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CIENCIA: APLICACIÓN MATEMÁTICA. En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.

Función matemática

De Wikipedia, la enciclopedia libre

(Redirigido desde Aplicación matemática)
Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de unicidad que sólo sale una.

En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:

f colon X to Y ,

Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.

Contenido

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Definición

Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento xin X con un (y sólo un) yin Y se denota f(x)=y,, en lugar de (x,y)in f.

Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:

  1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir, forall xin X, exists yin Y backslash  (x,y)in f.
  2. Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si (x,y_1)in f and (x,y_2)in f Rightarrow y_1 = y_2.

Notación y nomenclatura

Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por {rm dom}(f), o {rm dom}_f,. A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.

Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por

{rm codom}(f), o codomf

Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.

Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por {rm im}(f), o {rm im}_f, o f(X),.

 Im(f) = f(X):= left{y in Y ; | ; exists x in X, ; f(x)=yright}

Una preimagen de un y in Y es algún xin X tal que f(x)=y,.

Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.

Ejemplos

  • La función definida por f(x)=x+1,, tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales (mathbb{R}).
Función con Dominio X y Rango Y
  • Para la función g colon {mathbb{R}} to {mathbb{R}} tal que g(x)=x^2,, en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a mathbb{R}, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y + que sean el cuadrado de un número real.
  • En la figura se puede apreciar una función f colon X to Y ,, con
{rm D}_f = X = {1, 2, 3,4} , {rm C}_f  = ; Y = {a, b, c, d } , Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente, {rm Im}_f = {b, c, d}subseteq Y. Esta función representada como relación, queda: Xtimes Y = {(1,b), (2,c), (3,d), (4,b) }

Igualdad de funciones

Sean las funciones f: A → B y g: C → D, decimos que f es igual a g y escribimos f=g si y sólo si se cumple que ambas funciones:

  1. tienen igual dominio, A=C,
  2. tienen igual codomino, B=D, y
  3. tiene la misma asignación, es decir que para cada x se cumple que f(x)=g(x).

Representación de funciones

Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

  • usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el {rm dominio naturl],} de la función.
Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales. Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".


  • Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.
Ejemplo:
   X| -2 -1  0  1  2  3
Y| 0 1 2 3 4 5
Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}


Ejemplo:
5X
4X
3X
2X
1X
0X
y / x-2-10123

Clasificación de las funciones

Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

Conjuntos 01.svg
  • Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
  • Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
  • Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .

Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre especifico.

'Definiciones alternas: sea f: X rightarrow Y dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación

f(x) = b quad text{(*)}.
  • la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación siempre tiene al menos una solución.
  • la función es inyectiva si, y 'solo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
  • la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.


Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.

Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.

En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final) no tenga una preimagen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.

En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva el elemento d de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva.

Segundo ejemplo

Correspon 1402.svg

Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:

 P = { , Correspon P0.svg,Correspon P2.svg,Correspon P4.svg } ,

Sobre el conjunto de caras pintadas:

 C = { , Correspon C0.svg,Correspon C2.svg,Correspon C4.svg,Correspon C1.svg } ,

Asociando cada pincel con la cara correspondiente:

Correspon 30.svg

Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta correspondencia es una aplicación, como las caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la aplicación es inyectiva, y como la cara pintada de amarillo, no tiene ningún pincel de este color, la aplicación no es sobreyectiva.

Aplicación no inyectiva y sobreyectiva

Aplicación no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A.

Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

el elemento c de Y, tiene dos orígenes: el 3 y el 4, por lo que esta aplicación no es inyectiva. todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.

Segundo ejemplo

Correspon 1502.svg

Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto de pinceles con pintura de colores:

 P = { , Correspon P0.svg,Correspon P2.svg,Correspon P4.svg,Correspon P4.svg } ,

En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pasar de tener el mismo color de pintura son dos pinceles distintos.

Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:

 C = { , Correspon C0.svg,Correspon C2.svg,Correspon C4.svg } ,

Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una cara pintada de su color y solo una, esto hace que la correspondencia sea una aplicación, la cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lo que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la aplicación es sobreyectiva.

Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Aplicación biyectiva

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.

En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B.

Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:

  • Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.

Ejemplo

f(x)= 2x

en el diagrama de la figura:

todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.

Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números naturales:

 X = {1, 2, 3, ... } ,

y por conjunto final el de los números naturales pares:

 Y = {2, 4, 6, ... } ,

Podemos ver que la relación

 f: X rightarrow Y  f: x mapsto 2x

Por el que a cada número natural x de X, le asociamos un número par 2x de Y, se cumple:

  1. f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y.
  2. esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par 2x de Y le corresponde un único valor x de X.
  3. y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen

Esto nos permite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de números naturales pares, se da la paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos.

Segundo ejemplo

Correspon 1602.svg

Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:

 P = { , Correspon P0.svg,Correspon P2.svg,Correspon P4.svg,Correspon P1.svg } ,

y el de caras como conjunto final:

 C = { , Correspon C0.svg,Correspon C2.svg,Correspon C4.svg,Correspon C1.svg } ,

La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicación porque todos los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicación es inyectiva porque un pincel corresponde con una sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente esta aplicación es biyectiva.

Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno, pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos en el conjunto inicial que en el final.

Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva

Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre especifico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.

Para esta aplicación los conjuntos X e Y no son comparables, y no podemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de su comparación, ni sobre su número de elementos.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unión de A y B.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

el elemento b de Y, tiene dos orígenes: 1 y 2, esto hace que esta aplicación no sea inyectiva el elemento a de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva

el elemento se obtiene cuando dos funciones con el mismo numerador se conectan de forma biyectiva y no se utiliza en ningún momento la sobreyectiva por medidas de aseguracion la función se emplea de forma rotativa y no se representa en las gráficas

Segundo ejemplo

Correspon 1302.svg

Si tomamos como conjunto inicial el de pinceles de colores:

 P = { , Correspon P0.svg,Correspon P2.svg,Correspon P4.svg,Correspon P4.svg } ,

y como conjunto final el de caras coloreadas:

 C = { , Correspon C0.svg,Correspon C2.svg,Correspon C4.svg,Correspon C1.svg } ,

Vemos que todos los pinceles tiene una cara y solo una cara de su mismo color, luego esta correspondencia es una aplicación matemática.

Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicación no es inyectiva, y como la cara amarilla no tiene ningún pincel de ese color no es sobreyectiva, luego esta aplicación es no inyectiva y no sobreyectiva.


Resumen

Surjection.svg
Sobreyectiva, no inyectiva
Injection.svg
Inyectiva, no sobreyectiva
Bijection.svg
Biyectiva
Total function.svg
No sobreyectiva, no inyectiva

Álgebra de las funciones

La Composición de funciones

Artículo principal: Función compuesta

Dadas las funciones f: A → B y g: B → C, (o sea, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g), se define una función composición (g ο f ): AC tal que (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

A to ,,B;; to ;;,C x mapsto f(x) mapsto g(f(x))

La función identidad

Artículo principal: Función identidad

Dado un conjunto , A ,, la función ; e_A colon A to A , que asigna a cada x de A , el mismo x de A, se denomina función identidad. También se simboliza por 1A o idA.

Dada cualquier función f colon A to B , se cumple que e_Bcirc f colon A to B es igual a f y que fcirc e_A colon A to B es también igual a f,, puesto que tenemos que para todo x, ;; f(e_A(x))=f(x) y también ;; e_B(f(x))=f(x)

; e_B circ f = f circ e_A = f ;

Se verifica que

  • la composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.
  • la composición de dos funciones suprayectivas es suprayectiva.
  • la composición de dos funciones biyectivas es biyectiva.

La Restricción de una Función

Sea C un subconjunto de A. La inclusión de C en A permite definir una función de C en A que asigna a cada elemento de C el mismo elemento, pero considerado como elemento de A. Decimos que tal función es la función definida por la inclusión.

Sea f: A rightarrow B y sea C, un subconjunto de A,. Sea i la función definida por la inclusión. La composición  f circ i define una función de C, en B, que se llama la restricción de f a C y que se denota por fbig|_{C}.

Advertencia: muchas veces, especialmente con funciones numéricas, se usa la misma notación para la función y su restricción, esperando que del contexto pueda deducirse la diferencia.

Función inversa

Artículo principal: Función recíproca

Dada una función f colon A to B ,;, se llama una (función) inversa de f ;, a una función  g colon B to A , tal que se cumple las siguientes condiciones:

g circ f = 1_A qquad f circ g = 1_B.

Decimos también que la función f es invertible

Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y se la denota por f^{-1},.


Se verifica también las siguientes propiedades.

  • Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.
  • La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. O sea que (f − 1) − 1 = f.
  • La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composición de las inversas de los factores pero con el orden invertido.
(g circ f)^{-1} = f^{-1} circ g^{-1}.

El grupo simétrico o grupo de las funciones biyectivas

Sea A un conjunto y Biy(A) el conjunto formado por todas las funciones biyectivas de A en sí mismo. El conjunto Biy(A) no es vacío, porque al menos la función identidad está en ese conjunto. Además, recordando que las funciones biyectivas coinciden con las funciones invertibles, tenemos que la composición de funciones define una operación algebraica en Biy(A). Se verifica que

  1. La composición es una operación asociativa, es decir, dadas tres funciones cualesquiera se cumple que (f_i circ f_j) circ f_k = f_i circ (f_j circ f_k) ,
  2. La función identidad es un neutro respecto a la operación. O sea,  forall f in Biy(A), tenemos que fcirc 1_A = 1_A circ f = f .
  3. Cada elemento f de Biy(A) tiene un inverso respecto a la operación: la función inversa de f. O sea que f^{-1} circ f = fcirc f^{-1} = 1_A.

Estas tres condiciones determinan lo que se llama un grupo. Por lo que el conjunto de las funciones biyectivas  A to A , Biy(A) es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones que recibe el nombre de grupo simétrico de A,.

Cuando A es un conjunto finito, digamos con n elementos, las biyecciones de A se llaman también permutaciones, por lo que el grupo simétríco de A se llama también grupo de permutaciones.

Terminología, tradición y convenios

La noción de función es fundamental en matemáticas. la noción ha evolucionado desde su introducción en el siglo XVII hasta el presente, al igual que muchas otras de las nociones de matemáticas. Una de las fuentes de la noción es el estudio del movimiento cinemática, de donde hemos heredado terminologías tales como constante, variable y parámetro.

Sea f: A rightarrow B una función. La notación y definición dadas son posteriores a la invención de la teoría de conjuntos, o sea posterior a los finales del siglo XIX. ¿Cómo se decía anteriormente que x era un elemento de mathbb R? Diciendo que x era una variable real. Por extensión del concepto, se llamaba variables tanto a los elementos del dominio como aquellos del codominio; para distinguir entre ellos, los elementos del dominio eran las variables independientes mientras que aquellos del codominio eran las variables dependientes.

Por esa razón, funciones cuyo dominio sea un subconjunto de los Reales se denominan funciones de una variable real. ¿Por que "una"? Porque funciones cuyo dominio eran subconjuntos de {mathbb R}^2 o {mathbb R}^3 se llamaban funciones de dos o tres variables (reales) respectivamente. Actualmente, preferimos decir que se trata de funciones definidas sobre pares o tríos de números (usualmente considerados como vectores bidimensionales o tridimensionales, respectivamente).

En algunos contextos, la terminología está adaptada al tema de estudio, por ejemplo, en Física es usual la siguiente terminología.

La notación funcional

En muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentra la expresión "la función f(x)". De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace sentido, ya que f(x) es una notación para el elemento del codominio. Otras veces, nos encontramos con algo así como "la función f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunque aquí hay una posible asignación, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que en rigor la función f no está bien definida.

En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numéricas (dominio y codominio son subconjuntos de los Reales), hay una serie de convenios para simplicar la escritura. La expresión "la función y = x^2 - 3sqrt{x}" se debe entender como una abreviación de lo siguiente: La función f definida por dicha igualdad, que suponemos una relación funciona (a cada x corresponde un único y) es una función cuyo dominio, llamado dominio natural, es el máximo subconjunto para él cual tiene sentido la expresión, y cuyo codominio son todos los Reales. En la "función" citada, la aparición del radical nos dice que el dominio natural consiste de todos los reales no negativos.

Para evitar ambigüedades, a veces se usa la notación x mapsto x^2 - 3sqrt{x} + 7 para indicar la regla de asignación.

Igualmente, por restricciones adecuadas de dominio y codominio se trabaja la composición de funciones numéricas. Por ejemplo: si f:x mapsto x+1 y g:x sqrt{x}, podemos considerar a h: x mapsto sqrt{x+1} como la composición de las funciones g y f, a pesar que esto es i'nconsistente con la definición dada de composición. En efecto, f es una función de {mathbb R} en {mathbb R} cuya imagen es todo {mathbb R}. Por su parte, g es una función de los reales no negativos en los Reales, por lo que no se cumple que la imagen de f sea un subconjunto del dominio de 'g. Sin embargo, como prácticamente o para efectos de otras necesidades matemáticas queremos considerar a la función h como una composiciónd e g con f, suponemos que f está restringido al intervalo [-1,infty).

Funciones (con valores) Reales

Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de númerosson particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.

Llamamos función real o función con valores reales a cualquier función cuyo codominio sea un subconjunto de los Reales.

Álgebra de Funciones

Sea X un conjunto culaquiera no vacío y sea {mathcal F}(X,{mathbb R}) el conjunto formado por todas las funciones de X en mathbb R. Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los Reales se pueden extender a {mathcal F}(X,{mathbb R}) , como veremos a continuación.

Sean f,g: X rightarrow {mathbb R} elementos de {mathcal F}(X,{mathbb R}) . Definimos operaciones entre funciones, punto a punto por

  • f+g: x mapsto f(x) + g(x) Suma de Funciones.
  • f-g: x mapsto f(x) - g(x) Resta de Funciones.
  • fg: x mapsto f(x)g(x) Producto de Funciones.

Extendemos relaciones punto a punto.

  • f<g iff forall x, f(x) < g(x).

La manera en que hacemos la extensión garantiza que muchas de las propiedades de los Reales se extienden a {mathcal F}(X,{mathbb R}) . Indicamos a continuación aquellas más importantes.

  • La suma de funciones es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante x mapsto 0, con opuesto aditivo f para cada función f.
  • La resta es tal que fg = f + ( − g).
  • La multiplicación es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante x mapsto 1, pero solamente las funciones que nunca tiene valor nulo, tienen recíprocos.
  • La multiplicación es distributiva respecto a la suma.

Note que todas las anteriores propiedades son propiedades de los números reales. Hay, sin embargo, propiedades "extrañas". Por ejemplo, Si el conjunto X tiene a lo menos dos elementos, hay divisores de cero en {mathcal F}(X,{mathbb R}) . En efecto, supongamos que X = {a,b} y definamos f,g:X rightarrow {mathbb R} tales que f(a) = 1,f(b) = 0 y g(a) = 0yg(b) = 1. Se ve, inmediatamente, que fg es la función constantemente 0, o sea la función cero, aunque ninguno de los factores lo es.

El conjunto {mathcal F}(X,{mathbb R}) junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de ejemplos diversos que se obtienen al seleccionar el conjunto X.

  • Sea X={1,2},. Entonces, cada función de {mathcal F}(X,{mathbb R}) define una pareja de números f(1),f(2) que si consideramos el orden natural en X, podemos escribir como el para ordenado (f(1),f(2)). Esto nos dice que, en este caso, podemos identificar {mathcal F}(X,{mathbb R}) con el conjunto de todos los pares posibles de números reales, o sea con {mathbb R}^2.
  • Sea X={1,2,3}, Razonado como arriba, podemos identificar a {mathcal F}(X,{mathbb R}) con {mathbb R}^3.
  • Sea X={1,2,3, ldots, n} Razonado como arriba, podemos identificar a {mathcal F}(X,{mathbb R}) con {mathbb R}^n.

Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares, tríos, n-uplas ordenadas aparece provisto de una suma y multiplicación. La suma coincide con la suma vectorial usual y la multiplicación por constantes con la multiplicación por escalar.

  • Sea X = {mathbb N}, los Naturales. En este caso, {mathcal F}(X,{mathbb R}) es el conjunto de todas las sucesiones de números reales provisto cono la suma y multiplciación usual de sucesiones.

Funciones numéricas

Llamamos funciones numéricas a funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los Reales. Estas funciones son aquellas que aparecen más frecuentemente en las aplicaciones elementales.

Funciones acotadas

  • Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado. Por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f("x")=|x| tiene por conjunto imagen [0,+infty[;!, por lo que está acotada inferiormente.

Funciones pares e impares

Artículo principal: Función par
Artículo principal: Función impar

Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si

x>forall x (x in A and -x in A rarr f(x) = f(-x))

Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si

forall x (x in A and -x in A rarr f(-x) = -f(x))

Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.

Funciones monótonas

Artículo principal: Función monótona
  1. La función f es estrictamente creciente en [a,b] harr forall x_1, x_2 in [a,b]: x_1 < x_2 harr f(x_1) < f(x_2)
  2. f es estrictamente decreciente en [a,b] harr forall x_1, x_2 in [a,b]: x_1 < x_2 harr f(x_1) > f(x_2)

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es inyectiva.

  1. f es creciente en [a,b] harr forall x_1, x_2 in [a,b]: x_1 < x_2 harr f(x_1) le f(x_2)
  2. f es decreciente en [a,b] harr forall x_1, x_2 in [a,b]: x_1 < x_2 harr f(x_1) ge f(x_2)

Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monótona.

Funciones periódicas

Artículo principal: función periódica

Una función es periódica si se cumple: f(x) = f(x + T) ; T neq 0, donde T, es el período.

En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: f(x) = -fleft(x + frac{T}{2}right),. Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos.

Funciones cóncavas y convexas

Artículo principal: Función convexa
Artículo principal: Función cóncava

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones convexa hacia arriba y concava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

Funciones reales y funciones discretas

Artículo principal: Función real
Artículo principal: Función discreta

Véase también

Enlaces externos

CIENCIA: VALORES. ANÁLISIS NUMÉRICO. El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. Mús. Duración del sonido que corresponde a cada nota, según la figura con que esta se representa.

Análisis numérico

De Wikipedia, la enciclopedia libre

El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

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Introducción general [editar]

El análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.

En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número finito de pasos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

Conceptos generales [editar]

A partir de aquí, aparece un concepto adicional, el de error. Este concepto aparece como consecuencia de la naturaleza finita de los ordenadores que solo pueden operar con números representados de forma finita.

Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema.

Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.

Aplicaciones [editar]

En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.


Otro motivo que ha propiciado el auge del análisis numérico ha sido el desarrollo de los ordenadores. El aumento brutal de la potencia de cálculo ha convertido en posibles y en eficientes a algoritmos poco dados a su realización a mano.

Problemas [editar]

Clasificación según su dimensión [editar]

Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:

  • Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya solución o planteamiento intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de números, como integración y derivación numéricas, cálculo de ecuaciones diferenciales, interpolación, etc.

Clasificación atendiendo a su naturaleza o motivación [editar]

Asimismo, existe una subclasificación de estos dos grandes apartados en tres categorías de problemas, atendiendo a su naturaleza o motivación para el empleo del cálculo numérico:

  • 1) Problemas de tal complejidad que no poseen solución analítica.
  • 2) Problemas en los cuales existe una solución analítica, pero ésta, por complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la práctica.
  • 3) Problemas para los cuales existen métodos sencillos pero que, para elementos que se emplean en la práctica, requieren una cantidad de cálculos excesiva; mayor que la necesaria para un método numérico.

Áreas de estudio [editar]

El análisis numérico se divide en diferentes disciplinas de acuerdo con el problema a resolver.

Cálculo de los valores de una función [editar]

Uno de los problemas más sencillos es la evaluación de una función en un punto dado. Para polinomios, uno de los métodos más utilizados es el algoritmo de Horner, ya que reduce el número de operaciones a realizar. En general, es importante estimar y controlar los errores de redondeo que se producen por el uso de la aritmética de punto flotante.

Interpolación, extrapolación y regresión [editar]

La interpolación resuelve el problema siguiente: dado el valor de una función desconocida en un número de puntos, ¿cuál es el valor de la función en un punto entre los puntos dados? El método más sencillo es la interpolación lineal, que asume que la función desconocida es lineal entre cualquier par de puntos sucesivos. Este método puede generalizarse a la interpolación polinómica, que suele ser más precisa pero que sufre el llamado fenómeno de Runge. Otros métodos de interpolación usan otro tipo de funciones interpoladoras dando lugar a la interpolación mediante splines y a la interpolación trigonométrica. Otros métodos de interpolación utilizando derivadas sucesivas de la función son mediante los polinomios de Taylor y la aproximación de Padé.

La extrapolación es muy similar a la interpolación, excepto que ahora queremos encontrar el valor de la función desconocida en un punto que no está comprendido entre los puntos dados.

La regresión es también similar, pero tiene en cuenta que los datos son imprecisos. Dados algunos puntos, y una medida del valor de la función en los mismos (con un error debido a la medición), queremos determinar la función desconocida. El método de los mínimos cuadrados es una forma popular de conseguirlo.

Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones [editar]

Otro problema fundamental es calcular la solución de una ecuación o sistema de ecuaciones dado. Se distinguen dos casos dependiendo de si la ecuación o sistema de ecuaciones es o no lineal. Por ejemplo, la ecuación 2x + 5 = 3 es lineal mientras que la ecuación 2x2 + 5 = 3 no lo es.

Mucho esfuerzo se ha puesto en el desarrollo de métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Métodos directos, i.e., métodos que utilizan alguna factorización de la matriz son el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la descomposición de Cholesky para matrices simétricas (o hermíticas) definidas positivas, y la descomposición QR. Métodos iterativos como el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel, el método de las aproximaciones sucesivas y el método del gradiente conjugado se utilizan frecuentemente para grandes sistemas.

En la resolución numérica de ecuaciones no lineales algunos de los métodos más conocidos son los métodos de bisección, de la secante y de la falsa posición. Si la función es además derivable y la derivada se conoce, el método de Newton es muy utilizado. Este método es un método de iteración de punto fijo. La linealización es otra técnica para resolver ecuaciones no lineales.

Descomposición espectral y en valores singulares [editar]

Bastantes problemas importantes pueden ser expresados en términos de descomposición espectral (el cálculo de los vectores y valores propios de una matriz) o de descomposición en valores singulares. Por ejemplo, el análisis de componentes principales utiliza la descomposición en vectores y valores propios.

Optimización [editar]

Artículo principal: Optimización (matemática)

Los problemas de optimización buscan el punto para el cual una función dada alcanza su máximo o mínimo. A menudo, el punto también satisface cierta restricción.

Ejemplos de ,problemas de optimización son la programación lineal en que tanto la función objetivo como las restricciones son lineales. Un método famoso de programación lineal es el método simplex.

El método de los multiplicadores de Lagrange puede usarse para reducir los problemas de optimización con restricciones a problemas sin restricciones.

Evaluación de integrales [editar]

Artículo principal: Integración numérica

La integración numérica, también conocida como cuadratura numérica, busca calcular el valor de una integral definida. Métodos populares utilizan alguna de las fórmulas de Newton–Cotes (como la regla del rectángulo o la regla de Simpson) o de cuadratura gaussiana. Estos métodos se basan en una estrategia de "divide y vencerás", dividiendo el intervalo de integración en subintervalos y calculando la integral como la suma de las integrales en cada subintervalo, pudiéndose mejorar posteriormente el valor de la integral obtenido mediante el método de Romberg. Para el cálculo de integrales múltiples estos métodos requieren demasiado esfuerzo computacional, siendo útil el método de Monte Carlo.

Ecuaciones diferenciales [editar]

El análisis numérico también puede calcular soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales, bien ecuaciones diferenciales ordinarias, bien ecuaciones en derivadas parciales. Los métodos utilizados suelen basarse en discretizar la ecuación correspondiente. Es útil ver la derivación numérica.

Para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias los métodos más utilizados son el método de Euler y los métodos de Runge-Kutta.

Las ecuaciones en derivadas parciales se resuelven primero discretizando la ecuación, llevándola a un subespacio de dimensión finita. Esto puede hacerse mediante un método de los elementos finitos.

Otros temas de análisis numérico [editar]

Enlaces externos [editar]

En inglés [editar]

En castellano [editar]

Referencias [editar]

CIENCIA: MAGNITUD ASTRONÓMICA. En astronomía, magnitud es la medida del brillo de una estrella. Los antiguos astrónomos griegos llamaban estrellas del primer tamaño (primera magnitud), a las estrellas más brillantes que aparecían después del ocaso solar y a las últimas que desaparecían tras la salida del Sol, y sucesivamente estrellas de segundo tamaño (segunda magnitud), tercera magnitud, etc. hasta las estrellas de sexta magnitud, las estrellas visibles sólo con oscuridad total.

Magnitud (astronomía)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En astronomía, magnitud es la medida del brillo de una estrella. Los antiguos astrónomos griegos llamaban estrellas del primer tamaño (primera magnitud), a las estrellas más brillantes que aparecían después del ocaso solar y a las últimas que desaparecían tras la salida del Sol, y sucesivamente estrellas de segundo tamaño (segunda magnitud), tercera magnitud, etc. hasta las estrellas de sexta magnitud, las estrellas visibles sólo con oscuridad total.

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Historia [editar]

En el siglo II a.C, el astrónomo y matemático griego Hiparco de Nicea reunió un catálogo de casi 1000 estrellas apreciables a simple vista, agrupándolas en seis categorías a las que denominó magnitudes. La más brillantes fueron clasificadas como de primera magnitud, las más tenues como de sexta magnitud. Esta clasificación sigue empleándose en la actualidad, aunque con modificaciones. La más significativa fue introducida en el siglo XIX por el astrónomo inglés Norman Pogson.

Escala de magnitudes [editar]

La moderna escala de magnitudes, perfectamente establecida, se basa en el brillo de las estrellas en unas condiciones determinadas. En general, cuando el brillo de una estrella es 100 veces mayor que el de otra, su magnitud es 5 unidades menor. Así cuando la magnitud aumenta en 1 el brillo disminuye en (100)1/5, es decir, en 2,512. Debido a que la escala de magnitudes se establece en base a un cociente de brillos, los brillos siguen una progresión geométrica cuando las magnitudes siguen una progresión aritmética. Esto se hace por dos motivos: por acercarse a la antigua clasificación griega de "tamaños" y por seguir la ley fisiológica de Norman Pogson. La escala actual de magnitud se ha ajustado para que coincida lo más aproximadamente posible con la magnitud de los antiguos, siempre y cuando se utilice el ojo humano para medir la magnitud, lo que se llama magnitud visual.

MagnitudVeces más tenue
0---
12,512
26,310
315,851
439,818
5100,022
6251,257

El brillo de una estrella disminuye con la distancia y con la absorción interestelar, así que las magnitudes medidas desde la Tierra son sólo magnitudes aparentes.

Tabla de magnitudes astronómicas [editar]

MagnitudEjemplo
-26Sol
-18Meteoroides más brillantes
-12Luna llena
-10Luna en cuarto
-8Máximo destello de satélites Iridium
-4Venus en máxima brillantez
-2Estrella Sirio. Júpiter en oposición.
0Estrella Vega
+1Estrella Antares
+2Estrella Polar
+3Cúmulo galáctico M7 en scorpius
+5Galaxia de Andrómeda
+7Cúmulo globular M13 en Hércules
+11Galaxia Espiral M58 en Virgo

Otros tipos de magnitudes [editar]

Hay otros tipos de magnitudes:

  • Magnitud absoluta es la magnitud que tiene una estrella colocada a una distancia determinada y sin absorción. La magnitud absoluta está relacionada con el brillo real o intrínseco.
  • Magnitud combinada es la que se mide si se observa conjuntamente un par de estrellas que están (aparentemente) cerca entre sí. El observador las mide con una magnitud conjunta que se puede averiguar a partir de las magnitudes individuales.

CIENCIA: MAGNITUD MATEMÁTICA. Magnitud Es una propiedad que poseen todos los cuerpos, fenómenos y relaciones entre ellos, que permite que puedan ser medidos y dicha medida, representada en la cantidad, puede ser expresada mediante números sobre la base de una comparación con otro cuerpo o fenómeno que se toma como patrón. La masa, el tiempo, la longitud, el volumen, la rapidez, la temperatura, entre muchas otras, son magnitudes. No debe confundirse magnitud con cantidad. La magnitud es la propiedad, la cantidad es cuánto de eso tiene la magnitud. Por ejemplo, el tiempo es una magnitud, pero 12 horas es una cantidad.

Magnitud (matemática)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Magnitud Es una propiedad que poseen todos los cuerpos, fenómenos y relaciones entre ellos, que permite que puedan ser medidos y dicha medida, representada en la cantidad, puede ser expresada mediante números sobre la base de una comparación con otro cuerpo o fenómeno que se toma como patrón. La masa, el tiempo, la longitud, el volumen, la rapidez, la temperatura, entre muchas otras, son magnitudes. No debe confundirse magnitud con cantidad. La magnitud es la propiedad, la cantidad es cuánto de eso tiene la magnitud. Por ejemplo, el tiempo es una magnitud, pero 12 horas es una cantidad.


Véase también [editar]

CIENCIA: MAGNITUD FÍSICA. Una magnitud física es un número o conjunto de números, resultado de una medición cuantitativa que asigna valores numéricos a algunas propiedades de un cuerpo o sistema físico, como la longitud o el área. Las magnitudes físicas pueden cuantificarse por comparación con un patrón o con partes de un patrón. Constituyen ejemplos de magnitudes físicas: la masa, la longitud, el tiempo, la densidad, la temperatura, la velocidad, la aceleración, y la energía.

Magnitud física

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Una magnitud física es un número o conjunto de números, resultado de una medición cuantitativa que asigna valores numéricos a algunas propiedades de un cuerpo o sistema físico, como la longitud o el área. Las magnitudes físicas pueden cuantificarse por comparación con un patrón o con partes de un patrón. Constituyen ejemplos de magnitudes físicas: la masa, la longitud, el tiempo, la densidad, la temperatura, la velocidad, la aceleración, y la energía.

La Oficina Internacional de Pesos y Medidas por medio del Vocabulario Internacional de Metrología (International Vocabulary of Metrology, VIM) define a la magnitud como un atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente.[1]

A diferencia de las unidades empleadas para expresar su valor, las magnitudes físicas se expresan en cursiva: así, por ejemplo, la "masa" se indica con "m", y "una masa de 3 kilogramos" la expresaremos como m = 3 kg.

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Tipos de magnitudes físicas [editar]

Las magnitudes físicas pueden ser clasificadas de acuerdo a varios criterios:

  • Según su forma matemática, las magnitudes se clasifican en escalares, vectoriales o tensoriales.
  • Según su actividad, se clasifican en magnitudes extensivas e intensivas.

Escalares, vectores y tensores [editar]

Las magnitudes físicas se clasifican en tres tipos:

  • Magnitudes escalares: Son aquéllas que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas para su medida. Esto es, las magnitudes escalares están representadas por el ente matemático más simple, por un número. Podemos decir que poseen un módulo, pero que carecen de direción y sentido. Su valor puede ser independiente del observador (v.g.: la masa, la temperatura, la densidad, etc.) o depender de la posición o estado de movimiento del observador (v.g.: la energía cinética)
  • Magnitudes vectoriales: Son las magnitudes que quedan caracterizadas por una cantidad (intensidad o módulo), una dirección y un sentido. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa mediante un segmento orientado. Ejemplos de estas magnitudes son: la velocidad,la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, intensidad luminosa, etc.
Además, al considerar otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación, las magnitudes vectoriales no presentan invariancia de cada uno de los componentes del vector y, por tanto, para relacionar las medidas de diferentes observadores se necesitan relaciones de transformación vectorial. En mecánica clásica también el campo electrostático se considera un vector; sin embargo, de acuerdo con la teoría de la relatividad esta magnitud, al igual que el campo magnético, debe ser tratada como parte de una magnitud tensorial.
  • Magnitudes tensoriales (propiamente dichas): Son las que caracterizan propiedades o comportamientos físicos modelizables mediante un conjunto de números que cambian tensorialmente al elegir otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación.

De acuerdo con el tipo de magnitud, debemos escoger leyes de transformación de las componentes físicas de las magnitudes medidas, para poder ver si diferentes observadores hicieron la misma medida o para saber qué medidas obtendrá un observador conocidas las de otro cuya orientación y estado de movimiento respecto al primero sean conocidos.

Magnitudes extensivas e intensivas [editar]

Una magnitud extensiva es una magnitud que depende de la cantidad de sustancia que tiene el cuerpo o sistema. Las magnitudes extensivas son aditivas. Si consideramos un sistema físico formado por dos partes o subsistemas, el valor total de una magnitud extensiva resulta ser la suma de sus valores en cada una de las dos partes. Ejemplos: la masa y el volumen de un cuerpo o sistema, la energía de un sistema termodinámico, etc.

Una magnitud intensiva es aquélla cuyo valor no depende de la cantidad de materia del sistema. Las magnitudes intensivas tiene el mismo valor para un sistema que para cada una de sus partes consideradas como subsistemas. Ejemplos: la densidad, la temperatura y la presión de un sistema termodinámico en equilibrio.

En general, el cociente entre dos magnitudes extensivas da como resultado una magnitud intensiva. Ejemplo: masa dividida por volumen representa densidad.

Sistema Internacional de Unidades [editar]

El Sistema Internacional de Unidades se basa en dos tipos de magnitudes físicas:

Unidades básicas o fundamentales del SI [editar]

Artículo principal: Unidades básicas del SI

Las magnitudes básicas no derivadas del SI son las siguientes:

  • Longitud: metro (m). El metro es la distancia recorrida por la luz en el vacío en 1/299 792 458 segundos. Este patrón fue establecido en el año 1983.
  • Tiempo: segundo (s). El segundo es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del cesio-133. Este patrón fue establecido en el año 1967.
  • Masa: kilogramo (kg). El kilogramo es la masa de un cilindro de aleación de Platino-Iridio depositado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas. Este patrón fue establecido en el año 1887.
  • Intensidad de corriente eléctrica: amperio (A). El amperio o ampere es la intensidad de una corriente constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro, en el vacío, produciría una fuerza igual a 2×10-7 newton por metro de longitud.
  • Temperatura: kelvin (K). El kelvin es la fracción 1/273,16 de la temperatura del punto triple del agua.
  • Cantidad de sustancia: mol (mol). El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 12 gramos de carbono-12.
  • Intensidad luminosa: candela (cd). La candela es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540×1012 Hz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 vatios por estereorradián.

Unidades Fundamentales en el Sistema Cegesimal C.G.S. [editar]

  • Longitud: centímetro (cm): 1/100 del metro (m) S.I.
  • Tiempo: segundo (s): La misma definición del S.I.
  • Masa: gramo (g): 1/1000 del kilogramo (kg) del S.I.

Unidades Fundamentales en el Sistema Gravitacional Métrico Técnico [editar]

  • Longitud: metro (m). La misma definición del Sistema Internacional.
  • Tiempo: segundo (s).La misma definición del Sistema Internacional.
  • Fuerza: kilogramo-fuerza (kgf). El peso de una masa de 1 kg (S.I.),en condiciones normales de gravedad (g = 9,80665 m/s2 ).

Magnitudes físicas derivadas [editar]

Artículo principal: Unidades derivadas del SI

Una vez definidas las magnitudes que se consideran básicas, las demás resultan derivadas y se pueden expresar como combinación de las primeras.

Las unidades derivadas se usan para las siguientes magnitudes: superficie, volumen, velocidad, aceleración, densidad, frecuencia, periodo, fuerza, presión, trabajo, calor, energía, potencia, carga eléctrica, diferencia de potencial, potencial eléctrico, resistencia eléctrica, etcétera.

Algunas de las unidades usadas para esas magnitudes derivadas son:

Véase también [editar]

Referencias [editar]

  1. JCGM (2008). «International Vocabulary of Metrology – Basic and General Concepts and Associated Terms (VIM) 3rd Ed.» (en inglés) (pdf) pág. 16. Consultado el 07-03-2010.

Enlaces externos [editar]

CIENCIA: MAGNITUD. Medida logarítmica de la intensidad relativa del brillo de los objetos celestes, medida que es mayor cuanto menor es su luminosidad. Fís. Propiedad física que puede ser medida; p. ej., la temperatura, el peso, etc.

Magnitud

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El término magnitud puede referirse a:


CIENCIA: VOLUMEN. El volumen es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones. En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico. En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli. La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica. V = m / densidad

Volumen

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Para otros usos de este término, véase Volumen (desambiguación).

El volumen es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.

En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.

En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.

La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica. V = m / densidad

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Relación entre Capacidad y Volumen [editar]

La "capacidad" y el "volumen" son términos que se encuentran estrechamente relacionados. Se define la capacidad como el espacio vacío de alguna cosa que es suficiente para contener a otra u otras cosas. Se define el volumen como el espacio que ocupa un cuerpo. Por lo tanto, entre ambos términos existe una equivalencia que se basa en la relación entre el litro (unidad de capacidad) y el decímetro cúbico (unidad de volumen).

Este hecho puede verificarse experimentalmente de la siguiente manera: si se tiene un recipiente cualquiera con agua que llegue hasta el borde, y se introduce en él un cubo sólido cuya medida sea de 1 decímetro por lado (1 dm3), se derramará toda el agua. Esto equivaldrá a la cantidad de agua desplazada por el cuerpo al ser introducido dentro del recipiente, y el agua derramada será de 1 litro. Por tanto, puede afirmarse que:

1 dm3 = 1 litro 1 dm3 = 1.000 cm3

Unidades de volumen [editar]

Se clasifican tres categorías:

  • Unidades de volumen sólido. Miden al volumen de un cuerpo utilizando unidades de longitud elevadas a la tercera potencia. Se le dice volumen sólido porque en geometría se utiliza para medir el espacio que ocupan los cuerpos tridimensionales, y se da por hecho que el interior de esos cuerpos no es hueco sino que es sólido.
  • Unidades de volumen líquido. Éstas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan los líquidos dentro de un recipiente.
  • Unidades de volumen de áridos, también llamadas tradicionalmente unidades de capacidad. Éstas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan las cosechas (legumbres, tubérculos, forrajes y frutas) almacenadas en graneros y silos. Estas unidades fueron creadas porque hace muchos años no existía un método adecuado para pesar todas las cosechas en un tiempo breve, y era más práctico hacerlo usando volúmenes áridos. Actualmente estas unidades son poco utilizadas porque ya existe tecnología para pesar la cosecha en tiempo breve.

Unidades de volumen sólido [editar]

Sistema Internacional de Unidades [editar]

El Metro cúbico es la unidad fundamental del S.I. para volúmenes. Debe considerarse con los siguientes múltiplos y submúltiplos:

Múltiplos

Submúltiplos

Sistema inglés de medidas [editar]

Unidades de volumen líquido [editar]

Sistema internacional de medidas [editar]

La unidad más usada es el Litro, pero debe ser considerada con los siguientes múltiplos y submúltiplos:

Múltiplos

Submúltiplos

Sistema inglés de medidas [editar]

En el Reino Unido y Estados Unidos

Medidas usadas en la cocina [editar]

Otras medidas tradicionales [editar]

Véase también [editar]

Enlaces externos [editar]

CIENCIA: ASIGNAR VALORES Y NÚMEROS AL ANÁLISIS VOLUMÉTRICO (DE VOLUMEN) Y LUEGO APLICAR MAGNITUDES FÍSICAS, MATEMÁTICAS O ASTRONÓMICAS. Determinación y medida de los volúmenes. Magnitud física que expresa la extensión de un cuerpo en tres dimensiones: largo, ancho y alto. Su unidad en el Sistema Internacional es el metro cúbico (m3). Intensidad del sonido.

Análisis volumétrico

De Wikipedia, la enciclopedia libre

«Titulación» redirige aquí. Para otras acepciones, véase Titulación (desambiguación).
Proceso de titulación. El valorante cae desde la bureta en la solución de analito contenida en el erlenmeyer. Un indicador presente en la solución cambia permanentemente de color al alcanzar el punto final de la valoración

La valoración o titulación es un método corriente de análisis químico cuantitativo en el laboratorio, que se utiliza para determinar la concentración desconocida de un reactivo conocido. Debido a que las medidas de volumen juegan un papel fundamental en las titulaciones, se le conoce también como análisis volumétrico. Un reactivo llamado “valorante” o “titulador”,[1] de volumen y concentración conocida (una solución estándar o solución patrón) se utiliza para que reaccione con una solución del analito,[2] de concentración desconocida. Utilizando una bureta calibrada para añadir el valorante es posible determinar la cantidad exacta que se ha consumido cuando se alcanza el punto final. El punto final es el punto en el que finaliza la valoración, y se determina mediante el uso de un indicador (ver más adelante). Idealmente es el mismo volumen que en el punto de equivalencia—el número de moles de valorante añadido es igual al número de moles de analito, algún múltiplo del mismo (como en los ácidos polipróticos. En la valoración clásica ácido fuerte-base fuerte, el punto final de la valoración es el punto en el que el pH del reactante es exactamente 7, y a menudo la solución cambia en este momento de color de forma permanente debido a un indicador. Sin embargo, existen muchos tipos diferentes de valoraciones (ver más adelante). Pueden usarse muchos métodos para indicar el punto final de una reacción: a menudo se usan indicadores visuales (cambian de color). En una titulación o valoración ácido-base simple, puede usarse un indicador de pH, como la fenolftaleína, que es normalmente incolora pero adquiere color rosa cuando el pH es igual o mayor que 8,2. Otro ejemplo es el naranja de metilo, de color rojo con en medio ácido y amarillo en disoluciones básicas. No todas las titulaciones requieren un indicador. En algunos casos, o bien los reactivos o los productos son fuertemente coloreados y pueden servir como "indicador". Por ejemplo, una titulación o valoración redox que utiliza permanganato de potasio como disolución estándar (rosa/violeta) no requiere indicador porque sufre un cambio de color fácil de detectar pues queda incolora al reducirse el permanganato. Después del punto de equivalencia, hay un exceso de la disolución titulante (permanganato) y persiste un color rosado débil que no desaparece.

Bureta de Mohr

Debido a la naturaleza logarítmica de la curva de pH, las transiciones en el punto final son muy rápidas; y entonces, una simple gota puede cambiar el pH de modo muy significativo y provocar un cambio de color en el indicador. Hay una ligera diferencia entre el cambio de color del indicador y el punto de equivalencia de la titulación o valoración. Este error se denomina error del indicador. Por este motivo es aconsejable efectuar determinaciones en blanco con el indicador y restarle el resultado al volumen gastado en la valoración.

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Historia y etimología [editar]

La palabra "titulación" viene del vocablo latino titulus, que significa inscripción o título. La palabra francesa titre, del mismo origen, significa rango o grado. Una titulación o valoración es, por definición, la determinación del grado o concentración de una disolución con respecto a agua con pH 7 (que es el pH del H2O pura en condiciones estándar). Los orígenes del análisis volumétrico están en Francia en la química de finales del siglo XVII. François Antoine Henri Descroizilles desarrolló la primera bureta (con aspecto de un cilindro graduado) en 1791. Joseph Louis Gay-Lussac desarrolló una versión mejorada de la bureta que incluía un brazo lateral, y acuñó los términos "pipeta" y "bureta" en un artículo de 1824 sobre la estandarización de disoluciones de índigo. Un gran paso adelante en la metodología y popularización del análisis volumétrico se debe a Karl Friedrich Mohr, que rediseñó la bureta colocando un cierre con pinza y una cánula de vertido en el extremo inferior, y escribió el primer libro sobre su uso, con el título Lehrbuch der chemisch-analytischen Titrirmethode (Manual sobre métodos de titulación en Química Analítica), publicado en 1855.[3]

Preparación de una muestra para titulación o valoración [editar]

En un titulación o valoración, tanto la sustancia patrón como el analito deben estar en fase líquida (o en disolución). Si la muestra no es un líquido o una disolución, debe ser disuelta. Si el analito está muy concentrado en la muestra a analizar, suele diluirse. Aunque la amplia mayoría de las titulaciones se llevan a cabo en disolución acuosa, pueden usarse otros disolventes como ácido acético o etanol con igual finalidad, para determinados análisis. Una cantidad medida de muestra se coloca en un frasco donde se disuelve y se diluye si es necesario. El resultado matemático de la valoración puede calcularse directamente mediante la cantidad de valorante medida. Cuando la muestra ha sido disuelta o diluida previamente a la valoración, la cantidad de disolvente utilizado para disolver o diluir debe ser bien conocida (generalmente es un coeficiente entero) para poder considerarlo en el resultado matemático de la valoración de la muestra original. Muchas valoraciones requieren un cierto control del pH de la reacción. Para ello, se usan disoluciones amortiguadoras añadidas en el frasco de la disolución a analizar para mantener el pH de la solución. En otros casos se debe enmascarar un cierto ión: esto es necesario cuando hay dos reactivos en la muestra que pueden reaccionar con la sustancia patrón y solo queremos valorar uno de ellos, o bien cuando la reacción puede ser inhibida o alterada por la presencia de ese ión. Se procede añadiendo otra disolución a la muestra para enmascarar o secuestrar el ión no deseado, mediante la formación de un enlace débil con él o incluso formando una sustancia insoluble. Algunas reacciones redox pueden requerir calentar la disolución con la muestra y valorar mientras está todavía caliente (para incrementar la velocidad de reacción). Por ejemplo, la oxidación de ciertas soluciones de oxalato requiere calentar la solución hasta unos 60 grados centígrados para mantener una adecuada velocidad de reacción.

Procedimiento [editar]

Una titulación o valoración comienza con un vaso de precipitados o matraz Erlenmeyer conteniendo un volumen preciso del reactivo a analizar y una pequeña cantidad de indicador, colocado debajo de una bureta que contiene la disolución estándar. Controlando cuidadosamente la cantidad añadida, es posible detectar el punto en el que el indicador cambia de color. Si el indicador ha sido elegido correctamente, este debería ser también el punto de neutralización de los dos reactivos. Leyendo en la escala de la bureta sabremos con precisión el volumen de disolución añadida. Como la concentración de la disolución estándar y el volumen añadido son conocidos, podemos calcular el número de moles de esa sustancia (ya que Molaridad = moles / volumen). Luego, a partir de la ecuación química que representa el proceso que tiene lugar, podremos calcular el número de moles de la sustancia a analizar presentes en la muestra. Finalmente, dividiendo el número de moles de reactivo por su volumen, conoceremos la concentración buscada.

Curvas de valoración [editar]

Una curva típica de valoración de un ácido diprótico, ácido oxálico, titulado con una base fuerte, hidróxido sódico. Son visibles los dos puntos de equivalencia, a 15 y 30 mL

Las valoraciones se representan mediante curvas de valoración, en las que suele representarse como variable independiente el volumen añadido de disolución estándar, titulante o patrón, mientras la variable dependiente es la concentración del analito en la etapa correspondiente de valoración (en una valoración ácido-base es generalmente el pH de la disolución, que cambia según la composición de las dos disoluciones). En el caso de las valoraciones ácido-base, las curvas de valoración reflejan la fuerza del ácido y de la base correspondientes. Por ejemplo, en una valoración de ácido fuerte con una base débil, la curva de valoración será relativamente lisa, aunque muy escarpado para puntos cerca el punto de equivalencia de la valoración. En este caso, pequeños cambios en el volumen del valorante producen cambios grandes del pH cerca del punto de equivalencia. En este caso, una amplia gama de indicadores sería apropiada (por ejemplo el tornasol, la fenolftaleína o el azul de bromotimol). Por otro lado, si uno de los componentes de una valoración ácido-base es un ácido débil o una base débil, y el otro es un ácido fuerte o una base fuerte, la curva de valoración es claramente irregular cerca del punto de equivalencia (y el pH no cambia "tanto" con la adición de pequeños volúmenes de valorante). Como ejemplo, la curva de valoración del ácido oxálico (un ácido débil) con hidróxido de sodio (una base fuerte) se ha representado en la imagen anterior. Aquí, el punto de equivalencia ocurre a un pH de aproximadamente 8-10, y así el analito es básico en el punto de equivalencia (con más precisión, la sal sódica producida por la reacción de hidrólisis en el agua para producir iones hidróxido). Un indicador como la fenolftaleína sería apropiado para esta valoración en particular. La curva de valoración correspondiente a una valoración de una base débil con un ácido fuerte ácida se comporta de modo similar. En este caso, indicadores como el naranja de metilo o el azul de bromotimol se utilizan habitualmente. Por otro lado, las valoraciones ácido-base en las que los componentes son una base y un ácido débil, son de naturaleza bastante irregular. Debido a la naturaleza de tales valoraciones, no hay ningún indicador químico apropiado, y por ello a menudo se utiliza el pHmetro.

Tipos de valoraciones [editar]

Las valoraciones se clasifican por el tipo de objeto a analizar:

NaX(ac) + AgNO3(ac) → AgX(s) + NaNO3(ac) donde X = F-, Cl-, Br-, I-, SCN-

Valoración ácido-base [editar]

Artículo principal: Neutralización (química)
IndicadorColor en medio ácidoRango de cambio de colorColor en medio básico
Violeta de metiloAmarillo0.0 - 1.6Violeta
Azul de bromofenolAmarillo3.0 - 4.6Azul
Naranja de metiloRojo3.1 - 4.4Amarillo
Rojo de metiloRojo4.4 - 6.2Amarillo
TornasolRojo5.0 - 8.0Azul
Azul de bromotimolAmarillo6.0 - 7.6Azul
FenolftaleínaIncolora8.3 - 10.0Rosa
Amarillo de alizarinaAmarillo10.1 - 12.0Rojo

Estas valoraciones están basadas en la reacción de neutralización que ocurre entre un ácido y una base, cuando se mezclan en solución. El ácido (o la base) se añade a una bureta previamente lavada con el mismo ácido (o base) antes de esta adición. La base (o el ácido) se añade a un matraz Erlenmeyer previamente lavado con agua destilada antes de la adición. La solución en el matraz es a menudo una solución estándar; cuya concentración es exactamente conocida. La solución en la bureta es la solución cuya concentración debe ser determinada por la valoración. El indicador usado para la valoración ácido-base a menudo depende de la naturaleza de los componentes como se ha descrito en la sección anterior. Los indicadores más comunes, sus colores, y el rango de pH del cambio de color se muestran en la tabla anterior. Cuando se requieren resultados más exactos, o cuando los componentes de la valoración son un ácido y una base débil, se utiliza un pHmetro o un medidor de conductancia.

Valoración redox [editar]

Artículo principal: Valoración redox

Estas valoraciones están basadas en una reacción de redox entre un agente oxidante y un agente reductor. El agente oxidante (o el agente reductor) se añade en la bureta previamente lavada con el mismo agente oxidante. El reductor (o el agente oxidante) se añade en el matraz erlenmeyer, previamente lavado con agua destilada. Como en una valoración ácido-base, la solución estándar es la que se coloca a menudo en el matraz, y la solución cuya concentración debe ser determinada se coloca en la bureta. El procedimiento para realizar las valoraciones redox es similar al requerido para realizar las valoraciones ácido-base.

La mayoría de las veces se utiliza un el potenciómetro o un indicador redox para determinar el punto final de la valoración. Por ejemplo, cuando uno de los componentes de la valoración es el agente oxidante dicromato de potasio, el cambio de color de la solución de naranja a verde no es definido y se utiliza un indicador como la difenilamina. El análisis de vinos para determinar su contenido de dióxido de azufre requiere el empleo de yodo como un agente oxidante. En este caso, se utiliza almidón como indicador; un complejo de almidón-yodo azul se forma en el momento en que un exceso de yodo está presente, señalando así el punto final de la valoración.

Por otro lado, algunas valoraciones redox no requieren un indicador, debido al color intenso de alguno de los componentes. Por ejemplo, en una valoración donde está presente el agente oxidante permanganato de potasio, un color rosado que persiste señala el punto final de la valoración, y por lo tanto no se requiere ningún indicador particular.

Valoración complexométrica [editar]

Artículo principal: Equilibrio de complejos

Estas valoraciones están basadas en la formación de un complejo entre el analito y el valorante. El agente quelatante EDTA se utiliza muy frecuentemente para valorar iones metálicos en solución. Estas valoraciones generalmente requieren un indicador especializado que forma complejos más débiles con el analito. Un ejemplo común es el Negro de Eriocromo T para la valoración de los iones de calcio y magnesio.

Valoración de potencial Zeta [editar]

Artículo principal: Valoración de potencial Zeta

Estas valoraciones son caracteristicas de sistemas heterogéneos, como los coloides. El potencial Zeta juega el papel de indicador. Uno de los objetivos es la determinación del punto isoeléctrico cuando la carga superficial se hace 0. Esto puede se puede alcanzar cambiando el pH o añadiendo surfactante. Otro objetivo es la determinación de la dosis óptima de sustancia química para la floculación o la estabilización.

Medida del punto final de una titulación o valoración [editar]

Hay diferentes métodos para determinar el punto final o punto de equivalencia:

  • Indicadores: Son sustancias que cambian de color en respuesta a un cambio químico.
    • Indicador de pH o indicador ácido-base: Un indicador ácido-base (como la fenolftaleína) cambia de color dependiendo del pH del medio.
    • Indicador Redox. Una gota de disolución de indicador es añadida al principio de la titulación o valoración; cuando el color cambia, se ha alcanzado el punto final.
      pH-metro, un medidor de pH de la marca Dosimat
  • Potenciómetro: Son instrumentos que miden el potencial de electrodo de la disolución. Se usan para valoraciones redox; el potential del electrodo de trabajo cambiará bruscamente en el punto final.
  • Medidor de pH o pH-metros: Son potenciómetros que usan un electrodo cuyo potencial depende de la cantidad de ión H+ presente en la disolución. Es un ejemplo de un electrodo de ión selectivo que permite medir el pH de la disolución a lo largo de la valoración. En el punto final, cambiará bruscamente el pH medido. Puede ser un método más preciso que el uso de indicadores, y es fácil de automatizar.
  • Conductancia: La conductividad de una disolución depende de los iones presentes en ella. Durante muchas titulaciones, la conductividad cambia de modo significativo. Por ejemplo, durante una valoración ácido-base, los iones H+ y OH- formando agua neutra, H2O. Esto cambia la conductividad de la disolución. La conductancia total de la disolución depende también de los otros iones presentes en la disolución (como los contraiones). No todos ellos contribuyen de igual manera a la conductividad que también dependerá de la movilidad de cada ión y de la concentración total de iones (fuerza iónica). Luego, predecir el cambio en la conductividad es más difícil que medirla.
  • Cambio de color: En algunas reacciones, la disolución cambia de color sin presencia de indicador. Es frecuente en valoraciones redox, por ejemplo, cuando los diferentes estados de oxidación de productos y reactivos poseen diferentes colores.
  • Precipitación: Si se forma un sólido en la reacción, y luego precipita. Un ejemplo es la reacción entre Ag+ y Cl- que forma una sal muy insoluble, AgCl. Esto dificulta determinar con precisión el punto final. Por ello, a veces se prefiere hacer una titulación inversa.
  • Una valoración calorimétrica o titulación isotérmica usa el calor producido o consumido en la reacción para determinar el punto final. Es un método importante en bioquímica, como en la determinación de qué substratos se enlazan a las enzimas.
  • Titulación termométrica es una técnica muy versátil. Se diferencia de la anterior por el hecho de que no se determina un aumento o caída de temperatura como indicativo del punto final, sino que se mide la velocidad de cambio de la temperatura.
    Titulación con determinación del punto final por cambio de color
  • Espectroscopía: Puede usarse para medir la absorción de luz por la disolución durante la valoración, y si el espectro del reactivo, sustancia patrón o producto es conocido, podría medirse su evolución con cantidades bastante pequeñas que permitirían conocer el punto final.
  • Amperometría o valoración amperométrica: Se usa como técnica de detección analizando la corriente eléctrica debida a la oxidación o reducción de los reactivos o productos en un electrodo de trabajo que dependerá de la concentración de las especies en disolución. El punto final se detecta por un cambio en la corriente. Este método es el más útil cuando hay que reducir un exceso de la sustancia valorante (valoración por retroceso), como es el caso de la valoración de haluros con Ag+.

Valoración por retroceso [editar]

El método de valoración por retroceso se usa cuando se invierte el sentido de la valoración, cambiando la sustancia a valorar. En vez de valorar el analito original se añade un exceso conocido de reactivo estándar a la disolución, y luego se valora el exceso. Este método es útil si el punto final de la valoración por retroceso es más fácil de identificar que el punto final de la valoración normal. Se usa también si la reacción entre el analito y la sustancia titulante es muy lenta.

Algunos usos particulares [editar]

  • La valoración de biocombustible es el acto de determinar la acidez de una muestra de combustible de origen vegetal mediante la adición de una base a la muestra mientras se comprueba con papel indicador que el pH final es 7. Sabiendo cuánta base neutraliza una cantidad de biocombustible, conoceremos cuanta base en total añadiremos al lote completo.
  • La valoración en petroquímica o en la industria alimentaria se usa para definir las propiedades de aceites, grasas y substancias similares.[5]

Algunas valoraciones aplicables a lípidos [editar]

  • Número ácido: Determina el nivel de ácidos grasos libres presentes en un biocombustible. El número ácido total es la cantidad de base, expresada en miligramos de hidróxido de potasio que se requiere para neutralizar todos los componentes acídicos presentes en un gramo de muestra.
  • Grado de acidez: Se realiza una titulación ácido-base con indicador de cambio de color para determinar el contenido de ácido graso libre en una muestra y comprobar así su acidez.
  • Número de iodo o Índice de yodo: Es una medida del grado de insaturación de los componentes de una grasa. Será tanto mayor cuanto mayor sea el número de dobles enlaces C=C por unidad de grasa, utilizándose por ello para comprobar la pureza y la identidad de las grasas. Es la cantidad (gramos) de yodo absorbidos por 100 gramos de grasa.

El número de yodo oscila entre 0 (ácidos grasos saturados) a 350. Una valoración redox con cambio de color permite indicar la cantidad de ácido graso insaturado libre en una muestra.[6]

  • Número de saponificación: La saponificación consiste en una hidrólisis alcalina de una muestra grasa (con KOH o NaOH). Los lípidos derivados de ácidos grasos (ácidos monocarboxílicos de cadena larga) dan lugar a sales alcalinas (jabones) y alcohol, que son fácilmente extraíbles en medio acuoso.

El número de saponificación no es más que los miligramos de KOH necesarios para saponificar 1 gramo de materia grasa. Esta prueba es otra prueba cualitativa que podemos aplicar a los lípidos. Esta nos permite ver si el tipo de lípido es saponificable (contiene ácidos grasos) o no (no contiene ácidos grasos). Se realiza una valoración ácido-base por retroceso con indicador de cambio de color o valoración potenciométrica para obtener una idea de la longitud media de la cadena de ácidos grasos en una grasa.

Referencias [editar]

  1. Compendium for basal practice in biochemistry, 2008 ed.. Aarhus University
  2. « editorial=Sci-Tech Dictionary titrand».
  3. Louis Rosenfeld. Four Centuries de Clinical Chemistry. CRC Press, 1999, p. 72-75.
  4. Presentación (ppt) sobre volumetrías. Ver enlace [1]
  5. Ejemplos de valoración en petroquímica o en la industria alimentaria [2].
  6. Caracterización de lípidos. http://www.pucmmsti.edu.do/cienciasfisiologicas/LIPIDOS-SIB.PDF

Enlaces externos [editar]