Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

El número áureo o de oro (también llamado número plateado, razón extrema y media,^[1] razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:^[2]

También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),^[3] por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi (Φ,φ) es más común.

Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

[editar] Definición

Números γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binario	1,1001111000110111011...
Decimal	1,6180339887498948482...
Hexadecimal	1,9E3779B97F4A7C15F39...
Fracción continua
Algebraico

Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

Para obtener el valor de a partir de esta razón considere lo siguiente:

Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:

Multiplicando ambos lados por x y reordenando:

Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación son

La solución positiva es el valor del número áureo.

[editar] Historia del número áureo

Existen varios textos que sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fue usado conscientemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas. También es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además para que se pueda considerar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio y Álvaro Valarezo concluyen que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.^[4]

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera:

Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir es irracional.

Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido que el historiador griego Proclo escribió:

Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave a la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.

A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito. Para Platón cada uno de los sólidos correspondía a una de las partículas que conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el dodecaedro.

En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Proporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo:

1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo, y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.
4. La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.

En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales). Ohm escribe en una nota al pie:

A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.

En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ del griego τομή que significa corte o sección. Sin embargo, la moderna denominación Φ ó φ, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Live, de Sir Theodore Cook.

[editar] El número áureo en las Matemáticas

[editar] Fórmula de la relación Áurea

Para conseguir un número cuya relación con otro sea φ se puede utilizar esta fórmula:

Siendo siempre a>b, a>0 y b>0

Si por ejemplo, queremos un valor áureo para 2 siendo éste el segmento menor, o sea b, resulta que:

Ordenando:

Con la fórmula Cuadrática:

[editar] Propiedades y representaciones

[editar] Ángulo de oro

[editar] Propiedades algebraicas

• Φ es el único número real positivo tal que:

La expresión anterior es fácil de comprobar:

• Φ posee además las siguientes propiedades:

• Las potencias del número áureo pueden ser escritas en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, estableciendo una verdadera sucesión recurrente de potencias.

El caso más simple es: Φⁿ = Φ^{n − 1} + Φ^{n − 2}, cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.

Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma a₁u_{n + k − 1} + a₂u_{n + k − 2} + ... + a_ku_n, donde a_i es cualquier número real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es k = 2, a₁ = 1 y a₂ = 1.

Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:

Φⁿ = Φ^{n − 2} + 2Φ^{n − 3} + Φ^{n − 4}. Aquí k = 4, a₁ = 0, a₂ = 1, a₃ = 2 y a₄ = 1.

Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:

Φⁿ = Φ^{n − 3} + 3Φ^{n − 4} + 3Φ^{n − 5} + Φ^{n − 6}

En general:

.

En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8, ..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de Φ, hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de Φ corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.

Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay un parentesco.

• El número áureo es la unidad fundamental «ε» del cuerpo y la sección áurea es su inversa, «». En esta extensión el «emblemático» número irracional cumple las siguientes igualdades:

.

[editar] Representación mediante fracciones continuas

La expresión mediante fracciones continuas es:

Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado de aproximabilidad mediante racionales posible.^[5]

Por ello se dice que φ es el número más alejado de lo reacional o el número más irracional. Este es el motivo por el cual aparece en el teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser.

[editar] Representación mediante ecuaciones algebraicas

El número áureo y la sección áurea son soluciones de las siguientes ecuaciones:

[editar] Representación trigonométrica

Éstas corresponden al hecho de que el diámetro de un pentágono regular (distancia entre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el pentagrama.

En 1994 se derivaron las siguientes ecuaciones relacionando al número áureo con el número de la Bestia:

Lo que puede combinarse en la expresión:

Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan los grados sexagesimales como unidad angular, ya que las ecuaciones no se mantienen para unidades diferentes.

[editar] Representación mediante raíces anidadas

Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917.

El teorema general dice:

La expresión (donde a_i = a), es igual a la mayor de las raíces de la ecuación x² - x - a = 0; o sea,

[editar] Relación con la serie de Fibonacci

Si se denota el enésimo número de Fibonacci como F_n, y al siguiente número de Fibonacci, como F_{n + 1}, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo:  ;  ; y , lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:

Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, sin embargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson.

Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Por ejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios, como pudieran ser 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3 - 7 - 10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301 ... Los cocientes de términos sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercan asintóticamente por exceso y por defecto al mismo límite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 = 1,613636...; 301/186 = 1,6182795... ^[6]

A mediados del siglo XIX el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:

[editar] El número áureo en la geometría

El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, pentágonos o aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

• Relaciones entre las partes del pentágono.
• Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.
• Relaciones entre las partes del decágono.
• Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.

[editar] El rectángulo áureo de Euclides

Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.

El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides en su proposición 2.11 de Los elementos obtiene su construcción.>

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto

resultando evidente que

de donde, finalmente

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este último es asimismo un rectángulo áureo.

[editar] En el pentagrama

Pentagrama que ilustra algunas de las razones áureas: los segmentos rojo y azul, azul y verde, verde y morado.

El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, interseca a otro segmento en una razón áurea.

El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen como los triángulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.

[editar] El teorema de Ptolomeo y el pentágono

Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentágono regular.

Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema un cuadrilátero es formado al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que b² = a² + ab lo que implica:

[editar] Relación con los sólidos platónicos

El número áureo está relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo. Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2, pueden darse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos: (0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)

Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1, también se pueden dar en términos similares: (±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)

Las 12 esquinas de los rectángulos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro.

Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se pueden expresar también en términos del número áureo:

Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinas de los rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro:

El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.

[editar] El número áureo en la Naturaleza

Existen desacuerdos sobre la neutralidad en el punto de vista de la versión actual de este artículo o sección. En la página de discusión puedes consultar el debate al respecto.

Concha de nautilus en espiral logarítmica.

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o los números de Fibonacci:

• Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la aparición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático . El cociente de dos términos sucesivos de la Sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.^[7]

• La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
• La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
• La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci.
• La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
• La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
• La distancia entre las espirales de una Piña.

• La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.^{[8] [9]} Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente.^[10]
• Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999..." En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º 30' 28" en el mejor de los casos. Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empíricamente por Church y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. En la práctica no puede medirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea, con una pequeña desviación respecto al valor teórico.
• En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión tiende al número áureo.
• Existen cristales de Pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentágonos irregulares. Sin embargo, las proporciones de dicho poliedro irregular no involucran el número áureo.
• El número áureo en el cine:

El número Fi aparece en la película de Disney "Donald en el país de las Matemágicas"

[editar] El número áureo en el ser humano

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• La Anatomía de los humanos se basa en una relación Φ estadística y aproximada, así vemos que:
  • La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
  • La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
  • La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
  • La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ.
  • La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz
  • Es Φ la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar
  • Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene Φ, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).

[editar] El número áureo en el Arte

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Hombre de VitruvioLeonardo da Vinci

• Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo , donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice (inexistente en la actualidad) y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), se apoya en la interpretación de un pasaje de Heródoto (Historiae, libro II, cap. 124) y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de interés geométrico.^[11] No obstante, con base en mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades.

• La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Teeteto de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados "estáticos" y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o reducibles a ellas, "dinámicos". El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5.^[12] Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del Partenón en un rectángulo de módulo . Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales. Este rectángulo es descompuesto en seis de módulo y cuatro cuadrados.^[13] Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores, en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.^[14]

• En el cuadro Leda atómica de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka.

• En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
• El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros.
• Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.
• En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).
• En la pág. 56 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones de este número fi (1,618) en la naturaleza.
• En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del nautilus.

• Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión.
• En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos el personaje central, Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola incorrectamente como Theta (θ) en vez de Phi (Φ).

[editar] El número áureo en el misticismo

En la cruz latina, símbolo del catolicismo, la relación entre el palo vertical y el horizontal es el número áureo. Así mismo, el palo horizontal divide al vertical en secciones áureas. ^{[cita requerida]}

[editar] Véase también

• Número π
• Espiral logarítmica
• Estrella mágica
• Sucesión de Fibonacci
• Composición áurea
• Pitágoras
• Luca Pacioli
• Matila Ghyka
• Roger Penrose
• Decágono regular

[editar] Referencias

[editar] Bibliografía

En orden cronológico:

• Jarolimek (Viena, 1890). Der Mathematischen Schlüssel zu der Pyramide des Cheops. 

• Kleppisch, K. (1921). Die Cheops-Pyramide: Ein Denkmal Mathematischer Erkenntnis. Múnich: Oldenburg. 

• Cook, Theodore Andrea (1979; obra original: 1914). The Curves of Live. Nueva York: Dover. ISBN 0-486-23701-X; ISBN 978-0-486-23701-5. 

• Pacioli, Luca (1991). La Divina Proporción. Tres Cantos: Ediciones Akal, S. A.. ISBN 978-84-7600-787-7. 

• Ghyka, Matila (1992). El Número de Oro. Barcelona: Poseidón, S.L.. ISBN 978-84-85083-11-4. 

• Ghyka, Matila (2006). El Número de Oro. I Los ritmos. II Los Ritos. Madrid: Ediciones Apóstrofe, S. L.. ISBN 978-84-455-0275-4. 

• Corbalán, Fernando (2010). La proporción áurea. RBA Coleccionables S. A.. ISBN 978-84-473-6623-1. 

[editar] Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número áureo. Commons
• Astronomy.swin.edu.au (Fi, la sección áurea).
• ChampionTrees.org (Fi: la proporción divina).
• GoldenRatio.com.ar (propiedades interesantes del número áureo y aplicación en la biología).
• MCS.Surrey.ac.uk (La sección áurea: fi).
• MathWorld.Wolfram.com/GoldenRatio.html (la sección áurea).
• Rt000z8y.EresMas.net (una buena página que explica Φ detalladamente]
• Rt000z8y.EresMas.net (más ejemplos de Φ en la vida).
• Castor.es (El número Fi en la arquitectura, pintura, animales, plantas etc.)
• Gráficas de sucesiones áureas en MATLAB
• Gráficas de sucesiones áureas en MATLAB II
• El número de Oro - La Razón Aurea
• http://www.palermo.edu/ingenieria/downloads/Investigacion/ElNumeroyloSagrado1P.pdf

 Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo"

Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta f₁₀

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.

A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

[editar] Historia

La sucesión de Fibonacci en términos de conejos.

Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Pingala (200 a.c.), Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era f_{n + 1}, que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.^[1]

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".^[2]

Dicho de otra forma, sirve para conocer el número de conejos (parejas de conejos) que habrá en 12 meses, si estos se reproducen continuamente y cada pareja de conejos produce una nueva pareja de conejos (un macho y una hembra). Cada conejo se puede cruzar a la edad de un mes, siendo su periodo de gestación un mes. Siendo así, se tiene que:

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.^[3]

También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos f_{n + 1} / f_n se acerca a la relación áurea fi () cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

[editar] Definición formal

Chimenea con la secuencia de Fibonacci

Los números de Fibonacci quedan definidos por las ecuaciones

(1)

(2)

(3) para

Esto produce los números

y así sucesivamente de manera infinita.

[editar] Representaciones alternativas

Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.

[editar] Función generadora

Una función generadora para una sucesión cualquiera es la función , es decir, una serie de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora

(4)

Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

[editar] Fórmula explícita

La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

con las condiciones iniciales

El polinomio característico de esta relación de recurrencia es t² − t − 1 = 0, y sus raíces son

De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes b y d satisfacen la ecuación anterior cuando n = 0 y n = 1, es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como

(5)

Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo

de manera que la ecuación (5) se reduce a

(6)

Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional . De hecho, la relación con este número es estrecha.

[editar] Forma matricial

Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones

Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como

Conociendo a f₀ = 0 y f₁ = 1, al aplicar la fórmula anterior n veces se obtiene

(7)

Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar la matriz, facilitando así la operación de potenciación, y obteniendo por tanto la fórmula explícita para la sucesión que se especificó arriba.

y más aún

(8)

Estas igualdades pueden probarse mediante inducción matemática.

[editar] Propiedades de la sucesión

Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo (véase Número áureo).

Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud n que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly^[4] dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:

• La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:

• Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, 17 = 13 + 3 + 1, 65 = 55 + 8 + 2.
• Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo m, para cualquier m.
• La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet). Si y , entonces

• Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir

• Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces éste número menos el número 2 posiciones más atrás:f_{n + 1} = f_n * 2 − f_{n − 2}
• La suma de los n primeros números es igual al número que ocupa la posición n + 2 menos uno. Es decir

• Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:

Phi forma parte de una expresión de la sucesión de Fibonacci.

• El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci. Más específicamente

• Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo de Pascal. Es decir que para cualquier ,

• Si f_p = a, tal que a es un número primo, entonces p también es un número primo, con una única excepción, f₄ = 3; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.
• La suma infinita de los términos de la sucesión es exactamente .
• La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie.
• El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada números.

[editar] Generalización

Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.

El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada elemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido la sucesión puede expandirse al conjunto de los números enteros como de manera que la suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato siguiente. Para poder definir los índices negativos de la sucesión, se despeja de la ecuación (3) de donde se obtiene

De esta manera, si n es impar y si n es par.

La sucesión se puede expandir al campo de los números reales tomando la parte real de la fórmula explícita (ecuación (6)) cuando n es cualquier número real. La función resultante

tiene las mismas características que la sucesión de Fibonacci:

• 
• 
• para cualquier número real x

Una sucesión de Fibonacci generalizada es una sucesión donde

(9) para

Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no necesariamente comienza en 0 y 1.

Una característica notable es que, si es una sucesión de Fibonacci generalizada, entonces

Por ejemplo, la ecuación (7) puede generalizarse a

Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada se puede efectuar usando números de Fibonacci.

[editar] Sucesión de Lucas

Gráfica de la sucesión de Lucas extendida al campo de los números reales.

Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es la sucesión de Lucas, descrita por las ecuaciones

• 
• 
• para

La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:

• La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir

• La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es

• La suma de los primeros n números de Lucas es el número que se encuentra en la posición n + 2 menos uno. Es decir

• Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad

• Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad

[editar] Algoritmos de cálculo

Calculando f₇ usando el algoritmo 1.

Para calcular el n-ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen varios algoritmos (métodos). La definición misma puede emplearse como uno, aquí expresado en pseudocódigo:

Algoritmo 1 Versión recursiva (Complejidad )

función si entonces devuelve si no devuelve

Usando técnicas de análisis de algoritmos es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo 1 requiere efectuar f_{n + 1} − 1 sumas para poder encontrar el resultado. Dado que la sucesión f_n crece tan rápido como , entonces el algoritmo está en el orden de . Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcular f₅₀ este algoritmo requiere efectuar 20365011073 sumas.

Para evitar hacer tantas cuentas, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (6), sin embargo, dado que es un número irracional, la única manera de utilizar esta fórmula es utilizando una aproximación de y obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero incorrecto. Por ejemplo, si se usa una calculadora de 10 dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como resultado aun cuando el resultado correcto es f₅₀ = 12586269025. Este error se hace cada vez más grande conforme crece n.

Un método más práctico evitaría calcular las mismas sumas más de una vez. Considerando un par de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión es , de esta manera se divisa un algoritmo donde sólo se requiere considerar dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso. Este método es el que usaríamos normalmente para hacer el cálculo a lápiz y papel. El algoritmo se expresa en pseudocódigo como:

Algoritmo 2 Versión iterativa (Complejidad )

función para desde hasta hacer devuelve

Esta versión requiere efectuar sólo n sumas para calcular f_n, lo cual significa que este método es considerablemente más rápido que el algoritmo 1. Por ejemplo, el algoritmo 2 sólo se requiere efectuar 50 sumas para calcular f₅₀.

Calculando f₁₀₀ usando el algoritmo 3.

Un algoritmo todavía más rápido se sigue partiendo de la ecuación (8). Utilizando leyes de exponentes es posible calcular xⁿ como

De esta manera se divisa el algoritmo de tipo Divide y Vencerás donde sólo se requeriría hacer, aproximadamente, log₂(n) multiplicaciones matriciales. Sin embargo, no es necesario almacenar los cuatro valores de cada matriz dado que cada una tiene la forma

De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores a y b, y su cuadrado se puede calcular como

Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:

Algoritmo 3 Versión Divide y Vencerás (Complejidad )

función si entonces devuelve mientras hacer si es impar entonces devuelve

A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular f₁₀₀, en vez de hacer las 573147844013817084100 sumas del algoritmo 1 o las 100 sumas con el algoritmo 2, el cálculo se reduce a tan sólo 9 multiplicaciones matriciales.

[editar] La sucesión de Fibonacci en la cultura popular

Sucesión de Fibonacci in art, Martina Schettina 2008, 40 x 40 cm

• En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo del Louvre, Jacques Saunière.
• En el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, los patrones de la batería (Danny Carey) de la canción "Lateralus" siguen la Sucesión de Fibonacci del número 13 (número de pistas del disco): 1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,...
• En la miniserie Taken, la Sucesión de Fibonacci, como la Ecuación de Dios, es descubierta en los planes de los extraterrestres, en ejemplos como que sus naves tienen 5 tripulantes, sus manos 3 dedos y un pulgar, 1597 avistamientos ovnis en año anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir la híbrida humano-extraterrestre Allie, y que finalmente el número de abducidos era de 46368. Incidentalmente se habla en de un hombre que fue abducido 13 veces. 1, 3, 5, 13, 55, 1597, 46368, todos números Fibonacci.
• En el filme de Darren Aronofsky π el orden del caos el judío Rabbi Cohen presenta la teoría en hebreo transcrito en números en la cual el personaje Max Cohen relaciona esta última teoría con la secuencia de Fibonacci llegando en conclusión que todo esta basado en la ley del orden y el caos.
• En un lateral de la cúpula de la antigua sinagoga ahora convertida en el Museo Nazionale del Cinema, más conocida como Mole Antonelliana, en Torino (Italia), se puede observar una instalación luminosa de la sucesión de números de Fibonacci.
• El Dr. Walter Bishop de la serie de televisión Fringe usa números de la serie de Fibonacci para las contraseñas de sus cajas de seguridad.
• En el videojuego de Assasins Creed 2, en uno de los acertijos de los glifos para resolverlo se debe usar la suceción de Fibonaccci para poder resolverlo

[editar] La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de fibonacci: El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente.

El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza, pues el planeta que sigue en el Sistema Solar (Júpiter) tiene más de 60 satélites conocidos. Sin embargo, sólo 4 de ellos son observables fácilmente (Io, Europa, Ganímedes y Calisto), dado que los otros son marcadamente más pequeños. Así, podemos extender hasta el número 5 la presencia de la serie de Fibonacci en nuestro Sistema Solar.

En el cuerpo humano podemos decir que la cabeza es 1, el cuello, 1, los brazos (2), brazo, antebrazo y mano (3), luego los cinco dedos (5), es decir, la sucesión de Fibonacci hasta el 5.

Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

[editar] Véase también

• Número áureo
• Sucesión matemática
• Sistema-L
• Espiral logarítmica
• Arte Póvera
• Montículo de Fibonacci

[editar] Referencias

[editar] Bibiliografía

• Kolman, Bernard; Hill, David R. (2006). Álgebra Lineal. México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0696-9. 
• Johnsonbaugh, Richard (2005). Matemáticas Discretas. México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0637-3. 
• Brassard, G; Bratley, P. (1997). Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRETINCE HALL. ISBN 84-89660-00-X. 
• Kenneth, H. Rosen (2003). Discrete mathematics and its applications. McGraw Hill. ISBN 0-07-123374-1. 
• Kenneth H. Rosen; John G. Michaels (1999). Handbook of discrete and combinatorial mathematics. CRC. ISBN 0-8493-0149-1. 
• N. N. Vorobiov (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega, catedrático de Matemáticas Superiores y candidato a doctor en ciencias físico-matemáticas. 
• A. I. Markushevich (1974; 1981). Sucesiones recurrentes. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega. 
• Luca Pacioli (1946). La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires. 

[editar] Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre números de Fibonacci. Commons
• Fibonacci's Liber Abaci en libros de Google
• Sucesión de Fibonacci en Mathworld explicación muy detallada, en inglés.
• Diagrama de flujo de la serie o sucesión de Fibonacci
• Información en www.formación.cnice.mec.es
• Implementación en Pascal
• Implementación en Lexico

Una secuencia es una concatenación de símbolos obtenidos a partir de una sucesión. Son semejantes a las sucesiones y se pueden derivar fácilmente de éstas.

[editar] Definición

Sea un alfabeto A = {a₀,a₁,...a_k}. Una secuencia de longitud l es una cadena de símbolos de A dada por

donde

[editar] Ejemplos

Como se indicaba antes, la forma más sencilla de derivar secuencias es a partir de sucesiones. Por ejemplo, basándonos en la sucesión de Fibonacci es relativamente sencillo definir una secuencia para el alfabeto A = {0,1} según el siguiente método:

Que obtendría la siguiente secuencia de dígitos binarios:

Algunas secuencias, como la derivada de la sucesión de Thue-Morse (también definida para un alfabeto binario) han sido estudiadas y aplicadas en diferentes ámbitos tales como el ajedrez, la generación de música fractal por autosimilaridad o la codificación de señales (por ejemplo los códigos Gray).

[editar] Véase también

• Enciclopedia electrónica de secuencias de enteros

En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos.

Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie.

En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas.

Cuando abundan sucesiones de todo tipo se puede cambiar incluso el nombre de sucesión por otro.

Véase secuencia, tupla, colección, familia y conjuntos en matemáticas.

[editar] Definiciones

Las diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva:

[editar] Definición abstracta

Clase de finitos o numerables objetos ordenados.

[editar] Definición conjuntista

Una sucesión en un conjunto X es una enumeración de elementos de X, es decir una aplicación de en X.

[editar] Notación

Notaremos por a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos .

La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.

[editar] Definición de término general

Llamaremos término general de una sucesión a ,donde indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.

[editar] Definición de parcial

Llamaremos parcial de a una sucesión donde

[editar] Ejemplos en distintas áreas

Estos ejemplos pretenden ser una pequeña muestra de la infinidad, propiamente dicha, de usos que tienen dichas sucesiones en matemáticas.

El trabajo interno en el desarrollo de cada tema en cada área obliga a diversificar el modo de nominar y notar las sucesiones, haciéndose frecuente el uso de índices, subíndices y superíndices para salvar la sobrecarga de notación y hacerlas más legibles y estéticas en cuanto a la presentación.

[editar] En

Se puede tener una sucesión tal que

[editar] En el espacio de las sucesiones finitas en

Se puede tener una sucesión tal que

[editar] En K[x]

Un polinómio no es más que una sucesión finita tal que representada como .

[editar] En

Se puede tener una sucesión tal que , donde .

[editar] En un espacio vectorial topológico

Se puede tener una sucesión , donde , donde es una sucesión real arbitraria y B un abierto.

[editar] Sucesiones funcionales

Se puede tener una sucesión de funciones continuas .

[editar] En el lenguaje proposicional

Sea un alfabeto, llamaremos al conjunto de sucesiones finitas de n elementos de A, se define inductivamente por la sucesión de productos cartesianos siguiente:

• así .

[editar] En homología simplicial

El complejo de cadenas simplicial del complejo simplicial K, no es más que una determinada sucesión de grupos abelianos y morfismos

[editar] En el lenguaje de las categorías

Sea una categoría, podemos tener una sucesión , donde .

[editar] Sucesiones numéricas

Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los naturales en los reales, es decir :

que escribiremos simplemente como o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también vale .

El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales, así, si la imagen de fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo , podemos llamarla sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ... .

[editar] Notas y ejemplos básicos

Para definir término a término la sucesión, se indica para cada termino el valor que le corresponde directamente:

• El primero es a por ejemplo 3,

• el segundo es a por ejemplo -10,

• el tercero es a por ejemplo 9, y así sucesivamente.

• Para indicar, si hace falta, el comportamiento del resto de los valores, se usa el término general y se escribe acompañado como a por ejemplo número al azar, ... .

Materialmente seria: 3, -10, 9, 7, ... , número al azar, ... .

[editar] Sucesión finita

Diremos que una sucesión es finita si determinamos su último termino, por ejemplo el n-ésimo:

[editar] Sucesión constante

Diremos que una sucesión es constante si todos los términos valen , un número real cualquiera, ejemplo:

[editar] Sucesión creciente

Si imponemos al termino general, de una sucesión numérica, la condición que , es decir, que el siguiente término, , siempre sea mayor estricto que su predecesor, , se llaman sucesiones estrictamente crecientes:

Si imponemos , es decir, una desigualdad no estricta, entonces se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.

[editar] Sucesión decreciente

Al igual que las crecientes tenemos, según el termino general, que:

• si entonces la sucesión es decreciente,

• si es estrictamente decreciente.

[editar] Sucesión alternada

Intuitivamente se llama sucesión alternada cuando alterna valores de signo opuesto, como a_n = ( − 1)ⁿ que nos genera la sucesión: 1, -1, 1, -1, 1, -1, ... . Utilizado por las series llamadas series alternas.

[editar] Según el término general

El termino general de la sucesión queda definido de forma explícita si su valor está en función del valor del subíndice, es decir, si donde es una función cualquiera como por ejemplos:

Dada una función , llamaremos extensión en los reales de a una función cuyos valores coinciden en el dominio de , es decir, .

• Error fatal es nombrar a la extensión en los reales con el mismo nombre ¡!, pues, se trata de una asociación totalmente arbitraria y no univoca que trae confusión y no tiene sentido para algunas funciones definidas a trozos. Compruébese que solo si la sucesión que determinan sobre los enteros es la misma, pero ¡no son la misma función!, llamemos a la extendida por ejemplo o si es un polinomio, o o si son funciones trigonométricas, agregando subíndices si hace falta.

La función f puede adquirir propiedades de la extendida P, si existe P con dichas propiedades, como límites al infinito, monotonía, acotaciones... .

Casos en los que f no puede extenderse sobre los reales:

• si definimos u_n como el número de factores propios de n.

• funciones aritméticas, como la función fi de Euler o la Función de Möbius µ.

El término general de la sucesión queda definido de forma implícita si su valor depende de sus predecesores, esto se indica en general del modo siguiente:

[editar] Ejemplos

• Sucesiones aritméticas.

• Sucesiones geométricas.

• Sucesiones aritmeticogeométricas

[editar] Véase también

• Número de Perrin
• Secuencia de Padovan
• Sucesión de Cauchy
• Sucesión de Farey
• Sucesión de Fibonacci
• Sucesión de Goodstein
• Sucesión de Thue-Morse
• Sucesión exacta
• Ecuaciones en diferencias
• Transformada Z
• Serie matemática

[editar] Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Sucesión matemática.Commons

• Calculo de la fórmula de una Sucesión

El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en castellano bajo la licencia GFDL.

Ilustración del Teorema de los cuatro colores.

La Topología es el estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.^[1] Es una disciplina matemática que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La Topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, etcétera.

Los matemáticos usan la palabra topología con dos sentidos: informalmente es el sentido arriba especificado, y de manera formal se refieren a una cierta familia de subconjuntos de un conjunto dado, familia que cumple unas reglas sobre la unión y la intersección. Este segundo sentido puede verse desarrollado en el artículo espacio topológico.

[editar] Idea intuitiva

Particularmente se presenta la Topología como la "Geometría de la página de chicle". Esto hace referencia a que en la Geometría euclídea dos objetos serán equivalentes mientras podamos transformar uno en otro mediante isometrías (rotaciones, traslaciones, reflexiones, etc), es decir, mediante transformaciones que conservan las medidas de ángulo, longitud, área, volumen y otras. En Topología, dos objetos son equivalentes en un sentido mucho más amplio. Han de tener el mismo número de trozos, de huecos, de intersecciones, etc. En topología está permitido doblar, estirar, encoger, retorcer, etc., los objetos pero siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba unido, ni pegar lo que estaba separado. Por ejemplo, un triángulo es topológicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento, ya que habría que partirla por algún punto.
Ésta es la razón de que se la llame la "Geometría de la página de goma", porque es como si estuviéramos estudiando Geometría sobre un papel de goma que pudiera contraerse, estirarse, etc.

Una taza transformándose en una rosquilla (toro).

Un chiste habitual entre los topólogos (los matemáticos que se dedican a la topología) es que «un topólogo es una persona incapaz de distinguir una taza de una rosquilla». Pero esta visión, aunque muy intuitiva e ingeniosa, es sesgada y parcial. Por un lado puede llevar a pensar que la Topología trata sólo de objetos y conceptos geométricos (siendo más bien al contrario, es la Geometría la que trata con un cierto tipo de objetos topológicos). Por otro lado, en muchos casos es imposible dar una imagen o interpretación intuitiva de problemas topológicos, o incluso de algunos conceptos. El intentar visualizar los conceptos es un error frecuente entre los principiantes en la Topología, que les hace avanzar muy lentamente cuando no pueden encontrar un ejemplo gráfico, tener una visión parcial de algunos conceptos, e incluso incurrir en errores. Es frecuente entre los estudiantes primerizos escuchar que "no entienden la Topología" y que no les gusta esa rama, y generalmente se debe a que se mantienen en esta actitud gráfica. Por último, la Topología se nutre también en buena medida de conceptos cuya inspiración se encuentra en el Análisis matemático. Se puede decir que casi la totalidad de los conceptos e ideas de esta rama son conceptos e ideas topológicos.

[editar] Un ejemplo clarificador

Plano del metro de Madrid.

Observemos un antiguo plano del metro de Madrid. En él están representadas las estaciones y las líneas de metro que las unen, pero no es geométricamente exacto. La curvatura de las líneas de metro no coincide, ni su longitud a escala, ni la posición relativa de las estaciones... Pero aun así es un plano perfectamente útil. Sin embargo, este plano es exacto en cierto sentido; representa fielmente cierto tipo de información, la única que necesitamos para decidir nuestro camino por la red de metro: información topológica.

[editar] Historia de la Topología

Históricamente, las primeras ideas topológicas conciernen al concepto de límite y al de completitud de un espacio métrico, y se manifestaron principalmente en la crisis de los inconmesurables de los pitagóricos, ante la aparición de números reales no racionales. El primer acercamiento concreto al concepto de límite y también al de integral aparece en el método de exhaución de Arquímedes. La aparición del Análisis Matemático en el siglo XVII puso en evidencia la necesidad de formalizar el concepto de proximidad y continuidad, y la incapacidad de la Geometría para tratar este tema. Fue precisamente la fundamentación del Cálculo Infinitesimal, así como los intentos de formalizar el concepto de variedad en Geometría lo que llevó a la aparición de la Topología, a finales del siglo XIX y principios del XX.

Se suele fechar el origen de la Topología con la resolución por parte de Euler del problema de los puentes de Königsberg, en 1735. Ciertamente, la resolución de Euler del problema utiliza una forma de pensar totalmente topológica, y la solución del problema nos lleva a la característica de Euler, el primer invariante de la Topología Algebraica, pero sería muy arriesgado y arbitrario fechar en ese momento la aparición de la Topología. La situación es exactamente análoga a la del cálculo del área de la elipse por Arquímedes.

El término topología fue usado por primera vez por J. B. Listing, en 1836 en una carta a su antiguo profesor de la escuela primaria, Müller, y posteriormente en su libro Vorstudien zur Topologie (Estudios previos a la topología), publicado en 1847. Anteriormente se la denominaba analysis situs. Maurice Fréchet introdujo el concepto de espacio métrico en 1906.

[editar] Algo de desarrollo formal

En el artículo Glosario de topología se encuentra una colección de términos topológicos con su significado. Aquí y ahora nos limitaremos a dar algunas nociones básicas.

Como hemos dicho, el concepto fundamental de la Topología es la "relación de proximidad", que puede parecer ambigua y subjetiva. El gran logro de la Topología es dar una formulación precisa, objetiva y útil de este concepto. Para ello tomamos un conjunto de referencia X, que será el ambiente en el que nos moveremos, y al que llamaremos espacio. Tomaremos un elemento cualquiera x de X. A los elementos del espacio se les llama puntos, así que x será llamado punto, independientemente de que x sea una función, un vector, un conjunto, un ideal maximal en un anillo conmutativo y unitario... Un subconjunto V de X será un entorno de x si x es elemento de V y existe un conjunto abierto G de manera que G esté incluido en V. ¿Qué entenderemos por conjunto abierto? Aquí está el quid de la cuestión: una colección T de subconjuntos de X se dirá que es una topología sobre X si X es uno de los elementos de esa colección, si es un elemento de la colección, si la unión de elementos de la colección da como resultado un elemento de la colección y si la intersección finita de elementos de la colección también es un elemento de la colección. A los elementos de la colección T se les denomina abiertos de la topología T, y al par (X,T) se le denomina espacio topológico.

Las condiciones para que T sea topología sobre X son entonces estas:

Puede parecer extraño que de una definición tan altamente formal y conjuntista se obtenga una formulación precisa del concepto de proximidad. Lo primero que se observa es que sobre un mismo espacio X se pueden definir distintas topologías, generando entonces distintos espacios topológicos. Por otra parte, precisamente la manera en que quede determinada una topología sobre un conjunto (es decir, la elección del criterio que nos permita decidir si un conjunto dado es o no abierto) es lo que va a dar carácter "visualizable" o no a ese espacio topológico.

Una de las maneras más sencillas de determinar una topología es mediante una distancia o métrica, método que sólo es aplicable en algunos casos (si bien es cierto que muchos de los casos más intersantes de topologías en la Geometría y del Análisis Matemático pueden determinarse mediante alguna distancia). Una distancia sobre un conjunto X es una aplicación que verifica las siguientes propiedades:

cualesquiera que sean .

Si tenemos definida una distancia sobre X, diremos que la pareja

es un espacio métrico. Dado un espacio métrico (X,d), queda determinada una topología sobre X en la que los conjuntos abiertos son los subconjuntos G de X tales que cualquiera que sea el punto x de G existe un número ε > 0 de tal manera que el conjunto está totalmente incluido en G. Al conjunto se le denomina bola abierta de centro x y radio ε, y será precisamente un entorno del punto x.

Como se ha apuntado antes, por desgracia no toda topología proviene de una distancia, es decir, existen espacios topológicos que no son espacios métricos. Cuando un espacio topológico es además espacio métrico (esto es, cuando dada una topología sobre un conjunto, puede definirse en ese conjunto una distancia de manera que la topología generada por la distancia coincida con la topología dada) se dice que el espacio topológico es metrizable. Un problema clásico en Topología es el de determinar qué condiciones debe satisfacer un espacio topológico para que sea metrizable.

[editar] Ramas de la Topología

Se suelen considerar principalmente tres ramas:

• la Topología General o Conjuntista,
• la Topología Algebraica y
• la Topología Diferencial.

Además de estas tres ramas, que podríamos decir propiamente topológicas, la implicación en mayor o menor medida en otras disciplinas matemáticas hacen que muchos consideren parte de la Topología al Análisis Funcional, la Teoría de la Medida, la Teoría de Nudos (parte de la Topología de dimensiones baja), la Teoría de Grupos Topológicos, etc. Es fundamental su contribución a la Teoría de Grafos, Análisis Matemático, Ecuaciones Diferenciales, Ecuaciones Funcionales, Variable Compleja, Geometría Diferencial, Geometría Algebraica, Álgebra Conmutativa, Estadística, Teoría del Caos, Geometría Fractal... Incluso tiene aplicaciones directas en Biología, Sociología, etc.

[editar] Topología General o Conjuntista

Constituye la base de los estudios en Topología. En ella se desarrollan tópicos como lo que es un espacio topológico o los entornos de un punto.

[editar] Conceptos fundamentales referidos a la topología de un conjunto

[editar] Topología, espacio topológico, abiertos, cerrados, subespacios

Sea X un conjunto cualquiera y P(X) el conjunto de sus partes. Una topología sobre X es un conjunto que cumpla que , , si entonces , y que si entonces . A los elementos de T se les denomina conjuntos abiertos. Al par (X,T) se le denomina espacio topológico. A los elementos de X se les suele denominar puntos.

Nótese que desde un primer momento hemos especificado que el conjunto X es cualquiera, no necesariamente un conjunto de naturaleza geométrica. La denominación de espacio (topológico) y de punto se mantiene aun cuando X sea un conjunto de números, de funciones, de ecuaciones diferenciales, de figuras geométricas, de vectores, de conjuntos...

Como puede observarse, la definición es muy formal y general, y lo primero que se observa es que sobre un mismo conjunto pueden darse multitud de topologías distintas. Así es. Pero de momento, los conceptos de conjunto abierto en o en o cumplen las condiciones exigibles a una topología. Es precisamente el comprobar que otras familias de conjuntos en otros conjuntos de naturaleza no geométrica que comparten estas mismas propiedades (como en el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial, o el conjunto de los ceros de los polinomios con coeficientes en los ideales en un anillo conmutativo, por ejemplo) lo que motiva esta definición. Así podremos aplicar a estos conjuntos las mismas (o parecidas) técnicas topológicas que aplicamos a los abiertos del plano, por ejemplo. La situación es análoga a la que se da en Álgebra Lineal cuando se pasa de trabajar en o a trabajar en espacios vectoriales arbitrarios.

En lo que sigue, (X,T) representará siempre un espacio topológico.

Ligado al concepto de conjunto abierto está el de conjunto cerrado. Un conjunto se dice que es cerrado si su complementario es un conjunto abierto. Es importante observar que un conjunto que no es abierto no necesariamente ha de ser cerrado, y un conjunto que no sea cerrado no necesariamente ha de ser abierto. Así, existen conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez, como , y pueden existir conjuntos que no sean ni abiertos ni cerrados.

Es inmediato comprobar que la intersección de cerrados es un conjunto cerrado, que la unión de una cantidad finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado, y que tanto X como son conjuntos cerrados.

Si , el conjunto es una topología para Z. Se dirá entonces que el espacio (Z,T_Z) es subespacio topológico del (X,T).

La noción de subespacio topológico se presenta de manera natural, y es el concepto análogo al de subgrupo en Teoría de Grupos o al de subespacio vectorial en Álgebra Lineal.

Una propiedad relativa a espacios topológicos se dice que es hereditaria cuando si un espacio la tiene, entonces también la tiene cualquiera de sus subespacios.

[editar] Base de una topología, entornos, bases locales, axiomas de numerabilidad

Una familia se dice que es base (de la topología T) si para cualquiera que sea el existe un conjunto de manera que .

No siempre es cómodo trabajar con una topología. A veces resulta más complicado establecer una topología que una base de topología (como en espacios métricos). En cualquier caso, una base es una manera muy cómoda de establecer una topología. Aún más sencillo es establecer una subbase, que es una familia de conjuntos para la que el conjunto de sus intersecciones finitas forma una base de topología. Uno de los casos más importantes de topología, la de los espacios métricos, viene dado por una base, la del conjunto de bolas abiertas del espacio.

Un espacio topológico se dice que cumple el Segundo Axioma de Numerabilidad (IIAN) si existe alguna base de su topología que tenga cardinalidad numerable.

Sea un conjunto cualquiera y sea un punto arbitrario. Se dice que A es entorno de x si existe un conjunto abierto G de manera que . Todo conjunto abierto es entorno de todos sus puntos. Al conjunto de todos los entornos de un punto x se le denomina sistema de entornos de x.

Obsérvese que no se ha exigido que un entorno sea un conjunto abierto. Los entornos abiertos son un tipo de entornos muy útiles (sobre todo en Geometría y Análisis) y muy usados, tanto que en muchas ocasiones se omite el calificativo abierto. Esto es un abuso de lenguaje y debe evitarse.

Una colección de entornos de un mismo punto x se dice que es una base de entornos (o base local) de x si dado cualquier entorno V de x existe un de manera que .

Se dice que un espacio topológico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad (IAN) si cada punto del espacio tiene alguna base local de cardinal numerable.

[editar] Subconjuntos notables asociados a un conjunto

Ahora podemos establecer una serie de definiciones de gran importancia, pues serán las piezas básicas del estudio de la topología y constituirán la materia prima de los conceptos posteriores.

[editar] Interior, exterior, frontera

Un punto se dirá que es un punto interior de A si A es entorno de x. Así, el conjunto de los puntos interiores a A es un conjunto abierto, denominado Interior de A, denotado por Int (A) o también como . Es el mayor conjunto abierto incluido en A.

Un punto se dirá que es un punto exterior a A si es entorno de y. Así mismo, el conjunto de los puntos exteriores a A es otro conjunto abierto, denominado Exterior de A y denotado por Ext (A).

Un punto se dice que es un punto frontera de A si todo entorno V de z es tal que y . Al conjunto de los punto frontera de A se le denomina Frontera de A y se denota por Fr(A). En otras palabras, todo entorno con centro en z tendrá elementos pertenecientes al conjunto A y otros elementos fuera del conjunto A. La frontera de A es un conjunto cerrado.

[editar] Adherencia, acumulación, puntos aislados

Un punto se dice que es un punto de adherencia de A si todo entorno V de x es tal que . Se hace pues evidente que todo punto interior y todo punto frontera es punto de adherencia. Al conjunto de los puntos de adherencia del conjunto A se le denomina adherencia o clausura de A, y se denota por Cl(A) o por . La clausura de un conjunto A es un conjunto cerrado, y es el menor conjunto cerrado que contiene al conjunto.

Un punto se dice que es un punto de acumulación de A si todo entorno V de x es tal que . Al conjunto de los puntos de acumulación de un conjunto se le denomina acumulación del conjunto, o conjunto derivado, y se le denota por A^d o por A'.

Un punto se dice que es un punto de Ω-acumulación de A si todo entorno V de x es tal que es un conjunto infinito. Al conjunto de los puntos de Ω-acumulación de un conjunto se le denomina Ω-acumulación del conjunto, o conjunto Ω-derivado, y se le denota por o por A'_Ω. Todo punto de Ω-acumulación es punto de acumulación, y todo punto de acumulación es punto de adherencia del mismo conjunto.

Un punto se dice que es un punto aislado de A si existe algún entorno perforado V de x (es decir, un conjunto de manera que es un entorno de x) de manera que . Al conjunto de los puntos aislados de A se le denomina conjunto de los puntos aislados de A, y se le denota por A^a. Todo punto aislado es punto frontera y también es punto de adherencia del mismo conjunto.

En Topología son de una importancia capital los conjuntos interior y clausura de un conjunto. Su importancia radica en ser, respectivamente, el mayor abierto contenido en el conjunto y el menor cerrado que contiene al conjunto. El interior puede obtenerse también como la unión de todos los abiertos contenidos en el conjunto, y la clausura como la intersección de todos los cerrados que contienen al conjunto. Sin tanta importancia en Topología pero de mucha en otras áreas de la Matemática son los conjuntos de acumulación, frontera y de los puntos aislados de un conjunto.

[editar] Conceptos fundamentales referidos a aplicaciones continuas y convergencia

[editar] Convergencia

La idea de la convergencia es la de "aproximar" un objeto por otro, es decir, sustituir un objeto por otro que está próximo a él. Evidentemente, al hacerlo así se está cometiendo un error, error que en general dependerá de lo próximo que se encuentre el objeto sustituido del objeto sustituto. Para hacer esta sustitución de una manera sistemática, de forma que el error pueda ser elegido arbitrariamente pequeño, aparecen distintos tipos de conjuntos. Se obtiene así un proceso de sucesivas aproximaciones que, si todo va bien, terminarían llevándonos al objeto, aunque fuese después de un número infinito de aproximaciones. El más sencillo de estos conjuntos es una sucesión, es decir, una colección infinita (numerable) y ordenada de objetos, aunque con el mismo carácter de orden hay otros conjuntos que reflejan mejor el concepto de convergencia.

Es importante observar que la Topología no trabaja con errores ni con aproximaciones. Eso entra en el ámbito del Análisis Numérico e incluso del Análisis Matemático. La Topología lo que hace en este problema es aportar las herramientas básicas y los conceptos teóricos para afrontar correctamente el problema, siempre desde un punto de vista conceptual y cualitativo. Estudia qué es lo que debe entenderse cuando decimos que un conjunto (como puede ser una sucesión) se acerca a un objeto (que puede ser un punto, un conjunto, etcétera).

[editar] Convergencia de sucesiones

Una sucesión es una aplicación en un conjunto cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. En particular, una sucesión en un espacio topológico es una aplicación .

Una sucesión es el caso más sencillo de aplicación de dominio infinito.

Se dice que es un punto límite de la sucesión , o bien que converge al punto , si se cumple que, cualquiera que sea el entorno de existe un número natural n₀ de tal manera que si n es otro número natural mayor o igual que n₀ (o sea, ) entonces se cumple que .

Hay que hacer dos observaciones sobre esto:

• En primer lugar, puede darse el caso de que la sucesión no tenga puntos límites, o incluso que tenga más de un punto límite. Al conjunto de puntos límites de una sucesión se le denomina límite de (y se le denota por , o también por ).
• En segundo lugar, la interpretación de este concepto es la siguiente: tan cerca como queramos de un punto límite podemos encontrar a todos los puntos de la sucesión, excepto a lo más a una cantidad finita de ellos (que podrá o no ser muy grande, pero no deja de ser finita).

Un punto es punto de aglomeración de la sucesión si cualquiera que sea el entorno V de x se cumple que el conjunto es infinito. Todo punto límite es punto de aglomeración, pero el recíproco no es cierto. Por ejemplo, los límites de oscilación de una sucesión no convergente de números reales (como por ejemplo la sucesión ) son puntos de aglomeración, pero no son puntos límites (no existe límite para dicha sucesión, mientras que 1 y -1 son puntos de acumulación).

[editar] Continuidad de aplicaciones

Otro concepto totalmente fundamental estudiado en esta rama es el de aplicación continua. Una aplicación entre dos espacios topológicos se dice que es continua si dado cualquier conjunto abierto en , el conjunto es un conjunto abierto en .

Con la misma notación, si , diremos que es continua en cuando se obtiene que es un entorno de , cualquiera que sea el entorno de .

Es inmediato entonces comprobar que es continua cuando y sólo cuando es continua en , cualquiera que sea éste, es decir, cuando y sólo cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.

Informalmente hablando, una aplicación es continua si transforma puntos que están cerca en puntos que están cerca, es decir, si respeta la "relación de cercanía". Esto además quiere decir que una función continua no "rompe" los que está unido y no "pega" lo que está separado.

[editar] Conjuntos conexos, conexos por caminos y arco-conexos

Un conjunto se dice que es conexo si no puede expresarse como unión de dos abiertos disjuntos no vacíos.

Un conjunto se dice que es conexo por caminos si todo par de puntos puede unirse mediante un camino, esto es, continua de tal manera que y . Todo conjunto conexo por caminos es conexo, pero no todo conjunto conexo es conexo por caminos.

Estos conjuntos están "hechos de una pieza" (los conexos) o "hechos de manera que no tienen piezas totalmente sueltas" (los conexos por caminos). Naturalmente esto es sólo una manera de interpretarlos. Las piezas de un conjunto (los mayores subconjuntos conexos que contiene el conjunto) se denominan "componentes conexas". Por ejemplo, un puñado de arena sería un conjunto en el que las componentes conexas son cada granito de arena. Un espejo roto sería un conjunto en el que cada trozo de espejo es una componente conexa. Una bola de hierro es un conjunto con una sola componente conexa, es decir, un conjunto conexo. Una rejilla también es un conjunto conexo, formado por una sola componente conexa.

Existe otra noción de conexión, la conexión por arcos o arco conexión ligeramente más restrictiva que la conexión por caminos. Se exige que el camino sea un homeomorfismo sobre su imagen. Aun así, la conexión por arcos y por caminos coinciden sobre los espacios de Haudorff.

[editar] Compacidad

Los conjuntos compactos son un tipo de conjunto mucho más difíciles de definir. En el espacio euclidiano un conjunto es compacto si cumple dos condiciones: es "cerrado", es decir contiene a todos sus puntos frontera; y es "acotado", es decir es posible trazar una bola que lo contenga. La compacidad es una propiedad muy importante en Topología, así como en Geometría y en Análisis Matemático.

[editar] Metrización

Una topología sobre un conjunto es metrizable si es posible encontrar una distancia de forma que los abiertos para esa distancia sean exactamente los abiertos de la topología de partida. La metrizabilidad es también una propiedad muy deseable en un espacio topológico, pues nos permite dar una caracterización muy sencilla de los abiertos de la topología, además de implicar otras ciertas propiedades.

[editar] Separación

Las propiedades de separación son ciertas propiedades, cada una un grado más restrictiva que la anterior, que nos indican la "resolución" o "finura del grano" de una topología. Por ejemplo, la propiedad de separación T2 significa que para dos puntos distintos siempre pueden encontrarse entornos disjuntos (es decir que no se cortan).

[editar] Densidad

Un conjunto es denso en el espacio si está "cerca de todos los puntos" de ese espacio. De manera más precisa, un conjunto es denso si su clausura es todo el espacio. Un conjunto se dice que es separable si tiene algún subconjunto denso y numerable.

[editar] Topología producto y Topología cociente

La topología producto nos proporciona una manera de dotar de una topología al producto cartesiano de varios espacios topológicos, de tal manera que se conserven buenas propiedades, en particular que las proyecciones sobre cada factor sean aplicaciones continuas y abiertas. La topología cociente nos proporciona una manera de dotar de una topología al cociente (espacio de clases) de un espacio por una relación de equivalencia, de manera que tenga el mayor número posible de conjuntos abiertos y sin embargo la proyección sea continua (es decir la imagen recíproca de cada abierto sea un abierto).

[editar] Topología Algebraica

La Topología Algebraica estudia ciertas propiedades relacionadas con la conexión de un espacio, propiedades que podríamos describir como la "porosidad" de un espacio, la cantidad de boquetes que presenta. Para ello se vale de instrumentos algebraicos, fundamentalmente la Teoría de Grupos y el Álgebra Homológica, hasta tal punto que su desarrollo es totalmente algebraico.

En la Topología Algebraica se consideran una gran diversidad de problemas incluidos en la Teoría de nudos por ejemplo, o en la Teoría de Homotopías y la Teoría de Homología.

Para comprender sucintamente estas cuestiones, volvamos a los ejemplos de conjuntos conexos. Según hemos dicho, una rejilla, una bola de hierro o una esponja son conjuntos conexos. Sin embargo todos entendemos que parece que no tienen el mismo "grado de conexión", por expresarlo de alguna manera. Mientras que una bola de hierro es maciza, una esponja y una rejilla tienen agujeros, e incluso parece claro que entre estos hay también una cierta diferencia. La Homotopía y la Homología tratan estas cuestiones.

[editar] Notas

[editar] Véase también

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Espacio topológico
• Banda de Möbius
• Botella de Kaluza-Klein
• Nudo borromeo
• Problema de los puentes de Königsberg
• Topología cociente
• Topología diferencial
• Topología geométrica
• Topología cuántica
• Glosario de topología
• Matemáticas del origami

[editar] Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Topología.Commons
• Wikcionario tiene definiciones para topología.Wikcionario
• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre los Topólogos. Wikiquote
• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Topología.Wikiversidad
• http://www.ehu.es/~mtwmastm/sigma20.pdf Macho Stadler, Marta: ¿Qué es la topología?
• http://rinconmatematico.com/chamizo/APtopo.pdf La Topología... no es tan difícil.
• http://topologia.wordpress.com Juegos topológicos.

Dados dos conjuntos: X e Y, y un Grafo f, que determina alguna Relación binaria entre algún elemento de X con algún elemento de Y, diremos que ese grafo: f, define una correspondencia^[1] entre X e Y, que representaremos:

cuando al menos un elemento de X está relacionado con al menos un elemento de Y.

[editar] Un ejemplo

Si tenemos una serie de objetos, como los tubos de pintura y los pinceles, y diferenciamos por un lado los tubos y por otro los pinceles, y asociamos a cada tubo el pincel que tiene el mismo color de pintura, tenemos una relación color de la pintura entre cada tubo y cada pincel que tenga el mismo color.

En este ejemplo, podemos definir un conjunto T de tubos de pintura y otro P de pinceles y asociar a cada tubo del conjunto T, el pincel del conjunto P que tenga su mismo color, esta asociación la representaremos con una flecha del tubo al pincel correspondiente.

Puede darse el caso que tengamos un tubo de un color pero no un pincel con el mismo color de pintura, como en el ejemplo hay un tubo de color rojo pero no hay ningún pincel con pintura de color rojo, por lo tanto del tubo rojo no sale ninguna flecha.

Puede que tengamos un tubo de un color y varios pinceles con pintura de ese mismo color, así en el ejemplo hay un tubo verde y dos pinceles con pintura verde, del tubo de color verde salen dos flechas una hasta cada pincel con pintura verde.

También puede ser que tengamos más de un tubo de un mismo color y un solo pincel con esa pintura, en este caso, como en el ejemplo, de los dos tubos azules salen las dos flechas hasta el único pincel con pintura azul, llegando dos flechas al pincel azul, una de cada uno de los tubos de color azul, como se ve en la figura.

En la figura del ejemplo se ve un pincel con pintura amarilla, pero no hay ningún tubo de pintura amarilla, por tanto a este pincel no llega ninguna flecha.

En resumen la correspondencia mismo color de la pintura entre un conjunto T de tubos de pintura, y otro conjunto P de pinceles, existe en tanto en cuanto al menos un tubo de pintura tiene el mismo color que uno de los pinceles, pudiendo ser esa relación tan sencilla o tan compleja como se quiera.

En una correspondencia matemática los conjuntos no tienen que ser necesariamente numéricos, ni la relación entre sus elementos operaciones aritméticas, sin que por ello deje de ser matemática.

[editar] Definiciones

En una correspondencia podemos distinguir distintos conjuntos:

• Conjunto inicial: es el primero de la correspondencia, es este caso X, lo representaremos: in(f), según el ejemplo:

En el segundo ejemplo, tenemos una correspondencia entre un conjunto de pinceles P y un conjunto de caras C que hemos pintado con esos pinceles, la correspondencia asocia a cada pincel la cara del mismo color, en este ejemplo el conjunto inicial será:

,

,

,

• Conjunto final: es el segundo de la correspondencia en este caso Y, lo representaremos como fin(f), según el ejemplo:

En el ejemplo de los pinceles y las caras el conjunto final está formado por:

,

,

,

• Conjunto origen: es el formado por los elementos del conjunto inicial, que están relacionados con algún elemento del conjunto final, lo representaremos or(f), en el ejemplo será:

Los pinceles de los que hay una cara pintada es el conjunto origen, de la correspondencia mismo color:

,

,

• Conjunto imagen: es el formado por los elementos del conjunto final con los que están relacionados los elementos del conjunto origen, lo representaremos Im(f), en el ejemplo:

Las caras para las que hay un pincel de su color es el conjunto imagen:

,

,

• Elementos homólogos: dos elementos, uno del conjunto origen y otro del conjunto imagen, se dice que son homólogos, si están relacionados según la correspondencia f, en el ejemplo los siguientes pares ordenadas son homólogos:

Los pares ordenados formados por un pincel y una cara del mismo color son:

,

,

,

• Imagen de un elemento: dado un elemento x del conjunto origen, y otro elemento y del conjunto imagen, se dice que y es imagen de x y se representa:

si el elemento x está relacionado con el elemento y según la correspondencia f. en el ejemplo tenemos que:

La correspondencia color por la que a cada pincel se le asocia la cara pintada del mismo color es:

[editar] Correspondencia definida a partir del producto cartesiano

Dados los conjuntos X (Conjunto inicial) e Y (Conjunto final) y definido el producto cartesiano , de estos dos conjuntos, como el conjunto de pares ordenados (x, y), donde e , dado el conjunto F que contiene a los pares homónimos de la correspondencia f, y define esa correspondencia en su totalidad.

Por lo tanto podemos decir que una correspondencia entre dos conjuntos X e Y, es un subconjunto F del producto cartesiano , que recoge los pares ordenados (x, y), que forman la correspondencia.

[editar] ejemplo 1

en la diagrama anterior, tenemos los conjuntos:

el producto es:

el conjunto F es el siguiente:

se puede apreciar que y que F define la correspondencia en su totalidad.

[editar] ejemplo 2

Partiendo de la correspondencia entre los tubos de pintura T, y los pinceles P, asociando a cada tubo el pincel que tiene pintura del mismo color.

La correspondencia vendrá definida por los pares ordenados:

,

,

,

Vemos que el conjunto inicial es:

,

,

,

y el conjunto final:

,

,

,

el producto cartesiano de T por P es el conjunto de pares ordenados de cada uno de los tubos de T con cada uno de los pinceles de P, en la cuadricula podemos ver en la fila inferior cada uno de los tubos del conjunto T, y en la columna da la izquierda cada uno de los pinceles del conjunto P, donde se cortan una fila y una columna están el tubo y el pincel correspondientes, se ha destacado el fondo de las pares que forman parte de la correspondencia.

[editar] Correspondencia inversa

Dada una correspondencia entre los conjuntos A y B, representada:

se define como correspondencia inversa de f, que llamaremos :

a la que asocia la imagen de la función f con su origen.

Definida una correspondencia F, como un subconjunto del producto cartesiano de , donde los pares ordenados (a, b) son los asociados por la correspondencia, la correspondencia inversa , es el subconjunto del producto cartesiano , formado por los pares ordenados (b, a) obtenidos de cambiar el orden de la correspondencia F.

Así si tenemos un conjunto T de tubos de pintura y otro conjunto P de pinceles y asociamos por una relación f a cada tubo de T el pincel con pintura del mismo color:

y esta función está definida por los pares ordenados:

,

,

,

La correspondencia inversa será la que partiendo del conjunto de pinceles P asocia a cada pincel el tubo del conjunto T de pintura del mismo color:

que estará definida por los pares ordenados:

,

,

,

[editar] Tipos de correspondencias

[editar] Clasificación según la unicidad

Partiendo de dos conjuntos, uno inicial X, y otro final Y, y todas las posibles correspondencias que se pueden hacer entre estos dos conjuntos, por su interés podemos diferenciar las correspondencias unívocas y biunívocas.

• Una correspondencia es unívoca si cada elemento inicial solo tienen una imagen.

• Una correspondencia es biunívoca si cada elemento inicial solo tienen una imagen, y cada elemento imagen solo tiene un origen.

No es necesario en ninguno de los dos casos, que todos los elementos de X tengan una imagen, ni que todos los elementos de Y tengan un origen, claramente una correspondencia tiene que ser unívoca para poder ser biunívoca.

Si representamos con un rectángulo todas las posibles correspondencias entre los conjuntos X e Y, si el conjunto B es el de las correspondencias unívocas, y al A el de las biunívocas, en un Diagrama de Venn, se ve claramente que el conjunto de las correspondencias biunívocas es un subconjunto de las correspondencias unívocas.

[editar] Correspondencia no unívoca

• Es la correspondencia en la que al menos uno de los elementos origen tiene dos o más imágenes. En el diagrama de Venn, son las correspondencias que no pertenecen a B: B’

Si el conjunto inicial es el de los alumnos de un centro escolar, y el conjunto final el de las asignaturas que se imparten en ese centro, la correspondencia de alumnos con asignaturas, no será unívoca cuando al menos un alumno estudia dos o más asignaturas.

En el diagrama de la figura el elemento 3 tiene dos imágenes b y c, esto hace que la correspondencia no sea unívoca, independientemente de la relación que tengan el resto de los elementos. Esta doble imagen para un único origen da lugar a que podamos decir:

Siendo las dos expresiones ciertas.

[editar] Correspondencia unívoca

• Es una correspondencia donde cada elemento del conjunto origen se corresponde con solo un elemento del conjunto imagen.

En el diagrama de Venn son las correspondencias que pertenecen a B.

[editar] Correspondencia unívoca, no biunívoca

• Es la que a cada origen le corresponde una única imagen, pero no todas las imágenes tienen un único origen. En el diagrama de Venn, son las correspondencias que pertenecen a B pero no a A: B-A.

Si el conjunto inicial es el de las personas de una población, y el conjunto final el de los domicilios de esa población, la correspondencia de personas con domicilios, será unívoca pero no biunívoca cuando, cada persona viva en un único domicilio y en algún domicilio vivan varias personas.

La correspondencia representada en este diagrama es unívoca, pero no es biunívoca porque el elemento d, tiene dos orígenes: 1 y 2. Así tenemos que:

esto hace que no sea una correspondencia biunívoca, aunque por el resto de las relaciones si pueda serlo.

[editar] Correspondencia biunívoca

• Es una correspondencia unívoca cuya correspondencia inversa también es unívoca.

Es decir: cada elemento del conjunto origen se corresponde con solo un elemento del conjunto imagen, y cada elemento del conjunto imagen se corresponde con solo un elemento del conjunto origen.

En el diagrama de Venn son las correspondencias que pertenecen a A.

Ejemplos

• En el diagrama de la figura se ve que:

siendo estas todas las relaciones de esta correspondencia. Los elementos origen tienen una única imagen, y los elementos imagen tienen un único origen, puede haber elementos sin imagen como el 1, y elementos sin origen como la c, pero esto no influye en la definición de biunicidad.

• Si consideramos como conjunto origen el de personas, y por conjunto imagen el de automóviles, esta correspondencia será biunívoca cuando las personas que tienen automóvil tienen un solo automóvil, y cada automóvil tenga un solo propietario.
• Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre cada número natural con su cuadrado.
• Otro ejemplo podría ser una correspondencia biunívoca entre cada estudiante con su número de legajo.
• Una relación biunívoca muy utilizada e independiente de otros valores es la existente entre el valor de la propiedad termométrica utilizada y el valor numérico de la temperatura asignada. Esto es que cada valor de temperatura se corresponde únicamente con un valor de la escala del termometro y cada valor de la escala del termometro se corresponde únicamente con un valor de temperatura.

[editar] Aplicación matemática

Dada una correspondencia matemática entre todos los elementos del conjunto X con los elementos del conjunto Y, diremos que esta correspondencia: f, es una Aplicación ^{[2] [3] [4] [5]} entre X e Y, que suele llamarse función matemática^[6] si los conjuntos inicial y final son numéricos y se represente:

• Cuando:

1. Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y.
2. Cada elemento de X, está relacionado con un único elemento de Y.

Vulgarmente: todos los elementos del conjunto origen tienen flecha y sólo una

Esto es: una correspondencia matemática es una aplicación, si todos los elementos del conjunto inicial tienen una imagen y solo una imagen.

En el diagrama se pueden ver los conjuntos X e Y:

Como se puede ver, a cada uno de los elementos de X le corresponde un único elemento de Y. El elemento a de Y no tiene origen y el elemento b tiene dos orígenes (el 1 y el 4), pero esto no afecta a la definición de aplicación como tipo de correspondencia.

[editar] Tipos de Aplicación matemática

Dados dos conjuntos X, Y, y todas las posibles aplicaciones que pueden formarse entre estos dos conjuntos, se pueden diferenciar los siguientes casos:

• Si a cada imagen le corresponde un único origen, inyectiva.

• Si la aplicación es sobre todo el conjunto final, sobreyectiva.

Además de estos dos casos característicos, una aplicación puede ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, que se denominan biyectiva, o ninguna de ellas en cuyo caso no tiene un nombre especifico.

Vamos a representar los tipos de aplicaciones en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, es el de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es el de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B el de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.

[editar] Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicación inyectiva cada elemento imagen tendrá un único origen y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.

En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.

[editar] Ejemplo

en el diagrama de la figura:

[editar] Segundo ejemplo

Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:

,

,

Sobre el conjunto de caras pintadas:

,

,

,

Asociando cada pincel con la cara correspondiente:

Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta correspondencia es una aplicación, como las caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la aplicación es inyectiva, y como la cara pintada de amarillo, no tiene ningún pincel de este color, la aplicación no es sobreyectiva.

[editar] Aplicación no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A.

Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.

[editar] Ejemplo

en el diagrama de la figura:

[editar] Segundo ejemplo

Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto de pinceles con pintura de colores:

,

,

,

En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pesar de tener el mismo color de pintura son dos pinceles distintos.

Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:

,

,

Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una cara pintada de su color y solo una, esto hace que la correspondencia sea una aplicación, la cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lo que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la aplicación es sobreyectiva.

[editar] Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.

En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B.

Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:

• Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.

[editar] Ejemplo

en el diagrama de la figura:

Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números naturales:

y por conjunto final el de los números naturales pares:

Podemos ver que la relación

Por el que a cada número natural x de X, le asociamos un número par 2x de Y, se cumple:

1. f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y.
2. esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par 2x de Y le corresponde un único valor x de X.
3. y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen

Esto nos permite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de números naturales pares, se da la paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos.

[editar] Segundo ejemplo

Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:

,

,

,

y el de caras como conjunto final:

,

,

,

La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicación porque todos los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicación es inyectiva porque un pincel corresponde con una sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente esta aplicación es biyectiva.

Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno, pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos en el conjunto inicial que en el final.

[editar] Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre especifico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.

Para esta aplicación los conjuntos X e Y no son comparables, y no podemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de su comparación, ni sobre su número de elementos.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unión de A y B.

[editar] Ejemplo

en el diagrama de la figura:

[editar] Segundo ejemplo

Si tomamos como conjunto inicial el de pinceles de colores:

,

,

,

y como conjunto final el de caras coloreadas:

,

,

,

Vemos que todos los pinceles tiene una cara y solo una cara de su mismo color, luego esta correspondencia es una aplicación matemática.

Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicación no es inyectiva, y como la cara amarilla no tiene ningún pincel de ese color no es sobreyectiva, luego esta aplicación es no inyectiva y no sobreyectiva.

[editar] Véase también

• Relación matemática
• Relación binaria
• Sucesión matemática
• Función matemática

[editar] Bibliografia

1. Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando (1981) (en español). Álgebra lineal (1 edición). Ediciones Pirámide, S.A.. ISBN 978-84-368-0174-3. 

[editar] Referencia

[editar] Enlaces externos

Una falacia o sofisma es, según la definición tradicional, un patrón de razonamiento malo que aparenta ser bueno.^[1] Un razonamiento falaz no necesariamente arriba a una conclusión falsa; así como un razonamiento correcto o válido no necesariamente arriba a una conclusión verdadera.^[2] Los razonamientos falaces no son falaces por arribar a una conclusión falsa, sino por contener un error en el razonamiento mismo.

[editar] Ejemplos de razonamientos falaces

Se ilustran errores comunes en un razonamiento. Cabe destacar que la crítica de un razonamiento no tiene relación con la validez de su conclusión. La conclusión puede ser válida, mientras que el razonamiento en sí mismo puede no serlo.

Un ejemplo de un razonamiento falaz podría ser el siguiente:

1. Juan está enamorado.
2. A Juan le gusta Carla.
3. Por tanto, Juan está enamorado de Carla.

Una manera de mostrar que este razonamiento es falaz es utilizando diagramas de Venn. En terminología lógica, el razonamiento no es bueno ya que en al menos una interpretación de las premisas, la conclusión puede ser falsa.

Desafortunadamente, pocos razonamientos falaces son tan claros como el ejemplo anterior. Muchos de ellos involucran causalidad, que no es una parte de la lógica formal. Otras utilizan estratagemas psicológicas como el uso de relaciones de poder entre el orador y el interlocutor, llamamientos al patriotismo, la moralidad o el ego para establecer las premisas intermedias (explícitas o implícitas) necesarias para el razonamiento. De hecho, las falacias se encuentran muy a menudo en presunciones no formuladas o premisas implícitas que no son siempre obvias a primera vista.

Considérese ahora el siguiente argumento:

1. Germán es un buen jugador de tenis.
2. Por lo tanto, Germán es 'bueno', esto es, bueno moralmente.

Aquí el problema se encuentra en que la palabra 'bueno' es una palabra ambigua, lo que quiere decir es que tiene diferentes significados. En la premisa, se afirma que Germán es bueno en una actividad particular, en este caso tenis. En la conclusión, se afirma que Germán es bueno moralmente. Éstos son claramente significados distintos de la palabra 'bueno'. Aunque la premisa sea cierta, la conclusión puede ser falsa: Germán puede ser el mejor jugador de tenis del mundo y al mismo tiempo ser malvado.

Considérese ahora la siguiente variante humorística de la falacia de la ambigüedad:

1. Una hamburguesa es mejor que nada.
2. Nada es mejor que la felicidad eterna.
3. Por tanto, una hamburguesa es mejor que la felicidad eterna.

Este razonamiento tiene la apariencia de una inferencia que aplica transitividad en la relación «es mejor que», que en principio es posible, el problema está dado por el significado de nada. En este caso, es un ejemplo de ambigüedad semántica. En la primera premisa, palabra «nada» significa la ausencia absoluta de cualquier cosa, mientras que en la segunda premisa, la palabra «nada» significa que no existe cosa que sea mejor que felicidad eterna. No hay que pensar en "ninguna cosa" como un objeto en si, sino como la abstracción de la "no existencia".

Ejemplos cotidianos:

1. El oro brilla.
2. Esta daga brilla.
3. Por lo tanto, esta daga es de oro.

Este es un ejemplo de falacia de afirmación de consecuente. Esta falacia tiene la forma:

1. A es B
2. C es B
3. Por lo tanto, C es A

Por definición, cuando un razonamiento es correcto y sus premisas son verdaderas, entonces su conclusión también es verdadera. En este caso, tenemos que las premisas son verdaderas y la conclusión no necesariamente verdadera, ya que la daga puede ser de oro (siendo verdadera) o de otro material brillante como por ejemplo el hierro (siendo falsa). Por tanto, el argumento es incorrecto. La manera de saberlo es empleando contraejemplos que lleven al límite estas estructuras falaces.

[editar] Falacias en los medios de comunicación y la política

Las falacias se usan frecuentemente en artículos de opinión en los medios de comunicación y en política. Cuando un político le dice a otro «No tienes la autoridad moral para decir X», puede estar queriendo decir dos cosas:

• Usar un ejemplo de la falacia del ataque personal o falacia ad hominem, esto es, afirmar que X es falsa atacando a la persona que la afirmó, en lugar de preocuparse de la veracidad de X.
• No ocuparse de la validez de X, sino hacer un crítica moral al interlocutor (y de hecho es posible que el político esté de acuerdo con la afirmación). En este último caso, la falacia consiste en evadir el tema, dando sólo una opinión personal, no relevante, sobre la moralidad del otro.

Es difícil, por ello, distinguir falacias lógicas, ya que dependen del contexto.

Otro ejemplo, muy extendido es el recurso al Argumentum ad verecundiam o falacia de la autoridad. Un ejemplo clásico es el Ipse dixit («Él mismo lo dijo») utilizado a lo largo de la edad media para referirse a Aristóteles. Un ejemplo más moderno es el uso de famosos en anuncios: un producto que deberías comprar/usar/apoyar sólo porque tu famoso favorito lo hace.

Una referencia a una autoridad siempre es una falacia lógica, aunque puede ser un argumento racional si, por ejemplo, es una referencia a un experto en el área mencionada. En este caso, este experto debe reconocerse como tal y ambas partes deben estar de acuerdo que su testimonio es adecuado a las circunstancias. Esta forma de argumentación es común en ambientes legales.

Otra falacia muy usada en entornos políticos es el Argumentum ad populum, también llamado sofisma populista. Esta falacia es una variedad de la falacia ad verecundiam: consiste en atribuir la opinión propia a la opinión de la mayoría y deducir de ahí que si la mayoría piensa eso es que debe ser cierto. En cualquier caso muchas veces la propia premisa de que la mayoría piense eso puede ser falsa o cuando menos dudosa ya que, en muchos casos, dicha afirmación no puede ser probada más que con algún tipo de encuesta que no se ha realizado. En caso de ser cierto tampoco se justifica el razonamiento porque la mayoría piense eso. Se basa en la falsa intuición de que el pueblo tiene autoridad, tanta gente no puede estar equivocada. Se suele oír con frases del tipo todo el mundo sabe que..., o ...que es lo que la sociedad desea', así como la mayoría de los españoles sabe que....

Por definición, razonamientos que contienen falacias lógicas no son válidos, pero muchas veces pueden ser (re) formulados de modo que cumplan un modo de razonamiento válido. El desafío del interlocutor es encontrar la premisa falsa, esto es, aquella que hace que la conclusión no sea firme.

[editar] Aplicación de los prejuicios: las falacias lógicas

Caballo de Troya utilizado en la película Troya (2004). Si se niega el antecedente, entonces se negará también la consecuencia.

La falacia lógica es un modo o patrón de razonamiento que siempre o casi siempre conduce a un argumento incorrecto. Esto es debido a un defecto en la estructura del argumento que lo conduce a que este sea inválido. Las falacias lógicas suelen aprovecharse de los prejuicios o sesgos cognitivos para parecer lógicas. Cambiándose a veces, el error inconsciente o involuntario por una manipulación deliberada. Por eso, las falacias lógicas son los mecanismos automáticos más comunes para poner en práctica los sesgos cognitivos. Algunas importantes falacias lógicas que emplean los sesgos cognitivos se muestran a continuación. Véase también control social, control mental, propaganda, lavado de cerebro.

[editar] Falacias formales o sofismas

• Argumento de la falacia o ad logicam: asume que si un argumento es una falacia entonces su conclusión debe ser forzosamente falsa. Una falacia lógica no es necesariamente errónea en su conclusión, aunque sí lo es en el razonamiento que le ha llevado a esta conclusión. Es decir, aunque la estructura de razonamiento pueda ser falaz por su construcción o por sus premisas, la conclusión puede llegar a ser fortuitamente correcta.
  • Ejemplo: «Los objetos caen porque hay ángeles que los empujan hacia abajo». La afirmación «los objetos caen», es cierta, aunque no existe un argumento válido para aceptar la premisa de la existencia de los ángeles y tampoco de que éstos empujen los objetos.
• Confirmación sistemática o afirmación de la consecuencia: En pocas palabras, la confirmación sistemática, es el equivalente lógico a asumir la verdad necesaria de que lo contrario también lo es. Es llamada así porque erróneamente se concluye que el segundo término de una premisa consecuente establece también la verdad de su antecesora. Si se demuestra que P entonces Q, entonces erróneamente se puede deducir que si Q entonces P llevándonos a esta falacia, que se apoya en el sesgo de simetría.
  • Ejemplo: si estoy dormido tengo los ojos cerrados, entonces si tengo los ojos cerrados debo estar dormido.
• Negación del antecedente o implicación vacua: Es una falacia lógica con semejanzas con el argumento de la falacia. En este caso si P entonces Q si niego P entonces tampoco Q (se niega Q). Esta falacia dice que si se niegan los antecedentes entonces se negará también la consecuencia.
  • Ejemplo: «Si estoy dormido tengo los ojos cerrados, pero si estoy despierto tengo que estar con los ojos abiertos» «Si no lo digo no me critican, por lo que si lo digo me criticarán». Algo que no tiene que ser necesariamente cierto. Otra vez se aplica el sesgo de simetría o ilusión de serie.

[editar] Falacias por generalización de inducción errónea

En lógica, se designa como inducción a un tipo de razonamiento que va de lo particular a lo general (concepción clásica) o bien a un tipo de razonamiento en donde se obtienen conclusiones tan sólo probables (concepción más moderna). La inducción matemática es un caso especial, donde se va de lo particular a lo general y, no obstante, se obtiene una conclusión necesaria. Típicamente, el razonamiento inductivo se contrapone al razonamiento deductivo, que va de lo general a lo particular y sus conclusiones son necesarias (véase razonamiento inductivo).

• Muestra sesgada: Es una muestra que ha sido falsamente considerada como la típica de una población de la cual ha sido tomada.
  • Ejemplo: Alguien puede decir «A todo el mundo le gustó la película» sin mencionar que «todo el mundo» fue él y tres de sus compañeros, o un grupo que son fans del artista. Los sondeos online y las muestras por llamadas voluntarias son un tipo particular de este error, porque las muestras están implícitamente preseleccionadas o autoseleccionadas. En el mejor de los casos, esto significa que las personas que se preocupan más sobre el asunto responderán u opinarán y en el peor de los casos, sólo aquellas que sintonicen una radio particular, un periódico particular o una lista política.
• Falacia del centro de atención: Se produce cuando una persona sin criterio asume que todos los miembros o casos de un cierto grupo, clase o tipo son como esos pocos en el punto de mira, que reciben la mayor atención o cupo de atención de los medios. Esta línea de razonamiento es falaz y conduce a los tópicos. Si los medios publicitan a un asesino en serie de una población no quiere decir que todos los miembros de la población sean asesinos.
• Falacia de la verdad a medias: Las verdades a medias son frases engañosas y falsas, que incluyen algún elemento de verdad. Las frases pueden ser parcialmente verdad, la frase pueden ser incluso verdad pero no toda la verdad del conjunto lo que produce un engaño provocado por omisión. Pueden incluir algunos elementos engañosos como signos de puntuación, especialmente si se intenta engañar, evadir la culpa o malinterpretar la verdad. El propósito de las medias verdades o verdades a medias es hacer parecer algo que solo es una creencia como un conocimiento o verdad absoluta. De acuerdo con la teoría de conocimiento de creencia de verdad justificada o teoría de la justificación, para saber si una determinada proposición es verdadera, uno debe no solo creer en la verdadera e importante proposición sino también debe tener una buena razón o argumentos para hacerlo. Una verdad a medias embauca al receptor presentando algo que es creíble y usando esos aspectos de la idea que pueden ser demostrados verdaderos como buena razón para creer que la idea o declaración entera es verdadera. Una persona engañada por una verdad a medias podrá considerar la proposición o declaración como una verdad absoluta y actuar en consecuencia. En política, las verdades a medias son una parte integral de las democracias representativas o parlamentarias. La reputación de un candidato político podrá ser irremediablemente dañada si él o ella es expuesto como mentiroso, así un complejo estilo de lenguaje ha evolucionado para minimizar las probabilidades de que ocurra esto. Si alguien no ha dicho algo, entonces ellos no podrán acusarlo de mentir. En consecuencia los políticos se han convertido en un conjunto en el que las medias verdades abundan y son esperadas, dañando la credibilidad del conjunto.
  • Ejemplo: «El sol se pone por el oeste». Esta es una verdad a medias porque aunque en la mayor parte del mundo esto es así no ocurre en los polos en los que durante unos meses el sol ni siquiera llega a ponerse. De hecho, el Sol ni siquiera se pone, porque no es el que se mueve sino que es el movimiento rotatorio de la Tierra el que produce este efecto. Por eso, si se tratara como una verdad absoluta digamos para navegación podría ocurrir un desastre.

Un niño de Palestina sostiene un cartel que dice: «No somos terroristas». No todas las personas que viven en Oriente Medio son terroristas, presunsión extendida a consecuencia de la propaganda estadounidense en la llamada "Guerra contra el terrorismo". Véase «falacia de generalización apresurada».

• Generalización apresurada o falacia de estadística insuficiente o falacia de muestras insuficientes, ley de los pequeños números, inducción apresurada, falacia del hecho aislado, o secundum quid: Es una falacia lógica en la que se llega a una generalización inducida basada en muy pocas evidencias.
  • Ejemplo: «Me encanta esta canción, por lo tanto me gustará también todo el álbum en el que está». Es una falacia porque el álbum puede no ser tan bueno como la canción escuchada.
• Falsa vivencia o vivencia desorientadora: es una falacia lógica que usa la descripción de un acontecimiento en extremo detalle —incluso si este es un suceso excepcional y muy poco probable— para convencer a alguien de que hay un problema. Aunque la vivencia sea falsa o verdadera y no tenga ningún fundamento lógico (es decir, aunque sea un disparate) puede tener un gran poder y efecto psicológico debido al sesgo cognitivo denominado disponibilidad heurística. La falacia no reside en la historia misma, la cual, podría llegar a ser cierta, sino en el efecto de gran distorsión probabilística o sesgo que se produce en el receptor en relación al alcance, importancia y relevancia con la decisión a tomar. Esta distorsión o sesgo que se desencadena en el cerebro es un mecanismo poderoso producido por los sesgos cognitivos tendencia de riesgo cero, aversión de pérdida y efecto el último evento cuando se apela al miedo. Véase también programación neurolingüística y la verdad en la pnl. En entornos comerciales y de márketing se usa con frecuencia esta falacia generando lo que se denomina FUD, Fear, uncertainty and doubt que es el acrónimo en inglés de miedo, incertidumbre y duda.
  • Ejemplo: Pedro dice «Creo que dejaré los deportes de riesgo ahora que tengo niños. Creo que me pasaré al golf». Juan responde: «Yo no haría eso. ¿Recuerdas a Javi? Él estaba jugando al golf cuando le atropellaron con el coche que transporta los palos. Se rompió una pierna y rodó hasta golpearse la cabeza. Estuvo en el hospital durante una semana y todavía cojea. Yo seguiría haciendo parapente».
• Falacia arreglo de bulto: consiste en asumir que las cosas que con frecuencia han sido agrupadas por tradición o cultura en un conjunto deberían estar siempre agrupadas de ese modo. Esta falacia es muy usual en los argumentos políticos: «Mi oponente es un conservador que votó en contra de los altos impuestos y la asistencia pública, por tanto él también se opondrá al control de armas y al aborto». Mientras estas cuatro posiciones están normalmente agrupadas en la palabra «conservador» en política, no hay realmente ninguna razón para pensar que alguien que sigue una idea agrupada en ese grupo deba seguir las demás.
• Falso dilema o falsa dicotomía o falsa bifurcación: Implica una situación en la cual solo dos puntos de vista son sopesados como las únicas opciones, cuando, en realidad, existen una o más opciones que no han sido consideradas. Las dos alternativas presentadas suelen ser, aunque no siempre, los puntos extremos del espectro de ideas. En lugar de esta extrema simplificación y pensamiento deseado, sería más apropiado considerar todo el espectro de opciones como en la lógica difusa. Véase sesgo de simetría para entender sus causas.
• Probar con ejemplo o generalización inapropiada o Accidente (falacia): Es una falacia lógica donde se dice que uno o más ejemplos «prueban» un caso más general. Esta falacia tiene la estructura siguiente: Sé que el caso X de todos los X hace o tiene la propiedad P, entonces todo X tiene la propiedad P.
  • Ejemplo: «He visto a hombres (Pedro y Juan) jugar bien al fútbol, por consiguiente todos los hombres juegan bien al fútbol». Véase el artículo «falacia arreglo de bulto» o generalización apresurada. Todas las citadas son falacias de generalización las cuales se pueden agrupar dentro de una de las trece falacias identificadas por Aristóteles; la falacia de destrucción de la excepción o accidente (falacia) a dicto simpliciter ad dictum secundum quid. Ejemplo: 1) Cortar a personas con cuchillos es un crimen [aunque en algunos casos esto no es cierto; es permisible, por ejemplo, en defensa propia]; 2) los cirujanos cortan a las personas con cuchillos; 3) los cirujanos son criminales.

[editar] Falacias de causa informal o causa cuestionable

Las falacias de causa informal, causa cuestionable o falacia causal o non causa pro causa (‘sin motivo para la causa’) o causa falsa, son falacias informales donde una causa es identificada de manera incorrecta.

1. Cum hoc, ergo propter hoc.
2. Falacia de la causa simple.
3. Circularidad entre causa y consecuencia.
4. Petición de principio.
5. falacia de las muchas preguntas
6. Post hoc, ergo propter hoc.
7. Non sequitur.
8. Falacia del retroceso.
9. Falacia del francotirador.
10. Falacia de dirección incorrecta.
11. Argumentum ad consequentiam.
12. Argumentum ad baculum.
13. Falacia del punto medio.
14. Recurso de probabilidad.

• Cum hoc, ergo propter hoc: o la correlación o relación entre dos implica que uno es causa y otro efecto, que afirma que dos eventos que ocurren a la vez tienen necesariamente una relación causa-efecto. Se expresa de la siguiente manera: si ocurre A y correlacionadamente después ocurre B entonces A ha causado a B. Esta falacia hace una conclusión prematura de la causalidad incluso sin evidencias que la soporten. Esto es una falacia lógica porque aunque probable existen al menos otras cuatro posibilidades; 1. que B sea la causa de A; 2. que haya un tercer factor desconocido que sea realmente la causa de la relación entre A y B; 3. que la relación sea tan compleja y numerosa que los hechos sean simples coincidencias y 4. que B sea la causa de A y al mismo tiempo A sea la de B, es decir, que estén de acuerdo, que sea una relación sinérgica o simbiótica donde la unión cataliza los efectos que se observan.
  • Ejemplo: Investigaciones científicas afirman que las personas que usan marihuana (A) tienen una mayor ascendencia en desórdenes psiquiátricos (B) comparados con los que no la toman. Sólo con esta relación no se puede afirmar que A causa B, ya que también puede ser que B cause A, debido al efecto relajante o también puede ser que se den las dos a la vez o haya un tercer factor desconocido. Existen métodos para determinar causas. El filósofo David Hume argumentaba que la causalidad no puede ser percibida y por consiguiente no se puede conocer o probar, y en su lugar tan solo se puede percibir la correlación. Sin embargo, argumentó que se puede seguir el método científico para, al menos, desechar las causas erróneas. Esto es, probar experimentalmente la veracidad de un hecho de manera rigurosa hasta encontrar un contra ejemplo o excepción.
• Falacia de la causa simple o efecto conjuntivo o relación espuria: Esta falacia lógica de causalidad ocurre cuando se asume que existe solo una simple causa para un resultado cuando en realidad puede haber un conjunto específico o suficiente de causas que lo hayan provocado. En esta falacia lógica dos sucesos sin conexión lógica, se relacionan causal e incorrectamente debido a un tercer suceso o factor desconocido denominado factor desorientador o variable escondida que los provoca. La relación espuria da impresión de fortaleza y ligazón fuerte entre dos sucesos que es inválida cuando es examinada objetivamente. Véase la navaja de Occam que en su aplicación puede crear una relación espuria debido al desconocimiento de un factor más sencillo. Esta sobresimplificación es un caso específico de falso dilema donde otras posibilidades son ignoradas.
  • Ejemplo: Supongamos que cuando hay mayor índice de desmayos por calor suben las ventas de refrescos, muchos señalarían que los sofocos son la única causa; pero la subida de ventas pudo haber sido debida a otros factores como un mejor márketing, un mayor tiempo libre, una determinada ola de calor, una bajada de precios o la llegada del verano que sería una posible causa de las dos. En definitiva un factor o un conjunto ignorado o desconocido de factores son los que en realidad hacen que se produzca.
• Circularidad entre causa y consecuencia: Es una falacia lógica donde la consecuencia de un determinado fenómeno es llamada a ser también la causa principal. Esto es conocido como la falacia del huevo o la gallina que hace referencia al dilema de causalidad que surge de la expresión «¿qué fue primero, la gallina o el huevo?». Puesto que el huevo y la gallina se crean recíprocamente en ciertas circunstancias la respuesta es ambigua.
  • Ejemplo: Una circularidad en causa consecuencia muy conocida se encuentra en que uno no puede obtener un trabajo sin experiencia pero no puede adquirir experiencia sin un trabajo. Es decir, la experiencia causa el trabajo pero el trabajo también causa la experiencia. La única manera de acceder a estos círculos es la transición progresiva o evolutiva definiendo de manera más amplia alguno de los factores o aceptando excepciones (o mutaciones). Si se amplía el concepto del trabajo de manera que la experiencia se pueda ganar de algo que no tenga que ser estrictamente trabajo o si se amplía el concepto de la experiencia en el que aunque se tengan conocimientos éstos no tienen nada que ver con el trabajo en cuestión o con la estricta definición de experiencia que se exige para él.
• Petición de principio o petitio principii o fe de origen: Es una falacia que ocurre cuando la proposición a ser probada se incluye implícita o explícitamente entre las premisas de las que parte el razonamiento.
  • Ejemplo: Para probar falazmente que Pablo dice la verdad argumentaríamos del siguiente modo diciendo que: Cuando Pablo habla no miente y que por tanto, cuando está hablando Pablo, está diciendo la verdad. En una lógica bivalente, con tertium exclusum,premisa y conclusión están afirmando la misma verdad, que no miente o, lo que es lo mismo, que en ambos casos dice la verdad. La falacia es más útil cuando tiene una longitud adecuada como para hacer olvidar al receptor que la conclusión ya fue admitida como premisa.
• falacia de las muchas preguntas o pregunta compleja con la cual, el mero hecho de responder la pregunta implica presuponer en la respuesta algo que no se quiere asumir como cierto. La finalidad de dicha falacia es que el adversario dialéctico asuma en su contestación alguna información que no se quiere conceder bien por falsa o bien porque dicha concesión perjudica gravemente la argumentación que pretende sostener. Para sortear dicha falacia lo idóneo sería no contestar, para no dar información extra que no se desea conceder al interlocutor.
  • Ejemplo:¿Todavía golpeas a tu esposa? Una respuesta negativa significará que la persona ha pegado a su esposa en un momento anterior, la afirmativa que no sólo que lo haces en la actualidad sino que lo haces desde tiempo atrás. En este tipo de preguntas se da por supuesto el hecho por el que se pregunta, y si este hecho no ha sido asumido antes por los interlocutores, la pregunta se vuelve capciosa: se incurre en la falacia de las muchas preguntas.
• Post hoc, ergo propter hoc o post hoc o correlación coincidente o causa falsa o non sequitur (‘no le sigue’ en latín): Es una expresión latina que significa «después de esto, luego a consecuencia de esto» es un tipo de falacia que asume que si un acontecimiento sucede después de otro, el segundo es consecuencia del primero. Es verdad que una causa se produce antes de un efecto pero la falacia viene de sacar una conclusión basándose sólo en el orden de los acontecimientos. Es decir, no siempre es verdad que el primer acontecimiento produjo el segundo acontecimiento. Esta línea de razonamiento es la base para muchas creencias supersticiosas y de pensamiento mágico. Véase teoría del dominó o también cum hoc, ergo propter hoc que no hace hincapié en el orden aunque sí en la correlación de dos sucesos.
• Non sequitur: Las razones dadas para soportar una afirmación son irrelevantes o no relacionadas.
  • Ejemplo: «Tengo miedo al agua, así que mi deporte será el puenting» o «me gusta conducir por eso me compro un Toyota». En cualquiera de los casos hacer puenting o comprarse un Toyota no depende directamente de la razón dada ya que hay muchos más coches o deportes que se han descartado sin que la razón dada sea relevante, puede producir auto-engaño por no aclarar los verdaderos motivos por los que se toma una decisión. Una manera de clarificar esta falacia es reorganizando el argumento para colocar la razón y la conclusión de manera que la incongruencia se haga evidente.
  • Ejemplo: «Me gusta conducir y por eso me compro un Toyota»; reordenando: «Me compro un Toyota porque me gusta conducir», algo que podría ser cierto o no pero que seguramente no era lo que se pretendía decir cuando se especificaba un Toyota.
  • Ejemplo: «Estamos en España así que pasaremos calor». Reordenando: «Pasaremos calor porque estamos en España».
  • Ejemplo: «Me gustan los aviones por eso hago paracaidismo». Reordenando: «Hago paracaidismo porque me gustan los aviones».
  • Ejemplo: «Ella no tiene hijos por eso no estoy de acuerdo con las prácticas educacionales de la profesora». Reordenando: «No estoy de acuerdo con la profesora porque ella no tiene hijos».
• Falacia de la regresión o del retroceso: Es una falacia lógica en la que se asume una causa donde no existe. Este tipo de falacia es un caso especial de la falacia Post hoc, ergo propter hoc. Esta falacia se denomina de retroceso porque se produce cuando se asocia una causa simple a la desaparición o retroceso de un factor. Conduce a las supersticiones y al pensamiento mágico.
  • Ejemplo: «No somos de su agrado, cuando llegamos al bar todos se fueron».
  • También, «es culpa mía porque desde que decidí invertir en bolsa, ésta ha empezado a bajar o los precios han bajado». La explicación se encuentra en el sesgo cognitivo efecto el último evento y en la tendencia de las personas a tomar decisiones cuando las cosas están solo en la cúspide o varianza más positiva así cuando éstas se normalizan a la media asocian la causa a su acción.

• Falacia del francotirador: Es una falacia lógica donde la información que no tiene relación alguna es interpretada, manipulada o maquillada hasta que ésta aparezca tener un sentido. El nombre viene de un tirador que disparó aleatoriamente varios tiros a un granero y después pintó una diana centrada en cada uno de los tiros para autoproclamarse francotirador. Tiene que ver con el sesgo cognitivo Ilusión de serie donde las personas tienden a ver patrones donde solo hay números aleatorios. Esta falacia no se aplica cuando uno tiene una predicción o una hipótesis particular antes de observar los datos. Uno podría tener una teoría de cómo debería comportarse algo o el patrón que debe seguir algo y comprobar mediante pruebas empíricas o datos que de hecho es así (método científico). Alternativamente, se pueden tomar los datos observados para construir una hipótesis tal como hace el francotirador pero luego es necesario ensayar la hipótesis con nuevos datos. Véase test de hipótesis. Uno no puede usar la misma información para construir y después ensayar o testar la hipótesis ya que incurriría en la falacia del francotirador.
• Falacia de dirección incorrecta: Es una falacia lógica de causa en la que la causa y el efecto están intercambiados. La causa pasa a ser el efecto y viceversa. Es un tipo especial de la falacia cum hoc, ergo propter hoc o también de falso dilema.
  • Ejemplo: Las compañías de tabaco sugirieron que el cáncer hacía que la gente fumara para aliviar los dolores para explicar la alta correlación entre ellos. O también la gente de la edad media pensaba que los piojos eran buenos porque no se veían en la gente enferma. Los piojos en realidad podían provocar la enfermedad y el factor desconocido o la verdadera causa de que no se vieran cuando la enfermedad era visible fue que los piojos son muy sensibles a la fiebre o las altas temperaturas.
• Argumentum ad consequentiam o argumento dirigido a las consecuencias: Es un argumento que concluye que una premisa (típicamente una creencia) es verdadera o falsa basándose en si esta conduce a una consecuencia deseable o indeseable. Es una falacia porque basar la veracidad de una afirmación en las consecuencias no hace a la premisa más real o verdadera. Asimismo, categorizar las consecuencias como deseables o indeseables es intrínsecamente una acción subjetiva al punto de vista del observador y no a la verdad de los hechos.
  • «El presidente no ha robado fondos del Estado, porque si lo hubiera hecho, habría perdido las elecciones».
  • «Dios debe de existir, porque si no existiera no habría moral y el mundo sería horrible».
  • «El jugador hizo todo lo que pudo, porque, si no, no hubiéramos ganado el partido».
• Argumentum ad baculum o argumento dirigido al bastón o al mando o argumento por la fuerza: Es un argumento donde la fuerza, coacción o amenaza de fuerza es dada como justificación para una conclusión. Es un caso especial negativo del argumentum ad consequentiam. Este tipo de falacia se da en los casos en los que se duda en intervenir o no, en un conflicto. Se basa la decisión en algunos, en la consecuencia de actuar o no actuar, lo que justifica la intervención. Sin embargo, aunque estas decisiones preventivas previas, modifican forzosamente las predichas y subjetivas consecuencias, no aclaran la necesidad de actuar o no aseguran la verdad de las premisas en las mismas. El miedo a las consecuencias no puede ser el motor de ninguna decisión ni es capaz por sí mismo de hacer más veraz una posibilidad.
  • Ejemplo: «Iraq tiene armas de destrucción masiva. Como esto puede provocar una guerra muy peligrosa debe ser verdad y por tanto es necesaria una intervención».
  • Ejemplo: «Debes creer en Dios, porque si no lo haces irás al infierno». La única manera de saber la veracidad de una afirmación es basándose en los argumentos que la apoyen. La intervención, es una manera específica de resolución, es también una acción que es independiente de la veracidad de la afirmación y tiene más que ver con la inteligencia para discernir cual es la mejor manera de actuar. Esta vez si que en función de las consecuencias deseadas y a partir de las verdades encontradas, situación, entorno, etc. También es posible que se sea consciente de lo falaz de nuestra lógica y que igualmente por otras razones, egoísmo, intereses o por miedo a la simple probabilidad no nula de amenaza prefiera uno equivocarse y actuar como si estuviera seguro a esforzarse en hallar la verdad.

Mujer vistiendo el burka, vendiendo en un mercadillo.

• Falacia del punto medio o falacia del compromiso o falacia de la moderación: se genera al asumir que la conclusión más valida o certera es la que se encuentra siempre como compromiso entre dos puntos de vista extremos. La falacia se produce porque la verdad o certeza de idoneidad se basa no en los argumentos sino en premisas subjetivas (se subjetiviza la verdad o mentira de un hecho) de qué es lo que se ha considerado como extremo y qué se considere como punto medio y que se considere que éste es siempre cierto. Es posible que lo considerado como extremo es en realidad el hecho cierto. Esta falacia viene del hecho de que con frecuencia una posición intermedia o moderada suele ser correcta.
  • Ejemplo: «Algunas personas creen que Dios es poderoso y que todo lo sabe. Otras creen que Dios no existe. Parece ser razonable aceptar un término medio. Es decir, probablemente Dios exista pero no es siempre el más poderoso, el total omnisciente, ni el más bueno» o «La Tierra está hecha principalmente de roca, y Júpiter de gases, así que Marte debe estar hecho de agua» o «Quiero vender un ordenador por 500 €, pero en eBay me ofrecen 1 €, así que deberé venderlo por 250 €» o «Las mujeres en Occidente no están obligadas a llevar burka, en cambio las mujeres en Oriente están obligadas a llevar el burka, por tanto, las mujeres de todo el mundo se las debería obligar a llevar pañuelo». Esta conclusión es falaz.
• Recurso de probabilidad o apelar a la probabilidad: Es una falacia lógica que asume que porque algo es posible o probable, es inevitable que pase. Esta falacia es usada para provocar y promover la paranoia.
  • Ejemplo: «Hay muchos hackers que usan Internet. Por consiguiente, si usas internet sin un cortafuegos es inevitable que tarde o temprano seas intervenido». La idea lógica que hay detrás de esta falacia es que ya que la probabilidad es muy alta es mejor actuar como si esta fuera verdad. El hecho de que algo sea probable de ocurrir no es un argumento para atestiguar o verificar que ha pasado.

[editar] Falacias informales o paralogismos

• Conclusión irrelevante o ignoratio elenchi o refutación ignorante o eludir la cuestión: Es la falacia lógica de presentar un argumento que puede ser por sí mismo válido, pero que prueba o soporta una proposición diferente a que la que debería apoyar. Aristóteles creía que todas las falacias lógicas podían ser reducidas a ignoratio elenchi. También en algunos casos estas conclusiones irrelevantes son intentos deliberados por parte de manipuladores, expertos en falacias lógicas, de cambiar el asunto de la conversación.
  • Ejemplo: Pablo es un buen deportista y debe ganar la copa. Después de todo, es un buen tipo, ha donado mucho dinero y es miembro de una ONG. Las donaciones o preferencias solidarias no tienen que ver con el merecimiento deportivo de una copa. Tu quoque (‘tú también’ en latín), es un tipo específico de ignoratio elenchi porque se basa en que la premisa o consejo presentado por una persona es falsa porque esta misma persona no la sigue.
  • Ejemplo: «Thomas Jefferson decía que la esclavitud estaba mal. Sin embargo, él mismo tenía esclavos. Por lo tanto se deduce que su afirmación es errónea y la esclavitud debe estar bien».
    

    

    Falacia del hombre de paja. El error del hombre de paja o espantapájaros. Un objetivo/argumento, fácil a abatir sustituye al verdadero.
• Argumentum ad hominem o argumento dirigido al hombre: Consiste en replicar al argumento atacando o dirigiéndose a la persona que realiza el argumento más que a la sustancia del argumento. Tu quoque en el que se desvelan trapos sucios suele ser un mecanismo.
  • Ejemplo: Dices que este hombre es inocente pero no puedes ser creíble porque tú también eres un criminal.
• Falacia del hombre de paja o argumentum ad logicam: Es una falacia lógica basada en la confusión de la posición del oponente. Generar un «hombre de paja» es crear una posición fácil de refutar y luego atribuir esa posición al oponente para destrozarlo. En realidad el argumento real del oponente no es refutado sino el argumento ficticio que se ha creado. El nombre viene de los hombres de paja que se usan para entrenar en el combate y que son fáciles de abatir. Es decir, se atacan los flecos o posibles malinterpretaciones que se puedan hacer de la premisa. Ejemplo: Pedro: «Pienso que los niños no deberían correr por calles con mucho tráfico». Juan aprovecha y crea una posición clara de ataque: «Yo pienso que sería estúpido encerrar a los niños todo el día sin respirar aire limpio». De esta manera, Juan puede atacar una posición radical y fácil que Pedro nunca quiso dar a entender. La única manera de evitar el hombre de paja es que Pedro lo destruya antes que Juan o poner en evidencia la intención de Juan de crearlo para confundir.
• Argumentum ad silentio o argumento dirigido al silencio: Consiste en considerar que el silencio de un ponente o interlocutor sobre un asunto X prueba o sugiere que el ponente es un ignorante sobre X o tiene un motivo para mantenerse en silencio respecto a X. En relación con esta falacia, es necesario hacer referencia a la doctrina jurídico-procesal llamada «de los actos propios», por la cual, en una de sus aplicaciones más frecuentes, si una de las partes en un proceso no alega cierto hecho, dato, prueba o argumento disponiendo de trámite para hacerlo, se presumirá que carece del mismo. Por tanto, aunque lógicamente el argumentum a silentio o ex silentio es una falacia, porque el silencio de un interlocutor no puede tomarse como prueba de certidumbre de lo dicho por un interlocutor contrario, en el terreno de la pura retórica puede ser un indicio de falta de argumentos o de falta de capacidad para contrarrestar dialécticamente los argumentos expuestos por la adversa. Esta presunción se realiza en el terreno jurídico por ser este un terreno subjetivo marcado por leyes que están hechas para que la mayoría pueda quedar satisfecha. Y esto es así porque la mayoría posee el prejuicio de que el silencio de un interlocutor implica la falta de argumentos o un motivo particular para tenerlo y también porque el que rompe el estado de normalidad tiene la obligación de probar con argumentos las acusaciones. Véase Falacia de eludir la carga de la prueba.
• Hipótesis ad hoc: en filosofía y ciencia, ad hoc significa con frecuencia la adición de hipótesis corolarias o ajustes a una teoría filosófica o científica para salvar la teoría de ser rechazada o refutada por sus posibles anomalías y problemas que no fueron anticipados en la manera original. Véase también falacia del francotirador en el que las consecuencias o el orden lógico que se supone debería preverse se desarrolla después de ver los datos. Filósofos y científicos se comportan de manera escéptica ante las teorías que continuamente y de manera poco elegante realizan ajustes ad hoc o hipótesis ad hoc ya que estas son con frecuencia características de teorías seudocientíficas. Gran parte del trabajo científico recae en la modificación de las teorías o hipótesis ya existentes, pero estas modificaciones se distinguen de las modificaciones ad hoc en que los nuevos cambios proponen a su vez nuevos medios o contraejemplos para ser falsificados o refutados. Es decir, la teoría tendría que cumplir con las nuevas contenciones junto con las anteriores.
• Falacia por asociación: Es un tipo de falacia lógica que sostiene que las cualidades de uno son intrínsecamente o esencialmente cualidades de otro simplemente por asociación. Las falacias por asociación son un caso especial de ignoratio elenchi o red herring en inglés en relación a que el argumento de réplica no tiene que ver con el tema o asunto tratado sino que el asunto es deliberadamente modificado para divergir en un tema mejor defendible. Algunos ejemplos de falacia por asociación son: «Algunas obras caritativas son fraudes. Por consiguiente todas las obras caritativas son fraudulentas» o «Bush quiere invadir Iraq. Bush es un republicano. Por consiguiente todos los que apoyan la invasión de Iraq son republicanos».
• Ad ignorantiam o argumento dirigido a la ignorancia: Es una falacia lógica la cual afirma que una premisa es verdadera sólo porque no ha sido probada como falsa o que la premisa es falsa porque no ha sido probada como verdadera. Esto es una falacia porque la veracidad o falsedad de cualquier afirmación es independiente de nuestro conocimiento. Si bien es cierto, sin conocimiento o prueba no se puede ejecutar ninguna acción sin riesgo. Es decir, esta falacia produce que si uno, es decir, subjetivamente o debido a nuestro propio conocimiento encuentra una premisa increíble o poco probable, la premisa puede ser asumida como no verdadera o alternativamente que otra premisa más conocida o preferida pero no probada es la verdadera o la más probable. Con esto, lo que se hace es subjetivizar el estado de verdad o falsedad de las cosas al propio conocimiento o familiaridad del individuo con estas, algo que evidentemente es erróneo. Véase también el modelo de navaja de Occam es decir, un argumento dirigido a la complejidad, que aunque falaz, estrictamente, es un método que inevitablemente a falta de pruebas se sigue usando porque guarda una verdad implícita: en igualdad de condiciones, la sencillez es preferible a la complejidad.
• Falacia del efecto dominó o pendiente deslizante: Es un tipo de falacia lógica que argumenta que si se realiza un determinado movimiento o acción en una determinada dirección esta generará un cascada de eventos uno tras otros en la misma dirección. Esta falacia está basada en las falacias de asociación, las falacias de causa simple, las falacias post hoc, ergo propter hoc y sobre todo en la falacia de recurso de probabilidad que conduce a la paranoia. La falacia consiste en que una vez realizado el primer movimiento en una dirección se continuará inevitablemente en la misma dirección, algo que es probable pero que no debe considerarse cierto. Para evitar caer en la falacia se deben aportar argumentos para la conexión entre los sucesos y tener en cuenta que a medida que se desencadenan más sucesos la probabilidad de que estos ocurran es siempre menor. Este tipo de argumentación es beneficiosa en demagogia ya que aprovechando el sesgo de falsa vivencia consigue despertar la paranoia y el miedo en los receptores. La probabilidad de un suceso no implica su certeza. Esta falacia se usa también con la falacia del hombre de paja de la siguiente manera: 1) A sucede; 2) B inevitablemente sucederá (se aplica la falacia del efecto dominó); 3) B es un suceso detestable (es un suceso fácilmente defendible al que el locutor no quería llegar); 4) por consiguiente A también es detestable (consecución de la falacia del hombre de paja. La conexión entre el suceso A y suceso B puede ser falaz o no serlo y depende de si se aportan suficientes argumentos. Véase también teoría del dominó donde se explica que un argumento independiente es necesario para explicar por qué un principio similar al domino es aplicable a las propias circunstancias.
• Recurrir a las emociones o dirigido a las emociones: en esta falacia el locutor trata de manipular las emociones del receptor, más que usar argumentos válidos, para demostrar la validez o invalidez de los argumentos del contrario. Dentro de esta falacia se encuentran otras como, recurrir a las consecuencias, recurrir al miedo, recurrir a la culpa, recurrir al ridículo, recurso del victimismo y demás falacias en las que las emociones o estados subjetivos de uno o varios individuos se usan como argumento para demostrar la veracidad o falsedad de una aseveración. Especial atención para el recurso del victimismo en el que se mezclan el Argumentum ad hominemataques o argumentos sobre las personas y una apelación a las emociones. Ejemplos:

Caricatura de Charles Darwin como un simio, en la revista Hornet. Se puede observar que lo representaban con características propias de la rama de los simios, como manera de burla a su observación de la evolución del simio al hombre actual. Recurso al ridículo o también a la «falacia ad hóminem».

• Recurrir al ridículo: Esta falacia se parece a la falacia «recurrir a las emociones» porque se presentan los argumentos del oponente de modo que estos parezcan ridículos o irrisorios. Con frecuencia esta falacia es una extensión de un intento por crear una falacia de hombre de paja del argumento actual. Ejemplo: «Si la teoría de la evolución fuera cierta, ¡sería decir que tu abuelo era un gorila!». O este otro ejemplo:

En esta falacia se ridiculiza el argumento. No confundir con la falacia de argumentum ad hominem en el que se ataca a la persona para derrumbar su argumento. Tampoco confundir con reductio ad absurdum (reducción al absurdo) o prueba por contradicción que correctamente construida no es una falacia sino un argumento lógico que además es usado en matemáticas. Reducción al absurdo significa encontrar una excepción de alguna premisa que de manera consensuada o probada la haga falsa o absurda. Ejemplo:

1) Todas las creencias tienen igual validez; 2) yo creo que todas no tienen validez; 3) como tú dices que todas tienen validez y la mía es una creencia, ésta también debe ser válida, por lo que te contradices.

• Argumentum ad populum o «dirigido a las personas» o «dirigido al número de personas» o «dirigido a la mayoría» o «tiranía de la mayoría»: Es un argumento falaz que concluye que una proposición debe ser verdadera porque muchas personas lo creen así. Es decir, recurre a que «si muchas personas lo creen así, entonces será así». En ética el argumento falaz sería «si muchos lo encuentran aceptable, entonces es aceptable». Esta falacia hace uso del prejuicio efecto carro ganador. Esta falacia es un tipo de falacia genética o basada en el origen de las cosas. Es una falacia porque el mero hecho de que una creencia esté ampliamente extendida no soporta o no la hace necesariamente correcta o verdadera. Esto se basa en que si una opinión individual puede ser incorrecta, entonces la opinión sostenida por muchas personas también puede serla. La veracidad o falsedad de una afirmación es independiente o no reside en el número de personas que creen en ella. Esta falacia se usa mucho en publicidad. Ejemplo: «50 millones de fans no pueden estar equivocados» o «la marca X es la marca líder en Europa, por eso deberías comprar productos de esta marca» o «la mayor parte de la gente del planeta cree en algún dios, y no se conocen entre sí, eso no puede ser coincidencia: Dios debe existir» o «los ecologistas dicen que el calentamiento global está sucediendo porque la mayoría de los científicos dicen y lo creen así». Esto es una afirmación falaz, sin embargo, la ciencia trabaja sobre la evidencia no el voto popular, así es apropiado fijarse más en las evidencias que se presentan más que en el número de personas que lo afirman o lo niegan. Esto lleva a que los resultados en democracia no pueden catalogarse como buenos o malos por el número de votantes tan solo se puede afirmar que el resultado es el que el mayor número de personas quiere y eso en democracia debe ser suficiente. Votar por una solución o voto plural como método para saber si una afirmación es cierta o falsa es falaz e incorrecto. Un espectador de un juicio que observa una votación y no los argumentos no puede deducir después de la votación o por el resultado si lo votado es cierto o no. Esto es así porque la votación pudo haberse llevado a cabo a través de los prejuicios y no a través de los argumentos. De igual manera si la lógica es llevada solo a través de argumentos sólidos no sería necesaria la votación. Tanto la democracia como los juicios no obvian esto sino que simplemente hacen la falacia irrelevante definiendo leyes que son subjetivas más que objetivas. Es decir, no se trata de hallar la verdad o lo mejor posible sino de encontrar una solución que agrade a la mayoría. En los juicios por votación existe para evitar, en lo posible, un efecto carro ganador, la presunción de inocencia y además la idea de que la simple posibilidad, suposiciones o pruebas circunstanciales no deben ser tenidas en cuenta por el jurado. Existen excepciones como en etiqueta y protocolo. Estas solo dependen de la aceptación mayoritaria de estos, es decir, son totalmente subjetivos al número así que un argumento ad populum no es falaz en para estos casos. Ejemplo: En Rusia la mayoría piensa que es cortés entre hombres besarse en cada encuentro. Por consiguiente, es cortés para los hombres hacerlo en Rusia. Otra excepción es cuando el argumentum ad pópulum implica implícitamente un argumento «de seguridad» por convención pero no se centra en si es mejor o peor el sistema. Ejemplo: Todos conducen por la derecha. Por tanto, para no tener problemas deberías conducir por la derecha.
• Argumentum ad náuseam: Es un tipo de falacia dirigida a las emociones en el que las personas creen que una afirmación es más probable de ser cierta o más probable de ser aceptada como verdad cuanto más veces ha sido oída. Esta falacia está dirigida a las emociones porque el hastío o ad náuseam que se genera subjetivamente o en cada persona por la repetición de la afirmación es tal que puede hacer cambiar el concepto de ésta sin llegar a escuchar ningún argumento válido. De esta manera, un argumentum ad náuseam es aquel que emplea repetición constante de una afirmación hasta que los receptores se convencen de esta. Este tipo de técnica falaz es usada mucho en política donde sin emplear argumentos, pruebas o evidencias de un hecho se repite una y otra vez la misma afirmación hasta la conversión. Sin embargo, por mucho más que se repita o más esfuerzo se ponga en hacerlo, esto no hace a la afirmación más real o verdadera. Esta falacia viene de la falsa creencia de que si alguien se molesta o dedica tanta energía para la repetición de un mensaje es porque éste debe ser más veraz que otro que no se molesta o puede rebatirlo. Véase efecto del carro ganador y sesgo de la debilidad y fortaleza. 
• Argumentum ad verecundiam o apelar a la autoridad o argumento dirigido a la autoridad: Esta falacia lógica consiste en basar la veracidad o falsedad de una afirmación en la autoridad, fama, prestigio, conocimiento o posición de la persona que la realiza. Un tipo especial de esta falacia es la falacia argumentum ad crumenam donde se considera más veraz una afirmación porque la persona que la realiza es rica o por el contrario en argumentum ad lazarum porque el pobre o de menor clase quien la realiza. La veracidad de un hecho o afirmación no depende, en último estado, de la persona que la realice sino de las pruebas, evidencias o argumentos que se presenten. Esta falacia también puede considerarse una variante del argumentum ad hominem ya que también subjetiviza la veracidad o falsedad de una afirmación en la calificación de un individuo. Sin embargo, al igual que a través de la experimentación se tratan de encontrar excepciones y si no se encuentran se puede considerar una teoría como verdadera, igualmente se puede hacer con las autoridades. Un argumento que apela a la autoridad y no falaz sino lógico en función de sus premisas sería: 1) A realiza una afirmación B 2) A nunca está confundido, equivocado o deshonesto 3) por lo tanto la afirmación, evidencia o prueba B debe ser tomada en consideración que no como cierta. Tanto como la premisa 2 sea cierta su conclusión también lo será. Así apelar a una autoridad puede ser lógicamente correcto mientras haya sido suficientemente probada su autoridad y no se hayan encontrado excepciones. Esto no quiere decir que la afirmación sea cierta y no se encuentre una excepción pero esto es algo que es inevitablemente y energéticamente hablando no puede evitarse por el número de pruebas y test que deberían hacer para tomar decisiones. Ejemplos falaces son los siguientes: «esa afirmación es verdad, porque lo he visto en televisión» o «esto debe ser verdad porque aparece en Wikipedia» o «lo dice la revista científica Nature, por consiguiente debe ser cierto». En todos estos casos si no se conocen o se ha experimentado con las fuentes se genera un ipse dixit.

Ejemplos de argumentos haciendo uso de la falacia argumenum ad consecuentiam.

• Recurrir a la tradición o argumentum ad antiquitatem: Es una falacia lógica típica en la que una tesis es proclamada como correcta basándose en que ésta ha sido tradicionalmente considerada correcta durante mucho tiempo. En definitiva, «esto es correcto porque siempre se ha hecho de esta manera». Este argumento hace dos suposiciones: 1) que la antigua manera de pensar fue probada como correcta cuando se introdujo (lo cual puede ser falso, ya que la tradición puede estar basada en fundamentos incorrectos); 2) las razones que probaron este argumento en el pasado son actualmente vigentes para hoy. Si las circunstancias han cambiado esto puede ser falso. Por otro lado, esta falacia también asume que mantener el statu quó es preferible o deseable ante la posibilidad de un cambio, lo cual puede ser también incorrecto. Ejemplo: «En Navidad siempre hemos traído a casa árboles arrancados del bosque, ¿por qué ahora tendremos que comprar uno de plástico?»
• Falacia de las muchas preguntas o pregunta compleja o plurium interrogationum (‘de muchas preguntas’ en latín): es una falacia formal que es realizada cuando alguien hace una pregunta que presupone algo que todavía no ha sido probado o aceptado por todas las personas envueltas. Esta falacia es con frecuencia usada retóricamente para dar a entender la presunción o conocimiento de la respuesta a la pregunta por parte del que la realiza. Ejemplo: «¿Sigues saliendo a comer con tu mujer?». La respuesta tanto afirmativa como negativa admitiría que la persona tiene mujer y que al menos antes salía a comer con ella. Estos hechos son presupuestos por la pregunta. Se trata de una falacia porque se asume la verdad o se presuponen algunos hechos a la hora de hacer la pregunta compleja. Esto no quiere decir que no sean ciertos pero si que no deben creerse, por los demás oyentes, como ciertos hasta no recibir la respuesta. Para evitar estas asunciones lo mejor es no responder la pregunta ya que no se dará ninguna información extra. Para evitar hacerlo se puede responder con otra pregunta que apunte al porqué de las asunciones o denotar o mostrar que la pregunta está envenenada y ha presupuesto algunos hechos. Si no es posible evitar responder entonces la respuesta debe ser completa y negar las presunciones.
• Dos errores hacen un acierto: Es una falacia lógica que ocurre cuando se asume que si un error es cometido, otro error podrá cancelarlo. La falsedad o equivocación en un comentario o acción no hace más necesario, loable o racionalmente prudencial realizar otro acto equivocado en represalia. Este tipo de falacia se reproduce en la ley de talión o en el ojo por ojo. Es debida a varios sesgos como sesgo de simetría, fenómeno del mundo justo. El problema no reside en saber qué se considera error o si se considera un error y un acierto la represalia. La falacia no está en la definición de las dos acciones iniciales sino en considerar que el resultado está definitivamente, por cancelación, ligado a un acierto o a un error. La idea de que un error es cancelado por otro viene de la semejanza o ilusión de serie que existe con las leyes físicas donde una fuerza en una dirección genera otra fuerza simétrica, de igual magnitud, pero en dirección opuesta. Sin embargo, la ley no se pronuncia sobre el acierto de la fuerza en un sentido y del otro, es decir, no se pronuncia sobre la idoneidad o finalidad de este comportamiento. Es decir, en física esto no se puede cambiar pero en los comportamientos sí y si una reacción diferente conduce a una mejor consecución de acontecimientos, esta debería tomarse. De esta manera muchos pueden encontrar argumentos para justificar que en defensa propia uno puede responder con violencia a la violencia pero no podrán ligar un resultado positivo debido solo a una cancelación de efectos. Es más, en la guerra fría, la amenaza nuclear en represalia a otra amenaza nuclear fue usada y aunque evitó la guerra creó una escalada armamentística. Es decir, ligar el resultado a un acierto debe hacerse con otros argumentos más que la pura cancelación de dos efectos nocivos. De otra manera, se pueden entrar en ciclos de violencia, acumulación de armas, escalada de desconfianza, y otros errores en incremento, cuando la otra parte usa la misma lógica. Ejemplo:

• Falacia del costo irrecuperable o falacia de la concordia: Esta falacia se produce cuando alguien realiza una inversión que parece ser no rentable y razona de la siguiente manera: «No puedo parar ahora, de otra manera lo que he invertido hasta el momento se perderá». Esto es verdad, por supuesto, pero irrelevante para la decisión de si uno debe continuar invirtiendo en el proyecto. Es decir, los argumentos para seguir invirtiendo en el proyecto no se deben basar en el miedo a la pérdida de lo invertido sino en las expectativas de funcionamiento del proyecto ambas cosas totalmente independientes. Si no hay esperanza de ningún éxito para la inversión, entonces, el hecho de que uno haya ya metido un montón de dinero y esfuerzo no justifica tener que seguir perdiéndolo para no afrontar el error inicial. Esto se da en las personas que no saben o pueden claudicar, por el prejuicio existente de que si se pone toda la energía en algo serán capaces de vencerlo. Sin embargo, siempre puede haber un factor desconocido o variable desconocida que podría llevarles al fracaso indefinidamente o irremediablemente. Esta falacia se constata en que estas personas creen ser capaces siempre de aprender o hallar este factor cuando la operación lógica sería parar y una vez aprendido comenzar. Continuar invirtiendo en un proyecto que no funciona no depende de lo invertido sino de la esperanza o estimación de éxito justificada o de la importancia del mismo para otros factores independientemente de los resultados a corto plazo. Ejemplo: Todos sabemos que vamos a morir. Luchar por la supervivencia tiene sentido aunque inevitablemente se fracase. La supervivencia es importante para otros objetivos secundarios como la reproducción, la superación, aprendizaje y otros valores que subjetivamente consideremos secundarios y que no tengan que ver necesariamente con la propia supervivencia pero que dependan directamente de ésta. Ejemplo: Supongamos que una relación no funciona y que es evidente que dicha relación es considerada temporal. La inversión en esta relación podría estar justificada por los objetivos o beneficios secundarios que pueda generar. El límite o punto en el que es considerado necesario abandonar puede estar para algunos en el momento en el que se debe poner más energía de la necesaria para obtener los beneficios por otros cauces. O en una situación optimista cuando los beneficios laterales disminuyan a partir de cierta barrera considerada mínima para el proyecto. La cuestión es que muchos caen en la falacia y persisten en una relación o proyecto incluso cuando no reporta beneficios laterales o secundarios por el simple hecho o razón de que ya han invertido toda su vida o todos sus fondos en él y ésta fuera una razón lógica para seguir haciéndolo.
• Falacia de acentuación: Se trata de una de las falacias lingüísticas reconocidas por Aristóteles y que era usada por el Oráculo de Delfos. La falacia se construye al realizar una proposición que contiene una parte afirmando o concordando con un tema y otra parte con una objeción o condición. En función de dónde se aplique la fuerza de acentuación se denotará más o menos importancia en un sentido u otro. De esta manera se puede crear una ambigüedad en el sentido de la interpretación. Este tipo de engaño o falacia así como las verdades a medias se da con mucha frecuencia en política ya que permite al político retractarse de lo dicho si las cosas salen mal. Ejemplo: Un periodista le pregunta a un miembro del congreso acerca de si éste está de acuerdo con el nuevo sistema de misiles del presidente; el congresista responde: «Estoy a favor de un sistema de defensa de misiles que efectivamente defienda a nuestro país». Si le da énfasis a la palabra favor estará de acuerdo con el presidente, pero si da énfasis a las palabras que efectivamente defienda significará que no se está de acuerdo con el sistema de misiles del presidente. Ejemplo: «Me gustas mucho, cuando estás de buen humor» o «estoy de acuerdo con un sistema de votación que sea justo y claro».
• Anfibología: Es un tipo de falacia del lenguaje que se da cuando se emplean frases o palabras con más de una interpretación, o cuyo significado puede cambiar en función de si se insertan comas o pausas. También fueron usadas por el Oráculo de Delfos. Ejemplo: «Persas, quedaos en vuestra casa». Tiene dos interpretaciones: «Persas, quedaos en Persia» o «¡Persas! Griegos, quedaos en Grecia». Ejemplo: «Si luchas con puntas de plata, un gran reino será vencido». Pero, ¿qué reino será vencido, el enemigo o el propio?
• Argumento del precio o recurrir al dinero: La falacia del argumento del precio se produce cuando se supone que si algo cuesta una gran cantidad de dinero, entonces debe ser mejor. También se da si se supone que si alguien tiene una gran cantidad de dinero entonces será también una mejor persona en alguna otra faceta. Véase efecto halo y argumentum ad crumenaem. Ejemplo: «Puede ser que este producto tenga mejores características, pero este otro es más caro y elitista, así que debe ser mejor» o «el vino de la cosecha del 45 es increíble, cada botella cuesta 3000 euros; ¡no lo puedes ni comparar con el ganador de este año!».
• Evadir la conversación o «ignoratio elenchi de conversación» o eludir la cuestión: Es un razonamiento que se supone tendrá que responder a un tema determinado pero en lugar de hacerlo, narra o explica aspectos distintos. La mejor manera de hacerlo es explicar y narrar extensamente algo anexo a la respuesta pero que el espectador viera con buenos ojos. Es decir, si la pregunta es sobre una supuesta corrupción fiscal. La respuesta sería hablar sobre lo buena persona, eficiente, honrada que es tu familia en casa. Hablar luego de la honradez o de la eficiencia de tus colaboradores. Así sin responder directamente a la pregunta permites que el espectador suponga por asociación y caiga en la falacia de asociación. Este tipo de respuesta se da mucho en política y debates y es muy usual y al mismo tiempo muy importante. Es una técnica sencilla pero poderosa si se sabe lo que el público desea escuchar. Cuando se describe algo, también se pueden insertar comandos u órdenes que según la programación neurolingüística permiten que la gente haga o piense del modo que se desee. Cuando se describe algo positivo no de uno mismo sino de otra persona, por asociación neurolingüística esas mismas palabras son interpretadas sobre ti o sobre el propio receptor. De esta manera si se describen situaciones positivas es posible programar a los oyentes para que en realidad crean que tú las posees. Ejemplo: «¿Ganarán el partido mañana?». Respuesta: «Hemos trabajado duro, el equipo está al 100% y luchará hasta el final para conseguir lo mejor de ellos. Esta temporada hemos ganado casi todos los partidos, mañana será un día importante y los chicos lo saben». Ejemplo: «¿Te gusta María?». Respuesta: «Ella es alguien especial, siempre estoy con ella y lo pasamos bien. Es una buena chica y puedo confiar en ella, es mucho de lo que siempre he buscado en una mujer». Ejemplo: «¿Qué prefieres, amor o sexo?» Respuesta: «El amor es algo muy importante en la vida de todos, me gusta amar y ser amado, y con el sexo igual. Nadie puede vivir sin amor. Por fortuna, tengo la suerte de ser amado por una familia que me aprecia y que me quiere y de tener muchos amigos».
• Pensamiento de grupo: Una persona comete la falacia de pensamiento de grupo o de pensamiento gremial si la persona usa su orgullo de miembro o de pertenecer a un grupo como razón para apoyar la política del grupo. Si lo que el grupo piensa es esto, entonces eso es suficientemente bueno para mi y es lo que debería pensar también yo. El patriotismo o en sentimiento nacionalista es una versión fuerte de esta falacia. Ejemplo: «Soy de EE. UU., así que todo lo que haga mi país en Iraq es bueno, porque EE. UU. es un país libre y avanzado» o «debemos apoyar al gobierno en esta medida porque él siempre hace lo mejor para sus ciudadanos» o «que todo el mundo sepa que lo que hacemos es lo mejor porque pertenecemos a la mejor cadena de restaurantes». «Soy mujer, así que todo lo que digan las feministas es bueno, y todo lo que digan los hombres es malo».
• Falacia de eludir la carga de prueba: Consiste en asumir que algo es verdad o mentira mediante el simple hecho de no aportar razones que fundamenten la conclusión (silencio), en negarse o en pretender que las aporte el oponente. La expresión carga de la prueba procede del campo jurídico y se expresa en el brocardo: probat qüi dicit non qüi negat (‘debes probar lo que dices, no lo que niegas’), es decir que quien sostiene algo debe probarlo más allá de toda duda razonable. Expresión máxima de esta falacia es la sordera mental de quien se niega a razonar. Como decía fray Luis de León: «Dice y no da razón de lo que dice». Ejemplo: «Sobre la cuestión del divorcio no quiero ni oír hablar. Como te he dicho, creo que el vínculo del matrimonio es indivisible y punto» o «no escuches lo que dice, es todo manipulación informativa». (Para saber si es manipulación se deben escuchar los argumentos de ambas partes y comprobar si son ciertos. Para sostener una afirmación o para disponer más carga en un sentido o en otro es necesario disponer de la información o presentar pruebas de ello, por tanto, nunca se debe eludir la carga de prueba. Véase Pensamiento crítico.

[editar] Tipos de falacias no formales

La siguiente lista contiene tipos de falacias, aunque no es exhaustiva.

• Argumentum ad hominem

• ad hominem abusivo (o argumentum ad personam)
• ad hominem circunstancial (o ad hominem circumstantiae)
• ad hominem tu quoque (o argumento del "tú también")

• Argumentum ad baculum
• Argumentum ad verecundiam
• Argumentum ad populum
• Argumentum ex populo
• Argumentum ad consecuentiam
• Falacia ad ignorantiam
• Falacia ex silentio
• Falacia naturalista
• Falacia ecológica
• Falacia cartesiana
• Falacia de causa cuestionable
• Falacia non sequitur
• Falacia quaternio terminorum
• Falacia de suma cero
• Falacia genética
• Falso dilema
• Petición de principio (petitio principii)
• Post hoc ergo propter hoc
• Accidente
• Accidente inverso
• Generalización indebida

[editar] Véase también

• Entimema
• Ad hoc
• Factor de confusión
• Sofisma
• Paralogismo
• Prejuicio cognitivo
• Prueba diabólica
• Dialelo
• Desinformación
• Falacia fractal

[editar] Notas y referencias

[editar] Bibliografía adicional

• Copi, Irving, Introducción a la lógica, Eudeba, Buenos Aires, 1969.
• Juan Manuel Comesaña, Lógica informal, falacias y argumentos filosóficos, Eudeba, Buenos Aires, 2001.
• Pablo da Silveira, Cómo ganar discusiones (o al menos cómo evitar perderlas), Taurus, Buenos Aires, 2004.
• Aristoteles, On Sophistical Refutations - De Sophistici Elenchi.
• Ockham, William of, Summa of Logic (ca. 1323), parte 3.4.
• Buridan, John, Súmmulae de dialéctica, libro 7.
• Bacon, Francis, fly.hiwaay.net (Francis Bacon, la doctrina de los ídolos en el Novum Órganum Scientiarum, aforismos relativos a The Interpretation of Nature and the Kingdom of Man, 23 ff)
• Arthur Schopenhauer, The Art of Controversy.
• Mill, John Stuart, A System of Logic LA.UTexas.edu/Research/Poltheory/Mill/SOL
• Raciocinative and Inductive, Book 5, Chapter 7, Fallacies of Confusion
• Hamblin, C. L., Fallacies, Methuen, London, 1970.
• Fischer, D. H., Historians’ Fallacies: Toward a Logic of Historical Thought, Harper Torchbooks, 1970.
• Walton, Douglas N., Informal logic: A handbook for critical argumentation, Cambridge University Press, 1989.
• Walton, Douglas N., The place of emotion in Argument, The Pennsylvania State University Press, 1992.
• Van Eemeren, F. H., y R. Grootendorst, Argumentation, Communication and Fallacies: A Pragma-Dialectical Perspective, Lawrence Erlbaum and Associates, 1992.

[editar] Enlaces externos

En español:

• UsoDeRazon.com (Diccionario de Falacias y lógica completa, por Ricardo García Damborenea).
• l culturitalia.uibk.ac.at/hispanoteca (sofismas).
• AngelFire.com/az/Ateismo/Logica.html (el ateísmo en la red: lógica y falacias).
• usuario.tiscali.es/usoderazon (uso de razón: el arte de razonar, persuadir, refutar)
• www.arp-sapc.org/alojadas/falacias1.html (falacias lógicas, escepticismo)

En inglés:

• The Fallacy Files
• The Fallacy Files by Gary N. Curtis
• Logic & Fallacies, from Atheism Web (sin relación directa con el ateísmo)
• Logic and fallacies: How to spot a problem argument
• Stephen's Guide to the Logical Fallacies
• Mirror
• Bruce Thompson's table of fallacies
• Logical fallacies on WikiWikiWeb
• The Woolly-Thinker's Guide to Rhetoric
• The Autonomist's Logical Fallacies
• A list of Fallacious Arguments
• Propaganda techniques - Disinfopedia
• Informal Fallacies, by Michael Connelly, contributed to the Critical Thinking Across the Curriculum Project
• Papers on fallacies and argumentation, by Douglas N. Walton

En lógica(matemática), la lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos de argumentos. En lógica proposicional, las fórmulas representan proposiciones y las conectivas lógicas son operaciones sobre dichas fórmulas, capaces de formar otras fórmulas de mayor complejidad.^[1] Como otros sistemas lógicos, la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensión de la noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza.

[editar] Introducción

Considérese el siguiente argumento:

1. Mañana es miércoles o mañana es jueves.
2. Mañana no es jueves.
3. Por lo tanto, mañana es miércoles.

Es un argumento válido. Quiere decir que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Esto no quiere decir que la conclusión sea verdadera. Si las premisas son falsas, entonces la conclusión también podría serlo. Pero si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es. La validez de este argumento no se debe al significado de las expresiones "mañana es miércoles" y "mañana es jueves", porque éstas podrían cambiarse por otras y el argumento permanecer válido. Por ejemplo:

1. Está soleado o está nublado.
2. No está nublado.
3. Por lo tanto, está soleado.

En cambio, la validez de estos dos argumentos depende del significado de las expresiones "o" y "no". Si alguna de estas expresiones se cambiara por otra, entonces podría ser que los argumentos dejaran de ser válidos. Por ejemplo:

1. Ni está soleado ni está nublado.
2. No está nublado.
3. Por lo tanto, está soleado.

Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se llaman conectivas lógicas. La lógica proposicional estudia el comportamiento de una variedad de estas expresiones. En cuanto a las expresiones como "está nublado" o "mañana es jueves", lo único que importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las reemplaza por simples letras, cuya intención es simbolizar una expresión con valor de verdad cualquiera. A estas letras se las llama variables proposicionales, y en general se toman del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, s, etc. Así, los dos primeros argumentos de esta sección podrían reescribirse así:

1. p o q
2. No q
3. Por lo tanto, p

Y el tercer argumento, a pesar de no ser válido, puede reescribirse así:

1. Ni p ni q
2. No q
3. Por lo tanto, p

[editar] Conectivas lógicas

A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas.

Conectiva	Expresión en el lenguaje natural	Ejemplo	Símbolo en este artículo	Símbolos alternativos
Negación	no	No está lloviendo.
Conjunción	y	Está lloviendo y está nublado.
Disyunción	o	Está lloviendo o está soleado.
Condicional material	si... entonces	Si está soleado, entonces es de día.
Bicondicional	si y sólo si	Está nublado si y sólo si hay nubes visibles.
Negación conjunta	ni... ni	Ni está soleado ni está nublado.
Disyunción excluyente	o bien... o bien	O bien está soleado, o bien está nublado.

En la lógica proposicional(semántica bivalorada), las conectivas lógicas son tratados con funciones de verdad. Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por ejemplo, el símbolo lógico "no" es una función que si toma el valor de verdad 1, devuelve 0, y si toma el valor de verdad 0, devuelve 1. Por lo tanto, si se aplica la función "no" a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo verdadero. Si es falso que "está lloviendo", entonces será verdadero que "no está lloviendo".

El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.

[editar] Límites de la lógica proposicional

La maquinaria de la lógica proposicional permite formalizar y teorizar sobre la validez de una gran cantidad de argumentos. Sin embargo, también existen argumentos que son intuitivamente válidos, pero cuya validez no puede ser probada por la lógica proposicional. Por ejemplo, considérese el siguiente argumento:

1. Todos los hombres son mortales.
2. Sócrates es un hombre.
3. Por lo tanto, Sócrates es mortal.

Según la lógica proposicional, la forma de este argumento es la siguiente:

Pero esta es una forma de argumento inválida, y eso contradice nuestra intuición de que el argumento es válido. Para teorizar sobre la validez de este tipo de argumentos, se necesita investigar la estructura interna de las variables proposicionales. De esto se ocupa la lógica de primer orden. Otros sistemas formales permiten teorizar sobre otros tipos de argumentos. Por ejemplo la lógica de segundo orden, la lógica modal y la lógica temporal.

[editar] Dos sistemas formales de lógica proposicional

A continuación se presentan dos sistemas formales estándar para la lógica proposicional. El primero es un sistema axiomático simple, y el segundo es un sistema sin axiomas, de deducción natural.

[editar] Sistema axiomático

[editar] Alfabeto

El alfabeto de un sistema formal es el conjunto de símbolos que pertenecen al lenguaje del sistema. Si L es el nombre de este sistema axiomático de lógica proposicional, entonces el alfabeto de L consiste en:

• Una cantidad finita pero arbitrariamente grande de variables proposicionales. En general se las toma del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, etc., y utilizando subíndices cuando es necesario o conveniente. Las variables proposicionales representan proposiciones como "está lloviendo" o "los metales se expanden con el calor".
• Un conjunto de operadores lógicos:
• Dos signos de puntuación: los paréntesis izquierdo y derecho. Su única función es desambiguar ciertas expresiones ambiguas, en exactamente el mismo sentido en que desambiguan la expresión 2 + 2 ÷ 2, que puede significar tanto (2 + 2) ÷ 2, como 2 + (2 ÷ 2).

[editar] Gramática

Una vez definido el alfabeto, el siguiente paso es determinar qué combinaciones de símbolos pertenecen al lenguaje del sistema. Esto se logra mediante una gramática formal. La misma consiste en un conjunto de reglas que definen recursivamente las cadenas de caracteres que pertenecen al lenguaje. A las cadenas de caracteres construidas según estas reglas se las llama fórmulas bien formadas. Las reglas del sistema L son:

1. Las variables proposicionales del alfabeto de L son fórmulas bien formadas.
2. Si es una fórmula bien formada de L, entonces también lo es.
3. Si y son fórmulas bien formadas de L, entonces , , y también lo son.
4. Sólo las expresiones que pueden ser generadas mediante las cláusulas 1 a 3 en un número finito de pasos son fórmulas bien formadas de L.

Según estas reglas, las siguientes cadenas de caracteres son ejemplos de fórmulas bien formadas:

Y los siguientes son ejempos de fórmulas mal formadas:

Por otra parte, dado que la única función de los paréntesis es desambiguar las fórmulas, en general se acostumbra omitir los paréntesis externos de cada fórmula, ya que estos no cumplen ninguna función. Así por ejemplo, las siguientes fórmulas generalmente se consideran bien formadas:

[editar] Axiomas

Los axiomas de un sistema formal son un conjunto de fórmulas bien formadas que se toman como punto de partida para demostraciones ulteriores. Un conjunto de axiomas estándar es el que descubrió Jan Łukasiewicz:

[editar] Reglas de inferencia

Una regla de inferencia es una función que va de conjuntos de fórmulas a fórmulas. Al conjunto de fórmulas que la función toma como argumento se lo llama premisas, mientras que a la fórmula que devuelve como valor se la llama conclusión. En general se busca que las reglas de inferencia transmitan la verdad de las premisas a la conclusión. Es decir, que sea imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. En el caso de L, la única regla de inferencia es el modus ponens, el cual dice:

Recordando que y no son fórmulas, sino metavariables que pueden ser reemplazadas por cualquier fórmula bien formada.

[editar] Ejemplo de una demostración

A demostrar:
Paso	Fórmula	Razón
1		Instancia del primer axioma.
2		Instancia del primer axioma.
3		Instancia del segundo axioma.
4		Desde (2) y (3) por modus ponens.
5		Desde (1) y (4) por modus ponens. Q.E.D.

[editar] Deducción natural

Un sistema de lógica proposicional también puede construirse a partir de un conjunto vacío de axiomas. Para ello se especifican una serie de reglas de inferencia que intentan capturar el modo en que naturalmente razonamos acerca de las conectivas lógicas.

• Introducción de la negación:

• Eliminación de la negación:

• Introducción de la conjunción:

• Eliminación de la conjunción:

• Introducción de la disyunción:

• Eliminación de la disyunción:

• Introducción del condicional (véase el teorema de la deducción):

• Eliminación del condicional (modus ponens):

• Introducción del bicondicional:

• Eliminación del bicondicional:

[editar] Ejemplo de una demostración

A demostrar:
Paso	Fórmula	Razón
1		Supuesto.
2		Desde (1) por introducción de la disyunción.
3		Desde (1) y (2) por introducción de la conjunción.
4		Desde (3) por eliminación de la conjunción.
5		Resumen de (1) hasta (4).
6		Desde (5) por introducción del condicional. Q.E.D.

[editar] Lenguaje formal en la notación BNF

El lenguaje formal de la lógica proposicional se puede generar con la gramática formal descrita usando la notación BNF como sigue:

La gramática anterior define la precedencia de operadores de la siguiente manera:

1. Negación ()
2. Conjunción ()
3. Disyunción ()
4. Condicional material ()
5. Bicondicional ()

[editar] Semántica

Una interpretación para un sistema de lógica proposicional es una asignación de valores de verdad para cada variable proposicional, sumada a la asignación usual de significados para los operadores lógicos. A cada variable proposicional se le asigna uno de dos posibles valores de verdad: o 1 (verdadero) o 0 (falso). Esto quiere decir que si hay n variables proposicionales en el sistema, el número de interpretaciones distintas es de 2ⁿ.

A partir de esto podemos definir: si es una fórmula cualquiera de un lenguaje L, e I es una interpretación de L, entonces:

• es verdadera bajo la interpretación I si y sólo si I asigna el valor de verdad 1 a .
• es falsa bajo la interpretación I si y sólo si I asigna el valor de verdad 0 a .
• es una tautología (o una verdad lógica) si y sólo si para toda interpretación I, I asigna el valor de verdad 1 a .
• es una contradicción si y sólo si para toda interpretación I, I asigna el valor de verdad 0 a .
• es consistente (o satisfacible) si y sólo si existe al menos una interpretación I que asigne el valor de verdad 1 a .
• es una consecuencia semántica de un conjunto de fórmulas Γ si y sólo si para toda fórmula que pertenezca a Γ, no hay ninguna interpretación en que sea verdadera y falsa. Cuando es una consecuencia semántica de Γ en un lenguaje L, se escribe:
• es una fórmula lógicamente válida si y sólo si es una consecuencia semántica del conjunto vacío. Cuando es una fórmula lógicamente válida de un lenguaje L, se escribe:

[editar] Tablas de verdad

La tabla de verdad de una fórmula es una tabla en la que se presentan todas las posibles interpretaciones de las variables proposicionales que constituyen la fórmua y el valor de verdad de la fórmula completa para cada interpretación. Por ejemplo, la tabla de verdad para la fórmula sería:

Como se ve, esta fórmula tiene 2ⁿ interpretaciones posibles —una por cada línea de la tabla—, donde n es el numero de variables proposicionales (en este caso 3, es decir p, q, r) , y resulta ser una tautología, es decir que bajo todas las interpretaciones posibles de las variables proposicionales, el valor de verdad de la fórmula completa termina siendo 1. Dependiendo de los valores de verdad que resulten de hacer la tabla las expresión lógicas pueden definirse como tautologia o valida en la cual para todos los valores de verdad de p,q y r da verdadero, además existe la contingencia o satisfacible, en la cual los valores de verdad de la expresión pueden ser verdaderos o falso, pero no todas falsas pues eso es una contradicción o insatifasible, y si habláramos de un conjunto de expresiones, se llaman valido, consistente o inconsistente. en base a esto se puede hablar de equivalencias lógicas en las cuales se cumple que son tautologias.

[editar] Formas normales

A menudo es necesario transformar una fórmula en otra, sobre todo transformar una fórmula a su forma normal. Esto se consigue transformando la fórmula en otra equivalente y repitiendo el proceso hasta conseguir una fórmula que sólo use los conectivos básicos (). Para lograr esto se utilizan las equivalencias logicas:

Por ejemplo, considérese la siguiente fórmula:

La misma puede desarrollarse así:

Se dice que una fórmula está en forma normal disyuntiva (FND) si y sólo si tiene la siguiente forma:

donde cada A es una conjunción de fórmulas. Por ejemplo, la siguiente fórmula está en forma normal disyuntiva:

Se dice que una fórmula está en forma normal conjuntiva (FNC) si y sólo si tiene la siguiente forma:

donde cada A es una disjunción de fórmulas. Por ejemplo, la siguiente fórmula está en forma normal conjuntiva:

Por las leyes de De Morgan, es posible pasar de una forma normal disyuntiva a una forma normal conjuntiva y viceversa:

Las FNC y FND son mutuamente duales. La demostracion hace uso de las leyes de De Morgan y de la propiedad distributiva de la conjunción y la disyunción. Se debe cumplir que:

Y viceversa:

[editar] La lógica proposicional y la computación

Debido a que los computadores trabajan con información binaria, la herramienta matemática adecuada para el análisis y diseño de su funcionamiento es el Álgebra de Boole. El Álgebra de Boole fue desarrollada inicialmente para el estudio de la lógica. Ha sido a partir de 1938, fecha en que Claude Shannon publicó un libro llamado "Análisis simbólico de circuitos con relés", estableciendo los primeros conceptos de la actual teoría de la conmutación, cuando se ha producido un aumento considerable en el número de trabajos de aplicación del Álgebra de Boole a los computadores digitales. Hoy en día, esta herramienta resulta fundamental para el desarrollo de los computadores ya que, con su ayuda, el análisis y síntesis de combinaciones complejas de circuitos lógicos puede realizarse con rapidez.

[editar] Aristóteles con respecto al estudio de la lógica

La lógica es conocida como una de las ciencias más antiguas, tanto es así que se le atribuye a Aristóteles la paternidad de esta disciplina. Partiendo de que corresponde a Aristóteles haber sido el primero en tratar con todo detalle la lógica, se le considera pues ser su fundador. En un principio se llamó Analítica, en virtud del título de las obras en que trató los problemas lógicos. Más tarde los escritos de Aristóteles relativos a estos eventos fueron recopilados por sus discípulos con el título de Organon, por considerar que la lógica era un instrumento para el conocimiento de la verdad.

Aristóteles se planteo cómo es posible probar y demostrar que un conocimiento es verdadero, es decir, que tiene una validez universal. Aristóteles encuentra el fundamento de la demostración en la deducción, procedimiento que consiste en derivar un hecho particular de algo universal. La forma en que se afecta esa derivación es el silogismo, por cuya razón la silogística llega a ser el centro de la lógica aristotélica.

[editar] Véase también

• Álgebra de Boole
• Cálculo lógico
• Cálculo proposicional de Frege
• Gráficos existenciales
• Lógica matemática
• Lógica de primer orden
• Tabla de valores de verdad
• Teoría de grafos
• Silogismo
• Valor de verdad

[editar] Bibliografía básica

Enderton, H.B., A Mathemátical introduction to Logic, Academic Press, 1972.

Hamilton, A.G., Lógica para matemáticos, Paraningo, 1981.

Mendelson, E., Introduction to Mathematical Logic, 3ª. ed.,Wadworth an Brook/Cole, 1987, 4ª ed.,Chapman and may, 1997.

Pla, J., Lliçons de lógica matemática, P.P.U., 1991.

[editar] Bibliografía complementaria

Badesa, C., Jané, I., Jansana, R., Elementos de lógica formal, Ariel, 1998.

Barnes, D.W., Mack, J.M., Una introducción algebraica a la lógica matemática, Eunibar, 1978.

Bridge, J., Beginning Model Theory, Oxford University Press, 1977.

Ershov, Y., Paliutin. E., Lógica matemática, Mir, 1990.

Hofstadter, D., Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle, Tusquets Editores, Barcelona, 1987.

Jané, I., Álgebras de Boole y lógica, Publs. U.B., 1989.

Monk, J.D., Mathematical Logic, Springer-Verlag, 1976.

Nidditch, P.H., El desarrollo de la lógica matemática. Ediciones Cátedra, 1978.

Van Dalen, D., Logic and Structure, 2nd ed., Universitext, Springer-Verlag, 1983.

[editar] Notas y referencias

[editar] Enlaces externos

• Introducción a la lógica proposicional

?   Canguros
Macropus giganteus
Clasificación científica
Reino:	Animalia
Filo:	Chordata
Clase:	Mammalia
Subclase:	Marsupialia
Orden:	Diprotodontia
Familia:	Macropodidae
Subfamilia:	Macropodinae (parte) Gray, 1821
Géneros
ver texto

El término canguro es el nombre común que se utiliza para designar a las especies de mayor tamaño de la subfamilia Macropodinae, tal como el término walabí se utiliza para denominar a las de menor tamaño. Se utiliza también a veces en un sentido más amplio para referirse a todos los miembros de la familia de los macrópodos. Sin embargo, el término no responde a una clasificación científica, por lo que especies pertenecientes a un mismo género (agrupación de especies estrechamente relacionadas entre sí) pueden ser llamadas canguro, walabí o walarú, sólo dependiendo de su tamaño. Por ejemplo, Macropus parma es conocido como el walabí de Parma,^[1] mientras que Macropus antilopinus, es denominado indistintamente como canguro antílope o walarú antílope.^[2]

La subfamilia Macropodinae incluye, además de las especies de canguros, walabís y walarús, otras comúnmente conocidas como canguros arborícolas, cuocas, dorcopsis y pademelones.

Existen muchas especies denominadas canguro, y aquí se ven reflejadas tres de ellas:

• El canguro rojo (Macropus rufus), el cual es el mayor de los canguros y el mayor de los marsupiales aún en existencia. Los canguros rojos ocupan el centro árido y semi-árido de Australia. Un macho adulto puede medir 1,5 m de altura y pesar 85 kg.
• El canguro gris oriental (Macropus giganteus), menos conocido que el canguro rojo, pero avistado más frecuentemente, ya que su rango cubre el área oriental fértil australiana.
• El canguro gris occidental (Macropus fuliginosus), de tamaño menor y encontrado al sur de la Australia occidental, sur de Australia cerca de la costa y en la cuenca del río Darling.

Los canguros poseen grandes y poderosas patas traseras, grandes pies diseñados para saltar, una cola larga y musculosa para mantener el equilibrio y una cabeza pequeña. Los canguros son herbívoros, alimentándose de pasto y raíces. Todas las especies son nocturnas y crepusculares, usualmente pasando el día en quietud y alimentándose durante las tardes y noches frías, generalmente en grupos. Tienen una esperanza de vida de 18 años aproximadamente.

Los canguros se encuentran principalmente en Oceanía. Popularmente el canguro es conocido como el animal más representativo de Australia.

[editar] Origen del nombre

La palabra canguro deriva de gangurru, una palabra del Guugu Yimidhirr (una lengua aborigen australiana), que se refería al canguro gris. El nombre fue escrito por primera vez (en su versión inglesa kangaroo) por el Teniente James Cook el 4 de agosto de 1770.

Una leyenda extendida afirma que en realidad el nombre canguro habría surgido al preguntar los occidentales el nombre de aquel animal y ser esto lo que respondían los aborígenes; su significado, sin embargo, no era el nombre del animal, sino la frase "no le entiendo".^[3]

[editar] Reproducción

Su reproducción es sexual y varía mucho con las especies. El canguro rojo es un reproductor oportunista, ya que se aparea y reproduce cuando las condiciones estacionales son favorables para la cría de la prole. Los canguros grises procrean durante todo el año, pero paren más crías en los meses de verano, pues salen de la bolsa en la época ideal, la primavera. Otras especies tienen una estación reproductora más restringida.

El galanteo puede durar unas pocas horas o prolongarse 2 ó 3 días. El macho sigue a la hembra que está en celo, husmeando con frecuencia la abertura de la bolsa urogenital y tocando la cola de la hembra con la pata. El ualabi macho hace característicos movimientos laterales y sinuosos con la cola, que producen chasquidos; el apareamiento puede ser breve o durar más de una hora, como en el caso del canguro gris.

En bastantes especies, como el cuoca, el apareamiento tiene lugar después del parto (estro post partum); en estos casos se suele producir un blastocito en reposo, que se desarrolla más tarde, cuando la cría del parto anterior abandone el marsupio. Las crías nacen entre los 28 y 36 días del apareamiento. Son de un tamaño muy pequeño. Normalmente nace una sola cría, pero se han dado casos de nacer gemelos. Suben trepando por la pared exterior del cuerpo, agarrándose a los pelos de la madre, hasta llegar a la bolsa marsupial, donde se introducen y se agarran a uno de los cuatro pezones. Permanecen en la bolsa unos 8 meses, pero siguen volviendo a ella para mamar alrededor de seis meses más; en ese tiempo ya habrá nacido otra cría. Los jóvenes suelen relacionarse con sus madres hasta que alcanzan la madurez sexual.

Miden hasta tres metros de altura y cuando nacen llegan a medir entre veinte y treinta centímetros.

[editar] Locomoción

Los canguros son los únicos animales grandes que se desplazan dando saltos. Los saltos, que los hacen moviendo sus piernas a la vez, son un modo de locomoción rápido y económico, pues a altas velocidades consumen una fracción de la energía que consumirían desplazándose de otra manera.^[4]

La velocidad de desplazamiento confortable del canguro rojo es de 20–25 km/h, pero puede alcanzar velocidades de hasta 70 km/h en distancias cortas, y puede mantener una velocidad de unos 40 km/h por casi dos km.^[5]

Debido al largo de sus pies, no puede caminar correctamente. Para moverse a velocidades bajas usa su cola como un trípode, junto con sus patas delanteras. Así puede mover sus pies un paso hacia adelante.^[5]

[editar] Clasificación

• Familia Macropodidae
  • Subfamilia Macropodinae
    • Género Dendrolagus (canguros arborícolas)
    • Género Dorcopsis
    • Género Lagorchestes
    • Género Macropus
      • Subgénero Notamacropus (walabís)
      • Subgénero Osphranter (canguros antílopes y walarús)
      • Subgénero Macropus (canguros)
    • Género Onychogalea (walabís de rabo pelado)
    • Género Petrogale (walabís de las rocas)
    • Género Setonix (cuocas)
    • Género Thylogale (pademelones)
    • Género Wallabia (walabís de pantano)

[editar] Véase también

• Fauna australiana

[editar] Enlaces externos

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[editar] Referencias

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La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".^[1]

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonómetricas de esos ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.

[editar] Unidades angulares

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

• Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
• Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
• Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

[editar] Las funciones trigonométricas

La trigonometría como rama de las matemáticas realiza su estudio en la relación entre lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría y sus aplicaciones, para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones, que han sobrepasado su fin original, convirtiendo en muchos casos en elementos matemáticos estudiados en sí mismos, y con aplicaciones en los campos más diversos.

[editar] Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

[editar] Razones trigonométricas recíprocas

• La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:

• La Secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:

• La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:

Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

[editar] Otras funciones trigonométricas

Además de las funciones anteriores existen otras funciones trigonométricas, matemáticamente se pueden definir empleando las ya vistas, su uso no es muy corriente, pero si se emplean dado su sentido geométrico, veamos:

El seno cardinal o función sinc (x) definida:

El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y el arco en una circunferencia, tambien se denomina sagita o flecha, se define:

El semiverseno, se utiliza en navegación al intervenir en el calculo esférico:

El coverseno,

El semicoverseno

El exsecante:

[editar] Funciones trigonométricas inversas

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:

y es igual al seno de x, la función inversa:

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

y es igual al coseno de x, la función inversa:

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

si:

y es igual al tangente de x, la función inversa:

x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.

[editar] Valor de las funciones trigonométricas

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

Circunferencia en radianes.	Circunferencia en Grado sexagesimal.

	Radianes	Grados sexag.	seno	coseno	tangente	cosecante	secante	cotangente