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FILOSOFÍA24: SUCESIONES. Serie de elementos que se suceden unos a otros, ya sea en el espacio, en el tiempo o en un orden.

Sucesión matemática

En matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos.

Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie.

En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas.

Cuando abundan sucesiones de todo tipo se puede cambiar incluso el nombre de sucesión por otro.

Véase secuencia, tupla, colección, familia y conjuntos en matemáticas.

Contenido

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[editar] Definiciones

Las diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva.

[editar] Definición abstracta

Clase de finitos o numerables objetos ordenados.....

[editar] Definición conjuntista

Una sucesión en un conjunto X es una enumeración de elementos de X, es decir una aplicación de mathbb{N} en X.

[editar] Notación

Notaremos por left{{x_n}right}_{nepsilonmathbb{N}} a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos left{{y_n}right}_{nepsilonmathbb{N}}.

La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.

[editar] Definición de término general

Llamaremos término general de una sucesión a x_n^{},donde {nepsilonmathbb{N}} indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.

[editar] Definición de parcial

Llamaremos parcial de left{{x_n}right}_{nepsilonmathbb{N}} a una sucesión left{{x_{n_i}}right}_{n_iepsilonmathbb{N}} donde n_i^{}<n_{i+1}^{}

[editar] Ejemplos en distintas áreas

Estos ejemplos pretenden ser una pequeña muestra de la infinidad, propiamente dicha, de usos que tienen dichas sucesiones en matemáticas.

El trabajo interno en el desarrollo de cada tema en cada área obliga a diversificar el modo de nominar y notar las sucesiones, haciéndose frecuente el uso de índices, subíndices y superíndices para salvar la sobrecarga de notación y hacerlas más legibles y estéticas en cuanto a la presentación.

[editar] En mathbb{C}^n

Se puede tener una sucesión left{{V^{(i)}}right}_{iepsilonmathbb{N}} tal que  {V^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_n^{(i)}),donde; a_j^{(i)}}in mathbb{C}

[editar] En el espacio de las sucesiones finitas en mathbb{C}

Se puede tener una sucesión left{ {a^{(i)}}right}_{iepsilonmathbb{N}} tal que  {a^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_{n_i}^{(i)} ,0,...),donde; a_j^{(i)}}in mathbb{C}-left{0right}

[editar] En K[x]

Un polinomio P(x) in K[x] no es más que una sucesión finita left{{a_n}right}_n tal que a_n in K representada como P(x)_{}^{}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n.

[editar] En  M_{m times n}(k)

Se puede tener una sucesión left{{A_i}right}_{i in mathbb{N}} tal que A_i:= begin{pmatrix} a_{1,1}^{(i)} & ldots & a_{1,n}^{(i)}  vdots && vdots  a_{m,1}^{(i)} & ldots & a_{m,n}^{(i)} end{pmatrix}, donde a_{j,k}^{(i)} in K.

[editar] En un espacio vectorial topológico

Se puede tener una sucesión left{{V_{i}^{}}right}_{iepsilonmathbb{N}}, donde  V_n^{}:= alpha_n B, donde  alpha_n in mathbb{R} es una sucesión real arbitraria y B un abierto.

[editar] Sucesiones funcionales

Se puede tener una sucesión de funciones continuas left{{{f(x)}_n}right}_{nepsilonmathbb{N}}=sin(x)^n.

[editar] En el lenguaje proposicional

Sea A_{}^{} un alfabeto, llamaremos A_{}^n al conjunto de sucesiones finitas de n elementos de A, se define inductivamente por la sucesión de productos cartesianos siguiente: A^1=A, A^2=Atimes A, ... , A^n:=A^{n-1}times A

  • así {<}a_1,...,a_n>:={<<}a_1,...,a_{n-1}{>},a_n{>}in A^n {,y;} a_i:={<}a_i{>}in A.

[editar] En homología simplicial

El complejo de cadenas simplicial del complejo simplicial K, no es más que una determinada sucesión de grupos abelianos y morfismoskate

[editar] En el lenguaje de las categorías

Sea  mathcal{A} una categoría, podemos tener una sucesión left{{A_n}right}_{n in mathbb{N}}, donde A_{n}^{} in Ob({ mathcal{A} }).

[editar] Sucesiones numéricas

Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los naturales en los reales, es decir :

 begin{matrix} u:& mathbb{N} & to & mathbb{R}  & n & to & u_n end{matrix}

que escribiremos simplemente como left{{u_n}right}_{n in mathbb{N}} o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también vale left{{u_n}right}_{n geq 0}.

El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales, así, si la imagen de u_{}^{} fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo frac{a}{b}, ; b neq 0, podemos llamarla sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ... .

[editar] Notas y ejemplos básicos

Para definir término a término la sucesión, se indica para cada termino el valor que le corresponde directamente:

  • El primero es u_0^{}= a por ejemplo 3,
  • el segundo es u_1^{}= a por ejemplo -10,
  • el tercero es u_2^{}= a por ejemplo 9, y así sucesivamente.
  • Para indicar, si hace falta, el comportamiento del resto de los valores, se usa el término general y se escribe acompañado como , ; ... ; ,u_n^{}= a por ejemplo número al azar, ... .
Los puntos suspensivos dan por entendido que los valores de la sucesión se omiten ya que estos quedan claramente determinados hasta el infinito, siendo el n-ésimo valor, u_n^{}=, el portador del método para generar el valor de cada término, y el nombre n_{}^{} puede ser cambiado, si hace falta, por i_{}^{}, j_{}^{}, k_{}^{}, l_{}^{}, ... .

Materialmente seria: 3, -10, 9, 7, ... , número al azar, ... .

[editar] Sucesión finita

Diremos que una sucesión es finita si determinamos su último termino, por ejemplo el n-ésimo:

Genéricamente:  a_0, ; a_1, ; a_2, ; ... ; , ; a_i , ; ... ; , ; a_n , donde a_i^{} sería el término general si hiciese falta. ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0.

[editar] Sucesión constante

Diremos que una sucesión es constante si todos los términos valen un mismo valor, a_{}^{}, es decir, un mismo número real cualquiera, ejemplo:

Genéricamente u_0^{} = a, ; u_1 = a, ; u_2 = a, ; u_3 = a, ; ... ; , ; u_i = a,;... . ejemplo: si a_{}^{}=1 queda como 1, 1, 1, 1, ... ,1 ,... , es decir, que todos los valores son el mismo, 1.

[editar] Sucesión creciente

Si imponemos al termino general, de una sucesión numérica, la condición que a_i^{} < a_{i+1}, es decir, que el siguiente término,  a_{i+1}^{}, siempre sea mayor estricto que su predecesor, a_i^{}, se llaman sucesiones estrictamente crecientes:

Para naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... . Para enteros: -10, -9, -8, -7, -6, ... . Para reales: -2'01, ; -1, ; 0, ; sqrt{2}, ; e_{}^{}, ; pi, ; ,;....

Si imponemos a_i^{} leq a_{i+1}, es decir, una desigualdad no estricta, entonces se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.

[editar] Sucesión decreciente

Al igual que las crecientes tenemos, según el termino general, que:

  • si a_i^{} geq a_{i+1} entonces la sucesión es decreciente,
  • si a_i^{} > a_{i+1} es estrictamente decreciente.

[editar] Sucesión alternada

Intuitivamente se llama sucesión alternada cuando alterna valores de signo opuesto, como an = ( − 1)n que nos genera la sucesión: a0=1, -1, 1, -1, 1, -1, ... . Utilizada por las series llamadas series alternas.

[editar] Según el término general

El termino general de la sucesión queda definido de forma explícita si su valor está en función del valor del subíndice, es decir, si  u_i^{} = f(i) donde  f: mathbb{N} to mathbb{R} es una función cualquiera como por ejemplos:

 u_i^{} = i + 1 que daría la sucesión de naturales sucesivos, es decir, 1, 2, 3, 4, 5, ... .  u_i^{} =2 i que daría todos los números pares incluido el cero, es decir, 0, 2, 4, 6, 8, ... .  u_i^{} = i^2 que daría la sucesión de cuadrados siguiente, 0, 1, 4, 9, 16, ... .

Dada una función  f: mathbb{N} to mathbb{R} , llamaremos extensión en los reales de f_{}^{} a una función  P: mathbb{R} to mathbb{R} cuyos valores coinciden en el dominio de f_{}^{}, es decir, f_{ | mathbb{N}}=P_{ | mathbb{N}}.

  • Error fatal es nombrar a la extensión en los reales con el mismo nombre ¡ f: mathbb{R} to mathbb{R} !, pues, se trata de una asociación totalmente arbitraria y no univoca que trae confusión y no tiene sentido para algunas funciones definidas a trozos. Compruébese que  f(i)=u_i^{}=f(i)+sin(i pi) solo si la sucesión que determinan sobre los enteros es la misma, pero ¡no son la misma función!, llamemos a la extendida por ejemplo  P_{}^{}, ; Q_{}^{}, ; phi_{}^{} o  psi_{}^{} si es un polinomio, o g_{}^{} o h_{}^{} si son funciones trigonométricas, agregando subíndices si hace falta.

Perturbación.GIF

La función f puede adquirir propiedades de la extendida P, si existe P con dichas propiedades, como límites al infinito, monotonía, acotaciones... .

Casos en los que f no puede extenderse sobre los reales:

  • si definimos un como el número de factores propios de n.

El término general de la sucesión queda definido de forma implícita si su valor depende de sus predecesores, esto se indica en general del modo siguiente:

Dados previamente los valores de u_0, ; u_1,; ... ; ,; u_n, podemos definir el término general de forma inductiva como u_{i+1} = f(u_{i-n}, ; ... ; , u_i) , ; i ge n como por ejemplo con la ecuación en diferencias u_{i+1} = a_0 u_{i-n} + ; ... ; + a_n u_i  + b_n , ; i ge n, ; a_0, ; ... ; , ; a_n, ; b_n in mathbb{R} .

[editar] Ejemplos

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

 


El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en castellano bajo la licencia GFDL.


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