MATEMÁTICAS: FAMILIA (MATEMÁTICAS). En matemáticos, la noción de familia es una generalización de aquella de continuación, continuación acabada o continuación referenciada por los enteros. Así se podrá hablar, en algèbre lineal, de la familia de vecteurs (u1, u2, , un), que es una familia acabada, o de la familia dénombrable (un)no ' ∈ No Una familia es indexada siempre, aunque lo es a veces implicitement, por ejemplo en de los locutions como « familia libre » o « familia generadora ». .

22 de septiembre de 2010 - 19:46 - Matemáticas

Familia (matemáticas)

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En matemáticos, la noción de familia es una generalización de aquella de continuación, continuación acabada o continuación referenciada por los enteros. Así se podrá hablar, en algèbre lineal, de la familia de vecteurs (u₁, u₂, … , u_n), que es una familia acabada, o de la familia dénombrable (u_n)_{no ' ∈ No Una familia es indexada siempre, aunque lo es a veces implicitement, por ejemplo en de los locutions como « familia libre » o « familia generadora ».}.

Familia referenciada : definición

Una familia $(x_i)_{iin I}$ indexada por un conjunto $I$ de elementos $x i$ de un conjunto $E$ es una aplicación definida sobre I a valores en E. Se trata pues de una terminología y de una notación, mejor adaptadas a ciertos usos, para la noción conocida de aplicación (o de función). Los elementos de $I$ son llamados indicio (o índice). El elemento de la familia $(x_i)_{iin I}$ de indicio i es $x i$ .

Cuándo Se habla de elemento de una familia, se trata de un elemento del conjunto imagen de la familia en tanto que aplicación : un elemento de la familia $(x_i)_{iin I}$ es el uno de los $x i$ .

Cuándo Se habla de la cardinalité de una familia, se trata a priori de la cardinalité del conjunto de sus indicios (o de modo equivalente de la cardinalité del graphe de la familia en tanto que aplicación). Esto se dice puede siempre precisar : familia sobre un conjunto de indicios de cardinalité tal. Así una familia acabada es una familia cuyo conjunto de los indicios (y no de los elementos) está acabado, una familia infinita es una familia cuyo conjunto de los indicios está infinito, una familia dénombrable es una familia cuyo conjunto de los indicios está dénombrable etc.

Se llama igualmente continuación una familia cuyo conjunto de los indicios es el conjunto de los enteros o un bajo-juntos de éste, acabado o infinito (los no ' primeros enteros, los enteros no nuls ...). Pero esto no es exclusivo : por ejemplo, en algèbre lineal, se habla con mucho gusto de familia de vecteurs, incluso en este caso.

Más generalmente, se podrá hablar, teoría de los conjuntos, de continuación para una familia cuyo conjunto de los indicios es un ordinal, o incluso un conjunto « explicitement » bien ordenado.

Teoría axiomatique de los conjuntos

En teoría de los conjuntos una aplicación es el más a menudo identificada a su graphe : es un conjunto de parejas. Una aplicación definida sobre I es un conjunto de parejas tales que cada elemento de I apparait una y una sola vez primera composante de una pareja de este conjunto. Es pues también la definición de familia de conjuntos indexados por I. Se se preocupa pocos el conjunto de llegada en este caso. Se muestra sin embargo que sí {HA_i}_{i ∈ I} es una familia de conjuntos, entonces se puede bien hablar del conjunto de los TIENE :i

{HA_i | i ∈ I} « es » un conjunto.

Eso puede demostrarse utilizando esencialmente el hecho que una aplicación es un conjunto de parejas y el esquema de axiomes de comprensión (hace falta volver a la definición de pareja teoría de los conjuntos, y utilizar el axiome de la reunión).