FILOSOFÍA11: ANALICEMOS LOS MALOS SENTIMIENTOS, ¿SON INTELIGENTES?, LE PARECE INTELIGENTE DEJARSE LLEVAR POR MALOS SENTIMIENTOS, ESTOS MISMOS, ¿SON INTELIGENTES? ¿CÓMO ES LA MAGIA CON MALOS SENTIMIENTOS? BUSCAMOS EDUCACIÓN, LEYES, NORMAS, TODO LO CONTRARIO A LA BRUTALIDAD. ¿SE CORRESPONDEN LOS MÁS BRUTOS CON LOS MÁS INTELIGENTES? ¿ES INTELIGENTE LA ENVIDIA, LA MALDAD, EL RENCOR, LA IRA, LA FURIA? ¿QUÉ OPINA?. BUSCAMOS SER ORDENADITOS Y METÓDICOS, AL MENOS LA MAYORÍA DE NOSOTROS. Monstruo, es un concepto muy amplio ligado a la ficción y se aplica a cualquier ser vivo que no corresponda de forma regular al orden natural de la naturaleza. Puede ser un gemelo siámes, una persona o animal con deformaciones visibles; o también se aplica a personas cuyas acciones son opuestas a la sociedad humana, como por ejemplo genocidas, violadores, verdugos, etc.

petalofucsia - 09 de noviembre de 2010 - 21:54 - Filosofía11

Monstruo

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El Minotauro, según George F. Watts.

Monstruo (del latín monstrum)

Monstruo, es un concepto muy amplio ligado a la ficción y se aplica a cualquier ser vivo que no corresponda de forma regular al orden natural de la naturaleza. Puede ser un gemelo siámes, una persona o animal con deformaciones visibles; o también se aplica a personas cuyas acciones son opuestas a la sociedad humana, como por ejemplo genocidas, violadores, verdugos, etc.

Contenido

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[editar] Monstruo como criatura

Es un término que se usa para cualquier caso de criatura fantástica, ficticia o real y legendaria que causa espanto, y que con frecuencia se suele encontrar en mitología, leyendas y cuentos de terror. Ejemplo: un Tiranosaurio, un Ictiosaurio, un Megalodón.

Por lo general un monstruo es una criatura que exagera de la realidad causando pánico a la persona que lo observa o piensa o sueña con el mismo.

Ejemplos de monstruos en la cultura popular: el Minotauro, Medusa, Ness, el Yeti, el Chupacabras y el Monstruo de Espagueti Volador.

[editar] Monstruos humanos

En ámbitos negativos, se aplica a personas cuyos hechos de maldad conocidos son de tal gravedad e impacto en la sociedad, que son clasificados como monstruos subjetivamente. Puede ser cualquier persona, un pastor,^[1] un padre de familia,^[2] un jefe de seguridad policial,^[3] un médico^[4] etc.

En ámbitos positivos se aplica a aquella persona famosa en su especialidad que es maestra en algún arte, ciencia o talento, como por ejemplo: un jugador de futbol, un científico,^[5] o un artista.^[6]

[editar] Referencias

[editar] Véase también

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Monstruo. Commons
Kaiju
Teratología
Teratogénesis
Películas de monstruos

[editar] Enlaces externos

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Categoría: Criaturas monstruosas

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MÚSICA6: NO LO ENTIENDO, DE EL ARREBATO, GRUPO ANDALUZ DE MÚSICA. Javier Labandón, más conocido por su nombre artístico El Arrebato, es un cantautor español de rumba-pop y flamenco.

petalofucsia - 09 de noviembre de 2010 - 11:36 - Música6

El Arrebato

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El Arrebato
Fotografía del músico español Javier Labandón, más conocido por El Arrebato.
Información personal
Nombre real	Javier Labandón
Nacimiento	1 de Septiembre de 1969
Origen	Sevilla, Andalucía, España
Ocupación	Cantante
Información artística
Alias	El Arrebato
Género(s)	Rumba, pop, flamenco
Instrumento(s)	Voz
Período de actividad	1998 – presente
Discográfica(s)	EMI
Artistas relacionados	Camela, Piel morena
Web
Sitio web	www.elarrebato.es

Javier Labandón, más conocido por su nombre artístico El Arrebato, es un cantautor español de rumba-pop y flamenco.

Comenzó su carrera artística sobre 1985 y su carrera discográfica en 1988 sacando su primer disco con el grupo Piel morena en el que le acompañaban 2 grandes amigos de su Sevilla natal. Con ellos cosechó sus primeros éxitos hasta el 8 de septiembre de 1998, cuando Piel Morena se disolvió definitivamente tras varios cambios en la formación.

Gracias a que Piel Morena y Camela estaban en la misma discográfica (Ar Producciones), El Arrebato conoció a Dioni Martín, uno de los integrantes de Camela con el cual forjó una gran amistad.

Cuando Piel Morena se disolvió, El Arrebato mandó una maqueta a Dioni, éste se la envió a su discográfica, EMI, la cual apostó por él y decidió grabar lo que sería el primer disco de El Arrebato: Poquito a poco, con el que logró un éxito muy superior al que había tenido con Piel Morena y mucho mayor del que él mismo esperaba.

Actualmente se encuentra promocionando su último trabajo: Lo que el viento me dejó que salió a la venta el 7 de septiembre de 2010.

Lo que el viento me dejó es el sexto álbum de estudio de El Arrebato y mantiene en la cumbre una impecable carrera que comenzó con Poquito a poco (2001) para continuar con Una noche con arte (2003), Que salga el sol por donde quiera (2004), Un cuartito pa mis cosas (2006) y Mundología (2008), a los que hay que añadir un Grandes éxitos publicado en 2006.

Son álbumes que han conseguido multiplatinos, elegidos por votación popular en TVE Mejor Disco del Año (Que salga el sol por donde quiera) y que han situado a El Arrebato como uno de los grandes de la música española por su capacidad de conectar con el latido de la calle. El Himno Oficial del Centenario del Sevilla se ha convertido en un emblema, en un ejemplo más de su alcance popular y de su inspiración para unir generaciones.

En estos ocho años, El Arrebato ha lanzado canciones como Duele, Ojú lo que la quiero, Hoy me dio por ser honesto, Poquito a poco, Ve despacito, Háblame del sur, A mí na’ ma’, Búscate un hombre que te quiera, Por un beso de tu boca, Un amor tan grande, Una noche con arte, No puedo más, Dame cariño, Hoy todo va a salirme bien, Mirando pa ti... Son temas que se han incrustado en la memoria popular a los que ahora se une No lo entiendo, el primer single de su nuevo álbum Lo que el viento me dejó que se publica el 7 de septiembre.

Célebre es su declaración:

“Ser sevillista es algo tan importante para mí como otras tradiciones sevillanas.”

[editar] Discografía

Artículo principal: Discografía de El Arrebato

2001: Poquito a poco
2003: Una noche con arte
2004: Que salga el sol por donde quiera
2005: Grandes Éxitos
2006: Un cuartito pa' mis cosas
2008: Mundología
2010: Lo que el viento me dejó

[editar] Enlaces externos

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Categoría: Cantantes de Andalucía

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MATEMÁTICAS: EL NÚMERO AUREO. El número áureo o de oro (también llamado número plateado, razón extrema y media,[1] razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional.

petalofucsia - 08 de noviembre de 2010 - 14:47 - Matemáticas

Número áureo

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Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

El número áureo o de oro (también llamado número plateado, razón extrema y media,^[1] razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:^[2]

$varphi = frac{1 + sqrt{5}}{2} approx 1.618033988749894848204586834365638117720309 ...$

También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),^[3] por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi (Φ,φ) es más común.

Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

[editar] Definición

Números γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binario	1,1001111000110111011...
Decimal	1,6180339887498948482...
Hexadecimal	1,9E3779B97F4A7C15F39...
Fracción continua	$1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{ddots}}}}$
Algebraico	$frac{1 + sqrt{5}}{2}$

Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

$frac{a + b}{a} = frac{a}{b} = varphi$

Para obtener el valor de $varphi$ a partir de esta razón considere lo siguiente:

Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:

$frac{1 + x}{x} = frac{x}{1}$

Multiplicando ambos lados por x y reordenando:

$x^2 - x -1 = 0$

Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación son

$x_1 = frac{1 + sqrt{5}}{2} = varphi approx 1,61803$

$x_2 = frac{1 - sqrt{5}}{2} = -frac{1}{varphi} approx -0,61803$

La solución positiva es el valor del número áureo.

[editar] Historia del número áureo

Existen varios textos que sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fue usado conscientemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas. También es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además para que se pueda considerar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio y Álvaro Valarezo concluyen que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.^[4]

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera:

"Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."

Euclides en Los Elementos.

Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir es irracional.

Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido que el historiador griego Proclo escribió:

"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen."

Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.

Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave a la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.

A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito. Para Platón cada uno de los sólidos correspondía a una de las partículas que conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el dodecaedro.

En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Proporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo:

La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo, y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.
La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.

En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos

“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”

Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cósmico).

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales). Ohm escribe en una nota al pie:

"Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada."

Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales).

A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.

En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ del griego τομή que significa corte o sección. Sin embargo, la moderna denominación Φ ó φ, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Live, de Sir Theodore Cook.

[editar] El número áureo en las Matemáticas

[editar] Fórmula de la relación Áurea

Para conseguir un número cuya relación con otro sea φ se puede utilizar esta fórmula:

$a^{2} = b^{2}+ab$

Siendo siempre a>b, a>0 y b>0

Si por ejemplo, queremos un valor áureo para 2 siendo éste el segmento menor, o sea b, resulta que:

$a^2 = 4 + 2a$

Ordenando:

$a^2 - 2a -4 = 0$

Con la fórmula Cuadrática:

$a = 1 + sqrt{5}$

[editar] Propiedades y representaciones

[editar] Ángulo de oro

${frac{360^circ}{varphi+{1}}} approx 137{,}5^circ$

[editar] Propiedades algebraicas

Φ es el único número real positivo tal que:

$varphi^2 = varphi + 1$

La expresión anterior es fácil de comprobar:

$varphi^2 = frac{1 + 2sqrt{5} + 5}{2^2} = frac{6 + 2sqrt{5}}{2^2} = frac{3 + sqrt{5}}{2}$ $varphi + 1 = frac{1 + sqrt{5}}{2} + frac{2}{2} = frac{3 + sqrt{5}}{2}$

Φ posee además las siguientes propiedades:

$varphi - 1 = frac{1}{varphi}$ $varphi^3 = frac {varphi + 1} {{varphi - 1}}$

Las potencias del número áureo pueden ser escritas en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, estableciendo una verdadera sucesión recurrente de potencias.

El caso más simple es: $Φ n = Φ n - 1 + Φ n - 2$ , cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.

Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma $a 1 u n + k - 1 + a 2 u n + k - 2 + ... + a k u n$ , donde $a i$ es cualquier número real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es $k = 2$ , $a 1 = 1$ y $a 2 = 1$ .

Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:

$Φ n = Φ n - 2 + 2Φ n - 3 + Φ n - 4$ . Aquí $k = 4$ , $a 1 = 0$ , $a 2 = 1$ , $a 3 = 2$ y $a 4 = 1$ .

Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:

$Φ n = Φ n - 3 + 3Φ n - 4 + 3Φ n - 5 + Φ n - 6$

En general:

$Phi^n = sum_{i=0}^{textstyle frac {1}{2} k}{textstyle frac{1}{2}kchoose i}Phi^{left [textstyle n-left(textstyle frac{1}{2}k+iright)right]}textstyle;k=2jin mathbb{N},textstyle, nin mathbb{N},textstyle, iin mathbb{N}$ .

En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8, ..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de $Φ$ , hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de $Φ$ corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.

Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay un parentesco.

El número áureo $frac{sqrt{5} + 1}{2}$ es la unidad fundamental «ε» del cuerpo $mathbb{R}left(sqrt{5}right)$ y la sección áurea $frac{sqrt{5} - 1}{2}$ es su inversa, « $varepsilon^{-1}$ ». En esta extensión el «emblemático» número irracional $sqrt{2}$ cumple las siguientes igualdades:

$sqrt{2}=frac{sqrt{5}+1}{2}sqrt{3-sqrt{5}}=frac{sqrt{5}-1}{2}sqrt{3+sqrt{5}}$ .

[editar] Representación mediante fracciones continuas

La expresión mediante fracciones continuas es:

$varphi = 1 + frac{1}{varphi} quad longrightarrow quad varphi = 1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + ...}}}}$

Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado de aproximabilidad mediante racionales posible.^[5]

Por ello se dice que $φ$ es el número más alejado de lo reacional o el número más irracional. Este es el motivo por el cual aparece en el teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser.

[editar] Representación mediante ecuaciones algebraicas

$(varphi)(varphi - 1) = 1 quad longrightarrow quad (varphi)^2 - varphi - 1 = 0 quad longrightarrow quad varphi = frac{1 + sqrt{5}}{2}$

El número áureo $frac{sqrt{5} + 1}{2}$ y la sección áurea $frac{sqrt{5} - 1}{2}$ son soluciones de las siguientes ecuaciones:

$x^2 - sqrt{5}, x + 1 = 0$

$x^3 - y^3 - 4 = 0$

$x^4 - 3 x^2 + 1 = 0 = (x^2 - x - 1) (x^2 + x - 1)$

[editar] Representación trigonométrica

$varphi = 1+2sin(pi/10) = 1 + 2sin 18^circ$ $varphi = {1 over 2}csc(pi/10) = {1 over 2}csc 18^circ$ $varphi = 2cos(pi/5)=2cos 36^circ$ $varphi = frac{1}{2} sec frac{2}{5} , pi = frac{1}{2} sec 72^circ$ $varphi = frac{sin(2pi/5)}{sin(1pi/5)} , = frac{sin(72^circ)}{sin(36^circ)}$

Éstas corresponden al hecho de que el diámetro de un pentágono regular (distancia entre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el pentagrama.

En 1994 se derivaron las siguientes ecuaciones relacionando al número áureo con el número de la Bestia:

$frac{varphi}{2}=-sin666^circ=-cos(6cdot 6 cdot 6^circ).$

Lo que puede combinarse en la expresión:

$varphi=-sin666^circ-cos(6cdot 6 cdot 6^circ).$

Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan los grados sexagesimales como unidad angular, ya que las ecuaciones no se mantienen para unidades diferentes.

[editar] Representación mediante raíces anidadas

$varphi = sqrt{1 + varphi} quad longrightarrow quad varphi = sqrt{1 + sqrt{1 + sqrt{1 + sqrt{1 +cdots }}}}$

Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917.

El teorema general dice:

La expresión $lim_{n to infty} sqrt{a_1 + sqrt{a_2 + sqrt{a_3 + sqrt{a_4 +sqrt{cdots + sqrt{a_n}}}}}}$ (donde $a i = a$ ), es igual a la mayor de las raíces de la ecuación x² - x - a = 0; o sea, $frac {1 + sqrt{1 + 4a}}{2}$

[editar] Relación con la serie de Fibonacci

Si se denota el enésimo número de Fibonacci como F_n, y al siguiente número de Fibonacci, como F_{n + 1}, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: $textstyle frac{3}{2}= 1,5$ ; $textstyle frac{8}{5} = 1,6$ ; y $textstyle frac{21}{13}= 1,61538461...$ , lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:

$varphi = 1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + ...}}}} = lim_{n to infty}frac{F_{n +1}}{F_n} = phi$

Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, sin embargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson.

Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Por ejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios, como pudieran ser 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3 - 7 - 10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301 ... Los cocientes de términos sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercan asintóticamente por exceso y por defecto al mismo límite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 = 1,613636...; 301/186 = 1,6182795... ^[6]

A mediados del siglo XIX el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:

$F_n = frac{1}{sqrt{5}} left [ left (frac{1 +sqrt{5}}{2} right )^n - left (frac{1 - sqrt{5}}{2}right )^n right ]quad=frac{1}{sqrt{5}} left [ left ( phi right )^n - left (frac{-1}{phi} right )^n right ] quad$

[editar] El número áureo en la geometría

El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, pentágonos o aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

Relaciones entre las partes del pentágono.
Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.
Relaciones entre las partes del decágono.
Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.

[editar] El rectángulo áureo de Euclides

Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.

El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides en su proposición 2.11 de Los elementos obtiene su construcción.>

$GC = sqrt{5}$

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto

$GE=GC=sqrt{5}$

resultando evidente que

$AE = AG + GE = 1 + sqrt{5}$

de donde, finalmente

$frac{AE}{AD} = frac{1 + sqrt{5}}{2}= varphi$

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este último es asimismo un rectángulo áureo.

[editar] En el pentagrama

Pentagrama que ilustra algunas de las razones áureas: los segmentos rojo y azul, azul y verde, verde y morado.

El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, interseca a otro segmento en una razón áurea.

El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen como los triángulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.

[editar] El teorema de Ptolomeo y el pentágono

Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentágono regular.

Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema un cuadrilátero es formado al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que b² = a² + ab lo que implica:

${b over a}={{(1+sqrt{5})}over 2},.$

[editar] Relación con los sólidos platónicos

El número áureo está relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo. Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2, pueden darse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos: (0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)

Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1, también se pueden dar en términos similares: (±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)

Las 12 esquinas de los rectángulos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro.

Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se pueden expresar también en términos del número áureo:

$A = 3sqrt{15 +20varphi} cdot a^2$ $V = frac {4 + 7varphi}{2} cdot a^3$

Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinas de los rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro:

El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.

[editar] El número áureo en la Naturaleza

Existen desacuerdos sobre la neutralidad en el punto de vista de la versión actual de este artículo o sección.
En la página de discusión puedes consultar el debate al respecto.

Concha de nautilus en espiral logarítmica.

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o los números de Fibonacci:

Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la aparición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático . El cociente de dos términos sucesivos de la Sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.^[7]

La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci.
La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
La distancia entre las espirales de una Piña.

La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.^[8] ^[9] Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente.^[10]
Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999..." En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º 30' 28" en el mejor de los casos. Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empíricamente por Church y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. En la práctica no puede medirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea, con una pequeña desviación respecto al valor teórico.
En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión tiende al número áureo.
Existen cristales de Pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentágonos irregulares. Sin embargo, las proporciones de dicho poliedro irregular no involucran el número áureo.
El número áureo en el cine:

El número Fi aparece en la película de Disney "Donald en el país de las Matemágicas"

[editar] El número áureo en el ser humano

Existen desacuerdos sobre la neutralidad en el punto de vista de la versión actual de este artículo o sección.
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La Anatomía de los humanos se basa en una relación Φ estadística y aproximada, así vemos que:
- La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
- La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
- La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
- La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ.
- La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz
- Es Φ la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar
- Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene Φ, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).

[editar] El número áureo en el Arte

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Hombre de Vitruvio Leonardo da Vinci

Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo $left( 1,;sqrt{frac{sqrt{5} + 1}{2}},;frac{sqrt{5} + 1}{2}right)$ , donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice (inexistente en la actualidad) y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), se apoya en la interpretación de un pasaje de Heródoto (Historiae, libro II, cap. 124) y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de interés geométrico.^[11] No obstante, con base en mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades.

La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Teeteto de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados "estáticos" y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o reducibles a ellas, "dinámicos". El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5.^[12] Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del Partenón en un rectángulo de módulo $frac {4Phi - 2}{Phi + 1}$ . Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales. Este rectángulo es descompuesto en seis de módulo $sqrt {5}$ y cuatro cuadrados.^[13] Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores, en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.^[14]

En el cuadro Leda atómica de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka.

En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros.
Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.
En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).
En la pág. 56 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones de este número fi (1,618) en la naturaleza.
En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del nautilus.

Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión.
En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos el personaje central, Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola incorrectamente como Theta (θ) en vez de Phi (Φ).

[editar] El número áureo en el misticismo

En la cruz latina, símbolo del catolicismo, la relación entre el palo vertical y el horizontal es el número áureo. Así mismo, el palo horizontal divide al vertical en secciones áureas. ^{[cita requerida]}

[editar] Véase también

[editar] Referencias

↑ Fernando Corbalán (2010). La proporción áurea. RBA Coleccionables S. A.. ISBN 978-84-473-6623-1.
↑ Este número es irracional, aunque es algebraico y también constructible mediante regla y compás, y existen numerosas aproximaciones racionales con mayor o menor error. En el año 2008 se obtuvieron cien mil millones de cifras decimales correctas. (Ver: http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html) Al igual que ocurre con la raíz cuadrada de dos, es posible construir un segmento idealmente exacto con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un compás de abertura variable. ¿Qué significa esto? Que ningún dibujo puede ser tan fino como para representar el concreto y real valor puntual del número áureo. Cualquier objeto construido por el hombre o formado naturalmente, aunque se tuviera la intención manifiesta de lograr una representación de ese número, llevaría consigo un error inevitable. Un segmento de recta tan pequeño como el diámetro aparente de la partícula atómica más pequeña tiene tantos puntos geométricos como toda la recta. Con todo, la construcción geométrica es idealmente exacta y por este motivo se estimó durante un tiempo considerable a la geometría como superior a la aritmética. La diferencia está en que el valor aritmético está dado como un infinito potencial y el valor geométrico como un infinito actual, generando un segmento de recta constructible.
↑ Proporción Áurea en WolframMathWorld
↑ Mario Livio (2002). The Golden Ratio. Broadway Books. ISBN 0-7679-0816-3.
↑ Bad approximable numbers in WolframMathWorld
↑ Trabajo presentado por Mark Barr y Shooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.
↑ N. N. Vorobiov; traducción de Carlos vega (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, rústica, 112 páginas.
↑ Matila Ghyka (1953). Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo V: "Del Crecimiento Armonioso", páginas 118 a 144.
↑ D'Arcy Wentworth Thompson (1917). "On Growth and Form". Cambridge University Press. D'Arcy Wentworth Thompson (1992). "On Growth and Form". Dover edition, 1116 páginas. D'Arcy Thompson (1980). "Sobre el Crecimiento y la Forma. Editorial Hermann Blume, Madrid. Existen ediciones de unas 300 páginas, una reciente de Cambridge.
↑ Es una paráfrasis de un pensamiento de Ruskin mencionado en la página 139 del libro citado de Matila Ghyka
↑ "Lógicamente, la tesis de la sección áurea parecería más probable, porque de ella emana una construcción rigurosa, elegante y sencilla del triángulo meridiano, mientras que en la otra hipótesis, aún suponiendo conocido con una aproximación muy grande el valor de π, la construcción sería puramente empírica y desprovista de verdadero interés geométrico" [Es notable, además, que aunque los antiguos no sabían de la trascendencia de π, estaban completamente conscientes de la carencia de exactitud de algunos intentos de cuadratura del círculo] Matila Ghyka (1953). Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo VIII: "La Pirámide de Keops", página 222.
↑ Jay Hambidge (1920; 1930; 1931). "Dynamic Symmetry The Greek Vase". Yale University Press, New Haven. Jay Hambidge (22/08/2007). Dynamic Symmetry The greek vase. Rough Draf Printing. ISBN 978-1-60386-037-6.
↑ Jay Hambidge (1924). "The Parthenon and Other Greek temples, their Dynamic Symmetry". Yale University Press, New haven. Hay todavía disponibles ejemplares de esa edición, tanto nuevos como usados y a la venta a aproximadamente $ (USA) 250.
↑ Banister; Fletcher. "A History of Architecture". B. T. Basford, Londres.

[editar] Bibliografía

En orden cronológico:

Jarolimek (Viena, 1890). Der Mathematischen Schlüssel zu der Pyramide des Cheops.

Kleppisch, K. (1921). Die Cheops-Pyramide: Ein Denkmal Mathematischer Erkenntnis. Múnich: Oldenburg.

Cook, Theodore Andrea (1979; obra original: 1914). The Curves of Live. Nueva York: Dover. ISBN 0-486-23701-X; ISBN 978-0-486-23701-5.

Pacioli, Luca (1991). La Divina Proporción. Tres Cantos: Ediciones Akal, S. A.. ISBN 978-84-7600-787-7.

Ghyka, Matila (1992). El Número de Oro. Barcelona: Poseidón, S.L.. ISBN 978-84-85083-11-4.

Ghyka, Matila (2006). El Número de Oro. I Los ritmos. II Los Ritos. Madrid: Ediciones Apóstrofe, S. L.. ISBN 978-84-455-0275-4.

Corbalán, Fernando (2010). La proporción áurea. RBA Coleccionables S. A.. ISBN 978-84-473-6623-1.

[editar] Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número áureo. Commons
Astronomy.swin.edu.au (Fi, la sección áurea).
ChampionTrees.org (Fi: la proporción divina).
GoldenRatio.com.ar (propiedades interesantes del número áureo y aplicación en la biología).
MCS.Surrey.ac.uk (La sección áurea: fi).
MathWorld.Wolfram.com/GoldenRatio.html (la sección áurea).
Rt000z8y.EresMas.net (una buena página que explica Φ detalladamente]
Rt000z8y.EresMas.net (más ejemplos de Φ en la vida).
Castor.es (El número Fi en la arquitectura, pintura, animales, plantas etc.)
Gráficas de sucesiones áureas en MATLAB
Gráficas de sucesiones áureas en MATLAB II
El número de Oro - La Razón Aurea
http://www.palermo.edu/ingenieria/downloads/Investigacion/ElNumeroyloSagrado1P.pdf

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo"

Categorías: Constantes matemáticas | Teoría de números | Espirales | Números irracionales

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MATEMÁTICAS: SUCESIÓN DE FIBONACCI. La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.

petalofucsia - 08 de noviembre de 2010 - 14:35 - Matemáticas

Sucesión de Fibonacci

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Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta

f 10

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 ldots ,$

La sucesión inicia con $0$ y $1$ , y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.

A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

Contenido

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[editar] Historia

La sucesión de Fibonacci en términos de conejos.

Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Pingala (200 a.c.), Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era $f n + 1$ , que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.^[1]

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".^[2]

Dicho de otra forma, sirve para conocer el número de conejos (parejas de conejos) que habrá en 12 meses, si estos se reproducen continuamente y cada pareja de conejos produce una nueva pareja de conejos (un macho y una hembra). Cada conejo se puede cruzar a la edad de un mes, siendo su periodo de gestación un mes. Siendo así, se tiene que:

Número de Mes	Explicación de la genealogía	Parejas de conejos totales
Fin del mes 0	0 conejos vivos.	0 parejas en total.
Comienzo del mes 1	Nace una pareja de conejos (pareja A).	1 pareja en total.
Fin del mes 1	La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A.	1+0=1 pareja en total.
Fin del mes 2	La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A.	1+1=2 parejas en total.
Fin del mes 3	La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.	2+1=3 parejas en total.
Fin del mes 4	Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C.	3+2=5 parejas en total.
Fin del mes 5	A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E.	5+3=8 parejas en total.
Fin del mes 6	A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H.	8+5=13 parejas en total.
...	...	...
Fin del mes 12	...	...

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.^[3]

También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos $f n + 1 / f n$ se acerca a la relación áurea fi ( $varphi$ ) cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

[editar] Definición formal

Chimenea con la secuencia de Fibonacci

Los números de Fibonacci $f_0,f_1,f_2,f_3,dots$ quedan definidos por las ecuaciones

(1) $f_0=0,$

(2) $f_1=1,$

(3) $f_n = f_{n-1} + f_{n-2},$ para $n = 2,3,4,5,ldots$

Esto produce los números

$f_0 = 0,$
$f_1 = 1,$
$f_2 = 1,$
$f_3 = 2,$
$f_4 = 3,$
$f_5 = 5,$
$f_6 = 8,$
$f_7 = 13,$
$f_8 = 21,$

y así sucesivamente de manera infinita.

[editar] Representaciones alternativas

Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.

[editar] Función generadora

Una función generadora para una sucesión cualquiera $a_0,a_1,a_2,dots$ es la función $f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+cdots$ , es decir, una serie de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora

(4) $fleft(xright)=frac{x}{1-x-x^2}$

Cuando esta función se expande en potencias de $x,$ , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

$frac{x}{1-x-x^2}=0x^0+1x^1+1x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+cdots$

[editar] Fórmula explícita

La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

$f_{n+2}-f_{n+1}-f_n=0,$

con las condiciones iniciales

$f_0=0,$ y $f_1=1,$

El polinomio característico de esta relación de recurrencia es $t 2 - t - 1 = 0$ , y sus raíces son

$t=frac{1pmsqrt 5}{2}$

De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma

$f_n=bleft(frac{1+sqrt5}2right)^n+dleft(frac{1-sqrt5}2right)^n$

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes $b$ y $d$ satisfacen la ecuación anterior cuando $n = 0$ y $n = 1$ , es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones

$left.begin{array}{rcl}b+d & = & 0 bleft(frac{1+sqrt5}2right)+dleft(frac{1-sqrt5}2right)&=&1end{array}right}$

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

$b=frac1{sqrt5},d=-frac1{sqrt5}$

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como

(5) $f_n=frac1{sqrt5}left(frac{1+sqrt5}2right)^n-frac1{sqrt5}left(frac{1-sqrt5}2right)^n$

Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo

$varphi=frac{1+sqrt5}2$

de manera que la ecuación (5) se reduce a

(6) $f_n=frac{varphi^n-left(-varphiright)^{-n}}{sqrt5}$

Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional $varphi,$ . De hecho, la relación con este número es estrecha.

[editar] Forma matricial

Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones

$left . begin{array}{rcl} f_{n} &=& f_{n} f_{n-1} + f_{n} &=& f_{n+1} end{array} right }$

Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como

$begin{bmatrix}0&11&1end{bmatrix}begin{bmatrix}f_{n-1}f_{n}end{bmatrix} = begin{bmatrix}f_{n}f_{n+1}end{bmatrix}$

Conociendo a $f 0 = 0$ y $f 1 = 1$ , al aplicar la fórmula anterior $n$ veces se obtiene

(7) $begin{bmatrix}0&11&1end{bmatrix}^nbegin{bmatrix}01end{bmatrix} = begin{bmatrix}f_{n}f_{n+1}end{bmatrix}$

Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar la matriz, facilitando así la operación de potenciación, y obteniendo por tanto la fórmula explícita para la sucesión que se especificó arriba.

y más aún

(8) $begin{bmatrix}0&11&1end{bmatrix}^n=begin{bmatrix}f_{n-1}&f_nf_n&f_{n+1}end{bmatrix}$

Estas igualdades pueden probarse mediante inducción matemática.

[editar] Propiedades de la sucesión

Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo (véase Número áureo).

Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud $n$ que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly^[4] dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:

La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:

$lim_{ntoinfty}frac{f_{n+1}}{f_n}=varphi$

Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada en la revista londinense "The Field" del 14 de diciembre de 1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite.

Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, $17 = 13 + 3 + 1$ , $65 = 55 + 8 + 2$ .
Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo $m$ , para cualquier $m$ .
La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet). Si $textstylealpha = frac{1+sqrt 5}{2}$ y $textstylebeta = frac{1-sqrt 5}{2}$ , entonces

$f_n=frac{alpha^n-beta^n}{alpha-beta}$ y $f_napproxfrac{alpha^n}{sqrt 5},$

Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir

$f_n=frac{f_{n-2}+f_{n+1}}2$

Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces éste número menos el número 2 posiciones más atrás: $f n + 1 = f n * 2 - f n - 2$
La suma de los $n$ primeros números es igual al número que ocupa la posición $n + 2$ menos uno. Es decir

$f_0+f_1+f_2+cdots+f_n=f_{n+2}-1$

Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:

$f_0-f_1+f_2-cdots+(-1)^nf_n=(-1)^nf_{n-1}-1$

$f_1+f_3+f_5+cdots+f_{2n-1}=f_{2n}$

$f_0+f_2+f_4+cdots+f_{2n}=f_{2n+1}-1$

$f_0^2+f_1^2+f_2^2+cdots+f_n^2=f_nf_{n+1}$

$f_1f_2+f_2f_3+f_3f_4+cdots+f_{2n-1}f_{2n}=f_{2n}^2$

$f_1f_2+f_2f_3+f_3f_4+cdots+f_{2n}f_{2n+1}=f_{2n+1}^2-1$

Si $kgeq1$ , entonces $f_{n+k}=f_kf_{n+1}+f_{k-1}f_n,$ para cualquier $ngeq0$

$f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2=(-1)^n$ (Identidad de Cassini)

$f_{n+1}^2+f_n^2=f_{2n+1}$

$f_{n+2}^2-f_{n+1}^2=f_nf_{n+3}$

Phi forma parte de una expresión de la sucesión de Fibonacci.

$f_{n+2}^2-f_n^2=f_{2n+2}$

$f_{n+2}^3+f_{n+1}^3-f_n^3=f_{3n+3}$

$f_{n}=varphi ^{n+1}-(f_{n+1})varphi$ (con φ = número áureo)

El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci. Más específicamente

$mathrm{mcd}left(f_n,f_mright)=f_{mathrm{mcd}left(n,mright)}$ Esto significa que $f_n,$ y $f_{n+1},$ son primos relativos y que $f_k,$ divide exactamente a $f_{nk},$

Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo de Pascal. Es decir que para cualquier $ngeq0$ ,

$f_{n+1}=sum_{j=0}^{leftlfloorfrac n 2rightrfloor}begin{pmatrix}n-jjend{pmatrix}$ y más aún $f_{3n}=sum_{j=0}^nbegin{pmatrix}njend{pmatrix}2^jf_j$

Si $f p = a$ , tal que $a$ es un número primo, entonces $p$ también es un número primo, con una única excepción, $f 4 = 3$ ; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.
La suma infinita de los términos de la sucesión $textstylefrac{f_n}{10^n}$ es exactamente $textstylefrac{10}{89}$ .
La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie.
El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada $15times10^{n-1}$ números.

[editar] Generalización

Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.

El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada elemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido la sucesión puede expandirse al conjunto de los números enteros como $ldots,-8,5,-3,2,-1,1,0,1,1,2,3,5,8,ldots$ de manera que la suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato siguiente. Para poder definir los índices negativos de la sucesión, se despeja $f_{n-2},$ de la ecuación (3) de donde se obtiene

$f_{n-2}=f_n-f_{n-1},$

De esta manera, $f_{-n}=f_n,$ si $n$ es impar y $f_{-n}=-f_n,$ si $n$ es par.

La sucesión se puede expandir al campo de los números reales tomando la parte real de la fórmula explícita (ecuación (6)) cuando $n$ es cualquier número real. La función resultante

$f(x)=frac{varphi^x-cos(pi x)varphi^{-x}}{sqrt 5}$

tiene las mismas características que la sucesión de Fibonacci:

$f(0)=0~$
$f(1)=1~$
$f(x)=f(x-1)+f(x-2)~$ para cualquier número real $x$

Una sucesión de Fibonacci generalizada es una sucesión $g_0,g_1,g_2,ldots$ donde

(9) $g_n=g_{n-1}+g_{n-2},$ para $n=2,3,4,5,ldots$

Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no necesariamente comienza en 0 y 1.

Una característica notable es que, si $g_0,g_1,g_2,ldots$ es una sucesión de Fibonacci generalizada, entonces

$g_n=f_{n-1}g_0+f_ng_1~$

Por ejemplo, la ecuación (7) puede generalizarse a

$begin{bmatrix}0&11&1end{bmatrix}^nbegin{bmatrix}g_0g_1end{bmatrix} = begin{bmatrix}g_{n}g_{n+1}end{bmatrix}$

Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada se puede efectuar usando números de Fibonacci.

[editar] Sucesión de Lucas

Gráfica de la sucesión de Lucas extendida al campo de los números reales.

Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es la sucesión de Lucas, descrita por las ecuaciones

$l_0=2~$
$l_1=1~$
$l_n=l_{n-1}+l_{n-2}~$ para $n=2,3,4,5,ldots$

La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:

La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir

$lim_{ntoinfty}frac{l_{n+1}}{l_n}=varphi$

La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es

$l_n=varphi^n+(-varphi)^{-n}$

La suma de los primeros $n$ números de Lucas es el número que se encuentra en la posición $n + 2$ menos uno. Es decir

$l_0+l_1+l_2+cdots+l_n=l_{n+2}-1$

Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad

$l_n=f_{n-1}+f_{n+1}~$

Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad

$f_n=frac{l_{n-1}+l_{n+1}}{5}$

[editar] Algoritmos de cálculo

Calculando

f 7

usando el algoritmo 1.

Para calcular el $n$ -ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen varios algoritmos (métodos). La definición misma puede emplearse como uno, aquí expresado en pseudocódigo:

Algoritmo 1 Versión recursiva (Complejidad $O(varphi^n),$ )
función ${it fib}(n),$ si $n<2,$ entonces devuelve $n,$ si no devuelve ${it fib}(n-1) + {it fib}(n-2),$

Usando técnicas de análisis de algoritmos es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo 1 requiere efectuar $f n + 1 - 1$ sumas para poder encontrar el resultado. Dado que la sucesión $f n$ crece tan rápido como $varphi^n$ , entonces el algoritmo está en el orden de $varphi^n$ . Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcular $f 50$ este algoritmo requiere efectuar 20365011073 sumas.

Para evitar hacer tantas cuentas, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (6), sin embargo, dado que $varphi$ es un número irracional, la única manera de utilizar esta fórmula es utilizando una aproximación de $varphi$ y obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero incorrecto. Por ejemplo, si se usa una calculadora de 10 dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como resultado $f_{50}=1.258626903times10^{10}$ aun cuando el resultado correcto es $f 50 = 12586269025$ . Este error se hace cada vez más grande conforme crece $n$ .

Un método más práctico evitaría calcular las mismas sumas más de una vez. Considerando un par $(i,j),$ de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión es $(j,i+j),$ , de esta manera se divisa un algoritmo donde sólo se requiere considerar dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso. Este método es el que usaríamos normalmente para hacer el cálculo a lápiz y papel. El algoritmo se expresa en pseudocódigo como:

Algoritmo 2 Versión iterativa (Complejidad $O(n),$ )
función ${it fib}(n),$ $igets 1$ $jgets 0$ para $k,$ desde $1,$ hasta $n,$ hacer $tgets i+j$ $igets j$ $jgets t$ devuelve $j,$

Esta versión requiere efectuar sólo $n$ sumas para calcular $f n$ , lo cual significa que este método es considerablemente más rápido que el algoritmo 1. Por ejemplo, el algoritmo 2 sólo se requiere efectuar 50 sumas para calcular $f 50$ .

Calculando

f 100

usando el algoritmo 3.

Un algoritmo todavía más rápido se sigue partiendo de la ecuación (8). Utilizando leyes de exponentes es posible calcular $x n$ como

$x^n=begin{cases} x & mbox{si }n=1 left(x^{frac n 2}right)^2 & mbox{si }nmbox{ es par} xtimes x^{n-1} & mbox{si }nmbox{ es impar} end{cases}$

De esta manera se divisa el algoritmo de tipo Divide y Vencerás donde sólo se requeriría hacer, aproximadamente, $log 2 (n)$ multiplicaciones matriciales. Sin embargo, no es necesario almacenar los cuatro valores de cada matriz dado que cada una tiene la forma

$begin{bmatrix} a & b b & a+b end{bmatrix}$

De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores $a$ y $b$ , y su cuadrado se puede calcular como

$begin{bmatrix} a & b b & a+b end{bmatrix}^2 = begin{bmatrix}a^2+b^2 & b(2a+b) b(2a+b) & (a+b)^2+b^2end{bmatrix}$

Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:

Algoritmo 3 Versión Divide y Vencerás (Complejidad $O(log(n)),$ )
función ${it fib}(n),$ si $nleq0$ entonces devuelve $0,$ $igets n-1$ $(a,b) gets (1,0)$ $(c,d) gets (0,1)$ mientras $i > 0,$ hacer si $i,$ es impar entonces $(a,b) gets (db + ca, d(b + a) + cb)$ $(c,d) gets (c^2 + d^2, d(2c + d))$ $igets idiv 2$ devuelve $a+b,$

A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular $f 100$ , en vez de hacer las 573147844013817084100 sumas del algoritmo 1 o las 100 sumas con el algoritmo 2, el cálculo se reduce a tan sólo 9 multiplicaciones matriciales.

[editar] La sucesión de Fibonacci en la cultura popular

Sucesión de Fibonacci in art, Martina Schettina 2008, 40 x 40 cm

En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo del Louvre, Jacques Saunière.
En el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, los patrones de la batería (Danny Carey) de la canción "Lateralus" siguen la Sucesión de Fibonacci del número 13 (número de pistas del disco): 1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,...
En la miniserie Taken, la Sucesión de Fibonacci, como la Ecuación de Dios, es descubierta en los planes de los extraterrestres, en ejemplos como que sus naves tienen 5 tripulantes, sus manos 3 dedos y un pulgar, 1597 avistamientos ovnis en año anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir la híbrida humano-extraterrestre Allie, y que finalmente el número de abducidos era de 46368. Incidentalmente se habla en de un hombre que fue abducido 13 veces. 1, 3, 5, 13, 55, 1597, 46368, todos números Fibonacci.
En el filme de Darren Aronofsky π el orden del caos el judío Rabbi Cohen presenta la teoría en hebreo transcrito en números en la cual el personaje Max Cohen relaciona esta última teoría con la secuencia de Fibonacci llegando en conclusión que todo esta basado en la ley del orden y el caos.
En un lateral de la cúpula de la antigua sinagoga ahora convertida en el Museo Nazionale del Cinema, más conocida como Mole Antonelliana, en Torino (Italia), se puede observar una instalación luminosa de la sucesión de números de Fibonacci.
El Dr. Walter Bishop de la serie de televisión Fringe usa números de la serie de Fibonacci para las contraseñas de sus cajas de seguridad.
En el videojuego de Assasins Creed 2, en uno de los acertijos de los glifos para resolverlo se debe usar la suceción de Fibonaccci para poder resolverlo

[editar] La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de fibonacci: El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente.

El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza, pues el planeta que sigue en el Sistema Solar (Júpiter) tiene más de 60 satélites conocidos. Sin embargo, sólo 4 de ellos son observables fácilmente (Io, Europa, Ganímedes y Calisto), dado que los otros son marcadamente más pequeños. Así, podemos extender hasta el número 5 la presencia de la serie de Fibonacci en nuestro Sistema Solar.

En el cuerpo humano podemos decir que la cabeza es 1, el cuello, 1, los brazos (2), brazo, antebrazo y mano (3), luego los cinco dedos (5), es decir, la sucesión de Fibonacci hasta el 5.

Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

[editar] Véase también

[editar] Referencias

↑ Knuth, 1997, pág. 80
↑ Laurence Sigler, Fibonacci's Liber Abaci, página 404
↑ Handbook of discrete and combinatorial mathematics, sección 3.1.2
↑ Fibonacci Quarterly

[editar] Bibiliografía

Kolman, Bernard; Hill, David R. (2006). Álgebra Lineal. México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0696-9.
Johnsonbaugh, Richard (2005). Matemáticas Discretas. México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0637-3.
Brassard, G; Bratley, P. (1997). Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRETINCE HALL. ISBN 84-89660-00-X.
Kenneth, H. Rosen (2003). Discrete mathematics and its applications. McGraw Hill. ISBN 0-07-123374-1.
Kenneth H. Rosen; John G. Michaels (1999). Handbook of discrete and combinatorial mathematics. CRC. ISBN 0-8493-0149-1.
N. N. Vorobiov (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega, catedrático de Matemáticas Superiores y candidato a doctor en ciencias físico-matemáticas.
A. I. Markushevich (1974; 1981). Sucesiones recurrentes. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega.
Luca Pacioli (1946). La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires.

[editar] Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre números de Fibonacci. Commons
Fibonacci's Liber Abaci en libros de Google
Sucesión de Fibonacci en Mathworld explicación muy detallada, en inglés.
Diagrama de flujo de la serie o sucesión de Fibonacci
Información en www.formación.cnice.mec.es
Implementación en Pascal
Implementación en Lexico

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Categoría: Sucesiones

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MATEMÁTICAS: SECUENCIA MATEMÁTICA. Una secuencia es una concatenación de símbolos obtenidos a partir de una sucesión. Son semejantes a las sucesiones y se pueden derivar fácilmente de éstas.

petalofucsia - 08 de noviembre de 2010 - 14:25 - Matemáticas

Secuencia (matemáticas)

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Una secuencia es una concatenación de símbolos obtenidos a partir de una sucesión. Son semejantes a las sucesiones y se pueden derivar fácilmente de éstas.

[editar] Definición

Sea un alfabeto $A = {a 0, a 1,... a k}$ . Una secuencia de longitud $l$ es una cadena de símbolos de A dada por

s = {s 0, s 1,... s l}

donde

$begin{matrix} s_n:& mathbb{N} & to & A & n & to & a_i end{matrix}$

[editar] Ejemplos

Como se indicaba antes, la forma más sencilla de derivar secuencias es a partir de sucesiones. Por ejemplo, basándonos en la sucesión de Fibonacci es relativamente sencillo definir una secuencia para el alfabeto $A = {0,1}$ según el siguiente método:

$s(n)= left{ begin{matrix} 1 & mbox{si n esta en la sucesion de Fibonacci} 0 & mbox{en otro caso} end{matrix} right.$

Que obtendría la siguiente secuencia de dígitos binarios:

1110100100001000000010000000000001...

Algunas secuencias, como la derivada de la sucesión de Thue-Morse (también definida para un alfabeto binario) han sido estudiadas y aplicadas en diferentes ámbitos tales como el ajedrez, la generación de música fractal por autosimilaridad o la codificación de señales (por ejemplo los códigos Gray).

[editar] Véase también

Enciclopedia electrónica de secuencias de enteros

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Secuencia_(matem%C3%A1ticas)"

Categoría: Análisis matemático

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MATEMÁTICAS: ¿EL ORÍGEN, NO PODRÍA ESTAR EN UNA SUCESIÓN O UNA SECUENCIA?. En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos.

petalofucsia - 08 de noviembre de 2010 - 14:23 - Matemáticas

Sucesión matemática

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsqueda

En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos.

Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie.

En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas.

Cuando abundan sucesiones de todo tipo se puede cambiar incluso el nombre de sucesión por otro.

Véase secuencia, tupla, colección, familia y conjuntos en matemáticas.

[editar] Definiciones

Las diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva:

[editar] Definición abstracta

Clase de finitos o numerables objetos ordenados.

[editar] Definición conjuntista

Una sucesión en un conjunto X es una enumeración de elementos de X, es decir una aplicación de $mathbb{N}$ en X.

[editar] Notación

Notaremos por $left{{x_n}right}_{nepsilonmathbb{N}}$ a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos $left{{y_n}right}_{nepsilonmathbb{N}}$ .

La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.

[editar] Definición de término general

Llamaremos término general de una sucesión a $x_n^{}$ ,donde ${nepsilonmathbb{N}}$ indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.

[editar] Definición de parcial

Llamaremos parcial de $left{{x_n}right}_{nepsilonmathbb{N}}$ a una sucesión $left{{x_{n_i}}right}_{n_iepsilonmathbb{N}}$ donde $n_i^{}<n_{i+1}^{}$

[editar] Ejemplos en distintas áreas

Estos ejemplos pretenden ser una pequeña muestra de la infinidad, propiamente dicha, de usos que tienen dichas sucesiones en matemáticas.

El trabajo interno en el desarrollo de cada tema en cada área obliga a diversificar el modo de nominar y notar las sucesiones, haciéndose frecuente el uso de índices, subíndices y superíndices para salvar la sobrecarga de notación y hacerlas más legibles y estéticas en cuanto a la presentación.

[editar] En $mathbb{C}^n$

Se puede tener una sucesión $left{{V^{(i)}}right}_{iepsilonmathbb{N}}$ tal que ${V^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_n^{(i)}),donde; a_j^{(i)}}in mathbb{C}$

[editar] En el espacio de las sucesiones finitas en $mathbb{C}$

Se puede tener una sucesión $left{ {a^{(i)}}right}_{iepsilonmathbb{N}}$ tal que ${a^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_{n_i}^{(i)} ,0,...),donde; a_j^{(i)}}in mathbb{C}-left{0right}$

[editar] En K[x]

Un polinómio $P(x) in K[x]$ no es más que una sucesión finita $left{{a_n}right}_n$ tal que $a_n in K$ representada como $P(x)_{}^{}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ .

[editar] En $M_{m times n}(k)$

Se puede tener una sucesión $left{{A_i}right}_{i in mathbb{N}}$ tal que $A_i:= begin{pmatrix} a_{1,1}^{(i)} & ldots & a_{1,n}^{(i)} vdots && vdots a_{m,1}^{(i)} & ldots & a_{m,n}^{(i)} end{pmatrix}$ , donde $a_{j,k}^{(i)} in K$ .

[editar] En un espacio vectorial topológico

Se puede tener una sucesión $left{{V_{i}^{}}right}_{iepsilonmathbb{N}}$ , donde $V_n^{}:= alpha_n B$ , donde $alpha_n in mathbb{R}$ es una sucesión real arbitraria y B un abierto.

[editar] Sucesiones funcionales

Se puede tener una sucesión de funciones continuas $left{{{f(x)}_n}right}_{nepsilonmathbb{N}}=sin(x)^n$ .

[editar] En el lenguaje proposicional

Sea $A_{}^{}$ un alfabeto, llamaremos $A_{}^n$ al conjunto de sucesiones finitas de n elementos de $A$ , se define inductivamente por la sucesión de productos cartesianos siguiente: $A^1=A, A^2=Atimes A, ... , A^n:=A^{n-1}times A$

así ${<}a_1,...,a_n>:={<<}a_1,...,a_{n-1}{>},a_n{>}in A^n {,y;} a_i:={<}a_i{>}in A$ .

[editar] En homología simplicial

El complejo de cadenas simplicial del complejo simplicial K, no es más que una determinada sucesión de grupos abelianos y morfismos

[editar] En el lenguaje de las categorías

Sea $mathcal{A}$ una categoría, podemos tener una sucesión $left{{A_n}right}_{n in mathbb{N}}$ , donde $A_{n}^{} in Ob({ mathcal{A} })$ .

[editar] Sucesiones numéricas

Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los naturales en los reales, es decir :

$begin{matrix} u:& mathbb{N} & to & mathbb{R} & n & to & u_n end{matrix}$

que escribiremos simplemente como $left{{u_n}right}_{n in mathbb{N}}$ o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también vale $left{{u_n}right}_{n geq 0}$ .

El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales, así, si la imagen de $u_{}^{}$ fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo $frac{a}{b}, ; b neq 0$ , podemos llamarla sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ... .

[editar] Notas y ejemplos básicos

Para definir término a término la sucesión, se indica para cada termino el valor que le corresponde directamente:

El primero es $u_0^{}=$ a por ejemplo 3,

el segundo es $u_1^{}=$ a por ejemplo -10,

el tercero es $u_2^{}=$ a por ejemplo 9, y así sucesivamente.

Para indicar, si hace falta, el comportamiento del resto de los valores, se usa el término general y se escribe acompañado como $, ; ... ; ,u_n^{}=$ a por ejemplo número al azar, ... .

Los puntos suspensivos dan por entendido que los valores de la sucesión se omiten ya que estos quedan claramente determinados hasta el infinito, siendo el n-ésimo valor, $u_n^{}=$ , el portador del método para generar el valor de cada término, y el nombre $n_{}^{}$ puede ser cambiado, si hace falta, por $i_{}^{}$ , $j_{}^{}$ , $k_{}^{}$ , $l_{}^{}$ , ... .

Materialmente seria: 3, -10, 9, 7, ... , número al azar, ... .

[editar] Sucesión finita

Diremos que una sucesión es finita si determinamos su último termino, por ejemplo el n-ésimo:

Genéricamente: $a_0, ; a_1, ; a_2, ; ... ; , ; a_i , ; ... ; , ; a_n$ , donde $a_i^{}$ sería el término general si hiciese falta.ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0.

[editar] Sucesión constante

Diremos que una sucesión es constante si todos los términos valen $a_{}^{}$ , un número real cualquiera, ejemplo:

Genéricamente $u_0^{} = a, ; u_1 = a, ; u_2 = a, ; u_3 = a, ; ... ; , ; u_i = a,;...$ .ejemplo: si $a_{}^{}=1$ queda como 1, 1, 1, 1, ... ,1 ,... , es decir, que todos los valores son el mismo, 1.

[editar] Sucesión creciente

Si imponemos al termino general, de una sucesión numérica, la condición que $a_i^{} < a_{i+1}$ , es decir, que el siguiente término, $a_{i+1}^{}$ , siempre sea mayor estricto que su predecesor, $a_i^{}$ , se llaman sucesiones estrictamente crecientes:

Para naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... .Para enteros: -10, -9, -8, -7, -6, ... .Para reales: $-2'01, ; -1, ; 0, ; sqrt{2}, ; e_{}^{}, ; pi, ; ,;...$ .

Si imponemos $a_i^{} leq a_{i+1}$ , es decir, una desigualdad no estricta, entonces se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.

[editar] Sucesión decreciente

Al igual que las crecientes tenemos, según el termino general, que:

si $a_i^{} geq a_{i+1}$ entonces la sucesión es decreciente,

si $a_i^{} > a_{i+1}$ es estrictamente decreciente.

[editar] Sucesión alternada

Intuitivamente se llama sucesión alternada cuando alterna valores de signo opuesto, como $a n = ( - 1) n$ que nos genera la sucesión: 1, -1, 1, -1, 1, -1, ... . Utilizado por las series llamadas series alternas.

[editar] Según el término general

El termino general de la sucesión queda definido de forma explícita si su valor está en función del valor del subíndice, es decir, si $u_i^{} = f(i)$ donde $f: mathbb{N} to mathbb{R}$ es una función cualquiera como por ejemplos:

$u_i^{} = i + 1$ que daría la sucesión de naturales sucesivos, es decir, 1, 2, 3, 4, 5, ... . $u_i^{} =2 i$ que daría todos los número pares incluido el cero, es decir, 0, 2, 4, 6, 8, ... . $u_i^{} = i^2$ que daría la sucesión de cuadrados siguiente, 0, 1, 4, 9, 16, ... .

Dada una función $f: mathbb{N} to mathbb{R}$ , llamaremos extensión en los reales de $f_{}^{}$ a una función $P: mathbb{R} to mathbb{R}$ cuyos valores coinciden en el dominio de $f_{}^{}$ , es decir, $f_{ | mathbb{N}}=P_{ | mathbb{N}}$ .

Error fatal es nombrar a la extensión en los reales con el mismo nombre ¡ $f: mathbb{R} to mathbb{R}$ !, pues, se trata de una asociación totalmente arbitraria y no univoca que trae confusión y no tiene sentido para algunas funciones definidas a trozos. Compruébese que $f(i)=u_i^{}=f(i)+sin(i pi)$ solo si la sucesión que determinan sobre los enteros es la misma, pero ¡no son la misma función!, llamemos a la extendida por ejemplo $P_{}^{}, ; Q_{}^{}, ; phi_{}^{}$ o $psi_{}^{}$ si es un polinomio, o $g_{}^{}$ o $h_{}^{}$ si son funciones trigonométricas, agregando subíndices si hace falta.

La función f puede adquirir propiedades de la extendida P, si existe P con dichas propiedades, como límites al infinito, monotonía, acotaciones... .

Casos en los que f no puede extenderse sobre los reales:

si definimos u_n como el número de factores propios de n.

funciones aritméticas, como la función fi de Euler o la Función de Möbius µ.

El término general de la sucesión queda definido de forma implícita si su valor depende de sus predecesores, esto se indica en general del modo siguiente:

Dados previamente los valores de $u_0, ; u_1,; ... ; ,; u_n$ , podemos definir el término general de forma inductiva como $u_{i+1} = f(u_{i-n}, ; ... ; , u_i) , ; i >= n$ como por ejemplo con la ecuación en diferencias $u_{i+1} = a_0 u_{i-n} + ; ... ; + a_n u_i + b_n , ; i >= n, ; a_0, ; ... ; , ; a_n, ; b_n in mathbb{R}$ .

[editar] Ejemplos

Sucesiones aritméticas.

Sucesiones geométricas.

Sucesiones aritmeticogeométricas

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Sucesión matemática.Commons

Calculo de la fórmula de una Sucesión

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Categorías: Diferencia finita | Sucesiones | Matemática elemental

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FILOSOFÍA11: ¿CÓMO SE ORIGINÓ TODO EL RAZONAMIENTO QUE EXISTE HOY EN DÍA? PARA RAZONAR ES NECESARIO "ORDENAR" IDEAS EN LA MENTE, ASÍ SE LLEGA A UNA CONCLUSIÓN.

petalofucsia - 08 de noviembre de 2010 - 13:50 - Filosofía11

razonar.

1. intr. Discurrir, ordenando ideas en la mente para llegar a una conclusión. Antes de decidirte, razona un poco.

2. intr. Hablar dando razones para probar algo. No razonó nada de lo expuesto.

3. tr. Exponer, aducir las razones o documentos en que se apoyan dictámenes, cuentas, etc.

4. tr. ant. Nombrar, apellidar.

5. tr. ant. tomar razón.

6. tr. ant. Computar o regular.

7. tr. ant. Alegar, decir en derecho, abogar.

razonamiento

m. Hecho de pensar,ordenando ideas y conceptos para llegar a una conclusión:
razonamiento científico.
Serie de conceptos y argumentos encaminados a demostrar algo:
de tus razonamientos se deduce que ese negocio es un fraude.

Preguntas en los foros con la(s) palabra(s) 'RAZONAMIENTO' en el título:

razonamiento residual

'RAZONAMIENTO' también aparece en estas entradas

abstruso - acuidad - alegato - aporema - aporía - argumento - deducción - círculo - coherente - cojo - demostración - dialéctico - discursivo - disertación - exordio - hipótesis - incoherente - intuición - intuir - inválido - lógico - metafísico - neurosis - objeción - oscuro - paralogismo - partir - perder - plática - positivo - postulado - premisa - principio - profundidad - raciocinio - razonamiento - rebuscado - retazo - sabio - sentado - verbalismDiccionario de sinónimos y antónimos © 2005 Espasa-Calpe:

razonamiento

argumento, demostración, explicación, deducción, prueba, reflexión, juicio, concepto

'RAZONAMIENTO' también aparece en estas entradas

alocución - argumento - dialéctica - disparate - disquisición - empecinamiento - explicación - inteligencia - lógica - ofuscación - pensamiento - postulado - principio - principios - silogismoo

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FILOSOFÍA11: ¿NOS COMPLICAMOS MUCHO? ¿LOS FÍSICOS LOS MATEMÁTICOS? ¿COMO NO RESULTA MÁS SENCILLO EL RAZONAMIENTO? ¿QUÉ ES LO DIFÍCIL? ¿LA MATERIA A RAZONAR? ¿CÓMO SE PRODUCE LA SIMPLIFICACIÓN EN EL RAZONAMIENTO? LA COMPLICACIÓN, ES, ¿EL RESULTADO DE MEZCLAR, UNIR COSAS DIVERSAS ENTRE SÍ?, ¿Y SI VAMOS COSA POR COSA?

petalofucsia - 08 de noviembre de 2010 - 13:40 - Filosofía11

complicación

f. Asunto de difícil solución o complejo de entender:
complicaciones económicas.
Dificultad imprevista procedente de la concurrencia de cosas diversas:
surgieron complicaciones que retrasaron el proyecto.
Cualidad de lo que es complicado o difícil:
la complicación de las matemáticas.
Situación que agrava y alarga el curso de una enfermedad y que no es propio de ella.
♦ Se usa sobre todo con los verbos surgir o presentarse: han surgido complicaciones inesperadas y no le darán el alta.

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complicación

confusión, obstáculo, tropiezo, enredo, embrollo, complejidad, estorbo, dificultad, follón, lío
- Antónimos: simplificación

empeoramiento, agravamiento, recrudecimiento
- Antónimos: mejoría

'COMPLICACIÓN' también aparece en estas entradas

bollo - complejidad - rebuscamiento - empeoramiento - enredo - entresijo - entresijos - impedimento - imposibilidad - oscuridad

complicación.

(Del lat. complicatĭo, -ōnis, plegadura).

1. f. Acción y efecto de complicar.

2. f. Dificultad o enredo procedentes de la concurrencia y encuentro de cosas diversas.

3. f. complejidad.

complicar.

(Del lat. complicāre).

1. tr. Mezclar, unir cosas diversas entre sí.

2. tr. Enredar, dificultar, confundir. U. t. c. prnl.

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