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MATEMÁTICAS4: ¿CREE QUE TAL VEZ HUBO UNA OMISIÓN EN EL TIEMPO O UNA DISCONTINUIDAD? Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

Clasificación de discontinuidades

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

Considérese una función f(x), de variable real x, definida para todo valor de x excepto posiblemente para un cierto valor x0. Es decir, f(x) está definida para x < x0 y para x > x0. Definamos también:

  • el límite por izquierda en x0, es decir, el límite al aproximarse al valor x = x0 mediante valores menores a x0, como:
L^{-}=lim_{xrarr x_0^{-}} f(x)
  • el límite por derecha en x0, es decir, el límite al aproximarse al valor x = x0 mediante valores mayores a x0, como:
L^{+}=lim_{xrarr x_0^{+}} f(x)

En estas condiciones, pueden darse tres posibilidades:

  1. Los límites L y L + existen en x = x0, son finitos y son iguales. En este caso, se dice que x0 es una discontinuidad evitable (o removible) o una discontinuidad que puede salvarse.
  2. Los límites L y L + existen y son finitos, pero no son iguales. En este caso, se dice que x0 es una discontinuidad por salto.
  3. Al menos uno de los límites L y L + no existe o es infinito. En este caso, se dice que x0 es una discontinuidad esencial.

Contenido

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[editar] Tipos de discontinuidades

La discontinuidad de una función puede ser clasificada en:

    Discontinuidad    { color{Red}    left {       begin{array}{l}          Evitable           Esencial             { color{PineGreen}             left {                begin{array}{l}                   De ; primera ; especie                   { color{Blue}                   left {                      begin{array}{l}                         De ; salto ; finito                          De ; salto ; infinito                      end{array}                   right .                   }                                                         De ; segunda ; especie                end{array}             right .             }        end{array}    right .    }

[editar] Discontinuidad evitable

Se dice que f(x) presenta una discontinuidad evitable en x = a si exists lim_{xto a} f(x) y es finito pero f(a) no existe o existe pero lim_{xto a} f(x)ne f(a)

[editar] Discontinuidad esencial

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

  1. Existen los límites laterales pero no coinciden.
  2. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. Ver asíntota.
  3. No existe alguno de los límites laterales o ambos.

[editar] Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

  • Que existan lim_{xto a^{-}}f(x) y lim_{xto a^{+}}f(x) pero que no sean iguales. A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito. Y el salto viene dado por:
Salto=|lim_{xto a^{-}}f(x)-lim_{xto a^{+}}f(x)|
  • Que existan lim_{xto a^{-}}f(x) y lim_{xto a^{+}}f(x) pero que uno sea finito y otro infinito. A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto infinito.
  • Que existan lim_{xto a^{-}}f(x) y lim_{xto a^{+}}f(x) pero que los dos sean infinitos. A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x = a la asíntota.

[editar] Discontinuidad de segunda especie

Este tipo de discontinuidad se produce cuando no existe uno de los límites laterales, o ambos.

[editar] Ejemplos

Función del ejemplo 1, f1(x): una discontinuidad evitable.
  • 1. Sea la función
f_1(x)=left{begin{matrix}x^2 & mbox{ para } x<1  0 & mbox { para } x=1  2-x&  mbox{ para } x>1end{matrix}right.

El punto x0 = 1 es una discontinuidad evitable. Esta función puede hacerse contínua simplemente redefiniendo la función en este punto para que valga f1(x0) = 1.

Función del ejemplo 2, f2(x): una discontinuidad por salto.
  • 2. Sea la función
f_2(x)=left{begin{matrix}x^2 & mbox{ para } x<1  0 & mbox { para } x=1  2-(x-1)^2& mbox{ para } x>1end{matrix}right.

El punto x0 = 1 es una discontinuidad por salto.

Función del ejemplo 3, f3(x): una discontinuidad esencial.
  • 3. Sea la función
f_3(x)=left{begin{matrix}sinfrac{5}{x-1} & mbox{ para } x<1  0 & mbox { para } x=1  frac{0.1}{x-1}& mbox{ para } x>1end{matrix}right.

El punto x0 = 1 es una discontinuidad esencial, para lo cual hubiese bastado que uno de los dos límites laterales no exista o sea infinito (en este caso se cumple para ambos límites laterales: para el límite por izquierda y para el límite por derecha).

  • 4. Funciones que no son continuas en ninguna parte

Existen funciones que no son continuas en ningún punto. La más conocida es la función característica de Q, es decir la función que toma como valor 1 cuando x pertenece al conjunto de los racionales, y 0 si no.

Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y= 0, y una infinidad (menor) de puntos en la recta y= 1.

  • 5. Discontinuidad evitable.

Una función presenta un punto de Discontinuidad evitable si en ese punto se cumple que:

  1. lim_{x to a^-} f(x) = lim_{x to a^+} f(x)
  2. nexists f(a)

Pueden ser transformadas en otra función continua, dándole a f(a) el valor adecuado que la hace continua. Si modificamos una función obtenemos otra función, no la misma, por ello se dice que son evitables.

ejemplo:
Función Continua 005.svg
Función Continua 006.svg

La función:

 f(x)= frac{x^2 - 4}{x - 2}

Presenta los siguientes limites por la izquierda y por la derecha:

 lim_{x to 2^-} frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4  lim_{x to 2^+} frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4

pero la función para x= 2 no esta definida:

 f(2)= frac{x^2 - 4}{x - 2} = frac{0}{0}

en este un caso de discontinuidad evitable y además de un modo sencillo:

 f(x)= frac{x^2 - 2^2}{x - 2}

lo que es lo mismo:

 f(x)= frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}

simplificando:

 f(x)= (x + 2) ,

esta función es continua para todo x de valor real y es equivalente a la primera función, excepto en que la primera es discontinua para x= 2.

  • 6. Discontinuidad de primera especie
Función Continua 022.svg

Una función presenta una discontinuidad de primera especie en un punto x1, si en este punto se cumple que:

 lim_{x to 1^-} f(x) ne lim_{x to 1^+} f(x)

se produce un salto en los extremos.

Un ejemplo de función con discontinuidad de este estilo es por ejemplo:

f(x) = sum_{k=1}^infty frac{sin(kx)}{k}

Que es continua (y diferenciable) en todos los puntos, excepto en los puntos scriptstyle x_n = 2npi con scriptstyle n in mathbb{Z}.

  • 7. Discontinuidad de segunda especie
Función Continua 044.svg

Son las que tienen puntos para los que existe solo uno de los limites laterales o ninguno.

nexistslim_{x to x1^-} f(x) o nexistslim_{x to x1^+}f(x)

Por ejemplo la función  f(x) = sqrt{x} . Ésta tiene una discontinuidad de segunda especie en 0 pues no existe el límite:

 lim_{x to 0^-} f(x)

 

  • 8. Discontinuidad asintótica
Función Continua 031.svg

La discontinuidad viene marcada por una asíntota vertical. Se cumple lo siguiente:

lim_{x to 1^-} f(x) = pm infty  lim_{x to 1^+} f(x) = pm infty

 

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