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MATEMÁTICAS: ALGEBRA. El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las principales ramas de la matemática, junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números.

petalofucsia - 01 de noviembre de 2010 - 15:45 - Matemáticas

Álgebra

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Para los usos matemáticos de la palabra álgebra como estructura algebraica, véase álgebra no asociativa, álgebra asociativa, álgebra sobre un cuerpo.

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las principales ramas de la matemática, junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números.

La palabra «álgebra» es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة) (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» جبر (yabr) , proviene del árabe y significa "reducción".

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[editar] Álgebra elemental

Artículo principal: Álgebra elemental

Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque:

Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.
Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.
Permite la formulación de relaciones funcionales.

[editar] Historia

Si bien la palabra "álgebra" viene de la palabra árabe (al-Jabr, الجبر), sus orígenes se remontan a los antiguos babilonios, que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el uso de este sistema fueron capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores desconocidos. Este tipo de problemas suelen resolverse hoy mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indefinidas. Por el contrario, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de la India, griegos y matemáticos chinos en el primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en la matemática Rhind Papyrus, Sulba Sutras, Elementos de Euclides, y los Nueve Capítulos sobre el Arte de las Matemáticas. El trabajo geométrico de los griegos, centrado en las formas, dio el marco para la generalización de las fórmulas más allá de la solución de los problemas particulares de carácter más general, sino en los sistemas de exponer y resolver ecuaciones.

Las mentes griegas matemáticas de Alejandría y Diofanto siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, pero el Diophantus del libro Arithmetica está en un nivel mucho más alto. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollaron métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación. Aunque los babilonios y Diophantus utilizaron sobre todo los métodos especiales ad hoc para resolver ecuaciones, Al-Khowarizmi fue el primero en resolver ecuaciones usando métodos generales. Él resolvió el indeterminado de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones indeterminadas de segundo orden y ecuaciones con múltiples variables.

La palabra "álgebra" es el nombre de la palabra árabe "Al-Jabr, الجبر" en el título del libro al-Kitab al-muḫtaṣar fi al-Gabr ḥisāb wa-l-muqābala, الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, el sentido del Resumen del libro se refiere a la transposición y Cálculo de la Reducción de un libro escrito por el matemático persa islámico, Muhammad ibn Musa Al-Khwārizmī (considerado el "padre del álgebra"), en 820. La palabra Al-Jabr significa "reducción". El matemático helenístico Diophantus ha sido tradicionalmente conocido como el "padre del álgebra", pero en tiempos más recientes, hay mucho debate sobre si al-Khwarizmi, que fundó la disciplina de Al-Jabr, título que se merece su lugar. Los que apoyan Diophantus apuntan al hecho de que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es algo más elemental que el que se encuentra en el álgebra Arithmetica y que Arithmetica es sincopada mientras que Al-Jabr es totalmente retórica. Los que apoyan el punto de Al-Khwarizmi sobre el hecho de que presenta los métodos de "reducción" y "equilibrio" (la transposición de términos restará al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos a ambos lados de la ecuación), al cual el término Al-Jabr se refería originalmente, y que dio una explicación exhaustiva de la solución de ecuaciones cuadráticas, apoyada por las pruebas geométricas, mientras que el tratamiento de álgebra como una disciplina independiente en su propio derecho. Su álgebra ya tampoco trataría "con una serie de los problemas por resolver", sino con una "exposición que empieza con lo primitivo en el que las combinaciones deben dar todos los posibles prototipos de ecuaciones, que en adelante explícitamente constituyen el verdadero objeto de estudio". También estudió una ecuación para su propio bien y "de forma genérica, en la medida que no sólo surgen en el curso de la solución de un problema, sino que específicamente en la llamada para definir una infinidad de problemas de clase".

El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometría algebraica y encontró la solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Din al-Tusi, encontró la solución numérica y algebraica a diversos casos de ecuaciones cúbicas. Él también desarrolló el concepto de una función. Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de cúbicos, quartic, quintic y ecuaciones polinómicas de orden superior mediante métodos numéricos.

Otro acontecimiento clave en el desarrollo del álgebra fue la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas y quárticas, desarrollado a mediados del siglo XVI. La idea de un factor determinante fue desarrollada por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. Resumen de álgebra se desarrolló en el siglo XIX, centrándose inicialmente en lo que ahora se llama la teoría de Galois, y en cuestiones de constructibilidad.

[editar] Estructura algebraica

Artículo principal: Estructura algebraica

En matemáticas, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas; es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica. Las estructuras algebraicas más importantes son:

Estructura	Ley interna	Asociatividad	Neutro	Inverso	Conmutatividad
Magma
Semigrupo
Monoide
Monoide abeliano
Grupo
Grupo abeliano

Estructura (A,+,·)	(A,+)	(A,·)
Semianillo	Monoide abeliano	Monoide
Anillo	Grupo abeliano	Semigrupo
Cuerpo	Grupo abeliano	Grupo abeliano

[editar] Signos y símbolos

En el álgebra se utilizan signos y símbolos -en general utilizados en la teoría de conjuntos- que constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras son llamadas variables, ya que se usa esa misma letra en otros problemas y su valor va variando.

Aquí algunos ejemplos:

Expresión	Uso
Signos y Símbolos
+	Además de expresar adición, también es usada para expresar operaciones binarias
c ó k	Expresan Términos constantes
Primeras letras del abecedario a, b, c,...	Se utilizan para expresar cantidades conocidas
Últimas letras del abecedario ...,x, y, z	Se utilizan para expresar incógnitas
n	Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n)
Exponentes y subíndices $a', a'', a'''; a _1, a _2, a _3 !$	Expresar cantidades de la misma especie, de diferente magnitud.

[editar] Véase también

Portal:Álgebra. Contenido relacionado con Álgebra.
Álgebra elemental
Teorema fundamental del álgebra

[editar] Enlaces externos

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MATEMÁTICAS: EL LENGUAJE MATEMÁTICO. El lenguaje matemático es una forma de comunicación a través de símbolos especiales para realizar cálculos matemáticos.

petalofucsia - 01 de noviembre de 2010 - 12:34 - Matemáticas

El Lenguaje Matemático

El lenguaje matemático es una forma de comunicación a través de símbolos especiales para realizar cálculos matemáticos.

A continuación algunos ejemplos expresados en lenguaje natural y/o lenguaje matemático:

En el lenguaje natural no se utiliza el cero como numero.
En el lenguaje natural, sumar es aumentar y restar es disminuir. En el lenguaje matemático, sumar es aumentar o disminuir (si se suma un número negativo).
Cuando se dice un número, en el lenguaje natural se refiere a uno cualquiera determinado, mientras que en el lenguaje matemático se refiere a todos los números.
En el lenguaje matemático una curva simple es una curva que no se corta a si misma, aunque su forma sea extraordinariamente complicada.

Las matemáticas siempre se ligan a la existencia de símbolos que, paradójicamente, son necesarios para expresarlas de forma concisa y sencilla.

Como muestra, dos ejemplos de la forma en que simplifican los símbolos:

Euclídes (300 a.C.): Si un segmento rectilíneo se corta por un punto arbitrario, el cuadrado del total es igual a los cuadrados de cada uno de los segmentos y el doble del rectángulo cuyos lados son los segmentos.

Con símbolos: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab.

Arquímedes (225 a.C.): El área de un círculo es igual a la del triangulo cuya base es el perímetro de su circunferencia y la altura es igual al radio.

Con símbolos: A = ¼ r 2.

Obtenido de http://www.monografias.com/trabajos76/lenguaje-matematico-aplicaciones/lenguaje-matematico-aplicaciones.shtml

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MATEMÁTICAS: ¿PODRÍAMOS RAZONAR NUESTRA FORMA Y LA DE LOS ANIMALES?. El término canguro es el nombre común que se utiliza para designar a las especies de mayor tamaño de la subfamilia Macropodinae, tal como el término walabí se utiliza para denominar a las de menor tamaño. Se utiliza también a veces en un sentido más amplio para referirse a todos los miembros de la familia de los macrópodos. Sin embargo, el término no responde a una clasificación científica, por lo que especies pertenecientes a un mismo género (agrupación de especies estrechamente relacionadas entre sí) pueden ser llamadas canguro, walabí o walarú, sólo dependiendo de su tamaño. Por ejemplo, Macropus parma es conocido como el walabí de Parma,[1] mientras que Macropus antilopinus, es denominado indistintamente como canguro antílope o walarú antílope.

petalofucsia - 31 de octubre de 2010 - 19:13 - Matemáticas

Canguro

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? Canguros
Macropus giganteus
Clasificación científica
Reino:	Animalia
Filo:	Chordata
Clase:	Mammalia
Subclase:	Marsupialia
Orden:	Diprotodontia
Familia:	Macropodidae
Subfamilia:	Macropodinae (parte) Gray, 1821
Géneros
ver texto

El término canguro es el nombre común que se utiliza para designar a las especies de mayor tamaño de la subfamilia Macropodinae, tal como el término walabí se utiliza para denominar a las de menor tamaño. Se utiliza también a veces en un sentido más amplio para referirse a todos los miembros de la familia de los macrópodos. Sin embargo, el término no responde a una clasificación científica, por lo que especies pertenecientes a un mismo género (agrupación de especies estrechamente relacionadas entre sí) pueden ser llamadas canguro, walabí o walarú, sólo dependiendo de su tamaño. Por ejemplo, Macropus parma es conocido como el walabí de Parma,^[1] mientras que Macropus antilopinus, es denominado indistintamente como canguro antílope o walarú antílope.^[2]

La subfamilia Macropodinae incluye, además de las especies de canguros, walabís y walarús, otras comúnmente conocidas como canguros arborícolas, cuocas, dorcopsis y pademelones.

Existen muchas especies denominadas canguro, y aquí se ven reflejadas tres de ellas:

El canguro rojo (Macropus rufus), el cual es el mayor de los canguros y el mayor de los marsupiales aún en existencia. Los canguros rojos ocupan el centro árido y semi-árido de Australia. Un macho adulto puede medir 1,5 m de altura y pesar 85 kg.
El canguro gris oriental (Macropus giganteus), menos conocido que el canguro rojo, pero avistado más frecuentemente, ya que su rango cubre el área oriental fértil australiana.
El canguro gris occidental (Macropus fuliginosus), de tamaño menor y encontrado al sur de la Australia occidental, sur de Australia cerca de la costa y en la cuenca del río Darling.

Los canguros poseen grandes y poderosas patas traseras, grandes pies diseñados para saltar, una cola larga y musculosa para mantener el equilibrio y una cabeza pequeña. Los canguros son herbívoros, alimentándose de pasto y raíces. Todas las especies son nocturnas y crepusculares, usualmente pasando el día en quietud y alimentándose durante las tardes y noches frías, generalmente en grupos. Tienen una esperanza de vida de 18 años aproximadamente.

Los canguros se encuentran principalmente en Oceanía. Popularmente el canguro es conocido como el animal más representativo de Australia.

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[editar] Origen del nombre

La palabra canguro deriva de gangurru, una palabra del Guugu Yimidhirr (una lengua aborigen australiana), que se refería al canguro gris. El nombre fue escrito por primera vez (en su versión inglesa kangaroo) por el Teniente James Cook el 4 de agosto de 1770.

Una leyenda extendida afirma que en realidad el nombre canguro habría surgido al preguntar los occidentales el nombre de aquel animal y ser esto lo que respondían los aborígenes; su significado, sin embargo, no era el nombre del animal, sino la frase "no le entiendo".^[3]

[editar] Reproducción

Su reproducción es sexual y varía mucho con las especies. El canguro rojo es un reproductor oportunista, ya que se aparea y reproduce cuando las condiciones estacionales son favorables para la cría de la prole. Los canguros grises procrean durante todo el año, pero paren más crías en los meses de verano, pues salen de la bolsa en la época ideal, la primavera. Otras especies tienen una estación reproductora más restringida.

El galanteo puede durar unas pocas horas o prolongarse 2 ó 3 días. El macho sigue a la hembra que está en celo, husmeando con frecuencia la abertura de la bolsa urogenital y tocando la cola de la hembra con la pata. El ualabi macho hace característicos movimientos laterales y sinuosos con la cola, que producen chasquidos; el apareamiento puede ser breve o durar más de una hora, como en el caso del canguro gris.

En bastantes especies, como el cuoca, el apareamiento tiene lugar después del parto (estro post partum); en estos casos se suele producir un blastocito en reposo, que se desarrolla más tarde, cuando la cría del parto anterior abandone el marsupio. Las crías nacen entre los 28 y 36 días del apareamiento. Son de un tamaño muy pequeño. Normalmente nace una sola cría, pero se han dado casos de nacer gemelos. Suben trepando por la pared exterior del cuerpo, agarrándose a los pelos de la madre, hasta llegar a la bolsa marsupial, donde se introducen y se agarran a uno de los cuatro pezones. Permanecen en la bolsa unos 8 meses, pero siguen volviendo a ella para mamar alrededor de seis meses más; en ese tiempo ya habrá nacido otra cría. Los jóvenes suelen relacionarse con sus madres hasta que alcanzan la madurez sexual.

Miden hasta tres metros de altura y cuando nacen llegan a medir entre veinte y treinta centímetros.

[editar] Locomoción

Los canguros son los únicos animales grandes que se desplazan dando saltos. Los saltos, que los hacen moviendo sus piernas a la vez, son un modo de locomoción rápido y económico, pues a altas velocidades consumen una fracción de la energía que consumirían desplazándose de otra manera.^[4]

La velocidad de desplazamiento confortable del canguro rojo es de 20–25 km/h, pero puede alcanzar velocidades de hasta 70 km/h en distancias cortas, y puede mantener una velocidad de unos 40 km/h por casi dos km.^[5]

Debido al largo de sus pies, no puede caminar correctamente. Para moverse a velocidades bajas usa su cola como un trípode, junto con sus patas delanteras. Así puede mover sus pies un paso hacia adelante.^[5]

[editar] Clasificación

Familia Macropodidae
- Subfamilia Macropodinae
  - Género Dendrolagus (canguros arborícolas)
  - Género Dorcopsis
  - Género Lagorchestes
  - Género Macropus
    - Subgénero Notamacropus (walabís)
    - Subgénero Osphranter (canguros antílopes y walarús)
    - Subgénero Macropus (canguros)
  - Género Onychogalea (walabís de rabo pelado)
  - Género Petrogale (walabís de las rocas)
  - Género Setonix (cuocas)
  - Género Thylogale (pademelones)
  - Género Wallabia (walabís de pantano)

[editar] Véase también

Fauna australiana

[editar] Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Canguro.Commons
Wikiespecies tiene un artículo sobre Canguro. Wikispecies

[editar] Referencias

↑ Groves, Colin (16 de noviembre de 2005). Wilson, D. E., y Reeder, D. M. (eds). ed. Mammal Species of the World (3ª edición edición). Johns Hopkins University Press. pp. 65. ISBN 0-8018-8221-4. http://www.bucknell.edu/msw3.
↑ Menkhorst, Peter (2001). Guía de Campo de los Mamíferos de Australia. Oxford University Press. pp. 110.
↑ "I do not understand"
↑ Alexander, R. Elastic Energy Stores in Running Vertebrates. American Zoologist 1984 24(1):85-94. (Resumen)
↑ ^a ^b Penny, Malcolm (2002). The Secret Life of Kangaroos. Austin, Texas: Raintree Steck-Vaughn Puiblishers. ISBN 0-7398-4986-7.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Canguro"

Categorías: Australidelphia | Fauna de Australia | Macropodidae

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MATEMÁTICAS: ¿CUÁLES SON LAS LEYES DE LA FORMA O LAS LEYES TRIGONOMÉTRICAS?. La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο "triángulo" + μετρον "medida".

petalofucsia - 31 de octubre de 2010 - 19:00 - Matemáticas

Trigonometría

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La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".^[1]

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonómetricas de esos ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.

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[editar] Unidades angulares

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

[editar] Las funciones trigonométricas

Artículo principal: Función trigonométrica

La trigonometría como rama de las matemáticas realiza su estudio en la relación entre lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría y sus aplicaciones, para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones, que han sobrepasado su fin original, convirtiendo en muchos casos en elementos matemáticos estudiados en sí mismos, y con aplicaciones en los campos más diversos.

[editar] Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo $alpha ,$ , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

$operatorname {sen} , alpha = frac{overline{CB}}{overline{AB}} = frac{a}{c}$

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

$cosalpha = frac{overline{AC}}{overline{AB}} = frac{b}{c}$

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

$tanalpha = frac{overline{CB}}{overline{AC}} = frac{a}{b}$

[editar] Razones trigonométricas recíprocas

La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

$csc alpha = frac{1}{operatorname {sen} ; alpha} = frac{c}{a}$

En el esquema su representación geométrica es:

$csc alpha = overline{AG}$

La Secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

$sec alpha = frac{1}{cos alpha} = frac{c}{b}$

En el esquema su representación geométrica es:

$sec alpha = overline{AD}$

La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

$cot alpha = frac{1}{tan alpha} = frac{b}{a}$

En el esquema su representación geométrica es:

$cot alpha = overline{GF}$

Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

[editar] Otras funciones trigonométricas

Además de las funciones anteriores existen otras funciones trigonométricas, matemáticamente se pueden definir empleando las ya vistas, su uso no es muy corriente, pero si se emplean dado su sentido geométrico, veamos:

El seno cardinal o función sinc (x) definida:

$operatorname {sinc} ; (x) = frac{sin(x)}{x}$

El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y el arco en una circunferencia, tambien se denomina sagita o flecha, se define:

$operatorname {versen} ; alpha = 1 - cos alpha$

El semiverseno, se utiliza en navegación al intervenir en el calculo esférico:

$operatorname {semiversen} ; alpha = frac {operatorname {versen} ; alpha }{2}$

El coverseno,

$operatorname {coversen} ; alpha = 1 - operatorname {sen} ; alpha$

El semicoverseno

$operatorname {semicoversen} ; alpha = frac { operatorname {coversen} ; alpha }{2}$

El exsecante:

$operatorname {exsec} ; alpha = sec alpha - 1$

[editar] Funciones trigonométricas inversas

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:

$y= operatorname {sen} , x ,$

y es igual al seno de x, la función inversa:

$x = operatorname {arcsen} ; y ,$

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

$y= cos x ,$

y es igual al coseno de x, la función inversa:

$x = arccos y ,$

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

si:

$y= tan x ,$

y es igual al tangente de x, la función inversa:

$x = arctan y ,$

x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.

[editar] Valor de las funciones trigonométricas

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:


Circunferencia en radianes.	Circunferencia en Grado sexagesimal.

Radianes	Grados sexag.	seno	coseno	tangente	cosecante	secante	cotangente
$0 ;$	$0^o ,$	$frac{sqrt{0}}{2}=0$	$frac{sqrt{4}}{2}=1$	$0 ,$	$nexists (pm infty) ,!$	$1 ,$	$nexists (pm infty) ,!$
$frac{1}{6}pi$	$30^o ,$	$frac{sqrt{1}}{2}=frac{1}{2}$	$frac{sqrt{3}}{2}$	$frac{sqrt{3}}{3}$	$2 ,$	$frac{2sqrt{3}}{3}$	$sqrt{3}$
$frac{1}{4}pi$	$45^o ,$	$frac{sqrt{2}}{2}$	$frac{sqrt{2}}{2}$	$1 ,$	$sqrt{2}$	$sqrt{2}$	$1 ,$
$frac{1}{3} pi$	$60^o ,$	$frac{sqrt{3}}{2}$	$frac{sqrt{1}}{2}=frac{1}{2}$	$sqrt{3}$	$frac{2sqrt{3}}{3}$	$2 ,$	$frac{sqrt{3}}{3}$
$frac{1}{2} pi$	$90^o ,$	$frac{sqrt{4}}{2}=1$	$frac{sqrt{0}}{2}=0$	$nexists (pm infty) ,!$	$1 ,$	$nexists (pm infty) ,!$	$0 ,$

Para el calculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.

[editar] Sentido de las funciones trigonométricas

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.

Notese que el punto A es el vertice del triangulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:

$A equiv O$

a todos los efectos.

La recta r, que pasa por O y forma un ángulo $alpha ,$ sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.

Por semejanza de triángulos:

$frac{; overline{CB} ;}{overline{OC}} = frac{; overline{ED} ;}{overline{OE}}$

Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia $overline{OE}$ y $overline{OB}$ son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

$operatorname {sen} alpha = overline{CB} ,$ $cos alpha = overline{OC} ,$ $tan alpha = overline{ED} ,$

tenemos:

$frac{operatorname {sen} alpha}{ cos alpha} = frac{tan alpha}{1}$

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

[editar] Primer cuadrante

Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes, los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de longitud, siendo esta variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.

Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo $alpha ,$ .

Para $alpha = 0 ,$ , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:

$operatorname {sen} 0 = 0 ,$ $cos 0 = 1 ,$ $tan 0 = 0 ,$

Si aumentamos progresivamente el valor de $alpha ,$ , las distancias $overline{CB}$ y $overline{ED}$ aumentarán progresivamente, mientras que $overline{OC}$ disminuirá.

Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ángulo aumenta se desplaza sobre ella.

El punto E es la intersección de la circunferencia con el eje x y no varia de posición.

Los segmentos: $overline{OC}$ y $overline{CB}$ están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero $overline{ED}$ no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo $alpha = 0,5 pi ,$ rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia $overline{ED}$ será infinita.

El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el punto más alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno.

Para un ángulo recto las funciones toman los valores:

$operatorname {sen} frac{pi}{2} = 1 ,$ $cos frac{pi}{2} = 0 ,$ $tan frac{pi}{2} = infty ,$

[editar] Segundo cuadrante

Cuando el ángulo $alpha ,$ supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento $overline{CB}$ , el coseno aumenta según el segmento $overline{OC}$ , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.

La tangente para un ángulo $alpha ,$ inferior a $0,5pi ,$ rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los $0,5pi ,$ rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente $overline{ED}$ por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo $alpha ,$ aumenta progresivamente hasta los $pi ,$ rad.

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de $alpha ,$ , $overline{CB}$ , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para $alpha = 0,5 pi ,$ rad, hasta que valga 0, para $alpha = pi ,$ rad, el coseno, $overline{OC}$ , toma valor negativo y su valor varia desde 0 para $alpha = 0,5 pi ,$ rad, hasta –1, para $alpha = pi ,$ rad.

La tangente conserva la relación:

$tan alpha = frac{operatorname{sen} alpha} {cos alpha}$

incluyendo el signo de estos valores.

Para un ángulo llano tenemos que el punto D esta en E, y B y C coinciden en el eje de las x en el lado opuesto de E, con lo que tenemos:

$operatorname {sen} ; pi = 0 ,$ $cos pi = -1 ,$ $tan pi = 0 ,$

[editar] Tercer cuadrante

En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo $alpha = pi ,$ rad a $alpha = 1,5 pi ,$ rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para $pi ,$ rad:

$operatorname {sen} frac{3pi}{2} = -1 ,$ $cos frac{3pi}{2} = 0 ,$ $tan frac{3pi}{2} = infty ,$

Cuando el ángulo $alpha ,$ aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.

A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento $overline{OC}$ , el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.

El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, $overline{CB}$ .

Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, $overline{ED}$ , aumenta igual que en el primer cuadrante

Cuando el ángulo $alpha ,$ alcance $1,5 pi ,$ rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento $overline{CB}$ será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.

El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación:

$tan alpha = frac{operatorname{sen} alpha} {cos alpha}$

que se cumple tanto en valor como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.

[editar] Cuarto cuadrante

En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo $alpha ,$ entre $1,5 pi ,$ rad y $2 pi ,$ rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para $1,5 pi ,$ rad:

$operatorname {sen} (1,5 , pi ) = -1 ,$ $cos(1,5 , pi ) = 0 ,$ $tan(1,5 , pi ) = infty ,$

hasta los que toman para $2 pi ,$ rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:

$operatorname {sen} (2 , pi ) = operatorname {sen}; 0 = 0 ,$ $cos(2 , pi ) = cos 0 = 1 ,$ $tan(2 , pi ) = tan 0 = 0 ,$

como puede verse a medida que el ángulo $alpha ,$ aumenta, aumenta el coseno $overline{OC}$ en el lado positivo de las x, el seno $overline{CB}$ disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente $overline{ED}$ también disminuye en el lado negativo de las y.

Cuando $alpha ,$ , vale $2 pi ,$ ó $0 pi ,$ al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.

Dado el carácter rotativo de las funciones trigonométricas, se puede afirmar en todos los casos:

$operatorname {sen} ; alpha = operatorname {sen}(alpha + 2 , pi , n )$ $cos alpha = cos (alpha + 2 , pi , n )$ $tan alpha = tan(alpha + 2 , pi , n )$

Que cualquier función trigonométrica toma el mismo valor si se incrementa el ángulo un número entero de rotaciones completas.

[editar] Representación gráfica

Representación de las funciones trigonométricas en el plano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.

[editar] Calculo de algunos casos

Partiendo de una circunferencia de radio uno, dividida en cuatro cuadrantes, por dos rectas perpendiculares, que se cortan en el centro de la circunferencia O, estas rectas cortan a la circunferencia en los puntos A, B, C y D, la recta horizonte AC también la podemos llamar eje x y la recta vertical BD eje y. Dada una recta r, que pasa por el centro de la circunferencia y forma un ángulo α con OA, eje x, y corta a la circunferencia en F, tenemos que la vertical que pasa por F corta al eje x en E, la vertical que pasa por A corta a la recta r en G. Con todo esto definimos, como ya se vio anteriormente, las funciones trigonométricas:

para el seno:

$sen ; alpha = cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}} = overline{EF}$

dado que:

$overline{OF} = 1$

Para el coseno:

$cos ; alpha = cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}} = overline{OE}$

dado que:

$overline{OF} = 1$

Para la tangente:

$tan ; alpha = cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OE}} = cfrac{; overline{AG} ;}{overline{OA}} = overline{AG}$

dado que:

$overline{OA} = 1$

partiendo de estas definiciones, podemos ver algunos caso importantes:

[editar] Para 90-α

Si a partir del eje vertical OB trazamos la recta r a un ángulo α en el sentido horario, la recta r forma con el eje x un ángulo 90-α, el valor de las funciones trigonométricas de este ángulo conocidas las de α serán:

El triángulo OEF rectángulo en E, siendo el ángulo en F α, por lo tanto:

$left . begin{array}{l} cos ; alpha =cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}} overline{OF} =1 overline{EF} = sen ; (90-alpha) end{array} right } longrightarrow quad sen ; (90-alpha) = cos ; alpha$

en el mismo triángulo OEF, tenemos que:

$left . begin{array}{l} sen ; alpha =cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}} overline{OF} =1 overline{OE} = cos ; (90-alpha) end{array} right } longrightarrow quad cos ; (90-alpha) = sen ; alpha$

viendo el triángulo OAG, rectángulo en A, siendo el ángulo en G igual a α, podemos ver:

$left . begin{array}{l} tan ; alpha =cfrac{; overline{OA} ;}{overline{AG}} overline{OA} =1 overline{AG} = tan ; (90-alpha) end{array} right } longrightarrow quad tan ; (90-alpha) = cfrac{1}{tan ; alpha}$

[editar] Para 90+α

Si a partir de eje vertical OB trazamos la recta r a un ángulo α, medido en sentido trigonométrico, el ángulo formado por el eje horizontal OA y la recta r será 90+α. La prolongación de la recta r corta a la circunferencia en F y a la vertical que pasa por A en G.

El triángulo OEF es rectángulo en E y su ángulo en F es α, por lo tanto tenemos que:

$left . begin{array}{l} cos ; alpha =cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}} overline{OF} =1 overline{EF} = sen ; (90+alpha) end{array} right } longrightarrow quad sen ; (90+alpha) = cos ; alpha$

En el mismo triángulo OEF podemos ver:

$left . begin{array}{l} sen ; alpha =cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}} overline{OF} =1 overline{OE} = -cos ; (90+alpha) end{array} right } longrightarrow quad cos ; (90+alpha) = -sen ; alpha$

En el triángulos OAG rectángulo A y siendo α el ángulo en G, tenemos:

$left . begin{array}{l} tan ; alpha =cfrac{; overline{OA} ;}{overline{AG}} overline{OA} =1 overline{AG} = -tan ; (90+alpha) end{array} right } longrightarrow quad tan ; (90+alpha) = cfrac{-1}{tan ; alpha}$

[editar] Para 180-α

Si sobre el eje horizontal OC, trazamos la recta r a un ángulo α, el ángulo entre el eje OA y la recta r es de 180-α, dado el triángulo OEF rectángulo en E y cuyo ángulo en O es α, tenemos:

$left . begin{array}{l} sen ; alpha =cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}} overline{OF} =1 overline{EF} = sen ; (180-alpha) end{array} right } longrightarrow quad sen ; (180-alpha) = sen ; alpha$

en el mismo triángulo OEF:

$left . begin{array}{l} cos ; alpha =cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}} overline{OF} =1 overline{OE} = -cos ; (180-alpha) end{array} right } longrightarrow quad cos ; (180-alpha) = -cos ; alpha$

En el triángulo OAG, rectángulo en A y con ángulo en O igual a α, tenemos:

$left . begin{array}{l} tan ; alpha =cfrac{; overline{AG} ;}{overline{OA}} overline{OA} =1 overline{AG} = -tan ; (180-alpha) end{array} right } longrightarrow quad tan ; (180-alpha) = -tan ; alpha$

[editar] Para 180+α

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OC con un ángulo α trazados la recta r, el ángulo del eje OA y la recta r es de 180+α, como se ve en la figura. En el triángulo OEF rectángulo en E se puede deducir:

$left . begin{array}{l} sen ; alpha =cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}} overline{OF} =1 overline{EF} = -sen ; (180+alpha) end{array} right } longrightarrow quad sen ; (180+alpha) = -sen ; alpha$

en el mismo triángulo OEF tenemos:

$left . begin{array}{l} cos ; alpha =cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}} overline{OF} =1 overline{OE} = -cos ; (180+alpha) end{array} right } longrightarrow quad cos ; (180+alpha) = -cos ; alpha$

en el triángulo OAG, rectángulo en A, vemos que:

$left . begin{array}{l} tan ; alpha =cfrac{; overline{AG} ;}{overline{OA}} overline{OA} =1 overline{AG} = tan ; (180+alpha) end{array} right } longrightarrow quad tan ; (180+alpha) = tan ; alpha$

[editar] Para 270-α

Sobre el eje OD y con un ángulo α medido en sentido horario trazamos la recta r. El ángulo entre el eje OA y la recta r es de 270-α. En el triángulo OEF, rectángulo en E, tenemos:

$left . begin{array}{l} cos ; alpha =cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}} overline{OF} =1 overline{EF} = -sen ; (270-alpha) end{array} right } longrightarrow quad sen ; (270-alpha) = -cos ; alpha$

por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos:

$left . begin{array}{l} sen ; alpha =cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}} overline{OF} =1 overline{OE} = -cos ; (270-alpha) end{array} right } longrightarrow quad cos ; (270-alpha) = -sen ; alpha$

en el triángulo OAG rectángulo en A, y siendo α el ángulo en G, tenemos;

$left . begin{array}{l} tan ; alpha =cfrac{; overline{OA} ;}{overline{AG}} overline{OA} =1 overline{AG} = tan ; (270-alpha) end{array} right } longrightarrow quad tan ; (270-alpha) = cfrac{1}{tan ; alpha}$

[editar] Para 270+α

Sobre el eje OD y con un ángulo α medido en sentido trigonometrico, trazamos la recta r. El ángulo entre el eje OA y la recta r es de 270+α. En el triángulo OEF, rectángulo en E, tenemos:

$left . begin{array}{l} cos ; alpha =cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}} overline{OF} =1 overline{EF} = -sen ; (270+alpha) end{array} right } longrightarrow quad sen ; (270+alpha) = -cos ; alpha$

por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos:

$left . begin{array}{l} sen ; alpha =cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}} overline{OF} =1 overline{OE} = cos ; (270+alpha) end{array} right } longrightarrow quad cos ; (270+alpha) = sen ; alpha$

en el triángulo OAG rectángulo en A, y siendo α el ángulo en G, tenemos;

$left . begin{array}{l} tan ; alpha =cfrac{; overline{OA} ;}{overline{AG}} overline{OA} =1 overline{AG} = -tan ; (270+alpha) end{array} right } longrightarrow quad tan ; (270+alpha) = cfrac{-1}{tan ; alpha}$

[editar] Para -α

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OA con un ángulo α medido en sentido horario trazados la recta r, el ángulo del eje OA y la recta r es de -α, o lo que es lo mismo 360-α como se ve en la figura. En el triángulo OEF rectángulo en E se puede deducir:

$left . begin{array}{l} sen ; alpha =cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}} overline{OF} =1 overline{EF} = -sen ; (-alpha) end{array} right } longrightarrow quad sen ; (-alpha) = -sen ; alpha$

en el mismo triángulo OEF tenemos:

$left . begin{array}{l} cos ; alpha =cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}} overline{OF} =1 overline{OE} = cos ; (-alpha) end{array} right } longrightarrow quad cos ; (-alpha) = cos ; alpha$

en el triángulo OAG, rectángulo en A, vemos que:

$left . begin{array}{l} tan ; alpha =cfrac{; overline{AG} ;}{overline{OA}} overline{OA} =1 overline{AG} = -tan ; (-alpha) end{array} right } longrightarrow quad tan ; (-alpha) = -tan ; alpha$

[editar] Identidades trigonométricas

Artículo principal: Identidades trigonométricas

Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen seis identidades fundamentales:

[editar] Recíprocas

$operatorname {sen} (alpha) cdot csc (alpha) = 1$ $operatorname {cos} (alpha) cdot sec (alpha) = 1$ $operatorname {tan} (alpha) cdot cot (alpha) = 1$

[editar] De división

$tan (alpha) = frac {operatorname {sen} (alpha)}{ cos (alpha)}$

[editar] Por el teorema de Pitágoras

Como en el triángulo rectángulo cumple la funcion que:

$a^2 + b^2 = c^2 ,$

de la figura anterior se tiene que:

$operatorname {sen} (alpha ) = frac {a}{c}$ $cos (alpha ) = frac {b}{c}$ $c = 1 ,$

entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica :

$operatorname {sen}^2 alpha + cos^2 alpha = 1 ,$

que también puede expresarse:

$tan^2 alpha + 1 = sec^2 alpha ,$ $1+cot^2 alpha = csc^2 alpha ,$

[editar] Suma y diferencia de dos ángulos

$operatorname {sen}(alpha + beta) = operatorname {sen} alpha cos beta + cos alpha operatorname {sen} beta ,$

$operatorname {sen}(alpha - beta) = operatorname {sen} alpha cos beta - cos alpha operatorname {sen} beta ,$

$cos(alpha + beta) = cos alpha cos beta - operatorname {sen} alpha operatorname {sen} beta ,$

$cos(alpha - beta) = cos alpha cos beta + operatorname {sen} alpha operatorname {sen} beta ,$

$tan(alpha + beta) = frac{tan alpha + tan beta}{1 - tan alpha tan beta}$

$tan(alpha - beta) = frac{tan alpha - tan beta}{1 + tan alpha tan beta}$

[editar] Suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos

$operatorname {sen} alpha + operatorname {sen} beta = 2operatorname {sen} left( frac{alpha + beta}{2}right)cos left(frac{alpha - beta}{2} right)$

$operatorname {sen} alpha - operatorname {sen} beta = 2operatorname {sen} left( frac{alpha - beta}{2}right)cos left(frac{alpha + beta}{2} right)$

$cos alpha + cos beta = 2cos left(frac{alpha + beta}{2} right)cos left(frac{alpha - beta}{2}right)$

$cos alpha - cos beta = -2operatorname {sen} left(frac{alpha + beta}{2} right) operatorname {sen} left(frac{alpha - beta}{2}right)$

[editar] Producto del seno y coseno de dos ángulos

$cos(alpha) cos(beta) = frac{cos(alpha + beta) + cos(alpha - beta) }{ 2}$ $operatorname {sen}(alpha) operatorname {sen}(beta) = frac{cos(alpha - beta) - cos(alpha + beta) }{ 2}$ $operatorname {sen}(alpha) cos(beta) = frac{operatorname {sen}(alpha + beta) + operatorname {sen}(alpha - beta) }{ 2}$ $cos(alpha) operatorname {sen}(beta) = frac{operatorname {sen}(alpha + beta) - operatorname {sen}(alpha - beta) }{ 2}$

[editar] Ángulo doble

$operatorname {sen} 2alpha = 2 operatorname {sen}alpha cdot cos alpha ,!$

$cos 2alpha = cos^2 alpha - operatorname {sen}^2 alpha ,!$

$cos 2alpha = 1 - 2 operatorname {sen}^2 alpha ,!$

$cos 2alpha = -1 + 2 cos^2 alpha ,!$

$tan 2alpha = frac{2tan alpha}{1 - tan^2 alpha}$

$operatorname {sen}^2 alpha = frac{1-cos 2alpha}{2}$

$cos^2 alpha = frac{1+cos 2alpha}{2}$

[editar] Ángulo mitad

$operatorname {sen}left(frac{alpha}{2} right) = sqrt{frac{1-cosalpha}{2}} ,!$

$cos left(frac{alpha}{2} right) = sqrt{frac{1+cosalpha}{2}} ,!$

$tan left(frac{alpha}{2} right) = sqrt{frac{1-cosalpha}{1+cosalpha}}$

[editar] Otras identidades trigonométricas

$operatorname {sen} left ( frac{pi}{2} - alpha right ) = cos alpha ,!$ $cos left ( frac{pi}{2} - alpha right ) = operatorname {sen}alpha ,!$ $operatorname {sen} (pi - alpha) = operatorname {sen}alpha ,!$ $cos (pi - alpha) = - cos alpha ,!$ $operatorname {sen} (2pi - alpha) = - operatorname {sen} alpha ,!$ $cos (2pi - alpha) = cos alpha ,!$ $operatorname {sen}alpha cdot cos alpha + operatorname {sen}beta cdot cos beta = operatorname {sen}(alpha + beta) cdot cos(alpha - beta)$

Véase también: Sinusoide

[editar] Seno y coseno, funciones complejas

El seno y coseno se definen en matemática compleja, gracias a la fórmula de Euler como:

$operatorname {sen} alpha= frac {e^{ialpha}-e^{-ialpha}}{2i}$ $cos alpha= frac {e^{ialpha}+e^{-ialpha}}{2}$

Por lo tanto, la tangente quedará definida como:

$tan alpha =frac{1}{i} frac {e^{ialpha}-e^{-ialpha}}{e^{ialpha}+e^{-ialpha}} = {-i} frac {e^{ialpha}-e^{-ialpha}}{e^{ialpha}+e^{-ialpha}}$

Siendo $i=sqrt{-1}$ (también puede representarse como j).

[editar] Referencias

↑ «Etimología de la palabra "trigonometría"». Diccionario web de etimología (inglés).

[editar] Bibliografía

Cortés Espinosa de los Monteros, Nuria. Ediciones Didácticas y Pedagógicas S. L.. ed. Actividades para unidad didáctica sobre trigonometría [Recurso electrónico] (2008). ISBN 978-84-936336-3-9.
Domínguez Muro, Mariano. Universidad de Salamanca. Ediciones Universidad Salamanca. ed. Trigonometría activa: 2 BUP (1985). ISBN 978-84-7800-056-2.

[editar] Véase también

Historia de la trigonometría
Función trigonométrica
Identidad trigonométrica
Funciones hiperbólicas
Lista de integrales de funciones trigonométricas
Fórmula de Euler y Número complejo, para funciones trigonométricas complejas
Trigonometría esférica

[editar] Enlaces externos

Wikilibros

Wikilibros alberga un libro o manual sobre Tabla trigonométrica.
Ejercicios de Trigonometría (Proyecto Descartes para Educación Secundaria del Ministerio de Educación de España).
Álgebra y Trigonometría. Universidad de Chile
Trigonometría (Applets con Geogebra de Manuel Sada).
Trigonometría. Precálculo21
Orígenes de la trigonometría (Webquest).
Matemática - Trigonometría (Apuntes y ejercicios de Trigonometría en Fisicanet).
Unidad Didáctica. Razones Trigonométricas (IES López de Arenas, de Marchena (Sevilla)).
La trigonometría, ¿para qué sirve?
Funciones trigonométricas (Proyecto Descartes para Educación Secundaria del Ministerio de Educación de España).

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa"

Categoría: Trigonometría

1 comentario

MATEMÁTICAS: ¿CUÁLES SON LAS LEYES DE LA FORMA O LAS LEYES TRIGONOMÉTRICAS? Forma (Figura), el sentido más simple y probablemente originario de la palabra forma hace referencia a la figura espacial de los cuerpos materiales sólidos.

petalofucsia - 31 de octubre de 2010 - 18:58 - Matemáticas

Forma (Figura)

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Forma (Figura), el sentido más simple y probablemente originario de la palabra forma hace referencia a la figura espacial de los cuerpos materiales sólidos.

Pero la peculiaridad del término consiste en la abstracción que hacemos al prescindir de la materia de las cosas y considerar la figura en sí misma como algo independiente, es decir, como forma.

Así clasificamos los objetos según sus formas abstractas, cuadrados, círculos, esferas, etc. agrupándolos por lo que tienen de común sin tener en cuenta la materia o contenido que los diferencia.

Desde antiguo se encontraron las propiedades que atañen a las cosas en cuanto figuras espaciales naciendo la geometría como ciencia con carácter necesario, es decir de conocimiento conforme a leyes y principios generales.

Contenido

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[editar] Forma como aspecto visual y como estructura

La definición de forma en relación al lenguaje visual tiene una doble acepción, fundamentada en la realidad que las cosas muestran en su configuración, determinada, pues, por su apariencia.

Es la apariencia externa de las cosas

Es también su estructura expresiva plástica, donde se asienta su identidad visual

La primera se modifica según los condicionantes físicos de su percepción, como son la iluminación, el punto de vista, el sujeto observador, etcétera. La segunda es inmutable; en su esqueleto y armazón.

La forma es el contorno de un objeto sensible, la línea que precisa y aísla del medio ambiente la realidad física del objeto, lo que determina la diferencia y el modo de ser de los entes. Luego, la forma es, esencialmente cualidad y modo de ser del signo.

La forma penetra también en toda la organización de los cuerpos, haciéndose estructura y organismo. Se habla propiamente de forma refiriéndose al espacio interno; el espacio externo se denomina contraforma.

Forma.Es la representación gráfica de un objeto.

La forma es cualquier cosa, si se modifica no pasa nada porque aun sigue siendo una forma.

Se dice que cuando una forma se descompone en sus partes, pierde su configuración y se percibe como no configurada. Se dice que “la forma es un todo”, es algo más que la suma de sus partes. Si se alteran los elementos que la conforman, pierde significación.

Tamaño: el tamaño depende de la relación y comparación entre una forma y otra.

Así, pueden establecerse formas de mayor tamaño, si se compara con otra de tamaño menor. Se puede hablar de formas grandes y pequeñas cuando se trata de diferenciarlas dentro del contexto de una disposición y “forma constitutiva”.

Color: la forma puede percibirse gracias al color: generalmente, lo que se ve como forma no puede separarse de lo que se ve como color, pues el color en la forma es sencillamente la reacción de un objeto a los rayos de luz mediante los cuales lo percibimos. El color, junto con la textura, conforma el aspecto superficial de la forma.

Textura: se refiere a la apariencia externa de la forma que podemos percibir a través de la vista y el tacto, según el tratamiento que se le de a la superficie de la misma.

La textura en la forma puede recibir variaciones en cuanto al color; una forma de textura rugosa, si es tratada con el mismo color que otra de textura lisa, sufre alteraciones de su color porque hay más concentración de pigmentos y, por lo tanto, este se ve más intenso.

Posición: se relaciona más con el concepto de forma compositiva o composición y tienen que ver con la forma en el espacio. Cuando relacionamos la forma con el ámbito o campos donde se desarrolla la percepción visual, podemos determinar su posición. Los ejes dominantes establecen un marco de referencia en el mundo visual. Por ejemplo: horizontal o vertical, y también la dirección de la forma. La posición y la orientación de la forma dependen también de su organización en la composición.

[editar] Clasificación de las Formas

Formas Básicas / Geométricas Dibujo Artistico con Medrano

Son el círculo, el cuadrado y el triángulo equilátero. Cada una de ellas tiene sus propias características y son la base para la formación de nuevas obras. Las vemos en arquitectura y en la manufactura de nuevos objetos.

Formas Orgánicas o Naturales

Son aquellas que pertenecen a la naturaleza, a las que el hombre recurre, generalmente para sus creaciones artísticas.

Formas Artificiales

Son aquellas creadas o fabricadas por el hombre. El diseño de los automóviles, por ejemplo. Una silla, una mesa, etc.

a) Geométricas, construidas matemáticamente. b) Orgánicas, rodeadas por curvas libres que sugieren fluidez y desarrollo. c) Rectilíneas, limitadas por líneas rectas que no están relacionadas matemáticamente entre sí. d) Irregulares, limitadas por líneas rectas y curvas que no están relacionadas matemáticamente entre sí. e) Manuscritas, caligráficas o creadas a mano alzada. f) Accidentales, determinadas por el efecto de procesos o materiales especiales u obtenidas accidentalmente. Las formas planas pueden ser sugeridas por medio del dibujo.

[editar] Clases de forma

Formas Simbólicas: Tienen una significación que va más allá de lo que se representa. Algunas tienen significado patriótico, religiosos, poético, oníricos, sexuales, guerreros, de paz, etc. Estos significados están expresados en la forma o implícitos en ellas. Sin embargo, el observador necesita conocimiento de una clave o convención de las mismas. Un ejemplo de una forma simbólica es la bandera nacional.

Formas Abiertas y Cerradas: La forma abierta se percibe con mayor facilidad cuando se relacionan con el fondo, ya que una de sus características principales es que se integran a el o al medio. En la pintura, la forma abierta se expresa a través del poco contraste y el pase por medio del cual se funde con el fondo.

La forma cerrada se diferencia de la abierta por su contorno, por la continuidad del contraste con respecto al fondo. Podemos distinguirla cuándo observamos una obra pictórica o un diseño grafico. En la escultura y la arquitectura, la forma abierta se expresa por la interpretación de las mismas; no hay delimitación precisa entre exterior e interior, entre concavidad y convexidad.

Formas Abstractas: son aquellas que no representan algo concreto. Esta formas tienen belleza absoluta debido a que ninguna obra es igual que la otra.

Formas Figurativas: Son aquellas formas concretas usadas normalmente para expresar ideas de imágenes con formas existentes, pero las modifican en función de la composición.

Forma Simétrica: Las formas simétricas son aquellas de correspondencia exacta en forma, tamaño y posición de las partes de un todo. En la naturaleza encontramos una gran variedad de formas simétricas, también en obras artísticas encontramos simetría.

Según sus dimensiones, las formas son: bidimensionales y tridimensionales.

Forma Tridimensional: La forma tridimensional tiene volumen, masa y tres dimensiones: largo, ancho y profundidad; el espacio que ocupan es real. Se pueden ver de frente, de costado o por detrás; pueden tocarse. A menudo es posible verlas bajo diferentes condiciones de luminosidad y sus planos de observación son múltiples.

Formas Bidimensionales: Es plana, y como su nombre lo indica tiene dos dimensiones: ancho y largo. En las pinturas y en las fotos las formas son bidimensionales por que solo las percibimos del lado frontal.

Formas Positivas y Formas Negativas: Generalmente la forma se la ve como ocupante de un espacio, pero también puede ser vista como un espacio en blanco, rodeado de un espacio ocupado. Cuando ocupa el espacio se dice que es positiva. Cuando se percibe como un espacio en blanco, rodeado por un espacio ocupado es llamada negativa. En blanco y negro tendemos a considerar el espacio en blanco vacío y al negro ocupado, por lo tanto consideramos una forma negra positiva y una blanca negativa. Cuando estas se interrelacionan se vuelve más difícil distinguir una de la otra. La forma sea positiva o negativa es mencionada comúnmente como la figura que está sobre un fondo. Esta relación puede ser reversible.

Formas Ambiguas: Según nuestra organización perceptual, estas formas admiten varias interpretaciones. Las figuras o formas reversibles presentan cierta ambigüedad por que se perciben alternativamente las zonas correspondientes a figuras y fondos, positivos o negativos. Las figuras o formas imposibles se pueden dibujar, pero no se pueden construir en tres dimensiones; es decir, tienen un carácter bidimensional: al tratar de construirlas en tres dimensiones se desorganiza su configuración. Las figuras o formas virtuales se configuran por el efecto visual de cerramiento.

Forma Estilizada: Es una forma a su máxima simplicidad. Por lo general la complejidad del motivo se reduce a formas geometrizadas que caracterizan sus rasgos fundamentales.

Desde la prehistoria hasta nuestros días observamos algunas manifestaciones de formas estilizadas en obras artísticas, se usa también como un recurso muy valioso en las artes decorativas para la decoración de objetos y textiles y, en artes gráficas, para la confección de afiches y vallas con fines artísticos y publicitarios.

Forma Reversible: Son todas aquellas formas a las que se les puede interpretar de varias maneras. El cubo de Necker es un buen ejemplo de este tipo de forma.

[editar] Procesos de Elaboración de Formas

Rasgado: consiste en doblar una hoja de papel en cuatro partes y rasgar cualquier forma en el centro del papel. El resultado será la forma positiva y el fondo será la forma negativa. Luego se aplica pigmento negro a la zona positiva.

Disposición de Módulos Dimensionales: hemos recortado nueve cuadritos en cartulina de color y los hemos colocado en un formato, de modo que todos conforme un único bloque visual. Los cuadritos se han dispuesto de tal manera que la distancia que sea igual entre cada uno de ellos, para dar visión de un conjunto y lograr una forma.

Descomposición de la Forma: hemos recortado dos formas bidimensionales básicas, en este caso, dos cuadros y hemos efectuado en cada forma cuatro cortes de línea recta. Si colocamos las piezas de la primera forma sobre el soporte, separadas con una misma distancia, la forma cuadrada se conserva. En cambio al colocar las piezas de la segunda forma sobre el soporte, pero esta vez ordenadas de manera diferente, se obtiene la descomposición de la forma.

Construcción de Sólidos: se dibuja y se recorta en una cartulina el desarrollo de la forma deseada. En este caso hemos trabajado con un cubo. Al doblar cada una de sus caras y pegar con cola plástica las pestañas se obtiene una construcción sólida

Formas tridimensionales: para construir un sólido dibuja el desarrollo de la forma deseada ya sea cubo, cono, triángulo, etc. En cartulina de construcción recorta y dobla cada intercepción y procede a armarlo, pegando las aletas extremas.

[editar] Véase también

Forma (Filosofía)

[editar] Enlaces externos

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Forma_(Figura)"

Categoría: Geometría

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MATEMÁTICAS: ¿EN CUANTO A CORRELACIONES, DEBERÍAMOS DE ESTAR ORIENTADOS AL FUTURO?. En probabilidad y estadística, la correlación indica la fuerza y la dirección de una relación lineal entre dos variables aleatorias. Se considera que dos variables cuantitativas están correlacionadas cuando los valores de una de ellas varían sistemáticamente con respecto a los valores homónimos de la otra: si tenemos dos variables (A y B) existe correlación si al aumentar los valores de A lo hacen también los de B y viceversa. La correlación entre dos variables no implica, por sí misma, ninguna relación de causalidad (Véase Cum hoc ergo propter hoc).

petalofucsia - 31 de octubre de 2010 - 18:31 - Matemáticas

Correlación

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En probabilidad y estadística, la correlación indica la fuerza y la dirección de una relación lineal entre dos variables aleatorias. Se considera que dos variables cuantitativas están correlacionadas cuando los valores de una de ellas varían sistemáticamente con respecto a los valores homónimos de la otra: si tenemos dos variables (A y B) existe correlación si al aumentar los valores de A lo hacen también los de B y viceversa. La correlación entre dos variables no implica, por sí misma, ninguna relación de causalidad (Véase Cum hoc ergo propter hoc).

[editar] Fuerza, sentido y forma de la correlación

La relación entre dos super variables cuantitativas queda representada mediante la línea de mejor ajuste, trazada a partir de la nube de puntos. Los principales componentes elementales de una línea de ajuste y, por lo tanto, de una correlación, son la fuerza, el sentido y la forma:

La fuerza extrema segun el caso, mide el grado en que la línea representa a la nube de puntos: si la nube es estrecha y alargada, se representa por una línea recta, lo que indica que la relación es fuerte; si la nube de puntos tiene una tendencia elíptica o circular, la relación es débil.

El sentido mide la variación de los valores de B con respecto a A: si al crecer los valores de A lo hacen los de B, la relación es positiva; si al crecer los valores de A disminuyen los de B, la relación es negativa.

La forma establece el tipo de línea que define el mejor ajuste: la línea rectal, la curva monotónica o la curva no monotónica.

[editar] Coeficientes de correlación

Existen diversos coeficientes que miden el grado de correlación, adaptados a la naturaleza de los datos. El más conocido es el coeficiente de correlación de Pearson (introducido en realidad por Francis Galton), que se obtiene dividiendo la covarianza de dos variables por el producto de sus desviaciones estándar. Otros coeficientes son:

[editar] Interpretación geométrica

Ambas series de valores $X (x_1, ldots, x_n)$ e $Y (y_1, ldots, y_n)$ pueden estar consideradas como vectores en un espacio a n dimensiones. Reemplacemoslos por vectores centrados:

$X (x_1 - bar x, ldots, x_n - bar x)$ e $Y (y_1 - bar y, ldots, y_n - bar y)$ .

El coseno del ángulo alfa entre estos vectores es dada por la fórmula siguiente :

$cos(alpha) = dfrac{displaystyle sum_{i=1}^N (x_i - bar x)cdot(y_i - bar y)}{sqrt{displaystyle sum_{i=1}^N (x_i - bar x)^2}cdotsqrt{displaystyle sum_{i=1}^N (y_i - bar y)^2}}$

Pues $c o s (α)$ es el coeficiente de correlación de Pearson.

¡El coeficiente de correlación es el coseno entre ambos vectores centrados!

Si r = 1, el ángulo

α = 0

°, ambos vectores son colineales (paralelos).Si r = 0, el ángulo

α = 90

°, ambos vectores son ortogonales.Si r =-1, el ángulo

α = 180

°, ambos vectores son colineales de dirección opuesto.Más generalmente :

α = a r c C o s (r)

Por supuesto, del punto vista geométrica, no hablamos de correlación lineal: el coeficiente de correlación tiene siempre un sentido, cualquiera que sea su valor entre -1 y 1. Nos informa de modo preciso, no tanto sobre el grado de dependencia entre las variables, que sobre su distancia angular en la hiperesfera a n dimensiones.

La Iconografía de las correlaciones es un método de análisis multidimensional que reposa en esta idea.

la correlacion lineal se da cuando en una nube de puntos estos se encuentran o se distribuyen alrededor de una recta.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Correlaci%C3%B3n"

Categoría: Covarianza y correlación

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MATEMÁTICAS: EL NÚMERO UNO. El uno (1) es el número entero que sigue al cero y precede al dos.

petalofucsia - 31 de octubre de 2010 - 16:17 - Matemáticas

Uno

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Para otros usos de este término, véase Uno (desambiguación).

Cardinal

Uno

Ordinal

Primero, -a
Primo, -a

Sistemas de numeración

一

壹

•

De los Campos de Urnas

௧

Como parámetro de una función

El uno (1) es el número entero que sigue al cero y precede al dos.

Contenido

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[editar] Representacion

Como Numero natural, 1
Como Numero entero, +1
Como Numero racional, 1/1
Como Numero irracional,√1
Como Numero decimal, 1.0

[editar] Propiedades matemáticas

El 1 se puede representar como el cociente de cualquier número distinto de cero entre sí mismo; o como el producto de cualquier número distinto de cero por su inverso:

$x cdot frac{1}{x} = 1, x neq 0$

El 1 es el elemento neutro del producto; es decir, cualquier número a multiplicado por 1 vuelve a dar a.
El 1 no se considera número primo por razones técnicas. Si lo fuera, entonces los números naturales no tendrían una factorización única (salvo orden), sino que tendrían infinitos factores (por ejemplo, 6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 3 = ...) y las definiciones de muchas propiedades matemáticas se verían afectadas, como por ejemplo, los números perfectos.
El 1 es tanto el primer término como el segundo de la sucesión de Fibonacci. El siguiente término de la sucesión es el 2.
En informática, el 1 se asocia con la posición de "encendido" en lógica positiva y con la posición de "apagado" en lógica negativa, y es uno de los dos dígitos del sistema binario (el otro es el cero).

[editar] Características

Existen varios prefijos que significan uno, y participan en la construcción de una gran cantidad de palabras de uso cotidiano: mono y uni, como en monóculo y único.
En muchas culturas el 1 se representa mediante un punto o un trazo (horizontal, vertical o más o menos sinuoso). Por ejemplo, en la Números arábigos (1), en la romana (I), en la antigua numeración griega (I), en la numeración china (一), en la árabe (١), en la hangzhou (〡), en la bengalí (১), en la tibetana (༡), en la egipcia (
), en la colombiana (8px) y en la Cultura de los Campos de Urnas (/).
En la simbología cristiana, el 1 simboliza la Unidad y el Principio Creador del que proceden todas las cosas.

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Uno.Commons
Wikcionario tiene definiciones para uno.Wikcionario

Predecesor: 2^-1	Potencias de 2 2⁰	Sucesor: 2¹
Predecesor: 10^-1	Potencias de 10 10⁰	Sucesor: 10¹
Predecesor: 10^-3	Escala numérica larga 10⁰	Sucesor: 10³

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Uno"

Categorías: Potencias de 2 | Números

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MATEMÁTICAS: UNIDAD. El uno (1) es el número entero que sigue al cero y precede al dos.

petalofucsia - 31 de octubre de 2010 - 16:15 - Matemáticas

Unidad

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Unidad puede referirse a:

uno, el número entero, y conceptos matemáticos relacionados con él:

unidad imaginaria, un número complejo cuyo cuadrado es -1;
raíz de la unidad, todos los números complejos que resultan 1 cuando son elevados a una potencia n;
vector unitario, un vector cuyo módulo vale 1;
círculo unidad, un círculo de radio 1 centrado en el origen del sistema de coordenadas;
intervalo unidad, un intervalo de los números reales que se encuentran entre 0 y 1;
unidad algebraica, un divisor de uno en un grupo multiplicativo finito;

unicidad, lo opuesto a la multiplicidad, especialmente en términos filosóficos y teológicos:

patrón de medida con divisiones y subdivisiones:

unidad de medida, el patrón de comparación de cualquier magnitud;
unidad militar, un elemento de organización dentro de unas Fuerzas Armadas.;
unidad monetaria, el tipo de moneda utilizado en una región o país;
unidad astronómica, la distancia media entre la Tierra y el Sol;
unidad de masa atómica, la más pequeña unidad de masa;
unidad de disco, dispositivo de la computadora;
unidad geográfica, en geografía;
unidad léxica, en lingüística;

lección, tema o capítulo, especialmente en los libros de texto.
nombres de partidos o movimientos políticos y sociales:

Unitas (unidad, en latín), el lema de los güelfos y de la democracia cristiana italiana;
Yedinstvo (Unidad), facción del Partido Obrero Socialdemócrata de Rusia entre 1914 y 1917 y partido independiente entre 1917 y 1918;
Yedinstvo, partido político ruso entre 1999 y 2001 y desde entonces parte integrante de Rusia Unida;
Unidad Nacional, en Perú;
Unidad Popular, en Chile;
Unidad, Progreso y Democracia, en España;
Rassamblement pour la Republique (unidad o reagrupamiento por la República, en francés), en Francia.

Otros

Barrio de la Unidad(Tala,Jalisco,México).

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