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MATEMÁTICAS: DERIVADAS. PERMITEN HACER APROXIMACIONES A UN PUNTO. TIENEN POR TANTO MUCHAS APLICACIONES EN GEOMETRÍA Y CÁLCULO DIFERENCIAL (HACIA DÓNDE TIENDE LA LÍNEA). En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia a medida que su entrada cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una cantidad en un punto dado; por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando. La derivada de una función en un valor de entrada dado describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada.

Derivada

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En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia a medida que su entrada cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una cantidad en un punto dado; por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.

La derivada de una función en un valor de entrada dado describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.

El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inverso de la integración en funciones continuas.

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).

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Conceptos y aplicaciones [editar]

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

Introducción geométrica a las derivadas [editar]

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).

Supongamos que tenemos una función y la llamamos f,. La derivada de f, es otra función que llamaremos f',.

f'(x), representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, en el punto x,.

En términos geométricos, esta pendiente f'(x), es "la inclinación" de la línea recta que pasa justo por encima del punto (x, f(x)), y que es tangente a la gráfica de f,.

Al identificar dos puntos muy cercanos en la gráfica y al unirlos mediante una línea recta, una pendiente queda visualizada. Cuanto más cercanos sean los dos puntos que se unen por medio de la recta, la recta se parece más a una recta tangente a la gráfica y su pendiente se parece más a la pendiente de una recta tangente.

Notamos que esta pendiente coincide con la rapidez con que aumenta el valor de la función en cada punto. Dicho de otra manera, si la pendiente en un punto es muy grande, entonces el valor de la función en ese punto crece muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces el valor de la función crece muy despacio en ese punto.

Es decir, tanto la pendiente de la recta tangente como la rapidez de crecimiento en un punto x, de una función f, está dado por f'(x),.

Lamentablemente no todas las funciones poseen derivada, desde el punto de vista geométrico esto se puede deber a varias cosas: por ejemplo hay funciones donde se da el caso de que por un mismo punto pasan muchas rectas tangentes(por ejemplo la función valor absoluto en el punto 0) y no es posible definir de manera única la pendiente a la recta tangente; también se da el caso de que no se puede definir la pendiente a una recta tangente en una función que no es continua; incluso hay funciones donde cualquier recta que pase por uno de sus puntos intersecta en una infinidad de puntos muy cercanos y por tanto no hay recta tangente.

Las funciones que poseen derivada se llaman diferenciables.

Conocer la derivada de una función diferenciable por lo general resulta una tarea sencilla utilizando las técnicas de derivación desarrolladas por Gottfried Leibniz e Isaac Newton, las cuales permiten conocer las derivadas de muchas de las funciones de interés frecuente o bien, simplificar el trabajo para encontrar derivadas menos comunes.

Condiciones de continuidad de una función [editar]

Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del dominio de dicha función, es decir,  lim_{Delta x to 0}Delta y=0, y usando la expresión Δy + y = fx + x), queda  lim_{Delta x to 0}f(Delta x +x)-y=0 donde en este caso, f(x) = y. Ello quiere decir que lim_{x to a}f_{(x)}=f_{(a)}, y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con

 lim_{x to a+}f(x)= lim_{x to a-}f(x)=lim_{x to a}f(x)=f(a) es continua en el punto a.

Condición no recíproca [editar]

La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero las derivadas laterales no; en este caso la función presenta un punto anguloso en dicho punto.

Un ejemplo puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto (0,0) ,. Dicha función es equivalente a la función partida left{begin{matrix} x, & mbox{si }xge 0  -x, & mbox{si }x<0 end{matrix}right.

Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan left{begin{matrix} 1, & mbox{si }x> 0  -1, & mbox{si }x<0 end{matrix}right.

Cuando x , vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.

De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable.

Definición analítica de derivada como un límite [editar]

Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.

En terminología clásica, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad y, cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x,.

En matemáticas coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.

En física coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.

En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto P, de la función por el resultado de la división representada por la relación frac{dx}{dy}, que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto P, de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triangulo rectangulo formado en la gráfica con vertice en el punto P,, por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de frac{dx}{dy} es siempre el mismo.

Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.

En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto a, se define como sigue:


f'(a)=lim_{hrightarrow0} frac{f(a + h) - f(a)}{h},

Si este límite existe, de lo contrario, f' no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.

También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

f'(a)=lim_{xrightarrow a} frac{f(x) - f(a)}{x - a},

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de a,. El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.

El conocimiento de todas las expresiones anteriores y su significado representan el acercamiento epistémico más completo posible en torno a la definición de derivada, y con ello, al aspecto esencial del cálculo diferencial.

Notación [editar]

Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Si f es una función, se escribe la derivada de la función f, respecto al valor x, en varios modos:

se lee "efe prima de equis"

se lee "d, sub x, de f,", y los símbolos D y d deben entenderse como operadores.

se lee "punto x," o "x, punto". Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.

se lee "derivada de y, (f, ó f, de x,) con respecto a x,". Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de f, en el punto a, se escribe:

f^prime(a) para la primera derivada, f^{primeprime}(a) para la segunda derivada, f^{primeprimeprime}(a) para la tercera derivada, f^{(n)}(a), para la enésima derivada (n > 3). (También se pueden usar números romanos).

Para la función derivada de f, en x,, se escribe f^prime(x),. De modo parecido, para la segunda derivada de f, en x,, se escribe f^{primeprime}(x),, y así sucesivamente.

La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de f,, se escribe:

frac{mathrm dleft(f(x)right)}{mathrm dx}.

Con esta notación, se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos modos diferentes:

frac{mathrm dleft(f(x)right)}{mathrm dx}left.{!!frac{}{}}right|_{x=a} = left(frac{mathrm dleft(f(x)right)}{mathrm dx}right)(a).

Si y=f(x),, se puede escribir la derivada como

mathrm dy over mathrm dx

Las derivadas sucesivas se expresan como

frac{mathrm d^nleft(f(x)right)}{mathrm dx^n} o frac{mathrm d^ny}{mathrm dx^n}

para la enésima derivada de f, o de y respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es

frac{mathrm d left(frac{mathrm d left( frac{mathrm d left(f(x)right)} {mathrm dx}right)} {mathrm dx}right)} {mathrm dx}

la cual se puede escribir como

left(frac{mathrm d}{mathrm dx}right)^3 left(f(x)right) = frac{mathrm d^3}{left(mathrm dxright)^3} left(f(x)right).

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos "d" parecen cancelarse simbólicamente:

frac{mathrm dy}{mathrm dx} = frac{mathrm dy}{mathrm du} cdot frac{mathrm du}{mathrm dx}.

En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos "d" no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no-estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.

La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:

dot{x} = frac{mathrm dx}{mathrm dt} = x^prime(t) ddot{x} = x^{primeprime}(t)

y así sucesivamente.

Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales comos velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras y segundas derivadas.

Diferenciabilidad [editar]

Una función con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los puntos del intervalo.

Si una función es diferenciable en un punto x, la función es continua en ese punto. Sin embargo, una función continua en x, puede no ser diferenciable en dicho punto. En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco.

La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido. La derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.

Cociente de diferencias de Newton [editar]

Derivative.png

La derivada de una función f, es la pendiente geométrica de la línea tangente del gráfico de f, en x,. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: (x,f(x)),. La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.

Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número relativamente pequeño h,. h, representa un cambio relativamente pequeño en x,, y puede ser positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los dos puntos  ( x, f(x) ) , y  ( x+h, f(x+h) ) , es

f(x + h) - f(x) over h .
Inclinación de la secante de la curva y=f(x).

Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:

displaystyle f^prime(x) = lim_{h to 0} {f(x + h) - f(x) over h}.

Si la derivada de f , existe en todos los puntos x ,, se puede definir la derivada de f , como la función cuyo valor en cada punto x , es la derivada de f , en x ,.

Puesto que sustituir h , por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se puede cancelar la h , del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.


Sea f , una función continua, y C , su curva. Sea x=a , la abscisa de un punto regular, es decir donde C , no hace un ángulo. En el punto A(a,f(a)) , de C , se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es f^prime(a), el número derivado de f , en a ,.

La función arightarrow f^prime(a) es la derivada de f ,.

Pendiente.png

En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir f^prime(a), se puede saber a qué ritmo crece o decrece la función. El signo de f^prime(a) determina en función f , (si crece o no).

Derivada.png

En este gráfico se ve que donde f , es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto f^prime , es positiva, como en el punto D , (x=d ,), mientras que donde f , es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y f^prime es negativa, como en el punto B , (x=b ,). En los puntos A , y C ,, que son máximo y mínimo local, la tangente es horizontal, luego f^prime(a)=0=f^prime(c).

La función derivada se puede calcular sin dibujar la curva de f. En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la tangente, se tiene la fórmula:

f^prime(x) = lim_{h to 0} frac {f(x+h) -  f(x)} {h}

Por ejemplo, sea

 fleft(xright) = x^2

entonces:

 begin{array}{rcl}  f^prime(x) &=& displaystyle lim_{h to 0} frac{f(x+h) - f(x)}{h}  &=& displaystyle lim_{h to 0} frac{(x+h)^2 -x^2}{h}  &=& displaystyle lim_{h to 0} frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}  &=& displaystyle lim_{h to 0} frac{2xh + h^2}{h}  &=& displaystyle lim_{h to 0} (2x + h)  &=& 2x end{array}

Lista de derivadas de funciones elementales [editar]

Artículo principal: Anexo:Tabla de derivadas
fleft(xright) = af'left(xright) = 0
fleft(xright) = xf'left(xright) = 1
fleft(xright) = axf'left(xright) = a
fleft(xright) = ax + bf'left(xright) = a
fleft(xright) = x^nf'left(xright) = nx^{n-1}
fleft(xright) = sqrt{x}f'left(xright) = frac{1}{2sqrt{x}}
fleft(xright) = e^xf'left(xright) = e^x
fleft(xright) = ln(x)f'left(xright) = frac{1}{x}
fleft(xright) = a^x (a >0)f'left(xright) = a^x ln(a)
fleft(xright) = log_{b}(x)f'left(xright) = frac{1}{xln(b)}
fleft(xright) = frac{1}{x^n} = (x^n)^{-1} = x^{-n}f'left(xright) = -nx^{-n-1} = -nx^{-(n+1)} = frac{-n}{x^{n+1}}
fleft(xright) = operatorname{sen}(x)f'left(xright) = cos(x)
fleft(xright) = cos(x)f'left(xright) = -operatorname{sen}(x)
fleft(xright) = tan(x)f'left(xright)=sec^2(x)=frac{1}{cos^2(x)}=1+tan^2(x)
fleft(xright) = csc(x)f'left(xright) = -csc(x)cot(x)
fleft(xright) = sec(x)f'left(xright) = sec(x)tan(x)
fleft(xright) = cot(x)f'left(xright) = -csc^2(x)
fleft(xright) = operatorname{arcsen}(x)f'left(xright) = frac{1}{sqrt{1-x^2}}
fleft(xright) = arccos(x)f'left(xright) = frac{-1}{sqrt{1-x^2}}
fleft(xright) = arctan(x)f'left(xright) = frac{1}{1+x^2}
fleft(xright) = g(x) pm h(x)f'left(xright) = g'(x) pm h'(x)
fleft(xright) = g(x) cdot h(x)f'left(xright) = g'(x) cdot h(x) + g(x) cdot h'(x)
fleft(xright) = frac{g(x)}{h(x)}f'left(xright) = frac{g'(x) cdot h(x) - g(x) cdot h'(x)}{h^2(x)}
fleft(xright) = k cdot g(x)f'left(xright) = k cdot g'(x)
fleft(xright) = g circ h = g(h(x))f'left(xright) = (g'circ h) cdot h' = g'(h(x)) cdot h'(x)

Ejemplo [editar]

Sea f , la función f(x)=2x^3-9x^2-24x+51 ,, definida sobre el conjunto de los números reales (denotado por mathbb R ,). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:

f^prime(x)=6x^2-18x-24

Para encontrar el signo de f^prime(x), se tiene que factorizar:

begin{array}{rcl}f^prime(x)&=&6(x^2-3x-4)&=&6(x+1)(x-4)end{array}

lo anterior que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado.

También se observa su segunda derivada:

f''(x) = 12x − 18

Dado que f'(-1)=0, y f''(-1)<0, entonces f, tiene un máximo local en -1 y su valor es f(-1)=64,.

Dado que f'(4)=0, y f''(4)>0, entonces f, tiene un mínimo local en 4 y su valor es f(4)=-61,.

Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores de x tales que f'(x)=0,, los cuales son x=-1, y x=4,, tomando en cuenta el teorema del valor medio y que f''(-1)<0, entonces la derivada es negativa en el intervalo (-1, 4), por lo tanto la función es decreciente en el intervalo [-1, 4],.

Al ser una función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por arriba ni por abajo y como su derivada es una función cuadrática entonces no tiene más de 2 puntos con derivada igual a cero, por tanto la función es creciente en el intervalo [4, infty), y en el intervalo (-infty, -1],.

Generalizaciones [editar]

El concepto simple de derivada de una función real de una sola variable ha sido generalizado de varias maneras:

Véase también [editar]

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