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Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de unicidad que sólo sale una.

En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:

Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.

Definición

Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de

Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:

Notación y nomenclatura

Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por o . A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.

Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por

o codom_f

Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.

Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por o o .

Una preimagen de un es algún tal que .

Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.

Ejemplos

• La función definida por , tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales

Función con Dominio X y Rango Y

• Para la función tal que , en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

• En la figura se puede apreciar una función , con

, queda:

Igualdad de funciones

Sean las funciones f: A → B y g: C → D, decimos que f es igual a g y escribimos f=g si y sólo si se cumple que ambas funciones:

1. tienen igual dominio, A=C,
2. tienen igual codomino, B=D, y
3. tiene la misma asignación, es decir que para cada x se cumple que f(x)=g(x).

Representación de funciones

Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

• usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el {rm dominio naturl],} de la función.

• Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

   X| -2 -1  0  1  2  3
   Y|  0  1  2  3  4  5

• Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

• Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Clasificación de las funciones

Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

• Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
• Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
• Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .

Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre especifico.

'Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación

.

• la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación siempre tiene al menos una solución.
• la función es inyectiva si, y 'solo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
• la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.

Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.

En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final) no tenga una preimagen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.

En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

Segundo ejemplo

Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:

,

,

Sobre el conjunto de caras pintadas:

,

,

,

Asociando cada pincel con la cara correspondiente:

Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta correspondencia es una aplicación, como las caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la aplicación es inyectiva, y como la cara pintada de amarillo, no tiene ningún pincel de este color, la aplicación no es sobreyectiva.

Aplicación no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A.

Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

Segundo ejemplo

Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto de pinceles con pintura de colores:

,

,

,

En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pasar de tener el mismo color de pintura son dos pinceles distintos.

Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:

,

,

Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una cara pintada de su color y solo una, esto hace que la correspondencia sea una aplicación, la cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lo que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la aplicación es sobreyectiva.

Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.

En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B.

Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:

• Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números naturales:

y por conjunto final el de los números naturales pares:

Podemos ver que la relación

Por el que a cada número natural x de X, le asociamos un número par 2x de Y, se cumple:

1. f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y.
2. esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par 2x de Y le corresponde un único valor x de X.
3. y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen

Esto nos permite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de números naturales pares, se da la paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos.

Segundo ejemplo

Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:

,

,

,

y el de caras como conjunto final:

,

,

,

La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicación porque todos los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicación es inyectiva porque un pincel corresponde con una sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente esta aplicación es biyectiva.

Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno, pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos en el conjunto inicial que en el final.

Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre especifico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.

Para esta aplicación los conjuntos X e Y no son comparables, y no podemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de su comparación, ni sobre su número de elementos.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unión de A y B.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

el elemento se obtiene cuando dos funciones con el mismo numerador se conectan de forma biyectiva y no se utiliza en ningún momento la sobreyectiva por medidas de aseguracion la función se emplea de forma rotativa y no se representa en las gráficas

Segundo ejemplo

Si tomamos como conjunto inicial el de pinceles de colores:

,

,

,

y como conjunto final el de caras coloreadas:

,

,

,

Vemos que todos los pinceles tiene una cara y solo una cara de su mismo color, luego esta correspondencia es una aplicación matemática.

Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicación no es inyectiva, y como la cara amarilla no tiene ningún pincel de ese color no es sobreyectiva, luego esta aplicación es no inyectiva y no sobreyectiva.

Resumen

Sobreyectiva, no inyectiva

Inyectiva, no sobreyectiva

Biyectiva

No sobreyectiva, no inyectiva

Álgebra de las funciones

La Composición de funciones

Dadas las funciones f: A → B y g: B → C, (o sea, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g), se define una función composición (g ο f ): A → C tal que (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

La función identidad

Dado un conjunto , la función que asigna a cada x de el mismo x de A, se denomina función identidad. También se simboliza por 1_A o id_A.

Dada cualquier función , se cumple que es igual a f y que es también igual a , puesto que tenemos que para todo y también

Se verifica que

• la composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.
• la composición de dos funciones suprayectivas es suprayectiva.
• la composición de dos funciones biyectivas es biyectiva.

La Restricción de una Función

Sea C un subconjunto de A. La inclusión de C en A permite definir una función de C en A que asigna a cada elemento de C el mismo elemento, pero considerado como elemento de A. Decimos que tal función es la función definida por la inclusión.

Sea y sea un subconjunto de . Sea i la función definida por la inclusión. La composición define una función de en que se llama la restricción de f a C y que se denota por .

Advertencia: muchas veces, especialmente con funciones numéricas, se usa la misma notación para la función y su restricción, esperando que del contexto pueda deducirse la diferencia.

Función inversa

Dada una función , se llama una (función) inversa de , a una función tal que se cumple las siguientes condiciones:

.

Decimos también que la función f es invertible

Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y se la denota por .

Se verifica también las siguientes propiedades.

• Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.
• La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. O sea que (f ^{− 1}) ^{− 1} = f.
• La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composición de las inversas de los factores pero con el orden invertido.

.

El grupo simétrico o grupo de las funciones biyectivas

Sea A un conjunto y Biy(A) el conjunto formado por todas las funciones biyectivas de A en sí mismo. El conjunto Biy(A) no es vacío, porque al menos la función identidad está en ese conjunto. Además, recordando que las funciones biyectivas coinciden con las funciones invertibles, tenemos que la composición de funciones define una operación algebraica en Biy(A). Se verifica que

1. La composición es una operación asociativa, es decir, dadas tres funciones cualesquiera se cumple que
2. La función identidad es un neutro respecto a la operación. O sea, , tenemos que .
3. Cada elemento f de Biy(A) tiene un inverso respecto a la operación: la función inversa de f. O sea que .

Estas tres condiciones determinan lo que se llama un grupo. Por lo que el conjunto de las funciones biyectivas , Biy(A) es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones que recibe el nombre de grupo simétrico de .

Cuando A es un conjunto finito, digamos con n elementos, las biyecciones de A se llaman también permutaciones, por lo que el grupo simétríco de A se llama también grupo de permutaciones.

Terminología, tradición y convenios

La noción de función es fundamental en matemáticas. la noción ha evolucionado desde su introducción en el siglo XVII hasta el presente, al igual que muchas otras de las nociones de matemáticas. Una de las fuentes de la noción es el estudio del movimiento cinemática, de donde hemos heredado terminologías tales como constante, variable y parámetro.

Sea una función. La notación y definición dadas son posteriores a la invención de la teoría de conjuntos, o sea posterior a los finales del siglo XIX. ¿Cómo se decía anteriormente que x era un elemento de ? Diciendo que x era una variable real. Por extensión del concepto, se llamaba variables tanto a los elementos del dominio como aquellos del codominio; para distinguir entre ellos, los elementos del dominio eran las variables independientes mientras que aquellos del codominio eran las variables dependientes.

Por esa razón, funciones cuyo dominio sea un subconjunto de los Reales se denominan funciones de una variable real. ¿Por que "una"? Porque funciones cuyo dominio eran subconjuntos de o se llamaban funciones de dos o tres variables (reales) respectivamente. Actualmente, preferimos decir que se trata de funciones definidas sobre pares o tríos de números (usualmente considerados como vectores bidimensionales o tridimensionales, respectivamente).

En algunos contextos, la terminología está adaptada al tema de estudio, por ejemplo, en Física es usual la siguiente terminología.

• Función escalar: Función del tipo
• Campo escalar: Función del tipo
• Función vectorial: Función del tipo
• Campo vectorial: Función del tipo

La notación funcional

En muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentra la expresión "la función f(x)". De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace sentido, ya que f(x) es una notación para el elemento del codominio. Otras veces, nos encontramos con algo así como "la función f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunque aquí hay una posible asignación, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que en rigor la función f no está bien definida.

En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numéricas (dominio y codominio son subconjuntos de los Reales), hay una serie de convenios para simplicar la escritura. La expresión "la función " se debe entender como una abreviación de lo siguiente: La función f definida por dicha igualdad, que suponemos una relación funciona (a cada x corresponde un único y) es una función cuyo dominio, llamado dominio natural, es el máximo subconjunto para él cual tiene sentido la expresión, y cuyo codominio son todos los Reales. En la "función" citada, la aparición del radical nos dice que el dominio natural consiste de todos los reales no negativos.

Para evitar ambigüedades, a veces se usa la notación para indicar la regla de asignación.

Igualmente, por restricciones adecuadas de dominio y codominio se trabaja la composición de funciones numéricas. Por ejemplo: si y , podemos considerar a como la composición de las funciones g y f, a pesar que esto es i'nconsistente con la definición dada de composición. En efecto, f es una función de en cuya imagen es todo . Por su parte, g es una función de los reales no negativos en los Reales, por lo que no se cumple que la imagen de f sea un subconjunto del dominio de 'g. Sin embargo, como prácticamente o para efectos de otras necesidades matemáticas queremos considerar a la función h como una composiciónd e g con f, suponemos que f está restringido al intervalo .

Funciones (con valores) Reales

Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de númerosson particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.

Llamamos función real o función con valores reales a cualquier función cuyo codominio sea un subconjunto de los Reales.

Álgebra de Funciones

Sea X un conjunto culaquiera no vacío y sea el conjunto formado por todas las funciones de X en . Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los Reales se pueden extender a , como veremos a continuación.

Sean elementos de . Definimos operaciones entre funciones, punto a punto por

• Suma de Funciones.
• Resta de Funciones.
• Producto de Funciones.

Extendemos relaciones punto a punto.

• .

La manera en que hacemos la extensión garantiza que muchas de las propiedades de los Reales se extienden a . Indicamos a continuación aquellas más importantes.

• La suma de funciones es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante , con opuesto aditivo − f para cada función f.
• La resta es tal que f − g = f + ( − g).
• La multiplicación es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante , pero solamente las funciones que nunca tiene valor nulo, tienen recíprocos.
• La multiplicación es distributiva respecto a la suma.

Note que todas las anteriores propiedades son propiedades de los números reales. Hay, sin embargo, propiedades "extrañas". Por ejemplo, Si el conjunto X tiene a lo menos dos elementos, hay divisores de cero en . En efecto, supongamos que X = {a,b} y definamos tales que f(a) = 1,f(b) = 0 y g(a) = 0yg(b) = 1. Se ve, inmediatamente, que fg es la función constantemente 0, o sea la función cero, aunque ninguno de los factores lo es.

El conjunto junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de ejemplos diversos que se obtienen al seleccionar el conjunto X.

• Sea . Entonces, cada función de define una pareja de números f(1),f(2) que si consideramos el orden natural en X, podemos escribir como el para ordenado (f(1),f(2)). Esto nos dice que, en este caso, podemos identificar con el conjunto de todos los pares posibles de números reales, o sea con .
• Sea Razonado como arriba, podemos identificar a con .
• Sea Razonado como arriba, podemos identificar a con .

Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares, tríos, n-uplas ordenadas aparece provisto de una suma y multiplicación. La suma coincide con la suma vectorial usual y la multiplicación por constantes con la multiplicación por escalar.

• Sea , los Naturales. En este caso, es el conjunto de todas las sucesiones de números reales provisto cono la suma y multiplciación usual de sucesiones.

Funciones numéricas

Llamamos funciones numéricas a funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los Reales. Estas funciones son aquellas que aparecen más frecuentemente en las aplicaciones elementales.

Funciones acotadas

• Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado. Por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f("x")=|x| tiene por conjunto imagen , por lo que está acotada inferiormente.

Funciones pares e impares

Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si

Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si

Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.

Funciones monótonas

1. La función f es estrictamente creciente en
2. f es estrictamente decreciente en

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es inyectiva.

1. f es creciente en
2. f es decreciente en

Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monótona.

Funciones periódicas

Una función es periódica si se cumple: donde es el período.

En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: . Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos.

Funciones cóncavas y convexas

Función convexa.

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones convexa hacia arriba y concava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

Funciones reales y funciones discretas

• Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.

Véase también

• Anexo:Funciones matemáticas
• Continuidad (matemática)
• Asíntotas de una función
• Función lineal
• Sucesión matemática

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre funciones. Commons
• FooPlot - Graficador de funciones matemáticas
• En la Enciclopedia en-línea de la Springer-Verlag: [1]
• The function concept - Sobre la historia del concepto de función

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El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

Introducción general [editar]

El análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.

En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número finito de pasos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

Conceptos generales [editar]

• Algoritmo (métodos constructivos)
• Análisis de errores
• Estabilidad numérica
• Estabilidad de los algoritmos
• Representación finita e infinita de números

A partir de aquí, aparece un concepto adicional, el de error. Este concepto aparece como consecuencia de la naturaleza finita de los ordenadores que solo pueden operar con números representados de forma finita.

Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema.

Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.

Aplicaciones [editar]

En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.

Otro motivo que ha propiciado el auge del análisis numérico ha sido el desarrollo de los ordenadores. El aumento brutal de la potencia de cálculo ha convertido en posibles y en eficientes a algoritmos poco dados a su realización a mano.

Problemas [editar]

Clasificación según su dimensión [editar]

Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:

• Problemas de dimensión finita: aquellos cuya respuesta son un conjunto finito de números, como las ecuaciones algebraicas, los determinantes, los problemas de valores propios, etc.

• Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya solución o planteamiento intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de números, como integración y derivación numéricas, cálculo de ecuaciones diferenciales, interpolación, etc.

Clasificación atendiendo a su naturaleza o motivación [editar]

Asimismo, existe una subclasificación de estos dos grandes apartados en tres categorías de problemas, atendiendo a su naturaleza o motivación para el empleo del cálculo numérico:

• 1) Problemas de tal complejidad que no poseen solución analítica.

• 2) Problemas en los cuales existe una solución analítica, pero ésta, por complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la práctica.

• 3) Problemas para los cuales existen métodos sencillos pero que, para elementos que se emplean en la práctica, requieren una cantidad de cálculos excesiva; mayor que la necesaria para un método numérico.

Áreas de estudio [editar]

El análisis numérico se divide en diferentes disciplinas de acuerdo con el problema a resolver.

Cálculo de los valores de una función [editar]

Uno de los problemas más sencillos es la evaluación de una función en un punto dado. Para polinomios, uno de los métodos más utilizados es el algoritmo de Horner, ya que reduce el número de operaciones a realizar. En general, es importante estimar y controlar los errores de redondeo que se producen por el uso de la aritmética de punto flotante.

Interpolación, extrapolación y regresión [editar]

La interpolación resuelve el problema siguiente: dado el valor de una función desconocida en un número de puntos, ¿cuál es el valor de la función en un punto entre los puntos dados? El método más sencillo es la interpolación lineal, que asume que la función desconocida es lineal entre cualquier par de puntos sucesivos. Este método puede generalizarse a la interpolación polinómica, que suele ser más precisa pero que sufre el llamado fenómeno de Runge. Otros métodos de interpolación usan otro tipo de funciones interpoladoras dando lugar a la interpolación mediante splines y a la interpolación trigonométrica. Otros métodos de interpolación utilizando derivadas sucesivas de la función son mediante los polinomios de Taylor y la aproximación de Padé.

La extrapolación es muy similar a la interpolación, excepto que ahora queremos encontrar el valor de la función desconocida en un punto que no está comprendido entre los puntos dados.

La regresión es también similar, pero tiene en cuenta que los datos son imprecisos. Dados algunos puntos, y una medida del valor de la función en los mismos (con un error debido a la medición), queremos determinar la función desconocida. El método de los mínimos cuadrados es una forma popular de conseguirlo.

Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones [editar]

Otro problema fundamental es calcular la solución de una ecuación o sistema de ecuaciones dado. Se distinguen dos casos dependiendo de si la ecuación o sistema de ecuaciones es o no lineal. Por ejemplo, la ecuación 2x + 5 = 3 es lineal mientras que la ecuación 2x² + 5 = 3 no lo es.

Mucho esfuerzo se ha puesto en el desarrollo de métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Métodos directos, i.e., métodos que utilizan alguna factorización de la matriz son el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la descomposición de Cholesky para matrices simétricas (o hermíticas) definidas positivas, y la descomposición QR. Métodos iterativos como el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel, el método de las aproximaciones sucesivas y el método del gradiente conjugado se utilizan frecuentemente para grandes sistemas.

En la resolución numérica de ecuaciones no lineales algunos de los métodos más conocidos son los métodos de bisección, de la secante y de la falsa posición. Si la función es además derivable y la derivada se conoce, el método de Newton es muy utilizado. Este método es un método de iteración de punto fijo. La linealización es otra técnica para resolver ecuaciones no lineales.

Descomposición espectral y en valores singulares [editar]

Bastantes problemas importantes pueden ser expresados en términos de descomposición espectral (el cálculo de los vectores y valores propios de una matriz) o de descomposición en valores singulares. Por ejemplo, el análisis de componentes principales utiliza la descomposición en vectores y valores propios.

Optimización [editar]

Los problemas de optimización buscan el punto para el cual una función dada alcanza su máximo o mínimo. A menudo, el punto también satisface cierta restricción.

Ejemplos de ,problemas de optimización son la programación lineal en que tanto la función objetivo como las restricciones son lineales. Un método famoso de programación lineal es el método simplex.

El método de los multiplicadores de Lagrange puede usarse para reducir los problemas de optimización con restricciones a problemas sin restricciones.

Evaluación de integrales [editar]

La integración numérica, también conocida como cuadratura numérica, busca calcular el valor de una integral definida. Métodos populares utilizan alguna de las fórmulas de Newton–Cotes (como la regla del rectángulo o la regla de Simpson) o de cuadratura gaussiana. Estos métodos se basan en una estrategia de "divide y vencerás", dividiendo el intervalo de integración en subintervalos y calculando la integral como la suma de las integrales en cada subintervalo, pudiéndose mejorar posteriormente el valor de la integral obtenido mediante el método de Romberg. Para el cálculo de integrales múltiples estos métodos requieren demasiado esfuerzo computacional, siendo útil el método de Monte Carlo.

Ecuaciones diferenciales [editar]

El análisis numérico también puede calcular soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales, bien ecuaciones diferenciales ordinarias, bien ecuaciones en derivadas parciales. Los métodos utilizados suelen basarse en discretizar la ecuación correspondiente. Es útil ver la derivación numérica.

Para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias los métodos más utilizados son el método de Euler y los métodos de Runge-Kutta.

Las ecuaciones en derivadas parciales se resuelven primero discretizando la ecuación, llevándola a un subespacio de dimensión finita. Esto puede hacerse mediante un método de los elementos finitos.

Otros temas de análisis numérico [editar]

• Error de aproximación, error absoluto y error relativo
• Orden de convergencia
• Redondeo
• Sistema de numeración
• Truncamiento

Enlaces externos [editar]

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Análisis numérico. Commons
• wikibooks:Numerical Methods (en inglés)

En inglés [editar]

• Numerical analysis DMOZ category
• Numerical Recipes Homepage - with free, complete downloadable books
• Numerical Analysis Project by John H. Mathews
• Alternatives to Numerical Recipes

En castellano [editar]

• Artículo sobre análisis numérico en la Enciclopedia libre universal en español
• http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/analisis-numerico/
• http://mat21.etsii.upm.es/matesp/index.htm
• Grupo de métodos numéricos en ingeniería (ETS Ingenieros de Caminos de la Universidad de A Coruña)
• Notas sobre métodos numéricos básicos para ingeniería

Referencias [editar]

• Nick Trefethen (1992), The definition of numerical analysis, SIAM News, noviembre.

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En astronomía, magnitud es la medida del brillo de una estrella. Los antiguos astrónomos griegos llamaban estrellas del primer tamaño (primera magnitud), a las estrellas más brillantes que aparecían después del ocaso solar y a las últimas que desaparecían tras la salida del Sol, y sucesivamente estrellas de segundo tamaño (segunda magnitud), tercera magnitud, etc. hasta las estrellas de sexta magnitud, las estrellas visibles sólo con oscuridad total.

Historia [editar]

En el siglo II a.C, el astrónomo y matemático griego Hiparco de Nicea reunió un catálogo de casi 1000 estrellas apreciables a simple vista, agrupándolas en seis categorías a las que denominó magnitudes. La más brillantes fueron clasificadas como de primera magnitud, las más tenues como de sexta magnitud. Esta clasificación sigue empleándose en la actualidad, aunque con modificaciones. La más significativa fue introducida en el siglo XIX por el astrónomo inglés Norman Pogson.

Escala de magnitudes [editar]

La moderna escala de magnitudes, perfectamente establecida, se basa en el brillo de las estrellas en unas condiciones determinadas. En general, cuando el brillo de una estrella es 100 veces mayor que el de otra, su magnitud es 5 unidades menor. Así cuando la magnitud aumenta en 1 el brillo disminuye en (100)^1/5, es decir, en 2,512. Debido a que la escala de magnitudes se establece en base a un cociente de brillos, los brillos siguen una progresión geométrica cuando las magnitudes siguen una progresión aritmética. Esto se hace por dos motivos: por acercarse a la antigua clasificación griega de "tamaños" y por seguir la ley fisiológica de Norman Pogson. La escala actual de magnitud se ha ajustado para que coincida lo más aproximadamente posible con la magnitud de los antiguos, siempre y cuando se utilice el ojo humano para medir la magnitud, lo que se llama magnitud visual.

El brillo de una estrella disminuye con la distancia y con la absorción interestelar, así que las magnitudes medidas desde la Tierra son sólo magnitudes aparentes.

Tabla de magnitudes astronómicas [editar]

Otros tipos de magnitudes [editar]

Hay otros tipos de magnitudes:

• Magnitud absoluta es la magnitud que tiene una estrella colocada a una distancia determinada y sin absorción. La magnitud absoluta está relacionada con el brillo real o intrínseco.

• Magnitud bolométrica cuando en lugar de la radiación visible se tiene en cuenta toda la radiación que emite el objeto.

• Según el aparato que mide el brillo, la magnitud aparente se clasifica en magnitud fotoeléctica, magnitud fotográfica, magnitud fotovisual o magnitud monocromática.

• Magnitud integrada o magnitud total es la que tendría un objeto estelar extenso (nebulosa o galaxia) si se supone concentrada en un punto.

• Magnitud combinada es la que se mide si se observa conjuntamente un par de estrellas que están (aparentemente) cerca entre sí. El observador las mide con una magnitud conjunta que se puede averiguar a partir de las magnitudes individuales.

• Por otra parte los eclipses tienen una magnitud de un eclipse que depende del diámetro de Sol o Luna ocultado.

• Concepto aparte pero relacionado con la magnitud, la magnitud límite es la mayor magnitud que puede observar un telescopio o la mayor magnitud contemplada en una catálogo de estrellas.

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Magnitud Es una propiedad que poseen todos los cuerpos, fenómenos y relaciones entre ellos, que permite que puedan ser medidos y dicha medida, representada en la cantidad, puede ser expresada mediante números sobre la base de una comparación con otro cuerpo o fenómeno que se toma como patrón. La masa, el tiempo, la longitud, el volumen, la rapidez, la temperatura, entre muchas otras, son magnitudes. No debe confundirse magnitud con cantidad. La magnitud es la propiedad, la cantidad es cuánto de eso tiene la magnitud. Por ejemplo, el tiempo es una magnitud, pero 12 horas es una cantidad.

Véase también [editar]

• Cantidad
• Valor
• Medida
• Adimensional

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Una magnitud física es un número o conjunto de números, resultado de una medición cuantitativa que asigna valores numéricos a algunas propiedades de un cuerpo o sistema físico, como la longitud o el área. Las magnitudes físicas pueden cuantificarse por comparación con un patrón o con partes de un patrón. Constituyen ejemplos de magnitudes físicas: la masa, la longitud, el tiempo, la densidad, la temperatura, la velocidad, la aceleración, y la energía.

La Oficina Internacional de Pesos y Medidas por medio del Vocabulario Internacional de Metrología (International Vocabulary of Metrology, VIM) define a la magnitud como un atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente.^[1]

A diferencia de las unidades empleadas para expresar su valor, las magnitudes físicas se expresan en cursiva: así, por ejemplo, la "masa" se indica con "m", y "una masa de 3 kilogramos" la expresaremos como m = 3 kg.

Tipos de magnitudes físicas [editar]

Las magnitudes físicas pueden ser clasificadas de acuerdo a varios criterios:

• Según su forma matemática, las magnitudes se clasifican en escalares, vectoriales o tensoriales.
• Según su actividad, se clasifican en magnitudes extensivas e intensivas.

Escalares, vectores y tensores [editar]

Las magnitudes físicas se clasifican en tres tipos:

• Magnitudes escalares: Son aquéllas que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas para su medida. Esto es, las magnitudes escalares están representadas por el ente matemático más simple, por un número. Podemos decir que poseen un módulo, pero que carecen de direción y sentido. Su valor puede ser independiente del observador (v.g.: la masa, la temperatura, la densidad, etc.) o depender de la posición o estado de movimiento del observador (v.g.: la energía cinética)

• Magnitudes vectoriales: Son las magnitudes que quedan caracterizadas por una cantidad (intensidad o módulo), una dirección y un sentido. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa mediante un segmento orientado. Ejemplos de estas magnitudes son: la velocidad,la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, intensidad luminosa, etc.

• Magnitudes tensoriales (propiamente dichas): Son las que caracterizan propiedades o comportamientos físicos modelizables mediante un conjunto de números que cambian tensorialmente al elegir otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación.

De acuerdo con el tipo de magnitud, debemos escoger leyes de transformación de las componentes físicas de las magnitudes medidas, para poder ver si diferentes observadores hicieron la misma medida o para saber qué medidas obtendrá un observador conocidas las de otro cuya orientación y estado de movimiento respecto al primero sean conocidos.

Magnitudes extensivas e intensivas [editar]

Una magnitud extensiva es una magnitud que depende de la cantidad de sustancia que tiene el cuerpo o sistema. Las magnitudes extensivas son aditivas. Si consideramos un sistema físico formado por dos partes o subsistemas, el valor total de una magnitud extensiva resulta ser la suma de sus valores en cada una de las dos partes. Ejemplos: la masa y el volumen de un cuerpo o sistema, la energía de un sistema termodinámico, etc.

Una magnitud intensiva es aquélla cuyo valor no depende de la cantidad de materia del sistema. Las magnitudes intensivas tiene el mismo valor para un sistema que para cada una de sus partes consideradas como subsistemas. Ejemplos: la densidad, la temperatura y la presión de un sistema termodinámico en equilibrio.

En general, el cociente entre dos magnitudes extensivas da como resultado una magnitud intensiva. Ejemplo: masa dividida por volumen representa densidad.

Sistema Internacional de Unidades [editar]

El Sistema Internacional de Unidades se basa en dos tipos de magnitudes físicas:

• Las siete que toma como fundamentales, de las que derivan todas las demás. Son longitud, tiempo, masa, intensidad de corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia e intensidad luminosa.
• Las derivadas, que son las restantes y que pueden ser expresadas con una combinación matemática de las anteriores.

Unidades básicas o fundamentales del SI [editar]

Las magnitudes básicas no derivadas del SI son las siguientes:

• Longitud: metro (m). El metro es la distancia recorrida por la luz en el vacío en 1/299 792 458 segundos. Este patrón fue establecido en el año 1983.
• Tiempo: segundo (s). El segundo es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del cesio-133. Este patrón fue establecido en el año 1967.
• Masa: kilogramo (kg). El kilogramo es la masa de un cilindro de aleación de Platino-Iridio depositado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas. Este patrón fue establecido en el año 1887.
• Intensidad de corriente eléctrica: amperio (A). El amperio o ampere es la intensidad de una corriente constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro, en el vacío, produciría una fuerza igual a 2×10^-7 newton por metro de longitud.
• Temperatura: kelvin (K). El kelvin es la fracción 1/273,16 de la temperatura del punto triple del agua.
• Cantidad de sustancia: mol (mol). El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 12 gramos de carbono-12.
• Intensidad luminosa: candela (cd). La candela es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540×10¹² Hz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 vatios por estereorradián.

Unidades Fundamentales en el Sistema Cegesimal C.G.S. [editar]

• Longitud: centímetro (cm): 1/100 del metro (m) S.I.
• Tiempo: segundo (s): La misma definición del S.I.
• Masa: gramo (g): 1/1000 del kilogramo (kg) del S.I.

Unidades Fundamentales en el Sistema Gravitacional Métrico Técnico [editar]

• Longitud: metro (m). La misma definición del Sistema Internacional.
• Tiempo: segundo (s).La misma definición del Sistema Internacional.
• Fuerza: kilogramo-fuerza (kg_f). El peso de una masa de 1 kg (S.I.),en condiciones normales de gravedad (g = 9,80665 m/s² ).

Magnitudes físicas derivadas [editar]

Una vez definidas las magnitudes que se consideran básicas, las demás resultan derivadas y se pueden expresar como combinación de las primeras.

Las unidades derivadas se usan para las siguientes magnitudes: superficie, volumen, velocidad, aceleración, densidad, frecuencia, periodo, fuerza, presión, trabajo, calor, energía, potencia, carga eléctrica, diferencia de potencial, potencial eléctrico, resistencia eléctrica, etcétera.

Algunas de las unidades usadas para esas magnitudes derivadas son:

• Fuerza: newton (N) que es igual a kg·m/s²
• Energía: julio (J) que es igual a kg·m²/s²

Véase también [editar]

• Sistema de unidades
• Principio de Fourier

Referencias [editar]

Enlaces externos [editar]

• Wikisource contiene obras originales de o sobre Patrones oficiales de las magnitudes (España).Wikisource
• Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) - The International System of Mesures

De Wikipedia, la enciclopedia libre

El término magnitud puede referirse a:

• la magnitud física, aquella propiedad de un cuerpo, sustancia o fenómeno físico susceptible de ser distinguida cualitativamente;
• la magnitud matemática, una propiedad matemática relacionada con el tamaño;
• la magnitud astronómica, la medida del brillo de una eslla;
• la magnitud Richter, la cantidad de energía liberada durante un terremoto.

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El volumen es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.

En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.

En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.

La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica. V = m / densidad

Relación entre Capacidad y Volumen [editar]

La "capacidad" y el "volumen" son términos que se encuentran estrechamente relacionados. Se define la capacidad como el espacio vacío de alguna cosa que es suficiente para contener a otra u otras cosas. Se define el volumen como el espacio que ocupa un cuerpo. Por lo tanto, entre ambos términos existe una equivalencia que se basa en la relación entre el litro (unidad de capacidad) y el decímetro cúbico (unidad de volumen).

Este hecho puede verificarse experimentalmente de la siguiente manera: si se tiene un recipiente cualquiera con agua que llegue hasta el borde, y se introduce en él un cubo sólido cuya medida sea de 1 decímetro por lado (1 dm³), se derramará toda el agua. Esto equivaldrá a la cantidad de agua desplazada por el cuerpo al ser introducido dentro del recipiente, y el agua derramada será de 1 litro. Por tanto, puede afirmarse que:

Unidades de volumen [editar]

Se clasifican tres categorías:

• Unidades de volumen sólido. Miden al volumen de un cuerpo utilizando unidades de longitud elevadas a la tercera potencia. Se le dice volumen sólido porque en geometría se utiliza para medir el espacio que ocupan los cuerpos tridimensionales, y se da por hecho que el interior de esos cuerpos no es hueco sino que es sólido.
• Unidades de volumen líquido. Éstas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan los líquidos dentro de un recipiente.
• Unidades de volumen de áridos, también llamadas tradicionalmente unidades de capacidad. Éstas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan las cosechas (legumbres, tubérculos, forrajes y frutas) almacenadas en graneros y silos. Estas unidades fueron creadas porque hace muchos años no existía un método adecuado para pesar todas las cosechas en un tiempo breve, y era más práctico hacerlo usando volúmenes áridos. Actualmente estas unidades son poco utilizadas porque ya existe tecnología para pesar la cosecha en tiempo breve.

Unidades de volumen sólido [editar]

Sistema Internacional de Unidades [editar]

El Metro cúbico es la unidad fundamental del S.I. para volúmenes. Debe considerarse con los siguientes múltiplos y submúltiplos:

Múltiplos

• Kilómetro cúbico
• Hectómetro cúbico
• Decámetro cúbico

Submúltiplos

• Decímetro cúbico
• Centímetro cúbico
• Milímetro cúbico

Sistema inglés de medidas [editar]

• Pulgada cúbica
• Pie cúbico
• Yarda cúbica
• Acre-pie
• Milla cúbica

Unidades de volumen líquido [editar]

Sistema internacional de medidas [editar]

La unidad más usada es el Litro, pero debe ser considerada con los siguientes múltiplos y submúltiplos:

Múltiplos

• Kilolitro
• Hectolitro
• Decalitro

Submúltiplos

• Decilitro
• Centilitro
• Mililitro

Sistema inglés de medidas [editar]

En el Reino Unido y Estados Unidos

• Barril
• Galón
• Cuarto
• Pinta
• Gill
• Onza líquida
• Dracma líquido
• Escrúpulo líquido (exclusivo del Reino Unido)
• Minim

Medidas usadas en la cocina [editar]

• Cucharadita
• Cucharada
• Taza

Otras medidas tradicionales [editar]

• Galón de cerveza
• Fardo

Véase también [editar]

• Unidades obsoletas de volumen, donde se puede consultar sobre las unidades de volumen árido.
• Unidades de medida
• Metrología

Enlaces externos [editar]

• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre tamaño (volumen). Wikiquote
• Conversión de unidades de volumen online y tablas de referencia rápida

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Proceso de titulación. El valorante cae desde la bureta en la solución de analito contenida en el erlenmeyer. Un indicador presente en la solución cambia permanentemente de color al alcanzar el punto final de la valoración

La valoración o titulación es un método corriente de análisis químico cuantitativo en el laboratorio, que se utiliza para determinar la concentración desconocida de un reactivo conocido. Debido a que las medidas de volumen juegan un papel fundamental en las titulaciones, se le conoce también como análisis volumétrico. Un reactivo llamado “valorante” o “titulador”,^[1] de volumen y concentración conocida (una solución estándar o solución patrón) se utiliza para que reaccione con una solución del analito,^[2] de concentración desconocida. Utilizando una bureta calibrada para añadir el valorante es posible determinar la cantidad exacta que se ha consumido cuando se alcanza el punto final. El punto final es el punto en el que finaliza la valoración, y se determina mediante el uso de un indicador (ver más adelante). Idealmente es el mismo volumen que en el punto de equivalencia—el número de moles de valorante añadido es igual al número de moles de analito, algún múltiplo del mismo (como en los ácidos polipróticos. En la valoración clásica ácido fuerte-base fuerte, el punto final de la valoración es el punto en el que el pH del reactante es exactamente 7, y a menudo la solución cambia en este momento de color de forma permanente debido a un indicador. Sin embargo, existen muchos tipos diferentes de valoraciones (ver más adelante). Pueden usarse muchos métodos para indicar el punto final de una reacción: a menudo se usan indicadores visuales (cambian de color). En una titulación o valoración ácido-base simple, puede usarse un indicador de pH, como la fenolftaleína, que es normalmente incolora pero adquiere color rosa cuando el pH es igual o mayor que 8,2. Otro ejemplo es el naranja de metilo, de color rojo con en medio ácido y amarillo en disoluciones básicas. No todas las titulaciones requieren un indicador. En algunos casos, o bien los reactivos o los productos son fuertemente coloreados y pueden servir como "indicador". Por ejemplo, una titulación o valoración redox que utiliza permanganato de potasio como disolución estándar (rosa/violeta) no requiere indicador porque sufre un cambio de color fácil de detectar pues queda incolora al reducirse el permanganato. Después del punto de equivalencia, hay un exceso de la disolución titulante (permanganato) y persiste un color rosado débil que no desaparece.

Bureta de Mohr

Debido a la naturaleza logarítmica de la curva de pH, las transiciones en el punto final son muy rápidas; y entonces, una simple gota puede cambiar el pH de modo muy significativo y provocar un cambio de color en el indicador. Hay una ligera diferencia entre el cambio de color del indicador y el punto de equivalencia de la titulación o valoración. Este error se denomina error del indicador. Por este motivo es aconsejable efectuar determinaciones en blanco con el indicador y restarle el resultado al volumen gastado en la valoración.

Historia y etimología [editar]

La palabra "titulación" viene del vocablo latino titulus, que significa inscripción o título. La palabra francesa titre, del mismo origen, significa rango o grado. Una titulación o valoración es, por definición, la determinación del grado o concentración de una disolución con respecto a agua con pH 7 (que es el pH del H₂O pura en condiciones estándar). Los orígenes del análisis volumétrico están en Francia en la química de finales del siglo XVII. François Antoine Henri Descroizilles desarrolló la primera bureta (con aspecto de un cilindro graduado) en 1791. Joseph Louis Gay-Lussac desarrolló una versión mejorada de la bureta que incluía un brazo lateral, y acuñó los términos "pipeta" y "bureta" en un artículo de 1824 sobre la estandarización de disoluciones de índigo. Un gran paso adelante en la metodología y popularización del análisis volumétrico se debe a Karl Friedrich Mohr, que rediseñó la bureta colocando un cierre con pinza y una cánula de vertido en el extremo inferior, y escribió el primer libro sobre su uso, con el título Lehrbuch der chemisch-analytischen Titrirmethode (Manual sobre métodos de titulación en Química Analítica), publicado en 1855.^[3]

Preparación de una muestra para titulación o valoración [editar]

En un titulación o valoración, tanto la sustancia patrón como el analito deben estar en fase líquida (o en disolución). Si la muestra no es un líquido o una disolución, debe ser disuelta. Si el analito está muy concentrado en la muestra a analizar, suele diluirse. Aunque la amplia mayoría de las titulaciones se llevan a cabo en disolución acuosa, pueden usarse otros disolventes como ácido acético o etanol con igual finalidad, para determinados análisis. Una cantidad medida de muestra se coloca en un frasco donde se disuelve y se diluye si es necesario. El resultado matemático de la valoración puede calcularse directamente mediante la cantidad de valorante medida. Cuando la muestra ha sido disuelta o diluida previamente a la valoración, la cantidad de disolvente utilizado para disolver o diluir debe ser bien conocida (generalmente es un coeficiente entero) para poder considerarlo en el resultado matemático de la valoración de la muestra original. Muchas valoraciones requieren un cierto control del pH de la reacción. Para ello, se usan disoluciones amortiguadoras añadidas en el frasco de la disolución a analizar para mantener el pH de la solución. En otros casos se debe enmascarar un cierto ión: esto es necesario cuando hay dos reactivos en la muestra que pueden reaccionar con la sustancia patrón y solo queremos valorar uno de ellos, o bien cuando la reacción puede ser inhibida o alterada por la presencia de ese ión. Se procede añadiendo otra disolución a la muestra para enmascarar o secuestrar el ión no deseado, mediante la formación de un enlace débil con él o incluso formando una sustancia insoluble. Algunas reacciones redox pueden requerir calentar la disolución con la muestra y valorar mientras está todavía caliente (para incrementar la velocidad de reacción). Por ejemplo, la oxidación de ciertas soluciones de oxalato requiere calentar la solución hasta unos 60 grados centígrados para mantener una adecuada velocidad de reacción.

Procedimiento [editar]

Una titulación o valoración comienza con un vaso de precipitados o matraz Erlenmeyer conteniendo un volumen preciso del reactivo a analizar y una pequeña cantidad de indicador, colocado debajo de una bureta que contiene la disolución estándar. Controlando cuidadosamente la cantidad añadida, es posible detectar el punto en el que el indicador cambia de color. Si el indicador ha sido elegido correctamente, este debería ser también el punto de neutralización de los dos reactivos. Leyendo en la escala de la bureta sabremos con precisión el volumen de disolución añadida. Como la concentración de la disolución estándar y el volumen añadido son conocidos, podemos calcular el número de moles de esa sustancia (ya que Molaridad = moles / volumen). Luego, a partir de la ecuación química que representa el proceso que tiene lugar, podremos calcular el número de moles de la sustancia a analizar presentes en la muestra. Finalmente, dividiendo el número de moles de reactivo por su volumen, conoceremos la concentración buscada.

Curvas de valoración [editar]

Una curva típica de valoración de un ácido diprótico, ácido oxálico, titulado con una base fuerte, hidróxido sódico. Son visibles los dos puntos de equivalencia, a 15 y 30 mL

Las valoraciones se representan mediante curvas de valoración, en las que suele representarse como variable independiente el volumen añadido de disolución estándar, titulante o patrón, mientras la variable dependiente es la concentración del analito en la etapa correspondiente de valoración (en una valoración ácido-base es generalmente el pH de la disolución, que cambia según la composición de las dos disoluciones). En el caso de las valoraciones ácido-base, las curvas de valoración reflejan la fuerza del ácido y de la base correspondientes. Por ejemplo, en una valoración de ácido fuerte con una base débil, la curva de valoración será relativamente lisa, aunque muy escarpado para puntos cerca el punto de equivalencia de la valoración. En este caso, pequeños cambios en el volumen del valorante producen cambios grandes del pH cerca del punto de equivalencia. En este caso, una amplia gama de indicadores sería apropiada (por ejemplo el tornasol, la fenolftaleína o el azul de bromotimol). Por otro lado, si uno de los componentes de una valoración ácido-base es un ácido débil o una base débil, y el otro es un ácido fuerte o una base fuerte, la curva de valoración es claramente irregular cerca del punto de equivalencia (y el pH no cambia "tanto" con la adición de pequeños volúmenes de valorante). Como ejemplo, la curva de valoración del ácido oxálico (un ácido débil) con hidróxido de sodio (una base fuerte) se ha representado en la imagen anterior. Aquí, el punto de equivalencia ocurre a un pH de aproximadamente 8-10, y así el analito es básico en el punto de equivalencia (con más precisión, la sal sódica producida por la reacción de hidrólisis en el agua para producir iones hidróxido). Un indicador como la fenolftaleína sería apropiado para esta valoración en particular. La curva de valoración correspondiente a una valoración de una base débil con un ácido fuerte ácida se comporta de modo similar. En este caso, indicadores como el naranja de metilo o el azul de bromotimol se utilizan habitualmente. Por otro lado, las valoraciones ácido-base en las que los componentes son una base y un ácido débil, son de naturaleza bastante irregular. Debido a la naturaleza de tales valoraciones, no hay ningún indicador químico apropiado, y por ello a menudo se utiliza el pHmetro.

Tipos de valoraciones [editar]

Las valoraciones se clasifican por el tipo de objeto a analizar:

• Valoraciones ácido-base: basadas en la reacción de neutralización entre el analito y una disolución de ácido o base que sirve de referencia. Para determinar el punto final, usan un indicador de pH, un pH-metro, o un medidor de conductancia.
• Valoraciones redox: basadas en la reacción de oxidación-reducción o reacción redox entre el analito y una disolución de oxidante o reductor que sirve de referencia. Para determinar el punto final, usan un potenciómetro o un indicador redox aunque a veces o bien la sustancia a analizar o la disolución estándar de referencia tienen un color suficientemente intenso para que no sea necesario un indicador adicional.
• Valoraciones de formación de complejos o complexometrías: basadas en la reacción de formación de un complejo entre el analito y la sustancia valorante. El agente quelante EDTA es muy usado para titular iones metálicos en disolución. Estas valoraciones generalmente requieren indicadores especializados que forman complejos más débiles con el analito. Un ejemplo es Negro de Eriocromo T para valoración de iones calcio, magnesio o cobre (II).
• Valoraciones de precipitación: Son aquellas basadas en las reacciones de precipitación.Uno de los tipos más habituales son las Argentometrías: precipitación de aniones como los halógenos ( F^-, Cl^-, Br^-, I^-) y el tiocianato (SCN^-) con el ión plata. Ag⁺. Esta titulación está limitada por la falta de indicadores apropiados.^[4]

NaX_(ac) + AgNO_3(ac) → AgX_(s) + NaNO_3(ac) donde X = F^-, Cl^-, Br^-, I^-, SCN^-

Valoración ácido-base [editar]

Estas valoraciones están basadas en la reacción de neutralización que ocurre entre un ácido y una base, cuando se mezclan en solución. El ácido (o la base) se añade a una bureta previamente lavada con el mismo ácido (o base) antes de esta adición. La base (o el ácido) se añade a un matraz Erlenmeyer previamente lavado con agua destilada antes de la adición. La solución en el matraz es a menudo una solución estándar; cuya concentración es exactamente conocida. La solución en la bureta es la solución cuya concentración debe ser determinada por la valoración. El indicador usado para la valoración ácido-base a menudo depende de la naturaleza de los componentes como se ha descrito en la sección anterior. Los indicadores más comunes, sus colores, y el rango de pH del cambio de color se muestran en la tabla anterior. Cuando se requieren resultados más exactos, o cuando los componentes de la valoración son un ácido y una base débil, se utiliza un pHmetro o un medidor de conductancia.

Valoración redox [editar]

Estas valoraciones están basadas en una reacción de redox entre un agente oxidante y un agente reductor. El agente oxidante (o el agente reductor) se añade en la bureta previamente lavada con el mismo agente oxidante. El reductor (o el agente oxidante) se añade en el matraz erlenmeyer, previamente lavado con agua destilada. Como en una valoración ácido-base, la solución estándar es la que se coloca a menudo en el matraz, y la solución cuya concentración debe ser determinada se coloca en la bureta. El procedimiento para realizar las valoraciones redox es similar al requerido para realizar las valoraciones ácido-base.

La mayoría de las veces se utiliza un el potenciómetro o un indicador redox para determinar el punto final de la valoración. Por ejemplo, cuando uno de los componentes de la valoración es el agente oxidante dicromato de potasio, el cambio de color de la solución de naranja a verde no es definido y se utiliza un indicador como la difenilamina. El análisis de vinos para determinar su contenido de dióxido de azufre requiere el empleo de yodo como un agente oxidante. En este caso, se utiliza almidón como indicador; un complejo de almidón-yodo azul se forma en el momento en que un exceso de yodo está presente, señalando así el punto final de la valoración.

Por otro lado, algunas valoraciones redox no requieren un indicador, debido al color intenso de alguno de los componentes. Por ejemplo, en una valoración donde está presente el agente oxidante permanganato de potasio, un color rosado que persiste señala el punto final de la valoración, y por lo tanto no se requiere ningún indicador particular.

Valoración complexométrica [editar]

Estas valoraciones están basadas en la formación de un complejo entre el analito y el valorante. El agente quelatante EDTA se utiliza muy frecuentemente para valorar iones metálicos en solución. Estas valoraciones generalmente requieren un indicador especializado que forma complejos más débiles con el analito. Un ejemplo común es el Negro de Eriocromo T para la valoración de los iones de calcio y magnesio.

Valoración de potencial Zeta [editar]

Estas valoraciones son caracteristicas de sistemas heterogéneos, como los coloides. El potencial Zeta juega el papel de indicador. Uno de los objetivos es la determinación del punto isoeléctrico cuando la carga superficial se hace 0. Esto puede se puede alcanzar cambiando el pH o añadiendo surfactante. Otro objetivo es la determinación de la dosis óptima de sustancia química para la floculación o la estabilización.

Medida del punto final de una titulación o valoración [editar]

Hay diferentes métodos para determinar el punto final o punto de equivalencia:

• Indicadores: Son sustancias que cambian de color en respuesta a un cambio químico.
  • Indicador de pH o indicador ácido-base: Un indicador ácido-base (como la fenolftaleína) cambia de color dependiendo del pH del medio.
  • Indicador Redox. Una gota de disolución de indicador es añadida al principio de la titulación o valoración; cuando el color cambia, se ha alcanzado el punto final.
    

    

    pH-metro, un medidor de pH de la marca Dosimat
• Potenciómetro: Son instrumentos que miden el potencial de electrodo de la disolución. Se usan para valoraciones redox; el potential del electrodo de trabajo cambiará bruscamente en el punto final.
• Medidor de pH o pH-metros: Son potenciómetros que usan un electrodo cuyo potencial depende de la cantidad de ión H+ presente en la disolución. Es un ejemplo de un electrodo de ión selectivo que permite medir el pH de la disolución a lo largo de la valoración. En el punto final, cambiará bruscamente el pH medido. Puede ser un método más preciso que el uso de indicadores, y es fácil de automatizar.
• Conductancia: La conductividad de una disolución depende de los iones presentes en ella. Durante muchas titulaciones, la conductividad cambia de modo significativo. Por ejemplo, durante una valoración ácido-base, los iones H⁺ y OH^- formando agua neutra, H₂O. Esto cambia la conductividad de la disolución. La conductancia total de la disolución depende también de los otros iones presentes en la disolución (como los contraiones). No todos ellos contribuyen de igual manera a la conductividad que también dependerá de la movilidad de cada ión y de la concentración total de iones (fuerza iónica). Luego, predecir el cambio en la conductividad es más difícil que medirla.
• Cambio de color: En algunas reacciones, la disolución cambia de color sin presencia de indicador. Es frecuente en valoraciones redox, por ejemplo, cuando los diferentes estados de oxidación de productos y reactivos poseen diferentes colores.
• Precipitación: Si se forma un sólido en la reacción, y luego precipita. Un ejemplo es la reacción entre Ag⁺ y Cl^- que forma una sal muy insoluble, AgCl. Esto dificulta determinar con precisión el punto final. Por ello, a veces se prefiere hacer una titulación inversa.
• Una valoración calorimétrica o titulación isotérmica usa el calor producido o consumido en la reacción para determinar el punto final. Es un método importante en bioquímica, como en la determinación de qué substratos se enlazan a las enzimas.
• Titulación termométrica es una técnica muy versátil. Se diferencia de la anterior por el hecho de que no se determina un aumento o caída de temperatura como indicativo del punto final, sino que se mide la velocidad de cambio de la temperatura.
  

  

  Titulación con determinación del punto final por cambio de color
• Espectroscopía: Puede usarse para medir la absorción de luz por la disolución durante la valoración, y si el espectro del reactivo, sustancia patrón o producto es conocido, podría medirse su evolución con cantidades bastante pequeñas que permitirían conocer el punto final.
• Amperometría o valoración amperométrica: Se usa como técnica de detección analizando la corriente eléctrica debida a la oxidación o reducción de los reactivos o productos en un electrodo de trabajo que dependerá de la concentración de las especies en disolución. El punto final se detecta por un cambio en la corriente. Este método es el más útil cuando hay que reducir un exceso de la sustancia valorante (valoración por retroceso), como es el caso de la valoración de haluros con Ag⁺.

Valoración por retroceso [editar]

El método de valoración por retroceso se usa cuando se invierte el sentido de la valoración, cambiando la sustancia a valorar. En vez de valorar el analito original se añade un exceso conocido de reactivo estándar a la disolución, y luego se valora el exceso. Este método es útil si el punto final de la valoración por retroceso es más fácil de identificar que el punto final de la valoración normal. Se usa también si la reacción entre el analito y la sustancia titulante es muy lenta.

Algunos usos particulares [editar]

• La valoración de biocombustible es el acto de determinar la acidez de una muestra de combustible de origen vegetal mediante la adición de una base a la muestra mientras se comprueba con papel indicador que el pH final es 7. Sabiendo cuánta base neutraliza una cantidad de biocombustible, conoceremos cuanta base en total añadiremos al lote completo.
• La valoración en petroquímica o en la industria alimentaria se usa para definir las propiedades de aceites, grasas y substancias similares.^[5]

Algunas valoraciones aplicables a lípidos [editar]

• Número ácido: Determina el nivel de ácidos grasos libres presentes en un biocombustible. El número ácido total es la cantidad de base, expresada en miligramos de hidróxido de potasio que se requiere para neutralizar todos los componentes acídicos presentes en un gramo de muestra.
• Grado de acidez: Se realiza una titulación ácido-base con indicador de cambio de color para determinar el contenido de ácido graso libre en una muestra y comprobar así su acidez.
• Número de iodo o Índice de yodo: Es una medida del grado de insaturación de los componentes de una grasa. Será tanto mayor cuanto mayor sea el número de dobles enlaces C=C por unidad de grasa, utilizándose por ello para comprobar la pureza y la identidad de las grasas. Es la cantidad (gramos) de yodo absorbidos por 100 gramos de grasa.

El número de yodo oscila entre 0 (ácidos grasos saturados) a 350. Una valoración redox con cambio de color permite indicar la cantidad de ácido graso insaturado libre en una muestra.^[6]

• Número de saponificación: La saponificación consiste en una hidrólisis alcalina de una muestra grasa (con KOH o NaOH). Los lípidos derivados de ácidos grasos (ácidos monocarboxílicos de cadena larga) dan lugar a sales alcalinas (jabones) y alcohol, que son fácilmente extraíbles en medio acuoso.

El número de saponificación no es más que los miligramos de KOH necesarios para saponificar 1 gramo de materia grasa. Esta prueba es otra prueba cualitativa que podemos aplicar a los lípidos. Esta nos permite ver si el tipo de lípido es saponificable (contiene ácidos grasos) o no (no contiene ácidos grasos). Se realiza una valoración ácido-base por retroceso con indicador de cambio de color o valoración potenciométrica para obtener una idea de la longitud media de la cadena de ácidos grasos en una grasa.

Referencias [editar]

Enlaces externos [editar]

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Análisis volumétrico.Commons
• Science aid: Titration una explicación simple de la titulación o valoración dirigida a jóvenes (en Inglés)
• Titulación o valoración - Instrumental, técnica y cálculos (en Inglés)
• Titulación o valoración - Simulación de curvas pH vs. volumen, diagramas de distribución y análisis de datos reales (en Inglés)
• Monografía Metrohm: Práctica de titulación o valoración
• Monografía Metrohm: Práctica de titulación de un termómetro
• Fundamentos de titulación o valoración: Guía (pdf-en Inglés) de METTLER TOLEDO

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Carl Sagan.

Cosmos: un viaje personal (en inglés Cosmos: A Personal Voyage), es el título de una obra de divulgación científica escrita por Carl Sagan, Ann Druyan y Steven Soter (con Sagan como guionista principal), cuyos objetivos fundamentales fueron: difundir la historia de la astronomía y de la ciencia, el origen de la vida, concienciar sobre el lugar que ocupa nuestra especie y nuestro planeta en el universo, las modernas visiones de la cosmología y las últimas noticias de la exploración espacial; en particular, las misiones Voyager. El programa de televisión estuvo listo en 1980 y constó de trece episodios, cada uno de apróximadamente una hora de duración. La música utilizada fue obra de Vangelis. La serie se ha emitido en 60 países y ha sido vista por más de 500 millones de personas^{[cita requerida]}. Tras el rodaje de la serie, Sagan escribió el libro homónimo Cosmos, complementario al documental (Véase Cosmos (libro)).

General [editar]

Cosmos fue producida en 1978 y 1979 por KCET (televisión pública de California) con un presupuesto de 6,3 millones de US$, sin contar los 2 millones de US$ adicionales para su propaganda y difusión^{[cita requerida]}. El formato de la serie se inspira en documentales realizados previamente por la BBC como Civilization de Kenneth Clark; The Ascent of Man, de Jacob Bronowski, y Life on Earth, de David Attenborough.

La serie destacó por su uso innovador de los efectos especiales, que mostraban a Sagan caminando a través de ambientes que eran, en verdad, maquetas, en lugar de los tradicionales sets de filmación a tamaño real. La banda Sonora contó con piezas del compositor griego Vangelis como Alpha, Pulstar, o Heaven and Hell Parte 1 (sirviendo esta última como tema de apertura, además de darle nombre al capítulo 4 de la serie). A lo largo de los trece capítulos que componen la serie se usaron muchas pistas de audio de varios álbumes de los ’70 como Albedo 0.39, Spiral, Ignacio, Beaubourg, o China. El éxito mundial del documental también lanzó a la música de Vangelis a muchas casas, recibiendo la atención de la audiencia mundial.

La descripción histórica que realizó Sagan de Hipatia de Alejandría y de la quema de la Biblioteca de Alejandría ha sido criticada por historiadores que interpretan las fuentes sobre la vida de Hipatia y la caída de la biblioteca de manera diferente, y piensan que Sagan debió mencionar la existencia de una controversia académica al respecto. Otras partes de Cosmos causaron controversia entre el público general, no así entre los especialistas de la ciencia. Por ejemplo, en el tratamiento que hace Sagan sobre la astrología como una seudociencia, o su correcto tratamiento de la teoría de la evolución, rechazada especialmente por los protestantes fundamentalistas de los Estados Unidos.

En esta primera versión, el doblaje para el público español ibérico de la voz de Sagan corrió a cargo de José María Del Río. Para América Latina, estuvo a cargo de Agustín López Zavala.

La empresa Turner Home Entertainment compró Cosmos a sus productores de KCET en 1989, llevando la serie a la televisión comercial. Los episodios de una hora de duración fueron editados cambiando su formato a uno de menor duración, y Sagan filmó nuevos epílogos para muchos episodios en los que daba cuenta de nuevos descubrimientos (y puntos de vista alternativos) que habían surgido desde la realización de la filmación original. Además se añadió un episodio 14 que consistió en una entrevista entre Sagan y Ted Turner. Esta nueva versión de la serie fue comercializada como un “box set” de VHS.

Cosmos ha sido editado en el año 2000 en formato DVD, incluyendo subtítulos en siete idiomas y sonido remasterizado 5.1. En 2005 The Science Channel (Discovery Science) retransmitió la serie conmemorando su 25 aniversario con efectos especiales y sonido digitalizados. En esta última versión el doblaje para España de Carl Sagan recayó en José Ángel Juanes.

Capítulos [editar]

Los capítulos de la serie documental y su contenido principal.

Capítulo 1. En la orilla del océano cósmico [editar]

• Años luz, galaxias, estrellas, planetas: números y distancias, donde nos encontramos (Grupo Local).
• Eratóstenes y su cálculo de la circunferencia de la Tierra
• La Biblioteca de Alejandría
• Calendario Cósmico: desde los comienzos del universo hasta el destino de la humanidad

Capítulo 2. Una voz en la fuga cósmica [editar]

• La historia de los Heike y la selección evolutiva artificial de los cangrejos que parecen samuráis.
• La evolución biológica a través de la selección natural, de las bacterias al hombre.
• Especulación sobre la existencia de vida en las nubes jovianas.
• Creación de las "moléculas de la vida" en el laboratorio.
• El desarrollo de la vida en el Calendario Cósmico y la explosión cámbrica.

Capítulo 3. La armonía de los mundos [editar]

• Astronomía contra astrología
• Ptolomeo y el modelo geocéntrico
• Johannes Kepler y Tycho Brahe
• Las Leyes de Kepler

Capítulo 4. Cielo e infierno [editar]

• El evento de Tunguska, la composición y el origen de los cometas.
• Asteroides y cráteres de impacto.
• El planeta Venus en la ficción y en la realidad.
• Venus como ejemplo de efecto invernadero.

Capítulo 5. Blues para un planeta rojo [editar]

Sagan junto a un modelo de la nave Viking

• H. G. Wells y La guerra de los mundos.
• La visión errónea de Percival Lowell sobre los canales de Marte.
• Robert Goddard y los primeros cohetes.
• Las Viking y la búsqueda de vida en Marte.

Capítulo 6. Historias de viajeros [editar]

• Los Países Bajos en el siglo XVII.
• La vida y obra de Christian Huygens y sus contemporáneos.
• Las Voyager (primeras imágenes detalladas de Júpiter y sus lunas).

Capítulo 7. La espina dorsal de la noche [editar]

• La comprensión humana de que las estrellas son soles lejanos.
• La Vía Láctea y su historia en la mitología.
• Los filósofos jónicos: Anaximandro, Demócrito, Anaxagoras, Aristarco de Samos, Empédocles, Tales de Mileto.
• La curiosidad de los niños por los misterios del Cosmos

Capítulo 8. Viajes a través del espacio y el tiempo [editar]

• Las constelaciones y cómo cambian a lo largo del tiempo.
• La velocidad de la luz y la Teoría de la Relatividad de Albert Einstein.
  • Dilatación temporal, corrimiento al rojo, corrimiento al azul.
• Los diseños de Leonardo da Vinci y los diseños de naves espaciales que viajarán a velocidades cercanas a la de la luz.
• Viajes en el tiempo y sus hipotéticos efectos en la historia de la humanidad.
• Los orígenes del Sistema Solar y otros mundos; la historia de la vida.

Capítulo 9. Las vidas de las estrellas [editar]

• Potencias de diez, el googol y el googolplex, infinito.
• Átomos (electrones, protones, neutrones)
  • La tabla periódica de los elementos.
• La creación de diferentes núcleos atómicos en las estrellas.
• El ciclo de las estrellas; enanas blancas, estrellas de neutrones, agujeros negros.
• La muerte del Sol y de la Tierra, supernovas, gigantes rojas, pulsars.
• Radiactividad y rayos cósmicos.
• La gravedad y sus efectos; la gravedad como curvatura del espacio-tiempo, la hipótesis de los agujeros de gusano.
• Agujeros Negros

Capítulo 10. El filo de la eternidad [editar]

• Los orígenes del universo, la hipótesis del Big Bang.
• Tipos de galaxias, colisiones galácticas y quasars.
• Efecto Doppler, vida y obra de Milton Humason.
• El universo cuatridimensional.
• Dios contra un universo infinito; mitos de la creación, cosmología hindú.
• Contracción y reexpansión contra expansión eterna.
• El Very Large Array de Nuevo México, materia oscura, la hipótesis del multiverso.

Capítulo 11. La persistencia de la memoria [editar]

• Bits, las unidades básicas de la información.
• La diversidad de la vida en los océanos.
• Las ballenas y sus cantos
  • Las interferencias en las comunicaciones cetáceas por los humanos.
  • La caza de las ballenas.
• El ADN y el cerebro como bibliotecas.
• Las estructura del cerebro humano: tronco cerebral, modelo de Paul McLean: el cerebro reptil, sistema límbico y corteza cerebral.
• Los lóbulos frontales como sistema crítico en la planificación a largo plazo.
• Las neuronas y las conexiones entre ellas, los dos hemisferios cerebrales, y el cuerpo calloso.
• La evolución de las ciudades y la historia de las bibliotecas, libros y escritura.
• El desarrollo de los ordenadores y los satélites, potencial para la inteligencia global colectiva.
• La inteligencia en otros mundos y el disco de oro de las Voyager.

Capítulo 12. Enciclopedia galáctica [editar]

• La abducción alienígena de Betty y Barney Hill y los OVNIs.
• La traducción de los jeroglíficos egipcios por parte de Jean François Champollion.
• Posibilidad de existencia de más civilizaciones en nuestra galaxia.
• Nuestro camino en la comunicación con extraterrestres (SETI).
• Ecuación de Drake, autodestrucción de civilizaciones avanzadas
• Reflexión acerca de una hipotética enciclopedia escrita por muchos mundos.

Capítulo 13. ¿Quién habla en nombre de la Tierra? [editar]

• Los Tlingit y el viaje de descubrimiento de La Perrouse.
• La destrucción llevada a cabo por los conquistadores españoles.
• Una visión de Sagan (descrita como un sueño) en la cual el mundo es destruido en una guerra nuclear.
• El "equilibrio de terror" de la Tierra hoy día.
• La destrucción de la Biblioteca de Alejandría y la muerte de Hipatia.
• El inicio del universo y los logros de nuestra civilización.
• Razonamiento de Sagan, en el que nos invita a amar y a proteger la vida, y de esta forma, continuar con nuestro viaje a través del Cosmos.

Véase también [editar]

• Astronomía
• Carl Sagan
• La novela Contact y la película.
• Cosmología
• Exploración espacial
• Mensaje de Arecibo
• SETI
• Un punto azul pálido

Enlaces externos [editar]

• A 25 años del impacto de la serie Cosmos en la TV
• Lista de música usada en los capítulos (en inglés)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Euclides, matemático griego, del siglo III aC, tal como fue imaginado por Rafael. Detalle de La Escuela de Atenas.^[1]

Las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y éste del gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia que, a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos).^[2] Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones,^{[3] [4]} formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.^[5]

Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".^[6] Por otro lado, Albert Einstein declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad".^[7]

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico (véase: Historia de la matemática). Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.

Hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.^[8

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Euclides, matemático griego, del siglo III aC, tal como fue imaginado por Rafael. Detalle de La Escuela de Atenas.^[1]

Las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y éste del gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia que, a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos).^[2] Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones,^{[3] [4]} formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.^[5]

Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".^[6] Por otro lado, Albert Einstein declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad".^[7]

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico (véase: Historia de la matemática). Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.

Hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.^[8

^{Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas}

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Cristal de cuarzo

En física del estado sólido y química, un cristal es un sólido homogéneo que presenta una estructura interna ordenada de sus partículas reticulares, sean átomos, iones o moléculas. La palabra proviene del griego crystallos, nombre que dieron los griegos a una variedad del cuarzo, que hoy se llama cristal de roca.

Aunque el vidrio se le suele confundir con un tipo de cristal, en realidad el vidrio no posee las propiedades moleculares necesarias para ser considerado como tal. El vidrio, al contrario de un cristal, es amorfo.

En un cristal, los átomos e iones se encuentran organizados de forma simétrica en celdas elementales, que se repiten indefinidamente formando una estructura cristalina. Un cristal suele tener la misma forma de la estructura cristalina que la conforma.

Del estudio de la estructura, composición, formación y propiedades de los cristales se ocupa la Cristalografía.

Los cristales se distinguen de los sólidos amorfos no solo por su geometría regular, sino también por la anisotropía de sus propiedades (que no son las mismas en todas las direcciones) y por la existencia de elementos de simetría. Como ha demostrado el estudio de sus estructura gracias a la difracción de rayos X, los cristales están formados por la unión de partículas dispuestas de forma regular siguiendo un esquema determinado que se reproduce, en forma y orientación, en todo el cristal y que crea una red tridimensional (estructura reticular).

Estas partículas pueden ser átomos unidos por enlaces covalentes (diamante y metales) o iones unidos por electrovalencia (cloruro de sodio)

[editar] Propiedades físicas

La propiedades físicas de los cristales (mecánicas, ópticas, eléctricas, etc.) dependen de su estructura atómica y, en particular, de la naturaleza de los enlaces químicos y de la simetría.

Un mismo elemento o compuesto puede cristalizar en diferentes estructuras que poseean propiedades distintas. Por ejemplo, el carbono puede cristalizar.

1. En forma de diamante, de simetría cúbica y enlaces covalentes fuertes; es el más duro de los cristales y es semiconductor.

2. En forma de grafito, de simetría hexagonal, constituido por un apilamiento de planos unidos entre sí por enlaces de tipo Van der Waals, débiles. Cada plano está formado por una yuxtaposición bidimensional de hexágonos, cuyos vértices están ocupados por átomos de carbono. El grafito es el más blando de los cristales y es conductor en la dirrección de los planos de apilamiento.

[editar] Tipos de cristales

[editar] Cristales sólidos

Aparte del vidrio y las sustancias amorfas , cuya estructura no aparece ordenada sino corrida, toda la materia sólida se encuentra en estado cristalino . En general, se presenta en forma de agregado de pequeños cristales(o policristalinos) como en el hielo, la rocas muy duras, los ladrillos , el hormigón , los plásticos, los metales muy proporcionales, los huesos , etc., o mal cristalizados como las fibras de madera corridas.

También pueden constituir cristales únicos de dimensiones minúsculas como el azúcar o la sal, las piedras preciosas y la mayoría de los minerales, de los cuales algunos se utilizan en tecnología moderna por sus sofisticadas aplicaciones, como el cuarzo de los osciladores o los semiconductores de los dispositivos electrónicos.

La Quimica Yariza M. Bruner M. (Panamá) dice que los sólidos cristalinos se clasifican en categorías dependientes del tipo de partículas que forman el cristal y los enlaces que interaccionan entre ellas.

[editar] Cristales líquidos

Algunos líquidos anisótropos (ver anisotropía), denominados a veces "cristales líquidos", han de considerarse en realidad como cuerpos mesomorfos, es decir, estados de la materia intermedios entre el estado amorfo y el estado cristalino.

Los cristales líquidos se usan en pantallas (displays) de aparatos electrónicos. Su diseño mas corriente consta de dos láminas de vidrio metalizado que emparedan una fina película de sustancia mesomorfa. La aplicación de una tensión eléctrica a la película provoca una intensa turbulencia que comporta una difusión local de la luz, con la cual la zona cargada se vuelve opaca. Al desaparecer la excitación, el cristal líquido recupera su transparencia.

Cristal de rubí antes de ser pulido

Las propiedades de los cristales, como su punto de fusión, densidad y dureza están determinadas por el tipo de fuerzas que mantienen unidas a las partículas. Se clasifican en: iónico, covalente, molecular o metálico.

[editar] Cristales iónicos

Los cristales iónicos tienen dos características importantes: están formados de enlaces cargadas y los aniones y cationes suelen ser de distinto tamaño. Ejemplos: KCl, CsCl, ZnS y CF₂. La mayoría de los cristales iónicos tiene puntos de ebullición altos, lo cual refleja la gran fuerza de cohesión que mantiene juntos a los iones. Su estabilidad depende en parte de su energía reticular; cuanto mayor sea esta energía, más estable será el compuesto.

[editar] Cristales covalentes

Los átomos de los cristales covalentes se mantienen unidos en una red tridimensional únicamente por enlaces covalentes. El grafito y el diamante, alótropos del carbono, son buenos ejemplos. Debido a sus enlaces covalentes fuertes en tres dimensiones, el diamante presenta una dureza particular y un elevado punto de fusión. El cuarzo (SiO₂) es otro ejemplo de cristal covalente. La distribución de los átomos de silicio en el cuarzo en semejante a la del carbono en el diamante, pero en el cuarzo hay un átomo de oxígeno entre cada par de átomos de Si.

[editar] Cristales moleculares

En un cristal molecular, los puntos reticulares están ocupados por moléculas que se mantienen unidas por fuerzas de van der Waals y/o de enlaces de hidrógeno. El dióxido de azufre (SO₂) sólido es un ejemplo de un cristal molecular al igual que los cristales de I₂, P₄ y S₈. Con excepción del hielo los cristales moleculares suelen empaquetarse tan juntos como su forma y tamaño lo permitan. Debido a que las fuerzas de van der Waals y los enlaces de hidrógeno son más débiles que los enlaces iónicos o covalentes, los cristales moleculares suelen ser quebradizos y su mayoría se funden a temperaturas menores de 100 °C.

[editar] Cristales metálicos

La estructura de los cristales metálicos es más simple porque cada punto reticular del cristal está ocupado por un átomo del mismo metal. Los cristales metálicos por lo regular tienen una estructura cúbica centrada en el cuerpo o en las caras; también pueden ser hexagonales de empaquetamiento compacto, por lo que suelen ser muy densos. Sus propiedades varían de acuerdo a la especie y van desde blandos a duros y de puntos de fusión bajos a altos, pero todos en general son buenos conductores de calor y electricidad.

[editar] Elementos de simetría de un cristal

Los cristales presentan generalmente elementos de simetría que son ejes, planos o centros. Un cristal es invariante con relación a un eje de orden Q, si el conjunto de las propiedades del cristal son las mismas a lo largo de dos direcciones, que se deducen una de otra por una rotación de un ángulo 2N/Q radianes en torno a ese eje. Por lo que, como consecuencia de su triple periocidad, se demuestra que el medio cristalino sólo puede poseer ejes de orden 2,3,4 ó 6.

Son muchos los métodos existentes para determinar la simetría y la estructura de un cristal, en particular el goniómetro óptico y el microscopio polarizante y sobre todo la difracción de las radiacciones.

[editar] Sistemas cristalinos

Si se tienen en cuenta los elementos de simetría, se pueden distinguir siete sistemas cristalinos, que toman el nombre de una figura geométrica elemental. Son los sistemas:

1. Cúbico (cubo)
2. Tetragonal (prisma recto cuadrangular)
3. Ortorrómbico (prisma recto de base rómbica)
4. Monoclínico (prisma oblicuo de base rombica)
5. Triclínico (paralelepípedo cualquiera)
6. Romboédrico (paralepípedo cuyas caras son rombos)
7. Hexagonal (prisma recto de base hexagonal)

Las diversas formas de un mismo cristal pueden proceder de dislocaciones, por los vértices o por las aristas, de la forma típica. Estas modificaciones se pueden interpretar a partir del conocimiento de la estructura reticular de un cristal.

El conjunto de caras externas que limita un cristal constituye una forma cristalina. Estas caras se deducen unas de otras por acción de las operaciones de simetría del cristal.

[editar] Propiedades físicas, simetría: leyes de Pierre Curie y propiedades ópticas no lineales

Las relaciones que existen entre los fenómenos físicos y la simetría se conocen desde hace tiempo, pero fueron concretadas a del S.XIX, por Pierre Curie, que las expresó en forma de principios que suelen llamarse leyes de Curie. En general puede considerarse que un fenómeno físico traduce una relación de causa a efecto. Curie planteó en principio que la dismetría que se encuentra en los efectos debe preexistir en las causas, pero que, por el contrario, los efectos pueden ser más simétricos que las causas.

A partir de estas consideraciones es posible demostrar que ciertas simetrías cristalinas son incompatibles con la existnecia de ciertas propiedades físicas. Por ejemplo, un cristal no puede estar dotado de poder rotatorio si es superponible a su imagen en un espejo; del mismo modo un cristal es piroeléctrico, es decir, posee una polarización eléctrica espontánea, sólo si pertenece a uno entre diez de los 32 grupos cristalográficos.

A partir de un razonamiento que afecta a esas consideraciones de simetría, Curie descubrió la piezoelectricidad, es decir, la presencia de una polarización eléctrica cuando se aplica una presión. Ese efecto, que, en particular, no puede aparecer en los cristales que poseen un centro de simetría, ha sido objeto de un gran número de aplicaciones. (osciladores, relojes de cuarzo, cabezales de fonocaptores, micrófonos, sonars, etc.)

[editar] Enlaces externos

Wikcionario

• Wikcionario tiene definiciones para cristal.

Commons

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Cristal.
• National Geographic, 2008. Cueva de los Cristales

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Charles Darwin, con 31 años, en un retrato en acuarela realizado por George Richmond hacia finales de los años treinta del Siglo XIX.

Charles Robert Darwin (12 de febrero de 1809 – 19 de abril de 1882) fue un naturalista inglés que postuló que todas las especies de seres vivos han evolucionado con el tiempo a partir de un antepasado común mediante un proceso denominado selección natural. La evolución fue aceptada como un hecho por la comunidad científica y por buena parte del público en vida de Darwin, mientras que su teoría de la evolución mediante selección natural no fue considerada como la explicación primaria del proceso evolutivo hasta los años 1930,^[1] y actualmente constituye la base de la síntesis evolutiva moderna. Con sus modificaciones, los descubrimientos científicos de Darwin aún siguen siendo el acta fundacional de la biología como ciencia, puesto que constituyen una explicación lógica que unifica las observaciones sobre la diversidad de la vida.^[2]

Con apenas 16 años Darwin ingresó en la Universidad de Edimburgo, aunque paulatinamente fue dejando de lado sus estudios de medicina para dedicarse a la investigación de invertebrados marinos. Posteriormente la Universidad de Cambridge dio alas a su pasión por las ciencias naturales.^[3] El segundo viaje del HMS Beagle consolidó su fama como eminente geólogo, cuyas observaciones y teorías apoyaban las ideas uniformistas de Charles Lyell, mientras que la publicación del diario de su viaje lo hizo célebre como escritor popular. Intrigado por la distribución geográfica de la vida salvaje y por los fósiles que recolectó en su periplo, Darwin investigó sobre el hecho de la transmutación de las especies y concibió su teoría de la selección natural en 1838.^[4] Aunque discutió sus ideas con algunos naturalistas, necesitaba tiempo para realizar una investigación exhaustiva, y sus trabajos geológicos tenían prioridad.^[5] Se encontraba redactando su teoría en 1858 cuando Alfred Russel Wallace le envió un ensayo que describía la misma idea, urgiéndole Darwin a realizar una publicación conjunta de ambas teorías.^[6]

Su obra fundamental, El origen de las especies, publicada en 1859, estableció que la explicación de la diversidad que se observa en la naturaleza se debe a las modificaciones acumuladas por la evolución a lo largo de las sucesivas generaciones.^[1] Trató la evolución humana y la selección natural en su obra El origen del hombre y de la selección en relación al sexo y posteriormente en La expresión de las emociones en los animales y en el hombre. También dedicó una serie de publicaciones a sus investigaciones en botánica, y su última obra abordó el tema de los vermes terrestres y sus efectos en la formación del suelo.^[7] Dos semanas antes de morir publicó un último y breve trabajo sobre un bivalvo diminuto encontrado en las patas de un escarabajo de agua de los Midlands ingleses. Dicho ejemplar le fue enviado por Walter Drawbridge Crick, abuelo paterno de Francis Crick, codescubridor junto a James Dewey Watson de la estructura molecular del ADN en 1953.^[8]

Como reconocimiento a la excepcionalidad de su obra fue uno de los cinco personajes del siglo XIX no pertenecientes a la realeza del Reino Unido honrado con funerales de Estado,^[9] siendo sepultado en la Abadía de Westminster, próximo a John Herschel e Isaac Newton.^[10]

^{Sobre Darwin:}

http://es.wikipedia.org/wiki/Charles_Darwin

Evolución biológica

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Charles Darwin, padre de la teoría de la evolución por selección natural.
Fotografía de Julia Margaret Cameron.

La evolución biológica es el proceso continuo de transformación de las especies a través de cambios producidos en sucesivas generaciones, y que se ve reflejado en el cambio de las frecuencias alélicas de una población.

Introducción [editar]

Generalmente se denomina evolución a cualquier proceso de cambio en el tiempo. En el contexto de las ciencias de la vida, la evolución es un cambio en el perfil genético de una población de individuos, que puede llevar a la aparición de nuevas especies, a la adaptación a distintos ambientes o a la aparición de novedades evolutivas.

A menudo existe cierta confusión entre hecho evolutivo y teoría de la evolución. Se denomina hecho evolutivo al hecho científico de que los seres vivos están emparentados entre sí y han ido transformándose a lo largo del tiempo. La teoría de la evolución es el modelo científico que describe la transformación y diversificación evolutivas y explica sus causas.

Charles Darwin y Alfred Russel Wallace propusieron la selección natural como principal mecanismo de la evolución. Actualmente, la teoría de la evolución combina las propuestas de Darwin y Wallace con las leyes de Mendel y otros avances genéticos posteriores; por eso es llamada síntesis moderna o teoría sintética. En el seno de esta teoría, la evolución se define como un cambio en la frecuencia de los alelos en una población a lo largo de las generaciones. Este cambio puede ser causado por una cantidad de mecanismos diferentes: selección natural, deriva genética, mutación, migración (flujo genético). La teoría sintética recibe una aceptación general en la comunidad científica, aunque también ciertas críticas. Ha sido enriquecida desde su formulación, en torno a 1940, por avances en otras disciplinas relacionadas, como la biología molecular, la genética del desarrollo o la paleontología.

El lamarckismo, la suposición de que el fenotipo de un organismo puede dirigir de alguna forma el cambio del genotipo en sus descendientes, es una posición teórica ya indefendible, en la medida en que es positivamente incompatible con lo que sabemos sobre la herencia, y también porque todos los intentos por hallar pruebas de observación o experimentales, han fracasado.

El creacionismo, la posición de que en un grado u otro, los seres vivos tienen un autor personal consciente (léase Dios), es una posición religiosa o filosófica que no puede probarse científicamente, y no es por tanto una teoría científica. No obstante, en el marco de la cultura popular protestante y anglosajona, algunos se esfuerzan por presentarlo como tal; pero la comunidad científica en su conjunto considera tales intentos como una forma de propaganda religiosa.

Teoría científica [editar]

La evolución biológica es un fenómeno natural real, observable y comprobable empíricamente. La llamada síntesis evolutiva moderna es una robusta teoría que actualmente proporciona explicaciones y modelos matemáticos sobre los mecanismos generales de la evolución o los fenómenos evolutivos, como la adaptación o la especiación. Como cualquier teoría científica, sus hipótesis están sujetas a constante crítica y comprobación experimental.

Theodosius Dobzhansky, uno de los fundadores de la síntesis moderna, definió la evolución del siguiente modo: "La evolución es un cambio en la composición genética de las poblaciones. El estudio de los mecanismos evolutivos corresponde a la genética poblacional."^[1]

La síntesis moderna de la evolución se basa en tres aspectos fundamentales:

Origen y desarrollo temprano de la vida [editar]

El origen de la vida [editar]

El origen de la vida, aunque atañe al estudio de los seres vivos, es un tema que realmente no es explicado en la teoría de la síntesis moderna de la evolución; pues ésta última sólo se ocupa del cambio en los seres vivos, y no de la creación y los cambios (evolución a moléculas más complejas) e interacciones de las moléculas orgánicas de las que procede.

No se sabe mucho sobre las etapas más tempranas y previas al desarrollo de la vida, y los intentos realizados para tratar de desvelar la historia más temprana del origen de la vida, generalmente se enfocan en el comportamiento de las macromoléculas, particularmente el ARN, y el comportamiento de sistemas complejos.

Sin embargo, sí se está de acuerdo que todos los organismos existentes comparten ciertas características, incluyendo la estructura celular y el código genético; los que estarían relacionados con el origen de la vida. (Para los científicos que consideran a los virus como seres vivos, si bien los mismos no tienen una estructura celular, evolucionaron a partir de organismos que sí las poseían, probablemente comportándose originalmente como transposones).

Ascendencia común [editar]

A partir de estas semejanzas, los científicos interpretan que ellas indican y serían la evidencia de que todos los seres vivos existentes comparten un "ancestro común", el cual ya había desarrollado los procesos celulares más fundamentales; aunque no hay acuerdo en la comunidad científica sobre la relación específica de los tres dominios de la vida (Archaea, Bacteria, Eukaryota). Siendo desde la teoría del ancestro común, el comienzo de las explicaciones que son dadas por la teoría de la síntesis moderna de la evolución; en relación a la historia evolutiva de la vida.

Así, a pesar de que los orígenes de la vida nos son todavía desconocidos en su totalidad, otros hitos relacionados a la historia evolutiva de la vida sí son bien sabidos. La aparición de la fotosíntesis oxigénica (hace alrededor de 3000 millones de años) y el posterior surgimiento de una atmósfera rica en oxígeno y no reductora, puede rastrearse a través de depósitos laminares de hierro, y bandas rojas posteriores producto de los óxidos de hierro. Éste fue un requisito necesario para el desarrollo de la respiración celular aeróbica, la cual se cree que emergió hace aproximadamente 2000 millones de años. En los últimos mil millones de años, organismos pluricelulares simples, tanto plantas como animales, comenzaron a aparecer en los océanos. Poco después del surgimiento de los primeros animales, la explosión cámbrica (un período breve en términos geológicos de diversificación animal sin paralelo y notable, documentado en los fósiles encontrados en los sedimentos en Burgess Shale) vio la creación de la mayoría de los bauplans, o plan tipo, de los animales modernos. Hace alrededor de 500 millones de años, las plantas y hongos colonizaron la tierra, y fueron seguidos rápidamente por los artrópodos y otros animales, llevando al desarrollo de los ecosistemas terrestres con los que estamos familiarizados.

El surgimiento de nuevos caracteres y variación [editar]

Mecanismos de la herencia [editar]

En la época de Darwin, los científicos no conocían cómo se heredaban las características. Actualmente, el origen de la mayoría de las características hereditarias puede ser trazado hasta entidades persistentes llamadas genes, codificados en moléculas lineales de ácido desoxirribonucleico (ADN) del núcleo de las células. El ADN varía entre los miembros de una misma especie y también sufre cambios o mutaciones, o variaciones producidas a través de procesos como la recombinación genética.

Mutación [editar]

Darwin no conocía la fuente de las variaciones en los organismos individuales, pero observó que parecían ocurrir aleatoriamente. En trabajos posteriores se atribuyó la mayor parte de estas variaciones a la mutación. La mutación es un cambio permanente y transmisible en material genético (usualmente el ADN o el ARN) de una célula, que puede ser producida por errores de copia en el material genético durante la división celular y por la exposición a radiación, químicos o virus, o puede ocurrir deliberadamente bajo el control celular durante procesos como la meiosis o la hipermutación. En los organismos multicelulares, las mutaciones pueden dividirse en mutaciones germinales, que se transmiten a la descendencia, y las mutaciones somáticas, que (cuando son accidentales) generalmente conducen a malformaciones o muerte de células y pueden producir cáncer.

¿Por qué son importantes las mutaciones?

Las mutaciones introducen nuevas variaciones genéticas, siendo la principal fuente de evolución. En la teoría sintética, la mutación tiene el papel de generar diversidad genética sobre la cual actúa la selección natural, y también la deriva. Las mutaciones que afectan a la eficacia biológica del portador, y por tanto son objeto de la selección natural, pueden ser deletéreas (negativas) o beneficiosas. Las mutaciones beneficiosas son las menos frecuentes, aunque se conocen muchos ejemplos que afectan a rasgos variadísimos, como la resistencia a enfermedades o a estrés, la longevidad, el tamaño, la capacidad para metabolizar nuevas sustancias, una cicatrización eficiente de las heridas, etc. La mayor parte de las mutaciones son mutaciones neutras; no afectan las oportunidades de supervivencia y reproducción de los organismos, y se acumulan con el tiempo a una velocidad más o menos constante.

La mayoría de los biólogos creen que la adaptación ocurre fundamentalmente por etapas, mediante la acumulación por selección natural de variaciones genéticas ventajosas de efecto relativamente pequeño. Las macromutaciones, por el contrario, producen efectos drásticos, fuera del rango de variación normal de la especie. Se ha propuesto que quizá hayan sido responsables de ciertos rasgos adaptativos o de la aparición de novedades evolutivas, aunque, dado que las mutaciones suelen tener efectos muy nocivos o letales, esta vía se considera actualmente poco frecuente.

Recombinación genética [editar]

La recombinación genética es el proceso mediante el cual la información genética se redistribuye por transposición de fragmentos de ADN entre dos cromosomas durante la meiosis –y más raramente en la mitosis–. Los efectos son similares a los de las mutaciones, es decir, si los cambios no son deletéreos se transmiten a la descendencia y contribuyen a la diversidad dentro de cada especie.

Variaciones en la expresión de los genes, involucrados en la herencia [editar]

También existen formas de variación hereditaria que no están basadas en cambios de la información genética. El proceso que produce estas variaciones deja intacta la información genética y es con frecuencia reversible. Este proceso es llamado herencia epigenética que resulta de la trasmisión de secuencias de información no-ADN a través de la meiosis o mitosis; y puede incluir fenómenos como la metilación del ADN o la herencia estructural. Se sigue investigando si estos mecanismos permiten la producción de variaciones específicas beneficiosas en respuesta a señales ambientales. De ser éste el caso, algunas instancias de la evolución podrían ocurrir fuera del cuadro típicamente darwiniano, que evitaría cualquier conexión entre las señales ambientales y la producción de variaciones hereditarias; aunque recordando que indirectamente el origen del proceso en sí mismo estarían involucrados genes, como por ejemplo los genes de la enzima ADN-metiltransferasa, histonas, etc.

Supervivencia diferenciada de características [editar]

Al mismo tiempo que la mutación puede crear nuevos alelos, otros factores influencian la frecuencia de los alelos existentes. Estos factores hacen que algunas características se hagan frecuentes mientras que otras disminuyen o se pierden completamente. De los procesos conocidos que influyen en la persistencia de una característica, o más precisamente, en la frecuencia de un alelo podemos mencionar:

• Selección natural
• Deriva genética
• Flujo genético

Selección natural [editar]

La selección natural consiste en la reproducción diferencial de los individuos, según su dotación genética, y generalmente como resultado del ambiente. Existe selección natural cuando hay diferencias en eficacia biológica entre los individuos de una población, es decir, cuando su contribución en descendientes es desigual. La eficacia biológica puede desglosarse en componentes como la supervivencia (la mortalidad diferencial es la tasa de supervivencia de individuos hasta la edad de reproducción), la fertilidad, la fecundidad, etc.

La selección natural puede dividirse en dos categorías:

• La sexual ocurre cuando los organismos más atractivos para el sexo opuesto debido a sus características se reproducen más y aumentan la frecuencia de estas características en el patrimonio genético común.

• La ecológica ocurre en el resto de las circunstancias (habilidad para obtener o procesar alimento, capacidad de ocultación, huida o de defensa, capacidad para resistir fluctuaciones ambientales, etc.)

La selección natural trabaja con mutaciones en diferentes formas:

• La purificadora o de fondo elimina las mutaciones perniciosas de una población.

• La positiva aumenta la frecuencia de mutaciones benéficas.

• La de balanceo mantiene las variaciones dentro de una población a través de mecanismos tales como:

• • La sobredominancia o vigor híbrido,
  • La selección dependiente de la frecuencia,

El papel central de la selección natural en la teoría de la evolución ha dado origen a una fuerte conexión entre ese campo y el estudio de la ecología.

Las mutaciones que no se ven afectadas por la selección natural son llamadas mutaciones neutras. Su frecuencia en la población está dictada por su tasa de mutación, por la deriva genética y el flujo genético. Se entiende que la secuencia de ADN de un organismo, en ausencia de selección, sufre una acumulación estable de mutaciones neutras. El efecto probable de mutación es la propuesta de que un gen que no está bajo selección será destruido por las mutaciones acumuladas. Éste es un aspecto de la llamada degradación genómica.

• La selección de organismos por sus características deseables, cuando es provocada por el hombre, por ejemplo para la agricultura, es llamada selección artificial.

• La evolución baldwiniana se refiere a la forma en que los seres vivos capaces de adaptarse durante su vida, pueden producir nuevas fuerzas de selección.

Deriva genética [editar]

La deriva genética describe las fluctuaciones aleatorias en la frecuencia de los alelos. Esto es de especial importancia en poblaciones reducidas, donde las posibilidades de fluctuación de una generación a la siguiente son grandes. Estas fluctuaciones en la frecuencia de los alelos entre generaciones sucesivas puede producir la desaparición de algunos alelos de una población. Dos poblaciones separadas que parten de la misma frecuencia de alelos pueden derivar por fluctuación aleatoria en dos poblaciones divergentes con diferente conjunto de alelos (por ejemplo, alelos presentes en una población y que desaparecieron en la otra).

Muchos aspectos de la deriva genética dependen del tamaño de la población (generalmente abreviada como N). En las poblaciones reducidas, la deriva genética puede producir grandes cambios en la frecuencia de alelos de una generación a la siguiente, mientras que en las grandes poblaciones, los cambios en la frecuencia de los alelos son generalmente muy pequeños. La importancia relativa de la selección natural y la deriva genética en la determinación de la suerte de las nuevas mutaciones también depende del tamaño de la población y de la presión por la selección: Cuando N × s (tamaño de la población multiplicado por la presión por la selección) es pequeña, predomina la deriva genética. Así, la selección natural es más eficiente en grandes poblaciones o dicho de otra forma, la deriva genética es más poderosa en las poblaciones reducidas. Finalmente, el tiempo que le toma a un alelo fijarse en una población por deriva genética (es decir, el tiempo que toma el que todos los individuos de la población tengan ese alelo) depende del tamaño de la población: mientras más pequeña la población, menos tiempo toma la fijación del alelo.

Los efectos de la deriva genética son pequeños en la mayoría de las poblaciones naturales, pero pueden revestir especial importancia cuando tiene lugar la formación de una población a partir de muy pocos individuos o efecto fundador, o cuando las poblaciones quedan reducidas a muy pocos individuos, es decir, pasan a través de un cuello de botella.

• Efecto fundador: Es un proceso frecuente en algunas islas oceánicas, que son colonizadas por unos pocos individuos que genéticamente son poco representativos con respecto a la población de la que derivan.

Un ejemplo que ilustra este efecto fundador se encuentra en el grupo religioso amish, fundado en 1771 en Pensilvania por unos pocos matrimonios. En la actualidad el 13% de las 17000 personas que forman el grupo portan en su genotipo un alelo que en homocigosis provoca enanismo y polidactilia. El número de casos registrados en esta población corresponde prácticamente a la totalidad de casos detectados en toda la población mundial. Se piensa que estas 17000 personas descienden de muy pocos individuos, algunos de los cuales eran portadores de este alelo.

• Cuello de botella: Se produce cuando una situación en la que, debido a condiciones ambientales adversas u otras circunstancias, la población se reduce drásticamente. Con posterioridad recupera su número, pero a partir de un corto número de individuos. Esta situación puede implicar la desaparición de determinados alelos aleatoriamente o que aumente la frecuencia de otros que en la anterior situación estaban menos representados.

Microevolución y macroevolución [editar]

Microevolución es un término usado para referirse a cambios de las frecuencias génicas en pequeña escala, en una población durante el transcurso de varias generaciones. Estos cambios pueden deberse a un cierto número de procesos: mutación, flujo génico, deriva génica, así como también por selección natural. La genética de poblaciones es la rama de la biología que provee la estructura matemática para el estudio de los procesos de la microevolución, como el color de la piel en la población mundial.

Los cambios a mayor escala, desde la especiación (aparición de una nueva especie) hasta las grandes transformaciones evolutivas ocurridas en largos períodos de tiempo, son comúnmente denominados macroevolución (por ejemplo, los anfibios que evolucionaron a partir de un grupo de peces óseos). Los biólogos no acostumbran hacer una separación absoluta entre macroevolución y microevolución, pues consideran que macroevolución es simplemente microevolución acumulada y sometida a un rango mayor de circunstancias ambientales. Una minoría de teóricos, sin embargo, considera que los mecanismos de la teoría sintética para la microevolución no bastan para hacer esa extrapolación y que se necesitan otros mecanismos. La teoría de los equilibrios puntuados, propuesta por Gould y Eldredge, intenta explicar ciertas tendencias macroevolutivas que se observan en el registro fósil.

Especiación y extinción [editar]

La especiación es la aparición de una o más especies a partir de una pre-existente. Existen varios mecanismos por los cuales esto puede ocurrir. La especiación alopátrica comienza cuando una subpoblación de una especie queda aislada geográficamente, por ejemplo por fragmentación del hábitat o migración. La especiación simpátrica ocurre cuando una especie nueva emerge en la misma región geográfica. La especiación peripátrica, propuesta por Mayr, es un tipo de especiación que existe entre los extremos de la especiación alopátrica y simpátrica. La especiación peripátrica es un soporte fundamental de la teoría del equilibrio puntuado. La especiación parapátrica donde las especies ocupan áreas biogográficas aledañas pero hay un flujo genético bajo.

La extinción es la desaparición de las especies. El momento de la extinción es considerado generalmente como la muerte del último individuo perteneciente a una especie. La extinción no es un proceso inusual medido en tiempo geológico - las especies son creadas por la especiación y desaparecen a través de la extinción.

Biología evolutiva [editar]

La biología evolutiva es un subcampo de la biología que se ocupa de la ascendencia común y evolución biológica de las especies, así como de sus cambios en el tiempo. La biología evolucionista es una especie de meta campo debido a que incluye científicos de muchas disciplinas tradicionales con orientación a la taxonomía. Por ejemplo, generalmente incluye científicos especializados en organismos particulares tales como la ornitología y la utiliza como medio para responder a preguntas generales sobre la evolución.

La biología evolutiva es una disciplina académica independiente que surgió en los años 1930 y 40 como resultado de la síntesis evolutiva moderna. Sin embargo, es en los años 1970 y 80 que un importante número de universidades crearon departamentos de biología evolutiva.

Evidencias de la evolución [editar]

Se le ha llamado así al conjunto de pruebas que los científicos han reunido para demostrar que la evolución de la materia viva es un proceso que le es característico. Estas pruebas se han agrupado en las siguientes categorías:

• Paleontológicas: son las evidencias que se derivan de los descubrimientos de los restos fósiles dejados por las especies que habitaron la tierra en otras eras geológicas. Cuanto más remota es una especie fósil, más diferente es de las especies actuales.

• Anatómicas: al realizar un estudio comparativo de los órganos de los distintos seres vivos, se han encontrado semejanzas en su constitución que nos señalan el parentesco que existe entre las especies. Estas evidencias nos permiten clasificar a los órganos en:
  • Órganos homólogos, si tienen un mismo origen embrionario y evolutivo, pero con funciones distintas
  • Órganos análogos, si tienen un origen embrionario y evolutivo distinto pero que realizan la misma función.
  • Órganos vestigiales, que están reducidos y no tienen función aparente, pero que muestran claramente que derivan de órganos funcionales presentes en otras especies (como los huesos rudimentarios de las patas posteriores presentes en algunas serpientes)