Blogia
petalofucsia

Matemáticas3

MATEMÁTICAS3: ERROR MATEMÁTICO. El error, en filosofía, es un concepto que pertenece a la esfera del juicio, o sea de las actitudes valorativas. En general, se denomina error a todo juicio o valoración que contraviene el criterio que se reconoce como válido, en el campo al que se refiere el juicio.

 

Error

De Wikipedia, la enciclopedia libre

El error, en filosofía, es un concepto que pertenece a la esfera del juicio, o sea de las actitudes valorativas. En general, se denomina error a todo juicio o valoración que contraviene el criterio que se reconoce como válido, en el campo al que se refiere el juicio.[1]

Error o erróneo, en lo coloquial, puede referirse a distintos conceptos en diversos campos de conocimiento:

  • En ciencias naturales y matemáticas:
    • Error experimental: la inexactitud cometida por culpa de no poder controlar adecuadamente la influencia de todas las variables presentes en un experimento.
    • Error de medición: la inexactitud que se acepta como inevitable al comparar una magnitud con su patrón de medida. El error de medición depende de la escala de medida empleada, y tiene un límite. Los errores de medición se clasifican en distintas clases (accidentales, aleatorios, sistemáticos, etc.).
    • Error de aproximación: es una medida del error cometido al aproximar una magnitud numérica por una expresión aproximada más sencilla que la expresión original exacta.
    • Error de cálculo: inexactitud o equivocación al realizar una operación matemática.
  • En otros contextos:
    • Error Fatal: Grupo de rock.
    • Error de escritura (errata): inexactitud o equivocación al escribir, transcribir, imprimir o publicar un documento o escrito.

[editar] Véase también

[editar] Referencias

  1. Abbagnano, Nicola (1961) (en español). Diccionario de Filosofía. México: Fondo de Cultura Económica. ISBN 968 16 1189 6. 

[editar] Enlaces externos

 

MATEMÁTICAS3: LOS VALORES DEL CONJUNTO IMAGEN DEPENDEN DE LAS TRANSFORMACIONES DEL DOMINIO, SIENDO EL DOMINIO CIFRAS MATEMÁTICAS.

Conjunto imagen

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Ejemplo de imagen: La imagen del conjunto X es el conjunto Y, porque todos sus valores son imagen de alguno del conjunto X. Imágenes particulares de los valores: la imagen de 1 será D, la de 2 será B, la de 3 será C y la de 4 será C también.
Ejemplo de Subconjunto imagen: Subconjunto imagen de X (D,B,A) dentro del conjunto Y (aquí Y no es imagen de X, porque no todos sus valores son imagen de algún valor del conjunto de X). Imágenes particulares de los valores: La imagen de 1 será D, la de 2 será B, la de 3 será A, y C no es imagen de nadie (no tiene antiimagen).

En matemáticas, la imagen (conocida también como alcance o recorrido o campo de valores o rango) de una función f colon X to Y , es el conjunto formado por los valores que puede llegar a tomar la función. Se denota por rm{im}(f), o Im_f, o bien I_f, y está definida por:

Im_f := left{y in Y ; | ; exists x in X, ; f(x)=yright}

[editar] Véase también

MATEMÁTICAS3: ESTÁ CLARO QUE EL TIEMPO SI ES UNA FUNCIÓN NO ESTÁ DEFINIDO. LA FUNCIÓN NO ESTÁ DEFINIDA, DEPENDE DE NOSOTROS, TODOS LOS OBJETOS SE PUEDEN TRANSFORMAR, INCLUSO SIENDO EL TIEMPO UNA FUNCIÓN, SE PUEDE ADELANTAR EN EL TIEMPO, ¿PODRÍA EXPLICAR SI HAY DISCONTINUIDAD EN LA FUNCIÓN TIEMPO? NOS ES POSIBLE ATRASARLO, ¿DE QUÉ VALORES DEPENDE? ¿EN ESE CONJUNTO TODOS LOS OBJETOS SE PUEDEN TRANSFORMAR? ¿ESTÁ DEFINIDA LA FUNCIÓN?

Dominio de definición

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función f colon X to Y , es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota Dom_f, o bien  D_f, y está definido por:

 D_f = ; left{x in X | exists y in Y: f(x)=yright}

Contenido

[ocultar]

[editar] Propiedades

Dadas dos funciones reales:

f colon X_1 to R, qquad mbox{y}quad g colon X_2 to R,

Se tienen las siguientes propiedades:

  1. D_{(f+g)} = X_1cap X_2
  2. D_{(f-g)} = X_1cap X_2
  3. D_{(fcdot g)} = X_1cap X_2
  4. D_{(f/g)} = {xin (X_1 cap X_2)| g(x) neq 0}

[editar] Ejemplos

Algunos dominios de funciones reales de variable real:

f(x)=x^2 ,! El dominio de esta función es mathbb{R}

f(x)= frac{1}{x} El dominio de esta función es mathbb{R}-lbrace0rbrace puesto que la función no está definida para x = 0.

f(x)= log(x) ,! El dominio de esta función es (0,{+}infty) ya que los logaritmos están definidos sólo para números positivos.

f(x)= sqrt{x} El dominio de esta función es lbrack0,{+}infty) porque la raíz de un número negativo no existe en el campo de los Reales.

[editar] Cálculo del dominio de una función

Para el cálculo certero del dominio de una función, debemos introducir el concepto de restricción en el campo real. Estas restricciones nos ayudarán a identificar la existencia del dominio de una función. Las más usadas son:

[editar] Raíz n-ésima de f(x)

No existe restricción si n es impar, pero si n es par, la función f(x) necesariamente deberá ser mayor no estricto de cero, ya que las raíces negativas no están definidas en el campo real. Por ejemplo:

y= sqrt{7x-21}

El índice de la raíz es par (2), por tanto

7x − 21 > = 0 despejando tenemos que

x>=3 El dominio entonces será el conjunto de todos los reales en el intervalo [3,+∞)

[editar] Logaritmo de f(x)

La restricción está al estudiar las propiedades de los logaritmos las cuales nos dicen que estos no están definidos para números negativos, por tanto toda función contenida dentro de un logaritmo es necesariamente mayor estricto de cero. Por ejemplo:

log(x2 − 9) Por la propiedad anteriormente citada tenemos que para que esta función exista, necesariamente

x2 − 9 > 0 despejando obtendremos dos soluciones x > 3 y x < − 3. La unión de ambas soluciones representa el dominio de la función, que está definida como el conjunto (-∞, -3) U (3, +∞).

[editar] Fracciones

Véase también: División por cero

Otras propiedades de las matemáticas nos pueden ayudar a obtener el dominio de una función y excluir puntos donde esta no está definida, por ejemplo, una función que tenga forma de fracción no estará definida cuando el denominador valga cero, ya que esto es una indeterminación que daría una tendencia al infinito. Veamos

la función y= frac {7-3x}{10x-2} no estará definida cuando 10x − 2 = 0, despejando x = 1 / 5, es decir la variable x debe tener un valor diferente para poder existir, ya que en ese punto no está definida, por tanto el dominio de esta función será el conjunto de todos los reales menos ese punto. Su notación será R-{1/5}, que se lee, el conjunto de todos los reales menos el punto 0,20.

El grado de dificultad se incrementa cuando buscamos el dominio de una función con variable en el denominador contenida dentro de un radical de índice par o logaritmo, ya que esto nos traslada a resolver una desigualdad. No obstante, el método de polos y ceros nos permite resolver esta clase de inecuaciones con facilidad.

[editar] Ejemplo

Para evidenciar este caso veamos este problema. Hallar el dominio de la siguiente función:

f(x) = log left( frac {5x+1}{3x-2} right),!

Para que esta función exista, necesariamente

frac {5x+1}{3x-2}  > 0,!

Ya que no existe logaritmo de expresiones negativas. La solución de esta desigualdad, es explicada paso por paso en el artículo polos y ceros anteriormente citado, su solución constituirá el dominio de la función que en este caso será:

solución: (-∞, -1/5) U (2/3, +∞)

[editar] Véase también

MATEMÁTICAS3: DISCONTINUIDAD. Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

Clasificación de discontinuidades

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

Considérese una función f(x), de variable real x, definida para todo valor de x excepto posiblemente para un cierto valor x0. Es decir, f(x) está definida para x < x0 y para x > x0. Definamos también:

  • el límite por izquierda en x0, es decir, el límite al aproximarse al valor x = x0 mediante valores menores a x0, como:
L^{-}=lim_{xrarr x_0^{-}} f(x)
  • el límite por derecha en x0, es decir, el límite al aproximarse al valor x = x0 mediante valores mayores a x0, como:
L^{+}=lim_{xrarr x_0^{+}} f(x)

En estas condiciones, pueden darse tres posibilidades:

  1. Los límites L y L + existen en x = x0, son finitos y son iguales. En este caso, se dice que x0 es una discontinuidad evitable (o removible) o una discontinuidad que puede salvarse.
  2. Los límites L y L + existen y son finitos, pero no son iguales. En este caso, se dice que x0 es una discontinuidad por salto.
  3. Al menos uno de los límites L y L + no existe o es infinito. En este caso, se dice que x0 es una discontinuidad esencial.

Contenido

[ocultar]

[editar] Tipos de discontinuidades

La discontinuidad de una función puede ser clasificada en:

    Discontinuidad    { color{Red}    left {       begin{array}{l}          Evitable           Esencial             { color{PineGreen}             left {                begin{array}{l}                   De ; primera ; especie                   { color{Blue}                   left {                      begin{array}{l}                         De ; salto ; finito                          De ; salto ; infinito                      end{array}                   right .                   }                                                         De ; segunda ; especie                end{array}             right .             }        end{array}    right .    }

[editar] Discontinuidad evitable

Se dice que f(x) presenta una discontinuidad evitable en x = a si exists lim_{xto a} f(x) y es finito pero f(a) no existe o existe pero lim_{xto a} f(x)ne f(a)

[editar] Discontinuidad esencial

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

  1. Existen los límites laterales pero no coinciden.
  2. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. Ver asíntota.
  3. No existe alguno de los límites laterales o ambos.

[editar] Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

  • Que existan lim_{xto a^{-}}f(x) y lim_{xto a^{+}}f(x) pero que no sean iguales. A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito. Y el salto viene dado por:
Salto=|lim_{xto a^{-}}f(x)-lim_{xto a^{+}}f(x)|
  • Que existan lim_{xto a^{-}}f(x) y lim_{xto a^{+}}f(x) pero que uno sea finito y otro infinito. A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto infinito.
  • Que existan lim_{xto a^{-}}f(x) y lim_{xto a^{+}}f(x) pero que los dos sean infinitos. A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x = a la asíntota.

[editar] Discontinuidad de segunda especie

Este tipo de discontinuidad se produce cuando no existe uno de los límites laterales, o ambos.

[editar] Ejemplos

Función del ejemplo 1, f1(x): una discontinuidad evitable.
  • 1. Sea la función
f_1(x)=left{begin{matrix}x^2 & mbox{ para } x<1  0 & mbox { para } x=1  2-x&  mbox{ para } x>1end{matrix}right.

El punto x0 = 1 es una discontinuidad evitable. Esta función puede hacerse contínua simplemente redefiniendo la función en este punto para que valga f1(x0) = 1.

Función del ejemplo 2, f2(x): una discontinuidad por salto.
  • 2. Sea la función
f_2(x)=left{begin{matrix}x^2 & mbox{ para } x<1  0 & mbox { para } x=1  2-(x-1)^2& mbox{ para } x>1end{matrix}right.

El punto x0 = 1 es una discontinuidad por salto.

Función del ejemplo 3, f3(x): una discontinuidad esencial.
  • 3. Sea la función
f_3(x)=left{begin{matrix}sinfrac{5}{x-1} & mbox{ para } x<1  0 & mbox { para } x=1  frac{0.1}{x-1}& mbox{ para } x>1end{matrix}right.

El punto x0 = 1 es una discontinuidad esencial, para lo cual hubiese bastado que uno de los dos límites laterales no exista o sea infinito (en este caso se cumple para ambos límites laterales: para el límite por izquierda y para el límite por derecha).

  • 4. Funciones que no son continuas en ninguna parte

Existen funciones que no son continuas en ningún punto. La más conocida es la función característica de Q, es decir la función que toma como valor 1 cuando x pertenece al conjunto de los racionales, y 0 si no.

Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y= 0, y una infinidad (menor) de puntos en la recta y= 1.

  • 5. Discontinuidad evitable.

Una función presenta un punto de Discontinuidad evitable si en ese punto se cumple que:

  1. lim_{x to a^-} f(x) = lim_{x to a^+} f(x)
  2. nexists f(a)

Pueden ser transformadas en otra función continua, dándole a f(a) el valor adecuado que la hace continua. Si modificamos una función obtenemos otra función, no la misma, por ello se dice que son evitables.

ejemplo:
Función Continua 005.svg
Función Continua 006.svg

La función:

 f(x)= frac{x^2 - 4}{x - 2}

Presenta los siguientes limites por la izquierda y por la derecha:

 lim_{x to 2^-} frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4  lim_{x to 2^+} frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4

pero la función para x= 2 no esta definida:

 f(2)= frac{x^2 - 4}{x - 2} = frac{0}{0}

en este un caso de discontinuidad evitable y además de un modo sencillo:

 f(x)= frac{x^2 - 2^2}{x - 2}

lo que es lo mismo:

 f(x)= frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}

simplificando:

 f(x)= (x + 2) ,

esta función es continua para todo x de valor real y es equivalente a la primera función, excepto en que la primera es discontinua para x= 2.

  • 6. Discontinuidad de primera especie
Función Continua 022.svg

Una función presenta una discontinuidad de primera especie en un punto x1, si en este punto se cumple que:

 lim_{x to 1^-} f(x) ne lim_{x to 1^+} f(x)

se produce un salto en los extremos.

Un ejemplo de función con discontinuidad de este estilo es por ejemplo:

f(x) = sum_{k=1}^infty frac{sin(kx)}{k}

Que es continua (y diferenciable) en todos los puntos, excepto en los puntos scriptstyle x_n = 2npi con scriptstyle n in mathbb{Z}.

  • 7. Discontinuidad de segunda especie
Función Continua 044.svg

Son las que tienen puntos para los que existe solo uno de los limites laterales o ninguno.

nexistslim_{x to x1^-} f(x) o nexistslim_{x to x1^+}f(x)

Por ejemplo la función  f(x) = sqrt{x} . Ésta tiene una discontinuidad de segunda especie en 0 pues no existe el límite:

 lim_{x to 0^-} f(x)

 

  • 8. Discontinuidad asintótica
Función Continua 031.svg

La discontinuidad viene marcada por una asíntota vertical. Se cumple lo siguiente:

lim_{x to 1^-} f(x) = pm infty  lim_{x to 1^+} f(x) = pm infty

 

MATEMÁTICAS3: ESTÁ CLARO QUE AQUÍ NO HAY CONTINUIDAD MATEMÁTICA. En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

Función continua

De Wikipedia, la enciclopedia libre
(Redirigido desde Continuidad (matemática))

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Contenido

[ocultar]

[editar] Funciones reales de una variable real

Función Continua 011.svg

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.

El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.

El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)

El mayor elemento de J' se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

[editar] Continuidad de una función en un punto

Función Continua 014.svg

Definición de continuidad en un punto

Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función

si:     forall varepsilon > 0 quad    exists delta> 0 ; tal que para toda x en el dominio de la función:

 0<|x-x_0|<delta Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<varepsilon

Otra manera más simple:
Si xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en xo

si y sólo si lim_{x to x_o} f(x)=f(x_0) . Cuando xo no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.

En el caso de aplicaciones de  mathbb{R} en  mathbb{R} , y de una manera más rigurosa se dice que una función f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f(x1).

Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:

  • Existe f(x1):
 exists f(x_1)
  • existe el límite por la izquierda:
 exists lim_{x to x_1^-} f(x) in mathbb{R}
  • existe el límite por la derecha:
 exists lim_{x to x_1^+} f(x) in mathbb{R}
  • El límite por la derecha, el límite por la izquierda y el valor de la función coinciden:
 lim_{x to x_1^-} f(x) = lim_{x to x_1^+} f(x) = f(x_1)

Es decir: el límite de la tasa de variación es cero cuando el incremento de la variable independiente, h, tiende a cero:

 lim_{h to 0} [f(x_1+h) - f(x_1)] = 0

 

Función Continua 022.svg

Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

 lim_{x to x_1} f(x) = y_1

parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que  f(I) in J .

Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.

La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

[editar] Continuidad lateral

Función Continua 024.svg

Una función f es continua por la izquierda en el punto x = x1 si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

 lim_{x to x_1^-} f(x) = f(x_1)

como en la figura.

Una función f es continua por la derecha en el punto x = x1 si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

 lim_{xto x_1^+ } f(x) = f(x_1)

Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

 lim_{xto x_1^- } f(x) = lim_{xto x_1^+ } f(x) = f(x_1)

 

[editar] Continuidad de una función en un intervalo {a;b}

Una función, f es continua en un intervalo I, si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

f es continua en un intervalo I forall a in I, lim_{x to a} f(x) = f(a)

Dado que una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si la función es continua en todos los puntos del intervalo, entonces f es continua en el intervalo cerrado [a, b] si y solo si es continua en el intervalo (a, b) y además es continua en el punto a por la derecha y en el punto b por la izquierda.

La función anterior es continua tanto en [-6, 1) como en (1, 6].

[editar] Algunas funciones continuas importantes

Funciones seno y coseno.

Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.

La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.

En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

[editar] Funciones definidas por intervalos

Función Continua 050.svg
Artículo principal: Función definida a trozos

Las funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:

E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.

  • Otras funciones definidas por intervalos son:
Función escalón unitarioFunción signo

 

[editar] Función racional

Función Continua 033.svg
Artículo principal: función racional

Las funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la función inverso de x:

 f(x) = frac {1}{x}

Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como vemos, efectivamente es continua en todo el dominio  left(- infty ,0 right) cup left( 0 , + infty right) porque no está definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a R (dándole un valor arbitrario a f(0)) la función será discontinua.

[editar] Teoremas sobre funciones continuas

Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.

  1. Teorema de Weierstrass: Si f es continua en [a,b] entonces presenta máximos y mínimos absolutos.
  2. Teorema de Bolzano: Si f es continua en [a,b] y f(a) > 0 y f(b) < 0, entonces  exists c in [a,b] tal que f(c) = 0
  3. Teorema del valor intermedio: Si f es continua en [a,b] y f(a) < k < f(b) entonces exists c in [a,b] tal que f(c) = k

[editar] Derivada y continuidad

Las funciones derivables son continuas. Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a.

Es importante notar que el recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x= 0. Incluso hay funciones continuas en todo mathbb{R} pero no derivables en ningún punto (las funciones del movimiento browniano verifican esto con probabilidad 1).

[editar] Clase de continuidad

Una función f:Omegasubset mathbb{R} longrightarrow mathbb{R}, se dice:

  • de clase C^k(Omega), si está definida en todo el dominio Ω junto con sus derivadas hasta orden k ge 1 y todas ellas son continuas.
  • Una función continua aunque no diferenciable en todo el domino, se dice que es de clase C^0(Omega),.
  • Una función es de clase C^infty(Omega), si tiene derivadas continuas de cualquier orden. Aunque muchas sí lo son, no toda función de este tipo es analítica.
  • Una función es de clase C^{-1}(Omega), si es la derivada en el sentido de las distribuciones de una función de clase C^0(Omega),.
  • Una función generalizada se dice de clase C^{-k}(Omega), si es la derivada k-ésima en el sentido de las distribuciones de una función de clase C^0(Omega),.

[editar] Funciones continuas en espacios topológicos

Sean (X,TX) e (Y,TY) dos espacios topológicos. Una aplicación  f:X longrightarrow Y se dice que es continua si:

f − 1(G) es un abierto de X,

cualquiera que sea el abierto G de Y.

Con la misma notación, si  x in X , diremos que f es continua en x cuando se obtiene que f − 1(V) es un entorno de x, cualquiera que sea el entorno V de f(x).

Es "inmediato" entonces comprobar que f es continua si y solo si es continua en x in X, cualquiera que sea éste, es decir, cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.

[editar] Véase también

MATEMÁTICAS3: INTERVALO. En Análisis matemático, se denomina intervalo a la máxima división sectorial sumisa, es decir a el subconjunto de la doble implicación latente en matemáticas subconjunto conexo de la recta real.

Intervalo (matemática)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En Análisis matemático, se denomina intervalo a la máxima división sectorial sumisa, es decir a el subconjunto de la doble implicación latente en matemáticas subconjunto conexo de la recta real. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la siguiente propiedad:

si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I.

Contenido

[ocultar]

[editar] Notación

Intervalo.png

Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, en el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos los puntos intermedios. Por ejemplo: en una recta tenemos un intervalo:[-2,2]entre este espacio se encuentran los números (-2-1,0,1,2) aquí se encuentra un intervalo.....ya que el espacio abarca una serie de números consecutivos que se corresponden entre sí.


También existe una regla ERRONEA para el uso del paréntesis: si se dibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como (0; 1) y (1; 2) (es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis donde corresponda), entre los dos intervalos cabe un signo 1 (o lo que corresponda según los intervalos) cabe, apretado pero cabe. Mientras que si los dos intervalos son (0, 1] y [1, 2), o (0, 1] y [1, 2) el número no cabe, o cabe muy estrangulado. O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo en medio.

[editar] Clasificación

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados y semi abiertos) o según sus características métricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita).

Aquí están todos los casos posibles, con ab, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud:

NotaciónIntervaloLongitud (l)Descripción
[a, b] , a le x le b b-a ,Intervalo cerrado de longitud finita.
[a, b[   mathrm{ acute o }    [a, b) ! a le x < b!b-a ,Intervalo cerrado en a, abierto en b (semicerrado, semiabierto).
]a, b]   mathrm{ acute o }    (a, b] !a < x le bb-a ,intervalo abierto en a, cerrado en b.
]a, b[   mathrm{ acute o }    (a, b) !a<x<b !b-a ,intervalo abierto.
]-infty, b[   mathrm{ acute o }    (- infty, b) ! x < b !inftyIntervalo (semi) abierto.
]-infty, b]   mathrm{ acute o }    (- infty, b] ! x le b !inftyIntervalo (semi) cerrado.
[a, infty [   mathrm{ acute o }    [a, infty ) ! x ge a !inftyIntervalo (semi) cerrado.
]a, infty [   mathrm{ acute o }    (a, infty ) ! x > a !inftyIntervalo (semi) abierto.
]infty, + infty [   mathrm{ acute o }    (infty, + infty ) ! x in mathbb{R} !inftyIntervalo a la vez abierto y cerrado.
 { a } ! x=a ! 0 !intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario.
{} = emptyset!x no existeSin longitudconjunto vacío.


Un intervalo abierto o cerrado (pero no semiabierto) de longitud finita se puede también definir a partir de su centro y de su radio:

Si I = ]a, b[, su centro es c = (a + b)/2, y su radio es r = (b - a)/2. a < x < b equivale a |x - c| < r; y se interpreta como la distancia entre x y c es menor que r; se nota x ε B (c, r); B para bola abierta, término que se generaliza a cualquier espacio métrico.

De la misma manera, I = [a, b] corresponde a la condición |x - c| ≤ r. En tal caso se habla de bola cerrada. Se nota este conjunto:

_

B (c, r) = { x ε R, |x - c| ≤ r }. Es la clausura topológica de la bola abierta B (c, r) = { x ε R, |x - c| < r }.

Cuando dos variables - pongamos x e y - toman sus valores en sendos intervalos I e J, es legítimo preguntarse en que intervalo varían su suma, su diferencia, su producto y su cociente. Contestar a esta pregunta permitirá definir las cuatro operaciones sobre los intervalos.

Tomemos I = [a, b] y J = [c, d]. Entonces a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.

podemos sumar las inegualdades: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que I + J = [ a + c , b + d ].

Para la diferencia, hay que mirar primero - y : - d ≤ - y ≤ - c, y luego se puede sumar las inegualdades: a - d ≤ x - y ≤ b - c. De ahí obtenemos I - J = [ a - d, b - c ].

Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, el producto y el cociente son también sencillos: I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].

[editar] Generalización

Un entorno de centro a y radio δ es un conjunto de puntos cuya distancia a a es menor de δ. O sea:

E (a ; delta) = left{ left. x in  real   right|   |x - a| < delta right}

En particular si x ne a se denomina entorno reducido (E`).

E' (a ; delta) = left{ left. x in  real   right|   0 < |x - a| < delta right} el cual no es un intervalo pues es un conjunto disconexo entonces se cambia la x por y o p

[editar] Véase también

[editar] Referencias

El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.

MATEMÁTICAS3: MOMENTO. La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. En cuanto al nombre, Galileo Galilei en su Discursos sobre dos nuevas ciencias usa el término italiano impeto, mientras que Isaac Newton usa en Principia Mathematica el término latino motus[1] (movimiento) y vis (fuerza). Moméntum es una palabra directamente tomada del latín mōmentum, derivado del verbo mŏvēre 'mover'.

Cantidad de movimiento

De Wikipedia, la enciclopedia libre

La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. En cuanto al nombre, Galileo Galilei en su Discursos sobre dos nuevas ciencias usa el término italiano impeto, mientras que Isaac Newton usa en Principia Mathematica el término latino motus[1] (movimiento) y vis (fuerza). Moméntum es una palabra directamente tomada del latín mōmentum, derivado del verbo mŏvēre 'mover'.

En Mecánica Clásica la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es mediante definición como el producto de la masa (kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con la ley de Newton a través del teorema del impulso y la variación de la cantidad de movimiento. No obstante, después del desarrollo de la Física Moderna, esta manera de hacerlo no resultó la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental.

El defecto principal es que esta forma esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos masivos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones.

La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista la definición es algo diferente. Además, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo. No se debe confundir el concepto de momento lineal con otro concepto básico de la mecánica newtoniana, denominado movimiento angular, que es una magnitud diferente.

Finalmente, se define el impulso recibido por una partícula o un cuerpo como la variación de la cantidad de movimiento durante un período dado:

 

Delta vec{p} = vec{p}_f - vec{p}_0

 

siendo pf la cantidad de movimiento al final del intervalo y p0 al inicio del intervalo.

Contenido

[ocultar]

[editar] Cantidad de movimiento en mecánica clásica

[editar] Mecánica newtoniana

Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de la mecánica newtoniana en estrecha relación con el concepto de velocidad y el de masa. En mecánica newtoniana se define la cantidad de movimiento lineal como el producto de la masa por la velocidad:

 

 vec{p} = m vec{v}


La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" dependía tanto de la masa como de la velocidad: si se imagina una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca es fácil de detener con la mano mientras que el camión no, aunque los dos vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad.

[editar] Mecánica lagrangiana y hamiltoniana

En las formulaciones más abstractas de la mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana, además del momento lineal y del momento angular se pueden definir otros momentos, llamados momentos generalizados o momentos conjugados, asociados a cualquier tipo de coordenada generalizada. Se generaliza así la noción de momento.

Si se tiene un sistema mecánico definido por su lagrangiano L definido en términos de las coordenadas generalizadas (q1,q2,...,qN) y las velocidades generalizadas, entonces el momento conjugado de la coordenada qi viene dado por:

 

p_i = frac{partial L}{partial dot{q}_i}

 

Cuando la coordenada qi es una de las coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas, el momento conjugado coincide con una de las componentes del momento lineal, y, cuando la coordenada generalizada representa una coordenada angular o la medida de un ángulo, el momento conjugado correspondiente resulta ser una de las componentes del momento angular.

[editar] Cantidad de movimiento de un medio continuo

Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal, es decir

vec{p}=int_{m} vec{v} dm

[editar] Cantidad de movimiento en mecánica relativista

La constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas inerciales tiene como consecuencia que la fuerza aplicada y la aceleración adquirida por un cuerpo material no sean colineales en general, por lo cual la ley de Newton expresada como F=ma no es la más adecuada. La ley fundamental de la mecánica relativista aceptada es F=dp/dt.

El Principio de Relatividad establece que las leyes de la Física conserven su forma en los sistemas inerciales (los fenómenos siguen las mismas leyes). Aplicando este Principio en la ley F=dp/dt se obtiene el concepto de masa relativista, variable con la velocidad del cuerpo, si se mantiene la definición clásica (newtoniana) de la cantidad de movimiento.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista, puesto que el intervalo de tiempo efectivo percibido por una partícula que se mueve con respecto a un observador difiere del tiempo medido por el observador. Eso hace que la derivada temporal del momento lineal respecto a la coordenada temporal del observador inercial y la fuerza medida por él no coincidan. Para que la fuerza sea la derivada temporal del momento es necesario emplear la derivada temporal respecto al tiempo propio de la partícula. Eso conduce a redefinir la cantidad de movimiento en términos de la masa y la velocidad medida por el observador con la corrección asociada a la dilatación de tiempo experimentada por la partícula. Así, la expresión relativista de la cantidad de movimiento de una partícula medida por un observador inercial viene dada por:

vec{p} = frac{mvec{v}}{ sqrt{1-cfrac{v^2}{c^2}} } = gamma mvec{v}

donde v2,c2 son respectivamente el módulo al cuadrado de la velocidad de la partícula y la velocidad de la luz al cuadrado y γ es el factor de Lorentz.

Además, en mecánica relativista, cuando se consideran diferentes observadores en diversos estados de movimiento surge el problema de relacionar los valores de las medidas realizadas por ambos. Eso sólo es posible si en lugar de considerar vectores tridimensionales se consideran cuadrivectores que incluyan coordenadas espaciales y temporales. Así, el momento lineal definido anteriormente junto con la energía constituye el cuadrivector momento-energía o cuadrimomento P:

 

mathbf{P} = (P^0, P^1, P^2, P^3) = left(frac{E}{c},p_x, p_y, p_zright)

 

Los cuadrimomentos definidos como en la última expresión medidos por dos observadores inerciales se relacionarán mediante las ecuaciones suministradas por las transformaciones de Lorentz.

[editar] Cantidad de movimiento en mecánica cuántica

La mecánica cuántica postula que a cada magnitud física observable m , le corresponde un operador lineal autoadjunto hat{m}, llamado simplemente "observable", definido sobre un dominio de espacio de Hilbert abstracto. Este espacio de Hilbert representa cada uno de los posibles estados físicos que puede presentar un determinado sistema cuántico.

Aunque existen diversas maneras de construir un operador asociado a la cantidad de movimiento, la forma más frecuente es usar como espacio de Hilbert para una partícula el espacio de Hilbert L^2(R^3) y usar una representación de los estados cuánticos como funciones de onda. En ese caso, las componentes cartesianas del momento lineal se definen como:

 

hat{p}_x = -ihbarfrac{partial}{partial x} qquad  hat{p}_y = -ihbarfrac{partial}{partial y} qquad  hat{p}_z = -ihbarfrac{partial}{partial z}

 

Resulta interesante advertir que dichos operadores son autoadjuntos sólo sobre el espacio de funciones absolutamente continuas de L^2(R^3) que constituyen un dominio denso de dicho espacio. Cuidado con esto, pues los autovalores del operador momento, salvo que nos limitemos a L^2(R^3), no tienen por qué ser reales. De hecho, en general pueden ser complejos.

[editar] Conservación

[editar] Mecánica newtoniana

En un sistema mecánico de partículas aislado (cerrado) en el cual las fuerzas externas son cero, el momento lineal total se conserva si las partículas materiales ejercen fuerzas paralelas a la recta que las une, ya que en ese caso dentro de la dinámica newtoniana del sistema de partículas puede probarse que existe una integral del movimiento dada por:

mathbf{P}(mathbf{r}_i,dotmathbf{r}_i) = sum_{i=1}^N  m_idotmathbf{r}_i


Donde mathbf{r}_i,dotmathbf{r}_i son respectivamente los vectores de posición y las velocidades para la partícula i-ésima medidas por un observador inercial.

[editar] Mecánica lagrangiana y hamiltoniana

En mecánica lagrangiana «si el lagrangiano no depende explícitamente de alguna de las coordenadas generalizadas entonces existe un momento generalizado que se mantiene constante a lo largo del tiempo», resultando por tanto esa cantidad una integral del movimiento, es decir, existe una ley de conservación para dicha magnitud. Pongamos por caso que un sistema mecánico tiene un lagrangiano tiene n grados de libertad y su lagrangiano no depende una de ellas, por ejemplo la primera de ellas, es decir:

L:Usubset R^{2n} to R, qquad (mathbf{q},dot{mathbf{q}}) mapsto L(mathbf{q},dot{mathbf{q}}) = sum_{i,j} dot{q}_ifrac{g_{ij}(q_2,...,q_n)}{2}dot{q}_j  -    V(q_2,...,q_n)


En ese caso, en virtud de las ecuaciones de Euler-Lagrange existe una magnitud conservada p_1, que viene dada por:

 0 = frac{d}{dt}left( frac{partial L}{partial dot{q}_1} right) - frac{partial L}{partial q_1} = frac{d}{dt}left(sum_j g_{ij}dot{q}_jright)  -  0 Rightarrow  p_1 = frac{partial L}{partial dot{q}_1} = sum_j g_{ij}dot{q}_j = mbox{constante}


Si el conjunto de coordenadas generalizadas usado es cartesiano entonces el tensor métrico es la delta de Kronecker gij(q2,...,qn) = δij y la cantidad p_1, coincide con el momento lineal en la dirección dada por la primera coordenada.

En mecánica hamiltoniana existe una forma muy sencilla de ver determinar si una función que depende de las coordenadas y momentos generalizados da lugar o no a una ley de conservación en términos del paréntesis de Poisson. Para determinar esa expresión calculemos la derivada a lo largo de la trayectoria de una magnitud:

 frac{df(mathbf{p},mathbf{q})}{dt} = sum_ileft(frac{partial f}{partial q_i}dot{q}_i + frac{partial f}{partial p_i}dot{p}_iright) = sum_ileft(frac{partial f}{partial q_i}frac{partial H}{partial p_i} + frac{partial f}{partial p_i}frac{partial H}{partial q_i}right) = {f,H}_{pq}


A partir de esa expresión podemos ver que para «un momento generalizado se conservará constante en el tiempo, si y sólo si, el hamiltoniano no depende explícitamente de la coordenada generalizada conjugada» como se puede ver:

0 = frac{dp_j}{dt} = {p_j,H}_{pq} = sum_ileft( 0 cdot frac{partial H}{partial p_i} + delta_{ij}frac{partial H}{partial q_i}right) = frac{partial H}{partial q_j}

 

[editar] Mecánica relativista

En teoría de la relatividad la cantidad de movimiento o cuadrimomento se define como un vector P el producto de la cuadrivelocidad U por la masa (en reposo) de una partícula:

P^alpha = mU^alpha = mfrac{dx^alpha}{dtau}

En relatividad general esta cantidad se conserva si sobre ella no actúan fuerzas exteriores. En relatividad general la situación es algo más compleja y se puede ver que la cantidad de movimiento se conserva para una partícula si esta se mueve a lo largo de una línea geodésica. Para ver esto basta comprobar que la derivada respecto al tiempo propio se reduce a la ecuación de las geodésicas, y esta derivada se anula si y sólo si la partícula se mueve a lo largo de una línea de universo que sea geodésica:

frac{dP^alpha}{dtau} = U^betanabla_beta P^alpha = U^betaleft[mfrac{dU^alpha}{dx^beta}+ mGamma^alpha_{gammabeta}U^gamma right] = mleft[ frac{d^2x^alpha}{dtau^2}+ Gamma^alpha_{gammabeta} frac{dx^gamma}{dtau} frac{dx^beta}{dtau} right]

En general para un cuerpo macroscópico sólido de cierto tamaño en un campo gravitatorio que presenta variaciones importantes de un punto a otro del cuerpo no es posible que cada una de las partículas siga una línea geodésica sin que el cuerpo se fragmente o perdiendo su integridad. Esto sucede por ejemplo en regiones del espacio-tiempo donde existen fuertes variaciones de curvatura. Por ejemplo en la caída dentro de un agujero negro, las fuerzas de marea resultantes de la diferente curvatura del espacio-tiempo de un punto a otro despedazarían un cuerpo sólido cayendo dentro de un agujero negro.

[editar] Mecánica cuántica

Como es sabido en mecánica cuántica una cantidad se conserva si el operador autoadjunto que representa a dicha magnitud u observable conmuta con el hamiltoniano, de modo similar a como en mecánica hamiltoniana una magnitud se conserva si el paréntesis de Poisson con el hamiltoniano se anula. Tomando como espacio de Hilbert del sistema de una partícula dentro de un potencial una representación de tipo L^2(R^3). Se tiene que:

frac{d hat{p}_i}{d t} = -frac{i}{hbar}[hat{p}_i, hat{H}] = - boldsymbol{nabla} V(x_i)

Por tanto, si el potencial no depende de las coordenadas xi, entonces la cantidad de movimiento de la partícula se conserva. Además, la última expresión es formalmente equivalente a la del caso clásico en términos del paréntesis de Poisson. Teniendo en cuenta claro está, que éste es el hamiltoniano cuántico, y que las cantidades físicas, no son las mismas que en la mecánica clásica, sino operadores que representan las cantidades clásicas (observables).

[editar] Véase también

[editar] Referencia

  1. En época clásica mōtĭo y mōtus eran sinónimos ambos derivados del verbo mŏvēre 'mover'.

[editar] Bibliografía

  • Landau & Lifshitz: Mecánica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991. ISBN 84-291-4081-6
  • Halliday, David; Robert Resnick (1960-2007). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons. Chapter 9. 
  • Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 1: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 1-57259-492-6

[editar] Enlaces externos

MATEMÁTICAS3: SIMETRÍA. ¿ES EL DOS UN NÚMERO SIMÉTRICO?. La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.

Simetría

De Wikipedia, la enciclopedia libre
El hombre Vitrubio, de Leonardo da Vinci (ca. 1487), es una representación frecuente de la simetría del cuerpo humano, y por extensión del mundo natural.

La simetría es la exacta correspondencia de todas las partes de una figura respecto de un centro, un eje o un plano.

La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.

En condiciones formales, decimos que un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada, si, cuando aplicado al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan.

La simetría también puede ser encontrado en organismos vivos.

Contenido

[ocultar]

[editar] Simetría en geometría

Grupo de simetría de la esfera.

Cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones. Así se dice que un objeto presenta:

  • Simetría esférica si existe simetría bajo cualquier rotación posible, matemáticamente equivale a que el grupo de simetría de un objeto físico o entidad matemática sea SO(3).
  • Simetría cilíndrica o axial, si existe un eje tal que los giros alrededor de él no conducen a cambios de posición en el espacio, matemáticamente está asociado a un grupo de isometría SO(2).
  • Simetría reflectiva,se define por la existencia de un único plano, matemáticamente está asociado al grupo SO(1) o su representación equivalente mathbb{Z}_2.

Si tratamos además de regiones geométricas infinitas, no acotadas, además puede existir simetría traslacional

[editar] Simetría en física

En física el concepto de simetría puede formularse en una forma no geométrica. Si K es un conjunto de objetos matemáticos del mismo tipo (funciones, formas geométricas, ecuaciones, ...) y G es un grupo de transformaciones que actúa sobre K de tal manera que:

g (in G): K to K

Se dice que un elemento de k0 presenta simetría si:[1]

forall gin G: g(k_0) = k_0

Así por ejemplo varias leyes de conservación de la física son consecuencia de la existencia de simetrías abstractas del lagrangiano, tal como muestra el teorema de Noether. En ese caso K representaría el conjunto de lagrangianos admisibles, k0 el lagrangian[2]

  • Ejemplo 1. Como primer ejemplo consideremos un electrón moviéndose entre dos placas infinitas cargadas uniformemente (dicho sistema se aproxima cierto tipo de condensadores), dado que cualquier tralación paralela a los planos constituye una simetría del sistema físico, entonces tanto la fuerza paralela a dichos planos es nula y por tanto la velocidad paralela a los planos es constante.
  • Ejemplo 2. Consideremos un satélite orbitando alredodor de un astro (planeta o estrella) con simetría esférica perfecta, consideremos además que la velocidad del satelite sea perpendicular a la línea entre el centro del satélite y el astro. En ese caso, el lagrangiano es totalmente invariante respecto a rotaciones según un eje que pase por el centro de la fuente del campo gravitatorio. En este caso debido a la simetría de rotación tanto del lagrangiano como de las condiciones iniciales del movimiento, la velocidad perpendicular al planeta es constante y la trayectoria es un círculo invariante bajo una rotación perpendicular al plano de la órbita.

Estos dos ejemplos anteriores son casos del teorema de Noether, un resultado general que establece que si existe un grupo uniparamétrico de simetría G para el lagrangiano tal que:

forall phi_lambdain G: L(phi_lambda(mathbf{q}),phi_lambda(dotmathbf{q}),t) =  L(mathbf{q},dotmathbf{q},t)

Entonces la cantidad escalar:

left langle left . frac{dphi_lambda}{dlambda}right vert_{lambda=0}, frac{dL}{ddotmathbf{q}}rightrangle = v_1p_1 + ... + v_Np_N

Siendo v el campo vectorial que general el grupo uniparamétrico de transformaciones de simetría, y pi los momentos conjungados de las coordenadas generalizadas de posición.

[editar] Simetría en química

Artículo principal: Simetría molecular

En química la simetría geométrica de las moléculas es importante, particularmente en química orgánica. Además propiedades como su momento dipolar y las transiciones espectroscópicas permitidas (basadas en reglas de selección como la regla de Laporte) pueden predecirse o ser explicadas a partir de la simetría de la molécula. Las simetrías que aparecen en química están asociadas a grupos finitos de isometrías, en concreto son grupos puntuales de transformaciones de isometría.

[editar] Simetría en biología

Ilustración de los distintos tipos de simetría en las formas orgánicas (Field Museum, Chicago).

Simetría en biología es la equilibrada distribución en el cuerpo de los organismos de aquellas partes que aparecen duplicadas. Los planes corporales de la mayoría de organismos pluricelulares exhiben alguna forma de simetría, bien sea simetría radial o simetría bilateral. Una pequeña minoría no presenta ningún tipo de simetría (son asimétricos).

[editar] Simetría radial

Artículo principal: Simetría radial (biología)

La simetría radial es la simetría definida por un eje heteropolar (distinto en sus dos extremos). El extremo que contiene la boca se llama lado oral, y su opuesto lado aboral o abactinal. Sobre este eje, se establecen planos principales de simetría; dos perpendiculares que definen las posiciones per-radiales. Las estructuras en otros planos (bisectrices de los per-radiales) quedan en posiciones inter-radiales. La zona entre los per-radiales y los inter-radiales es la zona ad-radial.

[editar] Simetría bilateral

Artículo principal: Simetría bilateral

La mayoría de especies animales tiene simetría bilateral y pertenece por tanto al grupo Bilateria, aunque hay especies como los erizos y las estrellas de mar que presentan simetría radial secundaria (las fases de desarrollo tempranas y las larvas poseen simetría bilateral que posteriormente se pierde en el adulto). La simetría bilateral permite la definición de un eje corporal en la dirección del movimiento, lo que favorece la formación de un sistema nervioso centralizado y la cefalización.

[editar] Simetría en música

En música clásica, existen composiciones en las que podemos encontrar distribuciones de las notas generadas mediante simetría bilateral, traslación o giros de media vuelta. Algunos ejemplos de autores y composiciones conocidas, son: Bach Preludio, Domenico Scarlatti Sonata en G mayor, Robert Schumann Lotosblume, o Richard Wagner Die Meiestersinger.

[editar] Simetría en alimentación de AC

En el contexto de la electrónica de radiofrecuencia, se habla de una alimentación simétrica de AC cuando ninguno de los conductores está a la masa. Cuando uno de los conductores está a la masa y el otro experimenta las variaciones de tensión, se dice que la alimentación es asimétrica.

Existen importantes aplicaciones tecnológicas basadas en la alimentación simétrica, ya que la alimentación simétrica tiene la gran ventaja de que la pérdida de potencia en la línea de transmisión es un orden de magnitud menor que la alimentación asimétrica por cable coaxial.

  • En efecto, el campo alterno generado por el conductor ascendente es cancelado por el campo generado por su homólogo descendente.
  • Además, la alimentación simétrica en delta permite la simplificación de la construcción.

La alimentación simétrica es por lo tanto la alimentación preferida en la operación QRP y en el modo EME, modos donde cada dB de ganancia cuenta.

[editar] Referencias

  1. Wald, 1984, p. 441-444.
  2. jkj

[editar] Bibliografía

[editar] Enlaces