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MATEMÁTICAS2: DERIVACIÓN. Concepto matemático esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables sus cualidades, propiedades y consecuencias.

Derivación (matemática)

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Derivación.gif

Concepto matemático esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables sus cualidades, propiedades y consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Posiblemente buscaba derivada, Derivación numérica o Diferencia finita.

Contenido

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[editar] Definición de derivación

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable y  p in M , llamaremos derivación en el punto  p_{}^{} a

 forall delta_p : mathcal{F}(M)   longrightarrow{}  mathbb{R} aplicación mathbb{R}-lineal, es decir:forall f,g in mathcal{F}(M), forall lambda in mathbb{R},
  •  delta_p^{}(g+f)= delta_p(g)+ delta_p(f)^{},
  •  delta_p^{}(lambda f)=lambda delta_p(f)^{}.
y tal que  delta_p(f  cdot g) = δp(f)g | p + f | pδp(g),  forall f,g in mathcal{F}(M), es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación

mathcal{F}(M) es el conjunto de funciones diferenciables en M_{}^{}, y es un mathbb{R}-álgebra conmutativa, (es un mathbb{R}-espacio vectorial).f_{|p}^{} es equivalente a  f(p)_{}^{} , es decir, f_{}^{} evaluado en el punto p_{}^{}.

[editar] Ejemplos de derivación

[editar] La derivada parcial

Sea  M= mathbb{R}^n y  p in M, veamos que la aplicación siguiente es derivación:

 

begin{matrix} frac{{partial cdot}}{{partial x_i}}_{|p}: & { mathcal{F}(M) } & longrightarrow{} & mathbb{R}  & {f} & mapsto & {frac{{partial f}}{{partial x_i}}}_{|p} end{matrix}.


Demostración:

Veamos primero que es mathbb{R}-lineal, es decir, que forall f,g in mathcal{F}(M) ; y ; forall lambda in mathbb{R} vemos que:
  • frac{{partial (f+g)}}{{partial x_i}}_{|p}=frac{{partial f}}{{partial x_i}}_{|p}+frac{{partial g}}{{partial x_i}}_{|p},
  • frac{{partial (lambda g )}}{{partial x_i}}_{|p}=lambda frac{{partial g}}{{partial x_i}}_{|p}.
Veamos finalmente que es una derivación:frac{{partial (f cdot g)}}{{partial x_i}}_{|p}=frac{{partial f}}{{partial x_i}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}frac{{partial g}}{{partial x_i}}_{|p}.Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

[editar] La derivada direccional

Sea  M= mathbb{R}^n ,; p in M ; y ; v in M : || v ||=1, de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

begin{matrix} frac{{partial cdot}}{{partial v}}_{|p}: & { mathcal{F}(M) } & longrightarrow{} & mathbb{R}  & {f} & mapsto & {frac{{partial f}}{{partial v}}}_{|p} end{matrix}.

[editar] Definiciones

PlanoTangente.png

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable y  p in M , llamaremos espacio tangente a M_{}^{} en p_{}^{} al mathbb{R}-espacio vectorial de las derivaciones de M_{}^{} en p_{}^{}, notado por  mathcal{T}_p M , y sus elementos se llamaran vectores tangentes a M_{}^{} en p_{}^{}.

[editar] Consecuencias

[editar] Propiedad de la derivación de una función localmente constante

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable,  p in M ,  forall delta_p in mathcal{T}_p M y  f  in mathcal{F}(M) tal que  exists{} U_{}^{} entorno abierto en p_{}^{} donde f(x) = λ,  forall x in M , entonces tenemos que  delta_p^{} f = 0 .

Demostración:

Por linealidad de  delta_p^{} tenemos delta_p ( f ) = delta_p ( lambda ) = delta_p ( lambda cdot 1) = λδp(1),aquí aplicando la condición de derivación a  delta_p^{} (1) tenemos delta_p (1) = delta_p (1 cdot 1) =  delta_p (1) 1 + 1 delta_p^{} (1) =   delta_p (1) + delta_p^{} (1) ,de simplificar, este último, resulta  delta_p^{} (1) = 0 aplicadolo al anterior resulta que  delta_p^{} ( f ) = 0 .

[editar] Ejemplo

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase  mathcal{C}^{ infty } :

  • la función meseta ρ asociada a  (p,V)_{}^{} , donde ρ(x) = 1,  forall x in k subset V, ; k compacto cuyo interior contiene a p_{}^{}.

[editar] Propiedad de la derivación del producto con la función meseta

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable,  p in M , ; forall delta_p in mathcal{T}_p M ,  f  in mathcal{F}(M) y ρ una función meseta asociada a  (p,V)_{}^{} , tenemos que:

 delta_p^{} (rho cdot f) = delta_p( f ) .

Demostración:

Aplicando la regla de Leibniz tenemos que  delta_p^{} (rho cdot f)= delta_p^{}(rho) f(p) + rho(p) delta_p(f), por la propiedad anterior tenemos que   delta_p^{} (rho cdot f)= 0 cdot f(p) + 1 cdot delta_p^{}(f)=delta_p^{}(f).

[editar] Propiedad

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable,  p in M , ; forall delta_p in mathcal{T}_p M y  f,g  in mathcal{F}(M) tal que  exists{} V_{}^{} entorno abierto en p_{}^{} donde f_{|V}^{}=g_{|V}, entonces tenemos que  delta_p^{} ( f ) =  delta_p ( g ) .

Demostración:

Sea ρ una función meseta asociada a  (p,V)_{}^{} , tenemos así que  rho cdot f = rho cdot g_{}^{} en todo  M_{}^{} también  rho cdot f,rho cdot g in mathcal{F}(M) por tanto  delta_p^{} (rho cdot f ) = delta_p ( rho cdot g ) y por la propiedad anterior tenemos que  delta_p^{} ( f ) =  delta_p ( g ) .

[editar] Bibliografía

  • Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 3002.
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