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MATEMÁTICAS: ¿CUÁLES SON LAS LEYES DE LA FORMA O LAS LEYES TRIGONOMÉTRICAS?. La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο "triángulo" + μετρον "medida".

Trigonometría

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Trigonometria 02.svg

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".[1]

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonómetricas de esos ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.

Contenido

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[editar] Unidades angulares

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

  • Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
  • Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
  • Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

[editar] Las funciones trigonométricas

Artículo principal: Función trigonométrica

La trigonometría como rama de las matemáticas realiza su estudio en la relación entre lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría y sus aplicaciones, para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones, que han sobrepasado su fin original, convirtiendo en muchos casos en elementos matemáticos estudiados en sí mismos, y con aplicaciones en los campos más diversos.

[editar] Razones trigonométricas

Trigono b00.svg

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo  alpha , , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

  • El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
    operatorname {sen} , alpha =    frac{overline{CB}}{overline{AB}} =    frac{a}{c}
  • El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
    cosalpha =    frac{overline{AC}}{overline{AB}} =    frac{b}{c}
  • La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
    tanalpha =    frac{overline{CB}}{overline{AC}} =    frac{a}{b}

[editar] Razones trigonométricas recíprocas

Trigono d00.svg
  • La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:
    csc alpha =    frac{1}{operatorname {sen} ; alpha} =    frac{c}{a}

En el esquema su representación geométrica es:

    csc alpha =    overline{AG}
  • La Secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:
    sec alpha =    frac{1}{cos alpha} =    frac{c}{b}

En el esquema su representación geométrica es:

    sec alpha =    overline{AD}
  • La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:
    cot alpha =    frac{1}{tan alpha} =    frac{b}{a}

En el esquema su representación geométrica es:

    cot alpha =    overline{GF}

Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

[editar] Otras funciones trigonométricas

Además de las funciones anteriores existen otras funciones trigonométricas, matemáticamente se pueden definir empleando las ya vistas, su uso no es muy corriente, pero si se emplean dado su sentido geométrico, veamos:

El seno cardinal o función sinc (x) definida:

    operatorname {sinc} ; (x) = frac{sin(x)}{x}

El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y el arco en una circunferencia, tambien se denomina sagita o flecha, se define:

    operatorname {versen} ; alpha = 1 - cos alpha

El semiverseno, se utiliza en navegación al intervenir en el calculo esférico:

    operatorname {semiversen} ; alpha = frac {operatorname {versen} ; alpha }{2}

El coverseno,

    operatorname {coversen} ; alpha = 1 - operatorname {sen} ;  alpha

El semicoverseno

    operatorname {semicoversen} ; alpha = frac { operatorname {coversen} ; alpha }{2}

El exsecante:

    operatorname {exsec} ; alpha = sec alpha - 1

[editar] Funciones trigonométricas inversas

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:

 y= operatorname {sen} , x ,

y es igual al seno de x, la función inversa:

 x = operatorname {arcsen} ; y ,

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

 y= cos x ,

y es igual al coseno de x, la función inversa:

 x = arccos y ,

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

si:

 y= tan x ,

y es igual al tangente de x, la función inversa:

 x = arctan y ,

x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.

[editar] Valor de las funciones trigonométricas

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

RadiánCircunferencia.svgSexaCircunferencia.svg
Circunferencia en radianes.Circunferencia en Grado sexagesimal.

 

 RadianesGrados sexag.senocosenotangentecosecantesecantecotangente
Angulo000.svg 0  ;  0^o ,frac{sqrt{0}}{2}=0frac{sqrt{4}}{2}=10 ,nexists (pm infty) ,!1 ,nexists (pm infty)  ,!
Angulo030.svg frac{1}{6}pi 30^o ,frac{sqrt{1}}{2}=frac{1}{2}frac{sqrt{3}}{2}frac{sqrt{3}}{3}2 ,frac{2sqrt{3}}{3}sqrt{3}
Angulo045.svg frac{1}{4}pi 45^o ,frac{sqrt{2}}{2}frac{sqrt{2}}{2}1 ,sqrt{2}sqrt{2}1 ,
Angulo060.svg frac{1}{3} pi60^o ,frac{sqrt{3}}{2}frac{sqrt{1}}{2}=frac{1}{2}sqrt{3}frac{2sqrt{3}}{3}2 ,frac{sqrt{3}}{3}
Angulo090.svg frac{1}{2} pi90^o ,frac{sqrt{4}}{2}=1frac{sqrt{0}}{2}=0nexists (pm infty) ,!1 ,nexists (pm infty) ,!0 ,

Para el calculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.

[editar] Sentido de las funciones trigonométricas

Trigono c00.svg

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.

Notese que el punto A es el vertice del triangulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:

 A equiv O

a todos los efectos.

La recta r, que pasa por O y forma un ángulo  alpha , sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.

Por semejanza de triángulos:

 frac{; overline{CB} ;}{overline{OC}} = frac{; overline{ED} ;}{overline{OE}}

Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia  overline{OE} y  overline{OB} son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

 operatorname {sen} alpha = overline{CB} ,  cos alpha = overline{OC} ,  tan alpha = overline{ED} ,

tenemos:

 frac{operatorname {sen} alpha}{ cos alpha} = frac{tan alpha}{1}

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

[editar] Primer cuadrante

Trigono 000.svg
Trigono 001.svg
Trigono 002.svg
Trigono 003.svg

Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes, los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de longitud, siendo esta variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.

Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo  alpha ,.

Para  alpha = 0 , , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:

 operatorname {sen} 0 = 0 ,  cos 0 = 1 ,  tan 0 = 0 ,

Si aumentamos progresivamente el valor de  alpha , , las distancias  overline{CB} y  overline{ED} aumentarán progresivamente, mientras que  overline{OC} disminuirá.

Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ángulo aumenta se desplaza sobre ella.

El punto E es la intersección de la circunferencia con el eje x y no varia de posición.

Los segmentos:  overline{OC} y  overline{CB} están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero  overline{ED} no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo  alpha = 0,5 pi , rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia  overline{ED} será infinita.

El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el punto más alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno.

Para un ángulo recto las funciones toman los valores:

 operatorname {sen} frac{pi}{2} = 1 ,  cos frac{pi}{2} = 0 ,  tan frac{pi}{2} = infty ,



[editar] Segundo cuadrante

Trigono 004.svg
Trigono 005.svg
Trigono 006.svg

Cuando el ángulo  alpha , supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento  overline{CB} , el coseno aumenta según el segmento  overline{OC} , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.

La tangente para un ángulo  alpha , inferior a  0,5pi , rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los  0,5pi , rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente  overline{ED} por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo  alpha , aumenta progresivamente hasta los  pi , rad.

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de  alpha , ,  overline{CB} , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para  alpha = 0,5 pi , rad, hasta que valga 0, para  alpha = pi , rad, el coseno, overline{OC} , toma valor negativo y su valor varia desde 0 para  alpha = 0,5 pi , rad, hasta –1, para  alpha = pi , rad.

La tangente conserva la relación:

 tan alpha = frac{operatorname{sen} alpha} {cos alpha}

incluyendo el signo de estos valores.

Para un ángulo llano tenemos que el punto D esta en E, y B y C coinciden en el eje de las x en el lado opuesto de E, con lo que tenemos:

 operatorname {sen} ; pi = 0 ,  cos pi = -1 ,  tan pi = 0 ,

 

[editar] Tercer cuadrante

Trigono 007.svg
Trigono 008.svg
Trigono 009.svg

En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo  alpha = pi , rad a  alpha = 1,5  pi , rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para  pi , rad:

 operatorname {sen} frac{3pi}{2} = -1 ,  cos frac{3pi}{2} = 0 ,  tan frac{3pi}{2} = infty ,

Cuando el ángulo  alpha , aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.

A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento  overline{OC} , el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.

El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno,  overline{CB} .

Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente,  overline{ED} , aumenta igual que en el primer cuadrante

Cuando el ángulo  alpha , alcance  1,5 pi , rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento  overline{CB} será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.

El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación:

    tan alpha =    frac{operatorname{sen} alpha} {cos alpha}

que se cumple tanto en valor como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.

[editar] Cuarto cuadrante

Trigono 010.svg
Trigono 011.svg
Trigono 012.svg

En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo  alpha , entre  1,5 pi , rad y  2 pi , rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para  1,5 pi , rad:

 operatorname {sen} (1,5 , pi ) = -1 ,  cos(1,5 , pi ) = 0 ,  tan(1,5 , pi ) = infty ,

hasta los que toman para  2 pi , rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:

 operatorname {sen} (2 , pi ) = operatorname {sen}; 0 = 0 ,  cos(2 , pi ) = cos 0 = 1 ,  tan(2 , pi ) = tan 0 = 0 ,

como puede verse a medida que el ángulo  alpha , aumenta, aumenta el coseno  overline{OC} en el lado positivo de las x, el seno  overline{CB} disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente  overline{ED} también disminuye en el lado negativo de las y.

Cuando  alpha , , vale  2 pi , ó  0 pi , al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.

Dado el carácter rotativo de las funciones trigonométricas, se puede afirmar en todos los casos:

    operatorname {sen} ; alpha =    operatorname {sen}(alpha + 2 , pi , n )     cos alpha =    cos (alpha + 2 , pi , n )     tan alpha =    tan(alpha + 2 , pi , n )

Que cualquier función trigonométrica toma el mismo valor si se incrementa el ángulo un número entero de rotaciones completas.

 

[editar] Representación gráfica

Representación de las funciones trigonométricas en el plano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.

[editar] Calculo de algunos casos

RelTri-1.svg

Partiendo de una circunferencia de radio uno, dividida en cuatro cuadrantes, por dos rectas perpendiculares, que se cortan en el centro de la circunferencia O, estas rectas cortan a la circunferencia en los puntos A, B, C y D, la recta horizonte AC también la podemos llamar eje x y la recta vertical BD eje y. Dada una recta r, que pasa por el centro de la circunferencia y forma un ángulo α con OA, eje x, y corta a la circunferencia en F, tenemos que la vertical que pasa por F corta al eje x en E, la vertical que pasa por A corta a la recta r en G. Con todo esto definimos, como ya se vio anteriormente, las funciones trigonométricas:

para el seno:

    sen ; alpha =    cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}} =    overline{EF}

dado que:

    overline{OF} = 1

Para el coseno:

    cos ; alpha =    cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}} =    overline{OE}

dado que:

    overline{OF} = 1

Para la tangente:

    tan ; alpha =    cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OE}} =    cfrac{; overline{AG} ;}{overline{OA}} =    overline{AG}

dado que:

    overline{OA} = 1

partiendo de estas definiciones, podemos ver algunos caso importantes:

[editar] Para 90-α

RelTri-2.svg

Si a partir del eje vertical OB trazamos la recta r a un ángulo α en el sentido horario, la recta r forma con el eje x un ángulo 90-α, el valor de las funciones trigonométricas de este ángulo conocidas las de α serán:

El triángulo OEF rectángulo en E, siendo el ángulo en F α, por lo tanto:

    left .       begin{array}{l}          cos ; alpha =cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}}           overline{OF} =1           overline{EF} = sen ; (90-alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    sen ; (90-alpha) = cos ; alpha

en el mismo triángulo OEF, tenemos que:

    left .       begin{array}{l}          sen ; alpha =cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}}           overline{OF} =1           overline{OE} = cos ; (90-alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    cos ; (90-alpha) = sen ; alpha

viendo el triángulo OAG, rectángulo en A, siendo el ángulo en G igual a α, podemos ver:

    left .       begin{array}{l}          tan ; alpha =cfrac{; overline{OA} ;}{overline{AG}}           overline{OA} =1           overline{AG} = tan ; (90-alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    tan ; (90-alpha) = cfrac{1}{tan ; alpha}

[editar] Para 90+α

RelTri-3.svg

Si a partir de eje vertical OB trazamos la recta r a un ángulo α, medido en sentido trigonométrico, el ángulo formado por el eje horizontal OA y la recta r será 90+α. La prolongación de la recta r corta a la circunferencia en F y a la vertical que pasa por A en G.

El triángulo OEF es rectángulo en E y su ángulo en F es α, por lo tanto tenemos que:

    left .       begin{array}{l}          cos ; alpha =cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}}           overline{OF} =1           overline{EF} = sen ; (90+alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    sen ; (90+alpha) = cos ; alpha

En el mismo triángulo OEF podemos ver:

    left .       begin{array}{l}          sen ; alpha =cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}}           overline{OF} =1           overline{OE} = -cos ; (90+alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    cos ; (90+alpha) = -sen ; alpha

En el triángulos OAG rectángulo A y siendo α el ángulo en G, tenemos:

    left .       begin{array}{l}          tan ; alpha =cfrac{; overline{OA} ;}{overline{AG}}           overline{OA} =1           overline{AG} = -tan ; (90+alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    tan ; (90+alpha) = cfrac{-1}{tan ; alpha}

[editar] Para 180-α

RelTri-4.svg

Si sobre el eje horizontal OC, trazamos la recta r a un ángulo α, el ángulo entre el eje OA y la recta r es de 180-α, dado el triángulo OEF rectángulo en E y cuyo ángulo en O es α, tenemos:

    left .       begin{array}{l}          sen ; alpha =cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}}           overline{OF} =1           overline{EF} = sen ; (180-alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    sen ; (180-alpha) = sen ; alpha

en el mismo triángulo OEF:

    left .       begin{array}{l}          cos ; alpha =cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}}           overline{OF} =1           overline{OE} = -cos ; (180-alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    cos ; (180-alpha) = -cos ; alpha

En el triángulo OAG, rectángulo en A y con ángulo en O igual a α, tenemos:

    left .       begin{array}{l}          tan ; alpha =cfrac{; overline{AG} ;}{overline{OA}}           overline{OA} =1           overline{AG} = -tan ; (180-alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    tan ; (180-alpha) = -tan ; alpha

[editar] Para 180+α

RelTri-5.svg

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OC con un ángulo α trazados la recta r, el ángulo del eje OA y la recta r es de 180+α, como se ve en la figura. En el triángulo OEF rectángulo en E se puede deducir:

    left .       begin{array}{l}          sen ; alpha =cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}}           overline{OF} =1           overline{EF} = -sen ; (180+alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    sen ; (180+alpha) = -sen ; alpha

en el mismo triángulo OEF tenemos:

    left .       begin{array}{l}          cos ; alpha =cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}}           overline{OF} =1           overline{OE} = -cos ; (180+alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    cos ; (180+alpha) = -cos ; alpha

en el triángulo OAG, rectángulo en A, vemos que:

    left .       begin{array}{l}          tan ; alpha =cfrac{; overline{AG} ;}{overline{OA}}           overline{OA} =1           overline{AG} = tan ; (180+alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    tan ; (180+alpha) = tan ; alpha

[editar] Para 270-α

RelTri-6.svg

Sobre el eje OD y con un ángulo α medido en sentido horario trazamos la recta r. El ángulo entre el eje OA y la recta r es de 270-α. En el triángulo OEF, rectángulo en E, tenemos:

    left .       begin{array}{l}          cos ; alpha =cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}}           overline{OF} =1           overline{EF} = -sen ; (270-alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    sen ; (270-alpha) = -cos ; alpha

por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos:

    left .       begin{array}{l}          sen ; alpha =cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}}           overline{OF} =1           overline{OE} = -cos ; (270-alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    cos ; (270-alpha) = -sen ; alpha

en el triángulo OAG rectángulo en A, y siendo α el ángulo en G, tenemos;

    left .       begin{array}{l}          tan ; alpha =cfrac{; overline{OA} ;}{overline{AG}}           overline{OA} =1           overline{AG} = tan ; (270-alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    tan ; (270-alpha) = cfrac{1}{tan ; alpha}

[editar] Para 270+α

RelTri-7.svg

Sobre el eje OD y con un ángulo α medido en sentido trigonometrico, trazamos la recta r. El ángulo entre el eje OA y la recta r es de 270+α. En el triángulo OEF, rectángulo en E, tenemos:

    left .       begin{array}{l}          cos ; alpha =cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}}           overline{OF} =1           overline{EF} = -sen ; (270+alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    sen ; (270+alpha) = -cos ; alpha

por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos:

    left .       begin{array}{l}          sen ; alpha =cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}}           overline{OF} =1           overline{OE} = cos ; (270+alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    cos ; (270+alpha) = sen ; alpha

en el triángulo OAG rectángulo en A, y siendo α el ángulo en G, tenemos;

    left .       begin{array}{l}          tan ; alpha =cfrac{; overline{OA} ;}{overline{AG}}           overline{OA} =1           overline{AG} = -tan ; (270+alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    tan ; (270+alpha) = cfrac{-1}{tan ; alpha}

[editar] Para -α

RelTri-8.svg

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OA con un ángulo α medido en sentido horario trazados la recta r, el ángulo del eje OA y la recta r es de , o lo que es lo mismo 360-α como se ve en la figura. En el triángulo OEF rectángulo en E se puede deducir:

    left .       begin{array}{l}          sen ; alpha =cfrac{; overline{EF} ;}{overline{OF}}           overline{OF} =1           overline{EF} = -sen ; (-alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    sen ; (-alpha) = -sen ; alpha

en el mismo triángulo OEF tenemos:

    left .       begin{array}{l}          cos ; alpha =cfrac{; overline{OE} ;}{overline{OF}}           overline{OF} =1           overline{OE} = cos ; (-alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    cos ; (-alpha) = cos ; alpha

en el triángulo OAG, rectángulo en A, vemos que:

    left .       begin{array}{l}          tan ; alpha =cfrac{; overline{AG} ;}{overline{OA}}           overline{OA} =1           overline{AG} = -tan ; (-alpha)       end{array}    right }    longrightarrow  quad    tan ; (-alpha) = -tan ; alpha

[editar] Identidades trigonométricas

Artículo principal: Identidades trigonométricas

Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen seis identidades fundamentales:

[editar] Recíprocas

 operatorname {sen} (alpha) cdot csc (alpha) = 1  operatorname {cos} (alpha) cdot sec (alpha) = 1  operatorname {tan} (alpha) cdot cot (alpha) = 1

[editar] De división

Trigono a00.svg
 tan (alpha) = frac {operatorname {sen} (alpha)}{ cos (alpha)}

[editar] Por el teorema de Pitágoras

Como en el triángulo rectángulo cumple la funcion que:

a^2 + b^2 = c^2 ,

de la figura anterior se tiene que:

 operatorname {sen} (alpha ) =  frac {a}{c}  cos (alpha ) =  frac {b}{c}  c = 1 ,

entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica :

operatorname {sen}^2 alpha + cos^2 alpha = 1 ,

que también puede expresarse:

tan^2 alpha + 1 = sec^2 alpha , 1+cot^2 alpha = csc^2 alpha ,

[editar] Suma y diferencia de dos ángulos

operatorname {sen}(alpha + beta) = operatorname {sen} alpha cos beta + cos alpha operatorname {sen} beta ,

 

operatorname {sen}(alpha - beta) = operatorname {sen} alpha cos beta - cos alpha operatorname {sen} beta ,

 

cos(alpha + beta) = cos alpha cos beta - operatorname {sen} alpha operatorname {sen} beta ,

 

cos(alpha - beta) = cos alpha cos beta + operatorname {sen} alpha operatorname {sen} beta ,

 

 

tan(alpha + beta) = frac{tan alpha + tan beta}{1 - tan alpha tan beta}

 

tan(alpha - beta) = frac{tan alpha - tan beta}{1 + tan alpha tan beta}

[editar] Suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos

operatorname {sen} alpha + operatorname {sen} beta = 2operatorname {sen} left( frac{alpha + beta}{2}right)cos left(frac{alpha - beta}{2} right)

 

operatorname {sen} alpha - operatorname {sen} beta = 2operatorname {sen} left( frac{alpha - beta}{2}right)cos left(frac{alpha + beta}{2} right)

 

cos alpha + cos beta = 2cos left(frac{alpha + beta}{2} right)cos  left(frac{alpha - beta}{2}right)

 

cos alpha - cos beta = -2operatorname {sen} left(frac{alpha + beta}{2} right) operatorname {sen} left(frac{alpha - beta}{2}right)

[editar] Producto del seno y coseno de dos ángulos

cos(alpha) cos(beta) = frac{cos(alpha + beta) + cos(alpha - beta) }{ 2}operatorname {sen}(alpha) operatorname {sen}(beta) = frac{cos(alpha - beta) - cos(alpha + beta) }{ 2}operatorname {sen}(alpha) cos(beta) = frac{operatorname {sen}(alpha + beta) + operatorname {sen}(alpha - beta) }{ 2}cos(alpha) operatorname {sen}(beta) = frac{operatorname {sen}(alpha + beta) - operatorname {sen}(alpha - beta) }{ 2}

[editar] Ángulo doble

operatorname {sen} 2alpha = 2 operatorname {sen}alpha cdot cos alpha ,!

 

cos 2alpha = cos^2  alpha - operatorname {sen}^2 alpha ,!

 

cos 2alpha = 1 - 2 operatorname {sen}^2 alpha ,!

 

cos 2alpha = -1 + 2 cos^2 alpha ,!

 

tan 2alpha = frac{2tan alpha}{1 - tan^2 alpha}

 

operatorname {sen}^2 alpha = frac{1-cos 2alpha}{2}

 

cos^2 alpha = frac{1+cos 2alpha}{2}

[editar] Ángulo mitad

operatorname {sen}left(frac{alpha}{2} right) = sqrt{frac{1-cosalpha}{2}} ,!

 

cos left(frac{alpha}{2} right) = sqrt{frac{1+cosalpha}{2}} ,!

 

tan left(frac{alpha}{2} right) = sqrt{frac{1-cosalpha}{1+cosalpha}}

 

[editar] Otras identidades trigonométricas

operatorname {sen} left ( frac{pi}{2} - alpha right ) = cos alpha ,!cos left ( frac{pi}{2} - alpha right ) = operatorname {sen}alpha ,!operatorname {sen} (pi - alpha) = operatorname {sen}alpha ,!cos (pi - alpha) = - cos alpha ,!operatorname {sen} (2pi - alpha) = - operatorname {sen} alpha ,!cos (2pi - alpha) = cos alpha ,!operatorname {sen}alpha cdot cos alpha + operatorname {sen}beta cdot cos beta = operatorname {sen}(alpha + beta) cdot cos(alpha - beta)
Véase también: Sinusoide

[editar] Seno y coseno, funciones complejas

El seno y coseno se definen en matemática compleja, gracias a la fórmula de Euler como:

operatorname {sen} alpha= frac {e^{ialpha}-e^{-ialpha}}{2i}cos alpha= frac {e^{ialpha}+e^{-ialpha}}{2}

Por lo tanto, la tangente quedará definida como:

tan alpha =frac{1}{i} frac {e^{ialpha}-e^{-ialpha}}{e^{ialpha}+e^{-ialpha}} = {-i} frac {e^{ialpha}-e^{-ialpha}}{e^{ialpha}+e^{-ialpha}}

Siendo i=sqrt{-1} (también puede representarse como j).

[editar] Referencias

  1. «Etimología de la palabra "trigonometría"». Diccionario web de etimología (inglés).

[editar] Bibliografía

  1. Cortés Espinosa de los Monteros, Nuria. Ediciones Didácticas y Pedagógicas S. L.. ed. Actividades para unidad didáctica sobre trigonometría [Recurso electrónico] (2008). ISBN 978-84-936336-3-9. 
  2. Domínguez Muro, Mariano. Universidad de Salamanca. Ediciones Universidad Salamanca. ed. Trigonometría activa: 2 BUP (1985). ISBN 978-84-7800-056-2. 

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

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1 comentario

petalofucsia -

Aquí relacionabamos forma y tipo de inteligencia, ¿puede haber alguna relación?
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