CIENCIA5: EL NÚMERO e. ¿ESTÁ PRESENTE EN EL LENGUAJE?. La constante matemática e es uno de los más importantes números reales.[1] Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la función exponencial f(x) = ex es esa misma función. El logaritmo en base e se llama logaritmo natural o neperiano.

petalofucsia - 24 de octubre de 2010 - 15:24 - Ciencia5

Número e

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La constante matemática $e$ es uno de los más importantes números reales.^[1] Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la función exponencial $f (x) = e x$ es esa misma función. El logaritmo en base $e$ se llama logaritmo natural o neperiano.

El número $e$ , conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.

Está considerado el número por excelencia del cálculo, así como $π$ lo es de la geometría e $i$ del análisis complejo. El simple hecho de que la función $e x$ coincida con su derivada hace que la función exponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.

El número $e$ , al igual que el número $π$ , es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido directamente mediante la resolución de una ecuación algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su valor exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.

Su valor aproximado (truncado) es

$e$ ≈ 2,7182818284590452354...

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[editar] Historia

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier.^[2] No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se asume que la tabla fue escrita por William Oughtred.

El "descubrimiento" de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado interés compuesto. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,50 $2$ = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,25 $4$ = 2,4414... En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x $(1+textstyle{1 over 12})^{12}$ = 2,61303...UMs. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de $textstyle {1 over n}$ , el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación:

$lim_{ntoinfty} left(1+{1over n}right)^n$

Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2,7182818...UMs. De aquí proviene la definición que se da de e en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anual R, proporcionará $C e R$ UM con interés compuesto.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual.

[editar] Definición

La definición más común de e es como el valor límite de la serie

$e=sum_{n=0}^infty frac{1}{n!}$

que se expande como

$e = frac{1}{0!} + frac{1}{1!} + frac{1}{2!} + frac{1}{3!} + cdots$

Otra definición habitual^[3] dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación:

ln(x) = 1

que implica

$int_1^x frac {dt} t = 1$

es decir que se define e como el número para el que

ln(e) = 1

o lo que es lo mismo, el número para el que

$int_1^e frac {dt} t = 1$

[editar] Propiedades

[editar] Cálculo

La función exponencial f(x) = e^x es importante, en parte debido a que es la única función que es su propia derivada y vale 1 para x=0., y por lo tanto su propia primitiva también:

$frac{d}{dx}e^x=e^x$

$e^x= int_{-infty}^x e^t,dt$

Además, e es el límite de la sucesión de término general:

$left(1 + frac{1}{n} right)^n$

Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:

$e = lim_{x to infin} left(1 + frac {1} {x}right)^{x}$

Como el término de la derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo y hacer el cambio de variable $h = 1 / x$ :

$ln ((1 + h)^frac {1} {h}) = frac {ln(1+h)} {h} = frac {int_1^{1+h} frac {dx} x} {h} =$ $= frac {int_0^h frac {dx} {1+x}} {h} = frac {int_0^h left(1+O(x)right)dx } {h} = frac {h + O(h^2)} {h} = 1 + O(h)$

Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando $h$ tiende a cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.

[editar] Desarrollo decimal

El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:

$e = 2 + frac{1}{1 + frac{1}{2 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{4 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{6 + frac{1}{1 + cdots}}}}}}}}}$

Lo que se escribe e = [2, 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 ... 1,2n,1, ... ], propiedad descubierta por Leonhard Euler, y en fracción continua no normalizada:

$e = 2 + frac{2}{2 + frac{3}{3 + frac{4}{4 + frac{5}{5 + frac{6}{7 + frac{7}{7 + cdots}}}}}}$

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.

[editar] Álgebra

El número real e es irracional, y también trascendental (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer número trascendental que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles Hermite en 1873. Se cree que e además es un número normal.

Véase también: Demostración de que e es irracional

[editar] Números complejos

El número e presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos:

$e^{ix} = cos x + isin x,,!$

El caso especial con x = π es conocido como identidad de Euler

$e^{ipi}+1 =0 .,!$

de lo que se deduce que:

$log_e (-1) = ipi .,!$

Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:

$(cos x + isin x)^n = left(e^{ix}right)^n = e^{inx} = cos (nx) + i sin (nx)$

que es la fórmula de De Moivre.

[editar] Función exponencial

Se llama exponencial la función definida sobre los reales por $x longmapsto e^x$

La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, mediante la relación: $e^{mathrm{i}x} = cos x + mathrm{i},sin x$ . Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler.

En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguiente fórmula^[4] que se aproxima a "e":

$e = lim_{ntoinfty} quad {rm }frac{n^n}{(n-1)^{(n-1)}} - frac{(n-1)^{(n-1)}}{(n-2)^{(n-2)}} quad {rm para}quadleft|nright|>2.$

Otro límite^[5] con el que se obtiene el número e es:

$e= lim_{n to infty}(p_n #)^{1/p_n}$

donde $p n$ es el enésimo Número primo y $p_n #$ es el primorial del enésimo primo

[editar] Representaciones de e

El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es el límite:

$lim_{ntoinfty}left(1+frac{1}{n}right)^n,$

Desarrollando la potencia del binomio indicado en la propiedad anterior usando el teorema del binomio de Newton:

$left(1 + frac{1}{n} right)^n = 1 + frac{n}{1}frac{1}{n} + frac{n(n-1)}{1*2}frac{1}{n^2} + frac{n(n-1)(n-2)}{1*2*3}frac{1}{n^3} + ... + frac{1}{n^n}$ $= 1 + frac{1}{1!} + frac{1(1-frac{1}{n})}{2!} + frac{1(1-frac{1}{n})(1-frac{2}{n})}{3!} + ... + frac{1}{n^n}$

Cuando $n$ tiende a infinito, los productos que están en los numeradores tienden a 1, por lo que cada término de esta expresión tiende a $frac{1}{k!}$ , como se quería demostrar.

La serie infinita anterior no es única; e también puede ser representado como:

$e = sum_{k=1}^infty frac{k^2}{2(k!)}$ $e = sum_{k=1}^infty frac{k^3}{5(k!)}$ $e = sum_{k=1}^infty frac{k^4}{15(k!)}$ $e = sum_{k=1}^infty frac{k^5}{52(k!)}$ $e = sum_{k=1}^infty frac{k^6}{203(k!)}$

Existen otras representaciones menos comunes. Por ejemplo, e se puede representar como una fracción simple continua infinita:

$e=2+ cfrac{1}{ 1+cfrac{1}{ {mathbf 2}+cfrac{1}{ 1+cfrac{1}{ 1+cfrac{1}{ {mathbf 4}+cfrac{1}{ ddots } } } } } }$

[editar] Dígitos conocidos

El número de dígitos conocidos de e ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto es debido tanto al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados.^[6] ^[7]

Número de dígitos conocidos de e

Fecha	Dígitos decimales	Cálculo realizado por
1748 ^[8]	18	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. M. Boorman
1946	808	?
1949	2010	John von Neumann (en la ENIAC)
1961	100 265	Daniel Shanks y John W. Wrench
1994	10 000 000	Robert Nemiroff y Jerry Bonnell
Mayo de 1997	18 199 978	Patrick Demichel
Agosto de 1997	20 000 000	Birger Seifert
Septiembre de 1997	50 000 817	Patrick Demichel
Febrero de 1999	200 000 579	Sebastian Wedeniwski
Octubre de 1999	869 894 101	Sebastian Wedeniwski
21 de noviembre de 1999	1 250 000 000	Xavier Gourdon
10 de julio de 2000	2 147 483 648	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de julio de 2000	3 221 225 472	Colin Martin y Xavier Gourdon
2 de agosto de 2000	6 442 450 944	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de agosto de 2000	12 884 901 000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
21 de agosto de 2003	25 100 000 000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
18 de septiembre de 2003	50 100 000 000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
27 de abril de 2007	100 000 000 000	Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
6 de mayo de 2009	200 000 000 000	Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo

[editar] Referencias

El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.

↑ Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston. http://books.google.com/books?id=LIsuAAAAIAAJ&q=%22important+numbers+in+mathematics%22&dq=%22important+numbers+in+mathematics%22&pgis=1.
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001), «The number e» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html
↑ Esta forma de definir la función logaritmo natural, el número e, la función exponencial, etc. puede encontrarse en Cálculo Infinitesimal 2da edición, cap. 17 (p. 465) de Michael Spivak, Reverté o en Calculus 2da edición, cap. 6 (p. 277) de Tom Apostol, Reverté.
↑ Mathsoft "Expresión de Keller", Steven Finch (1998)
↑ Sebastián Martín Ruiz (1997)
↑ Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation
↑ Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast
↑ New Scientist 21 de Julio de 2007 p.40

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

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CIENCIA5: EL NÚMERO PI. π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería.

petalofucsia - 24 de octubre de 2010 - 15:06 - Ciencia5

Número π

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π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

$pi approx 3{,}14159265358979323846...$

El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.

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CIENCIA5: EL NÚMERO PI. π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.

petalofucsia - 24 de octubre de 2010 - 14:59 - Ciencia5

Número π

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$pi approx 3{,}14159265358979323846...$

π

es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es una constante en geometría euclidiana.

Lista de números – Números irracionales ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
Binario	11,00100100001111110110…
Decimal	3,14159265358979323846…
Hexadecimal	3,243F6A8885A308D31319…
Fracción continua	$3 + cfrac{1}{7 + cfrac{1}{15 + cfrac{1}{1 + cfrac{1}{292 + ddots}}}}$ Nótese que la fracción continua no es periódica.

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[editar] El nombre π

Letra griega pi. Símbolo adoptado en 1706 por William Jones y popularizado por Leonhard Euler.

La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro) de un círculo,^[1] notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660), y propuesto su uso por el matemático galés William Jones^[2] (1675-1749), aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748, quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (que no se debe confundir con el número de Arquímedes).

[editar] Historia del cálculo del valor π

La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π son las siguientes.

[editar] Antiguo Egipto

Detalle del papiro Rhind.

El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind,^[3] donde se emplea un valor aproximado de π afirmando que: el área de un círculo es similar a la de un cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a 8/9 del diámetro. En notación moderna:

$S = pi r^2 simeq left( frac{8}{9} cdot d right)^2 = frac{64}{81} d^2 = frac{64}{81} left(4 r^2right)$

$pi simeq frac{256}{81} = 3{,}16049 ldots$

Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua cultura egipcia, en dos se habla de círculos. Uno es el papiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Sólo en el primero se habla del valor aproximado del número π. El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su libro The Exact Sciences in Antiquity,^[4] describe un método inspirado en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de π, mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 9.

[editar] Mesopotamia

Algunos matemáticos mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos, valores de π igual a 3, alcanzando en algunos casos valores más aproximados, como el de 3 + 1/8.

[editar] Referencias bíblicas

Una de las referencias indirectas más antiguas del valor aproximado de π se puede encontrar en un versículo de la Biblia:

«Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tenía cinco codos de altura y a su alrededor un cordón de treinta codos.»

I Reyes 7:23 (Reina-Valera 1995)

Una cita similar se puede encontrar en II Crónicas 4:2. En él aparece en una lista de requerimientos para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C. Ambas citas dan 3 como valor de π lo que supone una notable pérdida de precisión respecto de las anteriores estimaciones egipcia y mesopotámica.

Método de Arquímedes para encontrar dos valores que se aproximen al número π, por exceso y defecto.

Método de aproximación de Liu Hui.

[editar] Antigüedad clásica

El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el valor de π, entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método usado por Arquímedes^[5] era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.

Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero romano Vitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8 midiendo la distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro conocido.

En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones:

$pi simeq frac{377}{120} = 3{,}1416 ldots$

[editar] Matemática china

El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticos expertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrólogo chino Chang Hong (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximación $sqrt {10}$ , que dedujo de la razón entre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita. Un siglo después, el astrónomo Wang Fang lo estimó en 142/45 (3,155555), aunque se desconoce el método empleado.^[6] Pocos años después, hacia 263, el matemático Liu Hui fue el primero en sugerir^[7] que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96^[8] o 192^[6] lados. Posteriormente estimó π como 3,14159 empleando un polígono de 3.072 lados.^[8] ^[9]

A finales del siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de π en 3,1415926 al que llamó «valor por defecto» y 3,1415927 «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de π: 22/7 y 355/113 muy conocidas ambas,^[10] siendo la última aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta más de nueve siglos después, en el siglo XV.^[8]

[editar] Matemática india

Usando un polígono regular inscrito de 384 lados, a finales del siglo V el matemático indio Aryabhata estimó el valor en 3,1416. A mediados del siglo VII, estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmagupta calcula π como $sqrt {10}$ , cálculo mucho menos preciso que el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene una aproximación exacta hasta 11 dígitos (3,14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar la estimación.^[6]

[editar] Matemática islámica

En el siglo IX Al-Jwarizmi en su "Álgebra" (Hisab al yabr ua al muqabala) hace notar que el hombre práctico usa 22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de π con nueve dígitos, empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2π = 6,2831853071795865.

[editar] Renacimiento europeo

John Wallis (1616–1703).

Leonhard Euler (1707–1783).

A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en los cálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para π. El matemático Fibonacci, en su «Practica Geometriae», amplifica el método de Arquímedes, proporcionando un intervalo más estrecho. Algunos matemáticos del siglo XVII, como Viète, usaron polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse con buena precisión a 3,141592653. En 1593 el flamenco Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus) obtiene una precisión de 16 dígitos decimales usando el método de Arquímedes.

[editar] Época moderna (pre-computacional)

En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de π. Se dice que estaba tan orgulloso de esta hazaña que lo mandó grabar en su lápida. Los libros de matemática alemanes durante muchos años denominaron a π como número ludolfiano. En 1665 Isaac Newton desarrolla la serie^[11]

$arcsin {x} = x + frac {1}{2} cdot frac {x^3}{3} + frac{1 cdot 3}{2cdot 4} cdot frac {x^5}{5} + frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6} cdot frac{x^7}{7} + ldots$

Con $x = frac {1} {2}$ obtuvo una serie para $arcsin(frac {1} {2}) = frac {pi} {6}$ .

El matemático inglés John Wallis desarrolló en 1655 la conocida serie Producto de Wallis:

$frac{2}{1} cdot frac{2}{3} cdot frac{4}{3} cdot frac{4}{5} cdot frac{6}{5} cdot frac{6}{7} cdot frac{8}{7} cdot frac{8}{9} cdot dots = frac{pi}{2}$ .

En 1699, a sugerencia de Edmond Halley, el matemático inglés Abraham Sharp (1651-1742) calculó pi con una precisión de 71 dígitos decimales usando la serie de Gregory:

$arctan (x) = x - frac {x^3} {3} + frac {x^5} {5} - ldots$

Con $x = frac {1} {sqrt{3}}$ se obtiene una serie para $arctan (frac {1} {sqrt{3}}) = frac {pi} {6}$ . Para alcanzar la precisión obtenida, debió usar alrededor de trescientos términos en la serie. En 1720 el francés Thomas de Lagny utilizó el mismo método para obtener una aproximación de 127 dígitos (solo los primeros 112 eran correctos).

Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 la siguiente serie matemática que lleva su nombre:

$sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - dots = frac{pi}{4}$ .

Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3,14159 andc. = π». Leonhard Euler adoptó el conocido símbolo en 1737, que se convirtió en la notación habitual hasta nuestros días.

El matemático japonés Takebe empezó a calcular el número π en el año 1722, con el mismo método expuesto por Arquímedes, y fue ampliando el número de lados para polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1.024 lados. Este ingente trabajo consiguió que se determinara π con 41 decimales.

En 1789 el matemático de origen esloveno Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en 1706, fue el primero en averiguar los primeros 140 decimales de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord se mantuvo durante 52 años, hasta que en 1841 William Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales 152 eran correctos.

El matemático aficionado de origen inglés William Shanks dedicó cerca de 20 años a calcular π y llegó a obtener 707 decimales en 1873. En el año 1944, D. F. Ferguson encontró un error en la posición decimal 528 de la serie de Shanks, a partir del cual todos los dígitos posteriores eran erróneos. En 1947, Ferguson recalculó π con 808 decimales con la ayuda de una calculadora mecánica.

Algunas aproximaciones históricas de valores de π, anteriores a la época computacional, se muestran en la siguiente tabla:

Año	Matemático o documento	Cultura	Aproximación	Error (en partes por millón)
~1900 a. C.	Papiro de Ahmes	Egipcia	2⁸/3⁴ ~ 3,1605	6016 ppm
~1600 a. C.	Tablilla de Susa	Babilónica	25/8 = 3,125	5282 ppm
~600 a. C.	La Biblia (Reyes I, 7,23)	Judía	3	45070 ppm
~500 a. C.	Bandhayana	India	3,09	16422 ppm
~250 a. C.	Arquímedes de Siracusa	Griega	entre 3 10/71 y 3 1/7 empleó 211875/67441 ~ 3,14163	<402 ppm 13,45 ppm
~150	Claudio Ptolomeo	Greco-egipcia	377/120 = 3,141666...	23,56 ppm
263	Liu Hui	China	3,14159	0,84 ppm
263	Wang Fan	China	157/50 = 3,14	507 ppm
~300	Chang Hong	China	10^1/2 ~ 3,1623	6584 ppm
~500	Zu Chongzhi	China	entre 3,1415926 y 3,1415929 empleó 355/113 ~ 3,1415929	<0,078 ppm 0,085 ppm
~500	Aryabhata	India	3,1416	2,34 ppm
~600	Brahmagupta	India	10^1/2 ~ 3,1623	6584 ppm
~800	Al-Juarismi	Persa	3,1416	2,34 ppm
1220	Fibonacci	Italiana	3,141818	72,73 ppm
1400	Madhava	India	3,14159265359	0,085 ppm
1424	Al-Kashi	Persa	2π = 6,2831853071795865	0,1 ppm

[editar] Época moderna (computacional)

Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con la mayor cantidad de cifras posible. De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords, obteniendo 2.037 cifras decimales en 70 horas. Poco a poco fueron surgiendo ordenadores que batían récords y, de esta forma, pocos años después (1954) un NORAC llegó a 3.092 cifras. Durante casi toda la década de los años 1960 los IBM fueron batiendo récords, hasta que un IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250.000 cifras decimales (en 8 h y 23 min). Durante esta época se probaban las nuevas computadoras con algoritmos para la generación de series de números procedentes de π.

En la década de 2000, los ordenadores son capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. En 2009 se hallaron más de dos billones y medio de decimales de pi mediante el uso de una supercomputadora T2K Tsukuba System, compuesta por 640 computadoras de alto rendimiento, que juntas consiguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops. Lo obtuvieron en 73 horas y 36 minutos.

Año	Descubridor	Ordenador utilizado	Número de cifras decimales
1949	G.W. Reitwiesner y otros^[12]	ENIAC	2.037
1954		NORAC	3.092
1959	Guilloud	IBM 704	16.167
1967		CDC 6600	500.000
1973	Guillord y Bouyer^[12]	CDC 7600	1.001.250
1981	Miyoshi y Kanada^[12]	FACOM M-200	2.000.036
1982	Guilloud		2.000.050
1986	Bailey	CRAY-2	29.360.111
1986	Kanada y Tamura^[12]	HITAC S-810/20	67.108.839
1987	Kanada, Tamura, Kobo y otros	NEC SX-2	134.217.700
1988	Kanada y Tamura	Hitachi S-820	201.326.000
1989	Hermanos Chudnovsky	CRAY-2 y IBM-3090/VF	480.000.000
1989	Hermanos Chudnovsky	IBM 3090	1.011.196.691
1991	Hermanos Chudnovsky		2.260.000.000
1994	Hermanos Chudnovsky		4.044.000.000
1995	Kanada y Takahashi	HITAC S-3800/480	6.442.450.000
1997	Kanada y Takahashi	Hitachi SR2201	51.539.600.000
1999	Kanada y Takahashi	Hitachi SR8000	68.719.470.000
1999	Kanada y Takahashi	Hitachi SR8000	206.158.430.000
2002	Kanada y otros^[12] [3]	Hitachi SR8000/MP	1.241.100.000.000
2004		Hitachi	1.351.100.000.000
2009	Daisuke Takahashi^[13]	T2K Tsukuba System	2.576.980.370.000
2009	Fabrice Bellard^[14]	Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB	2.699.999.990.000

En la época computacional del cálculo de π las cifras se han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords.

[editar] Características matemáticas

Se muestra la relación entre un cuadrado de lado

r

y un círculo de radio

r

. El área del círculo es

π r 2

[editar] Definiciones

Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante.^[15] No obstante, existen diversas definiciones del número $π$ , pero las más común es:

$π$ es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

Por tanto, también $π$ es:

El área de un círculo unitario (de radio unidad del plano euclídeo).
El menor número real $x$ positivo tal que $sen(x) = 0$ .

También es posible definir analíticamente $π$ ; dos definiciones son posibles:

Le ecuación sobre los números complejos $e i x + 1 = 0$ admite una infinidad de soluciones reales positivas, la más pequeña de las cuales es precisamente $π$ .
La ecuación diferencial $S''(x) + S (x) = 0$ con las condiciones de contorno $S (0) = 0, S'(0) = 1$ para la que existe solución única, garantizada por el teorema de Picard-Lindelöf, es un función analítica cuya raíz positiva más pequeña es precisamente $π$ .

[editar] Número irracional y trascendente

Artículo principal: Prueba de que π es irracional

Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.

También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler,^[16] 1953), es decir, no sólo es trascendental sino que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales "rápidamente convergente" (Stoneham 1970^{[cita requerida]}).

[editar] Las primeras cincuenta cifras decimales

A pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada la máxima cantidad posible de decimales. Los cincuenta primeros son:

$π$ ≈ 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

Para ver secuencias mayores de este número consúltese las referencias, así como Las primeras diez mil cifras decimales A00796 y OEIS.

En ciencia e ingeniería, esta constante puede emplearse, la mayoría de las veces, con una precisión de sólo una docena de decimales. Con cincuenta decimales se podría describir con precisión la curvatura del Universo con un error más pequeño que el tamaño de un protón.^[17]

[editar] Fórmulas que contienen el número π

[editar] En geometría

Longitud de la circunferencia de radio r: C = 2 π r

Áreas de secciones cónicas:

Área del círculo de radio r: A = π r²
Área de la elipse con semiejes a y b: A = π ab

Áreas de cuerpos de revolución:

Área del cilindro: 2 π r (r+h)
Área del cono: π r² + π r g
Área de la esfera: 4 π r²

Volúmenes de cuerpos de revolución:

Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³
Volumen de un cilindro recto de radio r y altura h: V = π r² h
Volumen de un cono recto de radio r y altura h: V = π r² h / 3

Ecuaciones expresadas en radianes:

Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes.

[editar] En probabilidad

La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²
Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4
El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante).
Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: Dπ/2L

[editar] En análisis matemático

Fórmula de Leibniz: $sum_{n=0}^{infty }{{{left(-1right)^{n}}over{2,n+1}}}=frac{1}{1} - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + frac{1}{9} - cdots = frac{pi}{4}$
Producto de Wallis: $prod_{n=1}^{infty }{{{4,n^2}over{4,n^2-1}}}=frac{2}{1} cdot frac{2}{3} cdot frac{4}{3} cdot frac{4}{5} cdot frac{6}{5} cdot frac{6}{7} cdot frac{8}{7} cdot frac{8}{9} cdots = frac{pi}{2}$
Euler: $sum_{n=0}^{infty }cfrac{2^n n!^2}{(2n + 1)!}=1 + frac{1}{3} + frac{1 cdot 2}{3 cdot 5} + frac{1 cdot 2 cdot 3}{3 cdot 5 cdot 7} + cdots = frac{pi}{2}$
Identidad de Euler $e^{pi i} + 1 = 0;$
Área bajo la campana de Gauss: $int_{-infty}^{infty} e^{-x^2} dx = sqrt{pi}$
Fórmula de Stirling: $n! approx sqrt{2 pi n} left(frac{n}{e}right)^n$
Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1735: $zeta(2) = frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + cdots = frac{pi^2}{6}$
Euler: $zeta(4)= frac{1}{1^4} + frac{1}{2^4} + frac{1}{3^4} + frac{1}{4^4} + cdots = frac{pi^4}{90}$
Además, π tiene varias representaciones como fracciones continuas: $frac{4}{pi} = 1 + cfrac{1}{3 + cfrac{4}{5 + cfrac{9}{7 + cfrac{16}{9 + cfrac{25}{11 + cfrac{36}{13 + cfrac{ldots}{ddots}}}}}}}$
También como desarrollo en series: $pi = sum_{k=0}^infty frac{2(-1)^k; 3^{frac{1}{2} - k}}{2k+1}$
Formas de representación aproximada a $π$ ^[18] $frac {355}{113} = 3.141592....$ $sqrt[29] {261424513284461} approx pi$
Método de Montecarlo En un círculo de radio r inscrito en un cuadrado de lado 2R (2 veces el radio), el área del círculo es πr² y la del cuadrado (2r)². De esto se deduce que la relación de área entre el cuadrado y el círculo de π/4.^[19]

[editar] Cómputos de π

Categoría principal: Algoritmos de cálculo de Pi

[editar] Pi y los números primos

Utilizando el inverso del producto de Euler para la función zeta de Riemann y para el valor del argumento igual a 2 se obtiene:

$frac{1}{zeta(2)}=lim_{ntoinfty atop p_n in mathbf{P}}left (1-frac{1}{2^2}right )left (1-frac{1}{3^2}right )left (1-frac{1}{5^2}right )left (1-frac{1}{7^2}right )left (1-frac{1}{11^2}right )...left (1-frac{1}{p_{n}^2}right )=frac{6}{pi^2}$

donde p_n es el n-ésimo número primo. Euler fue el primero en hallar este valor de la función zeta (empleando la expresión de sumatoria) y resolviendo así el famoso Problema de Basilea.

[editar] Fórmula de Machin

Una forma exacta de poder calcular π en términos de tangentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula de Machin, descubierta en 1706:

$frac{pi}{4} = 4 arctanfrac{1}{5} - arctanfrac{1}{239}$

Muchos matemáticos emplearon esta fórmula para averiguar dígitos por encima de la centena (por ejemplo, el ya citado Shanks, que con esta fórmula calculó 707 posiciones decimales de π).

[editar] Métodos eficientes

Los primeros millones de dígitos de π y 1/π se pueden consultar en Proyecto Gutenberg (véase enlaces externos). Uno de los records más recientes fue alcanzado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio, fijando el número pi con 1.241.100.000.000 dígitos; se necesitaron unas 602 horas con un superordenador de 64 nodos Hitachi SR8000 con una memoria de un terabyte capaz de llevar a cabo 2 billones de operaciones por segundo, más de seis veces el record previo (206 mil millones de dígitos). Para ello se emplearon las siguientes fórmulas modificadas de Machin:

K. Takano (1982).

$frac{pi}{4} = 12 arctanfrac{1}{49} + 32 arctanfrac{1}{57} - 5 arctanfrac{1}{239} + 12 arctanfrac{1}{110443}$

F. C. W. Störmer (1896).

$frac{pi}{4} = 44 arctanfrac{1}{57} + 7 arctanfrac{1}{239} - 12 arctanfrac{1}{682} + 24 arctanfrac{1}{12943}$

Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan ingente de dígitos que puede decirse que ya no es útil sino para comprobar el funcionamiento de los superordenadores. La limitación no está en la computación sino en la memoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidad tan grande de números.

[editar] Aproximaciones geométricas a π

Es posible obtener una aproximación al valor de π de forma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron obtener sin éxito una solución exacta al problema del valor de π mediante el empleo de regla y compás. El problema griego conocido como cuadratura del círculo o, lo que es lo mismo, obtener un cuadrado de área igual al área de un círculo cualquiera, lleva implícito el cálculo del valor exacto de π.

Una vez demostrado que era imposible la obtención de π mediante el uso de regla y compás, se desarrollaron varios métodos aproximados. Dos de las soluciones aproximadas más elegantes son las debidas a Kochanski (usando regla y compás) y la de Mascheroni (empleando únicamente un compás).

[editar] Método de Kochanski

Método de Kochanski.

Se dibuja una circunferencia de radio R. Se inscribe el triángulo equilátero OEG. Se traza una recta paralela al segmento EG que pase por A, prolongándola hasta que corte al segmento OE, obteniendo D. Desde el punto D y sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de la circunferencia y se obtiene el punto C. El segmento BC es aproximadamente la mitad de la longitud de la circunferencia.

Demostración (suponiendo R = 1)

$BC^2=AB^2+(3-DA)^2 ,!$

$OF= frac{sqrt{3}}{2}$

$frac{DA}{EF} = frac{OA}{OF} rightarrow frac{DA}{1/2}=frac{1}{sqrt{3}/2} rightarrow DA=frac{sqrt{3}}{3}$

Sustituyendo en la primera fórmula:

$BC^2= 2^2+left (3-frac{sqrt{3}}{3}right )^2 rightarrow BC = sqrt{40-6 sqrt{3} over 3}=3,141533...$

[editar] Método de Mascheroni

Método de Mascheroni.

Método desarrollado por Lorenzo Mascheroni: se dibuja una circunferencia de radio R y se inscribe un hexágono regular. El punto D es la intersección de dos arcos de circunferencia: BD con centro en A', y CD con centro en A. Obtenemos el punto E como intersección del arco DE, con centro en B, y la circunferencia. El segmento AE es un cuarto de la longitud de la circunferencia, aproximadamente.

Demostración (suponiendo R = 1)

$AD=AC=sqrt{3}$ $OD=sqrt{3-1}=sqrt{2}$

$BE=BD=sqrt{(OD-MB)^2+MO^2}$ $BE=BD=sqrt{left( sqrt{2}-frac{sqrt{3}}{2} right)^2+frac{1}{4}}=sqrt{3-sqrt{6}}$

Por el teorema de Ptolomeo, en el cuadrilátero ABEB'

$BB' cdot AE=AB cdot EB' + BE cdot AB'$

$2 cdot AE= sqrt{1+sqrt{6}}+sqrt{9-3 cdot sqrt{6}}=3,142399...$

[editar] Uso en matemáticas y ciencia

π es ubicuo en matemáticas; aparece incluso en lugares que carecen de una conexión directa con los círculos de la geometría euclídea.^[20]

[editar] Geometría y trigonometría

Véase también: Área de un círculo

Para cualquier círculo de radio r y diámetro d = 2r, la longitud de la circunferencia es πd y el área del círculo es πr². Además, π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de muchas otras figuras geométricas relacionadas con la circunferencia, como elipses, esferas, conos, y toroides.^[21] π aparece en integrales definidas que describen la circunferencia, área o volumen de figuras generadas por circunferencias y círculos. En el caso básico, la mitad del área de un círculo unitario es:^[22]

$int_{-1}^1 sqrt{1-x^2},dx = frac{pi}{2}$

y la mitad de la longitud de la circunferencia unitaria es:^[23]

$int_{-1}^1frac{1}{sqrt{1-x^2}},dx = pi$

Se puede integrar formas más complejas como sólidos de revolución.^[24]

De la definición de las funciones trigonométricas desde el círculo unitario se llega a que el seno y el coseno tienen período 2π. Lo que significa, para todo x y enteros n, sin(x) = sin(x + 2πn) y cos(x) = cos(x + 2πn). Porque sin(0) = 0, sin(2πn) = 0 para todos los enteros n. Además, el ángulo 180° es igual a π radianes. En otras palabras 1° = (π/180) radianes.

En matemáticas modernas, π es a menudo definido usando funciones trigonométricas, por ejemplo como el menor entero positivo x para el cual sinx = 0, para evitar dependencias innecesarias de las sutilezas de la geometría euclidiana y la integración. Equivalentemente, π puede ser definido usando funciones trigonométricas inversas, por ejemplo como π = 2 arccos(0) o π = 4 arctan(1). Expandir funciones trigonométricas inversas como series de potencias es la manera más fácil de obtener series infinitas para π.

[editar] Análisis superior y teoría de números

La frecuente aparición de π en análisis complejo puede estar relacionada con el comportamiento de la función exponencial de una variable compleja, descrito por la fórmula de Euler

$e^{ivarphi} = cos varphi + isin varphi !$

donde i es la unidad imaginaria que satisface la ecuación $i 2 = - 1$ y e ≈ 2.71828 es el número de Euler. Esta fórmula implica que las potencias imaginarias de e describen rotaciones un círculo unitario en el plano complejo; estas rotaciones tienen un período de 360º = 2π. En particular, la rotación de 180º φ = π resulta en la notable identidad de Euler

$e^{i pi} = -1.!$

Hay n diferentes raíces n-ésimas de la unidad

$e^{2 pi i k/n} qquad (k = 0, 1, 2, dots, n - 1).$

La integral de Gauss

$int_{-infty}^{infty}e^{-x^2}dx=sqrt{pi}.$

Una consecuencia es que el resultado de la división entre la función gamma de un semientero (la mitad de un número impar) y √π es un número racional.

[editar] Física

Aunque no es una constante física, π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principios fundamentales del Universo, Debido en gran parte a su relación con la naturaleza del círculo y, correspondientemente, con el sistema de coordenadas esféricas. Usando unidades como las unidades de Planck se puede eliminar a veces a π de las fórmulas.

La constante cosmológica:^[25] $Lambda = {{8pi G} over {3c^2}} rho$
Principio de incertidumbre de Heisenberg:^[26] $Delta x, Delta p ge frac{h}{4pi}$
Ecuación del campo de Einstein de la relatividad general:^[27] $R_{ik} - {g_{ik} R over 2} + Lambda g_{ik} = {8 pi G over c^4} T_{ik}$
Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica:^[28] $F = frac{left|q_1q_2right|}{4 pi varepsilon_0 r^2}$
Permeabilidad magnética del vacío:^[29] $mu_0 = 4 pi cdot 10^{-7},mathrm{N/A^2},$
Tercera ley de Kepler: $frac{P^2}{a^3}={(2pi)^2 over G (M+m)}$

[editar] Probabilidad y estadística

En probabilidad y estadística, hay muchas distribuciones cuyas fórmulas contienen a π, incluyendo:

la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, que depende de la integral gaussiana:^[30]

$f(x) = {1 over sigmasqrt{2pi} },e^{-(x-mu )^2/(2sigma^2)}$

la función de densidad de probabilidad para la distribución de Cauchy (estándar):^[31]

$f(x) = frac{1}{pi (1 + x^2)}.$

Nótese que para todas las funciones de densidad de probabilidad se cumple que $int_{-infty}^{infty} f(x),dx = 1$ , entonces las fórmulas anteriores pueden usarse para producir otras fórmulas integrales para π.^[32]

Representación del experimento en el modelo de la "aguja de Buffon", se lanzas dos agujas (a, b) ambas con longitud l. En el dibujo la aguja a está cruzando la línea mientras que la aguja b no.

El problema de la aguja de Buffon es llamado en ocasiones como una aproximación empírica de π. Se trata de lanzar una aguja de longitud l repetidamente sobre una superficie en la que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí, en t unidades, de manera uniforme (con t > l de forma que la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja se lanza n veces y x de esas cae cruzando una línea, entonces se puede aproximar π usando el Método de Montecarlo, lanzándola gran cantidad de veces:^[33] ^[34] ^[35] ^[36]

$pi approx frac{2nl}{xt}.$

Aunque este resultado es matemáticamente impecable, no puede usarse más que para determinar unos cuantos dígitos de π experimentalmente. Para conseguirse sólo tres dígitos correctos (incluyendo el "3" inicial) requiere de millones de lanzamientos,^[33] y el número de lanzamientos crece exponencialmente con el número de dígitos deseados. Además, cualquier error en la medida de las longitudes l y t se transfiere directamente como un error en la aproximación de π. Por ejemplo, una diferencia de un simple átomo en una aguja de 10 centímetros podría acarrear errores en el noveno dígito del resultado. En la práctica, incertidumbres en la determinación de si la aguja en realidad cruza una línea que parece estar solo tocándola lleva el límite de precisión alcanzable a mucho menos de 9 dígitos.

[editar] Curiosidades

[editar] Reglas mnemotécnicas

Es muy frecuente emplear poemas como regla mnemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi.

Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos es con este poema, sólo hay que contar las letras de cada palabra:

Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros

Otra versión, que permite enumerar los 27 primeros dígitos, es la siguiente:
"¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!" Nótese que para el segundo 1 (3,14159...) se utiliza la letra griega π.
Un tercer poema:

Voy a amar a solas, deprimido
no sabrán jamás que sueño hallarte,
perímetro difícil, escondido
que en mis neuronas late...
Oscuro el camino para ver
los secretos que tú ocultas
¿hallarlos podré?...

Otra regla, que permite recordar las primeras 32 cifras:
"Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual."Aquí también se utiliza la letra griega π para el primer 1.

Existen cuentos amplios que son capaces de hacer memorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el titulado "Cadaeic Cadenza", escrito en 1996 por el matemático Michael Keith y que ofrece la posibilidad de memorizar los primeros 3.834 dígitos. De esta forma, tomando "A" como 1, "B" como 2, "C" como 3, etc., el nombre de la historia saca los dígitos de pi, como "Cadaeic" es la primera palabra de 7 dígitos de pi:

C a d a e i c
3.1 4 1 5 9 3

Es de resaltar que en cada idioma existen diferentes reglas mnemotécnicas (se aconseja visitar cada Wikipedia para descubrir el arte empleado en cada idioma).

[editar] Aparición en medios

En el año 1998 aparece una película del director Darren Aronofsky denominada Pi sobre un matemático que cree que el mundo se representa por números.
Alfred Hitchcock en su film Cortina rasgada hace aparecer el símbolo π como una organización de espionaje.
En La Película The Net, Aparece en la parte inferior derecho de una pagina de conciertos y música, de un programa llamado The Mozart Ghost, Aparentemente es solo un adorno, pero cuando se presiona CRTL+ALT+Click en π, se Accede a la interface de datos de el Guardián de la Puerta, un Programa de los Pretorianos, Que pedia un Usuario y un Password.
En la serie de dibujos The Simpsons, en el episodio "Bye Bye Nerdie", el Professor Frink grita, a voz en cuello, que "¡π es igual a tres!", para atraer la atención de un auditorio compuesto por científicos. Cuando todos se dan vuelta para mirarlo, pide disculpas por haberse visto obligado a semejante sacrilegio.
En la serie Futurama aparecen diferentes referencias a π, tales como 'aceite π en 1', y 'compre en πkea'.
La novela Contacto de Carl Sagan —sobre la que luego se filmó la película homónima— toma a π (aunque no en base decimal) como un número que esconde la esencia misma del universo.

[editar] Datos interesantes

"Piso-Pi", mosaico en la entrada del edificio de las matemáticas en TU Berlín.

Detalle del "Mazda Pi", se añadieron 27 cifras decimales de π a este automóvil.

Tarta con el número pi.

Construcción aproximada para la cuadratura del círculo, encontrada por Ramanujan.

El día 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la aproximación de π.
El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se marca también como el día pi en el que los fans de este número lo celebran con diferentes actuaciones. Curiosamente es el cumpleaños de Einstein.
355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como una simulación ¡cuasi-perfecta!
Los usuarios del buscador A9.com que eligen su tienda virtual como amazon.com ofrecen descuentos de (π/2)% en sus compras.
John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona π en una canción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada "Something Tells Me". La canción acaba con una letra como: "What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!".
El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se puede consultar en el Proyecto Gutenberg o en este enlace.
La numeración de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza según los dígitos de π. La versión del año 2002 se etiquetó con 3.141592
Se emplea este número en la serie de señales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por una civilización inteligente extraterrestre.
La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es $6 / π 2$
Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono en las 50.000.000 primeras cifras de π
En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantos dígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como: RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».
En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial recitando durante 13 horas 83.431 dígitos del número pi sin parar, doblando el anterior record en posesión del también japonés Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record recitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire.
El máximo número de dígitos de π necesario para buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.
Existe una canción de Kate Bush llamada "Pi" en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número.
En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es ∗31416.^[37]
El valor principal de la expresión $i i$ es un número real y está dado por^[38] $i^i=left(e^{ipi /2}right)^i=e^{i^2pi /2}=e^{-pi /2}=0.207879...$
En la página web thinkgeek.com pueden comprarse camisetas y accesorios con π. En el enlace se puede ver una camiseta en la que se construye la letra π con sus primeros 4493 digitos.^[39] ^[40]
Existe un vehículo Mazda 3 modificado, al que se le añadieron 27 cifras de π, después del 3.^[41]
Srinivasa Ramanujan publicó una solución aproximada, con regla y compás, a la cuadratura del círculo en 1913 en la que obtuvo un segmento aproximadamente igual a $r sqrt{pi}$ :^[42]

$mbox{segmento} =frac{d}{2}sqrt{frac{355}{113}}approx rsqrt{pi}$

[editar] Días de Aproximación a Pi

Artículo principal: Día Pi

Según determinadas coincidencias numéricas, los Días de Aproximación a Pi son:

[editar] Cuestiones abiertas sobre π

Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decimales de π?
La denominada cuestión de Brouwer: en la expansión decimal de π, ¿existe alguna posición donde exista una sucesión de mil ceros consecutivos?
¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir, ¿tiene cada uno de los diez dígitos del sistema decimal la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal?
No se sabe si π+e, π/e , ln(π) son irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a ocho y con coeficientes enteros del orden 10⁹.^[43] ^[44]

[editar] Referencias

↑ G L Cohen and A G Shannon, John Ward's method for the calculation of pi, Historia Mathematica 8 (2) (1981), 133-144
↑ New Introduction to Mathematics, William Jones, 1706, London
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↑ "The Exact Sciences in Antiquity", Otto Neugebauer, 1957, Dover, New York ,(nueva edición de 1969).
↑ Petr Beckmann: A History of Pi, publicado por primera vez por The Golem Press, 1971, edición consultada por Barnes and Noble Books, New York , 1993.
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↑ C. Jami, Une histoire chinoise du 'nombre π', Archive for History of Exact Sciences 38 (1) (1988), 39-50
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↑ ^a ^b ^c ^d ^e Bailey David H. , Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation (2003). Disponible en este enlace. Consultada:22 de abril de 2008
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↑ Mahler, K. "On the Approximation of ." Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 30-42, 1953.
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↑ "Mazda Pi" en Gaussianos.com. Consultado: 23 de abril de 2008
↑ Ramanujan, Srinivasa (1913). «Squaring the circle» (djvu). Journal of the Indian Mathematical Society. http://en.wikisource.org/wiki/Squaring_the_circle.
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↑ Pi en Mathworld [2] (en inglés). consulta: 21 de abril de 2008

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número π. Commons
Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Número π. Wikiquote
Historia del cálculo de Pi y algoritmos utilizados.
Rodríguez del Río, Roberto (2008) El número Pi: de la Geometría al Cálculo Numérico.
Historia de Pi, en astroseti.org
Club de Amigos de Pi
Para buscar cualquier número entre las primeras 200.000.000 de cifras de Pi
Programa para el cálculo de π y de otro gran número de constantes (en Inglés)
Lista con los valores calculados con autores y valores (en Inglés)
Diseño de una moneda. El valor de Pi

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CIENCIA5: LO CORRECTO. Que no tiene faltas, errores o defectos.

petalofucsia - 23 de octubre de 2010 - 20:59 - Ciencia5

correcto, -ta adj.

1 Que no tiene faltas, errores o defectos. incorrecto.

2 Que es acertado o adecuado. incorrecto.

3 Que está conforme con las normas sociales. incorrecto.

4 Educado, de conducta irreprochable.

correcto, -ta

adj. Conforme a las reglas, libre de errores o defectos.

Díc. de la persona cortés, tratable, comedida.

correcto

adj correcto [ko'ɾekto, -ta]

1 que no tiene errores o defectos

lenguaje correcto

2 que es acorde a ciertas condiciones

Es la respuesta correcta a mi pregunta.

3 que sigue las normas de cortesía

Es muy correcto en su trato.

políticamente correcto
que está de acuerdo con la común consideración de las personas

No es políticamente correcto utilizar expresiones racistas.

Tesauro

correcto, correcta

adjetivo

(persona) atento, cortés, educado, comedido, respetuoso.

Obtenido de http://es.thefreedictionary.com/correcto

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FILOSOFÍA10: NECESIDADES Y CARENCIAS QUE TENEMOS. HASTA AHORA LA PRINCIPAL CARENCIA O ESCASEZ ERA DE DINERO, PARA LA PLENITUD ES IMPRESCINDIBLE LA AUTORREALIZACIÓN PERSONAL, TRABAJAR EN LO QUE NOS GUSTA Y ESTAR MOTIVADOS. EN CUANTO A CARENCIAS SE ME OCURREN CARENCIAS INTELECTUALES PORQUE LAS FÍSICAS PARECEN ESTAR YA CUBIERTAS, HAY MUCHO DÉFICIT EN EL ESTUDIO DEL UNIVERSO Y EN CIENCIA, TAMBIÉN EN LETRAS Y EN FILOLOGÍA, EN FILOSOFÍA, EN TODAS LAS MATERIAS QUE SE HAN VISTO. SE ESTÁ TRATANDO DE DOMINAR EL CLIMA, COSAS BÁSICAS TODAVÍA Y LA GENERACIÓN DE ALIMENTOS. MILES DE PERSONAS TRABAJAN PARA CUBRIR LAS NECESIDADES FÍSICAS Y CAMINAMOS HACIA LA PERFECCIÓN, PERO LAS INTELECTUALES AÚN NO ESTÁN CUBIERTAS Y CABE MUCHO QUE AÑADIR EN MUCHAS DISCIPLINAS. LOS PROPIOS NOMBRES DE LAS PROFESIONES PUEDEN RESULTAR INDICATIVOS E ILUSTRATIVOS A LA HORA DE DESARROLLARLAS. UN ALTO GRADO DE ESPECIALIZACIÓN Y CUBRIR ABSOLUTAMENTE NUESTRA NECESIDAD BÁSICA DE SUPERVIVENCIA.En el marketing y los recursos humanos, una necesidad para una persona es una sensación de carencia unida al deseo de satisfacerla. Por ejemplo, la sed, el hambre y el frío son sensaciones que indican la necesidad de agua, alimento y calor, respectivamente.

petalofucsia - 23 de octubre de 2010 - 19:36 - Filosofía10

Necesidad

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Para consultar el significado filosófico, véase Necesario.

En el marketing y los recursos humanos, una necesidad para una persona es una sensación de carencia unida al deseo de satisfacerla. Por ejemplo, la sed, el hambre y el frío son sensaciones que indican la necesidad de agua, alimento y calor, respectivamente.

"Las necesidades son la expresión de lo que un ser vivo requiere indispensablemente para su conservación y desarrollo. En psicología la necesidad es el sentimiento ligado a la vivencia de una carencia, lo que se asocia al esfuerzo orientado a suprimir esta falta, a satisfacer la tendencia, a la corrección de la situación de carencia"

Un deseo es una necesidad que toma la forma de un producto, marca o empresa. Por ejemplo, si se tiene sed y se siente la necesidad de hidratarse, se desea un vaso de agua para satisfacer dicha necesidad. Las necesidades no se crean, existen. Lo que se crea o fomenta es el deseo. El papel del marketing es detectar necesidades, que puedan transformarse en oportunidades de negocio, producir satisfactores (productos y/o servicios), y despertar el deseo por dichos productos o servicios, es decir convencer al consumidor que la mejor opción para satisfacer dicha necesidad es el satisfactor desarrollado por la empresa.

Para una organización, una necesidad es aquello que precisa para cumplir o alcanzar un objetivo determinado.

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[editar] Jerarquía de necesidades

Las necesidades pueden jerarquizarse según la pirámide de Maslow:

Necesidades fisiológicas: comida, bebida, vestimenta y vivienda.
Necesidades de seguridad: seguridad y protección.
Necesidades de pertenencia: afecto, amor, pertenencia y amistad.
Necesidades de autoestima: autovalía, éxito y prestigio.
Necesidades de autorealización: de lo que uno es capaz, autocumplimiento.

Una categorización alternativa es la del economista chileno Manfred Max-Neef, para quien las necesidades humanas básicas forman una matriz de componentes finitos, no estando jerarquizadas entre ellas. La matriz es de nueve tipos de necesidades por cuatro formas de realización: subsistencia, protección, afecto, comprensión, participación, creación, recreo, identidad y libertad; las cuales se realizan mediante el ser, el tener, el hacer y el relacionarse.

[editar] Microeconomía

Características de las necesidades:

Esenciales

Calidad: Cuando se habla de calidad como característica esencial de la necesidad, debe entenderse que se refiere al conocimiento innegable que el sujeto posee sobre el bien genérico y útil o adecuado que ha de satisfacerla.
Cantidad: Supone que el sujeto puede inferir por tanteo, y aún medir con cierta precisión, qué cantidad de bienes serán necesarios para saciar su necesidad.

Ocasionales

Intensidad: La necesidad será más intensa en la medida en que el problema parezca más complejo o sean menores las posibilidades de satisfacerla.

[editar] Derecho

En el Derecho la necesidad tiene relevancia en varias situaciones. Por ejemplo, en la cuestión de las prestaciones de alimentos uno de los elementos que toman en cuenta las leyes de cada país para determinar la existencia de la obligación a prestarlos y el monto de los mismos son las necesidades que tiene la persona beneficiaria de los alimentos.

El estado de necesidad de la persona puede ser una causa de eximición de responsabilidad penal y civil.

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

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Categorías: Mercadotecnia | Términos jurídicos

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MATEMÁTICAS: TEORÍA DEL ORDEN. La teoría del orden es una rama de la matemática que estudia varias clases de relaciones binarias que capturan la noción intuitiva del orden matemático. Este artículo da una introducción detallada a este campo e incluye algunas de las definiciones más básicas. Para una rápida búsqueda de un término orden teórico, hay también un glosario de teoría del orden. Una lista de asuntos sobre orden recoge los artículos que existen en relación a esta teoría del orden.

petalofucsia - 23 de octubre de 2010 - 19:09 - Matemáticas

Teoría del orden

De Wikipedia, la enciclopedia libre

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La teoría del orden es una rama de la matemática que estudia varias clases de relaciones binarias que capturan la noción intuitiva del orden matemático. Este artículo da una introducción detallada a este campo e incluye algunas de las definiciones más básicas. Para una rápida búsqueda de un término orden teórico, hay también un glosario de teoría del orden. Una lista de asuntos sobre orden recoge los artículos que existen en relación a esta teoría del orden.

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[editar] Trasfondo y motivación

El orden aparece por todas partes - por lo menos, si se trata de matemática y áreas relacionadas tales como la informática. El primer orden que uno típicamente encuentra en la educación matemática de la escuela primaria es el orden ≤ de los números naturales. Este concepto intuitivo es fácilmente extendido a otros conjuntos de números, tal como los enteros y reales. De hecho la idea de ser mayor o menor que otro número es una de las intuiciones básicas de los sistemas de numeración en general (que uno generalmente se interesa también en la diferencia real de dos números, que no viene dada por el orden). Otro ejemplo popular de un orden es el orden lexicográfico de las palabras en un diccionario.

Los tipos antedichos de orden tienen una propiedad especial: cada elemento se puede comparar con cualquier otro elemento, es decir es o mayor, o menor, o igual. Sin embargo, esto no siempre es un requisito deseable. Un ejemplo bien conocido es el orden de los subconjuntos de un conjunto. Si un conjunto contiene los elementos de cierto otro conjunto, entonces se puede decir que es menor o igual. Con todo, hay conjuntos que pueden no ser comparables de este modo, puesto que cada uno puede contener algún elemento que no esté presente en el otro. Por lo tanto, inclusión de subconjuntos es un orden parcial, en comparación con los órdenes totales dados antes.

Alentadas por los amplios usos prácticos de los órdenes, se pueden definir numerosas clases especiales de conjuntos ordenados, algunas de las cuales han llegado a ser campos matemáticos por sí mismos. Además, la teoría del orden no se restringe a las varias clases de relaciones de orden, sino que también considera funciones apropiadas entre ellas. Un ejemplo simple de una propiedad orden teórica viene del análisis donde encontramos con frecuencia a las funciones monótonas.

[editar] Introducción a las definiciones básicas

Esta sección tiene como objetivo dar una primera guía al reino de los conjuntos ordenados. Está dirigida al lector que tiene un conocimiento básico teoría de conjuntos y aritmética y que sabe qué es una relación binaria, pero que no está familiarizado, hasta ahora, con consideraciones teóricas sobre orden.

[editar] Conjuntos parcialmente ordenados

Como ya se hizo alusión arriba, un orden es una relación binaria especial. Por lo tanto consideremos algún conjunto P y una relación binaria ≤ en P. Entonces ≤ es un orden parcial si es reflexiva, antisimétrica, y transitiva, es decir, para todo a, b y c en P, tenemos que:

a ≤ a (reflexividad)si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c (transitividad)si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b, (antisimetría).

Un conjunto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado, o, en breve, poset (del inglés partially ordered set). El término conjunto ordenado a veces también se utiliza para los posets, mientras esté claro del contexto que no se quiere significar ninguna otra clase de órdenes. Comprobando esta propiedad, se ve inmediatamente que los bien conocidos órdenes de los naturales, enteros, racionales y reales son todos órdenes en el antedicho sentido. Sin embargo, tienen la propiedad adicional de ser total, es decir, para todo a, b en X

a ≤ b o b ≤ a (totalidad)

este orden se puede también llamar orden lineal o cadena. mientras que muchos órdenes clásicos son lineales, el orden entre subconjuntos de un conjunto proporciona un ejemplo donde éste no es el caso. De hecho, muchas propiedades avanzadas de los posets son interesantes principalmente para un orden no lineal.

[editar] Visualizando órdenes

Antes de proceder con más ejemplos y definiciones, será provechoso poder exhibir un orden de una manera gráfica conveniente, para proporcionar un "cuadro" que uno pueda tener en mente (o en papel) cuando se intente acceder a conceptos más abstractos. Para este propósito se han introducidos los, así llamados, diagramas de Hasse. Estos son grafos donde los vértices son los elementos del poset y la relación de orden está indicada por las aristas y la posición relativa de los vértices. Los órdenes se dibujan de abajo hacia arriba: si un elemento x es menor que y entonces existe una trayectoria de x hasta y que se dirige hacia arriba. A menudo es necesario que la conexión entre puntos se intersequen, pero los puntos nunca deben ser situados en conexión directa entre otros dos puntos.

Aún los conjuntos infinitos pueden a veces ser ilustrados por diagramas similares, usando puntos suspensivos (...) después de dibujar un suborden finito que sea lo suficientemente instructivo. Esto funciona bien para los números naturales, pero falla para los reales, donde no existe el inmediato sucesor. Sin embargo, frecuentemente se obtiene una intuición relacionada con diagramas de este tipo.

Todos los órdenes antedichos son muy comunes en matemática, sin embargo hay también ejemplos que uno no considera a menudo como órdenes. Por ejemplo, la relación de identidad "=" en un conjunto es un orden parcial. Dentro de este orden, cualesquiera dos (i.e. distintos) elementos son incomparables. Es también la única relación que es un orden parcial y una relación de equivalencia. El diagrama de Hasse de tal orden discreto es solamente una colección de puntos etiquetados, sin ninguna arista entre ellos.

Otro ejemplo viene dado por la relación de divisibilidad "|". Para dos números naturales n y m, escribimos n|m si n divide a m sin resto. Uno ve fácilmente que esto da realmente un orden parcial. Un ejercicio instructivo es dibujar el diagrama de Hasse para el conjunto de los números naturales que son menores o iguales que, digamos, 13, ordenados por |.

[editar] Elementos especiales dentro de un orden

En un conjunto parcialmente ordenado hay algunos elementos que desempeñan un papel especial. El ejemplo más básico está dado por el mínimo de un poset. Por ejemplo, 0 es el mínimo de los números naturales y el conjunto vacío es el mínimo bajo el orden de subconjuntos. Formalmente, esto se puede describir por la propiedad:

0 ≤ a, para todo elemento a del conjunto ordenado.

Es frecuente encontrar la notación 0 para el mínimo, incluso cuando no se refiera a números. Sin embargo, en un orden de un conjunto numérico, esta notación puede ser inadecuada o ambigua, puesto que el número 0 no siempre es el mínimo. Un ejemplo es el antedicho orden de divisibilidad |, donde 1 es el mínimo puesto que divide a todo el resto de números. Por otra parte, 0 es un número que se divide por todo el resto de números. ¡Por lo tanto es el máximo del orden! Otros términos frecuentes para estos elementos son fondo y tapa o cero y uno. Pueden no existir los elementos "mínimo" o "máximo", como demuestra el ejemplo de los números reales. Por otra parte, si existen son siempre únicos. En contraste, consideremos la relación de divisibilidad | en el conjunto {2, 3, 4, 5, 6}. Aunque este conjunto no tiene ni tapa ni fondo, los elementos 2, 3, y 5 no tienen ningún elemento debajo, mientras que 4, 5, y 6 no tienen ninguno otro número arriba. Tales elementos se llaman minimales y maximales, respectivamente. Formalmente, un elemento m es minimal si:

a ≤ m implica a = m, para todo elemento a.

Intercambiando ≤ con ≥ obtenemos la definición de maximal. Como el ejemplo demuestra, puede haber muchos elementos minimales o maximales y algún elemento puede ser maximal y minimal (e.g. 5 arriba). Sin embargo, si hay un elemento mínimo, entonces es el único elemento minimal del orden. (Si se sigue estrictamente la definición dada. Lamentablemente hay una tradición matemática "a contrario": considerar los minimales y maximales en el conjunto despojado de su máximo y su mínimo, si los hubiere. Esto debe recordarse. N.T.). Una vez más, en los posets no siempre hay infinitos elementos maximales - el conjunto de todos los subconjuntos finitos en un conjunto infinito dado, ordenado por inclusión de subconjuntos, proporciona uno, entre muchos, contraejemplo. Una herramienta importante para asegurar la existencia de elementos maximales bajo ciertas condiciones es el Lema de Zorn.

Los subconjuntos de un conjunto parcialmente ordenado heredan el orden. Ya aplicamos esto al considerar el subconjunto {2, 3, 4, 5, 6} de los números naturales con el orden de divisibilidad inducido. Hay también elementos de un poset que son especiales con respecto a cierto subconjunto del orden. Esto conduce a la definición de cota superior. Dado un subconjunto S de cierto poset P, una cota superior de S es un elemento b de P que está sobre todo elemento de S. Formalmente, esto significa que

s ≤ b, para todo s en S.

Cota inferior se define invirtiendo el orden. Por ejemplo, -5 es una cota inferior de los números naturales como subconjunto de los enteros. Dado un conjunto de conjuntos , una cota superior para éstos conjuntos viene dado por su unión. De hecho, esta cota superior es muy especial: es el más pequeño conjunto que contiene todos los conjuntos dados. Por lo tanto, encontramos la menor cota superior de un conjunto de conjuntos. Este concepto se llama también supremo y para un conjunto S se escribe sup S o VS para su menor cota superior. Inversamente, la mayor cota inferior se la conoce como ínfimo y se denota inf S o ^S. Este concepto desempeña un papel importante en muchos usos de la teoría del orden. Para dos elementos x y y, uno también escribe x v y y x ^ y para sup{x, y} e inf{x, y}, respectivamente.

Usando Wikipedia TeX markup, uno puede también escribir $vee$ y $wedge$ , así como símbolos grandes $bigvee$ y $bigwedge$ . Observe, sin embargo, que todos esos símbolos pueden no tener símbolo de tamaño correspondiente al de la fuente del texto estándar y, por tanto, se prefiere utilizarlos en líneas adicionales. Muchos de los navegadores de hoy son incapaces de representar ∨ para v y ∧ para ^ en algunas plataformas, y por lo tanto se evita aquí.

Considere otro ejemplo en la relación | para los números naturales. La menor cota superior de dos números es el menor número que es múltiplo de ambos, es decir el mínimo común múltiplo. Mayor cota inferior es, alternativamente, el máximo común divisor.

[editar] Dualidad

En las anteriores definiciones, a menudo, observamos que un concepto puede ser definido por invertir simplemente el orden en una definición anterior. Este es el caso para "menor" y "mayor", para "mínimo" y "máximo", para "cota superior " y "cota inferior", etcétera. Esto es una situación general en teoría de orden: Un orden dado se puede invertir con solamente intercambiar su dirección, pictóricamente dar vuelta el diagrama de Hasse de arriba para abajo. Esto da el, así llamado, orden dual, inverso u opuesto.

Cada definición orden teórica tiene su dual: es la noción que se obtiene al aplicar la definición al orden inverso. Dada la simetría de todos los conceptos, esta operación preserva los teoremas del orden parcial. Para un resultado matemático dado, se puede, simplemente, invertir el orden y substituir todo definición por su dual y obtener otro teorema válido. Esto es importante y útil, puesto que uno obtiene dos teoremas al precio de uno. Más detalle y ejemplos se pueden encontrar en el artículo sobre dualidad en teoría de orden.

[editar] Construyendo nuevos órdenes

Hay muchas maneras de construir órdenes, o para combinar órdenes en uno nuevo. El orden dual es un primer ejemplo. Otra importante construcción es el producto cartesiano de dos conjuntos parcialmente ordenados, junto con el orden producto en pares de elementos. Esto se define por los órdenes originales haciendo (a, x) ≤ (b, y) si a ≤ b y x ≤ y. La unión disjunta de dos posets es otra típica construcción, donde el orden es exactamente la unión de los órdenes originales.

Como en el caso del orden usual de números, cada orden parcial ≤ da lugar a un orden estricto <, al definir a < b si a ≤ b y no b ≤ a. Esta transformación puede ser invertida haciendo a ≤ b si a < b o a = b.

[editar] Funciones entre órdenes

Es razonable requerir que las funciones entre conjuntos parcialmente ordenados tengan ciertas propiedades adicionales, que se relacionen con la relación de orden de los dos conjuntos. La condición más fundamental que se presenta en este contexto es la monotonía. Un función f de un poset P a un poset Q es monótona u orden preservante, si a ≤ b en P implica f(a) ≤ f(b) en Q. La conversa de esta implicación conduce a una función que es orden reflectante, es decir una función f como arriba para la cuál f(a) ≤ f(b) implica a ≤ b. Por otra parte, una función puede también ser orden inversora o antítona, si a ≤ b implica f(a) ≥ f(b).

Una inmersión de orden es una función f entre órdenes que es orden preservante y orden reflectante. Ejemplos para esta definición se encuentran fácilmente. Por ejemplo, función que mapea un número natural en su sucesor es claramente monótona con respecto al orden natural. Cualquier función de un orden discreto, es decir un conjunto ordenado por el orden identidad "=", es también monótono. Mapear cada número natural al correspondiente número real da un ejemplo para una inmersión de orden. El complemento conjuntista en un conjunto de partes es un ejemplo de una función antítona.

Una importante pregunta es cuándo dos órdenes son "esencialmente iguales", es decir cuándo son lo mismo salvo retitular elementos. Un isomorfismo de orden es una función que define tal renombrar. Un isomorfismo de orden es una función monótona biyectiva que tiene una inversa monótona. Esto es equivalente a una inmersión de orden sobreyectiva. Por lo tanto, la imagen f(P) de una inmersión de orden es siempre isomorfa a P, lo que justifica el término "inmersión".

Un más elaborado tipo de función es la, así llamada, conexión de Galois. Conexiones de Galois monótonas pueden ser vistas como una generalización de los isomorfismos de orden, puesto que están constituidas por dos funciones en inversa dirección, que no son inversas absolutas una de la otra, pero tienen cercana relación.

Otro tipo especial de endofunción en un poset es el operador de clausura, que no solamente es monotónico, sino también idempotente, es decir. f(x) = f(f(x)), y extensivo, es decir. x ≤ f(x). éste tiene mucho uso en todo clase de "clausuras" que aparecen en matemática.

Además de compatible con la mera relación de orden, una función entre posets puede también comportarse bien con respecto a elementos especiales y construcciones. Por ejemplo, cuando se habla de posets con menor elemento, parece razonable considerar solamente una función monotónica que preserve este elemento, es decir que mapee menor elemento en menor elemento. Si el ínfimo binario ^ existe, entonces una propiedad razonable puede ser requerir que f(x^y) = f(x) ^ f(y), para todo x y y. Todas estas propiedades, y de hecho muchas más, pueden ser agrupadas bajo la etiqueta función que preserva límite.

Finalmente, uno puede invertir la visión, cambiar funciones de orden a orden de funciones. De hecho, las funciones entre dos posets P y Q pueden ser ordenadas vía el orden punto a punto. Para dos funciones f y g, se tiene f ≤ g si f(x) ≤ g(x) para todo elemento x en P. Esto ocurrirá por ejemplo en teoría de dominios, donde los espacios funcionales desempeñan un importante papel.

[editar] Tipos especiales de orden

Muchas de las estructuras que son estudiadas en teoría de orden emplean relaciónes con propiedades adicionales. De hecho, algunas relaciones que no son de orden parcial son de especial interés. Principalmente, el concepto de preorden tiene que ser mencionado. Un preorden es una relación que es reflexiva y transitiva, pero no necesariamente antisimétrica. Cada preorden induce una relación de equivalencia entre elementos, donde a es equivalente a b, si a ≤ b y a ≥ b. Los preórdenes pueden ser convertidos en órdenes identificando todo elemento equivalente con respecto a esta relación.

Tipos básicos de órdenes especiales ya se dieron en forma de orden total. Una simple pero útil propiedad adicional conduce al, así llamado, buen orden, dentro del que todo subconjunto no vacío tiene un menor elemento (también denominado primer elemento). Muchos otros tipos de orden se presentan cuando se garantiza la existencia de ínfimos y supremos de ciertos conjuntos. Centrándose en este aspecto, generalmente referido como completitud de órdenes, se obtiene:

Posets acotados, es decir posets con menor y mayor elementos (que son precisamente supremo e ínfimo del conjunto vacío),

reticulados, en que cada conjunto finito no vacío tiene supremo e ínfimo,

reticulados completos, donde cada conjunto tiene supremo e ínfimo, y

órdenes parciales dirigidos completos (dcpos), que garantizan la existencia de supremo en todo subconjunto dirigido y son estudiados en teoría de dominios.

Sin embargo, uno puede ir incluso más allá: si todo ínfimo finito no vacío existe, entonces ^ puede ser visto como una operación binaria total en el sentido del álgebra universal. Por lo tanto, en un reticulado, dos operaciones ^ y v están disponibles, y se puede definir nuevas propiedades dando identidades, tal como

x ^ (y v z) = (x ^ y) v (x ^ z), para todo x, y, y z.

Este condición se llama distributividad y dar lugar a los reticulados distributivos. Hay algunas otras importantes leyes de distributividad que son discutidas en el artículo sobre la distributividad en teorías de orden. Algunas estructuras de orden adicionales que son a menudo especificadas vía operación algebraica y definiendo identidades son

álgebras de Heyting y

álgebras de Boole,

en que ambas introducen una nueva operación ~ llamada negación. Ambas estructuras desempeñan un papel en lógica matemática y especialmente las álgebras de Boole tienen importante uso en informática. Finalmente, varias estructuras en matemática combinan orden con operaciones aún más algebraicas, como el caso de quantales, que permite la definición de una operación de adición.

Existen muchas otras importantes propiedades de los posets. Por ejemplo, un poset es localmente finito si cada intervalo cerrado [a, b] en él es finito. Los posets localmente finitos dan lugar a álgebras de incidencia que alternadamente pueden ser utilizadas para definir característica de Euler de posets finitos acotados.

[editar] Subconjuntos de conjuntos ordenados

En un conjunto ordenado, uno puede definir muchos tipos especiales de subconjuntos basados en el orden dado. Un ejemplo simple son los conjuntos superiores, es decir conjuntos que contienen todo elemento que esté sobre ellos en el orden. Formalmente, la clausura superior de un conjunto S en un poset P viene dado por el conjunto {x en P| hay algún y en S con y ≤ x}. Un conjunto que es igual a su clausura superior se llama un conjunto superior. conjunto inferior es definido dualmente.

Subconjuntos inferiores más complicados son los ideales, que tienen la propiedad adicional que cada dos de sus elementos tiene cota superior dentro del ideal. Su noción dual son los filtros. Un concepto relacionado es el de subconjunto dirigido, que como un ideal contiene cota superior de un subconjunto finito, pero no tiene porque ser un conjunto inferior. Además, a menudo se generaliza a conjuntos preordenados.

Un subconjunto que es - como sub-poset - linealmente ordenado, se llama una cadena. La noción opuesta, anticadena, es un subconjunto que no contiene ningún par de elementos comparables, es decir que es un orden discreto.

[editar] Áreas matemáticas relacionadas

aunque la mayoría de las áreas matemáticas usan orden de uno u otra manera, también hay algunas teorías que tienen una relación que va mucho más allá de la mera utilización. Junto con su importante punto de contacto con la teoría de orden, algunas serán presentadas abajo.

[editar] Álgebra universal

Según lo ya mencionado, los métodos y el formalismo del álgebra universal son una herramienta importante para muchas consideraciones orden teóricas. Aparte de formalizar órdenes en términos de estructuras algebraicas que satisfacen ciertas identidades, se pueden también establecer otras conexiones con el álgebra. Un ejemplo es la correspondencia entre las álgebras de Boole y los anillos de Boole. Otros aspectos tienen que ver con la existencia de construcciones libres, tal como los reticulados libres basados en un conjunto de generadores. Además, los operadores de clausura son importantes en el estudio del álgebra universal.

[editar] Topología

En topología el orden desempeña un muy prominente papel. De hecho, el conjunto de los abiertos proporciona un clásico ejemplo de un reticulado completo, más exactamente un álgebra de Heyting completa (o "marco" o "locale"). Los filtros y las redes son nociones relacionadas con la teoría de orden y el operador clausura conjuntista puede ser utilizado para definir una topología. Más allá de esta relación, la topología de puede mirar únicamente en términos del reticulado de conjuntos abiertos, que conduce al estudio de la topología sin puntos. Además, un preorden natural de elementos del conjunto subyacente de una topología viene dada por el, así llamado, orden de especialización, que es realmente un orden parcial si la topología es T₀.

Inversamente, en teoría de orden, uno a menudo hace uso de resultados topológicos. Hay varias maneras de definir subconjuntos de un orden que pueden ser considerados como conjunto abiertos de una topología. Especialmente, es interesante considerar topologías en un poset (X, ≤) que reobtiene ≤ como su orden de especialización. La más fina de tales topologías es la topología de Alexandrov, dada al tomar todos los conjuntos superiores ("upper") como abiertos. Inversamente, la más gruesa topología que induce el orden de especialización es la topología superior, que tiene los complementos de los ideales principales (es decir conjuntos de la forma { y en X|y ≤ x} para cada x) como una subbase. Adicionalmente, una topología con orden de especialización ≤ puede ser orden consistente, significando que sus conjuntos abiertos son "inaccesibles por supremos dirigidos" (con respecto ≤). La topología más fina de un orden consistente es la topología de Scott, que es más gruesa que la topología de Alexandrov. Una tercera topología importante en esta línea es la topología de Lawson. Hay cercanas conexiones entre estas topologías y los conceptos de la teoría de orden. Por ejemplo, una función preserva supremos dirigidos si y sólo si es continuo con respecto a la topología de Scott (por este razón esta propiedad orden teórica es también llamada continuidad de Scott).

[editar] Teoría de categorías

La visualización de órdenes con diagramas de Hasse tiene una generalización directa: en vez exhibir elemento menores bajo los mayores, la dirección del orden se puede también representar dando la dirección de las aristas del grafo. De esta manera, cada orden se ve como equivalente a un grafo dirigido acíclico, donde los nodos son los elementos del poset y hay una trayectoria dirigida de a a b si y solamente si a ≤ b. Eliminando el requisito acíclico, uno puede también obtener todos los preórdenes.

Cuando es equipado con todas las aristas transitivas, estos grafos son solamente categorías especiales, donde los elementos son los objetos y cada conjunto de morfismos entre dos elementos es a lo sumo un singletón. Funciones entre órdenes se convierten en funtores entre categorías. Interesantemente, muchas ideas de la teoría de orden son simplemente pequeñas versiones de los conceptos de la teoría de las categorías. Por ejemplo, un ínfimo es precisamente un producto categórico. Más en general, uno puede subsumir supremos e ínfimos bajo la noción abstracta de un límite categórico (o colímite, respectivamente). Otro lugar en donde las ideas categoriales surgen es el concepto de una conexión de Galois (monótona), que es precisamente igual a un par de funtores adjuntos.

Pero la teoría de las categorías también tiene un impacto en la teoría de orden de mayor escala. Clases de posets con funciones apropiadas según lo discutido arriba forman interesantes categorías. A menudo uno puede también establecer construcción de órdenes, como el orden producto, en término de categoría. Otras intuiciones resultan cuando categorías de orden resultan equivalentes categóricas a otra categoría, por ejemplo de espacios topológicos. Este línea de investigación conduce a varios teoremas de representación, a menudo recogidos bajo la etiqueta dualidad de Stone.

[editar] Esquema de temas relacionados

Teoría del orden

Bien ordenado

Orden total

Parcialmente ordenado

Preordenado

Relación reflexiva

Relación transitiva

Relación antisimétrica

Relación total

Orden bien fundamentado

[editar] Referencias

G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, and D. S. Scott, Continuous Lattices and Domains, In Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 93, Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-80338-1

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Categoría: Teoría del orden

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CIENCIA5: ORDEN. TEORÍA DE SISTEMAS. Uno de los significados de orden es la propiedad que emerge en el momento en que varios sistemas abiertos, pero en origen aislados, llegan a interactuar por coincidencia en el espacio y el tiempo, produciendo, mediante sus interacciones naturales, una sinergia que ofrece como resultado una realimentación en el medio, de forma que los elementos usados como materia prima, dotan de capacidad de trabajo a otros sistemas en su estado de materia elaborada. La capacidad de algunos sistemas de recordar el pasado (de tener memoria), produce en ese sistema la capacidad de establecer un método organizado y coordinado para repetir el logro alcanzado por selección natural, y acelerar el objetivo a conseguir. En ese proceso, se paga un precio: la pérdida de su individualidad, mayor dependencia de nuevos elementos que pueden existir gracias a una economía más holgada, pero ganando en especialización. Bajo este enfoque, el orden es la organización de las partes para hacer algo funcional y preciso, lo cual implica la presencia de un cauce que establece una transacción de cargas con menor coste y por lo tanto con potencial de desarrollo a una psicodinámica emergente, dando la oportunidad al observador de imputar una finalidad intencional y, como puede deducirse, de una acción inteligente.

petalofucsia - 23 de octubre de 2010 - 19:01 - Ciencia5

Orden

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Este artículo trata sobre el concepto de orden. Para otros usos de este término, véase Orden (desambiguación).

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Uno de los significados de orden es la propiedad que emerge en el momento en que varios sistemas abiertos, pero en origen aislados, llegan a interactuar por coincidencia en el espacio y el tiempo, produciendo, mediante sus interacciones naturales, una sinergia que ofrece como resultado una realimentación en el medio, de forma que los elementos usados como materia prima, dotan de capacidad de trabajo a otros sistemas en su estado de materia elaborada.

La capacidad de algunos sistemas de recordar el pasado (de tener memoria), produce en ese sistema la capacidad de establecer un método organizado y coordinado para repetir el logro alcanzado por selección natural, y acelerar el objetivo a conseguir. En ese proceso, se paga un precio: la pérdida de su individualidad, mayor dependencia de nuevos elementos que pueden existir gracias a una economía más holgada, pero ganando en especialización. Bajo este enfoque, el orden es la organización de las partes para hacer algo funcional y preciso, lo cual implica la presencia de un cauce que establece una transacción de cargas con menor coste y por lo tanto con potencial de desarrollo a una psicodinámica emergente, dando la oportunidad al observador de imputar una finalidad intencional y, como puede deducirse, de una acción inteligente.

Contenido

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[editar] Ámbitos de orden

En el ámbito del orden social, el orden se remite a la forma en la cual las comunidades se organizan. Así, existen las sociedades jerárquicas, que se basan en una organización social rígida y piramidal, o en sus antípodas las sociedades anarquistas, cuyo orden es mucho más flexible y requiere, en consecuencia, fuertes valores de conducta, como el respeto por la libertad del otro, la igualdad y la responsabilidad por los actos propios. En las diferentes formas de organización social, los factores determinantes son la cultura y los fenómenos particulares que hacen a la naturaleza de cada una de ellas, y no necesariamente las leyes escritas, las cuales tan sólo reflejan las leyes sociales creadas por la comunidad, o alguna de sus partes.

[editar] Otros puntos de vista

Bajo otro punto de vista, el orden no es únicamente una acción inteligente, sino todo aquello que funciona de una determinada manera. Así, aunque quien observa el orden y en última instancia lo define es un individuo inteligente, el orden se encuentra naturalmente en la disposición de sucesos u otros conceptos observables. Aquello que denominamos tiempo, presenta un orden natural para los sucesos y, guiados al menos por los conocimientos concretos del ser humano hasta el día de hoy, el orden cronológico es unidireccional e invariable.

Los antónimos de orden pueden ser, según el contexto en que sea utilizado, desorganización, desorden y caos.

De la misma forma, existen órdenes de órdenes, que solemos llamar estructuras. Existen multitud de estructuras en los más diversos campos tanto de la naturaleza como de la vida social.

[editar] Significados en diferentes disciplinas

Utilizado en masculino un orden puede referirse a un criterio de ordenamiento. En filosofía, orden (en griego cosmos) es lo que se opone al caos. En biología, orden es una de las categorías de la taxonomía. En ciencias sociales, generalmente se refiere al orden social o al orden público. En matemáticas, los diferentes tipos de orden son tratados por la teoría del orden.

Utilizado en femenino, una orden es un imperativo. En el catolicismo puede referirse a las Órdenes religiosas. Hay gran número de honores y condecoraciones en gran número de países que llevan el nombre de Orden.

[editar] Véase también

Orden (desambiguación)
Ordenamiento (desambiguación)

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Categoría: Teoría de sistemas

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FILOSOFÍA10: OBJETIVO DEL SISTEMA: LA FELICIDAD. ¿CUÁL ES SU OBJETIVO EN LA VIDA? La felicidad es un estado de ánimo que se produce en la persona cuando cree haber alcanzado una meta deseada y buena. Tal estado propicia paz interior, un enfoque del medio positivo, al mismo tiempo que estimula a conquistar nuevas metas. Es definida como una condición interna de satisfacción y alegría. OBJETIVOS PRIMARIOS POR LLAMARLO DE ALGUNA MANERA, SE ME PRESENTAN OTROS OBJETIVOS, LA MEMORIA COLECTIVA, EL ENTENDIMIENTO, LA RAZÓN, LA METODOLOGÍA, LOS PROCEDIMIENTOS, EL DESARROLLO DEL LENGUAJE, DE LA TÉCNICA, DE TODAS LAS ANTROPÍAS, ¿QUÉ MÁS SE PUEDE AÑADIR AQUÍ?.

petalofucsia - 23 de octubre de 2010 - 17:41 - Filosofía10

Felicidad

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Para otros usos de este término, véase Felicidad (desambiguación).

Niño jugando.

La felicidad es un estado de ánimo que se produce en la persona cuando cree haber alcanzado una meta deseada y buena. Tal estado propicia paz interior, un enfoque del medio positivo, al mismo tiempo que estimula a conquistar nuevas metas. Es definida como una condición interna de satisfacción y alegría.

[editar] Generalidades

Se entiende en este contexto como un estado de ánimo positivo, la capacidad de abordar una tarea llevándola al término propuesto. El resultado final complace a la persona que acomete dicha tarea. Como resultado de una actividad neural constante en un entorno con variables ya experimentadas y conocidas, los distintos aspectos de la actividad mental fluyen de forma armónica, siendo los factores internos y externos interactuantes con el sistema límbico. En dicho proceso se pueden experimentar emociones derivadas, que no tienen por qué ser placenteras, siendo consecuencia de un aprendizaje ante un medio variable.

[editar] Análisis

Es un estado subjetivo que sin embargo puede objetivarse para su análisis. Los siguientes son ejemplos de disciplinas con aproximaciones objetivas :

La Filosofía estudia su concepto y realidad.
Psicología positiva: Intenta determinar los factores endógenos que el individuo puede manejar para alcanzar ese determinado estado de ánimo.
La Sociología: Se ocupa de analizar qué factores sociales determinan los objetivos que el sujeto se marca como meta para alcanzar estados de felicidad.
La Antropología: Muestra cómo distintas culturas han establecido cánones distintos al respecto.

[editar] Otras definiciones

[editar] Según la filosofía

La pregunta sobre la felicidad es esencial en el surgimiento de la ética en Grecia. Los filósofos encontraron respuestas muy diferentes, lo cual demuestra que, como decía Aristóteles, todos estamos de acuerdo en que queremos ser felices, pero en cuanto intentamos aclarar cómo podemos serlo empiezan las discrepancias. En la filosofía griega clásica hay tres posturas:

Ser feliz es autorrealizarse, alcanzar las metas propias de un ser humano (eudemonismo), postura defendida por Aristóteles. En cierto sentido, también Platón puede ser encuadrado en esta postura, si bien el horizonte de la felicidad, según Platón, se abre a la vida después de la muerte.
Ser feliz es ser autosuficiente, valerse por sí mismo sin depender de nada ni de nadie (cinismo y estoicismo).
Ser feliz es experimentar placer intelectual y físico y conseguir evitar el sufrimiento mental y físico (hedonismo). Es la postura que defiende Epicuro.

Entre eudemonismo y hedonismo existe un desacuerdo fundamental. Aristóteles considera que ser feliz es ser humano en el más pleno sentido de la palabra. Epicuro, por el contrario, se pregunta qué es lo que mueve a los humanos a obrar, porque la felicidad consistirá en conseguirlo, y esa cosa es el placer.

Aristóteles sostiene que todos los hombres están de acuerdo en llamar felicidad a la unidad presupuesta de los fines humanos, el bien supremo, el fin último, pero que es difícil definirla y describirla. De ahí se aprecia la divergencia de opiniones respecto a cómo entender la felicidad; placer para algunos; honores para otros; contemplación (conocimiento intelectual) para otros, de acuerdo a otros puntos de vista. Aristóteles rechaza que la riqueza pueda ser la felicidad, pues es un medio o para conseguir placeres o para conseguir honores, pero reconoce que existen personas que convierten a las riquezas en su centro de atención.

No obstante, para Aristóteles, éstos no son más que bienes externos que no son perseguidos por sí mismos, sino por ser medios para alcanzar la felicidad, ya que es ésta la única que se basta a sí misma para ser autárquica y perfecta. Los demás bienes externos se buscan porque pueden acercarnos más a la felicidad, aunque su posesión no implica que seamos íntegramente felices. Puesto que no por poseer riquezas garantizamos nuestra felicidad. Tampoco solamente la consecución del placer nos hace felices. Normalmente necesitamos algo más para serlo y eso nos distingue de los animales. Sin embargo, aunque estos bienes particulares no basten, ayudan, y en esto Aristóteles mantiene una postura moral bastante desmitificada y realista, el bien no puede ser algo ilusorio e inalcanzable. Sin ciertos bienes la felicidad será casi imposible de alcanzar. Para Aristóteles la felicidad humana se basa en la autorealización dentro de un colectivo humano, adquirada mediante el ejercicio de la virtud.

Existen también otras muchas escuelas filosóficas que han trabajado el tema de felicidad individual en otros términos, a saber, el epicureismo entiende la felicidad como autosuficiencia en el placer moderado, los estoicos piensan la felicidad como fortaleza en la aceptación de una existencia determinada, racionalistas como Leibniz defienden la felicidad como adecuación de la voluntad humana a la realidad, utilitaristas como John Stuart Mill defienden un concepto de felicidad como satisfacción de los placeres superiores, entre otros...

Para algunos autores ‘’"New Thought"’’, la felicidad es una actitud mental que el hombre puede asumir conscientemente, es decir es una decisión.

La idea de que la felicidad sea una decisión, la argumentan del hecho que el hombre haya buscado muchas formas de encontrar esa felicidad en muchos aspectos, y aun así, parece esquiva para la mayoría de las personas.

Al descubrir que existen seres felices e infelices en todas las diversas condiciones socio-económicas, geográficas, de edad, religión, sexo, estados mentales (hay personas con problemas mentales que a pesar de ello son realmente felices), estos concluyen que cuando el individuo decide aceptar su condición y su pasado, y asumir la vida tal como es en ese momento y construir su vida a partir de aquellos preceptos, el hombre es realmente feliz.

Tanto religiones tradicionales como pensamientos neoeristas declaran que cada persona tiene una función específica en el universo y que en el momento que la persona lo descubra y viva de acuerdo a ésta, será realmente feliz.

También existen varias corrientes filosóficas contemporáneas, entre ellas la "Nietzscheniana", que afirman que el hombre no es concebido para la felicidad, sino que está destinado a sufrir.

[editar] Según la religión

Para las religiones teístas, la felicidad sólo se logra en la unión con Dios, no es posible ser feliz sin esta comunión. Siendo la felicidad considerada como la obtención definitiva de la plenitud y el estado de satisfacción de todo tipo de necesidades es alcanzable sólo en ese grado después de la muerte.

Sin embargo, hay diferentes puntos de vista según la religión que examinemos. Para el cristianismo se expresa en la vivencia de las bienaventuranzas y las enseñanzas de la biblia (especialmente los evangelios) y en el seguimiento y comunión con Cristo resucitado a través del Espíritu Santo. Muy semejante a esto es el camino musulmán.

El hinduismo a pesar de tener una revelación divina distinta de la cristiana y musulmana, plantea la felicidad como un estado permanente del alma humana eterna que debe ser descubierto (iluminación) y que lleva a la vivencia natural de la felicidad. No se alcanza por obras sino que las obras son consecuencia y deber de ese estado "descubierto" que lleva al hombre a descubrir la unidad esencial de su alma con el espíritu universal (Dios) y con todas las almas. En conclusión la felicidad en religiones como la cristiana, musulmana o hindú es comunión lograda o descubierta, tarea del ser humano y gracia del Dios Creador.

La excepción entre la grandes religiones organizadas del mundo la constituye el budismo, que aunque es una religión emparentada históricamente con el hinduismo, sin embargo es no-teísta, al no existir ni un creador, ni un alma. El budismo considera que la felicidad duradera se alcanza al erradicar el anhelo ansioso, lo que a su vez se consigue solo al "despertar" de la ilusión del "yo", es decir, el mantenerse consciente y atento a la auténtica naturaleza de la vida y la existencia.

[editar] Interacciones

El subconsciente alimenta este estado de ánimo .^[1] Admitir los límites de la personalidad nos facilitará la capacidad de no derrochar recursos en aquello que es incontrolable. .^[2] Tratar de condicionar el entorno a nuestro deseo ^[3] solo impedirá que consigamos atisbar lo que es el flujo ^[4] que nos lleva al estado de ánimo feliz.^[5] Este estado no se encuentra fuera de nosotros, ni siquiera en nosotros, se encuentra en nuestra naturaleza interior. ^[3] No depende exclusivamente del entorno, sino que es la aceptación de que existen fuerzas más poderosas que nuestra voluntad, modificando nuestra actitud hacia la vida; siendo el pesimismo una actitud que dificulta la consecución de dicho estado anímico y el optimisto una actitud favorecedora, pero ninguna de las dos son determinantes. ^[6]

La felicidad es una inversión de recursos, los cuales consumiremos para mantenernos, teniendo que repetir el ciclo tantas veces como sea necesario.

La capacidad de dar soluciones a los diferentes aspectos del vivir cotidiano, hace del individuo más o menos feliz. Esto se pone de relieve cuando entendemos lo que es la frustración, causa principal de la pérdida de la felicidad.

Cabe decir que, tal sensación de autorrealización y plenitud, confiere a las personas felices una mayor serenidad y estabilidad en sus pensamientos, emociones y actos; fruto del equilibrio y la compensación de las cargas emocionales y las racionales. Algunas emociones asociados a la felicidad son la alegría y la euforia.

[editar] Las decisiones conscientes

A pesar que nuestro consciente no puede imbuirnos ese estado de felicidad, sí que puede trabajar para fomentar los factores que contribuirán a que las interacciones internas tiendan a estimular al sistema límbico, para que este pueda llegar a informar a nuestro consciente de ese estado anhelado de felicidad.

[editar] La lucha interna

La Amígdala cerebral y el hipotálamo son regiones que cooperan para la transición de las emociones. El neocórtex racionaliza los recursos de los que disponemos. Son dos áreas incompatibles con miles de años de evolución entre ambos, que usan la conciencia como medio de comunicación para poner solución a las demandas bilaterales. Podría ilustrarse con el ejemplo de dos personas que intentan ponerse de acuerdo para solucionar sus problemas personales en un centro de arbitraje, que representaría la conciencia, el lugar donde las emociones y la racionalidad se hacen compatibles. Por tanto, se hace evidente que, para que nuestro sistema límbico informe ese estado predilecto de felicidad, es indispensable que tengamos una conciencia capaz de acallar a las dos partes en disputa. Si solo acallamos a una, la voz de la otra no nos dejará tranquilos, y en consecuencia nuestro sistema límbico nos informará de una aproximación de lo que es la felicidad: La estimulación por catecolaminas. El resultado es cualquiera de los estados asociados a este neurotransmisor y que va a depender de la interpretación que le de nuestro administrador de recursos (conciencia).

[editar] La diferencia entre el flujo y polarización.

Dentro de los estados de conciencia asociados al flujo de la felicidad, los sistemas internos funcionan como si de una 'orquesta filarmónica' se tratase, en ocasiones la sinfonía requiere de uno 'solo', que es cuando destaca ante nuestro consciente una polarización concreta (o neurotransmisor predominante). Si nuestro consciente se cree que el 'solo' es el objetivo final de su existencia, o desconoce como 'invocar' a los otros 'instrumentos' para que entren a 'tiempo', nuestro organísmo al completo sufrirá las consecuencias entrando en otras polarizaciones resultantes de la carencia de una 'sifonía' completa. Dado que nuestro cerebro normaliza la realidad por instinto de supervivencia, la realidad para su centro administrador de recursos será lo que entiende que le ha dado mejor resultado en un pasado y esto depende de nuestra memoria y lo capaz que sea de desentrañar los detalles. El hecho es que es muy fácil que insistamos en la 'invocación' del 'instrumento' en base al recuerdo sostenido.

[editar] La experiencia

Atravesar momentos agradables como desagradables nos ayudan a comprender y enfocar que es eso del 'estado de flujo'. El que es capaz de tocar Jazz, es capaz de focalizar emociones y sentimientos resultantes de sus experiencias pasadas y transmitirlos con notas musicales. Por eso la memoria a este respecto juega un papel crucial.

[editar] La memoria

Si la memoria nutriese de forma eficaz nuestro centro administrador de recursos, los recuerdos fluirían sin obstáculos ante situaciones paralelas, ayudando a que la 'orquesta al completo entre a tiempo'. La degradación neuronal impide que eso suceda de forma sostenida en el tiempo, por lo que si se desea sostener el flujo asociado a la felicidad hasta nuestra muerte, se necesitaría ayuda, algo o alguien que nos estimulara la motivación para recordarnos en todo momento que 'instrumento toca dentro del concierto que se nos está demandando'.

[editar] Desórdenes patológicos

Bien sea por falta de memoria o por falta de experiencia, el hecho de que la 'orquesta entre a destempo' (suele suceder cuando hemos terminado de pasar un tiempo de duelo y nuestro centro administrador de recursos continua invocando un instrumento, que ya por naturaleza no va a sonar por sí solo) en su 'serenata' solo producirá los efectos asociados a una oposición al sentido y dirección que indica nuestro entorno, 'desafianado' en grado extremo y provocando la desorientación de cada sistema metabólico cerebral, que de sostenerse en el tiempo, alterán:

Rítmos biológicos de descanso.
Rítmos metabólicos cerebrales.
Centro inmunológico.
Centro endocrino.

A consecuencia de todo esto, el sistema nervioso se va viendo afectado por el caos formado, comenzando a informar 'realidades' razonables únicamente por el enfermo, a consecuencia de:

Ansiedades.
Ataques de pánico.
Obsesiones compulsivas.
Fobias.
Manias depresivas.
Un largo etc.

Todo ello derivado del desorden cerebral patológico producido por la lesión que ha dejado en el cerebro el despojo de su estado de flujo y la insistencia del centro administrador de recursos en que continue 'sonando' un 'instrumento', sin razón de ser, por falta de información. A este respecto ayudan los psicofármacos aportando lo que por naturaleza un cerebro sano debiera administrar y que por su lesión es incapaz de aportar.

[editar] La Pirámide de Maslow

Artículo principal: Pirámide de Maslow

Pirámide de necesidades de Maslow.

Fisiología: Los niveles más básicos de sostenibilidad nos los aporta la naturaleza. No obstante, restringir nuestro centro de atención y conciencia a como lograr mantener nuestro estado homeostático, ocupa recursos metabólicos que impiden al cerebro sentirse seguro y confiado.

Seguridad: Esta sensación se produce cuando nuestro cerebro ha logrado registrar la pauta por la cual poder asegurar su fisiología. Se refuerzan los enlaces neuronales y metabólicos adecuados, permitiendo que esas tareas funcionen desde nuestro inconsciente. En ese estado de seguridad, nuestra mente ahora puede centrarse en la búsqueda de cooperación y establecer lazos sociales. En resumen, de subir al nivel de Afiliación.

Afiliación: La afiliación es la base de la economía. Con la amistad nace el compromiso, con el compromiso nace el trabajo cooperado y confiado, con el trabajo surje material sobrante, con ese material se puede comerciar. El hecho de que se aprecie nuestro trabajo, produce la sensación de reconocimiento.

Reconocimiento: Esta sensación se basa en la seguridad de que los demás te necesitan y formas parte de una cadena en la que sin ti, sería costoso reponer nuestra ausencia. Esto permite marcar la pauta de creatividad al cerebro, la pauta por la cual uno puede aportar beneficio y sentirse digno en la sociedad en la que habita. Ésto debería ser suficiente motivación como para poder sostener la Autorealización.

Autorealización: También llamada felicidad, se sostiene por la motivación que produce nuestro trabajo constante y continuado. Gracias a las capacidades de nuestro cerebro de crear, de adaptarse y resolver problemas.

[editar] La tecnología

La ciencia y la tecnología son una ayuda valiosísima que nos permite sostener ese estado de flujo por más tiempo del que la propia naturaleza nos hubiese permitido. Pero no debemos olvidar que, tarde o temprano perderemos irremediablemente el paso y comenzaremos a 'desafinar'.

[editar] La personalidad

Hay quienes piensan que la felicidad depende de uno mismo, de lo 'fuerte' que uno sea, de lo valiente, espabilado, sagaz, capaz... en definitiva, de cualidades que son dependientes de otros factores que nada tienen que ver con el estado de flujo asociado a la felicidad, y que por efecto de ésta, experimentamos las otras. La personalidad es la región de nuestra mente que administra los recursos, marca prioridades y establece objetivos; pero no es capaz de imbuirnos estados anímicos, estos son el resultado de la suma de procesos neuroquímicos en los que nuestra persona poco o nada tiene que ver. Podremos favorecer o dificultar que sucedan, pero no impedirlos.

Pensamientos del estilo que, nada o nadie podrá impedir que sea feliz, es relativamente cierto o falso, dependiendo de lo capaces que seamos de tratar con las polarizaciones que nos motivan. Todo lo que sucede es para nuestro beneficio, no obstante, si lo que sucede se opone a lo que consideramos bueno (y ahí entra nuestra personalidad), es cuando el estado preferente se distorsiona y comenzamos a perder el flujo. No podemos actuar como jueces en una naturaleza que no entiende de justicia moral. El idioma de la naturaleza establece un equilibrio termodinámico. Nuestro cerebro sí entiende de termodinámica, pero nuestra consciencia no siempre está educada para comprender la dinámica de esta naturaleza.

Las cosas son como son, tal como suceden, a pesar de que se opongan a nuestros objetivos. Si estamos pasando hambre y nos dicen que debemos levantar dos toneladas de peso al golpe de tres... podremos hacer dos cosas, resignarnos y acabar muriendo de hambre (polarización 1) o tratar de hacer razonar a quien nos puede ayudar (polarización 2). Si no somos conscientes de ese estado de flujo, y de como conservarlo, acabaremos perdiéndolo y no podremos hacer gran cosa por recuperarlo.

[editar] La lucha externa

Hemos de sobrevivir en un mundo competitivo, el cual premia a los que no cometen errores. Los errores se pagan con la extinción del individuo o de la especie. Si una llama de fuego encendida en una vela, cometiese el más mínimo error a la hora de consumir sus recursos, ella misma se extinguiría, y la posibilidad de encender otras velas desaparecería. La complejidad de un ser vivo es mucho mayor, pues al consumo de energía se le suma la dificultad de ser homeostáticos. Por lo que si no somos capaces de transferir adecuadamente la carga, si no somos capaces de 'quemar de forma efectiva la chispa que nos mantiene vivos', el 'fuego' quemará estructuras vitales y acabaremos consumiéndonos nosotros mismos.

[editar] Psicología como ayuda

Como ciencia, se dedica a recoger hechos sobre la conducta y la experiencia, y a organizarlos sistemáticamente, elaborando teorías para su comprensión. Estas teorías ayudan a conocer y explicar el comportamiento de los seres humanos y en alguna ocasión incluso pueden ayudar a las personas a integrar la información percibida fomentando la tendencia a encontrar o incluso a sostener el estado de flujo asociado a la felicidad.

[editar] Paradigma Espiritual

La espiritualidad es la función proyectada en el tiempo de la personalidad, que le dota de una orientación, un futuro y un sentido, por la cual poder establecer prioridades y administrar los recursos energéticos tanto internos como externos, llegando a la conclusión de que la vida sí tiene sentido. En el caso del hombre puede basarse en una esperanza, o en una necesidad común al resto de la fauna.

Esta orientación fortalece la tendencia a conservar el flujo asociado a la felicidad.

[editar] Paradigma Positivista

Martin Seligman, uno de los fundadores de la psicología positiva, menciona en su libro felicidad auténtica que la felicidad es como un conjunto de:

Emociones positivas: Tales como éxtasis y la comodidad.
Actividades positivas: Tales como la concentración y el cumplimiento de nuestras tareas.

Este autor, presenta tres categorías de emociones positivas relacionadas con el pasado, presente y futuro.

Las emociones positivas referentes al pasado incluyen la satisfacción, la alegría, el orgullo y la serenidad.
Las emociones positivas referentes al futuro incluyen optimismo, esperanza y confianza.
Las emociones positivas sobre el presente se dividen en dos categorías que sean perceptiblemente diferentes:

Los placeres: los corporales y más altos son “placeres del momento” e implican generalmente un cierto estímulo externo.
Satisfacciones: Las satisfacciones implica la consecución del objetivo por el cual hemos trabajado, el flujo, la eliminación de la timidez, y el saber administrar las emociones negativas para beneficio del objetivo (defensa). Pero cuando una satisfacción viene a las emociones positivas de un final entonces nos sentiremos protegidos.

Las satisfacciones pueden ser obtenidas o ser aumentadas desarrollando fuerzas y virtudes del carácter. La autenticidad es la derivación de la satisfacción y de las emociones positivas de administrar las fuerzas de las que la personalidad dispone.

La buena vida se nutre de la correcta administración de las fuerzas de que dispone la personalidad para obtener el equilibrio interior, por ejemplo, sintiendo que la labor de uno en el trabajo aporta algo positivo y que gracias a ese esfuerzo el colectivo se beneficia a cierto grado. Si además tenemos actividades creativas, estaremos aportando factores favorables para que la felicidad se convierta en un estado profundo de nuestra manera de vivir. El sentido más profundo de la felicidad es experimentado con la “vida significativa”, alcanzada si uno ejercita sus fuerzas y virtudes de los uniques en un propósito mayor que lo suyo metas inmediatas. Otra pregunta interesante es si la tendencia a la felicidad de la experiencia está basada en dispositional afecta o eso es un resultado de las circunstancias de la vida.

[editar] El efecto linterna

Una linterna, correctamente usada, alumbra sin que su estructura externa se vea gravemente comprometida. En ciertas regiones acumulará calor y, de no usarse con moderación, es posible que la potencia de la bombilla acabe dañando ciertas partes. El uso natural de la linterna provocará su envejecimiento y rotura. Ahora, si usamos de mala manera la linterna, y en lugar de usarla de la forma más efectiva, nos conformamos con colocarla en lo alto de un palo y usarla de antorcha prendiéndola fuego, creeremos que estamos obteniendo el mismo objetivo, pero es evidente que no es así.

Con las personas sucede algo parecido. Disponemos en nuestro cerebro de diferentes redes neuronales, que integran diferentes formas de transacción neuroquímica, que a su vez capacitan diferentes formas de inteligencia en el hombre^[7] Podremos tener la sensación de creer que estamos dando soluciones a nuestra vida, pero si no somos capaces de aplicar la inteligencia adecuada al campo de la vida que lo necesita, la sensación de estar vivos no nos acompañará, ya que no obtendremos el resultado esperado y la frustración será lo dominante.

En consecuencia a lo anterior, el uso que nos estaremos dando será como el de la linterna en lo alto del palo, y todo porque nuestra conciencia no es capaz de valorar ciertas facultades inherentes de la mente. Quizás porque las experiencias asociadas a la manifestación de dicha inteligencia fueron desagradables, lo consideramos malo y nuestra conciencia huye de esas sensaciones. Lo cierto es que, tras conseguir superar nuestros propios valores morales asociados a nuestra memoria biográfica, la red neural que conforma el ego, puede solicitarle a la conciencia que se pasee por los diferentes registros de nuestras diversas redes inteligentes tal como si fuera una linterna adecuadamente encendida y enfocando en los objetos, nutriendo de datos que nuestra conciencia considera buenos, y no ya para nosotros mismos, pues hemos superado nuestros propios valores morales, sino para el objetivo a conseguir^[8] El ego podrá invocar a la memoria aquello que la conciencia ha ido recopilando como bueno, ensamblando la información e integrando una solución.

[editar] Teoría de la felicidad Cuantizada

"La felicidad es una emoción resultado de una actividad neural fluida en la que los factores internos y externos interactúan estimulando el sistema límbico. La estimulación del ego por parte de este sistema, nos dará un enfoque de los resultados más óptimos, ayudando a la integración de la información adecuada. Ello fomentará respuestas nutridas desde el inconsciente, que nuestro consciente adaptará a los límites del medio. De esta forma se propicia o aplaza ese estado anímico. Si no se logra integrar la información de forma óptima, el resultado será una polarización a la espera de ser integrada en una solución que cancele la carga" (definición de wikipedia)

"Según la Teoría de la Felicidad Cuantizada (T.F.C.), desarrollada por José M. Cárdenas Contreras en 1998, todos los individuos son igual de felices y al final de sus vidas todos habrán vivido una cierta cantidad de felicidad que se contrarrestará con su propia infelicidad vivida obteniéndose como resultado un balance total neutro en cada uno de los seres (balance de felicidad a la hora de nuestra muerte = 0). Entendemos por felicidad la vivencia de un estado anímico alegre o positivo durante un periodo de tiempo e infelicidad la de un estado triste o negativo durante otro periodo.

1) Felicidad = Estado anímico * tiempo F = E·t 2) Estado anímico es la variación de la felicidad respecto al tiempo y por tanto, la derivada de la felicidad respecto al tiempo será igual al Estado anímico. 3) Felicidad por consiguiente será la integral del Estado anímico y al final de la vida dará como resultado cero. 4) Se puede definir la variación (derivada) del estado anímico respecto al tiempo como una especie de “aceleración de felicidad". " (Teoría de la felicidad cuantizada)

"Para la mayoría de las religiones la felicidad sólo se logra en la unión con Dios, no es posible ser feliz sin esta comunión. Siendo la felicidad considerada como la obtención definitiva de la plenitud y el estado de satisfacción de todo tipo de necesidades es alcanzable sólo en ese grado después de la muerte" (Felicidad en las religiones)

"Aristóteles sostiene que todos los hombres están de acuerdo en llamar “felicidad” a la unidad presupuesta de los fines humanos, el bien supremo, el fin último, pero que es difícil definirla y describirla. De ahí se aprecia la divergencia de opiniones respecto a cómo entender la felicidad; placer para algunos; honores, para otros; riqueza, de acuerdo a otros puntos de vista. No obstante, para Aristóteles, éstos no son más que bienes externos que no son perseguidos por sí mismos, sino por ser medios para alcanzar la felicidad, ya que es ésta la única que se basta a sí misma para ser autárquica y perfecta." (Felicidad filosófica)

[editar] Fuentes consultadas

El viaje a la felicidad Las nuevas claves científicas Eduardo Punset. E.D. Destino. Octava Edición: 02/2006 ISBN: 84-233-3777-4. Dep. Legal: B.5.199-2006

[editar] Bibliografía de referencia

Finding Flow. The psychology of engagement with every day life. Autor: Csikszentmihaly, Mihaly. Editorial: Basic Books, 1997.
The Foreseeability of real anti-aging: Focusing the debate. Autor: deGrey, Aubrey D.N.J. Editorial: Departament of genetics. Cambridge, 2003.
Jacob's ladder. The History of the human genome. Autor: Gee, Henry. Fourth Estate, 2004.
El fin del envejecimiento. Autor: Kirkwood, Tom. Tusquets Editores, 2000.
Nuestra Hora Final. ¿Será el siglo XXI el último de la humanidad?. Autor: Rees, Martin. Editorial Crítica, 2004.
Humanidad: Una historia emocional. Autor: Walton, Stuart. Editorial Taurus 2005.
La hipótesis de la felicidad La búsqueda de verdades modernas en la sabiduría antigua Jonathan Haidt, Gedisa ISBN 84-9784-152-2.
Ph. D Authentic Happiness Martin E. P. Seligman, Free Press 2002, ISBN 0-7432-2298-9
Las 8 Claves para Ser Feliz. Autor: Sampietro, Albert. Sólo Vía Web. 2007.
La felicidad humana, Julián Marías, Alianza Editorial, 2008, ISBN 978-84-206-7851-1
Robert Spaemann (1991). Felicidad y benevolencia. Ediciones Rialp. ISBN 9788432126895. http://books.google.es/books?id=h-0pxHC19NEC.

[editar] Notas

↑ Finding Flow. The psychology of engagement with every day life. Autor: Csikszentmihaly, Mihaly. Editorial: Basic Books, 1997.
↑ El viaje a la felicidad Las nuevas claves científicas Eduardo Punset. E.D. Destino. Octava Edición: 02/2006 ISBN: 84-233-3777-4.
↑ ^a ^b El viaje a la felicidad Las nuevas claves científicas Eduardo Punset. E.D. Destino. Octava Edición: 02/2006 ISBN: 84-233-3777-4. Dep. Legal: B.5.199-2006
↑ *Finding Flow. The psychology of engagement with every day life. Autor: Csikszentmihaly, Mihaly. Editorial: Basic Books, 1997.
↑ Martin E.P. Seligman, Ph. D Authentic Happiness, Free Press 2002, ISBN 0-7432-2298-9
↑ *Martin E.P. Seligman, Ph. D Authentic Happiness, Free Press 2002, ISBN 0-7432-2298-9
↑ Investigación y ciencia. Temas 17. Inteligencia viva
↑ Dr. Joe Dispenza, D.C. Doctor de Medicina Quiropráctica en la universidad de la vida. Bioquimico por la universidad Aker en Oslo - Noruega.