de Riemann de los intervalos y la continuidad motivó la aparición de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho más flexibles. Así, la notación

$int_A f(x) , dmu ,!$

hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la función, donde μ mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (Aquí A indica la región de integración.) La geometría diferencial, con su "cálculo de variedades", proporciona otra interpretación a esta notación familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una forma diferencial, ω = f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido como la derivada exterior, y el teorema fundamental pasa a ser el (más general) teorema de Stokes,

$int_{A} bold{d} omega = int_{part A} omega , ,!$

a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del cálculo.

Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a través de innovaciones modernas como el análisis no estándar. Estos métodos no sólo reivindican la intuición de los pioneros, también llevan hacia las nuevas matemáticas, y hacen más intuitivo y comprensible el trabajo con cálculo infinitesimal.

A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un solapamiento considerable. Así, el área de la piscina oval se puede hallar como una elipse geométrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el cálculo será el mismo en todos los casos.

[editar] Integral de Riemann

Artículo principal: Integral de Riemann

Integral con el planteamiento de Riemann hace una suma basada en una partición etiquetada, con posiciones de muestreo y anchuras irregulares (el máximo en rojo). El verdadero valor es 3,76; la estimación obtenida es 3,648.

La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann de funciones respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. Sea [a,b] un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetada de [a,b] es una secuencia finita

$a = x_0 le t_1 le x_1 le t_2 le x_2 le cdots le x_{n-1} le t_n le x_n = b . ,!$

Convergencia de sumatorios de Riemann a medida en que se parten los intervalos, cuando se muestrea a ■ la derecha, ■ el mínimo, ■ el máximo, o ■ la izquierda.

Esto divide al intervalo [a,b] en n subintervalos [x_i−1, x_i], cada uno de los cuales es "etiquetado" con un punto especificado t_i de; [x_i−1, x_i]. Sea Δ_i = x_i−x_i−1 la anchura del subintervalo i; el paso de esta partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande obtenido por la partición, max_i=1…n Δ_i. Un sumatorio de Riemann de una función f respecto de esta partición etiquetada se define como

$sum_{i=1}^{n} f(t_i) Delta_i ;$

Así cada término del sumatorio es el área del rectángulo con altura igual al valor de la función en el punto especificado del subintervalo dado, y de la misma anchura que la anchura del subintervalo. La integral de Riemann de una función f sobre el intervalo [a,b] es igual a S si:

Para todo ε > 0 existex δ > 0 tal que, para cualquier partición etiquetada [a,b] con paso más pequeño que δ, se tiene $left| S - sum_{i=1}^{n} f(t_i)Delta_i right| < varepsilon$

Cuando las etiquetas escogidas dan el máximo (o mínimo) valor de cada intervalo, el sumatorio de Riemann pasa a ser un sumatorio de Darboux superior (o inferior), lo que sugiere la estrecha conexión que hay entre la integral de Riemann y la integral de Darboux.

[editar] Integral de Lebesgue

Artículo principal: Integral de Lebesgue

La integral de Riemann no está definida para un ancho abanico de funciones y situaciones de importancia práctica (y de interés teórico). Por ejemplo, la integral de Riemann puede integrar fácilmente la densidad para de obtener la masa de una viga de acero, pero no se puede adaptar a una bola de acero que se apoya encima. Esto motiva la creación de otras definiciones, bajo las cuales se puede integrar un surtido más amplio de funciones.^[7] La integral de Lebesgue, en particular, logra una gran flexibilidad a base de centrar la atención en los pesos de la suma ponderada.

Así, la definición de la integral de Lebesgue empieza con una medida, μ. En el caso más sencillo, la medida de Lebesgue μ(A) de un intervalo A = [a, b] es su ancho, b − a, así la integral de Lebesgue coincide con la integral de Riemann cuando existen ambas. En casos más complicados, los conjuntos a medir pueden estar altamente fragmentados, sin continuidad y sin ningún parecido a intervalos.

Para explotar esta flexibilidad, la integral de Lebesgue invierte el enfoque de la suma ponderada. Como expresa Folland:^[8] "Para calcular la integral de Riemann de f, se particiona el dominio [a, b] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "de hecho lo que se está partiendo es el recorrido de f".

Un enfoque habitual define primero la integral de la función característica de un conjunto medible A por:

$int 1_A dmu = mu(A)$ .

Esto se extiende por linealidad a las funciones escalonadas simples, que sólo tienen un número finito n, de valores diferentes no negativos:

$begin{align} int s , dmu &{}= intleft(sum_{i=1}^{n} a_i 1_{A_i}right) dmu &{}= sum_{i=1}^{n} a_iint 1_{A_i} , dmu &{}= sum_{i=1}^{n} a_i , mu(A_i) end{align}$

(donde la imagen de A_i al aplicarle la función escalonada s es el valor constante a_i). Así, si E es un conjunto medible, se define

$int_E s , dmu = sum_{i=1}^{n} a_i , mu(A_i cap E) .$

Entonces, para cualquier función medible no negativa f se define

$int_E f , dmu = supleft{int_E s , dmu, colon 0 leq sleq ftext{ y } stext{ es una funcion escalonada}right};$

Es decir, se establece que la integral de f es el supremo de todas las integrales de funciones escalonadas que son más pequeñas o iguales que f. Una función medible cualquiera f, se separa entre sus valores positivos y negativos a base de definir

$begin{align} f^+(x) &{}= begin{cases} f(x), & text{si } f(x) > 0 0, & text{de otro modo} end{cases} f^-(x) &{}= begin{cases} -f(x), & text{si } f(x) < 0 0, & text{de otro modo} end{cases} end{align}$

Finalmente, f es Lebesgue integrable si

$int_E |f| , dmu < infty , ,!$

y entonces se define la integral por

$int_E f , dmu = int_E f^+ , dmu - int_E f^- , dmu . ,!$

Cuando el espacio métrico en el que están definidas las funciones es también un espacio topológico localmente compacto (como es el caso de los números reales R), las medidas compatibles con la topología en un sentido adecuado (medidas de Radon, de las cuales es un ejemplo la medida de Lebesgue) una integral respecto de ellas se puede definir de otra manera, se empieza a partir de las integrales de las funciones continuas con soporte compacto. De forma más precisa, las funciones compactamente soportadas forman un espacio vectorial que comporta una topología natural, y se puede definir una medida (Radon) como cualquier funcional lineal continuo de este espacio; entonces el valor de una medida en una función compactamente soportada, es también, por definición, la integral de la función. Entonces se continúa expandiendo la medida (la integral) a funciones más generales por continuidad, y se define la medida de un conjunto como la integral de su función característica. Este es el enfoque que toma Bourbaki^[9] y cierto número de otros autores. Para más detalles, véase medidas de Radon.

[editar] Otras integrales

A pesar de que las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones más importantes de integral, hay unas cuántas más, por ejemplo:

La integral de Riemann-Stieltjes, una extensión de la integral de Riemann.
La integral de Lebesgue-Stieltjes, desarrollada por Johann Radon, que generaliza las integrales de Riemann-Stieltjes y de Lebesgue.
La integral de Daniell, que incluye la integral de Lebesgue y la integral de Lebesgue-Stieltjes sin tener que depender de ninguna medida.
La integral de Henstock-Kurzweil, definida de forma variada por Arnaud Denjoy, Oskar Perron, y Jaroslav Kurzweil, y desarrollada por Ralph Henstock.
La integral de Darboux, que es equivalente a la integral de Riemann.
La integral de Haar, que es la integral de Lebesgue con la medida de Haar.
La integral de McShane.
La integral de Buchner.

[editar] Propiedades de la integración

[editar] Linealidad

El conjunto de las funciones Riemann integrables en un intervalo cerrado [a, b] forman un espacio vectorial con las operaciones de suma (la función suma de otras dos es la función que a cada punto le hace corresponder la suma de las imágenes de este punto por cada una de las otras dos) y la multiplicación por un escalar. La operación integración

$f mapsto int_a^b f ; dx$ es un funcional lineal de este espacio vectorial. Así, en primer lugar, el conjunto de funciones integrables es cerrado con la combinación lineal, y en segundo lugar, la integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales, $int_a^b (alpha f + beta g)(x) , dx = alpha int_a^b f(x) ,dx + beta int_a^b g(x) , dx. ,$

De forma parecida, el conjunto de las funciones reales Lebesgue integrables en un espacio métrico E dado, con la medida μ es cerrado respecto de las combinaciones lineales y por lo tanto forman un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue

$fmapsto int_E f dmu$ es un funcional lineal de este espacio vectorial, de forma que $int_E (alpha f + beta g) , dmu = alpha int_E f , dmu + beta int_E g , dmu.$

De forma más general, si se toma el espacio vectorial de todas las funciones medibles sobre un espacio métrico (E,μ), que toman valores en un espacio vectorial topológico completo localmente compacto V sobre un campo topológico localmente compacto K, f : E → V. Entonces se puede definir una aplicación integración abstracta que a cada función f le asigna un elemento de V o el símbolo ∞,

$fmapstoint_E f dmu, ,$ que es compatible con las combinaciones lineales. En esta situación, la linealidad se sostiene para el subespacio de las funciones, cuya integral es un elemento de V (es decir, las integrales "finitas"). Los casos más importantes surgen cuando K es R, C, o una extensión finita del campo Qp de números p-ádicos, y V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre K, y cuando K=C y V es un espacio de Hilbert complejo.

La linealidad, junto con algunas propiedad naturales de continuidad y la normalización para ciertas clases de funciones "simples", se pueden usar para dar una definición alternativa de integral. Este es el enfoque de Daniell para el caso de funciones reales en un conjunto X, generalizado por Bourbaki a funciones que toman valores en un espacio vectorial topológicamente compacto. Véase Hildebrandt (1953)^[10] para una caracterización axiomática de la integral.

[editar] Desigualdades con integrales

Se verifican varias desigualdades generales para funciones Riemann integrables definidas en un intervalo cerrado y acotado [a, b] y se pueden generalizar a otras nociones de integral (Lebesgue y Daniell).

Cotas superiores e inferiores. Una función f integrable en [a, b], es necesariamente acotada en el intervalo. Por lo tanto hay dos números reales m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M para todo x de [a, b]. Dado que los sumatorios superior e inferior de f sobre [a, b] son también acotados para m(b − a) y M(b − a) respectivamente, de aquí resulta que

$m(b - a) leq int_a^b f(x) , dx leq M(b - a).$

Desigualdades entre funciones. Si f(x) ≤ g(x) para todo x de [a, b] entonces cada uno de los sumatorios superior e inferior de f son acotados inferior y superiormente por los sumatorios superior e inferior de g respectivamente. Así

$int_a^b f(x) , dx leq int_a^b g(x) , dx.$ Esto es una generalización de las desigualdades anteriores, dado que M '(b − a) es la integral de la función constante con valor M en el intervalo [a, b].

Subintervalos. Si [c, d] es un subintervalo de [a, b] y f(x) es no negativa para todo x, entonces

$int_c^d f(x) , dx leq int_a^b f(x) , dx.$

Productos y valores absolutos de funciones. Si f y g son dos funciones, entonces podemos emplear su producto, potencias y valores absolutos:

$(fg)(x)= f(x) g(x), ; f^2 (x) = (f(x))^2, ; |f| (x) = |f(x)|.,$ Si f es Riemann integrable en [a, b] entonces lo mismo se cumple para |f|, y $left| int_a^b f(x) , dx right| leq int_a^b | f(x) | , dx.$ Es más, si f y g son ambas Riemann integrables entonces f ², g ², y fg son también Riemann integrables, y $left( int_a^b (fg)(x) , dx right)^2 leq left( int_a^b f(x)^2 , dx right) left( int_a^b g(x)^2 , dx right).$ Esta desigualdad se conoce como desigualdad de Cauchy-Schwarz, y desempeña un papel fundamental en la teoría de los espacios de Hilbert, donde el lado de la derecha se interpreta como el producto escalar de dos funciones integrables f y g en el intervalo [a, b].

Desigualdad de Hölder. Si p y q son dos números reales, 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1/p + 1/q = 1, y f y g son dos funciones Riemann integrables. Entonces las funciones |f|^p y |g|^q también son integrables y se cumple la desigualdad de Hölder:

$left|int f(x)g(x),dxright| leq left(int left|f(x)right|^p,dx right)^{1/p} left(intleft|g(x)right|^q,dxright)^{1/q}.$ Para el caso de p = q = 2, la desigualdad de Hölder pasa a ser la desigualdad de Cauchy–Schwarz.

Desigualdad de Minkowski. Si p ≥ 1 es un número real y f y g son funciones Riemann integrables. Entonces |f|^p, |g|^p y |f + g|^p son también Riemann integrables y se cumple la desigualdad de Minkowski:

$left(int left|f(x)+g(x)right|^p,dx right)^{1/p} leq left(int left|f(x)right|^p,dx right)^{1/p} + left(int left|g(x)right|^p,dx right)^{1/p}.$ Una desigualdad análoga a ésta para la integral de Lebesgue se usa en la construcción de los espacios L^p.

[editar] Convenciones

En esta sección f es una función real Riemann integrable. La integral

$int_a^b f(x) , dx$

Sobre un intervalo [a, b] está definida si a < b. Esto significa que los sumatorios superiores e inferiores de la función f se evalúan sobre una partición a = x₀ ≤ x₁ ≤ . . . ≤ x_n = b cuyos valores x_i son crecientes. Geométricamente significa que la integración tiene lugar "de izquierda a derecha", evaluando f dentro de intervalos [x_i , x_i +1] donde el intervalo con un índice más grande queda a la derecha del intervalo con un índice más pequeño. Los valores a y b, los puntos extremos del intervalo, se denominan límites de integración de f. Las integrales también se pueden definir si a > b:

Inversión de los límites de integración. si a > b entonces se define

$int_a^b f(x) , dx = - int_b^a f(x) , dx.$

Ello, con a = b, implica:

Integrales sobre intervalos de longitud cero. si a es un número real entonces

$int_a^a f(x) , dx = 0.$

La primera convención es necesaria al calcular integrales sobre subintervalos de [a, b]; la segunda dice que una integral sobre un intervalo degenerado, o un punto, tiene que ser cero. Un motivo para la primera convención es que la integrabilidad de f sobre un intervalo [a, b] implica que f es integrable sobre cualquier subintervalo [c, d], pero en particular las integrales tienen la propiedad de que:

Aditividad de la integración sobre intervalos. si c es cualquier elemento de [a, b], entonces

$int_a^b f(x) , dx = int_a^c f(x) , dx + int_c^b f(x) , dx.$

Con la primera convención la relación resultante

$begin{align} int_a^c f(x) , dx &{}= int_a^b f(x) , dx - int_c^b f(x) , dx &{} = int_a^b f(x) , dx + int_b^c f(x) , dx end{align}$

queda bien definida para cualquier permutación cíclica de a, b, y c.

En lugar de ver lo anterior como convenciones, también se puede adoptar el punto de vista de que la integración se hace sólo sobre variedades orientadas. Si M es una tal forma m-dimensional orientada, y M' es la misma forma con orientación opuesta y ω es una m-forma, entonces se tiene (véase más abajo la integración de formas diferenciales):

$int_M omega = - int_{M'} omega ,.$

[editar] Teorema fundamental del cálculo

Artículo principal: Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original. Una consecuencia importante, en ocasiones denominada el segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular integrales a base de emplear una primitiva de la función a integrar.

[editar] Enunciado de los teoremas

Teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si se define F para cada x de [a, b] por

$F(x) = int_a^x f(t), dt.$ entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x de [a, b], entonces F es derivable en x, y F ′(x) = f(x).

Segundo teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real, integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si F es una función tal que F ′(x) = f(x) para todo x de [a, b] (es decir, F es una primitiva de f), entonces

$int_a^b f(t), dt = F(b) - F(a).$

Corolario. Si f es una función continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b], y F, definida por

$F(x) = int_a^x f(t) , dt$ es una primitiva de f en [a, b]. Además, $int_a^b f(t) , dt = F(b) - F(a).$

[editar] Extensiones

[editar] Integrales impropias

Artículo principal: Integral impropia

La integral impropia
$int_{0}^{infty} frac{dx}{(x+1)sqrt{x}} = pi$
tiene intervalos no acotados tanto en el dominio como en el recorrido.

Una integral de Riemann "propia" supone que el integrando está definido y es finito en un intervalo cerrado y acotado, cuyos extremos son los límites de integración. Una integral impropia aparece cuando una o más de estas condiciones no se satisface. En algunos casos, estas integrales se pueden definir tomando el límite de una sucesión de integrales de Riemann propias sobre intervalos sucesivamente más largos.

Si el intervalo no es acotado, por ejemplo en su extremo superior, entonces la integral impropia es el límite cuando el punto final tiende a infinito.

$int_{a}^{infty} f(x)dx = lim_{b to infty} int_{a}^{b} f(x)dx$

Si el integrando sólo está definido en un intervalo finito semiabierto, por ejemplo (a,b], entonces, otra vez el límite puede suministrar un resultado finito.

$int_{a}^{b} f(x)dx = lim_{epsilon to 0} int_{a+epsilon}^{b} f(x)dx$

Esto es, la integral impropia es el límite de integrales propias cuando uno de los puntos extremos del intervalo de integración se aproxima, ya sea a un número real especificado, o ∞, o −∞. En casos más complicados, hacen falta límites en los dos puntos extremos o en puntos interiores.

Por ejemplo, la función $tfrac{1}{(x+1)sqrt{x}}$ integrada desde 0 a ∞ (imagen de la derecha). En el extremo inferior, a medida que x se acerca a 0 la función tiende a ∞, y el extremo superior es él mismo ∞, a pesar de que la función tiende a 0. Así, esta es una integral doblemente impropia. Integrada, por ejemplo, desde 1 hasta 3, con un sumatorio de Riemann es suficiente para obtener un resultado de $tfrac{pi}{6}$ . Para integrar desde 1 hasta ∞, un sumatorio de Riemann no es posible. Ahora bien, cualquier límite superior finito, por ejemplo t (con t > 1), da un resultado bien definido, $tfrac{pi}{2} - 2arctan tfrac{1}{sqrt{t}}$ . Este resultado tiene un límite finito cuando t tiende a infinito, que es $tfrac{pi}{2}$ . De forma parecida, la integral desde ¹⁄₃ hasta a 1 admite también un sumatorio de Riemann, que por casualidad da de nuevo $tfrac{pi}{6}$ . Sustituyendo ¹⁄₃ por un valor positivo arbitrario s (con s < 1) resulta igualmente un resultado definido y da $-tfrac{pi}{2} + 2arctantfrac{1}{sqrt{s}}$ . Éste, también tiene un límite finito cuando s tiende a cero, que es $tfrac{pi}{2}$ . Combinando los límites de los dos fragmentos, el resultado de esta integral impropia es

$begin{align} int_{0}^{infty} frac{dx}{(x+1)sqrt{x}} &{} = lim_{s to 0} int_{s}^{1} frac{dx}{(x+1)sqrt{x}} + lim_{t to infty} int_{1}^{t} frac{dx}{(x+1)sqrt{x}} &{} = lim_{s to 0} left( - frac{pi}{2} + 2 arctanfrac{1}{sqrt{s}} right) + lim_{t to infty} left( frac{pi}{2} - 2 arctanfrac{1}{sqrt{t}} right) &{} = frac{pi}{2} + frac{pi}{2} &{} = pi . end{align}$

Este proceso no tiene el éxito garantizado; un límite puede no existir, o puede ser infinito. Por ejemplo, sobre el intervalo cerrado de 0 a 1 la integral de $tfrac{1}{x^2}$ no converge; y sobre el intervalo abierto del 1 a ∞ la integral de $tfrac{1}{sqrt{x}}$ no converge.

La integral impropia
$int_{-1}^{1} frac{dx}{sqrt[3]{x^2}} = 6$
no está acotada internamente, pero ambos límites (por la derecha y por la izquierda) existen.

También puede pasar que un integrando no esté acotado en un punto interior, en este caso la integral se ha de partir en este punto, y el límite de las integrales de los dos lados han de existir y han de ser acotados. Así

$begin{align} int_{-1}^{1} frac{dx}{sqrt[3]{x^2}} &{} = lim_{s to 0} int_{-1}^{-s} frac{dx}{sqrt[3]{x^2}} + lim_{t to 0} int_{t}^{1} frac{dx}{sqrt[3]{x^2}} &{} = lim_{s to 0} 3(1-sqrt[3]{s}) + lim_{t to 0} 3(1-sqrt[3]{t}) &{} = 3 + 3 &{} = 6. end{align}$

A la integral similar

$int_{-1}^{1} frac{dx}{x} ,!$

no se le puede asignar un valor de esta forma, dado que las integrales por encima y por debajo de cero no convergen independientemente (en cambio, véase valor principal de Cauchy.)

[editar] Integración múltiple

Artículo principal: Integral múltiple

Integral doble como el volumen limitado por una superficie.

Las integrales se pueden calcular sobre regiones diferentes de los intervalos. En general, una integral sobre un conjunto E de una función f se escribe:

$int_E f(x) , dx.$

Aquí x no hace falta que sea necesariamente un número real, sino que puede ser cualquier otra cantidad apropiada, por ejemplo, un vector de R3. El teorema de Fubini demuestra que estas integrales pueden reescribirse como una integral iterada. En otras palabras, la integral se puede calcular a base de integrar las coordenadas una por una.

De la misma manera que la integral definida de una función positiva representa el área de la región encerrada entre la gráfica de la función y el eje x, la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región comprendida entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio. (El mismo volumen puede obtenerse a través de una integral triple — la integral de la función de tres variables — de la función constante f(x, y, z) = 1 sobre la región mencionada antes entre la superficie y el plano, lo mismo se puede hacer con una integral doble para calcular una superficie.) Si el número de variables es mayor, entonces la integral representa un hipervolumen, el volumen de un sólido de más de tres dimensiones que no se puede representar gráficamente.

Por ejemplo, el volumen del paralelepípedo de caras 4 × 6 × 5 se puede obtener de dos maneras:

Con la integral doble

$iint_D 5 dx, dy$ de la función f(x, y) = 5 calculada en la región D del plano xy que es la base del paralelepípedo.

Con la integral triple

$iiint_mathrm{paralelepipedo} 1 , dx, dy, dz$ de la función constante 1 calculada sobre el mismo paralelepípedo (a pesar de que este segundo método también se puede interpretar como el hipervolumen de un hiperparalelepípedo de cuatro dimensiones que tiene como base el paralelepípedo en cuestión y una altura constante de 1, como la altura es 1 el volumen coincide con el área de la base).

Puesto que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable, no existen las integrales múltiples indefinidas: tales integrales son todas definidas.

[editar] Integrales de línea

Artículo principal: Integral de línea

Una integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva.

El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales.

Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno.

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos.

Muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como:

$W=vec Fcdotvec d$

que tiene su paralelismo en la integral de línea

$W=int_C vec Fcdot dvec s$

que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.

[editar] Integrales de superficie

Artículo principal: Integral de superficie

La definición de las integrales de superficie descansa en la división de la superficie en pequeños elementos de superficie.

Una integral de superficie es una integral definida calculada sobre una superficie (que puede ser un conjunto curvado en el espacio; se puede entender como la integral doble análoga a la integral de línea. La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral de superficie es la suma ponderada de los valores del campo en todos los puntos de la superficie. Esto se puede conseguir a base de dividir la superficie en elementos de superficie, los cuales proporcionan la partición para los sumatorios de Riemann.

Como ejemplo de las aplicaciones de las integrales de superficie, se puede considerar un campo vectorial v sobre una superficie S; es decir, para cada punto x de S, v(x) es un vector. Imagínese que se tiene un fluido fluyendo a través de S, de forma que v(x) determina la velocidad del fluido en el punto x. El caudal se define como la cantidad de fluido que fluye a través de S en la unidad de tiempo. Para hallar el caudal, hay que calcular el producto escalar de v por el vector unitario normal a la superficie S en cada punto, lo que nos dará un campo escalar, que integramos sobre la superficie:

$int_S {mathbf v}cdot ,d{mathbf {S}}$ .

El caudal de fluido de este ejemplo puede ser de un fluido físico como el agua o el aire, o de un flujo eléctrico o magnético. Así, las integrales de superficie tienen aplicaciones en la física, en particular en la teoría clásica del electromagnetismo.

[editar] Integrales de formas diferenciales

Artículo principal: Forma diferencial

Una forma diferencial es un concepto matemático en los campos del cálculo multivariable, topología diferencial y tensores. La notación moderna de las formas diferenciales, así como la idea de las formas diferenciales como el producto exterior de derivadas exteriores formando un álgebra exterior, fue presentada por Élie Cartan.

Se empieza trabajando en un conjunto abierto de Rⁿ. Una 0-forma se define como una función infinitamente derivable f. Cuando se integra una función f sobre un subespacio de m-dimensional S de Rⁿ, se escribe como

$int_S f,dx^1 cdots dx^m.$

(Los superíndices no son exponentes.) Se puede considerar que dx¹ hasta dxⁿ son objetos formales ellos mismos, más que etiquetas añadidas para hacer que la integral se asemeje a los sumatorios de Riemann. De forma alternativa se pueden ver como covectores, y por lo tanto como una medida de la "densidad" (integrable en un sentido general). A dx¹, …,dxⁿ se las denomina 1-formas básicas.

Se define el conjunto de todos estos productos como las 2-formas básicas, y de forma similar se define el conjunto de los productos de la forma dx^a∧dx^b∧dx^c como las 3-formas básicas. Una k-forma general es por lo tanto una suma ponderada de k-formas básicas, donde los pesos son las funciones infinitamente derivables f. Todas juntas forman un espacio vectorial, siendo las k-formas básicas los vectores base, y las 0-formas (funciones infinitamente derivables) el campo de escalares. El producto exterior se extiende a las k-formas de la forma natural. Sobre Rⁿ como máximo n covectores pueden ser linealmente independientes, y así una k-forma con k > n será siempre cero por la propiedad alternante.

Además del producto exterior, también existe el operador derivada exterior d. Este operador hace corresponder a las k-formas (k+1)-formas. Para una k-forma ω = f dx^a sobre Rⁿ, se define la acción de d por:

${bold d}{omega} = sum_{i=1}^n frac{partial f}{partial x_i} dx^i wedge dx^a.$

con extensión a las k-formas generales que se dan linealmente.

Este planteamiento más general permite un enfoque de la integración sobre variedades libre de coordenadas. También permite una generalización natural del teorema fundamental del cálculo, denominada teorema de Stokes, que se puede establecer como

$int_{Omega} {bold d}omega = int_{partialOmega} omega ,!$

donde ω es una k-forma general, y ∂Ω indica la frontera de la región Ω. Así en el supuesto de que ω sea una 0-forma y Ω sea un intervalo cerrado de la recta real, el teorema de Stokes se reduce al teorema fundamental del cálculo. En el caso de que ω sea una 1-forma y Ω sea una región de dimensión 2 en el plano, el teorema se reduce al teorema de Green. De manera similar, empleando 2-formas, 3-formas y la dualidad de Hodge, se puede llegar al teorema de Stokes y al teorema de la divergencia. De esta forma puede verse que las formas diferenciales suministran una potente visión unificadora de la integración.

[editar] Métodos y aplicaciones

[editar] Cálculo de integrales

Artículo principal: Métodos de integración

La técnica más básica para calcular integrales de una variable real se basa en el teorema fundamental del cálculo. Se procede de la siguiente forma:

Se escoge una función f(x) y un intervalo [a, b].
Se halla una primitiva de f, es decir, una función F tal que F' = f.
Se emplea el teorema fundamental del cálculo, suponiendo que ni el integrando ni la integral tienen singularidades en el camino de integración, $int_a^b f(x),dx = F(b)-F(a).$
Por tanto, el valor de la integral es F(b) − F(a).

Nótese que la integral no es realmente la primitiva, sino que el teorema fundamental permite emplear las primitivas para evaluar las integrales definidas.

A menudo, el paso difícil de este proceso es el de encontrar una primitiva de f. En raras ocasiones es posible echar un vistazo a una función y escribir directamente su primitiva. Muy a menudo, es necesario emplear una de las muchas técnicas que se han desarrollado para evaluar integrales. La mayoría de ellas transforman una integral en otra que se espera que sea más manejable. Entre estas técnicas destacan:

Incluso si estas técnicas fallan, aún puede ser posible evaluar una integral dada. La siguiente técnica más común es el cálculo del residuo, mientras que la serie de Taylor a veces se puede usar para hallar la primitiva de las integrales no elementales en lo que se conoce como el método de integración por series. También hay muchas formas menos habituales para calcular integrales definidas; por ejemplo, se puede emplear la identidad de Parseval para transformar una integral sobre una región rectangular en una suma infinita. En algunas ocasiones, se puede evaluar una integral empleando un truco; un ejemplo de este tipo se puede ver en la integral de Gauss.

Los cálculos de volúmenes de sólidos de revolución se pueden hacer normalmente con la integración por discos o la integración por capas.

Los resultados específicos que se han encontrado empleando las diferentes técnicas se recogen en la tabla de integrales.

[editar] Algoritmos simbólicos

Artículo principal: Integración simbólica

En muchos problemas de matemáticas, física, e ingeniería en los que participa la integración es deseable tener una fórmula explícita para la integral. Con esta finalidad, a lo largo de los años se han ido publicando extensas tablas de integrales. Con el desarrollo de los ordenadores, muchos profesionales, educadores y estudiantes han recurrido a los sistemas de cálculo algebraico por ordenador, que han sido diseñados específicamente para desarrollar tareas tediosas o difíciles, entre las cuales se encuentra la integración. La integración simbólica presenta un reto especial en el desarrollo de este tipo de sistemas.

Una dificultad matemática importante de la integración simbólica es que, en muchos casos, no existe ninguna fórmula cerrada para la primitiva de una función aparentemente inocente. Por ejemplo, se sabe que las primitivas de las funciones exp (x²), x^x y sen x /x no se pueden expresar con una fórmula cerrada en las que participen sólo funciones racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, inversas de las funciones trigonométricas, y las operaciones de suma, multiplicación y composición. En otras palabras, ninguna de estas tres funciones dadas es integrable con funciones elementales. La teoría de Galois diferencial proporciona criterios generales para determinar cuándo la primitiva de una función elemental es a su vez elemental. Por desgracia, resulta que las funciones con expresiones cerradas para sus primitivas son la excepción en vez de ser la regla. En consecuencia, los sistemas de cálculo algebraico por ordenador, no pueden tener la seguridad de poder encontrar una primitiva para una función elemental cualquiera construida de forma aleatoria. En el lado positivo, si se fijan de antemano los "bloques constructivos" de las primitivas, aún es posible decidir si se puede expresar la primitiva de una función dada empleando estos bloques y las operaciones de multiplicación y composición, y hallar la respuesta simbólica en el caso de que exista. El algoritmo de Risch, implementado en Mathematica y en otros sistemas de cálculo algebraico por ordenador, hacen precisamente esto para funciones y primitivas construidas a partir de fracciones racionales, radicales, logaritmos y funciones exponenciales.

Algunos integrandos aparecen con la suficiente frecuencia como para merecer un estudio especial. En particular, puede ser útil tener, en el conjunto de las primitivas, las funciones especiales de la física (como las funciones de Legendre, la función hipergeométrica, la función gamma, etcétera). Es posible extender el algoritmo de Risch-Norman de forma que abarque estas funciones, pero se trata de todo un reto.

La mayoría de los humanos no son capaces de integrar estas fórmulas generales, por lo que en cierto sentido los ordenadores son más hábiles integrando fórmulas muy complicadas. Es poco probable que las fórmulas muy complejas tengan primitivas de forma cerrada, de modo que hasta qué punto esto es una ventaja es una cuestión filosófica abierta a debate.

[editar] Cuadratura numérica

Métodos numéricos de cuadratura: ■ Rectángulo, ■ Trapezoide, ■ Romberg, ■ Gauss.

Artículo principal: Integración numérica

Las integrales que se encuentran en los cursos básicos de cálculo han sido elegidas deliberadamente por su simplicidad, pero las que se encuentran en las aplicaciones reales no siempre son tan asequibles. Algunas integrales no se pueden hallar con exactitud, otras necesitan de funciones especiales que son muy complicadas de calcular, y otras son tan complejas que encontrar la respuesta exacta es demasiado lento. Esto motiva el estudio y la aplicación de métodos numéricos para aproximar integrales. Hoy en día se usan en la aritmética de coma flotante, en ordenadores electrónicos. Para los cálculos a mano surgieron muchas ideas mucho antes; pero la velocidad de los ordenadores de uso general como el ENIAC crearon la necesidad de mejoras.

Los objetivos de la integración numérica son la exactitud, la fiabilidad, la eficiencia y la generalidad. Por ejemplo, la integral

$int_{-2}^{2} tfrac15 left( tfrac{1}{100}(322 + 3 x (98 + x (37 + x))) - 24 frac{x}{1+x^2} right) dx$

que tiene el valor aproximado de 6.826 (en la práctica ordinaria no se conoce de antemano la respuesta, por lo que una tarea importante — que no se explora aquí — es decidir en qué momento una aproximación ya es bastante buena.) Un enfoque de "libro de cálculo" divide el intervalo de integración en, por ejemplo, 16 trozos iguales, y calcula los valores de la función.

Valores de la función en los puntos

x	−2,00		−1,50		−1,00		−0,50		0,00		0,50		1,00		1,50		2,00
f(x)	2,22800		2,45663		2,67200		2,32475		0,64400		−0,92575		−0,94000		−0,16963		0,83600
x		−1.75		−1,25		−0,75		−0,25		0,25		0,75		1,25		1.75
f(x)		2,33041		2,58562		2,62934		1,64019		−0,32444		−1,09159		−0,60387		0,31734

[editar] Referencias y notas

↑ En el caso de las funciones a las que se aplica la definición de Riemann, los resultados coinciden.
↑ Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6ª ed.), McGraw-Hill, p. 359, ISBN 978-0-07-305189-5
↑ Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899) (Gerhardt, Karl Immanuel, ed.). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Müller, p. 154
↑ Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations, Vol. II, Open Court Publishing, pp. 247–252, ISBN 978-0-486-67766-8
↑ Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, p. §231, [1]
↑ W3C (2006). Arabic mathematical notation [2]
↑ Rudin, Walter (1987). "Chapter 1: Abstract Integration", Real and Complex Analysis (International ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9
↑ Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1ª ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80958-6
↑ Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1. En particular, los capítulos III y IV.
↑ Hildebrandt, T. H. (1953). "Integration in abstract spaces", Bulletin of the American Mathematical Society 59(2): 111–139, ISSN 0273-0979 [3]

[editar] Bibliografía

Apostol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd edición). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-00005-1.
Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I. Springer. ISBN 3-540-41129-1. . En particular los capítulos III y IV.
Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6^th edición). McGraw-Hill. p. 359. ISBN 978-0-07-305189-5.
Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. pp. 247–252. ISBN 978-0-486-67766-8. http://www.archive.org/details/historyofmathema027671mbp.
Dahlquist, Germund; Björck, Åke (forthcoming). «Chapter 5: Numerical Integration». Numerical Methods in Scientific Computing. Philadelphia: SIAM. http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html.
Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1st edición). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-80958-6.
Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur. Chez Firmin Didot, père et fils. p. §231. http://books.google.com/books?id=TDQJAAAAIAAJ.
Disponible en inglés comoFourier, Joseph (1878). The analytical theory of heat. Freeman, Alexander (trans.). Cambridge University Press. pp. 200–201. http://www.archive.org/details/analyticaltheory00fourrich.
The Works of Archimedes. Dover. 2002. ISBN 978-0-486-42084-4. http://www.archive.org/details/worksofarchimede029517mbp.
(Originalmente publicado por Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
Hildebrandt, T. H. (1953). Integration in abstract spaces. 59. 111–139. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183517761.
Kahaner, David; Moler, Cleve; Nash, Stephen (1989). «Chapter 5: Numerical Quadrature». Numerical Methods and Software. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-627258-8.
Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band. Berlin: Mayer & Müller. http://name.umdl.umich.edu/AAX2762.0001.001.
Miller, Jeff. Earliest Uses of Symbols of Calculus. http://members.aol.com/jeff570/calculus.html.
O’Connor, J. J.; Robertson, E. F. (1996). A history of the calculus. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus.html.
Rudin, Walter (1987). «Chapter 1: Abstract Integration». Real and Complex Analysis (International edición). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-100276-9.
Saks, Stanisław (1964). Theory of the integral (English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised edición). New York: Dover. http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&wyd=10&jez=.
Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002). «Chapter 3: Topics in Integration». Introduction to Numerical Analysis (3rd edición). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95452-3. .
W3C (2006). Arabic mathematical notation. http://www.w3.org/TR/arabic-math/.

[editar] Véase también

Tabla de integrales
Integración numérica
Derivada
Signo de Integral
Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.

[editar] Enlaces externos

La integral definida y la función área, en Descartes.
The Integrator de Wolfram Research
Function Calculator de WIMS
P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques
Definite Integrals

[editar] Libros online

Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
Kowalk, W.P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
Wikibook of Calculus
Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"

Categorías: Cálculo integral | Integrales

0 comentarios

MATEMÁTICAS2: MULTIPLICACIÓN. La multiplicación es una operación aritmética de composición que consiste en sumar reiteradamente un mismo valor la cantidad de veces indicada por un segundo valor. Así, 4·3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.

petalofucsia - 28 de noviembre de 2010 - 15:08 - Matemáticas2

Multiplicación

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsqueda

Para saber cómo multiplicar, véase Algoritmo de multiplicación.

Propiedad conmutativa:
3·4 = 12 = 4·3
doce elementos pueden ser ordenados en tres filas de cuatro, o cuatro columnas de tres.

La multiplicación es una operación aritmética de composición que consiste en sumar reiteradamente un mismo valor la cantidad de veces indicada por un segundo valor. Así, 4·3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.

El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente: multiplicando (número a sumar) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando). Aunque esta diferenciación en algunos contextos puede ser superflua cuando en el conjunto donde esté definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de la multiplicación (por ejemplo, en los conjuntos numéricos). Véase [1] para una discusión sobre el tema.

En Álgebra Moderna se suele usar la denominación Cociente o multiplicación con su notación habitual "·" para designar la operación externa en un módulo, para designar también la segunda operación que se define en un anillo (aquella para la que no está definido el elemento inverso del 0), o para designar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo.

Contenido

[ocultar]

[editar] Notación

La multiplicación se indica con el aspa (×) o el punto medio (·). En ausencia de estos caracteres se suele emplear el asterisco (*), sobre todo en computación (este uso tiene su origen en FORTRAN), pero está desaconsejado en otros ámbitos y sólo debe utilizarse cuando no hay otra alternativa. A veces se utiliza la letra equis (x), pero esto es desaconsejable porque crea una confusión innecesaria con la letra que normalmente se asigna a una incógnita en una ecuación. Por último, se puede omitir el signo de multiplicación a menos que se multipliquen números o se pueda generar confusión sobre los nombres de las incógnitas, constantes o funciones (por ejemplo, cuando el nombre de alguna incógnita tiene más de una letra y podría confundirse con el producto de otras dos). También suelen utilizarse signos de agrupación como paréntesis (), corchetes ([]) o llaves ({ }). Esto mayormente se utiliza para multiplicar números negativos entre sí o por números positivos.

Si los factores no se escriben de forma individual pero pertenecen a una lista de elementos con cierta regularidad se puede escribir el producto mediante una elipsis, es decir, escribir explícitamente los primeros términos y los últimos, (o en caso de un producto de infinitos términos sólo los primeros), y sustituir los demás por unos puntos suspensivos. Esto es análogo a lo que se hace con otras operaciones aplicadas a infinitos números (como las sumas). [El producto de infinitos términos se define como el límite del producto de los n primeros términos cuando n crece indefinidamente].

Así, el producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el 100 se puede escribir:

$1 cdot 2 cdot ldots cdot 99 cdot 100$

mientras que el producto de los números pares del entre 1 y 100 se escribiría:

$2cdot 4cdot 6 cdots 100$ .

Esto también se puede denotar escribiendo los puntos suspensivos en la parte media de la línea de texto:

$1 cdot 2 cdot cdots cdot 99 cdot 100$

En cualquier caso, deben estar claros cuáles son los términos omitidos.

Por último, se puede denotar el producto mediante el símbolo productorio, que proviene de la letra griega Π (Pi mayúscula).

Esto se define así:

$prod_{i=m}^{n} x_{i} = x_{m} cdot x_{m+1} cdot x_{m+2} cdot cdots cdot x_{n-1} cdot x_{n}.$

El subíndice i indica una variable que recorre los números enteros desde un valor mínimo (m, indicado en el subíndice) y un valor máximo (n, indicado en el superíndice).

[editar] Definición

La multiplicación de dos números enteros n y m se expresa como:

$sum_{k=1}^n m=mn$

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión "sumar m a sí mismo n veces". Puede facilitar la comprensión el expandir la expresión anterior:

m·n = m + m + m +...+ m

tal que hay n sumandos. Así, por ejemplo:

5·2 = 5 + 5 = 10
2·5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
4·3 = 4 + 4 + 4 = 12
m·6 = m + m + m + m + m + m = 6m

[editar] Propiedades

[editar] Propiedad conmutativa

Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualesquiera x e y:

x·y = y·x

[editar] Propiedad asociativa

La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualesquiera x, y, z, se cumple:

(x·y)z = x(y·z)

En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.

Por ejemplo:

(8·3)·2 = 8·(3·2)24·2 = 8·648 = 48

[editar] Propiedad distributiva

La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:

x·(y + z) = xy + xz

Asimismo:

(x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz

[editar] Elemento neutro

También es de interés que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo:

1·x = x

es decir, la multiplicación tiene un elemento neutro que es el 1.

[editar] Cero

¿Qué ocurre con el cero? La definición inicial $sum_{k=1}^0 1$ no ayuda mucho porque 1 es mayor que 0. De hecho, es más fácil definir el producto por cero utilizando la segunda definición:

m·0 = m + m + m +...+ m

donde hay cero sumandos. La suma de cero veces m es cero, así que

m·0 = 0

sin importar lo que valga m, siempre que sea finito.

Otra posibilidad es usar la propiedad conmutativa

$m cdot 0 = 0 cdot m = sum_{k=1}^1 0 = 0$

[editar] Conexión con la geometría

Desde un punto de vista puramente geométrico, la multiplicación entre 2 valores produce un área que es representable. Del mismo modo el producto de 3 valores produce un volumen igualmente representable. Y en general el producto de cualquier número de valores mayores de 0 produce un resultado geométrico representable sea éste más o menos intuitivo y más o menos fácil de representar.

[editar] Producto de números negativos

El producto de números negativos también requiere reflexionar un poco. Primero, considérese el número -1. Para cualquier entero positivo m:

(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

Éste es un resultado interesante que muestra que cualquier número negativo no es más que un número positivo multiplicado por -1. Así que la multiplicación de enteros cualesquiera se puede representar por la multiplicación de enteros positivos y factores -1. Lo único que queda por definir es el producto de (-1)(-1):

(-1)(-1) = -(-1) = 1

[editar] Desde números enteros a números complejos

De esta forma, se define la multiplicación de dos enteros. Las definiciones pueden extenderse a conjuntos cada vez mayores de números: primero el conjunto de las fracciones o números racionales, después a todos los números reales y finalmente a los números complejos y otras extensiones de los números reales.

[editar] Definición recursiva

Una definición recursiva de la multiplicación puede darse según estas reglas:

x·0 = 0x·y = x + x·(y-1)

donde x es una cantidad arbitraria e y es un número natural. Una vez el producto está definido para los números naturales, se puede extender a conjuntos más grandes, como ya se ha indicado anteriormente.

[editar] Otros productos

Producto de matrices: La multiplicación de matrices, que no tiene propiedad conmutativas.

[editar] Véase también

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n"

Categorías: Álgebra | Operaciones básicas de la aritmética | Notación matemática | Algoritmos de precisión arbitraria

1 comentario

MATEMÁTICAS2: RESTO. En aritmética, el resto o residuo de una división de dos números enteros es el número que se le ha de restar al dividendo para que sea igual a un determinado número de veces el divisor . Equivalentemente, es el número resultante de la diferencia del dividendo con el producto del divisor por el cociente.

petalofucsia - 28 de noviembre de 2010 - 15:03 - Matemáticas2

Resto

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsqueda

En aritmética, el resto o residuo de una división de dos números enteros es el número que se le ha de restar al dividendo para que sea igual a un determinado número de veces el divisor . Equivalentemente, es el número resultante de la diferencia del dividendo con el producto del divisor por el cociente. O sea:

$mbox{Resto=Dividendo} - mbox{(divisor}times mbox{cociente)}$

Según su resto, las divisiones se clasifican como exactas si su resto es cero ó inexactas cuando no lo es.

Generalmente, al resto de dividir x entre y se suele expresar como $textstyle x mbox{ mod }y$ .

En la práctica, el resto de una división puede calcularse usando ecuaciones, en términos de otras funciones. En términos de la función parte entera $lfloor xrfloor$ , el resto se puede definir como:

$x mbox{ mod } y := x-yleftlfloor frac x yrightrfloor$

La expresión x mod 0 queda sin definir en la mayoría de los sistemas numéricos, aunque algunos la definen como igual a x.

[editar] Implementación para el cálculo del resto

Para números pequeños se suele implementar la función de arriba, que es muy sencilla. Para la implementación con números grandes, existen métodos mucho más eficientes, como el algoritmo de reducción de Montgomery y la reducción de Barrett. La reducción de Barrett toma el hecho de que existen números q y r de manera que x = mq+r y 0 ≤ r < m (véase Algoritmo de la división), y lo utiliza para estimar q utilizando sólo operaciones de recorrimiento en lugar de divisiones.

Algoritmo Reducción de Barrett
Entradas: $x=left(x_{2k-1}cdots x_1x_0right)_b$ ( $x$ en forma de lista de dígitos) $m=left(m_{k-1}cdots m_1,m_0right)_b$ con $m_{k-1}neq0$ ( $m$ en forma de lista de dígitos) $mu=leftlfloorfrac{b^{2k}}{m}rightrfloor$ Salida: $x mbox{ mod } y ,$ $q_1getsleftlfloor x/b^{k-1}rightrfloor$ $q_2gets q_1timesmu$ $q_3getsleftlfloor q_2/b^{k-1}rightlfloor$ $r_1gets x mbox{ mod } b^{k+1}$ $r_2gets q_3times m mbox{ mod } b^{k+1}$ $rgets r_1-r_2$ Si $r<0,$ entonces: $rgets r+b^{k-1}$ Mientras $rgeq m$ haga lo siguiente: $rgets r-m$ Devuelva $r$

[editar] Véase también

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Resto"

Categoría: Aritmética

0 comentarios

MATEMÁTICAS2: DIVISIÓN (MATEMÁTICAS). La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La división es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental, inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida.

petalofucsia - 28 de noviembre de 2010 - 15:01 - Matemáticas2

División (matemática)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsqueda

La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La división es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental, inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida.

Según su resto, las divisiones se clasifican como exactas si su resto es cero ó inexactas cuando no lo es.

Al resultado entero de la división se denomina cociente y si la división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo, la operación tendrá un resto o residuo, donde:

$Dividendo ,$		$Divisor ,$
$Resto ,$		$Cociente ,$

Que también puede expresarse:

dividendo = cociente × divisor + resto

Contenido

[ocultar]

Tabla

El algoritmo se construye a partir de una tabla elemental, que es inversa de la de multiplicar.

La lectura de la tabla es, por ejemplo, 10 : 5 = 2, leído: «diez entre cinco igual a dos» o, bien «diez dividido cinco es igual a dos».

TABLA DE DIVIDIR

1 : 1 = 1	2 : 2 = 1	3 : 3 = 1	4 : 4 = 1	5 : 5 = 1	6 : 6 = 1	7 : 7 = 1	8 : 8 = 1	9 : 9 = 1
2 : 1 = 2	4 : 2 = 2	6 : 3 = 2	8 : 4 = 2	10 : 5 = 2	12 : 6 = 2	14 : 7 = 2	16 : 8 = 2	18 : 9 = 2
3 : 1 = 3	6 : 2 = 3	9 : 3 = 3	12 : 4 = 3	15 : 5 = 3	18 : 6 = 3	21 : 7 = 3	24 : 8 = 3	27 : 9 = 3
4 : 1 = 4	8 : 2 = 4	12 : 3 = 4	16 : 4 = 4	20 : 5 = 4	24 : 6 = 4	28 : 7 = 4	32 : 8 = 4	36 : 9 = 4
5 : 1 = 5	10 : 2 = 5	15 : 3 = 5	20 : 4 = 5	25 : 5 = 5	30 : 6 = 5	35 : 7 = 5	40 : 8 = 5	45 : 9 = 5
6 : 1 = 6	12 : 2 = 6	18 : 3 = 6	24 : 4 = 6	30 : 5 = 6	36 : 6 = 6	42 : 7 = 6	48 : 8 = 6	54 : 9 = 6
7 : 1 = 7	14 : 2 = 7	21 : 3 = 7	28 : 4 = 7	35 : 5 = 7	42 : 6 = 7	49 : 7 = 7	56 : 8 = 7	63 : 9 = 7
8 : 1 = 8	16 : 2 = 8	24 : 3 = 8	32 : 4 = 8	40 : 5 = 8	48 : 6 = 8	56 : 7 = 8	64 : 8 = 8	72 : 9 = 8
9 : 1 = 9	18 : 2 = 9	27 : 3 = 9	36 : 4 = 9	45 : 5 = 9	54 : 6 = 9	63 : 7 = 9	72 : 8 = 9	81 : 9 = 9

Ejemplo de una división.

Algoritmo de división

Un algoritmo para dividir dos números, por ejemplo 8593 (dividendo) y 23 (divisor), es el siguiente:

Se escribe el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha, contenido en una escuadra abierta hacia la derecha o galera.

Se toma la primera cifra del dividendo (8) y se divide por la primera del divisor (2). En el caso de que la primera cifra del dividendo sea menor que la del divisor se toman dos cifras del dividendo.

Ahora se trata de encontrar el máximo cociente que multiplicado por el divisor sea menor que las dos primeras cifras del dividendo (o tres en el caso señalado).

Puesto que 8:2=4, se multiplica 4x23=92, que excede a 85 (es decir, 92>85), por lo que se toma una unidad inferior, en este caso 3. En efecto, 3x23=69. Este producto se resta de las dos primeras cifras (o tres en el caso señalado), obteniendo 85-69=16.

A este resto se le añade la cifra siguiente del dividendo, 9. Con dicho número, 169, se procede de igual manera que con las primeras cifras, y sucesivamente con todas las cifras del dividendo.

Las dos primeras, en este caso, 1<2. 16:2=8. 8x23=184; 169<184. Por lo que consideramos una unidad menos, 7x23=161, cuyo resto con 169 es 8. Se "baja" ahora la cifra siguiente del dividendo 3, formándose ahora el número 83. 8:2=4; 4x23=92; 83<92. Se toma el 3. 3x23=69; 83-69=14.

Al no haber más cifras del dividendo, este 14 es el resto, que siempre ha de ser menor que el divisor.

El resultado es el siguiente: 8593 dividido por 23 da un cociente de 373 y un resto de 14; donde se ha de verificar que: 373x23+14=8593.

Algoritmo de la división

Hallemos la división de dividendo 948 y divisor 32. La disposición y algoritmo se describen abajo, siendo el resultado: cociente 29, y resto 20.

$948 ,$		$32 ,$
$underline{64} ,$		$29 ,$
$308 ,$
$underline{288} ,$
$20 ,$

Donde la primera cifra del cociente, "2", es el número que multiplicado por el divisor se aproxima más por defecto a las dos primeras cifras, como número, del dividendo; las cifras "30" que se sitúan debajo es el resto, que representa la diferencia entre dicha multiplicación "64" y las dos primeras cifras del dividendo "94"; (si fuera necesario para poder realizar la multiplicación por defecto, se podrían tomar una cifra más del dividendo).

A dichas cifras "30" se le añade la cifra posterior derecha de del dividendo "8", que, tomado como número 308, se constituye en nuevo dividendo al que se le aplica el mismo procedimiento, dando un nuevo cociente como cifra "9" y un resto de 20. El resultado cociente es el número formado por las dos cifras 29.

Comprobación:

29 * 32 + 20 = 948

Esta es una de las maneras por las que se puede verificar si está bien realizada la división.

La división entre otros objetos matemáticos

División de monomios

Para dividir dos monomios se dividen sus coeficientes y se restan los exponentes de la parte literal. Si la división de los coeficientes no es exacta, se suele representar como fracción.

División de un polinomio por un monomio

Se divide cada término del polinomio por el monomio, separando los coeficientes parciales con sus propios signos.

División de polinomios

Regla para la división de dos polinomios:

Se ordenan los polinomios dados con respecto a una letra. Si falta algún término para ordenar el dividendo, se deja el espacio o se pone cero.
Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
Se multiplica este cociente por cada término del divisor y este producto se resta del dividendo.
A la diferencia obtenida se le agrega el siguiente término del dividendo y se repite la operación hasta que se hayan dividido todos los términos del dividendo.

Existen otros algoritmos para dividir polinomios, como el de Horner, el de Ruffini o el teorema del resto. Algunos de estos métodos sólo son aplicables a ciertos tipos de polinomios.

Criterios de divisibilidad

Artículo principal: Divisibilidad

Un número es divisible por 2 si es par (su última cifra es 2, 4, 6, 8 ó 0).
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Un número es divisible por 4 si el número formado por las últimas dos cifras es múltiplo de 4 o termina en doble 0.
Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3.
Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es cero o múltiplo de 7.
Un número es divisible por 8 si el número formado por las últimas tres cifras es múltiplo de 8.
Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Un número es divisible por 10 si termina en 0.
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de las cifras de los lugares pares y la suma de los valores absolutos de los lugares impares, en el sentido posible, es múltiplo de 11.
Un número es divisible por 12 si es divisible por 3 y 4.

Estos criterios sirven en particular para descomponer los enteros en factores primos, lo que se usa en cálculos como el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.

Véase también

División por cero
Wikiquote alberga frases célebres de o sobre División (matemática). Wikiquote

Enlaces externos

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)"

Categorías: Operaciones básicas de la aritmética | Álgebra | Algoritmos de precisión arbitraria

1 comentario

MATEMÁTICAS2: RETROCESOS DE FIBONACCI. Dentro del análisis técnico, los retrocesos de Fibonacci se refieren a la posibilidad de que el precio de un activo financiero retroceda una porción considerable del movimiento original, y encuentre niveles de soporte o resistencia en los niveles establecidos por los números de Fibonacci antes de continuar en la dirección anterior. Estos niveles se construyen dibujando una línea de tendencia entre los puntos extremos del movimiento en cuestión, y aplicando a la distancia vertical los porcentajes clave de 38.2%, 50%, 61.8% y 100%.

petalofucsia - 28 de noviembre de 2010 - 14:51 - Matemáticas2

Retrocesos de Fibonacci

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsqueda

Retrocesos de Fibonacci sobre la tendencia alcista del Euro/Dólar 2000-2005.

Dentro del análisis técnico, los retrocesos de Fibonacci se refieren a la posibilidad de que el precio de un activo financiero retroceda una porción considerable del movimiento original, y encuentre niveles de soporte o resistencia en los niveles establecidos por los números de Fibonacci antes de continuar en la dirección anterior. Estos niveles se construyen dibujando una línea de tendencia entre los puntos extremos del movimiento en cuestión, y aplicando a la distancia vertical los porcentajes clave de 38.2%, 50%, 61.8% y 100%.

Contenido

[ocultar]

[editar] Introducción

El segundo principio del análisis técnico indica que los precios se mueven en tendencias, que pueden ser alcistas o bajistas. Una vez que una tendencia ha dado señales suficientes de terminación, ya sea por el rompimiento de su línea de tendencia, la confirmación de una figura de cambio de tendencia, o cualquier otro factor válido de acuerdo con la teoría de análisis técnico, el analista contempla la posibilidad de un retroceso. Un retroceso representa, en términos simples, un movimiento en dirección contraria a la tendencia previa. Puede tomar la forma de una caída en el precio posterior a una tendencia alcista, o bien un repunte en el precio después de una tendencia a la baja. Aunque al primero podría llamarse retroceso propiamente y al segundo rebote o repunte, técnicamente el término retroceso incluye a ambos.

[editar] Magnitud de los retrocesos

Ante la confirmación de un retroceso en la cotización, se buscará calcular la probable magnitud del movimiento. Para lograrlo, se aplican ciertos porcentajes obtenidos de la serie de Fibonacci a la magnitud total de la tendencia previa. Los porcentajes utilizados son los siguientes:

61.8%: Conocido también como la proporción áurea, o número áureo, es el límite del cociente que se obtiene de la división de un elemento de la serie de Fibonacci entre el siguiente, conforme la serie tiende a infinito.
50.0%: Es el retroceso más comúnmente aceptado, equivalente a la mitad del avance de la tendencia principal
38.2%: Se obtiene de restar 61.8% de la unidad (1.000 – 0.618 = 0.382)
100.%: Equivalente a la magnitud total de la tendencia principal.

[editar] Retroceso sobre una tendencia alcista

Para calcular la magnitud del retroceso, se toman los siguientes niveles de la tendencia previa al retroceso, correspondientes a los extremos del movimiento:

(A) Cotización Mínima durante la tendencia previa(B) Cotización máxima durante la tendencia previa

Posteriormente, se obtiene el valor numérico de la diferencia (B) – (A). Para calcular los probables niveles de retroceso, se aplican las siguientes fórmulas:

R1 = (B) – (0.382 X ((B)-(A))) Denominado “primer retroceso (ó 38.2% de retroceso) de (A) a (B)”
R2 = (B) – (0.500 X ((B) –(A))) Denominado “segundo retroceso (ó 50% de retroceso) de (A) a (B)”
R3 = (B) – (0.618 X ((B) – (A))) Denominado “tercer retroceso (ó 61.8% de retroceso) de (A) a (B)”
R4 = (B) – (1.000 X ((B) – (A))) Denominado “retroceso total (ó 100% de retroceso) de (A) a (B)”

Estos niveles se dibujan en la gráfica como líneas horizontales, asumiendo que podrán actuar como niveles de soporte para el movimiento de retroceso.

[editar] Retroceso sobre una tendencia bajista

El cálculo es equivalente al anterior, teniendo en cuenta que en este caso la tendencia previa es bajista, y por lo tanto el retroceso es un movimiento alcista en el precio. Para calcular la magnitud del retroceso, se toman los siguientes niveles de la tendencia previa al retroceso, correspondientes a los extremos del movimiento:

(A) Cotización Máxima durante la tendencia previa(B) Cotización mínima durante la tendencia previa

Posteriormente, se obtiene el valor numérico de la diferencia (A) – (B), que representa la magnitud de la variación en precio durante la tendencia original. Para calcular los probables niveles de retroceso, se aplican las siguientes fórmulas:

R1 = (B) + (0.382 X ((A)-(B))) Denominado “primer retroceso (ó 38.2% de retroceso) de (A) a (B)”
R2 = (B) + (0.500 X ((A)–(B))) Denominado “segundo retroceso (ó 50% de retroceso) de (A) a (B)”
R3 = (B) + (0.618 X ((A)–(B))) Denominado “tercer retroceso (ó 61.8% de retroceso) de (A) a (B)”
R4 = (B) + (1.000 X ((A)–(B))) Denominado “retroceso total (ó 100% de retroceso) de (A) a (B)”

Estos niveles se dibujan en la gráfica como líneas horizontales, asumiendo que podrán actuar como niveles de resistencia para el impulso alcista.

[editar] Consideraciones

Los porcentajes de retroceso deben ser calculados solamente después de que se ha confirmado el fin de una tendencia, nunca mientras la tendencia continúa vigente.
Tomando en cuenta que las tendencias siempre forman parte de una tendencia de más largo plazo y a su vez están formadas por tendencias de más corto plazo, la pregunta ¿Sobre cual de estas tendencias debo calcular los retrocesos?, puede no tener una respuesta simple. En términos generales, debemos calcular los retrocesos sobre aquella tendencia que haya dado señales claras de terminación.
Se considera que una tendencia débil puede tener un retroceso de 31.8%, mientras que una tendencia muy fuerte puede tener un retroceso de 61.8%, antes de retomar su dirección original.
Algunos libros mencionan una zona crítica de 33 al 38.2%, y de 61.8 a 67%, en lugar de los niveles específicos.
Las críticas más importantes en contra de los de retrocesos de Fibonacci están fundamentadas en la teoría del paseo aleatorio, argumentando que no hay justificación para suponer que la acción del precio tenga razón alguna para respetar niveles predeterminados de retroceso.
Los retrocesos de Fibonacci forman una parte importante de la Teoría de olas de Elliott.

[editar] Véase también

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Retrocesos_de_Fibonacci"

Categoría: Análisis técnico

2 comentarios