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CIENCIA5: LÍMITE MATEMÁTICO. En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Límite matemático

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En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Contenido

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[editar] Límite de una función

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Artículo principal: Límite de una función

[editar] Definición rigurosa

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

 lim_{xto c} , , f(x) = L

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:

    begin{array}{l}       underset {xto c}{lim} , , f(x) = L iff  forall varepsilon > 0   exists  delta > 0 /            0<|x-c|<delta longrightarrow |f(x)-L|<epsilon    end{array}

Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:

"El límite cuando x tiende a c existe si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c (x no es igual a c) es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

[editar] Límites notables

Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.

[editar] Demostración

Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:

1 < frac{x}{operatorname{sen,}x} < frac{1}{cos x}

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

cos x < frac{operatorname{sen,} x}{x} < 1

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

lim_{xto 0} cos x < lim_{xto 0} frac{operatorname{sen,} x}{x} < lim_{xto 0} 1

Lo que es igual a:

1 < lim_{xto 0} frac{operatorname{sen,} x}{x} < 1

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

lim_{xto 0}frac{operatorname{sen,}(x)}{x}=1

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

  {lim_{x to 0} left (frac {tan x}{x} right )} =   {lim_{x to 0} left (frac {operatorname{sen,} x}{x} right )} cdot lim_{x to 0} frac{1}{cos x}= 1 cdot 1 = 1

El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límite cuando x tiende a infinito.

[editar] Límite de una sucesión

 a_{n} = begin{cases} 16 & mbox{si } n = 0  cfrac{a_{n-1}}{2} & mbox{si } n > 0 end{cases}
Artículo principal: Límite de una sucesión

La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a infty. Decimos que la sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), lo que denotamos como:

lim_{ntoinfty}a_n = a

si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión a a cuando n crece sin cota. Formalmente:

a_n to a Leftrightarrow forallepsilon>0, exists N>0 : forall nge N, |a_n - a|<epsilon

[editar] Propiedades de los límites

[editar] Generales

Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.

  •  lim_{x to a} x = , a ,
  • Límite por un escalar.
 lim_{x to a} kf(x) =, klim_{x to a} f(x), donde k es un multiplicador escalar.
  • Límite de una suma.
 lim_{x to a} (f(x) + g(x)) =, lim_{x to a} f(x) + lim_{x to a} g(x),
  • Límite de una resta.
 lim_{x to a} (f(x) - g(x)) =, lim_{x to a} f(x) - lim_{x to a} g(x),
  • Límite de una multiplicación.
 lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) =, lim_{x to a} f(x) cdot lim_{x to a} g(x),
  • Límite de una división.
    underset {x to a} {lim} ; frac {f(x)}{g(x)} =    frac        {underset {x to a} {lim} ; f(x)}       {underset {x to a} {lim} ; g(x)}    quad    mathrm{si} lim_{x to a} g(x) ne 0

[editar] Indeterminaciones

Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

    infty - infty , quad    frac{infty}{infty} , quad    infty cdot 0 , quad    frac{0}{0} , quad    infty ^0 , quad    1^infty , quad    0^0

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de L'Hopital.

Un ejemplo de indeterminación del tipo textstyle frac{0}{0} es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :

lim_{trightarrow 0}frac{t}{t^2}=frac{0}{0} quad xrightarrow[mathrm{simplificando}]{}  quad  lim_{trightarrow 0}frac{1}{t} = infty

lim_{trightarrow 0}frac{t}{t}=frac{0}{0} quad xrightarrow[mathrm{simplificando}]{}  quad  lim_{trightarrow 0} 1 =1

lim_{trightarrow 0}frac{t^2}{t}=frac{0}{0} quad xrightarrow[mathrm{simplificando}]{}  quad  lim_{trightarrow 0} {t} = 0

[editar] Véase también

[editar] Referencias

[editar] Enlaces externos

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