CONCEPTOS CLAVE: FACTORES. En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).

08 de abril de 2010 - 10:19 - CONCEPTOS CLAVE

Factorización

factor

m. Elemento, condicionante que contribuye a lograr un resultado:
no habíamos tenido en cuenta este factor.
mat. Cada uno de los términos de una multiplicación:
en la multiplicación "324
♦ 2", los factores son "324" y "2".
Empleado de ferrocarril encargado de facturar el equipaje:
el factor se encargó de nuestras maletas.

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'factor' también aparece en estas entradas

biótico - capital - causal - coadyuvante - coeficiente - confluente - desestabilizador - determinante - estratégico - exógeno - geotropismo - hipertensión - macaco - menospreciar - multiplicador - multiplicando - multiplicativo - protección - recalcar - rhesus - sustancial - transaminasa

factor

causa, circunstancia, agente, elemento, componente, principio
multiplicador, coeficiente, multiplicando
apoderado, autor, delegado, encargado, representante

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componente

factor, ra.

(Del lat. factor, -ōris).

1. m. y f. En las estaciones de ferrocarril, persona que cuida de la recepción, expedición y entrega de los equipajes, encargos, mercancías y animales transportados.

2. m. Entre comerciantes, apoderado con mandato más o menos extenso para traficar en nombre y por cuenta del poderdante, o para auxiliarle en los negocios.

3. m. Dependiente del comisario de guerra o del asentista para la distribución de víveres a la tropa.

4. m. Oficial real que en las Indias recaudaba las rentas y rendía los tributos en especie pertenecientes a la Corona.

5. m. Elemento, concausa.

6. m. Mat. Cada una de las cantidades o expresiones que se multiplican para formar un producto.

7. m. Mat. submúltiplo.

8. m. p. us. Hombre que hace algo.

9. m. ant. Hacedor o capataz.

10. m. pl. Cuba. Representantes de los diferentes órganos de dirección de una empresa o de una institución.

factor Rh.

1. m. Med. Antígeno de los hematíes cuya presencia (Rh+) o ausencia (Rh-) es causa de incompatibilidades sanguíneas en transfusiones y embarazos.

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En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).

La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.

Contenido

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Factorizar un polinomio [editar]

Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

Binomios

Diferencia de cuadrados
Suma o diferencia de cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales

Trinomios

Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c

Polinomios

Factor común

Caso I - Factor común [editar]

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor común monomio [editar]

Factor común por agrupación de términos

$ab + ac + ad = a ( b + c + d) ,$ $ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) ,$ si y solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.

Factor común polinomio [editar]

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

un ejemplo:

$5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) ,$

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

$(5x^2 + 3x +7) ,$

La respuesta es:

$(x -y)(5x^2 + 3x +7) ,$

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

$5a^2(3a+b) +3a +b ,$

Se puede utilizar como:

$5a^2(3a+b) + 1(3a+b) ,$

Entonces la respuesta es:

$(3a+b) (5a^2+1) ,$

Caso II - Factor común por agrupación de términos [editar]

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de término

Un ejemplo numérico puede ser:

$2y + 2j +3xy + 3xj,$

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

$= (2y+2j)+(3xy+3xj),$

Aplicamos el primer caso (Factor común)

$= 2(y+j)+3x(y+j),$ $= (2+3x)(y+j),$

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P.) [editar]

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2,$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2,$

Ejemplo 1:

$(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2,$

Ejemplo 2:

$(3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2,$

Ejemplo 3:

$(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2,$

Ejemplo 4:

$4x^2+25y^2-20xy,$

Organizando los términos tenemos

$4x^2 - 20xy + 25y^2,$

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

$(2x - 5y)^2,$

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo termino es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.

Caso IV - Diferencia de cuadrados [editar]

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.)

$(ay)^2-(bx)^2= (ay-bx)(ay+bx),$

O en una forma más general para exponentes pares:

$(ay)^{2n}-(bx)^{2m}= ((ay)^n-(bx)^m)((ay)^n+(bx)^m),$

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

$(ay)^n-(bx)^m= ((ay)^{n/{2^r}}-(bx)^{m/{2^r}})cdot prod_{i=1}^{r} ((ay)^{n/{2^i}}+(bx)^{m/{2^i}}) ,$

Ejemplo 1:

$9y^2-4x^2= (3y)^2-(2x)^2= (3y+2x)(3y-2x),$

Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.

$(2y)^6-(3x)^{12}= ((2y)^{6/2^2}-(3x)^{12/2^2})cdotprod_{i=1}^{2} ((2y)^{6/{2^i}}+(3x)^{12/{2^i}})= ,$ $((2y)^{3/2^2}-(3x)^{12/2^2})cdot((2y)^{3/2^2}+(3x)^{12/2^2})cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{12/2})= ,$ $((2y)^{3/4}-(3x)^{3})cdot((2y)^{3/4}+(3x)^{3})cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{6}) ,$

La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción [editar]

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

$x^2+xy+y^2=x^2+y^2+2xy-xy=(x+y)^2-xy,$

Caso VI - Trinomio de la forma x² + bx + c [editar]

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:

$a^2+2a-15 = (a+5) (a-3) ,$

Ejemplo:

$x^2+5x+6 = (x+3)(x+2),$

Ejemplo:

$y^2+0y-4 = (y+2)(y-2),$

Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n [editar]

La suma de dos números a la potencia n, aⁿ +bⁿ se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera:

$x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-... + xy^{n-2}-y^{n-1}) ,$

Ejemplo:

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) ,$

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:

$x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2 +... +xy^{n-2}+y^{n-1}) ,$

Ejemplo:

$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) ,$ $a^2-b^2 = (a-b)(a+b) ,$

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

Caso VIII - Trinomio de la forma ax² + bx + c [editar]

En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, ósea sin una parte literal, así:

$4x^2+12x+9,$

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del primer término (4x²)

$4x^2+12x+(9cdot4),$ $4x^2+12x+36,$

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x

$6cdot6=36$ $6+6=12,$

Después procedemos a colocar de forma completa el término x² sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente.