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MATEMÁTICAS2: CONJUNTO BIEN ORDENADO. En teoría de conjuntos, un conjunto bien ordenado es un conjunto no vacío totalmente ordenado tal que todo subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo. Equivalentemente, puede decirse que un conjunto A es bien ordenado si es totalmente ordenado y bien fundado.

Conjunto bien ordenado

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En teoría de conjuntos, un conjunto bien ordenado es un conjunto no vacío totalmente ordenado tal que todo subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo. Equivalentemente, puede decirse que un conjunto A es bien ordenado si es totalmente ordenado y bien fundado.

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[editar] Definición de primer elemento

Si A es un conjunto totalmente ordenado se dice que n es el primer elemento o elemento mínimo de A si satisface:

  • n es un elemento de A
nin A
  • Si m es cualquier elemento de A, entonces n es menor o igual que m
forall min Aquad nleq m

Intuitivamente se entiende que el elemento mínimo es el más pequeño de un conjunto.

[editar] Principio del buen orden

El principio del buen orden es un lema que establece que todo conjunto que esté formado únicamente por números naturales tiene un primer elemento. Es decir, que el conjunto de los números naturales es bien ordenado. El primer elemento de los números naturales es 1.

[editar] Demostración del principio del buen orden

Sea Asubseteqmathbb{N} un conjunto no vacío. Si A no tiene elemento mínimo, entonces existe un conjunto B = mathbb{N}setminus A.

  • 0 debe de estar en B puesto que de no ser así, 0 sería el elemento mínimo de A.
  • Si cada natural menor o igual a n está en B, entonces n + 1 también está en B, porque de lo contrario, n + 1 sería un elemento mínimo de A

Luego entonces por el principio de inducción matemática,B=mathbb{N} y A = emptyset, pero eso contradice la suposición de que A no era un conjunto vacío.

Por lo tanto, A debe tener elemento mínimo.

[editar] Generalización

Si (A, ≤) es un conjunto bien ordenado, y B es un subconjunto de A con la relación de orden inducida y f:AB un isomorfismo, entonces para todo aA, vale af(a).

Dado un número ordinal α, el conjunto de todos los números ordinales β < α es un conjunto bien ordenado. Así mathbb{N} es isomorfo al conjuno ordenado {β: β < ω}.

Teorema. Para todo conjunto bien ordenado (A, ≤) existe un único número ordinal α tal que A sea isomorfo al intervalo inicial de números ordinales {β: β < α}. Vale notar que caso exista un isomorfismo de orden A → {β: β < α}, es único.

Este resultado significa que los conjuntos bien ordenados son clasificados hasta isomorfismo por los números ordinales. Aceptando el axioma de elección, se obtiene el siguiente teorema (que de hecho es equivalente):

Teorema. Para todo conjunto A, existe una relación de orden total ≤ sobre A tal que (A, ≤) sea bien ordenado.


Una generalización de la noción de conjunto bien ordenado es la de conjunto bien fundado.

[editar] Referencias

  • Keith Devlin, The Joy of Sets, Springer Verlag, 1992

[editar] Véase también

[editar] Esquema de temas relacionados

Teoría del orden
 
Bien ordenado
Orden total
Parcialmente ordenado
Preordenado
Relación reflexiva
Relación transitiva
Relación antisimétrica
Relación total
Orden bien fundamentado
 
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1 comentario

petalofucsia -

El orden es algo muy importante claro. Obsérvese sino el cuerpo humano y su sofisticación que hacen posibles la vida.
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