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MATEMÁTICAS: LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. AVERIGUO SI ESA FUNCIÓN ES CONTINUA O LINEAL Y LUEGO TRATO DE SABER SI NO LO ES, HACIA DONDE SE APROXIMAN ESA SECUENCIA DE PUNTOS A TRAVÉS DE LAS DIFERENCIALES O DERIVDAS. El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Límite de una función

De Wikipedia, la enciclopedia libre

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.

Contenido

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Historia [editar]

Aunque implícita en el desarrollo del Calculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[1] Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática.[2] La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860[3] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]

Definición formal [editar]

Funciones en espacios métricos [editar]

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
    begin{array}{l}       underset {xto p}{lim} , , f(x) = L iff                forall varepsilon > 0   exists delta > 0 :            forall x(0<|x-p|<delta longrightarrow |f(x)-L|<epsilon)    end{array}

El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a p será L si y solo sí para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo número real x en 0 < |x - p| < δ, tenemos que |f(x) - L| < ε

El siguiente concepto de límite es el de la definición formal, la cual no es muy aprensible para el común de la gente. Dicha formulación matemática es más conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto.

Supóngase f : (M, dM) -> (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y LN. Decimos que "el límite de f en p es L" y escribimos

 lim_{x to p}f(x) = L

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda xM en 0 < dM(x, p) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.

En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = a es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x:

si 0 < left| x - a right| < delta , entonces left| fleft(xright) - L right| < epsilon

Observemos que la solución de la desigualdad 0 < | x - a | < δ es la siguiente:

x pertenece a la vecindad ( a - δ , a ) U ( a, a + δ ): x no toca el valor de a, pues

0 < | x - a | implica x distinto de a,

mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la siguiente:

y pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de la x está en la vecindad horizontal alrededor del punto "a" y agujereada en "a" con radio delta y centro "a", aun cuando en ese punto "a" no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(a) y radio épsilon.

Notación de límite [editar]

Límite de una función en un punto [editar]

Sea f una función real, entonces

 lim_{x to p}f(x) = L (x,Lin{mathbb{R}})

si y sólo si

para todo  varepsilon>0 existe un δ > 0 tal que para todo número real x en el dominio de la función

0 < |x-p| < delta Rightarrow |f(x)-L| < varepsilon

Notación formal: forall varepsilon >0,  exists {delta >0} / forall_{xinmathbb{D}} 0< |x-p|<delta Rightarrow |f(x)-L|< varepsilon

Indeterminaciones [editar]

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos:

    begin{array}{ll}       infty - infty                                cfrac{infty}{infty} & cfrac{0}{0}          infty cdot 0         & 1^infty              infty ^0              & 0^0     end{array}

* Nota: infty ,! se refiere al límite que tiende infinito y 0 ,! al límite cuando tiende 0 (no al número 0).

Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes:

lim_{trightarrow 0}frac{t}{t^2}=inftylim_{trightarrow 0}frac{t}{t}=1lim_{trightarrow 0}frac{t^2}{t}=0

Propiedades de los límites [editar]

Si k es un escalar:

  1.  lim_{x to p} k =, k,
  2.  lim_{x to p} x = , p ,
  3.  lim_{x to p} kf(x) =, klim_{x to p} f(x),
  4.  lim_{x to p} (f(x) + g(x)) =, lim_{x to p} f(x) + lim_{x to p} g(x),
  5.  lim_{x to p} (f(x) - g(x)) =, lim_{x to p} f(x) - lim_{x to p} g(x),
  6.  lim_{x to p} (f(x) g(x)) =, lim_{x to p} f(x) cdot lim_{x to p} g(x),
  7.  lim_{x to p} {{f(x)}over {g(x)}} =, {{lim_{x to p} {f(x)}} over {lim_{x to p} {g(x)}}}, si g(x) ne 0  y lim_{x to p} g(x) ne 0,
  8.  {lim_{x to 0} left(1+xright)^{1 over x}} =, e
  9.  {lim_{x to infty} left(1+{1 over x}right)^x } =, e
  10.  {lim_{x to infty} x ; sin left (frac {2pi}{x} right ) cos left (frac {2pi}{x} right )} =,2pi
  11.  {lim_{x to 0} {{operatorname{sen}x} over x}} =, 1 , = {lim_{x to 0} {{x over operatorname{sen}x}}}
  12.  {lim_{x to 0} {tan x over x}} =, 1 , = {lim_{x to 0} {x over tan x}}
  13.  {lim_{x to 0} {operatorname{sen}x over tan x}} =, 1 , = {lim_{x to 0} {tan x over operatorname{sen} x}}
  14.  {lim_{x to p} left(f(x) cdot g(x)right)} =, 0 Leftrightarrow f(x) acotada y g(x) infinitésimo
  15.  {lim_{x to 0} frac {1-cos x}{x} } =, 0 ,

Véase también [editar]

Referencias [editar]

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