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La filosofía de las matemáticas es una rama de la filosofía. Según Michael Dummett puede considerarse que hay cuatro preguntas fundamentales sobre el contenido de la filosofía de las matemáticas:
- ¿Cómo sabemos que nuestras teorías matemáticas son verdaderas?
- ¿Sobre qué son las matemáticas? En otras palabras, si un enunciado matemático es verdadero, ¿qué lo hace verdadero? ¿En virtud de qué es verdadero?
- ¿Las verdades matemáticas son verdaderas por necesidad? Y, si lo son, ¿cuál es la fuente de esta necesidad?
- ¿Cómo es posible aplicar las verdades matemáticas a la realidad externa? Y ¿en qué consiste esta aplicación? (Dummett, 1998, p. 124). También se plantean otras cuestiones como: ¿Qué significado tiene referirse a un objeto matemático? ¿Cuál es la naturaleza de una proposición en matemáticas? ¿Qué relación hay entre lógica y matemática? ¿Cómo se explica la belleza de las matemáticas?
El origen de las matemáticas y el empirismo matemático [editar]
A las preguntas de cómo sabemos que las proposiciones matemáticas son verdaderas y qué es lo que hace a una proposición matemática sea verdadera podemos responder acudiendo al origen de las matemáticas. En esta sección comenzaremos haciendo un breve esbozo de cómo pudieron surgir los primeros conceptos y proposiciones matemáticos para luego explicar cómo este surgimiento podría hacer plausible cierta hipótesis sobre dónde hay que buscar los conceptos matemáticos y qué hace que las proposiciones matemáticas sean verdaderas.
Es indudable que las matemáticas tienen su origen en las actividades de contar y medir, aunque el cómo sea más difícil de establecer. La mejor hipótesis de la que disponemos se basa en los hallazgos arqueológicos en Mesopotamia (Maza 2008).
Entre el milenio VIII y IV a.n.e. existieron fichas que tenían la función de describir cantidades de productos, animales o cualquier elemento de la actividad económica. La forma de hacerlo debe haber sido aditiva durante largo tiempo. Así, en caso de disponer de cinco animales, se representaría tal cantidad por cinco fichas, pongamos por caso, en forma de cilindro. Si, en cambio, se quería registrar cinco jarras de aceite, se emplearían cinco ovoides con una marca. De este modo, cada ficha representaría una unidad del producto cuya naturaleza viene representada por la forma de la ficha y la cantidad presenta una representación aditiva. Con ello tenemos la condición necesaria para la aparición de los números que es el establecimiento de una correspondencia uno-a-uno entre los elementos a contar (animales, jarras) y los elementos contables (fichas); pero todavía no tenemos números.
Pero desde muy pronto las fichas debieron ser transportadas en algún tipo de envoltura, sean bolsas de cuero o similares. En algún momento, la forma de transporte se simplificó envolviendo estas fichas en esferas huecas de barro. Estas burbujas de arcilla pueden en muchas ocasiones presentar signos externos. Esto permite formular una hipótesis sencilla y atractiva sobre la funcionalidad de fichas y burbujas.
Por ejemplo, un agricultor y un ganadero desean hacer un trueque de productos. Uno entregará varios animales a cambio de un número de cestos de grano. Cuando llegan al acuerdo difieren el pago al objeto de que algunos de sus trabajadores acudan a las tierras del otro para recoger el objeto del intercambio. Pero, de algún modo, ha de sellarse el acuerdo. La forma de hacerlo será moldear las fichas que representen las cantidades que cada uno entregará y dárselas al otro envueltas en una burbuja de arcilla. De este modo, los trabajadores de cada uno se presentan en las tierras del otro con la burbuja recibida. Allí mismo se rompe y se encontrarán las fichas que representan aquello que debe entregarse al poseedor de la burbuja.
Conviene prestar atención a las marcas realizadas en el exterior de la burbuja y que se han mencionado anteriormente, pues se supone que representan sobre la burbuja las fichas que permanecen dentro de la burbuja, a modo de recordatorio de lo que contiene. Éste sería el vínculo entre las fichas y los signos exteriores. Así, con el tiempo, estos signos van haciendo inútiles las fichas del interior de la burbuja. Sin las fichas, las burbujas se fueron transformando dando paso a las tablillas donde la representación numérica será plana a finales del IV milenio a.n.e.
Las tablillas así inventadas servían para registrar cantidades diversas del mismo producto o de productos diferentes. Al corresponder, por ejemplo, a entradas distintas por el proveedor, o cualquier otra circunstancia, resulta adecuado registrar también el total de la cantidad registrada. Eso se hacía habitualmente en el reverso de la tablilla. Por ejemplo, una tablilla que registra, en su anverso, cinco jarras de cerveza compradas a Fulano y cuatro compradas a Sótano; en el reverso están las nueve jarras agrupadas. Este es un caso especialmente simple de suma por cuanto lo único que se hace en el reverso es presentar las nueve jarras agrupadas. De este modo, la suma consiste exclusivamente en repetir cada uno de los signos utilizados para contar. Pero desde el punto de vista aritmético, las cantidades a sumar pueden rebasar la simple enumeración de sus elementos, con lo que nos encontramos en una situación más compleja. Y esta es una de las razones de la aparición de los sistemas de numeración, pues es en este tipo de caso cuando se aplica el sistema de numeración vigente para reunir en un solo resultado la acción aritmética emprendida. Esto último solía depender del producto, de la misma manera que por tradición contamos los huevos por docenas y no por decenas y para el tiempo utilizamos el sistema sexagesimal (una hora son sesenta minutos, cada uno de los cuales son sesenta segundos).
Las transacciones y contabilidades comerciales se realizaban pesando los productos objeto de comercio (lana, cereal, estaño, etc.) y tasando su valor en la plata correspondiente, que actuaba a modo de moneda no acuñada. Actuaba en la triple función bajo la cual se constituye la moneda: como unidad de cuenta; como medio de intercambio, dado que podía incluirse como parte de la transacción comercial; y también como medio de pago, tal como se deduce de numerosos documentos de venta y préstamos. Los problemas algebraicos que generaban estas transacciones hicieron que los mesopotámicos fueran capaces de resolver sistemas de ecuaciones lineales de hasta tres incógnitas o ecuaciones de segundo grado.
Las primeras unidades de medida parecen haber sido las referidas al peso, como es de suponer dado lo dicho antes. Sin embargo, durante el tercer milenio a.n.e. se fueron constituyendo unidades cada vez más estandarizadas tanto de longitud, como de superficie o volumen. Ello fue impulsado por el nacimiento de las ciudades - estado y el crecimiento de las relaciones comerciales entre ellas, así como entre el pueblo y la ciudad, hechos que impulsaban el establecimiento de acuerdos para realizar medidas comunes de los productos intercambiados.
Las unidades de medida de superficie eran cuadrados y rectángulos (más secundariamente, los triángulos) de determinadas longitudes en sus lados. Es fácil darse cuenta de que "enlosar" mediante estas unidades requería multiplicar, es decir, sumar reiteradamente. Es por ello que las escuelas de escribas debían dedicar un cierto tiempo a la práctica de la operación de multiplicar dos longitudes a lo que hay que unir la práctica subsiguiente en la transformación de las unidades resultantes de esta operación en sus múltiplos. El objetivo básico en este aspecto consistía en expresar el resultado de la medida con la menor cantidad de unidades posible, al objeto de que operaciones posteriores ofreciesen menos dificultad.
En el caso de un triángulo rectángulo de cateto una unidad, el área puede obtenerse sin más que multiplicar la mitad de la base por la altura, es decir, que el área de un triángulo de estas características se toma como la mitad del cuadrado de la misma base y altura que el triángulo, una relación que puede extenderse a cualquier otro triángulo, en particular uno equilátero (que, sin embargo, presenta el inconveniente de que la altura no es un valor inmediato, pero que también se puede calcular mediante raíces cuadradas, aunque el algoritmo utilizado por los mesopotámicos era un tanto inexacto).
Los mesopotámicos conocían lo que luego se ha llamado el teorema de Pitágoras en el sentido de que usaban longitudes de cuerda de 3, 4 y 5 unidades de largo para formar un gran ángulo recto para la construcción y para la medición de terrenos.
La medición de campos irregulares se hacía troceando el campo en cuadrados, rectángulos y triángulos. Por otra parte, se pueden utilizar estas figuras simples para aproximarse a superficies curvilíneas. De una forma parecida se actuaba con las unidades de volumen necesarias para calcular las medidas y trabajos de canales y edificios.
Todo lo dicho anteriormente ha intentado transmitir la mejor hipótesis sobre cómo se obtuvieron los primeros conceptos y verdades matemáticos que sin duda son los propios de la geometría y la aritmética. Pero también hace plausible que los conceptos matemáticos proceden, en cierta medida, de cómo es el mundo físico, del mundo que captamos mediante nuestro sentidos.
Para John Stuart Mill (1806-1873) los conceptos matemáticos proceden del mundo físico y las verdades de la matemática son verdades sobre el mundo físico, aunque de un carácter más general. Las verdades matemáticas serían las verdades más generales de todas (Dummett 1998, pp. 125-126).
Una posición que puede ser fácilmente confundida con la de Mill es la de David Hume (1711-1776) Para Hume, los conceptos matemáticos tienen su origen remoto en la sensación que luego es transformada por la actividad de la mente pero las verdades matemáticas son verdades sobre las relaciones entre las ideas, no sobre lo percibido.
En su Tratado de la Naturaleza Humana (Hume 1739, Libro I, Parte II), Hume mantiene que nuestros sentidos dan lugar a las impresiones que son copiadas por nuestras ideas, las cuales son reorganizadas por nuestra actividad mental dando lugar a ideas complejas. Un tipo de idea compleja son las relaciones y dentro de ellas Hume destaca aquellas que dependen enteramente de la comparación de ideas: la semejanza, los grados de cualidad y las proporciones de cantidad. De estas tratan las matemáticas que, para Hume, son básicamente la geometría y la aritmética.
Sin embargo, dicha reorganización que da lugar a las ideas complejas hace que éstas no sean una fiel reproducción de las impresiones recibidas. Hume introduce cierta creatividad de la mente mediante la imaginación a la hora de producir las ideas complejas de las matemáticas, las figuras y los números. Ambos se originan a partir de lo inexacto de la percepción sensible (Tratado SB 45 y ss.) mediante el mismo proceso que conduce a que creamos en la existencia continua de los cuerpos (Tratado SB 198). Para Hume, por tanto, las ideas matemáticas son producto, hasta cierto punto, de nuestra actividad mental. Por otra parte, Hume insiste en que las verdades matemáticas lo son sobre las relaciones entre las propias ideas y no sobre las relaciones de lo representado por las ideas.
Sin embargo, ya Renato Descartes (1596-1650) había interpretado de otro modo el conocimiento matemático, señalando en la "Sexta meditación" de sus Meditaciones metafísicas que "cuando imagino un triángulo, aún no existiendo acaso una tal figura en ningún lugar, fuera de mi pensamiento, y aun cuando jamás la haya habido, no deja por ello de haber cierta naturaleza, o forma, o esencia de esa figura, la cual es inmutable y eterna, no ha sido inventada por mí y no depende en modo alguno de mi espíritu; y ello es patente porque pueden demostrarse diversas propiedades de dicho triángulo" E insiste en que "Y nada valdría objetar en este punto que acaso dicha idea del triángulo haya entrado en mi espíritu por mediación de los sentidos, a causa de haber visto yo alguna vez cuerpo de figura triangular; puesto que yo puedo formar en mi espíritu infinidad de otras figuras, de las que no quepa sospechar ni lo más mínimo que hayan sido objeto de mis sentidos, y no por ello dejo de poder demostrar ciertas propiedades que atañen a su naturaleza".
Descartes apunta a dos características que hacen que el saber matemático sea peculiar. En primer lugar, que no puede ser producto de la actividad de mi mente, pero tampoco, en segundo lugar, producto del mundo físico percibido. La razón es, para lo primero, el carácter demostrativo de las matemáticas. Para lo segundo, la creatividad matemática que supera lo que el mundo de los sentidos me puede ofrecer.
El carácter axiomático y demostrativo de las matemáticas. El logicismo [editar]
Como ha mostrado la exposición anterior sobre las matemáticas mesopotámicas, éstas tenían un carácter práctico. Ello se ve confirmado por el hecho de que, en las tablillas conservadas en los museos, no hay textos seguidos donde se explique nada y sólo de forma excepcional aparecen procedimientos generales y no ejemplos con números. No obstante, los problemas concretos están organizados en tipos y ordenados empezando por los más simples, a los que se tratan de reducir los más complicados. De manera que implícitamente existe una percepción abstracta y general de los procedimientos, aunque se expongan mediante ejemplos numéricos, a la manera en que los manuales de latín incluyen paradigmas concretos de declinaciones y conjugaciones (por ejemplo en latín, rosa-rosae, amo-amas-amare). Es decir, lo importante no son los valores numéricos, sino el esquema subyacente que ejemplifican. Así el rasgo común de estas matemáticas es que consisten en técnicas de cómputo numérico y no en indagación teórica sobre propiedades aritméticas, geométricas o algebraicas. De hecho, no hay nada semejante a una demostración.
Pero los antiguos griegos darán a las matemáticas la forma demostrativa (o deductiva, no entraré en esta importante diferencia) en la que se nos presenta tradicionalmente (Solís y Sellés 2005, caps. 1 y 2). El impulso definitivo de esta forma de las matemáticas hay que buscarlo, por una parte, en la escuela eleática (s. VI a.n.e.) y en su primer representante Parménides (s. VI a.n.e.). De él procede la primera argumentación deductiva consciente que conservamos; en ella basaba su doctrina de que el cambio es una apariencia. El hincapié en la prueba de los eléatas, su fijación por el argumento adecuado, se extenderá a todos los aspectos del saber en Grecia incluyendo las matemáticas.
Por otra parte, parece que fue Tales de Mileto (s. VII a.n.e.) es el primero que da alguna especie de demostración de las siguientes proposiciones: que son iguales los ángulos opuestos formados por dos rectas que se cortan; que dada la base de un triángulo y sus dos ángulos queda determinado el resto; que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto y el Teorema de Tales.
Por su parte, a los seguidores de Pitágoras (s. VI a.n.e.) se debe la demostración de la irracionalidad de raíz de 2 (esto es, que no se puede expresar como una razón -como un quebrado- entre dos números naturales). Y es precisamente novedad absoluta el hecho de que lo demostrado es inseparable de la prueba demostrativa, a diferencia de todos los demás casos expuestos en que la verdad del teorema se conocía antes de una prueba lógicamente rigurosa. Los antiguos griegos siempre fueron conscientes de que ellos eran los inventores de esa organización demostrativa del saber matemático.
Los pitagóricos también tienen un importante papel en la demostración de proposiciones a partir de otras tomadas como principios o "elementos", organizando el corpus de conocimientos deductivamente. Es lo que ahora se conoce como axiomatización, pues a dichos elementos o principios se los llama actualmente axiomas. La primera organización en "elementos" que se conoce aparece en la segunda mitad del siglo V a.n.e. por obra de Hipócrates de Quíos, quien sin embargo no era pitagórico.
Las dos obras culminantes que conservamos de este quehacer griego, aparecieron separadas por una generación, son Los Analíticos de Aristóteles (s. IV a.n.e.) y Los Elementos de Euclides (s. IV a.n.e.). En la primera obra se formula una parte llamada silogística de lo que luego hemos conocido por teoría lógica cuantificacional clásica. La Lógica Cuantificacional Clásica permite ver parte de los razonamientos deductivos en una forma demostrativa rigurosa. En la segunda obra ya citada, Los Elementos de Euclides, se organiza axiomáticamente, en elementos, la geometría conocida como Geometría Euclídea en honor al propio Euclides. Se trata de la geometría que utilizamos al tratar con segmentos, figuras planas, polígonos, círculos, sólidos geométricos, áreas, volúmenes, etc. Aquí la demostración mezcla la deducción con procedimientos constructivos propios de la demostración en geometría euclídea.
Como ilustración de qué es y cómo procede una axiomatización se puede acudir a la Teoría de Conjuntos. La teoría de conjuntos matematiza un concepto relativamente sencillo de entrada como es el de conjunto, colección o clase. Pensemos en ese concepto: ¿qué es un conjunto? Podemos dar sinónimos: colección de cosas, clase de cosas, reunión de cosas. O podemos analizar lo que indican en común esas expresiones: cosas diferentes, llamadas elementos, que forman un todo. Pero lo que busca el matemático es la exactitud ¿cuándo podemos decir que tenemos un conjunto? La respuesta que encontraron los matemáticos fue la pertenencia. La Teoría de Conjuntos es una definición de "conjunto" pero también de "pertenencia". Lo que caracteriza a un conjunto es que a él le pertenecen sus elementos; o dicho de otra manera, los elementos de un conjunto son sus miembros, los elementos de un conjunto son miembros del conjunto.
¿Cómo se determina la pertenencia a un conjunto? ¿Cómo determino qué cosas pertenecen a un conjunto? Todas las cosas que tienen la misma característica o relación forman un conjunto determinado. En lógica se diría que todas lo que comparten el mismo predicado forma un conjunto. Por ejemplo, el conjunto de la cosas que son blancas, el conjunto de los coches, el conjunto de los gatos, el conjunto de los números naturales, el conjunto de las personas que se aman, el conjunto de los bosques de más de 10 hectáreas, el conjunto de los conjuntos que no son elementos de sí mismos, etc.
El último conjunto citado tiene un papel fundamental en la filosofía de la matemática, pues plantea la denominada Paradoja de Russell, llamada así en honor a su descubridor Bertrand Russell (1872-1970), la cual obligó a transformar el criterio para determinar cuándo tenemos un conjunto.
Fue el matemático Ernst Zermelo quien propuso la corrección al concepto de conjunto que mejor ha caído entre los matemáticos y que se denomina Axioma de Especificación. Zermelo propuso que formásemos conjuntos a partir de conjuntos ya dados. Por tanto, un conjunto ya no venía dado solamente por el conjunto de cosas que tenían en común una propiedad o una relación (un predicado, para la lógica) sino que un conjunto viene dado de la siguiente manera: tenemos un conjunto A, dentro de ese conjunto A tenemos el conjunto B de las cosas que tienen tal propiedad o relación (o tal predicado).
El problema de esa corrección es que hay que garantizar que existen conjuntos previamente dados para poder aplicar el nuevo criterio. Por tanto, hacen falta los axiomas necesarios que dicen que existe lo siguiente: un sólo conjunto sin elementos, que existen infinitos conjuntos, que se pueden formar conjuntos uniendo otros conjuntos y que existe un conjunto infinito.
A partir de estos elementos es posible deducir casi todas las propiedades que se consideran propias de un conjunto, si se añade el criterio de identidad de conjuntos que viene recogido en el Axioma de Extensionalidad: dos conjuntos son el mismo si tienen los mismos elementos. Como se acaba de decir con esto axiomas es posible deducir casi todas las propiedades que caracterizan un conjunto; cuando se trata de matemáticas complicadas hacen falta otras características y, consiguientemente, nuevos axiomas pero no es necesario entrar en ello.
Así pues, desde los griegos, las matemáticas han presentado el aspecto axiomático - demostrativo que las caracteriza. Recordemos que Descartes hacía del carácter demostrativo de las matemáticas la razón para separarlas de los sentidos, de la percepción del mundo físico. La deducción, como una forma de demostración, también se da en las ciencias empíricas, pero tiene un papel distinto. En física, por ejemplo, puede comenzarse aceptando como conceptos básicos los obtenidos por observaciones inexactas y como sus primeros principios las generalizaciones de tales observaciones. Pero rápidamente el físico refina sus conceptos y hace observaciones más exactas. Procede a construir una teoría, tan precisa como sea posible y puede así hacer complejas deducciones desde ella. Pero el propósito científico de hacer esto es llegar a resultados que puedan ser puestos a prueba mediante una observación ulterior; si ocurre una refutación habrá que revisar la teoría. Por el contrario, en matemáticas, el objetivo de los razonamientos deductivos es establecer directamente la verdad de la conclusión obtenida, establecer la verdad del teorema. Imre Lakatos ha ilustrado que un contraejemplo convincente a un pretendido teorema puede llevar a la revisión de los axiomas de una teoría. Pero en matemáticas, como Ludwig Wittgenstein (1889-1951) señaló, es suficiente que el contraejemplo sea descrito, mientras que en una teoría empírica debe garantizarse que existe el contraejemplo encontrándolo en el mundo físico (Dummett 1998, p. 126).
De este modo, las matemáticas tienen una estructura axiomática y deductiva que las hace peculiares: las proposiciones matemáticas o verdades matemáticas son teoremas, lo cual quiere decir que han sido deducidas. Las premisas últimas de la deducción en las teorías matemáticas son los axiomas. Éstos, como ya hemos visto, no han sido deducidos, por eso se llaman “axiomas” y no “teoremas”. Pero ¿qué decir entonces de la verdad de los axiomas?
Existe una concepción de las matemáticas que ha querido hacer de la deducción el rasgo diferenciador exclusivo de las matemáticas. Se trata del logicismo. Sus representantes más importantes fueron Gottlob Frege (1848-1925) y B. Russell y sus orígenes se pueden rastrear en Leibniz. B. Russell escribió junto con Alfred North Whitehead (1861-1947) una obra fundamental en la lógica y la filosofía de la matemática del siglo XX: Principia Mathematica.
Los logicistas, como la mayor parte de los estudiosos de la matemática, piensan que la inferencia de los teoremas a partir de los axiomas en matemáticas se puede hacer por mera deducción. Las deducciones son razonamientos en los que, a menos que cuestionemos las reglas lógicas de acuerdo con las cuales procede la deducción, sólo podemos cuestionar la conclusión si cuestionamos las premisas, dicho de otra manera, si las premisas son verdaderas la verdad de la conclusión está garantizada.
Los logicistas pensaron que es posible deducir las matemáticas sólo de las propias teorías que formulan las reglas de la deducción, de tal modo que las matemáticas solo serían una complicación de la lógica, pero no distinta de ella. Pero la Paradoja de Russell echó por tierra esta concepción. Los axiomas a los que hay que acudir para resolverla, en opinión de la mayoría de los lógicos y matemáticos, no se pueden considerar como parte de la lógica. Por tanto, se suele pensar que el logicismo no consigue demostrar que todas las matemáticas se deducen de las teorías lógicas.
Platonismo. Conocimiento a priori y conocimiento a posteriori [editar]
A la pregunta por la verdad de los axiomas de las matemáticas, hemos respondido en primera instancia, con el empirismo y luego con el logicismo. El empirismo radical de Mill hace de las verdades matemáticas las verdades más generales sobre el mundo físico. El carácter axiomático - deductivo de las matemáticas parece desmentir esa posición. El logicismo, por el contrario, hace de las matemáticas una parte de las teorías de la deducción, pero se enfrenta a sus propios problemas. La postura de Hume hace de las matemáticas unos inventos conceptuales cuya justificación está en su utilidad para calcular sobre el mundo.
Sin embargo, existe una doctrina más antigua que proviene de Platón (s. V a.C.). Platón mantenía que nuestro mundo físico, conocido por los sentidos, era una copia imperfecta de otro mundo de donde procede el alma humana y los modelos de las cosas del mundo físico, a los cuales denomina ideas o formas (cuidado: no hay que confundir "idea" en el sentido de Platón, con el sentido mental de "idea" -que es el uso de Hume). Nuestra alma porta con ella el conocimiento de las ideas que son olvidadas en el nacimiento, por lo que conocer es recordar ese conocimiento que, aunque olvidado, permanece en nuestra alma. Simplificando, la doctrina de Platón es que conocer en matemáticas es conocer cierto tipo de ideas, por ejemplo los números o las ideas que se representan mediante figuras (de triángulo, círculo, etc). Las matemáticas sirven para conocer el mundo físico en la medida en que éste es una copia de las ideas o formas.
Podemos ver la motivación de las tesis platónicas en la geometría. Un círculo, por ejemplo, se define en geometría como una figura plana compuesta por puntos que equidistan de uno dado. Pero nadie ha visto en realidad esa figura ni se podrá ver jamás. La forma circular exacta de los geómetras no se encuentra entre los objetos sensibles. Lo que vemos con frecuencia son figuras –un plato, una rueda, la luna llena–, objetos materiales que también llamamos círculos y que resultan ser, en la forma, aproximaciones al círculo definido en geometría, pero no ese círculo mismo. Platón extrae entonces la conclusión de que la forma de círculo ha de existir, no en el mundo físico, sino en el mundo de las formas.
Ha habido otras versiones de platonismo. La versión de los filósofos pertenecientes al racionalismo moderno clásico (s. XVII) es tributaria de un platonismo cristianizado. Un ejemplo de racionalista clásico es el ya citado Renato Descartes. Para Descartes, como para los racionalistas clásicos en general, el mundo de las ideas se imagina como la mente de Dios y nuestra alma es creada por éste con ciertas ideas innatas (aquí "idea" también tiene un sentido mental) que nosotros podemos encontrar en nuestra mente con el debido entrenamiento. Si volvemos al ejemplo dado sobre los conjuntos, un racionalista diría que la idea de conjunto es una idea innata, puesta por Dios, y que lo que hacemos es analizarla para obtener los axiomas y de ahí deducir teoremas.
Como característica general, el platonismo en matemáticas, también denominado realismo matemático, sostiene básicamente dos cosas: primera, que las matemáticas son independientes de la mente humana por lo cual los seres humanos no inventan las matemáticas, sino que las descubren; segunda, que ese descubrimiento no se hace mediante la experiencia sensible del mundo físico sino mediante otra forma de contacto con los entes matemáticos.
Respecto a esto último ya hemos visto los casos de Platón y el racionalismo clásico. En el siglo XX un platónico importante ha sido Kurt Gödel (1906-1978). Gödel creía en una realidad matemática objetiva que podía ser percibida de una forma análoga a la percepción sensorial pero distinta de ella.
El platonismo introduce una forma diferente de conocer frente a la que proporciona nuestra percepción. Este tipo de conocimiento ha recibido el nombre de conocimiento a priori. Cuando el conocimiento de la verdad de una proposición puede obtenerse independiente de la experiencia sensible del mundo físico se dice que su verdad es conocida a priori; en caso contrario la verdad de la proposición se conoce a posteriori (para abreviar, se habla de proposiciones a priori y proposiciones a posteriori).
Para el platónico las matemáticas son conocidas a priori. No solamente los teoremas se deducen de axiomas, sino que los propios axiomas no proceden de la experiencia sino, en el caso de Platón, del recuerdo del mundo de las formas, en el caso de los racionalistas clásicos del análisis de ideas innatas puestas por Dios en nuestra mente y en el caso de Gödel por una especie de intuición que nos pone en conexión con los entes matemáticos.
Por el contrario, los autores empiristas niegan que haya un mundo objetivo diferente del que proporciona la experiencia sensible. Así Hume, quien se enfrentó al racionalismo negando las ideas innatas. Por tanto, para el empirismo, la única fuente de conocimiento objetivo es la experiencia. Para estos filósofos, las matemáticas son un instrumento para tratar con el mundo de la experiencia; así, para Hume, las ideas matemáticas se toman en parte de la experiencia y también, como ya se ha señalado antes, de la actividad de la mente. Sin embargo, para Hume, también las verdades matemáticas son a priori (en la terminología de Hume, relaciones de ideas), porque las verdades matemáticas dependen de las relaciones que existen entre nuestros conceptos independientemente de la procedencia de éstos. Es decir, para Hume las verdades de las matemáticas son a priori porque no dependen de la experiencia del mundo físico. Aquí Platón y Hume coinciden. Pero para Hume, a diferencia de Platón, los conceptos matemáticos son invenciones más o menos útiles (no son innatos o entramos en contacto con ellos). Hume es nominalista, mientras que Platón es un realista de los universales. Veamos qué quiere decir esto.
La universalidad de las matemáticas. Realismo y nominalismo de los universales [editar]
Establecer regularidades siempre se ha considerado un conocimiento deseable del mundo porque nos permiten saber a qué atenernos, prever cómo se comportan las cosas. Ejemplos de regularidades son:
- A la noche le sigue el día;
- Los objetos sólidos no atraviesan paredes si no las rompen;
- Juan fuma;
- Los pájaros son aves que vuelan;
- Tu perro muerde;
- La velocidad media de un cuerpo es el espacio recorrido dividido por el tiempo transcurrido;
- Mi gato es cariñoso;
- La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos (teorema de Pitágoras);
- Pedro y Sandra se aman;
- El pez grande se come al chico;
- Esta mesa de la derecha es mayor que esta otra de enfrente;
- Este muro es alto;
- El yeso sin aditivos es blanco.
Las regularidades anteriores nos permiten saber que no debo intentar salir de la habitación si no es por la puerta, que más vale no acercarse al perro de Fulano, mientras que acercarse a mi gato no ofrece peligro, que si cogí el coche a las tres y llegué a las seis e hice 300 Km., la velocidad media de mi coche fue de 100 Km/h, etc.
Las regularidades de nuestra lista, podemos dividirlas en dos clases. Por un lado, tenemos aquellas regularidades que se refieren a cosas concretas (3, 5, 7, 9, 11, 12): a una o varias personas (Pedro y Sandra, Juan), a animales (mi gato, tu perro) o a cosas (la mesa de la derecha y la mesa de enfrente, este muro, etc.); por el otro, están las regularidades que se refieren a tipos de cosas (1, 2, 4, 6, 8, 10, 13). En el caso de estas últimas, cuando decimos “Los pájaros vuelan”, no hablamos de ese o aquel pájaro sino de todos los pájaros, de todo aquello que es un pájaro; y lo mismo pasa con los días y las noches, y los objetos sólidos y las paredes. Al hablar del yeso puro, estamos hablando de todos los trozos de yeso puro. En el caso 10, no estamos hablando de un pez grande y otro chico, sino de los peces grandes y pequeños en general. Las proposiciones que formulan las regularidades sobre tipos de cosas se denominan proposiciones universales o generales, por lo que podemos hablar de regularidades generales. En el caso de las primeras, las regularidades que se refieren a cosas concretas, las proposiciones que las formulan se denominan singulares.
La ciencia suele tener interés en las proposiciones generales o universales. Por supuesto que si tenemos que resolver un problema nos interesa el problema concreto. Por ejemplo, podemos querer resolver el problema de la medida que debe tener un tablón de madera de modo que apoyándolo sobre un muro nos permita subir a él empujando una carretilla. Pero el que la resolución sea rápida y sencilla dependerá de que quien debe resolverlo sepa un poco de geometría y sepa cuál es la inclinación óptima para poder empujar una carretilla cuesta arriba. Y saber geometría implica conocer ciertas verdades generales sobre rectas, círculos, triángulos, etc. que aplicaremos en el caso concreto que nos interesa.
Para un platónico, algunas proposiciones generales o universales hablan de las ideas o formas. Las ideas o formas son un tipo especial de entidades, no sólo porque, como se ha visto en la sección anterior, están en otro mundo, sino porque las ideas o formas son generales o universales. Al entrar en contacto con las formas, entramos en contacto con algo que es común a todo aquello de lo que decimos que tiene tal o cual forma. La forma de la justicia es algo que comparten todas las acciones justas. Igualmente la triangularidad es algo que comparten todos los triángulos. Nuestro conocimiento de la justicia o de la triangularidad es universal, vale, respectivamente, para todo lo justo y para todo lo triangular. Frente a las entidades particulares (para abreviar los particulares), como esta injusticia o este triángulo, están las entidades universales (para abreviar los universales), la justicia o la triangularidad. En consecuencia, el platónico se compromete con la tesis de que los universales existen independientemente de los términos generales de nuestro lenguaje. Esta postura se denomina realismo de los universales.
Si se entiende por concepto el significado de un término general, el realismo de los universales puede formularse como la tesis de que los universales existen independientemente de los conceptos que tenemos cada uno en nuestra mente.
La postura contraria es la del nominalista. Un nominalista, como es el caso de Hume, niega que existan los universales independientemente de nuestro lenguaje.
Y esto tiene interesantes consecuencias para la filosofía de las matemáticas. Recuérdese lo que se ha dicho antes sobre el origen de nuestras ideas matemáticas para Hume. Nuestros sentidos, según Hume, dan lugar a las impresiones que son copiadas por nuestras ideas, las cuales son reorganizadas por nuestra actividad mental dando lugar a ideas complejas cuyas relaciones ya no depende más que de las ideas mismas dando lugar a las relaciones de ideas cuyas verdades no dependen de la experiencia. Las matemáticas tratan de ciertas relaciones de ideas.
Pero, para Hume, las ideas son siempre particulares. Mi idea de triángulo o de círculo o de conjunto es siempre la idea de este triángulo, de este círculo o de este conjunto. La demostración matemática procede realmente utilizando una figura particular y, por tanto, una idea particular, y no una idea general. Sólo mediante generalización se alcanza la validez universal de la demostración realizada. Y esa generalización, según Hume, se alcanza mediante el lenguaje, mediante los términos generales. Es decir, lo relevante aquí es que, para Hume, al operar geométricamente no manejamos términos generales, conceptos o ideas generales sino particulares. Y es que Hume tiene una concepción visual de las ideas, una idea es como un espectáculo ante un espectador. Esto, que en general es un defecto de la filosofía de la mente de Hume, pues no da cuenta adecuada de la mayor parte de la actividad mental, dota a la filosofía de las matemáticas de Hume de cierta ventaja.
Como después señalará Manuel Kant (1724-1804), quien, sin embargo, no era nominalista, los razonamientos geométricos (y los aritméticos, en la medida en que hasta el siglo XIX el fundamento de las matemáticas tiene carácter geométrico) se basan en la consideración de casos particulares que luego son generalizados. Así cuando Euclides, y cualquier sucesor suyo hasta el siglo XIX, demostraba a partir de sus axiomas un teorema, para Kant, lo hacía construyendo unas figuras concretas sobre el papel o en la imaginación y luego generalizaba el resultado para todas las figuras (Shabel 1997)
Necesidad en matemáticas. Proposiciones analíticas y sintéticas [editar]
Hasta ahora han surgido al menos tres características fundamentales del saber matemático: la matemática es deductivo - axiomática, universal y a priori. Pero existe otra característica relevante. La mayor parte de los filósofos, como la mayor parte de la gente, han considerado que las verdades matemáticas tienen una forma de ser verdaderas que es peculiar en cierto sentido. Por ejemplo, colocamos unas bacterias en un portaobjetos, tres primero y luego otros dos. A continuación contamos todas las bacterias para comprobar si en este caso 3 y 2 suman 5. Supongamos que contamos 6 bacterias ¿Consideraríamos esto como una refutación de la proposición, o, por lo menos, como una prueba de que la proposición no se aplica a las bacterias? Es claro que no. Pensaremos o que nos hemos equivocado o que las bacterias se han reproducido.
¿Por qué las matemáticas tienen este estatuto especial? No es una buena respuesta decir que no podemos imaginar un universo en el que un teorema matemático fuese falso: probablemente hay muchas cosas que no podemos imaginar y que sin embargo pueden ser de otra manera. Para dar cuenta de esta peculiaridad de las matemáticas se recurre al concepto de necesidad. En esta sección se explicará primero el concepto de necesidad y sus tipos, para luego introducir la distinción entre proposiciones analíticas y sintéticas; finalmente veremos qué tipo de necesidad han atribuido los filósofos a las matemáticas y con qué tipo de proposiciones, analíticas o sintéticas, han sido identificadas las proposiciones matemáticas.
Ya se ha dicho que las regularidades generales son importantes para el conocimiento. Pero la ciencia y la filosofía se fijan en un tipo concreto de regularidades generales: las regularidades necesarias. El surgimiento de la filosofía y la ciencia está ligado a la eliminación de los dioses, espíritus y entidades semejantes como origen de los fenómenos naturales y sociales. Éstos, en manos de los dioses, son caprichosos. Desaparecida la creencia en aquellos y bajo la necesidad de la naturaleza, dichos fenómenos están sujetos a regularidades generales necesarias y se formulan mediante proposiciones necesariamente verdaderas (proposiciones necesarias para abreviar).
Son ejemplos de regularidades necesarias de la naturaleza (Díez y Moulines 1997, cap. 5):
19. Todos los metales se dilatan al calentarlos; 20. Todos los cuerpos cargados eléctricamente con cargas del mismo signo se repelen con una fuerza proporcional al producto de sus cargas; 21. Nadie puede levantarse tirándose de los cordones de los zapatos; 22. Todas las esferas de uranio tienen menos de 1m de radio.
Estas regularidades necesarias de la naturaleza se denominan regularidades nómicas o, también, leyes de la naturaleza. Igualmente se dice que las leyes de la naturaleza son nómicamente necesarias. Aquí la palabra "necesario" significa que no puede ser cambiado, que siempre es así y no puede ser de otra manera, que no hay alternativas, no hay otras posibilidades. Observemos nuestro ejemplo (22): "Todas las esferas de uranio tienen menos de 1m de radio". No puede ser de otra manera, nunca podrá haber una esfera de uranio de más de un metro de radio, es algo permanente. Porque cuando se acumula cierta cantidad de uranio se produce una reacción nuclear. Por eso, desde un punto de vista lógico, "es necesario que p" se define como "no es posible que no p", es decir, p no puede no ser verdadera. Por tanto, una proposición es nómicamente necesaria cuando y sólo cuando su negación implica una contradicción, evidentemente suponiendo que las leyes naturales que creemos conocer lo son.
Por otra parte, necesario se opone a contingente. A diferencia de lo necesario, que no tiene alternativas, lo contingente es aquello que puede o no ocurrir. Son los casos de regularidades accidentales o accidentes. Por ejemplo, son regularidades accidentales:
23. Todas las esferas de oro tienen menos de 1m de radio; 24. Todos los bípedos implumes son humanos; 25. Todos los cuervos son negros; 26. Siempre que voy a ver al Levante UD, éste pierde.
Esta distinción que hacemos entre leyes científicas y accidentes es muy evidente en el caso de las esferas de oro y uranio, ejemplos (22) y (23). El que no exista una esfera de oro de 1m es algo accidental: si tuviésemos el tiempo, dinero y paciencia para reunir todo ese oro, bien pudiera ocurrir que construyésemos tal esfera. Sin embargo, eso no podría ocurrir con la esfera de uranio porque las leyes naturales lo impiden: como ya sabemos, cuando se reúne cierta cantidad de uranio, éste comienza una reacción nuclear. Por tanto, hay en las regularidades nómicas algo que no hay en las regularidades accidentales. Eso es lo que intenta recoger el concepto de necesidad. Así, en el ejemplo (25) tenemos que los cuervos son negros pero podemos pintar uno de blanco. Por eso "es contingente que p" se define como "ni es necesario que no p ni es necesario que p", esto es, puede ocurrir tanto que p como que no p.
Los conceptos como necesario o contingente se denominan conceptos modales, pues se refieren al modo de ser verdaderas las proposiciones. Así, cuando una proposición es necesaria tiene una "fuerza" especial en su verdad de la que carece la proposición contingente.
Los conceptos modales, necesidad y contingencia, han sido introducidos atendiendo a la necesidad que muchos filósofos suponen existe en el mundo físico. Pero también existen otras nociones de la necesidad. En lo que aquí nos interesa conviene tratar la necesidad conceptual.
Para ello, hay que comenzar recordando la distinción entre las regularidades que se refieren a cosas concretas y las regularidades entre tipos de cosas. Consideremos ahora algunos ejemplos de nuestras regularidades entre tipos de cosas, formuladas en proposiciones universales, junto a algunas formulaciones alternativas que seguramente consideraremos que tienen un significado equivalente:
2. Los objetos sólidos no atraviesan paredes si no las rompen; 2bis. Un objeto sólido no atraviesa una pared si no la rompe
4. Los pájaros son aves que vuelan; 4bis. Un pájaro es un ave que vuela
10. El pez grande se come al chico; 10bis. Los peces grandes se comen a los peces chicos
13. El yeso sin aditivos es blanco; 13bis. Los trozos de yeso sin aditivos son blancos
Algunos ejemplos más:
14. Las aves son animales; 14bis. Un ave es un animal
15. Los solteros no están casados; 15bis. Un soltero no está casado
16. Los hermanos tienen el mismo padre y la misma madre; 16bis. Ser hermano de alguien es tener el mismo padre y la misma madre
17. Las superficies verdes son coloreadas; 17bis. Lo verde está coloreado
Tanto los ejemplos 2 - 13 y 14 - 17, como las formulaciones alternativas 2bis, 4bis, etc, podemos interpretarlas fácilmente como que dicen, más o menos, lo mismo. Sin embargo, las interpretaciones pueden introducir dos matices distintos. Consideremos los ejemplos 4 y 4bis. Cuando digo que los pájaros son aves que vuelan o que un pájaro es un ave que vuela, puedo querer destacar que los individuos que se clasifican como pájaros hay que incluirlos en el conjunto de aquellos animales que se denominan aves pero que tienen la peculiaridad de volar, frente a otras aves que no vuelan, como por ejemplo, los pingüinos o las avestruces. Sin embargo, también puedo querer destacar cuáles son los rasgos que hacen que algo sea un pájaro o que podamos aplicarle el nombre de pájaro o caracterizar la conducta de los pájaros. Pensemos que (4bis) es la respuesta correcta a la pregunta ¿qué es un pájaro? para alguien que habla en castellano (o sea, que conoce la lengua; pensemos en un inglés que hace la pregunta anterior: le podríamos contestar "a bird"). Igualmente, a la pregunta ¿Qué es el yeso? parte de la respuesta correcta es que es una especie de piedra blanca.
Habitualmente, cuando hacemos preguntas como las anteriores preguntamos por la descripción o caracterización de las cosas a las que puede aplicarse tal término. Pero también decimos que preguntamos por la definición o significado de un término general (nombre común, adjetivo). Como es habitual referirse al significado de un término general como un concepto, entonces la definición nos proporciona el concepto de algo: el concepto de pared, de fumar, de solidez, de amar, de gato, de velocidad, de mesa, de morder, de noche, de cuadrado, etc. No son conceptos Pedro, Sandra y Juan; y tampoco lo son mi gato, ni este muro, ni tu perro o esta mesa; son personas, animales o cosas concretos (aunque conviene prestar atención a que para poder referirnos a los de la última lista de cosas concretas sí que hacemos uso de conceptos).
Pero entonces, en cada uno de los ejemplos anteriores, puede decirse que afirmamos algo sobre un concepto y formulamos proposiciones cuya verdad depende de los propios conceptos utilizados. Si queremos explicar qué es un soltero diremos que es alguien que no está casado o si nuestro primito, de corta edad él e hijo único, nos pregunta qué quiere decir que Fulanito es hermano de Sotanito, le diremos que Fulanito y Sotanito tienen los mismos papá y mamá.
Esto permite introducir la diferencia de proposiciones según su estructura semántica. Según su estructura semántica las proposiciones las podemos clasificar en analíticas y sintéticas. Una proposición es analítica cuando su verdad depende solamente de cómo están articulados nuestros conceptos. Las sintéticas serían las demás.
Considérese el ejemplo 17. Un ciego de nacimiento que hablase español sabría perfectamente que la proposición (17): "Las superficies verdes son coloreadas" es verdadera. Pero no podría decir de qué color es la camisa que llevo. El primer caso es una proposición analítica. El segundo habría de formularse en una proposición sintética: "mi camisa es de color verde", pongamos por caso.
Cuando formulamos proposiciones analíticas expresamos regularidades sobre nuestros conceptos, como en los ejemplos 4 y 14 a 17. Cuando eso no ocurre tenemos proposiciones sintéticas, como en los ejemplos 2, 10 y 13, así como 1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12 y 13.
Obsérvese que las regularidades conceptuales son necesarias. Es decir una proposición analítica es necesariamente verdadera: si la negamos, la proposición resultante implicará una contradicción, evidentemente dando por sentada la verdad de cierta articulación de nuestros conceptos (tal articulación de conceptos incluiría, claro está, nuestros conceptos lógicos).
W. v. O. Quine (1908-2000) señaló que la distinción entre proposiciones sintéticas y analíticas era muy dudosa porque los criterios utilizados no podían ser claros. Consideremos, por ejemplo, el concepto de matrimonio. Para muchos es la unión de varón y mujer y rechazan el matrimonio entre personas del mismo sexo; otros opinan lo contrario. Aquí los conceptos de matrimonio varían según la postura que adoptemos. Pese a la crítica de Quine, la distinción apunta al hecho de que una cosa es nuestro lenguaje y otra el mundo en el que nos desenvolvemos. Si se parte de tal distinción en un sentido o en otro, la distinción entre proposiciones por su estructura semántica tiene sentido.
Por tanto, hemos visto dos tipos de necesidad: la necesidad física, propia de las leyes de la naturaleza según ciertos filósofos y la necesidad conceptual, propia de las proposiciones analíticas.
El Empirismo Lógico (s. XX) mantuvo que las verdades matemáticas son regularidades conceptuales, esto es, las proposiciones matemáticas son proposiciones analíticas. Como antecedente histórico acudían a Hume.
Habitualmente la posición de que las proposiciones matemáticas son proposiciones analíticas suele encontrar la objeción siguiente: si las matemáticas son regularidades sobre nuestros conceptos ¿por qué sirven para hacer cálculos sobre el mundo físico?
El propio Hume hace de esta dificultad un argumento al insistir en el Tratado sobre la naturaleza humana en que la matemática, por ejemplo la Geometría, no es ciencia exacta (Tratado, Libro I, Parte II, Sección IV, especialmente SB 39 y ss). La forma habitual de entender esto es que Hume se está refiriendo a la aplicación de la matemática. En cuanto aplicamos la matemática, debemos controlar los resultados que obtenemos con ella para saber si podemos fiarnos. El que de la Geometría se sigan determinadas conclusiones o se supongan ciertas cosas, por ejemplo los puntos sin dimensiones o los planos sin grosor o la infinita división de una recta, no quiere decir que el mundo de nuestra experiencia se atenga a tales conclusiones o supuestos sin más. Habrá que comprobarlo y determinar en qué medida ello es así. De ahí que Hume rechace la infinita divisibilidad de la materia por el mero hecho de que se sigue como conclusión de los presupuestos de la Geometría al ser aplicada al mundo físico.
La respuesta habitual a la pregunta de por qué sirven las regularidades conceptuales para hacer cálculos sobre el mundo físico es que los conceptos matemáticos parten de la experiencia aunque no se ciñan a ella. Así se suele interpretar a Hume; los conceptos matemáticos son producto de un proceso de idealización de lo que la experiencia nos proporciona, un proceso productivo, literalmente, de la imaginación y una generalización. En ciertas condiciones, tales conceptos son un reflejo acertado de la realidad, por lo que las conclusiones que lleguemos a través de ellos, nos servirán para el mundo de la experiencia.
En resumen. Se ha considerado la necesidad física, propia de las leyes de la naturaleza y la necesidad conceptual. Una posición posible respecto a la necesidad sería atribuir a las matemáticas la necesidad propia de las leyes de la naturaleza: sería una forma de empirismo matemático extremo análogo al de Mill, el cual se ha visto en la primera sección. Pero la mayor parte de los filósofos niegan esta posibilidad. Para otros autores, la necesidad conceptual es la propia de las matemáticas, pues éstas no son más que regularidades de nuestros conceptos que, en la medida en que éstos captan adecuadamente el mundo de la experiencia nos permiten su conocimiento. Es el caso de Hume. Frente a estas posiciones, los platónicos sostienen que la necesidad matemática tiene un carácter especial debido al carácter ontológico especial de sus objetos: los entes matemáticos son un caso de formas. El mundo de las formas no es el mundo físico sino uno diferente. Pero cualquier platónico estaría de acuerdo en que las verdades sobre ese mundo de las formas serían necesarias.
Para Mill, las proposiciones matemáticas son conocidas a posteriori, mientras que para Hume y Platón, las matemáticas son conocidas a priori. Pero mientras el empirista Hume identifica el conjunto de las proposiciones analíticas con el conjunto de las proposiciones conocidas a priori, el platonismo y el racionalismo clásico no identifican ambos conjuntos. Tomemos el caso del platónico. Para un platónico conocemos a priori el mundo de las formas. En la medida en que nuestros conceptos no reflejen ese mundo de las formas, habrá proposiciones conocidas a priori que no serán analíticas y cuya necesidad no será conceptual sino de otro tipo. De manera análoga el racionalista moderno puede mantener proposiciones a priori que son analíticas y también otras proposiciones a priori que no son analíticas. Para Platón y los racionalistas clásicos el carácter a priori del conocimiento de una proposición aparece ligado al innatismo. En el caso de Platón mediante el recuerdo de una vida anterior en el mundo de las formas. En el caso de los racionalistas clásicos, Dios puso en la mente de cada persona creada determinados conceptos y verdades, entre los que se encuentran los conceptos y verdades de las matemáticas.
La filosofía de las matemáticas de Kant [editar]
Anteriormente ya se han trazado dos parejas de conceptos que son fundamentales para situar el conocimiento matemático: analítico - sintético, a priori - a posteriori. Desde el punto de vista humano, ambas parejas vienen a coincidir. No hay proposiciones a priori que no sean proposiciones analíticas (relaciones de ideas en la terminología de Hume). Las proposiciones sintéticas son a posteriori.
Sin embargo, esta postura tiene una dificultad. Recordemos la estructura deductiva de las matemáticas: los teoremas se deducen de los axiomas. Todo argumento deductivo tiene la peculiaridad que si las premisas son verdaderas la verdad de la conclusión está garantizada. La pregunta entonces es qué se puede decir de la verdad de los axiomas. Si somos humeanos, los axiomas se obtendrán a partir de las ideas que luego serán generalizadas mediante términos generales. Pero recuérdese que las ideas, aunque son obtenidas a partir de la experiencia, sufren una transformación debida a la imaginación. Y entonces, nada garantiza su objetividad, porque está claro que si las ideas no son fieles copias de la realidad, entonces las conclusiones que saquemos a partir de ellos tampoco lo serán.
Se puede ver en Manuel Kant (1724-1804) un intento de aprender de las lecciones de Hume pero con la garantía de objetividad que pretendía el racionalismo clásico. Y Kant cree que encuentra esos conceptos en las relaciones espaciales y temporales entre las cosas y lo que él denomina categorías. Tales relaciones espaciales y temporales, así como las categorías son, para Kant, innatas. Esto, para Kant, garantizaría su objetividad.
La obra donde se pueden encontrar lo fundamental de la filosofía de la matemática de Kant es su Crítica de la razón pura, que además de ser también su obra más importante es una de las cimas de la filosofía occidental moderna.
En dicha obra, en la parte "Estética trascendental", Kant denomina intuición a la captación de seres u objetos individuales: particulares o individuos. Para Kant, los seres humanos sólo pueden entrar en contacto con individuos mediante la sensibilidad. Por tanto, todas nuestras intuiciones son sensibles, pertenecen a la experiencia sensible. Por ejemplo, ver este árbol, oír la campana de la iglesia cercana, ver este capullo de rosa, etc.
Pero para Kant, toda intuición tiene dos partes: la forma de la intuición y la materia de la intuición. La forma de la intuición la constituye el espacio y el tiempo. El espacio es el marco en el cual situamos los particulares que intuimos y a la vez el conjunto de las relaciones espaciales que guardan entre ellos. Con el tiempo pasa algo parecido; en él situamos los acontecimientos. Kant señala que sólo podemos representarnos el tiempo espacialmente, por lo cual lo que digamos del espacio podemos extenderlo al tiempo.
Las relaciones espacio-temporales constituyen lo único objetivo de cada intuición. Si queremos decir algo objetivo de un hecho de la experiencia concreto, sólo podemos hablar de las relaciones que las cosas mantienen en el espacio y el tiempo. Así, las relaciones de posición, distancia, tamaño, el trascurso del tiempo, la velocidad (distancia recorrida dividida por el tiempo transcurrido), etc. sí que son objetivas. Por el contrario, los colores, los olores o los sabores, que constituyen la materia de una intuición, no pueden ser objetivos. Por ejemplo, observamos un capullo de rosa roja mecido suavemente por la brisa. La longitud del tallo, la velocidad de la oscilación, el tamaño del capullo son relaciones concretas objetivas del hecho. El matiz del color o el aroma no lo son.
Para Kant, toda intuición tiene su forma, y la forma de una intuición no puede no estar y todas las intuiciones tienen su forma. En términos que ya conocemos: la forma de cada intuición es necesaria y universal. Como la forma de cada intuición está constituida por el conjunto de relaciones de espacio y tiempo que posee la intuición, entonces las relaciones espaciotemporales de las intuiciones son necesarias y universales (no pueden no estar y están en todas las intuiciones), lo que para Kant es un criterio infalible de que tales relaciones espaciotemporales de una intuición son conocidas a priori, esto es, independientemente de la experiencia. Es más, para Kant las relaciones espaciales y temporales no tienen su origen en la experiencia, no tienen nada de empírico, proceden exclusivamente de nuestra mente: son, en terminología kantiana, intuiciones puras. Por tanto, nuestra captación de las relaciones de espacio y tiempo son intuiciones puras a priori. Y las matemáticas consisten en el conocimiento de tales intuiciones puras a priori: las relaciones espaciotemporales.
Así pues el objeto de las teorías matemáticas es la intuición pura. Y los axiomas de las teorías matemáticas, para Kant, se formulan en juicios (=proposiciones) sintéticos a priori.
Para entender lo que esto quiere decir, es importante destacar que Kant deshace la identificación que se podría seguir de la postura de Hume entre analítico y a priori, por una parte, y, por otra, entre a posteriori y sintético. Recuérdese que la distinción a priori - a posteriori es una distinción que habla del origen de nuestro conocimiento, si proviene o no de la experiencia. Por su parte, la distinción entre analítico y sintético es una distinción semántica que sitúa la verdad de una proposición, respectivamente, en la articulación de nuestros conceptos o no. Recordemos que Hume sólo admitía dos tipos de conocimientos: relaciones de ideas y cuestiones de hecho. Las relaciones de ideas son a priori, es decir, se conocen independientemente de la experiencia sensible; en concreto, se conocen analizando las relaciones que hay entre las ideas. Por tanto, las relaciones de ideas de Hume se formularán en juicios a priori y analíticos. Hume además, piensa que un juicio a priori sólo puede ser analítico, por lo que para él, se identifican los juicios que son analíticos y los que son a priori: un juicio analítico será a priori y si es a priori será analítico. Dicho de otra forma: las únicas verdades a priori que hay son las verdades conceptuales que se formulan mediante los juicios analíticos. Por su parte, las cuestiones de hecho se conocen a posteriori, mediante la experiencia sensible. Como no pueden ser juicios analíticos, serán sintéticos. Por tanto, las cuestiones de hecho se formulan en juicios sintéticos a posteriori.
Pero Kant añade un tercer tipo de juicio: los juicios sintéticos a priori. Dicho de otro modo, para Kant, un juicio a priori no tiene que ser analítico siempre, como pensaba Hume, sino que también puede ser sintético. Y, en consecuencia, Kant distingue entre juicios analíticos (siempre a priori) y juicios sintéticos que pueden ser a priori y a posteriori.
En Kant, un juicio sintético siempre necesita de una intuición. Pero toda intuición tiene dos partes: materia y forma. Lo que haya que decir sobre la materia se formulará mediante un juicio sintético a posteriori. Pero toda intuición tiene también una parte pura, su forma, que es necesaria y universal y, por tanto, según la doctrina de Kant, a priori. Cuando nos limitamos a hacer juicios sobre la parte pura de una intuición hacemos juicios matemáticos y éstos son sintéticos a priori.
Finalmente, queda la explicación de Kant de la aplicación de las matemáticas para el conocimiento científico. Simplificando, en la parte llamada "Analítica trascendental" de la Crítica de la razón pura, Kant argumenta que tenemos conocimientos que garantizan que nuestras intuiciones se pueden medir. Se trata de conceptos y proposiciones puros a priori. Kant denomina a dichos conceptos categorías de la cantidad y la cualidad; y a las proposiciones axiomas de la intuición y anticipaciones de la percepción.
La filosofía de las matemáticas después de Kant [editar]
Como señala Dummett (1998, pp. 128 y ss), pese a su importancia, en el siglo XIX la mayor parte de los matemáticos se movieron en una dirección que chocaba con la de Kant. El siglo XIX vio un importante esfuerzo por parte de los matemáticos para introducir rigor en el Análisis, esto es, la teoría de los números reales, racionales como 1/3 o irracionales como raíz de 2 o pi. Esto era necesario debido a las antinomias generadas por los intentos del siglo anterior para fundamentar el cálculo en la noción de infinitésimos (números infinitamente pequeños distintos de 0).
Un motivo casi igualmente fuerte fue hacer el Análisis independiente de nociones geométricas que eran las que servían de base a la mayor parte de las matemáticas desde los griegos, incluyendo la demostración de los teoremas. El modelo de conocimiento matemático seguía siendo el de Los Elementos de Euclides. Normalmente este intento de liberarse de nociones geométricas se describía como liberar el Análisis del recurso a la intuición porque Kant, como se ha visto, denominaba "intuición pura" a la captación de las relaciones de espacio y tiempo que era la base de las matemáticas.
Según Dummett, el primero en acometer la tarea de liberar al análisis de la intuición fue el matemático y filósofo checo Bernard Bolzano (1781-1848). Como filósofo fue una excepción por la poca influencia que Kant ejerció sobre él. Como matemático, estaba determinado a eliminar la intuición del análisis, y probar desde axiomas todo lo que pudiese ser probado, no importaba cómo de obvio pudiese parecer cuando se pensaba en términos geométricos. Una razón para esto fue que lo que parece obvio intuitivamente puede no ser verdadero. Si pensamos en una función continua en un intervalo (incluyendo los puntos extremos) representada por un una curva en un papel, parece intuitivamente obvio que, en el intervalo dado, cualquier curva debe tener una pendiente excepto en un número finito de puntos; cuando, por ejemplo, la curva está hecha de dos segmentos de línea recta en ángulos diferentes, no hay pendiente en el punto en el que se encuentran las dos líneas. Sin embargo, Bolzano obtuvo el primer ejemplo (aunque no lo publicó) de una función continua en un intervalo pero que no era diferenciable en ningún punto del intervalo. Expresado geométricamente, esto estaría representado por una curva continua que no tuviese pendiente en ningún sitio; naturalmente, no se puede dibujar, excepto una sucesión de aproximaciones a ella. Sin embargo, incluso cuando lo que parece obvio es de hecho verdadero, en opinión de Bolzano, sigue siendo necesario deducirlo y hacerlo sin invocar ideas ajenas de espacio o tiempo: las matemáticas están interesadas no sólo en establecer verdades sino en determinar qué verdades reposan sobre otras. Así, es obvio “para la intuición” que, si una curva continua al principio de un intervalo está debajo del eje X y al final del intervalo sobre el eje X, debe cruzar el eje X en algún punto del intervalo. En términos puramente aritméticos esto se convierte en el teorema del valor intermedio, con la consecuencia de que si una función continua tienen un valor negativo al principio del intervalo y un valor positivo al final del intervalo, debe tener el valor 0 en algún lugar del intervalo. En 1817 Bolzano publicó un intento de prueba de este teorema, el cual, aunque no sin errores, contribuyó notablemente al programa de liberar el análisis de su dependencia de la intuición espacial.
Para obtener el deseado rigor en la teoría de los números reales el método fundamental en las matemáticas ya lo conocemos: la axiomatización. En el caso que nos ocupa, consistiría en aislar los rasgos fundamentales de los números reales, en los que pueden hacerse descansar todas las deducciones conocidas de los teoremas sobre ellos. Estos rasgos fundamentales pueden entonces ser supuestos como axiomas y todo lo que se desee probar sobre los números reales está obligado a ser deducido de ellos.
Pero si deseamos además no suponer la existencia de entidades que satisfagan los axiomas hace falta construir los números reales. Igual que ocurre con el proceso de axiomatización, la construcción también está presente en Los Elementos de Euclides. En esta obra, muchas de las demostraciones se formulan como problemas que plantean construir con regla y compás figuras geométricas. Ese es el origen de esta expresión y el sentido que tiene en la obra de Kant.
Así pues, en términos actuales, la axiomatización nos muestra qué rasgos debe tener un sistema de entidades para calificarlo como sistema de números reales y, por otro lado, llevar a cabo la construcción garantiza que no necesitamos suponer la existencia de un sistema que satisfaga los axiomas sino que proporcionamos tales entidades a partir de otras de las que ya disponemos.
Como se trata de un concepto que aparecerá más adelante, resulta necesario ilustrar el concepto de construcción en sentido moderno. Se seguirá aquí a Dummett (1998, p.131) en su la explicación de la construcción de los números reales del matemático Richard Dedekind (1831-1916). Dedekind supone que pueden tomarse los números racionales, que abarcan los enteros y fracciones de enteros tales como 3/8, como dados. Su construcción de los números reales comienza con la idea de que un número irracional (aquello cuya expresión decimal tiene infinitas cifras, por ejemplo, raíz cuadrada de 2) tiene una posición determinada con respecto a los racionales: todo número racional es o más pequeño o más grande que un número irracional. Considera entonces una “cortadura” en los racionales. Una cortadura es una partición de todos los racionales en dos clases, una inferior y otra superior, tales que ninguna clase es vacía, todo racional pertenece a una y sólo una de las clases, un número racional más pequeño que un elemento dado de la clase inferior también pertenece a la clase inferior, y uno más grande que uno dado de la clase superior también pertenece a la clase superior. Una de tales cortaduras es la que divide los racionales en todos los que son menores o iguales que 8/5 (la clase inferior) y todos los más grandes que 8/5 (la clase superior). Otra es la que los divide en aquellos cuya raíz cuadrada es menor que 2 (la clase inferior) y aquellos cuya raíz cuadrada es mayor que 2 (la clase superior): ninguno está fuera, puesto que no hay ningún número racional que sea la raíz cuadrada de 2. Es evidente que una cortadura debe ser de estos tres tipos: (1) la clase inferior tiene un elemento que es el mayor, pero la superior no tiene un elemento que sea el menor (nuestro primer ejemplo -8/5- era de este tipo); (2) la clase superior tiene un elemento que es el menor, pero la clase inferior no tiene un elemento que sea el mayor; (3) la clase inferior no tiene un elemento que sea el mayor, y la clase superior no tiene un elemento que sea el menor (el segundo ejemplo -raíz cuadrada de 2- era un caso de este tipo). Los números reales pueden identificarse con las clases superiores de las cortaduras que no tienen menor elemento en la clase superior (los tipos 1 y 3). En unos casos, como el ejemplo de 8/5 (cortadura tipo 1), coinciden con los números racionales; en otros casos, como en el ejemplo de la raíz cuadrada de 2 (cortadura tipo 3), coincide con un número irracional. Con los números racionales e irracionales tenemos el conjunto completo de los números reales.
El formalismo [editar]
Pese a lo dicho en la sección anterior, la influencia de Kant no desapareció. El formalismo es una posición en filosofía de las matemáticas que sigue siendo fiel a Kant en esencia aunque recoge las pretensiones de la eliminación de la intuición pura en el sentido de intuición geométrica. Su autor más importante es David Hilbert. Un formalista hilbertiano considera que el lenguaje, en concreto el lenguaje matemático, puede reducirse a operar espaciotemporalmente con signos. Y saca como consecuencia que nuestros conceptos matemáticos pueden ser expresados, como pensaba Kant, en operaciones sobre las relaciones de espacio y tiempo. Sin embargo, cuando Kant decía esto pensaba básicamente en la geometría (construir figuras y sólidos geométricos). Cuando los formalistas hablan de operaciones sobre las relaciones de espacio y tiempo piensan en los sistemas formales.
Un sistema formal (Koerner 1968, "Logicismo") es una teoría axiomatizada en la que se ha sustituido el lenguaje natural por un conjunto de signos que obedecen a reglas que se reducen a operar sobre relaciones espacio - temporales con los signos. Por ejemplo, formar oraciones es construir una hilera de signos con un orden dado. Para ilustrarlo podemos recurrir a la formalización de la lógica cuantificacional de primer orden (recuérdese lo dicho sobre la introducción a la lógica como supuesto de estas clases). También podemos recurrir a la formalización del propio Hilbert de la aritmética. Recordemos aquí los axiomas de la aritmética, esto es, la definición del concepto de número natural:
- 0 es un número natural
- Si x es un número natural el sucesor de x es un número natural
- El 0 no es sucesor de ningún número natural
- Para todo x e y si sus sucesores son iguales entonces x e y son iguales
- Dada una propiedad, si 0 tiene esa propiedad y si para un número natural cualquiera la tiene él y su sucesor, entonces todo número natural tiene la propiedad.
Según Hilbert, la materia de estudio de la teoría elemental de los números es el conjunto de los signos "I", "II", "III", "IIII", "IIIII", etc. más el proceso de producir estos signos empezando con "I" y añadiendo cada vez otro trazo después del último trazo del signo anterior. El signo inicial "I" y la regla de producción proporcionan juntos los objetos de la teoría. Se utilizan letras minúsculas para designar cifras no especificadas. Para las operaciones hay dos signos. El signo "=" que indica que dos cifras pueden sustituirse mutuamente y el signo "<" que indica que la cifra de la izquierda está contenida en la de la derecha. Con estos signos pueden definirse (introduciendo los signos correspondientes) la adición, la sustracción, la multiplicación y la división y se pueden expresar sus leyes.
Por su parte, el axioma 5, denominado principio de inducción matemática, se formaliza así: a)"I" tiene cierta propiedad, b) si cuando cualquier expresión trazo posee la propiedad entonces la posee la siguiente (la formada añadiendo un "I" a la inicial) entonces se verá que la propiedad la posee cualquier expresión-trazo que puede producirse. Aquí el verbo "ver" no es gratuito. Se supone que todas las operaciones descritas se reducen a operaciones en el espacio y el tiempo.
Así, por una parte, el formalismo es heredero de Kant. Por otra parte, el formalismo es una forma de nominalismo. Para el formalismo, como para cualquier nominalismo, no existen los conceptos correctos o incorrectos. Los conceptos nos los inventamos nosotros. Por tanto, los conceptos matemáticos y sus teorías correspondientes con sus axiomas son producto de nuestra imaginación. El único requisito es que no haya contradicciones en el concepto (expresado en el conjunto de los axiomas).
El formalismo tiene en contra los denominados Teoremas de Incompletitud de Gödel formulados por Kurt Gödel en 1931. Una consecuencia de estos teoremas es que es imposible presentar un sistema formal para la aritmética que pueda demostrar o refutar cualquier proposición definida en el sistema sin caer en una contradicción.
Intuicionismo [editar]
El concepto fundamental del intuicionismo es uno que ya hemos nombrado: la construcción. Para un intuicionista (Koerner 1968, "Intuicionismo") una construcción es una entidad mental y en ningún caso se pueden identificar con entidades lingüísticas. Las construcciones no son oraciones del lenguaje natural ni de un lenguaje o sistema formal aunque puedan expresarse en ellos.
Al tratarse de una entidad mental tampoco, en opinión de los intuicionistas, tiene carácter espacial. Aquí se separan de Kant. Kant pensaba que los fenómenos mentales eran sólo temporales, no espaciales, pero pensaba que su representación sólo podía ser espacial como en el caso de los fenómenos físicos. En sentido intuicionista, la construcción tiene el sentido complementario a la axiomatización que hemos visto anteriormente pero con peculiaridades que la restringen.
Como ilustración, podemos considerar la explicación intuicionista del significado de una operación lógica: ésta no se hace especificando las condiciones de verdad de las oraciones complejas en términos de las oraciones que las constituyen. Por el contrario, lo que se hace es especificar cuándo una construcción es una deducción de una oración cuyo signo principal es la operación en cuestión, supuesto que se sabe la deducción de las oraciones que la constituyen. Por ejemplo, una deducción de una conjunción "A & B" es algo que deduce A y también deduce B. Una deducción de "A o B" es algo que o deduce A o deduce B. Una deducción de "no A" es una operación de la que podemos decir, aplicada a cualquier deducción de A, conducirá a una contradicción; por tanto garantiza que nunca encontraremos una deducción de A.
Desde esta perspectiva muchas verdades lógicas de la lógica clásica siguen valiendo, pero no todas. Por ejemplo el Principio de Tercero excluido "A o no A" no es válido. Por lo que se ha dicho, para poder afirmar el principio de tercero excluido en un caso concreto se debe tener una deducción de A o una deducción de no A. Pero dado lo dicho también puede darse el caso que ni tengamos una deducción de A y tampoco una de no A. Podemos sencillamente no saber si existe una deducción para A o para no A.
Debido a esta posición, existen procedimientos de deducción que no son admisibles para un intuicionista por lo que, en ese caso, la matemática intuicionista trata de reconstruir las matemáticas existentes con sus procedimientos restringidos. La mayoría de los matemáticos no están por la labor y creen que estas restricciones no están justificadas.
De todos modos, el intuicionismo encierra una posición metafísica que muestra su filiación kantiana. Los matemáticos y lógicos no intuicionistas señalan que las afirmaciones deben ser o verdaderas o falsas y eso supone que hay una realidad objetiva que de alguna manera produce esa verdad o falsedad. Otra cosa es que nosotros lo sepamos o no, pero se supone siempre que las afirmaciones son o verdaderas o falsas. El intuicionismo se niega a aceptar ese supuesto metafísico de una realidad que nosotros no podemos captar directamente. Para el intuicionismo no puede aceptarse como verdadero aquello que no tiene una prueba en su favor para nosotros. No hay verdad independiente del sujeto. Esto es idealismo y el idealismo intuicionista es de raíz kantiana.
Situación actual [editar]
A lo largo del presente artículo se han presentado diversas posiciones ontológicas y epistemológicas sobre las matemáticas. Sin temor a equivocarse, se puede decir que la mayor parte de los matemáticos son platónicos, realistas matemáticos. Porque la mayor parte de las matemáticas clásicas deben suponer, para poder llevarse a cabo, la concepción platónica. El ejemplo más extremo es el de la Teoría de Conjuntos (Dummett 1998, p. 173).
Sin embargo, como puede suponerse por lo dicho sobre las distintas versiones del platonismo, éste se enfrenta a un problema epistemológico, a un problema sobre la explicación del acceso a los entes matemáticos. Esta situación suele denominarse Dilema de Benacerraf pues este autor popularizó el planteamiento de la cuestión en esos términos (Benacerraf 1973). Por un lado las matemáticas necesitan ser ontológicamente platónicas porque otras concepciones tienen sus propias dificultades; pero el platonismo tiene una dificultad epistemológica fundamental: la explicación del acceso a las supuestas entidades matemáticas es todavía más problemática.
Bibliografía [editar]
Benacerraf, Paul (1973), "Mathematical Truth" en Hart, W. D. (ed.): The Philosophy of Mathematics. Oxford: Oxford University Press, 1996.
Dummett, Michael (1998), "The Philosophy of Mathematics" en Grayling, A. C. (ed.)Philosophy 2: Further Through The Subject, Oxford University Press, 1998.
Hume, David (1739), Tratado de la naturaleza humana, Editorial Tecnos, versión de Félix Duque (1977), 1988, (SB se refiere a la paginación de la edición Selby-Biggem)
Kant, Immanuel (1781), Crítica de la razón pura, versión de Pedro Ribas (1978), editorial Alfaguara, 1983
Körner, Stephan (1968), Introducción a la filosofía de la matemática, Editorial Siglo XXI, 1968
Lorenzo, J. de (1992), Kant y la matemática. El uso constructivo de la razón pura, Editorial Tecnos, 1992
Descartes, René (1641), Meditaciones metafísicas, Editorial Alfaguara, versión de Vidal Peña, 1977
Díez, J. A y Moulines, C. U. (1997), Fundamentos de Filosofía de la Ciencia, Editorial Ariel, 1999
Maza Gómez, C. (2008), Matemáticas en la antigüedad
Shabel, Lisa (1997), Mathematics in Kant’s Critical Philosophy. Reflections on Mathematical Practice, London: Routledge, 2003
Solís, Carlos y Sellés, Manuel (2005), Historia de la ciencia, Editorial Espasa, 2005
Véase también [editar]
