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MATEMÁTICAS4: SE PODRÍAN ESTUDIAR LAS VARIACIONES, LA PROPORCIÓN Y LAS RAZONES MATEMÁTICAS. CLARAMENTE NOS HEMOS "DESVIADO" AL MÁXIMO, PERO NO SE SI TODO ESTO RESULTA ARMÓNICO, Y SI PUEDE SER "DESPROPORCIONADO" O MUY "TRASCENDENTAL". El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.

Cálculo de variaciones

De Wikipedia, la enciclopedia libre

El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.

Contenido

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[editar] Formulación general

Uno de los problemas típicos en cálculo diferencial es el de encontrar el valor de x para el cual la función f(x) alcanza un valor extremo (máximo o mínimo). En el cálculo de variaciones el problema es encontrar una función f(x) para la cual un funcional I[f] alcance un valor extremo. El funcional I[f] está compuesto por una integral que depende de x, de la función f(x) y algunas de sus derivadas.

I[f]=int_a^b f(x,p(r),c'(x),...),dx

Donde la función f(x) pertenece a algún espacio de funciones (espacio de Banach, espacio de Hilbert), y tanto ella como sus derivadas pueden tener restricciones.

Esta fórmula integral puede ser más complicada permitiendo a x ser un vector, y por lo tanto incluyendo derivadas parciales para f.

[editar] Problemas históricos

[editar] Problema Isoperimétrico

Artículo principal: Isoperimetría

¿Cuál es el área máxima que puede rodearse con una curva de longitud dada?.

Ejemplo: Sean dos puntos A = (a,0),B = (b,0) en el eje x donde la distancia entre ellos está dada. Es decir AB = l. El problema de hallar una curva que maximice el área entre ella y el eje x sería:

Hallar una función f(x) de modo que,

I[f]=int_a^b f(x) dx = max

con las restricciones

G[f] = int_a^b sqrt{1+(f'(x))^2} dx = l (longitud de arco)

f(a) = f(b) = 0

[editar] Braquistócrona

El problema de la curva braquistócrona se remonta a J. Bernoulli (1696). Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto P = (x0,y0) al origen de modo que un punto material que se desliza sin fricción sobre ella tarda el menor tiempo posible en ir de P al origen. Usando principios de mecánica clásica el problema puede formularse como,

T[f]=int_{0}^{x_0}frac {sqrt{1+(f'(x))^2}} {sqrt{2g(y_0-y)}} dx = min

donde g es la gravedad y las restricciones son, f(0) = 0, f(x0) = y0. Hay que notar que en x = x0 existe una singularidad.

[editar] Véase también

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