MATEMÁTICAS4: YO CREO QUE, EN MATEMÁTICAS, TAL VEZ TODOS LOS NÚMEROS O CIFRAS CONTENGAN ERROR MATEMATICO Y MÁS NEGATIVIDAD INTELECTUALMENTE, ENTENDIDO COMO UNA DERIVACIÓN, HASTA LLEGAR AL NÚMERO "PERFECTO" QUE PODRÍA AUNAR UN CONJUNTO DE CARACTERÍSTICAS QUE LO HICIESEN ÚNICO E IRREPETIBLE, ESTE NÚMERO PODRÍA SER TAMBIÉN, APARTE DE LA PERFECTA, LA ORDEN O LA MEMORIA, Y PODRÍAMOS LLEGAR A ENTENDER QUE SIGUIESE UNA SECUENCIA AL SER TAMBIÉN LA ORDEN. TAMBIÉN SE RELACIONÓ ESTE NÚMERO CON LOS "OPTIMOS". PODRIAMOS DILUCIDAR QUE ESTE NÚMERO FUESE ÚNICO E IRREPETIBLE EN SUS CARACTERISTICAS PROPIAS. QUIZÁS EN LA CREACIÓN YA SE OMITIÓ LA DERIVACIÓN DE LA QUE SE SUPONE QUE PROCEDEMOS Y QUIZÁS ALGÚN DÍA PODAMOS MATEMATIZARLO TODO INCLUSO ESTA DERIVACIÓN. DIGO QUE TAL VEZ SE OMITIÓ, EN PRINCIPIO EL YIN Y EL YANG SON ETERNOS, NUESTRA ESENCIA. ¿PUDO HABER UNA "MEGAESENCIA" PREVIA DE LA QUE SE DERIVÓ? SEGÚN MIS RECUERDOS SIEMPRE TUVE CONCIENCIA DE EXISTIR Y ME PREGUNTO SI, SÓLO POR EXISTIR YA DEBERÍA DE TENER CONCIENCIA...

13 de enero de 2011 - 21:22 - Matemáticas4

Derivación (matemática)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Concepto matemático esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables sus cualidades, propiedades y consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Posiblemente buscaba derivada, Derivación numérica o Diferencia finita.

Contenido

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[editar] Definición de derivación

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable y $p in M$ , llamaremos derivación en el punto $p_{}^{}$ a

$forall delta_p : mathcal{F}(M) longrightarrow{} mathbb{R}$ aplicación $mathbb{R}-$ lineal, es decir: $forall f,g in mathcal{F}(M), forall lambda in mathbb{R},$

$delta_p^{}(g+f)= delta_p(g)+ delta_p(f)^{},$

$delta_p^{}(lambda f)=lambda delta_p(f)^{}.$

y tal que $delta_p(f cdot g) =$

δ p (f) g | p + f | p δ p (g),

$forall f,g in mathcal{F}(M)$ , es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación

$mathcal{F}(M)$ es el conjunto de funciones diferenciables en $M_{}^{}$ , y es un $mathbb{R}-$ álgebra conmutativa, (es un $mathbb{R}-$ espacio vectorial). $f_{|p}^{}$ es equivalente a $f(p)_{}^{}$ , es decir, $f_{}^{}$ evaluado en el punto $p_{}^{}.$

[editar] Ejemplos de derivación

[editar] La derivada parcial

Sea $M= mathbb{R}^n$ y $p in M$ , veamos que la aplicación siguiente es derivación:

$begin{matrix} frac{{partial cdot}}{{partial x_i}}_{|p}: & { mathcal{F}(M) } & longrightarrow{} & mathbb{R} & {f} & mapsto & {frac{{partial f}}{{partial x_i}}}_{|p} end{matrix}.$

Demostración:

Veamos primero que es $mathbb{R}-$ lineal, es decir, que $forall f,g in mathcal{F}(M) ; y ; forall lambda in mathbb{R}$ vemos que:

$frac{{partial (f+g)}}{{partial x_i}}_{|p}=frac{{partial f}}{{partial x_i}}_{|p}+frac{{partial g}}{{partial x_i}}_{|p},$

$frac{{partial (lambda g )}}{{partial x_i}}_{|p}=lambda frac{{partial g}}{{partial x_i}}_{|p}.$

Veamos finalmente que es una derivación: $frac{{partial (f cdot g)}}{{partial x_i}}_{|p}=frac{{partial f}}{{partial x_i}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}frac{{partial g}}{{partial x_i}}_{|p}.$ Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

[editar] La derivada direccional

Sea $M= mathbb{R}^n ,; p in M ; y ; v in M : || v ||=1$ , de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

$begin{matrix} frac{{partial cdot}}{{partial v}}_{|p}: & { mathcal{F}(M) } & longrightarrow{} & mathbb{R} & {f} & mapsto & {frac{{partial f}}{{partial v}}}_{|p} end{matrix}.$

[editar] Definiciones

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable y $p in M$ , llamaremos espacio tangente a $M_{}^{}$ en $p_{}^{}$ al $mathbb{R}-$ espacio vectorial de las derivaciones de $M_{}^{}$ en $p_{}^{}$ , notado por $mathcal{T}_p M$ , y sus elementos se llamaran vectores tangentes a $M_{}^{}$ en $p_{}^{}.$

[editar] Consecuencias

[editar] Propiedad de la derivación de una función localmente constante

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p in M$ , $forall delta_p in mathcal{T}_p M$ y $f in mathcal{F}(M)$ tal que $exists{} U_{}^{}$ entorno abierto en $p_{}^{}$ donde $f (x) = λ$ , $forall x in M$ , entonces tenemos que $delta_p^{} f = 0 .$

Demostración:

Por linealidad de $delta_p^{}$ tenemos $delta_p ( f ) = delta_p ( lambda ) = delta_p ( lambda cdot 1) =$

λδ p (1),

aquí aplicando la condición de derivación a $delta_p^{} (1)$ tenemos $delta_p (1) = delta_p (1 cdot 1) =$ $delta_p (1) 1 + 1 delta_p^{} (1) =$ $delta_p (1) + delta_p^{} (1) ,$ de simplificar, este último, resulta $delta_p^{} (1) = 0$ aplicadolo al anterior resulta que $delta_p^{} ( f ) = 0 .$

[editar] Ejemplo

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase $mathcal{C}^{ infty }$ :

la función meseta $ρ$ asociada a $(p,V)_{}^{}$ , donde $ρ(x) = 1,$ $forall x in k subset V, ; k$ compacto cuyo interior contiene a $p_{}^{}.$

[editar] Propiedad de la derivación del producto con la función meseta

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p in M , ; forall delta_p in mathcal{T}_p M$ , $f in mathcal{F}(M)$ y $ρ$ una función meseta asociada a $(p,V)_{}^{}$ , tenemos que:

$delta_p^{} (rho cdot f) = delta_p( f ) .$

Demostración:

Aplicando la regla de Leibniz tenemos que $delta_p^{} (rho cdot f)=$ $delta_p^{}(rho) f(p) + rho(p) delta_p(f)$ , por la propiedad anterior tenemos que $delta_p^{} (rho cdot f)=$ $0 cdot f(p) + 1 cdot delta_p^{}(f)=$ $delta_p^{}(f).$

[editar] Propiedad

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p in M , ; forall delta_p in mathcal{T}_p M$ y $f,g in mathcal{F}(M)$ tal que $exists{} V_{}^{}$ entorno abierto en $p_{}^{}$ donde $f_{|V}^{}=g_{|V}$ , entonces tenemos que $delta_p^{} ( f ) = delta_p ( g )$ .

Demostración:

Sea

ρ

una función meseta asociada a $(p,V)_{}^{}$ , tenemos así que $rho cdot f = rho cdot g_{}^{}$ en todo $M_{}^{}$ también $rho cdot f,rho cdot g in mathcal{F}(M)$ por tanto $delta_p^{} (rho cdot f ) = delta_p ( rho cdot g )$ y por la propiedad anterior tenemos que $delta_p^{} ( f ) = delta_p ( g ) .$

[editar] Bibliografía

Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 3002.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Derivaci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)"

Categoría: Geometría diferencial

Derivación (matemática)

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[editar] La derivada direccional

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