FILOSOFÍA11: ¿LOS BRUJOS Y LOS ADIVINOS, SE BASAN EN "CONJETURAS"?. Por conjetura (del latín coniectūra) se entiende el juicio que se forma (moral, ético o matemático) de las cosas o sucesos por indicios y observaciones.

Conjetura

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Por conjetura (del latín coniectūra) se entiende el juicio que se forma (moral, ético o matemático) de las cosas o sucesos por indicios y observaciones. En la Matemática, el concepto de conjetura se refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada hasta la fecha. Una vez se demuestra la veracidad de una conjetura, esta pasa a ser considerada un teorema de pleno derecho y puede utilizarse como tal para construir otras demostraciones formales.

[editar] Conjeturas famosas

Hasta hace poco, la conjetura más conocida era el mal llamado Último Teorema de Fermat, mal llamado porque aunque Pierre de Fermat afirmó haber encontrado una demostración, no se ha podido encontrar ninguna entre sus escritos tras su muerte. Esta conjetura burló a la comunidad matemática durante más de tres siglos hasta que Andrew Wiles la demostró al fin en 1993 y la elevó al rango de teorema.

Estas son algunas de las conjeturas más famosas:

• No hay números perfectos impares.
• Conjetura de Goldbach
• Conjetura de los números primos gemelos
• Conjetura de Collatz
• Hipótesis de Riemann
• P ≠ NP
• Conjetura de Poincaré (demostrada por Grigori Perelmán)
• Conjetura abc

[editar] Véase también

• Lista de conjeturas matemáticas

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura"

Categoría: Conjeturas matemáticas

FILOSOFÍA11: ¿SISTEMATIZACIÓN?. Proceso constante y aditivo de elaboración de conocimiento luego de la experiencia en una realidad específica. Consiste en el primer nivel de teorización de la práctica.

Definición de Sistematización

Proceso constante y aditivo de elaboración de conocimiento luego de la experiencia en una realidad específica. Consiste en el primer nivel de teorización de la práctica.

El proceso de sistematización ha estado ligado al desarrollo de la metodología científica. En los últimos años, el uso más frecuente de la sistematización está ligado básicamente a dos ámbitos:

* La sistematización de información: ordenamiento y clasificación -bajo determinados criterios, relaciones y categorías- de todo tipo de datos. Por ejemplo, la creación de bases de datos.

* La sistematización de experiencias: las experiencias son vistas como procesos desarrollados por diferentes actores en un período determinado de tiempo, envueltas en un contexto económico y social, en una institución determinada.


Obtenido de  http://www.alegsa.com.ar/Dic/sistematizacion.php

MATEMÁTICAS2: INFERENCIAS. Una inferencia es una evaluación que realiza la mente entre expresiones bien formadas de un lenguaje, (EBF), que, al ser relacionadas intelectualmente como abstracción, permiten trazar una línea lógica de condición o implicación lógica entre las diferentes EBFs. De esta forma partiendo de la verdad o falsedad posible (como hipótesis), o conocida (como argumento) de alguna o algunas de ellas puede deducirse la verdad o falsedad de alguna o algunas de las otras EBFs.

Inferencia

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Según la RAE se define inferencia como sacar una consecuencia o deducir algo de otra cosa.

Una inferencia es una evaluación que realiza la mente entre expresiones bien formadas de un lenguaje, (EBF), que, al ser relacionadas intelectualmente como abstracción, permiten trazar una línea lógica de condición o implicación lógica entre las diferentes EBFs. De esta forma partiendo de la verdad o falsedad posible (como hipótesis), o conocida (como argumento) de alguna o algunas de ellas puede deducirse la verdad o falsedad de alguna o algunas de las otras EBFs.

Surge así lo que conocemos como postulado^[1] o transformada de una expresión original conforme a reglas previamente establecidas^[2] que puede enmarcarse en uno o varios contextos referenciales diversos^[3] obteniéndose en cada uno de ellos un significado como valor de verdad equivalente.^{[4] [5] [6]}

Es la operación lógica utilizada en los motores de inferencia de los Sistemas Expertos.

Contenido [ocultar] 1 Inferencia lógica 1.1 En la lógica tradicional 1.1.1 Inferencias inmediatas 1.2 En la lógica actual 1.2.1 Esquema de inferencia 2 Inferencia por evidencias 3 Clases de inferencia 4 Inferencia Estadística, (administración y gestión) 5 Inferencia aplicada al conocimiento del comportamiento humano 6 Véase también 7 Referencias

[editar] Inferencia lógica

[editar] En la lógica tradicional

En la lógica tradicional, llamada aristotélica, la forma esencial de inferencia es el silogismo.

No obstante se reconocían algunas inferencias directas o inmediatas

[editar] Inferencias inmediatas

La filosofía tradicional aristotélica consideraba la posibilidad de inferencias inmediatas: aquellas que pueden obtenerse directamente a partir de la relación que establece un juicio^[7] respecto a los términos, sujeto y predicado, que le constituyen, en función de la cualidad (afirmativo-negativo) y la cantidad (universal-particular) del mismo.

Aristóteles estudió con detalle ciertas operaciones que permitían tales inferencias inmediatas o directas. Para ello elaboró el llamado cuadro de oposición de los juicios, en el que dadas las relaciones que cada juicio aristotélico, A,E,I,O, lleva implícitas se pueden establecer ciertas inferencias directas.

Artículo principal: Cuadro de oposición de los juicios

Asimismo en la lógica tradicional se admitían ciertas operaciones lógicas de transformación de un juicio manteniendo sus condiciones de verdad. Tales operaciones eran:

• Conversión lógica
• Obversión lógica
• Contraposición lógica
• Inversión lógica

 

La lógica tradicional aristotélica no resuelve del todo bien los problemas que surgen de los juicios negativos por lo que este tipo de operaciones lógicas se prestan a argumentaciones que producen resultados aberrantesexistencia de los ángeles o demonios partiendo del juicio: Todos los hombres son mortales → Ningún no-mortal es hombre (por conversión); ningun no-mortal es hombre → Todo no-mortal es no-hombre (por obversión); Todo no-mortal es no-hombre → Algún no-hombre es no-mortal (conversión per accidens)</ref>

La lógica actual formaliza los enunciados lingüísticos bien como relación de clases o como funciones proposicionales o relaciones.^[8] Hoy se exige el rigor formal de la aplicación de una regla de inferencia.^[9] La idea de inferencia inmediata no es más que la aplicación de una regla modo implícito. La formalidad lógica, sin embargo, exige que sea explícita la regla que permite la transformación de una EBF.

[editar] En la lógica actual

Artículo principal: Cálculo lógico

Se llama inferencia lógica a la aplicación de una regla de transformación que permite transformar una fórmula o expresión bien formada (EBF) de un sistema formal en otra EBF como teorema del mismo sistema. Ambas expresiones se relacionan mediante una relación de equivalencia, es decir, que ambas tienen los mismos valores de verdad o, dicho de otra forma, la verdad de una coimplica la verdad de la otra.

podría ser transformada en:

donde ; y .

Elaborando la tabla de valores de verdad de dicha equivalencia contenida en la función del bicondicional el resultado ha de resultar una tautología.

[editar] Esquema de inferencia

Artículo principal: Cálculo lógico

Se refiere a la estructura lógico-formal que permite obtener una expresión bien formada (EBF) desligada, libre, como teorema de un sistema formal previamente definido por la regla de separación estrictas de formación y transformación de fórmulas.

Dicha estructura es el fundamento de un argumento lógico-formal mediante la aplicación de la regla de Sustitución de fórmulas.

   donde representa cada variable la premisa de un argumento. Conocida la verdad de cada una, como premisas de un argumento, su producto verdadero exige la verdad de todas y cada una de dichas expresiones; lo que permite establecer D como expresión libre y conclusión del argumento. esto es un afalsa

[editar] Inferencia por evidencias

• Evidencia inductiva: Surge de la constatación de una misma ocurrencia en una serie de casos. Observando que muchos lobos tienen la cola larga, infiero que “los lobos tienen la cola larga”, como una generalización.

• Evidencia enumerativa: Cuando se enumeran todos los casos la inferencia se convierte en una verdad demostrada, como inducción completa. Tal es el caso de que tras contar a todos y cada uno se pueda inferir: “los alumnos de esta clase son 22”.

Aristóteles y con él la escolástica tradicional admitía una inducción perfecta, siempre y cuando la relación entre los individuos y la clase, como concepto, sea aprehendida como conexión esencial necesaria de un proceso de abstracción; o bien entre clases como conceptos incluidas en otra clase, como concepto. De esta forma tal inducción venía a ser una forma de silogismo, en la relación de conceptos entre sí. Así, en la medida en que, águilas, cigüeñas, gorriones, .... etc. vuelan, y todas y cada una de las clases de tales animales son aves, se puede concluir que la conexión aves y volar es esencial, "Todas las aves vuelan".

Argumentos así provocaron incidentes tan insólitos en la historia de la ciencia como la aparición del ornitorrinco.^[10]

Por otro lado el conocimiento de la experiencia siempre singular, cada caso único e irrepetible, hace problemática la posibilidad de llegar al conocimiento de conceptos universales, esenciales; y plantea el problema del status epistemológico de la ciencia como conocimiento de conceptos y leyes universales.

Al ponerse en cuestión el mundo de las formas esenciales, y la propia entidad conceptual entendida como clase lógica, y la posibilidad de la no existencia de individuos dentro de una clase bien definida, la inferencia inductiva sobre un universo no conocido en todas sus ocurrencias produce el llamado problema de la inducción, que por su carácter excede del caso de este artículo referido a la inferencia.(Véase inductivismo).

[editar] Clases de inferencia

• Inferir por lógica clásica: Inferencia que sólo admite dos valores: verdadero o falso.
• Inferencia trivaluada: Una inferencia de este estilo da como posibles resultados tres valores.
• Inferencia multivaluada: Una inferencia de este estilo da como posibles resultados múltiples valores.
• Inferencia difusa: Una inferencia de este estilo describe todos los casos multivaluados con exactitud y precisión.
• Inferencia probabilística en el sentido de una inducción que permite establecer una verdad con mayor índice de probabilidad que las demás.

Si bien, cuando el universo posible es de infinitas ocurrencias la probabilidad siempre será 0. Por lo que algunos establecen para el estatuto de la ciencia el falsacionismo, como método científico y contrastación de teorías y las lógicas humanas.

[editar] Inferencia Estadística, (administración y gestión)

Cuando la descripción se aplica a condiciones de certeza, como en las tablas del mercado de valores en que se muestra un censo de los valores negociados, se convierte en una entidad metodológica. Sin embargo, en la mayoría de los problemas estadísticos actuales se emplea más una muestra que un censo, y la descripción se ha convertido simplemente en una preparación de la siguiente rama de la estadística: inferencia.

Cuando hacemos uso de la inferencia, llegamos a una conclusión o formulamos una afirmación bajo ciertas condiciones de incertidumbre. La incertidumbre puede ser el resultado de las condiciones aleatorias, implícitas en el trabajo con muestras, o del desconocimiento de las leyes aleatorias precisas que son aplicables a una situación específica. No obstante en la teoría de la conclusión, la incertidumbre sobre la exactitud de la afirmación que se ha hecho o de la conclusión que se ha sacado se expone simplemente en términos de probabilidad de que ocurra.

La inferencia trata de dos tipos principales de problemas:la estimación y la contrastación de hipótesis

[editar] Inferencia aplicada al conocimiento del comportamiento humano

Se puede inferir todo lo que sea inteligible. Dentro del campo de la inteligencia humana, encontramos campos muy interesantes, tal como la inteligencia emocional. Dado que el cerebro humano está sujeto a leyes físicas, existe la posibilidad de que el comportamiento humano sea potencialmente previsible, con un grado de incertidumbre, al mismo grado que el resto de ciencias lo pudiera ser, pues todas se basan en la inteligencia del hombre. La capacidad de inferir el sentimiento humano se llama empatía; cada sentimiento motiva a actuar de cierta manera. La capacidad de predecir como va a actuar cierta persona roza lo esotérico, pero nada más lejos de la realidad, se pueden generar modelos de comportamientos humanos y el grado de exactitud de la predicción dependerá de lo empático que sea la persona (Dado que la única máquina capaz de reproducir una mente, hasta la fecha, es un cerebro humano).

[editar] Véase también

• Deducción
• Cálculo
• Validez lógica
• Motor de inferencia

[editar] Referencias

1. ↑ posibilidad o hipótesis
2. ↑ producto o conjunción de todos los elementos abstractos que intervienen, y aplicación de reglas de transformación, como un cálculo o argumento
3. ↑ Modelos teóricos
4. ↑ Chomsky, Noam - The Psychology Of Language And Thought
5. ↑ Noam Chomsky - Logical Syntax And Semantics, Their Linguistic Relevance
6. ↑ Noam Chomsky - Syntactic Structures ISBN 3-11-017279-8
7. ↑ Véase proposición (lógica):proposición, enunciado y creencia
8. ↑ Véase Cálculo lógico
9. ↑ Es decir la aplicación de una «ley lógica» o tautología que garantice la verdad de la transformación como una verdad equivalente que se muestra en todos los posibles casos de la tabla de verdad de las dos proposiciones relacionadas con un coimplicador
10. ↑ U. Eco. Kant y el ornitorrincio

• STEBBING, L.S. (1930). A Modern Introduction to logic. LONDRES. 

• HARMAN, G. (1965). The Inference to the Best Explanation. Philosophical Rewiew. 

• ECO.U. (1999). Kant y el ornitorrinco. Barcelona. Editorial Lumen. 84-264-1265-3. 

• Carl Heyel, ed. (1984). Gestión y Administración de Empresas. Barcelona.. 

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Categoría: Lógica

MATEMÁTICAS2: INTERFERENCIA. En física , la interferencia es cualquier proceso que altera, modifica o destruye una onda durante su trayecto en el medio en que se propaga. La palabra destrucción, en este caso, debe entenderse en el sentido de que las ondas cambian de forma al unirse con otras; esto es, después de la interferencia normalmente vuelven a ser las mismas ondas con la misma frecuencia.

Interferencia

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En física , la interferencia es cualquier proceso que altera, modifica o destruye una onda durante su trayecto en el medio en que se propaga. La palabra destrucción, en este caso, debe entenderse en el sentido de que las ondas cambian de forma al unirse con otras; esto es, después de la interferencia normalmente vuelven a ser las mismas ondas con la misma frecuencia.

Contenido [ocultar] 1 Superposición de ondas 2 Superposición de ondas de la misma frecuencia 3 Pulsaciones o batidos 4 Enlaces externos

[editar] Superposición de ondas

Artículo principal: Principio de superposición

Sucesión (de arriba hacia abajo) de interferencia constructiva de ondas. El punto representa el antinodo y las flechas representan la dirección de las ondas.

Sucesión (de arriba hacia abajo) de una Interferencia destructiva. Las flechas representan la dirección de las ondas, mientras los puntos representan el nodo que produce la interferencia.

En la mecánica ondulatoria la interferencia es el resultado de la superposición de dos o más ondas, resultando en la creación de un nuevo patrón de ondas. Aunque la acepción más usual para interferencia se refiere a la superposición de dos o más ondas de frecuencia idéntica o similar. Matemáticamente, la onda resultante es la suma algebraica de las ondas incidentes, de tal forma que la función de onda en un punto es la suma de todas las funciones de onda en ese punto.

El principio de superposición de ondas establece que la magnitud del desplazamiento ondulatorio en cualquier punto del medio es igual a la suma de los desplazamientos en ese mismo punto de todas las ondas presentes. Esto es consecuencia de que la Ecuación de onda es lineal, y por tanto si existen dos o más soluciones, cualquier combinación lineal de ellas será también solución.

[editar] Superposición de ondas de la misma frecuencia

En la superposición de ondas con la misma frecuencia el resultado depende de la diferencia de fase δ. Si sumamos dos ondas y₁ = Asin(kx − ωt) y y₂ = Asin(kx − ωt + δ), la onda resultante tendrá la misma frecuencia y amplitud 2A. Este tipo de interferencias da lugar a patrones de interferencia, ya que dependiendo de la fase, la interferencia será destructiva (las ondas se encuentran desfasadas 180 grados o π radianes) o constructiva (desfase de 0 grados/radianes).

Definicion 2 PULSACIONES y/o Batidos

 

La superposición de ondas de frecuencias ƒ1 y ƒ2 muy cercanas entre sí produce un fenómeno particular denominado pulsación (o batido).

En esos casos nuestro sistema auditivo no es capaz de percibir separadamente las dos frecuencias presentes, sino que se percibe una frecuencia única promedio (ƒ1 + ƒ2) / 2, pero que cambia en amplitud a una frecuencia de ƒ2 - ƒ1 .

Es decir, si superponemos dos ondas senoidales de 300 Hz y 304 Hz, nuestro sistema auditivo percibirá un único sonido cuya altura corresponde a una onda de 302 Hz y cuya amplitud varía con una frecuencia de 4 Hz (es decir, cuatro veces por segundo).

Las pulsaciones se perciben para diferencias en las frecuencias de hasta aproximadamente 15-20 Hz. Diferencias mayores de 15-20 Hz le dan al sonido percibido un carácter áspero, mientras que si la diferencia aumenta comienzan nuevamente a percibirse las dos ondas simultánea y separadamente.

[editar] Pulsaciones o batidos

Si se da el caso de que la frecuencia de ambas ondas no es igual (f₁,f₂), pero si son valores muy cercanos entre sí, la onda resultante es una onda modulada en amplitud por la llamada "frecuencia de batido" cuyo valor corresponde a f_batido = Δf = | f₁ − f₂ | , la frecuencia de esta onda modulada corresponde a la media de las frecuencias que interfieren.

Este fenómeno se usa por ejemplo, para afinar instrumentos (por ejemplo, un piano y un diapasón), ya que cuando las pulsaciones desaparecen, esto quiere decir que las frecuencias de ambos instrumentos son iguales (o casi iguales a un nivel que el batido no es detectable).

[editar] Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Interferencia.Commons
• i-Wireless Proyecto que estudia las interferencias de las redes Wi-Fi.

 

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Categorías: Telecomunicaciones | Mecánica de ondas | Interferencia

MATEMÁTICAS2: FIGURAS GEOMÉTRICAS. Una figura geométrica es un conjunto cuyos elementos son puntos.[1] La Geometría es el estudio matemático detallado de las figuras geométricas y sus características: forma, extensión, posición relativa, propiedades.

 

Figura geométrica

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Figuras geométricas «sólidas» que delimitan volúmenes.

Figuras geométricas que delimitan superficies planas.

Una figura geométrica es un conjunto cuyos elementos son puntos.^[1] La Geometría es el estudio matemático detallado de las figuras geométricas y sus características: forma, extensión, posición relativa, propiedades.

Historia y utilidad

La observación de la naturaleza nos muestra la existencia de variadas formas en los cuerpos materiales que la componen y nos proporciona la idea de volumen, superficie, línea, y punto. Por necesidades prácticas, el desarrollo de técnicas usadas para medir, construir o desplazarse, llevaron al hombre a hacer uso de las diversas propiedades de las figuras geométricas.

Una vez adquiridas estas nociones y prescindiendo de su origen práctico, la Geometría (medición de la tierra), de ser un conjunto de técnicas, pasó a constituir una disciplina matemática formal, donde la figura geométrica es un ente abstracto y sus propiedades el objeto de estudio de la Geometría.

Su aplicación práctica se estudia en física, mecánica, astronomía, náutica, topografía, balística, etc.

Las figuras geométricas más elementales Las figuras geométricas más elementales son el punto, la recta y el plano. Mediante transformaciones y desplazamientos de sus componentes generan diversas líneas, superficies y volúmenes, que son objeto de estudio en matemáticas: geometría, topología, etc.

Adimensional (sin dimensiones)

• Punto

Unidimensional (líneal)

• Recta
  • semirrecta
  • segmento
• Curva

Bidimensional (superficial)

• Plano

Delimitan superficies (figuras geométricas en sentido estricto):

• Polígono
  • triángulo
  • cuadrilátero
• Sección cónica
  • elipse
    • circunferencia
  • parábola
  • hipérbola

Describen superficies:

• Superficie de revolución
• Superficie reglada

Tridimensional (volumétrico)

Delimitan volúmenes (cuerpos geométricos):

• Poliedro

Describen volúmenes:

• Sólido de revolución
  • cilindro
  • cono
  • esfera

N-dimensional (n dimensiones)

• Politopo

[editar] Véase también

• Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas
• Geometría
• Lugar geométrico

[editar] Notas

1. ↑ Claudia Marcela Polanía Sagra, Un acercamiento al pensamiento geométrico. p. 12. [1].

[editar] Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Figura geométrica.Commons
• Figuras geométricas, en profesorenlinea.cl

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Categoría: Geometría

MATEMÁTICAS2: ¿SE DAN FORMAS GEOMÉTRICAS PERFECTAS EN LA NATURALEZA? Euclides (siglo III a.C.), influenciado por las ideas de los Pitagóricos, también examinó la perfección de las figuras geométricas y de los sólidos tridimensionales, y a partir de estos pioneros estudios se derivaron toda una serie de investigaciones sobre la Naturaleza en busca de la «proporción divina» y de las «formas perfectas» que subyacen a la realidad. Grandes arquitectos, matemáticos y escultores griegos, como los famosos Policleto y Fidias, conocían muy bien la «proporción áurea» y el «número áureo» (o número de oro equivalente a: Φ = 1,618033988) que habían sido usados por los egipcios, y lo aplicaron como un patrón de medida estético en la construcción de templos, edificios y esculturas, de tal forma que para asombro de los humanos con fundamento en ese número esculpieron seres con cuerpos de proporciones perfectas que no existen en este mundo y que sólo son una aproximación a la figura ideal de los dioses del Olimpo.

COMPRENSIÓN DEL AZAR POR LOS PITAGÓRICOS Y LOS SABIOS GRIEGOS.

 

En Occidente encontramos que en la cultura jónica y griega el filósofo Anaximandro (610−547 a.C.) habló de la existencia de un estado primario de imperfección conocido como el «caos» (apeiron) que regía en el principio de los tiempos, estado primario a partir del cual luego surgió el orden y la perfección de toda la realidad conocida del universo, produciéndose así el equilibrio entre estos dos instantes antagónicos del cosmos (en lenguaje binario esto es equivalente a afirmar que del 0 surgió el 1 y que las alternancias entre estos dos números determinan la sucesión de los tiempos: 0−1−0−1−0−1 … etc.). Por su parte, Anaxímenes (525 a.C.) creía que el imperfecto apeiron (caos) comenzó a perfeccionarse cuando primero se transformó en aire, y luego a través de diferentes condensaciones se transformó en fuego, después en agua y finalmente en tierra, y desde que Anaxímenes expuso esta teoría numerosas escuelas místicas surgieron en la antigua Grecia para profundizar en las ocultas relaciones existentes entre los «Cuatro Elementos Divinos» que conformaban la Naturaleza y que regían la vida de los humanos: Aire, Fuego, Agua y Tierra.

 

El gran Pitágoras (580−500 a.C.) y todos sus seguidores también admiraban la perfección de los números, pero sabían que por cada número par hay uno impar, que por cada número positivo existe uno negativo, etc., y por tanto, a la luz de esta evidencia, no podían concluir cosa distinta que en el mundo de las matemáticas necesariamente debía existir una especie de «equilibrio» entre los distintos tipos de números opuestos, equilibrio y armonía que también debían manifestarse en los elementos y los fenómenos de la realidad regidos por las mismas formas ideales procedentes del mundo de las matemáticas. No resulta extraño que los Pitagóricos proclamaran que el universo estaba configurado según un orden numérico en el que prevalecía el «equilibrio entre las proporciones», es decir, necesariamente el universo funcionaba según ciertos números fraccionarios que simbolizaban las distintas proporciones divinas existentes entre los diversos elementos que lo componen (1/2, 1/3, 1/4, 1/6, etc.).

 

Euclides (siglo III a.C.), influenciado por las ideas de los Pitagóricos, también examinó la perfección de las figuras geométricas y de los sólidos tridimensionales, y a partir de estos pioneros estudios se derivaron toda una serie de investigaciones sobre la Naturaleza en busca de la «proporción divina» y de las «formas perfectas» que subyacen a la realidad. Grandes arquitectos, matemáticos y escultores griegos, como los famosos Policleto y Fidias, conocían muy bien la «proporción áurea» y el «número áureo» (o número de oro equivalente a: Φ = 1,618033988) que habían sido usados por los egipcios, y lo aplicaron como un patrón de medida estético en la construcción de templos, edificios y esculturas, de tal forma que para asombro de los humanos con fundamento en ese número esculpieron seres con cuerpos de proporciones perfectas que no existen en este mundo y que sólo son una aproximación a la figura ideal de los dioses del Olimpo.

 

Platón (427−347 a.C.) dentro de su sistema filosófico idealista retomó muchas de estas concepciones matemáticas entremezcladas con las viejas creencias místicas, y así postuló que para comprender la física del cosmos era necesario estudiar la verdadera proporción y relación que se da entre «5 sólidos perfectos» (poliedros regulares) que definen y sustentan el equilibrio de todo lo existente: el tetraedro, el hexaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

 

El gran Aristóteles (384−322 a.C.), al establecer las bases de la lógica, fue el primero en advertir que los conceptos ideales creados en la mente humana son sólo «simplificaciones» o «generalizaciones» de los fenómenos de la realidad que se perciben a través de los sentidos, y por tanto, para evitar que el juicio humano incurra en errores o en falsas ideas sobre la realidad que es captada, era necesario postular una serie de reglas lógicas que debían guiar el buen razonamiento, siendo esta la vía recomendada para que las ideas existentes en la mente humana correspondan a lo que en verdad ocurre en la realidad. Aristóteles planteó la separación entre el mundo de las ideas que viven en la mente humana y el mundo exterior de la cruda realidad, primer paso para comenzar a hablar de la indagación racional de la Naturaleza, pero lamentablemente la propuesta aristotélica sólo fue conocida por un reducido grupo de discípulos y eruditos de la Antigüedad y por eso su impacto en la cultura occidental sólo se sentiría muchos siglos después.

 

Los jónicos fueron un pueblo de navegantes procedentes tal vez del Asía Menor, que hacia la mitad del segundo milenio a.C. se expandieron por las islas y costas del Egeo, por las tierras del Ática, por las tierras de Macedonia y por la bota itálica hasta llegar a Sicilia, trayendo consigo la creencia en dioses mitológicos, el gusto por el vino y por los festejos, el cultivo de las artes y la música, la reflexión filosófica y la formación guerrera, todo lo cual derivó en el florecimiento de la civilización griega clásica conocida entre los siglos VIII y III a.C. sobre la cual se cimentaron los pilares de la cultura occidental. Se cree que Pitágoras nació en Samos (580−500 a.C.) y que durante su juventud tuvo la oportunidad de viajar por Babilonia y por el norte de África hasta adentrarse en Egipto siguiendo la ruta del Nilo, donde fue instruido por cierto grupo de «guardianes de la Gran Pirámide», después de lo cual regresó a su tierra trayendo consigo un gran cúmulo de conocimientos religiosos, astrológicos, geométricos y matemáticos que divulgó entre sus discípulos, quienes hacia el año 530 a.C. formaron en Crotona (Sur de Italia) una comunidad conocida como los Pitagóricos, cuyos miembros eran célibes, vegetarianos, ascéticos y se dedicaron a transmitir los conocimientos de su maestro a los nobles hijos de las familias aristocráticas griegas. Otra versión de los historiadores afirma que Pitágoras no postuló todas las ideas que se le atribuyen o que quizá él nunca existió, y su nombre fue usado como un referente legendario en las obras de Parménides, Empedocles, Aristarco de Samos, Arquitas de Tarento, Ecfanto de Siracusa, Filolao de Crotona, Euclides y Platón, verdaderos hijos de la aristocracia griega que tuvieron el privilegio de viajar por Babilonia o por Egipto donde fueron instruidos y después encontraron muy útil en sus escritos atribuirle sus propias ideas y creencias a un mítico maestro supuestamente nacido años atrás. Cuando en Grecia el poder de los tiranos y de las familias aristocráticas fue vencido dando lugar a ciudades-Estados regidas por concejos democráticos, los discípulos que predicaban el pitagorismo fueron perseguidos por sus viejos nexos con la clase aristocrática y tuvieron que exiliarse hacia diversas regiones de Europa. Como quiera que haya sido, lo cierto es que las ideas pitagóricas introdujeron en Occidente una nueva imagen ideal del universo, regido ahora por números, por medidas perfectas y por proporciones divinas. Los pitagóricos llevaron hasta el límite su admiración por los números, su admiración por las curiosas propiedades matemáticas que cumplían ciertos números que conformaban series caracterizadas por alguna cualidad especial: los números pares, los números impares, los números primos, los números racionales, los números fraccionarios, etc. Gran admiración causaba entre los pitagóricos comprobar que los seres humanos estaban acostumbrados a comerciar, medir y pensar en términos de unidades enteras (12 cabras, 5 racimos de uvas, 3 odres de vino, 6 monedas de oro, 10 días, etc.), pero que en contraste los fenómenos del cosmos se regían por «proporciones» entre los elementos y las fuerzas, por números fraccionarios (x/y) que expresaban el balance o el desequilibrio de esas proporciones, o aún por números irracionales que no pueden ser expresados ni como enteros ni como fraccionarios pero que están presentes en las formas geométricas básicas: el círculo, el triángulo, el cuadrado, etc. El cosmos pensaba y funcionaba a base de números fraccionarios o números irracionales, y esos números casi mágicos eran la clave para penetrar en todos sus secretos.

 

Los pitagóricos concibieron un cosmos regido por los números, a partir de los cuales surgieron todas las formas geométricas de la Naturaleza. Particularmente creían que todo lo existente se formaba a partir de tres Números Puros, y que esa relación fundamental basada en «tripletas», en «ternarios» o en «triadas» se mantenía constante en todos los fenómenos de la Naturaleza. Los tres números puros, origen de todos los demás números, eran el 1, 2 y 3, que podían ser representados mediante los lados de un triángulo perfecto. Bastaba sumarle 3 unidades como una constante a cada uno de esos números puros y a sus subsiguientes resultados para generar todos los demás números hasta el infinito. Así, tomando el uno, se obtiene: 1+3 = 4, 4+3 = 7, 7+3 = 10, 10+3 = 13, 13+3 = 16, etc. Si se toma el dos, se obtiene: 2+3 = 5, 5+3 = 8, 8+3 = 11, 11+3 = 14, 14+3 = 17, etc. Y si se toma el tres, se obtiene: 3+3 = 6, 6+3 = 9, 9+3 = 12, 12+3 = 15, etc. Los números 4, 7, 10, 13, 16, … etc. son hijos del 1, los números 5, 8, 11, 14, 17, … etc. son hijos del 2, y los números 6, 9, 12, 15, … etc. son hijos del 3, y todos intercalados forman la secuencia de los demás números hasta el infinito: 1, 2, 3 … 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, etc. Los pitagóricos también usaban la denominada «Reducción Pitagórica» (conocida también como reducción teosófica), que consiste en sumar todos los dígitos de cualquier cantidad conformada por 2 o más dígitos, realizando tantas sumas sean necesarias de las cifras de los resultados obtenidos hasta lograr como resultado un solo dígito ubicado entre los números 1 y 9 que son considerados los Números Primarios del cosmos. Así, en la gráfica se muestra que para reducir el número 98 basta sumar sus dos dígitos (9+8 = 17), y como el resultado obtenido (17) aún es superior a un solo dígito, entonces nuevamente se deben sumar sus dos cifras componentes (1+7 = 8), y de este modo se obtiene un número primario ubicado entre 1 y 9. Lo mismo puede hacerse con cualquier otra cifra, sin importar la cantidad de dígitos que la conformen, y de este modo los pitagóricos demostraban que todas las cantidades existentes en el universo procedían de unos números primarios: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Los pitagóricos también admiraban las «relaciones cuadráticas» que se dan entre ciertos números, misteriosas relaciones que unían a ciertos números como sí fueran familiares vinculados por nexos secretos. Sobre el particular ellos se adentraron en el estudio de la denominada «Tripleta Pitagórica», que consiste en que la suma de los cuadrados de dos números diferentes es igual al cuadrado de un tercer número diferente: a² + b² = c². El ejemplo básico se inicia con los números 3−4−5 que al ser elevados al cuadrado demuestran estar unidos por esa extraña relación cuadrática (ya que 3² + 4² = 5² es igual a: 9 + 16 = 25), pero existen muchas otras tripletas de números que también están vinculados de la misma manera: 5−12−13, 7−24−25, 8−15−17, 9−40−41, 11−60−61, 12−35−37, 13−84−85, 16−63−65, 20−21−29, 28−45−53, etc. Otros tipos de mágicos vínculos descubrieron los pitagóricos al estudiar los números primos, los números fraccionarios, los números pares e impares, etc., adobando ese saber matemático con una buena dosis de misticismo, cosmología y especulación filosófica.

 

El conocimiento de la Tripleta Pitagórica le permitió a Euclides formular el famoso Teorema de Pitágoras en su obra de geometría titulada Los elementos. En un triángulo rectángulo, es decir, en aquel que tiene una esquina formada por un ángulo recto de 90 grados, siempre se observa que la suma de los cuadrados de los catetos da como resultado el cuadrado de la hipotenusa (a² + b² = c²). La demostración del teorema es geométrica, pues en la gráfica se observa que el cuadrado perfecto formado a partir de la expansión de la línea de la hipotenusa (c) ocupa un área que es igual a la sumatoria del área de los dos cuadrados de menor tamaño formados por la expansión de las líneas de los catetos (a y b). El Teorema de Pitágoras es la mejor demostración de la forma como operan en las medidas y en las proporciones de las figuras geométricas las extrañas relaciones cuadráticas observadas entre ciertos números. Los pitagóricos se dedicaron a buscar qué otras mágicas relaciones entre los números también estaban presentes en las formas geométricas planas o sólidas como el cuadrado, el círculo, el triángulo, la esfera, el cubo, la estrella pentagonal, etc., y así llegaron al convencimiento de que en el mundo de las matemáticas unos cuantos Números Puros o Números Primarios eran los que daban origen a todos los demás números hasta el infinito, y una vez formada esa larga serie numérica se establecían ciertas «relaciones mágicas» entre los números, relaciones que a su vez daban nacimiento a las proporciones y medidas de las figuras geométricas básicas que daban forma a todos los elementos existentes en el universo conocido: triángulos, cuadrados, círculos, etc. En síntesis, para los pitagóricos el universo entero procedía de unidades básicas conocidas como Números Puros o Números Primarios, símbolos de la perfección y de la exactitud matemática.

 

Entre los pitagóricos el estudio de las medidas y de las figuras geométricas llevó a postular que el orden de la Naturaleza estaba regido por el equilibrio expresado en «proporciones divinas», en «proporciones de perfección», en números fraccionarios que en un solo número agrupaban las fuerzas opuestas (x/y), como lo evidencia la gran admiración que sentían por la denominada «Proporción Áurea» y por el «Número Áureo», que al parecer previamente fueron usados por los constructores de las pirámides egipcias. Los grandes escultores griegos de la Antigüedad, como Policleto y Fidias, descubrieron que la proporción áurea al ser aplicada a las esculturas, las obras de arte, los templos y los edificios elevaba su apariencia estética, su belleza, su perfección ideal. Adicionalmente, diversos discípulos de los pitagóricos comenzaron a constatar que por algún extraño motivo las figuras geométricas basadas en la proporción áurea abundaban en la Naturaleza en las formas que adoptaban los caracoles, las plantas, las montañas, lo cual era un indicio de que el número áureo era el preferido de las divinidades para moldear el orden natural.

 

Platón al parecer fue formado dentro del misticismo matemático de los pitagóricos, y por eso él no se conformó sólo con alabar la perfección del triángulo o de la estrella pentagonal, sino que además señaló que la estructura del cosmos debía estar soportada e influenciada por cinco sólidos perfectos en los que también operaba plenamente la proporción áurea. Estos sólidos son considerados perfectos y regulares porque el total de sus lados es un número par, y además todos sus lados están formados por una misma figura geométrica plana que se repite y se unen en un mismo ángulo por sus bordes formando el respectivo sólido en el espacio: el tetraedro formado por 4 triángulos, el hexaedro (cubo) formado por 6 cuadrados, el octaedro formado por 8 triángulos, el dodecaedro formado por 12 pentágonos y el icosaedro formado por 20 triángulos. No es común encontrar estos 5 sólidos perfectos en las formas de la tierra, de las montañas, de los mares, de las plantas, de los animales o del cuerpo humano, por tanto los pitagóricos y el mismo Platón creían que la procedencia de estos sólidos perfectos era divina y que tal vez sólo existían en los cielos.

 

Aristóteles (384−322 a.C.), nacido en Estagira, preceptor del emperador Alejandro Magno, fue discípulo de Platón y por tanto es indudable que conoció el misticismo matemático de los Pitagóricos y la admiración que ellos sentían hacia los números y las formas geométricas perfectas. Sin embargo, en vez de creer ciegamente que las formas matemáticas ideales y perfectas estaban presentes por sí solas en la Naturaleza, Aristóteles prefirió indagar por su propia cuenta el funcionamiento de la realidad, y para organizar muy rigurosamente las percepciones que captaba a través de los sentidos desarrolló la «lógica», entendida como una herramienta del juicio que permite descubrir las causas últimas y las leyes generales para clasificar los fenómenos percibidos según el «análisis deductivo» (establecer casos particulares a partir de reglas generales) y según el «análisis inductivo» (establecer reglas generales a partir de casos particulares). Según Aristóteles, para organizar los juicios mentales sobre los fenómenos de la realidad es importante establecer «definiciones» exactas, y una definición sobre un objeto sólo es exacta cuando reúne todas las características especiales que se observan en la generalidad de los objetos que pertenecen a la misma categoría. Por ejemplo, en su obra sobre la historia de los animales Aristóteles usó la observación y la lógica para tratar de llegar a la definición exacta de qué es un «animal rumiante», y así, al aplicar el análisis inductivo (partir de los casos particulares hacia la regla general), sabía que existen muchos tipos de animales que podrían ser catalogados dentro de esa categoría, y por tanto comprendió que para elaborar la definición más exacta era necesario tener en cuenta las características distintivas más generales observadas en todos ellos. Así, Aristóteles concluyó que un animal rumiante es aquel que generalmente reúne las siguientes características: se alimenta de hierba, carece de incisivos superiores y tiene 4 estómagos. Estas características existen como una «regla general» en los animales rumiantes, sin importar la gran variedad de formas que asumen los «casos particulares» observados que cumplen la regla: las vacas, las ovejas, las cabras, los ciervos, los alces, lo bueyes, los caballos, los camellos, etc. En consecuencia, para saber si un animal X observado pertenece a la categoría de los animales rumiantes, basta aplicar un silogismo dentro del análisis deductivo: «Premisa Mayor: Todos los rumiantes comen hierba, carecen de incisivos superiores y tienen 4 estómagos; Premisa Menor: Ese animal X come hierba, carece de incisivos superiores y tiene 4 estómagos; Conclusión: Ese animal X es un animal rumiante.» Pero el método lógico de Aristóteles no sólo permite realizar juicios acertados para clasificar los fenómenos observados de la realidad, sino que también es una forma de indagación científica de las «causas últimas» por las cuales funciona la realidad, pues en su obra Aristóteles especula que los animales rumiantes son como son y reúnen las características especiales antes mencionadas porque hay una causa originaria que las hace surgir. En efecto, Aristóteles, usando la primera hipótesis evolucionista (24 siglos antes de Darwin), concluyó que originariamente los animales rumiantes al consumir hierba y no ser cazadores se volvieron muy pacíficos, pero que en cierto momento necesitaron de protección contra otras bestias que los atacaban, motivo por el cual en su cuerpo la materia ósea dura de los incisivos superiores se desplazó de lugar para dar forma en el cráneo a una gran variedad de cuernos (en cabras, toros, alces, bueyes, etc.) que son usados como armas de defensa, pero este cambió biológico, es decir, la ausencia de los incisivos superiores, a su vez ocasionó que la digestión de la hierba se volviera más difícil, razón por la cual en estos animales se desarrollaron varios estómagos adicionales que contribuyen a concluir el proceso digestivo de la hierba que no ha sido masticada bastante. Respecto de otros animales rumiantes que no tienen cuernos, como el caballo y el camello, Aristóteles concluyó que en ellos también una parte de la materia dura de los incisivos superiores se desplazó hacia otros huesos, contribuyendo a que estos animales tengan una mayor corpulencia o altura que les permite protegerse de otros, e incluso en el camello parte de esa materia dura se desplazó hacia el labio de la mandíbula superior transformándolo en un cartílago fuerte que le permite comer vegetales espinosos. En síntesis, según el razonamiento de Aristóteles, en los animales rumiantes el consumo de hierba es la causa que los hizo unos animales pacíficos no cazadores, está condición y la necesidad de protección es la causa de que surgieran los cuernos o las estructuras óseas más fuertes, a su vez la desviación de la masa ósea es la causa de la ausencia de los incisivos superiores, y a su vez está ausencia de incisivos superiores es la causa del surgimiento de nuevos estómagos para concluir la digestión de la hierba. Aunque los razonamientos de Aristóteles pueden estar equivocados, ser especulativos o no corresponder plenamente a los descubrimientos realizados actualmente dentro de la biología evolucionista, en todo caso su método de deducción y de inducción es una vía lógica para penetrar en la investigación de la Naturaleza que produce mayores descubrimientos que suponer simplemente que unas formas matemáticas ideales están presentes en ella controlándola mágicamente. Es por ese motivo que el método lógico desarrollado por Aristóteles le permitió penetrar en todos los campos del saber con fructíferos resultados, abarcando la filosofía, la política, la ética (especulación sobre los valores), la retórica, las ciencias naturales, la cosmología, la economía, la biología, el estudio de los animales, la metafísica (relaciones entre materia y forma) y la psicología (especulación sobre el alma humana). Los métodos sugeridos por Aristóteles sólo serían recuperados hacia finales de la Edad Media, y su uso en la época del Renacimiento daría inicio a la ciencia moderna.

Obtenido de http://eyeintheskygroup.com/1/00-azar-graficos/jonicos.htm

FILOSOFÍA11: FOTOS ANTIGUAS. LA EVOLUCIÓN TECNOLÓGICA Y LA REVOLUCIÓN TECNOLÓGICA. Con el nombre de Revolución tecnológica o Revolución científico-técnica suele referirse concretamente a las transformaciones técnicas, económicas y sociales de la tercera revolución industrial desde la segunda mitad del siglo XX, aunque también se utiliza muy frecuentemente el término para referirse a las dos primeras grandes transformaciones que han merecido el nombre de Revolución económica: la Revolución Neolítica y la Revolución industrial de los siglos XVIII y XIX.

Evolución tecnológica

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Evolución tecnolgica es el nombre de una teoría de los estudios de ciencia, tecnología y sociedad (CTS) para describir el desarrollo histórico de la tecnología, desarrollada por el filósofo checo Radovan Richta.^[1]

El concepto es confluyente con el de Revolución tecnológica, puesto que sólo durante los periodos de mayor aceleración en las innovaciones se marca entre ambos conceptos la diferencia de ritmo, de violencia y de trascendencia que existe entre los conceptos genéricos de evolución y revolución. Durante la mayor parte de la historia de la humanidad, el ritmo de esas innovaciones fue lento e imperceptible.

Con el nombre de Revolución tecnológica o Revolución científico-técnica suele referirse concretamente a las transformaciones técnicas, económicas y sociales de la tercera revolución industrial desde la segunda mitad del siglo XX, aunque también se utiliza muy frecuentemente el término para referirse a las dos primeras grandes transformaciones que han merecido el nombre de Revolución económica: la Revolución Neolítica y la Revolución industrial de los siglos XVIII y XIX.

Contenido [ocultar] 1 Teoría de la evolución tecnológica 1.1 Etapas del desarrollo tecnológico 1.2 Tecnología, energía y límites del desarrollo 1.3 Implicaciones teóricas 2 Referencias

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[editar] Teoría de la evolución tecnológica

[editar] Etapas del desarrollo tecnológico

• El período pretecnológico, en el que todas las especies animales (aparte de la especie humana, algunas aves y primates) siguen hoy en día, era un período no racional de los primeros homínidos prehistóricos

• La aparición de la tecnología, que ha sido posible por el desarrollo de la facultad racional, hallando el camino para la primera etapa: la herramienta. Una herramienta proporciona una ventaja mecánica en el cumplimiento de una tarea física, y debe ser alimentada por la energía humana o animal. Permiten cosas imposibles de lograr sólo con el cuerpo humano, como ver detalles visuales diminutos con una sencilla lente o un sofisticado microscopio; la manipulación de objetos pesados (con máquinas complejas como una grúa, simples, como una polea, o con instrumentos tan sencillos como una cesta); o el transporte, procesamiento y almacenamiento de todo tipo de fluidos o granos, con un cubo de agua, un odre o un barril para el vino, o una vasija de cerámica para el aceite.

Los cazadores-recolectores del paleolítico desarrollaron herramientas que aumentaban la eficiencia del trabajo físico para lograr su objetivo, principalmente para la adquisición de alimentos: herramientas líticas primitivas como el canto tallado, la lasca y el bifaz, de uso sucesivamente más especializados o complejos (raedera, lanza, flecha, o martillo).Más tarde, durante el neolítico, los animales de tiro o carga (caballo, buey, camello) proporcionaron la energía para herramientas como el arado o el carro. El aumento de la productividad de la producción de alimentos supuso un aumento de más de diez veces sobre la tecnología de los cazadores-recolectores.

• La segunda etapa tecnológica fue la creación de la máquina. Restringiendo este concepto al de la máquina alimentada por energía no humana ni animal, es una herramienta que sustituye el elemento humano de esfuerzo físico, y requiere de un operador sólo a su función de control. Las máquinas se extendieron con la revolución industrial, aunque el barco o los molinos de viento, y otros tipos de máquinas que responden a esta definición, son muy anteriores.

Ejemplos de esto incluyen el ferrocarril, el alumbrado, el automóvil, el ordenador. Las máquinas permiten a los seres humanos superar tremendamente los límites de sus cuerpos. La mecanización de cualquier actividad económica produce una expansión espectacular en ella, empezando por la agricultura: introducir un tractor en una explotación agrícula produce un aumento de la productividad alimentaria, como mínimo, diez veces superior a la tecnología del arado y el caballo.

• La tercera, y última etapa de la evolución tecnológica es el autómata. El autómata es una máquina que elimina el elemento de control humano con un algoritmo automático. Ejemplos de máquinas que presentan estas características son los relojes digitales, conmutadores telefónicos automáticos, marcapasos, y los programas de ordenador.

Las tres etapas del desarrollo tecnológico se solapan temporalmente, y tecnologías vinculadas a las etapas más primitivas siguen siendo ampliamente utilizadas hoy en día.

[editar] Tecnología, energía y límites del desarrollo

La utilización de distintas formas (como la electricidad, el movimiento, la luz o el calor) y fuentes de energía (combustibles fósiles -como el carbón, el petróleo y el gas natural-, la energía hidráulica, la energía nuclear o las energías alternativas) demandadas en cantidades crecientes por el desarrollo tecnológico y económico ha producido la crisis energética que desde los años 1970 viene cuestionando la posibilidad del mantenimiento del actual modelo de desarrollo, sumado a otros efectos nocivos, tanto por el desarrollo desigual, como por sus consecuencias medioambientales (contaminación, calentamiento global, etc.).

[editar] Implicaciones teóricas

El proceso de evolución tecnológica culmina con la capacidad de alcanzar todos los valores materiales tecnológicamente posibles y deseables por el esfuerzo mental.

Una implicación económica de lo anterior es que el trabajo intelectual tiende a ser cada vez más importante en relación con el trabajo físico. Las transacciones en torno a la información son cada vez más más comunes en el mercado. La expansión y la creación de nuevos tipos de instituciones que trabajen con información como, por ejemplo, universidades, bibliotecas, patentes de empresas comerciales, etc. se consideran indicativas del grado de evolución tecnológica alcanzado por una civilización.

Curiosamente, esto pone de relieve la importancia de la propiedad intelectual en relación con los sistemas de distribución descentralizada, tales como Internet, cuando el precio de la distribución de información tiende a cero con cada vez más eficientes herramientas para distribuir información y la creciente cantidad de información que se distribuye a una cada vez mayor base de clientes. La creciente des-intermediación en dichos mercados y la creciente preocupación por la protección de los derechos de propiedad intelectual no deja claro qué forma tendrán los mercados de la información con la evolución de la era de la información.

[editar] Referencias

1. ↑ RADOVAN RICHTA: La civilización en la encrucijada. Madrid: Editorial Artiach, 1972.; citado por ROMUALDO LOPEZ ZARATE LA EDUCACION EN EL FUTURO. (Ensayo comparativo de tres enfoques)

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Evoluci%C3%B3n_tecnol%C3%B3gica"

Categorías: Antropología cultural | Historia de la tecnología

FILOSOFÍA11: AUTOMATA FINITO. Un autómata finito (AF) o máquina de estado finito es un modelo matemático que realiza cómputos en forma automática sobre una entrada para producir una salida. Este modelo está conformado por un alfabeto, un conjunto de estados y un conjunto de transiciones entre dichos estados. Su funcionamiento se basa en una función de transición, que recibe a partir de un estado inicial una cadena de caracteres pertenecientes al alfabeto (la entrada), y que va leyendo dicha cadena a medida que el autómata se desplaza de un estado a otro, para finalmente detenerse en un estado final o de aceptación, que representa la salida.

Autómata finito

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Un autómata finito (AF) o máquina de estado finito es un modelo matemático que realiza cómputos en forma automática sobre una entrada para producir una salida.

Este modelo está conformado por un alfabeto, un conjunto de estados y un conjunto de transiciones entre dichos estados. Su funcionamiento se basa en una función de transición, que recibe a partir de un estado inicial una cadena de caracteres pertenecientes al alfabeto (la entrada), y que va leyendo dicha cadena a medida que el autómata se desplaza de un estado a otro, para finalmente detenerse en un estado final o de aceptación, que representa la salida.

La finalidad de los autómatas finitos es la de reconocer lenguajes regulares, que corresponden a los lenguajes formales más simples según la Jerarquía de Chomsky.

Contenido [ocultar] 1 Historia 2 Definición formal 2.1 Funcionamiento 2.2 Representación como diagramas de estados 2.3 Representación como tabla de transiciones 2.4 Generalización de la función de transición 3 Autómata finito determinista 4 Autómata finito no determinista 5 Equivalencias entre autómatas finitos 5.1 Conversión de un AFND-ε a un AFND 5.2 Conversión de un AFND a un AFD 5.3 Minimización de un AFD 6 Generalizaciones de autómatas finitos 7 Véase también 8 Referencias 8.1 Bibliografía 9 Enlaces externos

[editar] Historia

El modelo neuronal de McCulloch-Pitts también utiliza diagramas con estados y transiciones, además de los conceptos de entrada y salida.

El origen de los autómatas finitos probablemente se remonta a su uso implícito en máquinas electromecánicas, desde principios del siglo XX.^[1] Ya en 1907, el matemático ruso Andréi Márkov formalizó un proceso llamado cadena de Markov, donde la ocurrencia de cada evento depende con una cierta probabilidad del evento anterior.^[2] Esta capacidad de "recordar" es utilizada posteriormente por los autómatas finitos, que poseen una memoria primitiva similar, en que la activación de un estado también depende del estado anterior, así como del símbolo o palabra presente en la función de transición.

Posteriormente, en 1943, surge una primera aproximación formal de los autómatas finitos con el modelo neuronal de McCulloch-Pitts. Durante la década de 1950 prolifera su estudio, frecuentemente llamándoseles máquinas de secuencia; se establecen muchas de sus propiedades básicas, incluyendo su interpretación como lenguajes regulares y su equivalencia con las expresiones regulares.^[1] Al final de esta década, en 1959, surge el concepto de autómata finito no determinista en manos de los informáticos teóricos Michael O. Rabin y Dana Scott.^[3]

En la década de 1960 se establece su conexión con las series de potencias y los sistemas de sobreescritura.^[4] Finalmente, con el desarrollo del sistema operativo Unix en la década de 1970, los autómatas finitos encuentran su nicho en el uso masivo de expresiones regulares para fines prácticos, específicamente en el diseño de analizadores sintácticos (comando lex) y la búsqueda y reemplazo de texto (comandos ed y grep).^[5] A partir de ese tiempo, los autómatas finitos también se comienzan a utilizar en sistemas dinámicos.^[1]

[editar] Definición formal

Formalmente, un autómata finito es una 5-tupla (Q, Σ, q₀, δ, F) donde:^[6]

• es un conjunto finito de estados;
• es un alfabeto finito;
• es el estado inicial;
• es una función de transición;
• es un conjunto de estados finales o de aceptación.

El esquema general es el de una cinta lectora que avanza sólo hacia delante y de a una celda, según la función de transición.

[editar] Funcionamiento

En el comienzo del proceso de reconocimiento de una cadena de entrada, el autómata finito se encuentra en el estado inicial y a medida que procesa cada símbolo de la cadena va cambiando de estado de acuerdo a lo determinado por la función de transición. Cuando se ha procesado el último de los símbolos de la cadena de entrada, el autómata se detiene en el estado final del proceso. Si el estado final en el que se detuvo es un estado de aceptación, entonces la cadena pertenece al lenguaje reconocido por el autómata; en caso contrario, la cadena no pertenece a dicho lenguaje.

Note que el estado inicial q₀ de un autómata finito siempre es único, en tanto que los estados finales pueden ser más de uno, es decir, el conjunto F puede contener más de un elemento. También puede darse el caso de que un estado final corresponda al mismo estado inicial.

[editar] Representación como diagramas de estados

Este autómata finito está definido sobre el alfabeto Σ={0,1}, posee dos estados s₁ y s₂, y sus transiciones son δ(s₁,0)=s₂, δ(s₁,1)=s₁, δ(s₂,0)=s₁ y δ(s₂,1)=s₂. Su estado inicial es s₁, que es también su único estado final. El lenguaje regular que reconoce puede expresarse mediante la expresión regular (00 | 11 | (01 | 10)(01 | 10)) * .

Los autómatas finitos se pueden representar mediante grafos particulares, también llamados diagramas de estados finitos, de la siguiente manera:

• Los estados se representan como vértices, etiquetados con su nombre en el interior.
• Una transición desde un estado a otro, dependiente de un símbolo del alfabeto, se representa mediante una arista dirigida que une a estos vértices, y que está etiquetada con dicho símbolo.
• El estado inicial se caracteriza por tener una arista que llega a él, proveniente de ningún otro vértice.
• El o los estados finales se representan mediante vértices que están encerrados a su vez por otra circunferencia.

[editar] Representación como tabla de transiciones

Artículo principal: Tabla de transición de estados

Otra manera de describir el funcionamiento de un autómata finito es mediante el uso de tablas de transiciones o matrices de estados. Dos posibles tablas para el ejemplo de la imagen anterior podrían ser las siguientes:

salida q ∈ Q símbolo σ ∈ Σ llegada δ(q,σ) ∈ Q s1 0 s2 s1 1 s1 s2 0 s1 s2 1 s2

0 1 →*s1 s2 s1 s2 s1 s2

La primera representa explícitamente los parámetros y el valor que toma cada ocurrencia de la función de transición.^[7] La segunda es más compacta, y marca con una flecha el estado inicial, y con un asterisco los estados finales.

[editar] Generalización de la función de transición

Si Σ es un alfabeto, entonces se denota Σ* al conjunto de todas las cadenas de caracteres o palabras que se pueden conformar con dicho alfabeto.

Una función de transición δ se puede generalizar a una función δ*, que opera sobre estados y secuencias de símbolos, en lugar de símbolos individuales del alfabeto. Así, esta nueva función de transición se define , permitiendo caracterizar los autómatas de manera más abreviada y sin perder expresividad.^[6]

La función δ* puede expresarse también de manera recursiva, definiendo para toda cadena x ∈ Σ*, todo símbolo a ∈ Σ, y un estado q ∈ Q:^[6]

• , que es la base inductiva, siendo ε la cadena vacía, y
• , que es la inducción propiamente tal.

Se llama configuración de un autómata finito a un "instante" en el cómputo de la máquina; es decir, al estado actual en que se encuentra dicho cómputo, junto con la palabra que ha sido procesada hasta ese momento. Formalmente, se define como un par ordenado (q, x) ∈ Q × Σ*. De este modo, se puede definir además la configuración inicial del autómata, como el par (q₀,x), donde x es la entrada; y la configuración final, como el par (q,ε), con q ∈ F.

De este modo, el lenguaje regular aceptado por un autómata finito A puede denotarse como L(A) = {w; δ^*(q₀,w)∈ F}, es decir, como el conjunto de todas las configuraciones iniciales que conllevan a estados finales.

[editar] Autómata finito determinista

AFD que reconoce el lenguaje regular conformado exclusivamente por las cadenas con un número par de ceros y par de unos.

Artículo principal: Autómata finito determinista

Un autómata finito determinista (abreviado AFD) es un autómata finito que además es un sistema determinista; es decir, para cada estado q ∈ Q en que se encuentre el autómata, y con cualquier símbolo a ∈ Σ del alfabeto leído, existe siempre a lo más una transición posible δ(q,a).

En un AFD no pueden darse ninguno de estos dos casos:

• Que existan dos transiciones del tipo δ(q,a)=q₁ y δ(q,a)=q₂, siendo q₁ ≠ q₂;
• Que existan transiciones del tipo δ(q,ε), salvo que q sea un estado final, sin transiciones hacia otros estados.

Un ejemplo interesante de autómatas finitos deterministas son los tries.

[editar] Autómata finito no determinista

AFND con transiciones δ(q₀,b)=q₀ y δ(q₀,b)=q₁, que acepta el lenguaje regular sobre el alfabeto {a,b} conformado por todas las palabras que terminan en b; es decir, que equivale a la expresión regular (a|b)*b⁺.

AFND-ε a cuyo estado 2 se puede acceder pasando por el estado 3, sin procesar símbolos de entrada.

Artículo principal: Autómata finito no determinista

Un autómata finito no determinista (abreviado AFND) es aquel que, a diferencia de los autómatas finitos deterministas, posee al menos un estado q ∈ Q, tal que para un símbolo a ∈ Σ del alfabeto, existe más de una transición δ(q,a) posible.

Haciendo la analogía con los AFDs, en un AFND puede darse cualquiera de estos dos casos:

• Que existan transiciones del tipo δ(q,a)=q₁ y δ(q,a)=q₂, siendo q₁ ≠ q₂;
• Que existan transiciones del tipo δ(q,ε), siendo q un estado no-final, o bien un estado final pero con transiciones hacia otros estados.

Cuando se cumple el segundo caso, se dice que el autómata es un autómata finito no determinista con transiciones vacías o transiciones ε (abreviado AFND-ε). Estas transiciones permiten al autómata cambiar de estado sin procesar ningún símbolo de entrada.

Formalmente, se distingue de la 5-tupla que define a un autómata finito determinista en su función de transición. Mientras en un AFD esta función se define de la siguiente manera:

en un AFND se define como:

Para el caso de los AFND-ε, se suele expresar la función de transición de la forma:

donde P(Q) es el conjunto potencia de Q.

Esto significa que los autómatas finitos deterministas son un caso particular de los no deterministas, puesto que Q pertenece al conjunto P(Q).

La interpretación que se suele hacer en el cómputo de un AFND es que el automáta puede estar en varios estados a la vez, generándose una ramificación de las configuraciones existentes en un momento dado. Otra interpretación puede ser imaginar que la máquina "adivina" a qué estado debe ir, eligiendo una transición entre varias posibles.

Note finalmente que en un autómata finito no determinista podemos aceptar la existencia de más de un nodo inicial, relajando aún más la definición original.

[editar] Equivalencias entre autómatas finitos

Se dice que dos autómatas finitos son equivalentes, si ambos reconocen el mismo lenguaje regular.

Toda expresión regular (que define a su vez un lenguaje regular) puede ser expresada como un autómata finito determinista,^[8] y viceversa.^[9] Dada una expresión regular, es posible construir un AFND-ε que reconozca dicho lenguaje, por ejemplo mediante el algoritmo de Thompson. Luego, todo AFND-ε puede transformarse en un AFND equivalente, así como todo AFND puede transformarse en un AFD equivalente, mediante el método llamado construcción de conjunto potencia. Así, por transitividad, para cualquier autómata finito no determinista siempre existe un autómata finito determinista equivalente, y viceversa.^[3]

Normalmente en el diseño de autómatas finitos, lo primero que se hace es construir un AFND-ε, que es el más sencillo de construir, por poseer menos restricciones en su función de transiciones. Luego dicho autómata se reduce a un AFND, y finalmente a un AFD, el cual por sus características deterministas ya puede ser implementado sin problemas utilizando un lenguaje de programación.

[editar] Conversión de un AFND-ε a un AFND

La conversión de un AFND-ε en un AFND se basa en el concepto de clausura-ε, que corresponde a una clausura transitiva contextualizada en la teoría de autómatas.

Dado un estado q, se llama clausura-ε(q) al conjunto de todos los estados a los que se puede acceder a partir de q, procesándose a lo más un único símbolo de la entrada. Puede definirse recursivamente de la siguiente manera:^[10]

• (Base inductiva) Para todo estado q, q ∈ clausura-ε(q).
• (Inducción) Dados dos estados p y r, si p ∈ clausura-ε(q) y r ∈ δ(p,ε), entonces r ∈ clausura-ε(q).

El algoritmo para eliminar las transiciones vacías es el siguiente:

1. Se calcula la clausura-ε del estado inicial, formándose un conjunto A que corresponderá al estado inicial del nuevo autómata.
2. Para cada símbolo del alfabeto, se verifican los estados alcanzables a partir de algún estado contenido en A, y se calcula la clausura-ε de dichos estados alcanzables. Si dichas clausuras producen nuevos conjuntos distintos de A, estos serán nuevos estados a los que se accederá a partir de A y del símbolo correspondiente.
3. Se repite lo anterior para cada nuevo conjunto, hasta que no existan transiciones posibles para ningún símbolo del alfabeto.

Ejemplo

Eliminación de las transiciones vacías de un AFND-ε.

AFND-ε inicial.

En este caso se obtiene un AFD, que es un caso particular de AFND.

En el ejemplo de la figura, se tendrá inicialmente:

clausura-ε(1) = {1,2,3,4,6} = A Para A: Para el símbolo a: 4 va a 5, y clausura-ε(5) = {5,7} = B.Para el símbolo b: no existen transiciones posibles.Para B: Para el símbolo a: no existen transiciones posibles.Para el símbolo b: 5 va a 6, y clausura-ε(6) = {6} = C.Para C: Para el símbolo a: no existen transiciones posibles.Para el símbolo b: no existen transiciones posibles.

Con esto concluye el algoritmo y se obtiene el autómata de la figura.

En algunos casos puede ocurrir que al quitar las transiciones épsilon obtengamos directamente un AFD, pues la única razón de no-determinismo era justamente la presencia de dichas transiciones.

[editar] Conversión de un AFND a un AFD

Artículo principal: Construcción de subconjuntos

Conversión de un AFND a un AFD.

AFND inicial.

Proceso de conversión.

AFD final.

Todo AFND (Q_N, Σ, q₀, δ_N, F_N) puede convertirse en un AFD (Q_D, Σ, q₀, δ_D, F_D) equivalente, que mantiene el alfabeto Σ y el estado inicial q₀ originales. La conversión implica pasar por un AFD intermedio con estados y transiciones redundantes, que al no ser accesibles a partir del estado inicial, son eliminados para obtener el AFD definitivo.

Para definir el AFD intermedio, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Primero se redefine el conjunto de estados Q_N = {q₀, q₁, ..., q_m} original, como uno conformado por todos los subconjuntos de Q_N. Los nuevos estados finales serán todos aquellos estados que contengan a alguno de los estados finales originales.
2. Posteriormente, se redefine el conjunto de transiciones original, por transiciones del tipo δ_D(S,a), donde a∈Σ, y S es la unión de todos los estados q de Q_N para los cuales existía la transición δ_N(q,a).
3. Por último, se eliminan los estados inaccesibles o inalcanzables (junto con sus transiciones de salida), es decir, aquellos a los que no se puede acceder a partir del estado inicial. Luego de esta depuración, se obtiene el AFD final.

Ejemplo

En las figuras de ejemplo, como el AFND inicial posee tres estados (q₀, q₁, q₂), entonces el AFD intermedio poseerá siete ({q₀}, {q₁}, {q₂}, {q₀, q₁}, {q₀, q₂}, {q₁, q₂}, {q₀, q₁, q₂}), y como el estado final original era q₂, entonces los estados finales del AFD intermedio son {q₂}, {q₀, q₂}, {q₁, q₂} y {q₀, q₁, q₂}. Con respecto a las nuevas transiciones, note por ejemplo que se mantuvo la transición δ_N(q₀,1)=q₀, siendo ahora llamada δ_D({q₀},1)={q₀}; sin embargo, dado que originalmente se daba que δ_N(q₀,0)=q₀ y δ_N(q₀,0)=q₁, ahora estas dos transiciones fueron reemplazadas por δ_D({q₀},0)={q₀, q₁}. Para terminar, note que los estados {q₁}, {q₂} y {q₁, q₂} no están conectados con el resto del autómata que posee el estado inicial; por tanto, son eliminados. Asimismo es eliminado también {q₀, q₁, q₂}, pues a pesar de estar conectado con el resto del autómata, no es accesible a partir de {q₀}. Así finalmente, eliminando estos cuatro estados, así como sus respectivas transiciones, se obtiene el AFD buscado.

[editar] Minimización de un AFD

Dos estados de un autómata finito determinista son estados equivalentes si al unirse en un sólo estado, pueden reconocer el mismo lenguaje regular que si estuviesen separados. Esta unión de estados implica la unión tanto de sus transiciones de entrada como de salida. Si dos estados no son equivalentes, se dice que son estados distinguibles. Un estado final con un estado no-final nunca serán equivalentes.

Un AFD está minimizado, si todos sus estados son distinguibles y alcanzables. Un algoritmo de minimización de AFD es el siguiente:

1. Eliminar los estados inaccesibles del autómata.
2. Construir una tabla con todos los pares (p, q) de estados restantes.
3. Marcar en la tabla aquellas entradas donde un estado es final y el otro es no-final, es decir, aquellos pares de estados que son claramente distinguibles.
4. Para cada par (p, q) y cada símbolo a del alfabeto, tal que r = δ(p,a) y s = δ(q,a):
   1. Si (r, s) ya ha sido marcado, entonces p y q también son distinguibles, por lo tanto marcar la entrada (p, q).
   2. De lo contrario, colocar (p, q) en una lista asociada a la entrada (r, s).
5. Agrupar los pares de estados no marcados.

Luego del tercer paso, si la tabla creada queda completamente marcada, entonces el AFD inicial ya era mínimo.

La complejidad computacional del problema de minimizar un AFD es polinomial. De hecho, existen algoritmos más eficientes aún que el mostrado en este artículo (aunque menos intuitivos).^[11] Sin embargo, el problema de minimizar un autómata finito no determinista es NP-completo y PSPACE-completo.^{[12] [13]}

Ejemplo

Minimización de un AFD.

AFD con estados redundantes.

AFD minimizado.

En la primera figura del ejemplo, se muestra un autómata con el estado inaccesible d, el cual puede eliminarse inmediatamente. Luego se construye la tabla de pares de estados, y a continuación se marcan, de acuerdo a la tercera línea del algoritmo, las filas y columnas correspondientes a los estados finales c y g, salvo la celda que representa el par (c,g), puesto que al ser ambos estados finales, pueden ser estados equivalentes. Posteriormente, se marcan las celdas restantes de acuerdo a la cuarta línea del algoritmo, notando que el par (b, f) queda asociado con el par (c, g), y así finalmente se obtiene el autómata final, agrupando los estados b y f, así como c y g, tal y como se muestra en la segunda figura del ejemplo.

Tablas para la búsqueda de estados equivalentes

b   c     e       f         g             a b c e f

b   c     e       f         g             a b c e f

b   c     e       f         g             a b c e f

[editar] Generalizaciones de autómatas finitos

Ejemplo de Máquina de Mealy, un tipo de transductor de estados finitos, que generaliza los autómatas finitos.

Existes diversas generalizaciones posibles de hacer sobre los autómatas finitos, para aumentar su uso y expresividad. Así, por ejemplo, se definen los transductores de estados finitos como autómatas finitos que están dotados además de un alfabeto de salida, distinto al de entrada, y que pueden poseer más de un estado inicial.^[14] Las máquinas de Moore y máquinas de Mealy son conocidos ejemplos de transductores, que se utilizan sobre todo para modelar sistemas secuenciales.^{[15] [16]}

Es incluso posible aumentar el poder de cómputo de un autómata finito, permitiendo un alfabeto adicional sobre éste, que actúe sobre una memoria de tipo pila para ser considerada en cada transición. Esta es la idea utilizada por los llamados autómatas con pila, los cuales son capaces de reconocer lenguajes libres de contexto, que están un nivel por sobre los lenguajes regulares en la Jerarquía de Chomsky.^[17]

[editar] Véase también

• Lenguaje regular
• Teoría de autómatas

 

[editar] Referencias

1. ↑ ^{a b c} Wolfram, Stephen (2002). «Starting From Randomness» (en inglés). A New Kind of Science. Wolfram Media. pp. 958. http://www.wolframscience.com/reference/notes/958a. Consultado el 31 de marzo de 2010. 
2. ↑ Basharin, Gely P.; Langville, Amy N.; Naumov, Valeriy A. (2004). «The Life and Work of A. A. Markov» (en inglés). Linear Algebra and its Applications 386:  pp. 3-26. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.4.4887. Consultado el 31 de marzo de 2010. 
3. ↑ ^{a b} Rabin, Michael O.; Scott, Dana (1959). «Finite automata and their decision problems» (en inglés). IBM Journal of Research and Development (IBM Corp. Riverton, NJ, USA) 3 (2):  pp. 114-125. ISSN 0018-8646. http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1661909. Consultado el 05 de abril de 2010. 
4. ↑ Wolfram, Stephen (2002) (en inglés). A New Kind of Science. Wolfram Media. pp. 893. http://www.wolframscience.com/reference/notes/958a. Consultado el 31 de marzo de 2010. 
5. ↑ Thompson, Ken (1968). «Programming Techniques: Regular expression search algorithm» (en inglés). Communications of the ACM 11 (6):  pp. 419-422. http://portal.acm.org/citation.cfm?id=363387&dl=GUIDE,. Consultado el 01 de abril de 2010. 
6. ↑ ^{a b c} Chakraborty, Samarjit (17 de marzo de 2003). «Formal Languages and Automata Theory. Regular Expressions and Finite Automata» (en inglés). Computer Engineering and Networks Laboratory. Swiss Federal Institute of Technology (ETH) Zürich:  pp. 17. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.89.9977. Consultado el 30 de marzo de 2010. 
7. ↑ Brena, Ramón (2003). «Autómatas y Lenguajes. Un enfoque de diseño» (en español). Tecnológico de Monterrey, México:  pp. 205. http://homepages.mty.itesm.mx/rbrena/AyL.html. Consultado el 31 de marzo de 2010. 
8. ↑ Berry, G.; Sethi, R. (1987). «From regular expressions to deterministic automata» (en inglés). TCS: Theoretical Computer Science 48:  pp. 117-126. http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/07/59/04/PDF/RR-0649.pdf. Consultado el 01 de abril de 2010. 
9. ↑ Neumann, Christoph (2005) (en inglés). Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.85.2597&rep=rep1&type=pdf. Consultado el 01 de abril de 2010. 
10. ↑ van Noord, Gertjan (2000). «Treatment of epsilon moves in subset construction» (en inglés). Computational Linguistics (MIT Press. Cambridge, MA, USA) 26 (1):  pp. 61-76. ISSN 0891-2017. http://portal.acm.org/citation.cfm?id=971841.971845. Consultado el 05 de abril de 2010. 
11. ↑ Hopcroft, John E. (1971). «An n log n algorithm for minimizing states in a finite automaton» (en inglés). Theory of Machines and Computations (Academic Press, Nueva York):  pp. 189-196. http://portal.acm.org/citation.cfm?id=891883. Consultado el 09 de abril de 2010. 
12. ↑ Jiang, Tai; Ravikumar, B. (1993). «Minimal NFA problems are hard» (en inglés). SIAM Journal on Computing (Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia, PA, Estados Unidos) 22 (6):  pp. 1117-1141. ISSN 0097-5397. http://portal.acm.org/citation.cfm?id=165076&dl=GUIDE&coll=GUIDE&CFID=85447364&CFTOKEN=52905360. Consultado el 09 de abril de 2010. 
13. ↑ Malcher, Andreas (2004). «Minimizing finite automata is computationally hard» (en inglés). Theoretical Computer Science (Elsevier Science Publishers Ltda. Essex, Reino Unido) 327 (3):  pp. 375-390. ISSN 0304-3975. http://www.springerlink.com/content/xj7hde7ewmucw94a/. Consultado el 05 de abril de 2010. 
14. ↑ Koskenniemi, Kimmo (1984), A general computational model for word-form recognition and production, Morristown, NJ, Estados Unidos: Association for Computational Linguistics, pp. 178-181, http://acl.ldc.upenn.edu/P/P84/P84-1038.pdf, consultado el 10 de abril de 2010 
15. ↑ Moore, Edward F. (1956). «Gedanken-experiments on Sequential Machines» (en inglés). Automata Studies, Annals of Mathematical Studies (Princeton, N.J.: Princeton University Press) (34):  pp. 129–153. http://books.google.cl/books?hl=es&lr=&id=oL57iECEeEwC&oi=fnd&pg=PA129&dq=Gedanken-experiments+on+Sequential+Machines&ots=xtIZlfNSh3&sig=_IZbeMzi9_E7N5vQpocPAfK1KiU#v=onepage&q=Gedanken-experiments%20on%20Sequential%20Machines&f=false. Consultado el 10 de abril de 2010. 
16. ↑ Mealy, George H. (1955). «A Method for Synthesizing Sequential Circuits» (en inglés). Bell Systems Technical Journal 34:  pp. 1045-1079. 
17. ↑ Hopcroft, John E.; Ullman, Jeffrey D. (1969), Formal languages and their relation to automata, Boston, MA, Estados Unidos: Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., pp. 262, http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1096945, consultado el 10 de abril de 2010 

[editar] Bibliografía

• Hopcroft, John; Motwani, Rajeev; Ullman, Jeffrey D. (2001) (en inglés). Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Massachusetts, Estados Unidos: Addison-Wesley. 

[editar] Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Autómata finito. Commons
• JFLAP, software para experimentar con lenguajes formales y autómatas

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Aut%C3%B3mata_finito"

Categoría: Lenguajes formales