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MATEMÁTICAS4: ¿LO ETERNO ES TAMBIÉN MATEMÁTICA? LO QUE PIENSO ES QUE CONVIENE ESTUDIAR LA POTENCIACIÓN, ¿NECESITA QUE EXISTA UN ORDEN? ES POSIBLE LA POTENCIACIÓN SIN ORDEN? ¿COMO LE AFECTA LA CAUSALIDAD? ¿OPINA QUE ES CORRECTO ESTUDIAR ESTO, LA POTENCIACIÓN? ¿LE PARECE PRUDENTE? ¿UN PUNTO FIJO, SE PUEDE CONSIDERAR ETERNO?

Potenciación

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LOS PROBLEMAS EN LA FÍSICA. QUIZÁS CONVENGA VOLVER A ESTUDIAR LO VISTO AQUÍ DE LOS PROBLEMAS SI BLOQUEAN LA MENTE Y EL SISTEMA.
LO MEJOR, LA CATEGORÍA, LA ELECCIÓN, LA INTELIGENCIA Y LAS OPCIONES.
SE NOS DIÓ UNA NATURALEZA MUY SENSIBLE.
¿QUÉ ES LO MÁXIMO EN MATEMÁTICAS Y EN LA VIDA? NUESTRA MÁXIMA ASPIRACIÓN ES LA FELICIDAD.
LAS LEYES DE LA RELATIVIDAD MATEMÁTICAS
¿QUÉ ES EL ÉXITO, QUIENES TRIUNFAN EN NUESTRA SOCIEDAD O QUIENES TIENEN SUERTE? ANALICEMOS A LOS HADOS Y A LA GENTE CON SUERTE, QUE SE ENCAMINA FACILMENTE HACIA SUS FINES U OBJETIVOS.
¿QUE SUPONEN LOS PROBLEMAS PARA LA MATEMATICA?
¿ESTÁ TODO RELACIONADO CAUSALMENTE O LÓGICAMENTE COMO EN EL LENGUAJE, HAY MAGIA Y MARAVILLAS EN ESTO?
¿AVANZAMOS Y RETROCEDEMOS EN EL UNIVERSO ENTENDIDO COMO SISTEMA?
PIENSE EN EL ORDEN
PIENSE EN TODO LO QUE SE HA VISTO HASTA AHORA
¿SON LOS NÚMEROS MARAVILLOSOS, PODEROSOS Y MÁGICOS? PIENSE EN ESTO.
¿SE PUEDE MATEMATIZAR TODO? ¿HAY COSAS QUE NO SON POSIBLES? ¿CUESTIÓN DE POTENCIACIÓN?
LAS CORRESPONDENCIAS ¿SON SIEMPRE LÓGICAS?
¿ES VIABLE QUE NO SEAN LÓGICAS?
PODRIAMOS EMPEZAR POR ESTUDIAR LO QUE ES IMPOSIBLE

La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.

Se escribe an, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

  • Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.
a^n = underbrace{a times cdots times a}_n,

Por ejemplo:  2^4 = 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 = 16 .

  • cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.
a^{-p}= frac{1}{a^p}
  • cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:
 a^{frac{n}{m}} = sqrt[m]{a^n}

Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 00 que, en principio, no está definido (ver cero).

La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.

Contenido

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[editar] Propiedades de la potenciación

[editar] Potencia de exponente 0

Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:

1 = frac {a^1} {a^1} = a^{1-1} = a^0,

[editar] Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:

a^1 = a ,

Ejemplo:

54^1=54 ,

[editar] Potencia de exponente negativo

Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo:

a^{-n} = a^{0-n} = frac {a^0}{a^n} = frac {1}{a^n},

[editar] Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

 a^m cdot a^n = a^{m + n}

Ejemplos:

 9^3 cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5

[editar] División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes respectivos:

 frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}

Ejemplo:

 frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2

[editar] Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b y de exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b también elevado a n:

(a cdot b)^n=a^n cdot b^n

[editar] Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

 {(a^m)}^n = a^{m cdot n}

Debido a esto, la notación a^{b^c} se reserva para significar a^{(b^c)} ya que {(a^b)}^c se puede escribir sencillamente como abc.

[editar] Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

 (a cdot b)^n = a^n cdot b^n  left(frac{a}{b}right)^n = frac{a^n}{b^n}

[editar] Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

(a + b)^m  neq  a^m + b^m (a - b)^m  neq  a^m - b^m

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:

a^b  neq  b^a

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

a^{b^c}=a^{(b^c)}ne (a^b)^c=a^{(bcdot c)}=a^{b c}

[editar] Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones como indique el valor absoluto del exponente: hacia la izquierda si el exponente es positivo, o hacia la derecha si el exponente es negativo.

Ejemplos:

 10^{-5}=0,00001 , 10^{-4}=0,0001 , 10^{-3}=0,001 , 10^{-2}=0,01 , 10^{-1}=0,1 , 10^0=1 , 10^1=10 , 10^2=100 , 10^3=1.000 , 10^4=10.000 , 10^5=100.000 , 10^6=1.000.000 ,

[editar] Potencia de números complejos

Artículo principal: Fórmula de De Moivre

Para cualquiera de los números reales a,b,c,d , se tiene la identidad:

left(a,e^{i,b}right)^{left(c,e^{i,d}right)}=a^{c,cos d},e^{i,left( c,log a,sin d+b,c,cos dright)-b,c,sin d}

[editar] Representación gráfica

gráfico de y = x^2 ,
gráfico de y = x^3 ,

La representación gráfica de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su vértice se sitúa en el punto (0, 0), es decreciente en el segundo cuadrante y creciente en el primero.

La representación gráfica de una potencia impar son dos ramas de parábola. Tiene un punto de inflexión en el vértice (0, 0), es siempre creciente, y ocupa el tercer y primer cuadrante.

Dichas curvas son continuas y derivables para todos los reales.

[editar] Límites

[editar] 00

El caso especial 00 se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas que se quieran mantener.

Por ejemplo, puede argumentarse que 00 es el igual al valor del límite

lim_{xto 0^+} x^0

y como x0 = 1 para x ne 0, dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo también puede considerarse dicha expresión como el valor del límite

lim_{xto 0^+} 0^x

y como 0x = 0 para x ne 0, dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma 00 puede corresponde a diferentes valores y por ello se considera indefinida.

El debate sobre el valor de la forma 00 tiene casi 2 siglos de antigüedad. Durante los primeros días del análisis matemático en que el fundamento formal del cálculo no se había establecido, era común aceptar que 00=1. Sin embargo, en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del análisis, lista dicha forma en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0. En los 1830s, Libri[1] [2] publicó un argumento para asignar 1 como valor de 00 y August Möbius[3] lo apoyó afirmando erróneamente que

lim_{t to 0^+} f(t)^{g(t)} = 1, siempre que lim_{t to 0^+} f(t) = lim_{t to 0^+} g(t) = 0.

Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un contraejemplo

{(e^{-1/t})}^t

cuyo límite cuando tto0^+ es 1 / e, lo cual calmó el debate con la aparente conclusión del incidente que 00 debería permanecer indefinida. Se pueden encontrar más detalles en Knuth (1992).[4]

En la actualidad, suele considerarse la forma 00 como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido. [5] [6] [7]


Para calcular límites cuyo valor aparente es 00 suele usarse la Regla de l'Hôpital.

[editar] Véase también

[editar] Referencias

  1. Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67–72.
  2. Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303–316.
  3. A. F. Möbius, Beweis der Gleichung 00 = 1, nach J. F. Pfaff, Journal für die reine und angewandte Mathematik 12 (1834), 134–136.
  4. Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403–422.
  5. Peter Alfeld. «Understanding Mathematics» (en inglés). Universidad de Utah. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «The problem is similar to that with division by zero. No value can be assigned to 0 to the power 0 without running into contradictions. Thus 0 to the power 0 is undefined!».
  6. Ask Dr. Math. (18 de marzo de 1997). «Why are Operations of Zero so Strange?» (en inglés). The Math forum. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «Other indeterminate forms are 0^0, 1^infinity.».
  7. Gentile, Enzo R. (1976) (en español). Notas de Álgebra I (2a edición). Editorial Universitaria de Buenos Aires. pp. 56. «Es útil también definir en el caso x≠0, x0=1. (00 queda indefinido).» 

[editar] Enlaces externos

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1 comentario

petalofucsia -

En el Gran Espíritu puede que sí se notase potenciación, al principio en la Memoria Divina, todo estaba más tranquilo, sin esa sensación, de potenciación, ya no digo "poder", sino potenciación, como que se contraía y se dilataba, algo así como potenciación.
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