CIENCIA5: LÍMITE MATEMÁTICO. En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

25 de octubre de 2010 - 15:51 - Ciencia5

Límite matemático

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Contenido

[ocultar]

[editar] Límite de una función

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Artículo principal: Límite de una función

[editar] Definición rigurosa

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

$lim_{xto c} , , f(x) = L$

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:

$begin{array}{l} underset {xto c}{lim} , , f(x) = L iff forall varepsilon > 0 exists delta > 0 / 0<|x-c|<delta longrightarrow |f(x)-L|<epsilon end{array}$

Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:

"El límite cuando x tiende a c existe si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c (x no es igual a c) es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

[editar] Límites notables

Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.

${lim_{x to infty} left (1+ frac {1}{x} right )^x } =, e$ (número e)
${lim_{x to 0} left (frac {operatorname{sen,} x}{x} right )} =, 1$
${lim_{x to 0} left (frac {tan x}{x} right )} =, 1$

[editar] Demostración

Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:

$1 < frac{x}{operatorname{sen,}x} < frac{1}{cos x}$

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

$cos x < frac{operatorname{sen,} x}{x} < 1$

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

$lim_{xto 0} cos x < lim_{xto 0} frac{operatorname{sen,} x}{x} < lim_{xto 0} 1$

Lo que es igual a:

$1 < lim_{xto 0} frac{operatorname{sen,} x}{x} < 1$

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

$lim_{xto 0}frac{operatorname{sen,}(x)}{x}=1$

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

${lim_{x to 0} left (frac {tan x}{x} right )} = {lim_{x to 0} left (frac {operatorname{sen,} x}{x} right )} cdot lim_{x to 0} frac{1}{cos x}= 1 cdot 1 = 1$

El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límite cuando x tiende a infinito.

[editar] Límite de una sucesión

$a_{n} = begin{cases} 16 & mbox{si } n = 0 cfrac{a_{n-1}}{2} & mbox{si } n > 0 end{cases}$

Artículo principal: Límite de una sucesión

La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando $x$ tiende a $infty$ . Decimos que la sucesión $a n$ tiende hasta su límite $a$ , o que converge o es convergente (a $a$ ), lo que denotamos como:

$lim_{ntoinfty}a_n = a$

si podemos encontrar un número $N$ tal que todos los términos de la sucesión a $a$ cuando $n$ crece sin cota. Formalmente:

$a_n to a Leftrightarrow$ $forallepsilon>0, exists N>0 : forall nge N, |a_n - a|<epsilon$

[editar] Propiedades de los límites

[editar] Generales

Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.

$lim_{x to a} x = , a ,$

Límite por un escalar.

$lim_{x to a} kf(x) =, klim_{x to a} f(x),$ donde k es un multiplicador escalar.

Límite de una suma.

$lim_{x to a} (f(x) + g(x)) =, lim_{x to a} f(x) + lim_{x to a} g(x),$

Límite de una resta.

$lim_{x to a} (f(x) - g(x)) =, lim_{x to a} f(x) - lim_{x to a} g(x),$

Límite de una multiplicación.

$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) =, lim_{x to a} f(x) cdot lim_{x to a} g(x),$

Límite de una división.

$underset {x to a} {lim} ; frac {f(x)}{g(x)} = frac {underset {x to a} {lim} ; f(x)} {underset {x to a} {lim} ; g(x)} quad mathrm{si} lim_{x to a} g(x) ne 0$

[editar] Indeterminaciones

Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

$infty - infty , quad frac{infty}{infty} , quad infty cdot 0 , quad frac{0}{0} , quad infty ^0 , quad 1^infty , quad 0^0$

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de L'Hopital.

Un ejemplo de indeterminación del tipo $textstyle frac{0}{0}$ es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :