MATEMÁTICAS3: POTENCIACIÓN. POTENCIAS MATEMÁTICAS. La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.

28 de noviembre de 2010 - 19:12 - Matemáticas3

Potenciación

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La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.

Se escribe aⁿ, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

$a^n = underbrace{a times cdots times a}_n,$

Por ejemplo: $2^4 = 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 = 16$ .

cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.

$a^{-p}= frac{1}{a^p}$

cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:

$a^{frac{n}{m}} = sqrt[m]{a^n}$

Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de $00$ que, en principio, no está definido (ver cero).

La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.

Contenido

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[editar] Propiedades de la potenciación

[editar] Potencia de exponente 0

Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:

$1 = frac {a^1} {a^1} = a^{1-1} = a^0,$

[editar] Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:

$a^1 = a ,$

Ejemplo:

$54^1=54 ,$

[editar] Potencia de exponente negativo

Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo:

$a^{-n} = a^{0-n} = frac {a^0}{a^n} = frac {1}{a^n},$

[editar] Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

$a^m cdot a^n = a^{m + n}$

Ejemplos:

$9^3 cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5$

[editar] División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes respectivos:

$frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$

Ejemplo:

$frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2$

[editar] Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b y de exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b también elevado a n:

$(a cdot b)^n=a^n cdot b^n$

[editar] Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

${(a^m)}^n = a^{m cdot n}$

Debido a esto, la notación $a^{b^c}$ se reserva para significar $a^{(b^c)}$ ya que ${(a^b)}^c$ se puede escribir sencillamente como $a b c$ .

[editar] Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

$(a cdot b)^n = a^n cdot b^n$ $left(frac{a}{b}right)^n = frac{a^n}{b^n}$

[editar] Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

$(a + b)^m neq a^m + b^m$ $(a - b)^m neq a^m - b^m$

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:

$a^b neq b^a$

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

$a^{b^c}=a^{(b^c)}ne (a^b)^c=a^{(bcdot c)}=a^{b c}$

[editar] Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones como indique el valor absoluto del exponente: hacia la izquierda si el exponente es positivo, o hacia la derecha si el exponente es negativo.

Ejemplos:

$10^{-5}=0,00001 ,$ $10^{-4}=0,0001 ,$ $10^{-3}=0,001 ,$ $10^{-2}=0,01 ,$ $10^{-1}=0,1 ,$ $10^0=1 ,$ $10^1=10 ,$ $10^2=100 ,$ $10^3=1.000 ,$ $10^4=10.000 ,$ $10^5=100.000 ,$ $10^6=1.000.000 ,$

[editar] Potencia de números complejos

Artículo principal: Fórmula de De Moivre

Para cualquiera de los números reales $a,b,c,d ,$ se tiene la identidad:

$left(a,e^{i,b}right)^{left(c,e^{i,d}right)}=a^{c,cos d},e^{i,left( c,log a,sin d+b,c,cos dright)-b,c,sin d}$

[editar] Representación gráfica

gráfico de $y = x^2 ,$

gráfico de $y = x^3 ,$

La representación gráfica de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su vértice se sitúa en el punto (0, 0), es decreciente en el segundo cuadrante y creciente en el primero.

La representación gráfica de una potencia impar son dos ramas de parábola. Tiene un punto de inflexión en el vértice (0, 0), es siempre creciente, y ocupa el tercer y primer cuadrante.

Dichas curvas son continuas y derivables para todos los reales.

[editar] Límites

[editar] $00$

El caso especial $00$ se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas que se quieran mantener.

Por ejemplo, puede argumentarse que $00$ es el igual al valor del límite

$lim_{xto 0^+} x^0$

y como $x 0 = 1$ para $x ne 0$ , dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo también puede considerarse dicha expresión como el valor del límite

$lim_{xto 0^+} 0^x$

y como $0 x = 0$ para $x ne 0$ , dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma $00$ puede corresponde a diferentes valores y por ello se considera indefinida.

El debate sobre el valor de la forma $00$ tiene casi 2 siglos de antigüedad. Durante los primeros días del análisis matemático en que el fundamento formal del cálculo no se había establecido, era común aceptar que 0⁰=1. Sin embargo, en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del análisis, lista dicha forma en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0. En los 1830s, Libri^[1] ^[2] publicó un argumento para asignar 1 como valor de 0⁰ y August Möbius^[3] lo apoyó afirmando erróneamente que

$lim_{t to 0^+} f(t)^{g(t)} = 1,$ siempre que $lim_{t to 0^+} f(t) = lim_{t to 0^+} g(t) = 0.$

Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un contraejemplo

${(e^{-1/t})}^t$

cuyo límite cuando $tto0^+$ es $1 / e$ , lo cual calmó el debate con la aparente conclusión del incidente que 0⁰ debería permanecer indefinida. Se pueden encontrar más detalles en Knuth (1992).^[4]

En la actualidad, suele considerarse la forma $00$ como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido. ^[5] ^[6] ^[7]

Para calcular límites cuyo valor aparente es $00$ suele usarse la Regla de l'Hôpital.

[editar] Véase también

Raíz cuadrada
Radicación
Exponenciación
Fórmula de De Moivre (para potencias de números complejos)

[editar] Referencias

↑ Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 0^{0^x}, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67–72.
↑ Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303–316.
↑ A. F. Möbius, Beweis der Gleichung 0⁰ = 1, nach J. F. Pfaff, Journal für die reine und angewandte Mathematik 12 (1834), 134–136.
↑ Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403–422.
↑ Peter Alfeld. «Understanding Mathematics» (en inglés). Universidad de Utah. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «The problem is similar to that with division by zero. No value can be assigned to 0 to the power 0 without running into contradictions. Thus 0 to the power 0 is undefined!».
↑ Ask Dr. Math. (18 de marzo de 1997). «Why are Operations of Zero so Strange?» (en inglés). The Math forum. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «Other indeterminate forms are 0^0, 1^infinity.».
↑ Gentile, Enzo R. (1976) (en español). Notas de Álgebra I (2a edición). Editorial Universitaria de Buenos Aires. pp. 56. «Es útil también definir en el caso x≠0, x⁰=1. (0⁰ queda indefinido).»

[editar] Enlaces externos

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