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CIENCIA5: LÍMITE MATEMÁTICO. En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

petalofucsia - 25 de octubre de 2010 - 15:51 - Ciencia5

Límite matemático

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En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

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[editar] Límite de una función

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Artículo principal: Límite de una función

[editar] Definición rigurosa

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

$lim_{xto c} , , f(x) = L$

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:

$begin{array}{l} underset {xto c}{lim} , , f(x) = L iff forall varepsilon > 0 exists delta > 0 / 0<|x-c|<delta longrightarrow |f(x)-L|<epsilon end{array}$

Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:

"El límite cuando x tiende a c existe si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c (x no es igual a c) es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

[editar] Límites notables

Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.

${lim_{x to infty} left (1+ frac {1}{x} right )^x } =, e$ (número e)
${lim_{x to 0} left (frac {operatorname{sen,} x}{x} right )} =, 1$
${lim_{x to 0} left (frac {tan x}{x} right )} =, 1$

[editar] Demostración

Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:

$1 < frac{x}{operatorname{sen,}x} < frac{1}{cos x}$

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

$cos x < frac{operatorname{sen,} x}{x} < 1$

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

$lim_{xto 0} cos x < lim_{xto 0} frac{operatorname{sen,} x}{x} < lim_{xto 0} 1$

Lo que es igual a:

$1 < lim_{xto 0} frac{operatorname{sen,} x}{x} < 1$

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

$lim_{xto 0}frac{operatorname{sen,}(x)}{x}=1$

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

${lim_{x to 0} left (frac {tan x}{x} right )} = {lim_{x to 0} left (frac {operatorname{sen,} x}{x} right )} cdot lim_{x to 0} frac{1}{cos x}= 1 cdot 1 = 1$

El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límite cuando x tiende a infinito.

[editar] Límite de una sucesión

$a_{n} = begin{cases} 16 & mbox{si } n = 0 cfrac{a_{n-1}}{2} & mbox{si } n > 0 end{cases}$

Artículo principal: Límite de una sucesión

La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando $x$ tiende a $infty$ . Decimos que la sucesión $a n$ tiende hasta su límite $a$ , o que converge o es convergente (a $a$ ), lo que denotamos como:

$lim_{ntoinfty}a_n = a$

si podemos encontrar un número $N$ tal que todos los términos de la sucesión a $a$ cuando $n$ crece sin cota. Formalmente:

$a_n to a Leftrightarrow$ $forallepsilon>0, exists N>0 : forall nge N, |a_n - a|<epsilon$

[editar] Propiedades de los límites

[editar] Generales

Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.

$lim_{x to a} x = , a ,$

Límite por un escalar.

$lim_{x to a} kf(x) =, klim_{x to a} f(x),$ donde k es un multiplicador escalar.

Límite de una suma.

$lim_{x to a} (f(x) + g(x)) =, lim_{x to a} f(x) + lim_{x to a} g(x),$

Límite de una resta.

$lim_{x to a} (f(x) - g(x)) =, lim_{x to a} f(x) - lim_{x to a} g(x),$

Límite de una multiplicación.

$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) =, lim_{x to a} f(x) cdot lim_{x to a} g(x),$

Límite de una división.

$underset {x to a} {lim} ; frac {f(x)}{g(x)} = frac {underset {x to a} {lim} ; f(x)} {underset {x to a} {lim} ; g(x)} quad mathrm{si} lim_{x to a} g(x) ne 0$

[editar] Indeterminaciones

Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

$infty - infty , quad frac{infty}{infty} , quad infty cdot 0 , quad frac{0}{0} , quad infty ^0 , quad 1^infty , quad 0^0$

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de L'Hopital.

Un ejemplo de indeterminación del tipo $textstyle frac{0}{0}$ es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :

$lim_{trightarrow 0}frac{t}{t^2}=frac{0}{0} quad xrightarrow[mathrm{simplificando}]{} quad lim_{trightarrow 0}frac{1}{t} = infty$

$lim_{trightarrow 0}frac{t}{t}=frac{0}{0} quad xrightarrow[mathrm{simplificando}]{} quad lim_{trightarrow 0} 1 =1$

$lim_{trightarrow 0}frac{t^2}{t}=frac{0}{0} quad xrightarrow[mathrm{simplificando}]{} quad lim_{trightarrow 0} {t} = 0$

[editar] Véase también

Límite de una función

[editar] Referencias

[editar] Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Límite matemático» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. Consultado el 29 de mayo de 2010.
Mathwords: Limit
Límites de funciones. Introducción
Introducción al Cálculo de Límites (vídeo)

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"

Categoría: Análisis real

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CIENCIA5: TIPOS DE VISIÓN. AQUÍ SE HABLÓ DE VISIÓN FRONTAL Y OPOSICIÓN DE DATOS. ¿PODRÍAN OTROS TIPOS DE VISIÓN FACILITARNOS UNA NUEVA CONCEPCIÓN DEL MUNDO Y OTRA LÓGICA?. Se llama visión a la capacidad de interpretar nuestro entorno gracias a los rayos de luz que alcanzan el ojo. La visión o sentido de la vista es una de las principales capacidades sensoriales del hombre y de muchos animales.

petalofucsia - 25 de octubre de 2010 - 13:00 - Ciencia5

Visión

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Para otros usos de este término, véase Visión (desambiguación).

«vista» redirige aquí. Para otras acepciones, véase vista (desambiguación).

OJO DE HORUS (ANTIGUO EGIPTO)

Ojo humano.

Se llama visión a la capacidad de interpretar nuestro entorno gracias a los rayos de luz que alcanzan el ojo. La visión o sentido de la vista es una de las principales capacidades sensoriales del hombre y de muchos animales.

El ojo es la puerta de entrada por la que penetran los estímulos luminosos que se transforman en impulsos eléctricos gracias a una células especializadas de la retina que son los conos y los bastones.

El nervio óptico transmite los impulsos eléctricos generados en la retina al cerebro, donde son procesados en la corteza visual.^[1]

En el cerebro tiene lugar el complicado proceso de la percepcíón visual gracias al cual somos capaces de percibir la forma de los objetos, identificar distancias y detectar los colores y el movimiento.

La lesión de una de las estructuras del sistema visual puede causar ceguera aunque el resto no presente ninguna alteración. En la Ceguera Cortical ocasionada por una lesión en la región occipital del cerebro, se produce pérdida completa de visión aunque el ojo y el nervio óptico no presentan ninguna anomalía.^[2]

El Día Mundial de la Visión se celebra el segundo jueves del mes de octubre.^[3]

Corte del cerébro humano en el que puede apreciarse la corteza visual cuya lesión ocasiona Ceguera Cortical

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[editar] Historia y corrientes

La historia de la visión comenzó con los presocraticos diciendo que el ojo esta hecho de agua y fuego. Después Aristóteles dio las bases para el estudio científico.

El estudio científico de la percepción visual comienza en el siglo XIX con Hermann von Helmholtz, y los primeros métodos psicofísicos. A comienzos del siglo XX se hace fuerte la escuela de la Gestalt que propone que la visión esta fuertemente guiada por procesos arriba-abajo. Gerardo expuso los principios de la visión en el Colegio Cristiano Josué y Álvaro pasó a experimentar con el.

A mediados del siglo X5 aparecen los proponentes de la percepción indirecta y los proponentes de la percepción directa.

Hoy en día es más difícil hablar de escuelas, puesto que el estudio de la visión es sumamente interdisciplinario.

[editar] Anatomía ocular

Artículo principal: Ojo humano

[editar] Capas de la pared del ojo

El ojo es el órgano encargado de la recepción de los estímulos visuales, cuenta con una arquitectura altamente especializada producto de millones de años de evolución. El Globo ocular posee tres envolturas, que de afuera hacia adentro son:

[editar] Túnica Fibrosa Externa

Se compone de dos regiones la esclerótica y la córnea.

Esclerótica: que es blanca y opaca, con fibras colágenas tipo I entremezcladas con fibras elásticas; avascular, que brinda protección a las estructuras internas, y estabilidad. Cubre la mayor parte del globo ocular, excepto en una pequeña región anterior.

Córnea; Es una prolongación anterior transparente, avascular pero muy inervada de la esclerótica, que abulta hacia delante el ojo. Es ligeramente más gruesa que la esclerótica.

[editar] Túnica Vascular Media (úvea)

Está conformada por tres regiones, la coroides, el cuerpo ciliar y el iris.

Coroides; es la porción posterior Pigmentada de la túnica vascular media, la cual se une a la esclerótica laxamente y se separa del cristalino mediante la membrana de Bruch.

Cuerpo ciliar; Es una prolongación cuneiforme, que se proyecta hacia el cristalino y se ubica en la luz del ojo entre el iris (anterior) y el humor vitreo (posterior).

Iris; Es la extensión anterior pigmentada de la coroides, cuya función es regular la entrada de luz al ojo mediante la contracción o distensión de la pupila.

[editar] Retina o Túnica Neural

Artículo principal: Retina

Se compone de 10 capas, que desde el exterior al interior del globo se denominan:

Epitelio pigmentado
Capa de conos y bastones (receptora)
Membrana limitante externa
Capa nuclear externa
Capa plexiforme externa
Capa nuclear interna
Capa plexiforme interna
Capa de células ganglionares
Capa de fibras del nervio óptico
Membrana limitante interna

[editar] Cámaras del ojo

Cavidad vítrea; que contiene el humor vítreo, y se ubica detrás del cristalino, conformando el núcleo transparente, gelatinoso del globo ocular.
Cámara posterior; ubicada delante de la cavidad vitrea y posterior al iris. Contiene humor acuoso y el cristalino o lente del ojo.
Cámara anterior; ubicada entre la córnea (hacia adelante) y el iris (atrás). También contiene humor acuoso.

[editar] Aspectos histológicos y fisiológicos

[editar] Retina

Como ya se mencionó la retina posee 10 capas, la luz debe atravesar casi todas estas capas para llegar hasta donde se ubican los conos y los bastones, que son las células especializadas en la recepción de los estímulos visuales, y la transformación de estas señales en impulsos nerviosos que llegaran a construir imágenes, formas, colores, tonos, y movimientos en el cerebro. Además de conos y bastones la retina posee una compleja red de neuronas, los conos y bastones próximos a la coroides establecen sinapsis con las células bipolares y estas con las ganglionares , cuyos axones convergen y salen del ojo para conformar el nervio óptico. Otras neuronas llamada células horizontales conectan células receptoras entre sí, mientras que otro grupo de células, las amacrinas, son interneuronas cuyos núcleos se ubican en la capa nuclear interna y lanzan sus prolongaciones hacia la capa plexiforme interna.

El nervio óptico sale del globo ocular cerca del punto más posterior del ojo junto con los vasos retinianos, en un punto conocido como papila óptica, en donde no existen receptores visuales, por lo que constituye un punto ciego. Por el contrario también existe un punto con mayor agudeza visual localizado cerca del polo posterior del ojo, denominada mácula lútea, de aspecto amarillento, y en la cual se encuentra la fóvea central, que es una pequeña porción de la retina carente de bastones pero con mayor densidad de conos. Al fijar la atención visual en un objeto determinado, la luz del objeto se hace incidir sobre la fóvea que es lugar de la retina con máxima sensibilidad.

[editar] Células receptoras

Las células receptoras son los conos y los bastones. Los conos se relacionan con la visión en colores la visión diurna, y los bastones con la visión nocturna. existen más de 100 millones de bastones en el ojo humano, y cerca de 4 millones de conos. Cada bastón se divide en un segmento externo y uno interno, el que a su vez posee una región nuclear y una región sináptica. En el segmento externo unos discos llamados discos contienen compuestos fotosensibles en sus membranas, que responden a la luz provocando una serie de reacciones que inicán potenciales de acción.

Los conos también poseen estos segmentos, a diferencia de los conos, su región exterior tiene una conformación distinta, mediante el plegamiento de su membrana se da lugar a la formación de los sacos, en cuyas membranas también se encuentran pigmentos fotosensibles.

[editar] Compuestos fotosensibles

Los compuestos fotosensibles en la mayoría de los animales así como en los humanos se componen de una proteína llamada opsina, y retineno-1 que es un aldehído de la Vitamina A1. La Rodopsina es el pigmanto fotosensible de los bastones, cuya opsina se llama escotopsina. La rodopsina capta luz con una sensibilidad máxima en los 505 nm de longitud de onda, esta luz incidente hace que la rodopsina cambie su conformación estructural, produciendo una cascada de reacciones que amplifican la señal, y crean un potencial de acción que se desplazará a través de las fibras nerviosas, y que el cerebro interpretará como luz.

En los humanos hay tres tipos de conos, que responden con mayor intensidad a la luz con longitudes de onda de 440, 535 y 565 nm. Los tres tipos de conos poseen retineno-1, y una opsina que posee una estructura característica en cada tipo de cono. Luego mediante un proceso similar al de los bastones los impulsos nerviosos provenientes de la estimulación de estos receptores, llegan a la corteza visual, donde son interpretados como una amplia gamma de colores y tonalidades, formas y movimiento.

[editar] Vías nerviosas

El nervio óptico se forma por la reunión de los axones de las células ganglionares. El nervio óptico sale cerca del polo posterior del ojo y se dirige hacia atrás y medialmente, para unirse en una estructura denominada quiasma óptico, en donde las fibras provenientes de las hemirretinas externas se mantienen en las cintillas ópticas correspondientes a su mismo lado, mientras que las fibras de las hemirretinas nasales, cruzan a la cintilla óptica del lado opuesto. Luego las cintillas ópticas se dirigen a los cuerpos geniculados mediales (localizados en la cara posterior del tálamo), y se reúnen nuevamente en el haz geniculocalcarino, que se dirige hacia el lóbulo occipital de la corteza cerebral, para distribuirse en la región que rodea la cisura calcarina, correspondiente a las áreas de Brodmann,17, 18 y 19, área visual primaria y asociativas respectivamente. En su recorrido estas fibras brindan pequeñas ramas, hacia el núcleo supraquiasmático del hipotálamo.

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

Conferencias y asociaciones relacionadas:

[editar] Referencias

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Visi%C3%B3n"

Categorías: Visión | Percepción | Sistema visual

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CIENCIA5: LA VISIÓN DE UNA MOSCA A TRAVÉS DE UN OJO ARTIFICIAL. La nanotecnología es un campo de las ciencias aplicadas dedicado al control y manipulación de la materia a una escala menor que un micrómetro, es decir, a nivel de átomos y moléculas (nanomateriales). Lo más habitual es que tal manipulación se produzca en un rango de entre uno y cien nanómetros. Se tiene una idea de lo pequeño que puede ser un nanobot sabiendo que un nanobot de unos 50 nm tiene el tamaño de 5 capas de moléculas o átomos -depende de qué esté hecho el nanobot-. Nano- es un prefijo griego que indica una medida, no un objeto, de manera que la nanotecnología se caracteriza por ser un campo esencialmente multidisciplinar, y cohesionado exclusivamente por la escala de la materia con la que trabaja.

petalofucsia - 25 de octubre de 2010 - 12:50 - Ciencia5

La visión de una mosca a través de un

ojo artificial

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VelSid 28 de abril de 2006

Investigadores de la Universidad de California han diseñado un ojo similar al de los insectos para lograr una visión de gran angular. El nuevo ojo permitirá nuevas aplicaciones en intervenciones quirúrgicas, en la industria, etc.

El Centro de Nanotecnología Biomolecular de la Universidad de California desarrolló este nuevo ojo con la intención de utilizar el gran potencial que presenta tener una visión muy amplia, al igual que la tienen los insectos. Un ojo de abeja contiene miles de unidades ópticas integradas que se denominan omatidias, éstas están dispuestas esféricamente de manera que cada omatidia apunta hacia una dirección diferente, lo que permite un amplísimo campo visual.

Cada lente que se ha empleado en la construcción de este nuevo ojo mide tan sólo dos décimas de milímetro, obtuvieron estas lentes a través de la nanolitografía, es una técnica que copia lo “infinitamente” pequeño gracias a un especial haz de luz que utilizaron para moldear pequeñas cadenas de materia orgánica imitando las estructuras naturales de los insectos. El resultado ha sido una especie de cúpula resinosa con un tamaño inferior a la cabeza de un alfiler.

Como ya hemos dicho en distintas ocasiones, la nanotecnología es una ciencia que abrirá muchas y grandes posibilidades en todos los campos científicos, proporcionándonos nuevos adelantos en pro de la humanidad.

Vía | Página12
Más información | Nature

Obtenido de http://www.genciencia.com/tecnologia/la-vision-de-una-mosca-a-traves-de-un-ojo-artificial

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CIENCIA5: HÉLICE (GEOMETRÍA). Una hélice, en geometría, es el nombre que recibe toda línea curva cuyas tangentes forman un ángulo constante (α), siguiendo una dirección fija en el espacio.

petalofucsia - 25 de octubre de 2010 - 11:17 - Ciencia5

Hélice (geometría)

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Para otros usos de este término, véase Hélice.

GIF de una Helice

Una hélice, en geometría, es el nombre que recibe toda línea curva cuyas tangentes forman un ángulo constante (α), siguiendo una dirección fija en el espacio.

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[editar] Ecuación vectorial

Si su ecuación vectorial es $bar{R} = bar{R}(s)$ , siendo s el arco, quiere decir que existe un vector unitario $bar{a}$ fijo tal que para todo s se verifica $bar{T}(s) cdotbar{a}=cos alpha$ (constante).

[editar] Teorema de Lancret

Una caracterización de las hélices viene dada por el siguiente teorema conocido como teorema de Lancret.

Es condición necesaria y suficiente para que una curva sea una hélice el que se verifique $frac{kappa}{tau}=cte$ , siendo tanα la constante.

Donde $kappa ,$ es la curvatura y $tau ,$ la torsión.

[editar] Hélices singulares

Las hélices más singulares son: la hélice circular, o hélice cilíndrica, la hélice cónica y la hélice esférica.

[editar] Hélice cilíndrica

Paso dos a derecha.	Paso dos a izquierda.
Paso tres a derecha.	Paso tres a izquierda.
Paso cuatro a derecha.	Paso cuatro a izquierda.
De una entrada a derecha.	De una entrada a izquierda.
De dos entrada a derecha.	De dos entrada a izquierda.
De tres entrada a derecha.	De tres entrada a izquierda.

Una hélice cilíndrica es una curva que corta a las generatrices de un cilindro recto con un ángulo constante. Es decir, que la distancia entre dos puntos de corte consecutivos de la hélice con cualquiera de las mencionadas generatrices (rectas paralelas al eje del cilindro y contenidas en su superficie externa) es una constante de la curva, independiente de la generatriz o los puntos escogidos, llamada "paso de hélice".

[editar] Expresión analítica

Desde un punto de vista analítico, una hélice queda definida por las siguientes expresiones parametrica:

$x = r cos (omega , t) ,$ $y = r sin (omega , t) ,$ $z = k , t ,$

Donde r es el radio de giro de la espiral, $omega ,$ es el ángulo girado por unidad de tiempo, t es el tiempo y k es el avance en el sentido z por unidad de tiempo.

Si de la tercera ecuación:

$z = k , t ,$

despejamos t:

$t = frac{z}{k} ,$

y lo sustituimos en las dos primeras, tendremos:

$x = r cos Big (frac{omega ,z}{k} Big ) ,$ $y = r sin Big (frac{omega ,z}{k} Big ) ,$

Como $omega ,$ y $k ,$ son valores conocidos y constantes, podemos definir:

$a =frac{omega}{k} ,$

con lo que tenemos:

$x = r cos ( a ,z) ,$ $y = r sin ( a ,z ) ,$

Con lo que queda determinadas las coordenadas de la espiral, obteniéndose x e y en función de los parámetros de la espiral y de z.

[editar] Propiedades

La proyección de la hélice sobre un plano paralelo al eje del cilindro es una curva sinusoidal.
La geodésica de un cilindro recto de base circular es un arco de hélice (es decir, el camino más corto entre dos puntos situados en la superficie de un cilindro, que no salga de dicha superficie, es un trozo de hélice).

Forma de hélice cónica en la naturaleza.

[editar] Hélice cónica

Esta curva esta situada sobre un cono y siguiendo de forma paralela el eje longitudinal de éste, similar a la formada en un cilindro visto en perspectiva.

$x = z ; sin(t)$ $y = z ; cos(t)$ $z = k ; t$

donde k es contante y t es la variable independiente.

[editar] Expresión analítica

$x = t cos t,$ $y = t sin t,$ $z = a t,$

[editar] Hélice esférica

Se denomina hélice esférica a la contenida en una superficie esférica. Por ser hélice se verificará $frac{kappa}{tau}=tan alpha ,$ (constante), o lo que es lo mismo $tau = kappa cot alpha ,$ .

Por ser una curva esférica la esfera osculatriz será constante, siendo la esfera sobre la que está situada la curva. Entonces, el radio de la esfera osculatriz es constante. Por consiguiente $frac{1}{kappa^{2}}+frac{kappa^{'2}}{kappa^{4}tau^{2}}=a^{2}$ (constante).

La hélice esférica.

Como $tau = kappa cot alpha ,$ , será $frac{1}{kappa^{2}}+frac{kappa^{'2}}{kappa^{6}cot^{2}alpha}=a^{2}$

Haciendo el cambio $kappa=frac{1}{rho}$ , se obtiene:

$rho^{2}+rho^{2}rho^{'2}tan^{2}alpha=a^{2},$ , o lo que es lo mismo, : $frac{rho drho}{sqrt{a^{2}-rho^{2}}}tanalpha=ds$

Integrando la igualdad anterior se obtiene: $-sqrt{a^{2}-rho^{2}}tanalpha=s+C$ .

Se puede hacer C = 0, tomando como origen de arcos el punto en el que $kappa(s)=frac{1}{a}$ y por tanto $rho = a ,$ .

Aceptando esta hipótesis y elevando al cuadrado $-sqrt{a^{2}-rho^{2}}tanalpha=s$ se obtiene $a^{2}-rho^{2}=s^{2}cot^{2}alpha,$ .

Como: $rho=frac{1}{kappa}$ , será: $a^{2}-frac{1}{kappa^{2}}=s^{2}cot^{2}alpha$

y como $kappa=tautanalpha,$ , resulta: $a^{2}-frac{cot^{2}alpha}{tau^{2}}= s^{2}cot^{2}alpha$ , y por tanto:

$s^{2}+frac{1}{tau^{2}}= a^{2}tan^{2}alpha$

Las ecuaciones obtenidas anteriormente determinan las ecuaciones intrínsecas de las hélices esféricas. Despejando $kappa^{2} y tau^{2},$ se obtiene:

$kappa^{2}=frac{1}{a^{2}-s^{2}cot^{2}alpha}$ $tau^{2}=frac{1}{a^{2}tan^{2}alpha-s^{2}}$

En el caso general, se obtiene como ecuaciones intrínsecas:

$kappa^{2}=frac{1}{a^{2}-left(s+Cright)^{2}cot^{2}alpha}$ $tau^{2}=frac{1}{a^{2}tan^{2}alpha-left(s+Cright)^{2}}$

[editar] Véase también

Loxodrómica
Coordenadas polares
ADN, conocido por su estructura de doble hélice.

[editar] Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Hélices. Commons
¿Por qué es la hélice una forma tan popular en la Naturaleza?
Weisstein, Eric W. Helix from MathWorld.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/H%C3%A9lice_(geometr%C3%ADa)"

Categoría: Curvas

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CIENCIA5: ¿UNIVERSO CON FORMA DE ESPIRAL? ¿CÓMO TRANSCURRIRÍA EL TIEMPO CON ESTA FORMA DE ESPIRAL?. un espiral es una línea curva generada por un punto que se va alejando progresivamente del centro a la vez que gira alrededor de él. Normalmente se define con una función que depende de dos valores: el ángulo del punto respecto a un eje de referencia, y la distancia desde este punto al centro, situado en el vértice del ángulo.

petalofucsia - 25 de octubre de 2010 - 11:15 - Ciencia5

Espiral

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Una espiral logarítmica.

un espiral es una línea curva generada por un punto que se va alejando progresivamente del centro a la vez que gira alrededor de él. Normalmente se define con una función que depende de dos valores: el ángulo del punto respecto a un eje de referencia, y la distancia desde este punto al centro, situado en el vértice del ángulo.

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[editar] Diferencias entre espiral y hélice

Imagen de una espiral arquimediana (negra), junto con una hélice cónica (roja) y una hélice cilíndrica (verde). En el caso de la hélice cónica, ésta puede entenderse como una espiral tridimensional.

"Espiral" y "hélice" son dos términos que se confunden fácilmente. Una espiral suele ser plana (como el surco de un disco de vinilo).

Una hélice, en cambio, siempre es tridimensional: es una línea curva continua, con pendiente finita y no nula, que gira alrededor de un cilindro, un cono o una esfera, avanzando en las tres dimensiones (como el borde de un tornillo).

[editar] Espirales bidimensionales

Las espirales bidimensionales más conocidas son:

La espiral de Arquímedes: r = a + bθ
La espiral clotoide
La espiral de Fermat: r = θ^1/2
La espiral hiperbólica: r = a/θ
La espiral logarítmica

Espiral de Arquímedes

Espiral logarítmica

Espiral de Fermat

espiral hiperbólica

[editar] Espirales tridimensionales

La hélice esférica o espiral esférica de infinitas revoluciones.

Para la creación de espirales tridimensionales se introduce una variable más en la función de la espiral, cuyo valor es el de una función continua y de monotonía repetitiva que depende del ángulo.

[editar] La hélice esférica o espiral esférica

Una hélice esférica, también llamada espiral esférica, es la curva que describiría un «barco ideal» viajando desde un polo hasta el otro polo de la Tierra, manteniendo una misma pendiente finita no nula. La hélice tendría un número infinito de revoluciones, con la distancia entre ellas cada vez menor a medida que se acercara a los polos.

La única forma de evitar dar vueltas indefinidamente en una hélice esférica es que ésta fuera arquimediana; es decir, que la pendiente del barco se ajustara a la necesaria para que la función de dicha hélice coincidiera con la de la espiral arquimediana sobre la esfera.

Véase también: Loxodrómica

[editar] La espiral como símbolo

La espiral es uno de los símbolos más antiguos y se encuentra en todos los continentes, habiendo jugado un papel fundamental en el simbolismo desde su aparición en el arte megalítico.

Parece que en muchos lugares representaba el ciclo "nacimiento-muerte-renacimiento" así como al Sol, que se creía seguía ese mismo ciclo, naciendo cada mañana, muriendo cada noche y renaciendo a la mañana siguiente.

Actualmente, la espiral también es empleada como símbolo para representar el pensamiento cíclico, en diversas propuestas filosóficas, estéticas y tecnológicas, por lo que puede hablarse en rigor de cierto espiralismo o concepción espìralista, como refleja el arte del escultor canario Martín Chirino o el pintor cubano Ángel Laborde Wilson.

[editar] Las espirales en la Naturaleza

Dibujo de los Prosobranchia, de Ernst Haeckel.

El estudio de las espirales en la naturaleza tiene una larga historia que se remonta a Christopher Wren, quien observó que muchas conchas animales formaban una espiral logarítmica. Jan Swammerdam observó las características comunes de un amplio abanico de conchas, desde la Helix hasta la Spirula, y Henry Nottidge Moseley describió la geometría de las conchas de los Gastropoda. En Sobre el crecimiento y la forma,^[1] D'Arcy Wentworth Thompson examina exaustivamente estas espirales. Describe cómo las conchas se forman siguiendo una curva que rota en torno a un eje, de modo que la forma de la curva permanece constante pero su tamaño aumenta en progresión geométrica. En algunas conchas como Nautilus y las amonites la curva generatriz gira en un plano perpendicular al eje y la concha se conforma como figura discoidal plana. En otras sigue un patrón espacial, con forma de hélice. Thompson también estudió la aparición de espirales en la anatomía de diversos cuernos, dientes, uñas y algunas plantas.

[editar] Véase también

[editar] Referencias

↑ D'Arcy Thompson (1917/2003). Sobre el crecimiento y la forma. Barcelona: Akal Cambridge. 8483233568.

[editar] Enlaces externos

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CIENCIA5: EL NÚMERO e. ¿ESTÁ PRESENTE EN EL LENGUAJE?. La constante matemática e es uno de los más importantes números reales.[1] Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la función exponencial f(x) = ex es esa misma función. El logaritmo en base e se llama logaritmo natural o neperiano.

petalofucsia - 24 de octubre de 2010 - 15:24 - Ciencia5

Número e

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La constante matemática $e$ es uno de los más importantes números reales.^[1] Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la función exponencial $f (x) = e x$ es esa misma función. El logaritmo en base $e$ se llama logaritmo natural o neperiano.

El número $e$ , conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.

Está considerado el número por excelencia del cálculo, así como $π$ lo es de la geometría e $i$ del análisis complejo. El simple hecho de que la función $e x$ coincida con su derivada hace que la función exponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.

El número $e$ , al igual que el número $π$ , es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido directamente mediante la resolución de una ecuación algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su valor exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.

Su valor aproximado (truncado) es

$e$ ≈ 2,7182818284590452354...

Contenido

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[editar] Historia

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier.^[2] No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se asume que la tabla fue escrita por William Oughtred.

El "descubrimiento" de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado interés compuesto. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,50 $2$ = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,25 $4$ = 2,4414... En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x $(1+textstyle{1 over 12})^{12}$ = 2,61303...UMs. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de $textstyle {1 over n}$ , el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación:

$lim_{ntoinfty} left(1+{1over n}right)^n$

Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2,7182818...UMs. De aquí proviene la definición que se da de e en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anual R, proporcionará $C e R$ UM con interés compuesto.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual.

[editar] Definición

La definición más común de e es como el valor límite de la serie

$e=sum_{n=0}^infty frac{1}{n!}$

que se expande como

$e = frac{1}{0!} + frac{1}{1!} + frac{1}{2!} + frac{1}{3!} + cdots$

Otra definición habitual^[3] dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación:

ln(x) = 1

que implica

$int_1^x frac {dt} t = 1$

es decir que se define e como el número para el que

ln(e) = 1

o lo que es lo mismo, el número para el que

$int_1^e frac {dt} t = 1$

[editar] Propiedades

[editar] Cálculo

La función exponencial f(x) = e^x es importante, en parte debido a que es la única función que es su propia derivada y vale 1 para x=0., y por lo tanto su propia primitiva también:

$frac{d}{dx}e^x=e^x$

$e^x= int_{-infty}^x e^t,dt$

Además, e es el límite de la sucesión de término general:

$left(1 + frac{1}{n} right)^n$

Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:

$e = lim_{x to infin} left(1 + frac {1} {x}right)^{x}$

Como el término de la derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo y hacer el cambio de variable $h = 1 / x$ :

$ln ((1 + h)^frac {1} {h}) = frac {ln(1+h)} {h} = frac {int_1^{1+h} frac {dx} x} {h} =$ $= frac {int_0^h frac {dx} {1+x}} {h} = frac {int_0^h left(1+O(x)right)dx } {h} = frac {h + O(h^2)} {h} = 1 + O(h)$

Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando $h$ tiende a cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.

[editar] Desarrollo decimal

El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:

$e = 2 + frac{1}{1 + frac{1}{2 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{4 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{6 + frac{1}{1 + cdots}}}}}}}}}$

Lo que se escribe e = [2, 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 ... 1,2n,1, ... ], propiedad descubierta por Leonhard Euler, y en fracción continua no normalizada:

$e = 2 + frac{2}{2 + frac{3}{3 + frac{4}{4 + frac{5}{5 + frac{6}{7 + frac{7}{7 + cdots}}}}}}$

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.

[editar] Álgebra

El número real e es irracional, y también trascendental (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer número trascendental que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles Hermite en 1873. Se cree que e además es un número normal.

Véase también: Demostración de que e es irracional

[editar] Números complejos

El número e presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos:

$e^{ix} = cos x + isin x,,!$

El caso especial con x = π es conocido como identidad de Euler

$e^{ipi}+1 =0 .,!$

de lo que se deduce que:

$log_e (-1) = ipi .,!$

Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:

$(cos x + isin x)^n = left(e^{ix}right)^n = e^{inx} = cos (nx) + i sin (nx)$

que es la fórmula de De Moivre.

[editar] Función exponencial

Se llama exponencial la función definida sobre los reales por $x longmapsto e^x$

La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, mediante la relación: $e^{mathrm{i}x} = cos x + mathrm{i},sin x$ . Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler.

En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguiente fórmula^[4] que se aproxima a "e":

$e = lim_{ntoinfty} quad {rm }frac{n^n}{(n-1)^{(n-1)}} - frac{(n-1)^{(n-1)}}{(n-2)^{(n-2)}} quad {rm para}quadleft|nright|>2.$

Otro límite^[5] con el que se obtiene el número e es:

$e= lim_{n to infty}(p_n #)^{1/p_n}$

donde $p n$ es el enésimo Número primo y $p_n #$ es el primorial del enésimo primo

[editar] Representaciones de e

El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es el límite:

$lim_{ntoinfty}left(1+frac{1}{n}right)^n,$

Desarrollando la potencia del binomio indicado en la propiedad anterior usando el teorema del binomio de Newton:

$left(1 + frac{1}{n} right)^n = 1 + frac{n}{1}frac{1}{n} + frac{n(n-1)}{1*2}frac{1}{n^2} + frac{n(n-1)(n-2)}{1*2*3}frac{1}{n^3} + ... + frac{1}{n^n}$ $= 1 + frac{1}{1!} + frac{1(1-frac{1}{n})}{2!} + frac{1(1-frac{1}{n})(1-frac{2}{n})}{3!} + ... + frac{1}{n^n}$

Cuando $n$ tiende a infinito, los productos que están en los numeradores tienden a 1, por lo que cada término de esta expresión tiende a $frac{1}{k!}$ , como se quería demostrar.

La serie infinita anterior no es única; e también puede ser representado como:

$e = sum_{k=1}^infty frac{k^2}{2(k!)}$ $e = sum_{k=1}^infty frac{k^3}{5(k!)}$ $e = sum_{k=1}^infty frac{k^4}{15(k!)}$ $e = sum_{k=1}^infty frac{k^5}{52(k!)}$ $e = sum_{k=1}^infty frac{k^6}{203(k!)}$

Existen otras representaciones menos comunes. Por ejemplo, e se puede representar como una fracción simple continua infinita:

$e=2+ cfrac{1}{ 1+cfrac{1}{ {mathbf 2}+cfrac{1}{ 1+cfrac{1}{ 1+cfrac{1}{ {mathbf 4}+cfrac{1}{ ddots } } } } } }$

[editar] Dígitos conocidos

El número de dígitos conocidos de e ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto es debido tanto al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados.^[6] ^[7]

Número de dígitos conocidos de e

Fecha	Dígitos decimales	Cálculo realizado por
1748 ^[8]	18	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. M. Boorman
1946	808	?
1949	2010	John von Neumann (en la ENIAC)
1961	100 265	Daniel Shanks y John W. Wrench
1994	10 000 000	Robert Nemiroff y Jerry Bonnell
Mayo de 1997	18 199 978	Patrick Demichel
Agosto de 1997	20 000 000	Birger Seifert
Septiembre de 1997	50 000 817	Patrick Demichel
Febrero de 1999	200 000 579	Sebastian Wedeniwski
Octubre de 1999	869 894 101	Sebastian Wedeniwski
21 de noviembre de 1999	1 250 000 000	Xavier Gourdon
10 de julio de 2000	2 147 483 648	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de julio de 2000	3 221 225 472	Colin Martin y Xavier Gourdon
2 de agosto de 2000	6 442 450 944	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de agosto de 2000	12 884 901 000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
21 de agosto de 2003	25 100 000 000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
18 de septiembre de 2003	50 100 000 000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
27 de abril de 2007	100 000 000 000	Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
6 de mayo de 2009	200 000 000 000	Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo

[editar] Referencias

El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.

↑ Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston. http://books.google.com/books?id=LIsuAAAAIAAJ&q=%22important+numbers+in+mathematics%22&dq=%22important+numbers+in+mathematics%22&pgis=1.
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001), «The number e» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html
↑ Esta forma de definir la función logaritmo natural, el número e, la función exponencial, etc. puede encontrarse en Cálculo Infinitesimal 2da edición, cap. 17 (p. 465) de Michael Spivak, Reverté o en Calculus 2da edición, cap. 6 (p. 277) de Tom Apostol, Reverté.
↑ Mathsoft "Expresión de Keller", Steven Finch (1998)
↑ Sebastián Martín Ruiz (1997)
↑ Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation
↑ Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast
↑ New Scientist 21 de Julio de 2007 p.40

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

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CIENCIA5: EL NÚMERO PI. π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería.

petalofucsia - 24 de octubre de 2010 - 15:06 - Ciencia5

Número π

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π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

$pi approx 3{,}14159265358979323846...$

El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.

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CIENCIA5: EL NÚMERO PI. π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.

petalofucsia - 24 de octubre de 2010 - 14:59 - Ciencia5

Número π

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$pi approx 3{,}14159265358979323846...$

π

es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es una constante en geometría euclidiana.

Lista de números – Números irracionales ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
Binario	11,00100100001111110110…
Decimal	3,14159265358979323846…
Hexadecimal	3,243F6A8885A308D31319…
Fracción continua	$3 + cfrac{1}{7 + cfrac{1}{15 + cfrac{1}{1 + cfrac{1}{292 + ddots}}}}$ Nótese que la fracción continua no es periódica.

Contenido

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[editar] El nombre π

Letra griega pi. Símbolo adoptado en 1706 por William Jones y popularizado por Leonhard Euler.

La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro) de un círculo,^[1] notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660), y propuesto su uso por el matemático galés William Jones^[2] (1675-1749), aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748, quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (que no se debe confundir con el número de Arquímedes).

[editar] Historia del cálculo del valor π

La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π son las siguientes.

[editar] Antiguo Egipto

Detalle del papiro Rhind.

El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind,^[3] donde se emplea un valor aproximado de π afirmando que: el área de un círculo es similar a la de un cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a 8/9 del diámetro. En notación moderna:

$S = pi r^2 simeq left( frac{8}{9} cdot d right)^2 = frac{64}{81} d^2 = frac{64}{81} left(4 r^2right)$

$pi simeq frac{256}{81} = 3{,}16049 ldots$

Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua cultura egipcia, en dos se habla de círculos. Uno es el papiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Sólo en el primero se habla del valor aproximado del número π. El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su libro The Exact Sciences in Antiquity,^[4] describe un método inspirado en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de π, mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 9.

[editar] Mesopotamia

Algunos matemáticos mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos, valores de π igual a 3, alcanzando en algunos casos valores más aproximados, como el de 3 + 1/8.

[editar] Referencias bíblicas

Una de las referencias indirectas más antiguas del valor aproximado de π se puede encontrar en un versículo de la Biblia:

«Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tenía cinco codos de altura y a su alrededor un cordón de treinta codos.»

I Reyes 7:23 (Reina-Valera 1995)

Una cita similar se puede encontrar en II Crónicas 4:2. En él aparece en una lista de requerimientos para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C. Ambas citas dan 3 como valor de π lo que supone una notable pérdida de precisión respecto de las anteriores estimaciones egipcia y mesopotámica.

Método de Arquímedes para encontrar dos valores que se aproximen al número π, por exceso y defecto.

Método de aproximación de Liu Hui.

[editar] Antigüedad clásica

El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el valor de π, entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método usado por Arquímedes^[5] era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.

Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero romano Vitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8 midiendo la distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro conocido.

En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones:

$pi simeq frac{377}{120} = 3{,}1416 ldots$

[editar] Matemática china

El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticos expertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrólogo chino Chang Hong (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximación $sqrt {10}$ , que dedujo de la razón entre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita. Un siglo después, el astrónomo Wang Fang lo estimó en 142/45 (3,155555), aunque se desconoce el método empleado.^[6] Pocos años después, hacia 263, el matemático Liu Hui fue el primero en sugerir^[7] que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96^[8] o 192^[6] lados. Posteriormente estimó π como 3,14159 empleando un polígono de 3.072 lados.^[8] ^[9]

A finales del siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de π en 3,1415926 al que llamó «valor por defecto» y 3,1415927 «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de π: 22/7 y 355/113 muy conocidas ambas,^[10] siendo la última aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta más de nueve siglos después, en el siglo XV.^[8]

[editar] Matemática india

Usando un polígono regular inscrito de 384 lados, a finales del siglo V el matemático indio Aryabhata estimó el valor en 3,1416. A mediados del siglo VII, estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmagupta calcula π como $sqrt {10}$ , cálculo mucho menos preciso que el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene una aproximación exacta hasta 11 dígitos (3,14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar la estimación.^[6]

[editar] Matemática islámica

En el siglo IX Al-Jwarizmi en su "Álgebra" (Hisab al yabr ua al muqabala) hace notar que el hombre práctico usa 22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de π con nueve dígitos, empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2π = 6,2831853071795865.

[editar] Renacimiento europeo

John Wallis (1616–1703).

Leonhard Euler (1707–1783).

A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en los cálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para π. El matemático Fibonacci, en su «Practica Geometriae», amplifica el método de Arquímedes, proporcionando un intervalo más estrecho. Algunos matemáticos del siglo XVII, como Viète, usaron polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse con buena precisión a 3,141592653. En 1593 el flamenco Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus) obtiene una precisión de 16 dígitos decimales usando el método de Arquímedes.

[editar] Época moderna (pre-computacional)

En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de π. Se dice que estaba tan orgulloso de esta hazaña que lo mandó grabar en su lápida. Los libros de matemática alemanes durante muchos años denominaron a π como número ludolfiano. En 1665 Isaac Newton desarrolla la serie^[11]

$arcsin {x} = x + frac {1}{2} cdot frac {x^3}{3} + frac{1 cdot 3}{2cdot 4} cdot frac {x^5}{5} + frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6} cdot frac{x^7}{7} + ldots$

Con $x = frac {1} {2}$ obtuvo una serie para $arcsin(frac {1} {2}) = frac {pi} {6}$ .

El matemático inglés John Wallis desarrolló en 1655 la conocida serie Producto de Wallis:

$frac{2}{1} cdot frac{2}{3} cdot frac{4}{3} cdot frac{4}{5} cdot frac{6}{5} cdot frac{6}{7} cdot frac{8}{7} cdot frac{8}{9} cdot dots = frac{pi}{2}$ .

En 1699, a sugerencia de Edmond Halley, el matemático inglés Abraham Sharp (1651-1742) calculó pi con una precisión de 71 dígitos decimales usando la serie de Gregory:

$arctan (x) = x - frac {x^3} {3} + frac {x^5} {5} - ldots$

Con $x = frac {1} {sqrt{3}}$ se obtiene una serie para $arctan (frac {1} {sqrt{3}}) = frac {pi} {6}$ . Para alcanzar la precisión obtenida, debió usar alrededor de trescientos términos en la serie. En 1720 el francés Thomas de Lagny utilizó el mismo método para obtener una aproximación de 127 dígitos (solo los primeros 112 eran correctos).

Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 la siguiente serie matemática que lleva su nombre:

$sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - dots = frac{pi}{4}$ .

Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3,14159 andc. = π». Leonhard Euler adoptó el conocido símbolo en 1737, que se convirtió en la notación habitual hasta nuestros días.

El matemático japonés Takebe empezó a calcular el número π en el año 1722, con el mismo método expuesto por Arquímedes, y fue ampliando el número de lados para polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1.024 lados. Este ingente trabajo consiguió que se determinara π con 41 decimales.

En 1789 el matemático de origen esloveno Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en 1706, fue el primero en averiguar los primeros 140 decimales de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord se mantuvo durante 52 años, hasta que en 1841 William Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales 152 eran correctos.

El matemático aficionado de origen inglés William Shanks dedicó cerca de 20 años a calcular π y llegó a obtener 707 decimales en 1873. En el año 1944, D. F. Ferguson encontró un error en la posición decimal 528 de la serie de Shanks, a partir del cual todos los dígitos posteriores eran erróneos. En 1947, Ferguson recalculó π con 808 decimales con la ayuda de una calculadora mecánica.

Algunas aproximaciones históricas de valores de π, anteriores a la época computacional, se muestran en la siguiente tabla:

Año	Matemático o documento	Cultura	Aproximación	Error (en partes por millón)
~1900 a. C.	Papiro de Ahmes	Egipcia	2⁸/3⁴ ~ 3,1605	6016 ppm
~1600 a. C.	Tablilla de Susa	Babilónica	25/8 = 3,125	5282 ppm
~600 a. C.	La Biblia (Reyes I, 7,23)	Judía	3	45070 ppm
~500 a. C.	Bandhayana	India	3,09	16422 ppm
~250 a. C.	Arquímedes de Siracusa	Griega	entre 3 10/71 y 3 1/7 empleó 211875/67441 ~ 3,14163	<402 ppm 13,45 ppm
~150	Claudio Ptolomeo	Greco-egipcia	377/120 = 3,141666...	23,56 ppm
263	Liu Hui	China	3,14159	0,84 ppm
263	Wang Fan	China	157/50 = 3,14	507 ppm
~300	Chang Hong	China	10^1/2 ~ 3,1623	6584 ppm
~500	Zu Chongzhi	China	entre 3,1415926 y 3,1415929 empleó 355/113 ~ 3,1415929	<0,078 ppm 0,085 ppm
~500	Aryabhata	India	3,1416	2,34 ppm
~600	Brahmagupta	India	10^1/2 ~ 3,1623	6584 ppm
~800	Al-Juarismi	Persa	3,1416	2,34 ppm
1220	Fibonacci	Italiana	3,141818	72,73 ppm
1400	Madhava	India	3,14159265359	0,085 ppm
1424	Al-Kashi	Persa	2π = 6,2831853071795865	0,1 ppm

[editar] Época moderna (computacional)

Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con la mayor cantidad de cifras posible. De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords, obteniendo 2.037 cifras decimales en 70 horas. Poco a poco fueron surgiendo ordenadores que batían récords y, de esta forma, pocos años después (1954) un NORAC llegó a 3.092 cifras. Durante casi toda la década de los años 1960 los IBM fueron batiendo récords, hasta que un IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250.000 cifras decimales (en 8 h y 23 min). Durante esta época se probaban las nuevas computadoras con algoritmos para la generación de series de números procedentes de π.

En la década de 2000, los ordenadores son capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. En 2009 se hallaron más de dos billones y medio de decimales de pi mediante el uso de una supercomputadora T2K Tsukuba System, compuesta por 640 computadoras de alto rendimiento, que juntas consiguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops. Lo obtuvieron en 73 horas y 36 minutos.

Año	Descubridor	Ordenador utilizado	Número de cifras decimales
1949	G.W. Reitwiesner y otros^[12]	ENIAC	2.037
1954		NORAC	3.092
1959	Guilloud	IBM 704	16.167
1967		CDC 6600	500.000
1973	Guillord y Bouyer^[12]	CDC 7600	1.001.250
1981	Miyoshi y Kanada^[12]	FACOM M-200	2.000.036
1982	Guilloud		2.000.050
1986	Bailey	CRAY-2	29.360.111
1986	Kanada y Tamura^[12]	HITAC S-810/20	67.108.839
1987	Kanada, Tamura, Kobo y otros	NEC SX-2	134.217.700
1988	Kanada y Tamura	Hitachi S-820	201.326.000
1989	Hermanos Chudnovsky	CRAY-2 y IBM-3090/VF	480.000.000
1989	Hermanos Chudnovsky	IBM 3090	1.011.196.691
1991	Hermanos Chudnovsky		2.260.000.000
1994	Hermanos Chudnovsky		4.044.000.000
1995	Kanada y Takahashi	HITAC S-3800/480	6.442.450.000
1997	Kanada y Takahashi	Hitachi SR2201	51.539.600.000
1999	Kanada y Takahashi	Hitachi SR8000	68.719.470.000
1999	Kanada y Takahashi	Hitachi SR8000	206.158.430.000
2002	Kanada y otros^[12] [3]	Hitachi SR8000/MP	1.241.100.000.000
2004		Hitachi	1.351.100.000.000
2009	Daisuke Takahashi^[13]	T2K Tsukuba System	2.576.980.370.000
2009	Fabrice Bellard^[14]	Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB	2.699.999.990.000

En la época computacional del cálculo de π las cifras se han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords.

[editar] Características matemáticas

Se muestra la relación entre un cuadrado de lado

r

y un círculo de radio

r

. El área del círculo es

π r 2

[editar] Definiciones

Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante.^[15] No obstante, existen diversas definiciones del número $π$ , pero las más común es:

$π$ es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

Por tanto, también $π$ es:

El área de un círculo unitario (de radio unidad del plano euclídeo).
El menor número real $x$ positivo tal que $sen(x) = 0$ .

También es posible definir analíticamente $π$ ; dos definiciones son posibles:

Le ecuación sobre los números complejos $e i x + 1 = 0$ admite una infinidad de soluciones reales positivas, la más pequeña de las cuales es precisamente $π$ .
La ecuación diferencial $S''(x) + S (x) = 0$ con las condiciones de contorno $S (0) = 0, S'(0) = 1$ para la que existe solución única, garantizada por el teorema de Picard-Lindelöf, es un función analítica cuya raíz positiva más pequeña es precisamente $π$ .

[editar] Número irracional y trascendente

Artículo principal: Prueba de que π es irracional

Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.

También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler,^[16] 1953), es decir, no sólo es trascendental sino que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales "rápidamente convergente" (Stoneham 1970^{[cita requerida]}).

[editar] Las primeras cincuenta cifras decimales

A pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada la máxima cantidad posible de decimales. Los cincuenta primeros son:

$π$ ≈ 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

Para ver secuencias mayores de este número consúltese las referencias, así como Las primeras diez mil cifras decimales A00796 y OEIS.

En ciencia e ingeniería, esta constante puede emplearse, la mayoría de las veces, con una precisión de sólo una docena de decimales. Con cincuenta decimales se podría describir con precisión la curvatura del Universo con un error más pequeño que el tamaño de un protón.^[17]

[editar] Fórmulas que contienen el número π

[editar] En geometría

Longitud de la circunferencia de radio r: C = 2 π r

Áreas de secciones cónicas:

Área del círculo de radio r: A = π r²
Área de la elipse con semiejes a y b: A = π ab

Áreas de cuerpos de revolución:

Área del cilindro: 2 π r (r+h)
Área del cono: π r² + π r g
Área de la esfera: 4 π r²

Volúmenes de cuerpos de revolución:

Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³
Volumen de un cilindro recto de radio r y altura h: V = π r² h
Volumen de un cono recto de radio r y altura h: V = π r² h / 3

Ecuaciones expresadas en radianes:

Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes.

[editar] En probabilidad

La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²
Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4
El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante).
Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: Dπ/2L

[editar] En análisis matemático

Fórmula de Leibniz: $sum_{n=0}^{infty }{{{left(-1right)^{n}}over{2,n+1}}}=frac{1}{1} - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + frac{1}{9} - cdots = frac{pi}{4}$
Producto de Wallis: $prod_{n=1}^{infty }{{{4,n^2}over{4,n^2-1}}}=frac{2}{1} cdot frac{2}{3} cdot frac{4}{3} cdot frac{4}{5} cdot frac{6}{5} cdot frac{6}{7} cdot frac{8}{7} cdot frac{8}{9} cdots = frac{pi}{2}$
Euler: $sum_{n=0}^{infty }cfrac{2^n n!^2}{(2n + 1)!}=1 + frac{1}{3} + frac{1 cdot 2}{3 cdot 5} + frac{1 cdot 2 cdot 3}{3 cdot 5 cdot 7} + cdots = frac{pi}{2}$
Identidad de Euler $e^{pi i} + 1 = 0;$
Área bajo la campana de Gauss: $int_{-infty}^{infty} e^{-x^2} dx = sqrt{pi}$
Fórmula de Stirling: $n! approx sqrt{2 pi n} left(frac{n}{e}right)^n$
Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1735: $zeta(2) = frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + cdots = frac{pi^2}{6}$
Euler: $zeta(4)= frac{1}{1^4} + frac{1}{2^4} + frac{1}{3^4} + frac{1}{4^4} + cdots = frac{pi^4}{90}$
Además, π tiene varias representaciones como fracciones continuas: $frac{4}{pi} = 1 + cfrac{1}{3 + cfrac{4}{5 + cfrac{9}{7 + cfrac{16}{9 + cfrac{25}{11 + cfrac{36}{13 + cfrac{ldots}{ddots}}}}}}}$
También como desarrollo en series: $pi = sum_{k=0}^infty frac{2(-1)^k; 3^{frac{1}{2} - k}}{2k+1}$
Formas de representación aproximada a $π$ ^[18] $frac {355}{113} = 3.141592....$ $sqrt[29] {261424513284461} approx pi$
Método de Montecarlo En un círculo de radio r inscrito en un cuadrado de lado 2R (2 veces el radio), el área del círculo es πr² y la del cuadrado (2r)². De esto se deduce que la relación de área entre el cuadrado y el círculo de π/4.^[19]

[editar] Cómputos de π

Categoría principal: Algoritmos de cálculo de Pi

[editar] Pi y los números primos

Utilizando el inverso del producto de Euler para la función zeta de Riemann y para el valor del argumento igual a 2 se obtiene:

$frac{1}{zeta(2)}=lim_{ntoinfty atop p_n in mathbf{P}}left (1-frac{1}{2^2}right )left (1-frac{1}{3^2}right )left (1-frac{1}{5^2}right )left (1-frac{1}{7^2}right )left (1-frac{1}{11^2}right )...left (1-frac{1}{p_{n}^2}right )=frac{6}{pi^2}$

donde p_n es el n-ésimo número primo. Euler fue el primero en hallar este valor de la función zeta (empleando la expresión de sumatoria) y resolviendo así el famoso Problema de Basilea.

[editar] Fórmula de Machin

Una forma exacta de poder calcular π en términos de tangentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula de Machin, descubierta en 1706:

$frac{pi}{4} = 4 arctanfrac{1}{5} - arctanfrac{1}{239}$

Muchos matemáticos emplearon esta fórmula para averiguar dígitos por encima de la centena (por ejemplo, el ya citado Shanks, que con esta fórmula calculó 707 posiciones decimales de π).

[editar] Métodos eficientes

Los primeros millones de dígitos de π y 1/π se pueden consultar en Proyecto Gutenberg (véase enlaces externos). Uno de los records más recientes fue alcanzado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio, fijando el número pi con 1.241.100.000.000 dígitos; se necesitaron unas 602 horas con un superordenador de 64 nodos Hitachi SR8000 con una memoria de un terabyte capaz de llevar a cabo 2 billones de operaciones por segundo, más de seis veces el record previo (206 mil millones de dígitos). Para ello se emplearon las siguientes fórmulas modificadas de Machin:

K. Takano (1982).

$frac{pi}{4} = 12 arctanfrac{1}{49} + 32 arctanfrac{1}{57} - 5 arctanfrac{1}{239} + 12 arctanfrac{1}{110443}$

F. C. W. Störmer (1896).

$frac{pi}{4} = 44 arctanfrac{1}{57} + 7 arctanfrac{1}{239} - 12 arctanfrac{1}{682} + 24 arctanfrac{1}{12943}$

Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan ingente de dígitos que puede decirse que ya no es útil sino para comprobar el funcionamiento de los superordenadores. La limitación no está en la computación sino en la memoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidad tan grande de números.

[editar] Aproximaciones geométricas a π

Es posible obtener una aproximación al valor de π de forma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron obtener sin éxito una solución exacta al problema del valor de π mediante el empleo de regla y compás. El problema griego conocido como cuadratura del círculo o, lo que es lo mismo, obtener un cuadrado de área igual al área de un círculo cualquiera, lleva implícito el cálculo del valor exacto de π.

Una vez demostrado que era imposible la obtención de π mediante el uso de regla y compás, se desarrollaron varios métodos aproximados. Dos de las soluciones aproximadas más elegantes son las debidas a Kochanski (usando regla y compás) y la de Mascheroni (empleando únicamente un compás).

[editar] Método de Kochanski

Método de Kochanski.

Se dibuja una circunferencia de radio R. Se inscribe el triángulo equilátero OEG. Se traza una recta paralela al segmento EG que pase por A, prolongándola hasta que corte al segmento OE, obteniendo D. Desde el punto D y sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de la circunferencia y se obtiene el punto C. El segmento BC es aproximadamente la mitad de la longitud de la circunferencia.

Demostración (suponiendo R = 1)

$BC^2=AB^2+(3-DA)^2 ,!$

$OF= frac{sqrt{3}}{2}$

$frac{DA}{EF} = frac{OA}{OF} rightarrow frac{DA}{1/2}=frac{1}{sqrt{3}/2} rightarrow DA=frac{sqrt{3}}{3}$

Sustituyendo en la primera fórmula:

$BC^2= 2^2+left (3-frac{sqrt{3}}{3}right )^2 rightarrow BC = sqrt{40-6 sqrt{3} over 3}=3,141533...$

[editar] Método de Mascheroni

Método de Mascheroni.

Método desarrollado por Lorenzo Mascheroni: se dibuja una circunferencia de radio R y se inscribe un hexágono regular. El punto D es la intersección de dos arcos de circunferencia: BD con centro en A', y CD con centro en A. Obtenemos el punto E como intersección del arco DE, con centro en B, y la circunferencia. El segmento AE es un cuarto de la longitud de la circunferencia, aproximadamente.

Demostración (suponiendo R = 1)

$AD=AC=sqrt{3}$ $OD=sqrt{3-1}=sqrt{2}$

$BE=BD=sqrt{(OD-MB)^2+MO^2}$ $BE=BD=sqrt{left( sqrt{2}-frac{sqrt{3}}{2} right)^2+frac{1}{4}}=sqrt{3-sqrt{6}}$

Por el teorema de Ptolomeo, en el cuadrilátero ABEB'

$BB' cdot AE=AB cdot EB' + BE cdot AB'$

$2 cdot AE= sqrt{1+sqrt{6}}+sqrt{9-3 cdot sqrt{6}}=3,142399...$

[editar] Uso en matemáticas y ciencia

π es ubicuo en matemáticas; aparece incluso en lugares que carecen de una conexión directa con los círculos de la geometría euclídea.^[20]

[editar] Geometría y trigonometría

Véase también: Área de un círculo

Para cualquier círculo de radio r y diámetro d = 2r, la longitud de la circunferencia es πd y el área del círculo es πr². Además, π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de muchas otras figuras geométricas relacionadas con la circunferencia, como elipses, esferas, conos, y toroides.^[21] π aparece en integrales definidas que describen la circunferencia, área o volumen de figuras generadas por circunferencias y círculos. En el caso básico, la mitad del área de un círculo unitario es:^[22]

$int_{-1}^1 sqrt{1-x^2},dx = frac{pi}{2}$

y la mitad de la longitud de la circunferencia unitaria es:^[23]

$int_{-1}^1frac{1}{sqrt{1-x^2}},dx = pi$

Se puede integrar formas más complejas como sólidos de revolución.^[24]

De la definición de las funciones trigonométricas desde el círculo unitario se llega a que el seno y el coseno tienen período 2π. Lo que significa, para todo x y enteros n, sin(x) = sin(x + 2πn) y cos(x) = cos(x + 2πn). Porque sin(0) = 0, sin(2πn) = 0 para todos los enteros n. Además, el ángulo 180° es igual a π radianes. En otras palabras 1° = (π/180) radianes.

En matemáticas modernas, π es a menudo definido usando funciones trigonométricas, por ejemplo como el menor entero positivo x para el cual sinx = 0, para evitar dependencias innecesarias de las sutilezas de la geometría euclidiana y la integración. Equivalentemente, π puede ser definido usando funciones trigonométricas inversas, por ejemplo como π = 2 arccos(0) o π = 4 arctan(1). Expandir funciones trigonométricas inversas como series de potencias es la manera más fácil de obtener series infinitas para π.

[editar] Análisis superior y teoría de números

La frecuente aparición de π en análisis complejo puede estar relacionada con el comportamiento de la función exponencial de una variable compleja, descrito por la fórmula de Euler

$e^{ivarphi} = cos varphi + isin varphi !$

donde i es la unidad imaginaria que satisface la ecuación $i 2 = - 1$ y e ≈ 2.71828 es el número de Euler. Esta fórmula implica que las potencias imaginarias de e describen rotaciones un círculo unitario en el plano complejo; estas rotaciones tienen un período de 360º = 2π. En particular, la rotación de 180º φ = π resulta en la notable identidad de Euler

$e^{i pi} = -1.!$

Hay n diferentes raíces n-ésimas de la unidad

$e^{2 pi i k/n} qquad (k = 0, 1, 2, dots, n - 1).$

La integral de Gauss

$int_{-infty}^{infty}e^{-x^2}dx=sqrt{pi}.$

Una consecuencia es que el resultado de la división entre la función gamma de un semientero (la mitad de un número impar) y √π es un número racional.

[editar] Física

Aunque no es una constante física, π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principios fundamentales del Universo, Debido en gran parte a su relación con la naturaleza del círculo y, correspondientemente, con el sistema de coordenadas esféricas. Usando unidades como las unidades de Planck se puede eliminar a veces a π de las fórmulas.

La constante cosmológica:^[25] $Lambda = {{8pi G} over {3c^2}} rho$
Principio de incertidumbre de Heisenberg:^[26] $Delta x, Delta p ge frac{h}{4pi}$
Ecuación del campo de Einstein de la relatividad general:^[27] $R_{ik} - {g_{ik} R over 2} + Lambda g_{ik} = {8 pi G over c^4} T_{ik}$
Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica:^[28] $F = frac{left|q_1q_2right|}{4 pi varepsilon_0 r^2}$
Permeabilidad magnética del vacío:^[29] $mu_0 = 4 pi cdot 10^{-7},mathrm{N/A^2},$
Tercera ley de Kepler: $frac{P^2}{a^3}={(2pi)^2 over G (M+m)}$

[editar] Probabilidad y estadística

En probabilidad y estadística, hay muchas distribuciones cuyas fórmulas contienen a π, incluyendo:

la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, que depende de la integral gaussiana:^[30]

$f(x) = {1 over sigmasqrt{2pi} },e^{-(x-mu )^2/(2sigma^2)}$

la función de densidad de probabilidad para la distribución de Cauchy (estándar):^[31]

$f(x) = frac{1}{pi (1 + x^2)}.$

Nótese que para todas las funciones de densidad de probabilidad se cumple que $int_{-infty}^{infty} f(x),dx = 1$ , entonces las fórmulas anteriores pueden usarse para producir otras fórmulas integrales para π.^[32]

Representación del experimento en el modelo de la "aguja de Buffon", se lanzas dos agujas (a, b) ambas con longitud l. En el dibujo la aguja a está cruzando la línea mientras que la aguja b no.

El problema de la aguja de Buffon es llamado en ocasiones como una aproximación empírica de π. Se trata de lanzar una aguja de longitud l repetidamente sobre una superficie en la que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí, en t unidades, de manera uniforme (con t > l de forma que la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja se lanza n veces y x de esas cae cruzando una línea, entonces se puede aproximar π usando el Método de Montecarlo, lanzándola gran cantidad de veces:^[33] ^[34] ^[35] ^[36]

$pi approx frac{2nl}{xt}.$

Aunque este resultado es matemáticamente impecable, no puede usarse más que para determinar unos cuantos dígitos de π experimentalmente. Para conseguirse sólo tres dígitos correctos (incluyendo el "3" inicial) requiere de millones de lanzamientos,^[33] y el número de lanzamientos crece exponencialmente con el número de dígitos deseados. Además, cualquier error en la medida de las longitudes l y t se transfiere directamente como un error en la aproximación de π. Por ejemplo, una diferencia de un simple átomo en una aguja de 10 centímetros podría acarrear errores en el noveno dígito del resultado. En la práctica, incertidumbres en la determinación de si la aguja en realidad cruza una línea que parece estar solo tocándola lleva el límite de precisión alcanzable a mucho menos de 9 dígitos.

[editar] Curiosidades

[editar] Reglas mnemotécnicas

Es muy frecuente emplear poemas como regla mnemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi.

Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos es con este poema, sólo hay que contar las letras de cada palabra:

Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros

Otra versión, que permite enumerar los 27 primeros dígitos, es la siguiente:
"¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!" Nótese que para el segundo 1 (3,14159...) se utiliza la letra griega π.
Un tercer poema:

Voy a amar a solas, deprimido
no sabrán jamás que sueño hallarte,
perímetro difícil, escondido
que en mis neuronas late...
Oscuro el camino para ver
los secretos que tú ocultas
¿hallarlos podré?...

Otra regla, que permite recordar las primeras 32 cifras:
"Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual."Aquí también se utiliza la letra griega π para el primer 1.

Existen cuentos amplios que son capaces de hacer memorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el titulado "Cadaeic Cadenza", escrito en 1996 por el matemático Michael Keith y que ofrece la posibilidad de memorizar los primeros 3.834 dígitos. De esta forma, tomando "A" como 1, "B" como 2, "C" como 3, etc., el nombre de la historia saca los dígitos de pi, como "Cadaeic" es la primera palabra de 7 dígitos de pi:

C a d a e i c
3.1 4 1 5 9 3

Es de resaltar que en cada idioma existen diferentes reglas mnemotécnicas (se aconseja visitar cada Wikipedia para descubrir el arte empleado en cada idioma).

[editar] Aparición en medios

En el año 1998 aparece una película del director Darren Aronofsky denominada Pi sobre un matemático que cree que el mundo se representa por números.
Alfred Hitchcock en su film Cortina rasgada hace aparecer el símbolo π como una organización de espionaje.
En La Película The Net, Aparece en la parte inferior derecho de una pagina de conciertos y música, de un programa llamado The Mozart Ghost, Aparentemente es solo un adorno, pero cuando se presiona CRTL+ALT+Click en π, se Accede a la interface de datos de el Guardián de la Puerta, un Programa de los Pretorianos, Que pedia un Usuario y un Password.
En la serie de dibujos The Simpsons, en el episodio "Bye Bye Nerdie", el Professor Frink grita, a voz en cuello, que "¡π es igual a tres!", para atraer la atención de un auditorio compuesto por científicos. Cuando todos se dan vuelta para mirarlo, pide disculpas por haberse visto obligado a semejante sacrilegio.
En la serie Futurama aparecen diferentes referencias a π, tales como 'aceite π en 1', y 'compre en πkea'.
La novela Contacto de Carl Sagan —sobre la que luego se filmó la película homónima— toma a π (aunque no en base decimal) como un número que esconde la esencia misma del universo.

[editar] Datos interesantes

"Piso-Pi", mosaico en la entrada del edificio de las matemáticas en TU Berlín.

Detalle del "Mazda Pi", se añadieron 27 cifras decimales de π a este automóvil.

Tarta con el número pi.

Construcción aproximada para la cuadratura del círculo, encontrada por Ramanujan.

El día 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la aproximación de π.
El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se marca también como el día pi en el que los fans de este número lo celebran con diferentes actuaciones. Curiosamente es el cumpleaños de Einstein.
355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como una simulación ¡cuasi-perfecta!
Los usuarios del buscador A9.com que eligen su tienda virtual como amazon.com ofrecen descuentos de (π/2)% en sus compras.
John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona π en una canción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada "Something Tells Me". La canción acaba con una letra como: "What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!".
El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se puede consultar en el Proyecto Gutenberg o en este enlace.
La numeración de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza según los dígitos de π. La versión del año 2002 se etiquetó con 3.141592
Se emplea este número en la serie de señales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por una civilización inteligente extraterrestre.
La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es $6 / π 2$
Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono en las 50.000.000 primeras cifras de π
En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantos dígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como: RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».
En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial recitando durante 13 horas 83.431 dígitos del número pi sin parar, doblando el anterior record en posesión del también japonés Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record recitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire.
El máximo número de dígitos de π necesario para buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.
Existe una canción de Kate Bush llamada "Pi" en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número.
En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es ∗31416.^[37]
El valor principal de la expresión $i i$ es un número real y está dado por^[38] $i^i=left(e^{ipi /2}right)^i=e^{i^2pi /2}=e^{-pi /2}=0.207879...$
En la página web thinkgeek.com pueden comprarse camisetas y accesorios con π. En el enlace se puede ver una camiseta en la que se construye la letra π con sus primeros 4493 digitos.^[39] ^[40]
Existe un vehículo Mazda 3 modificado, al que se le añadieron 27 cifras de π, después del 3.^[41]
Srinivasa Ramanujan publicó una solución aproximada, con regla y compás, a la cuadratura del círculo en 1913 en la que obtuvo un segmento aproximadamente igual a $r sqrt{pi}$ :^[42]

$mbox{segmento} =frac{d}{2}sqrt{frac{355}{113}}approx rsqrt{pi}$

[editar] Días de Aproximación a Pi

Artículo principal: Día Pi

Según determinadas coincidencias numéricas, los Días de Aproximación a Pi son:

[editar] Cuestiones abiertas sobre π

Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decimales de π?
La denominada cuestión de Brouwer: en la expansión decimal de π, ¿existe alguna posición donde exista una sucesión de mil ceros consecutivos?
¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir, ¿tiene cada uno de los diez dígitos del sistema decimal la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal?
No se sabe si π+e, π/e , ln(π) son irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a ocho y con coeficientes enteros del orden 10⁹.^[43] ^[44]

[editar] Referencias

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