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MATEMÁTICAS3: INTERVALO. En Análisis matemático, se denomina intervalo a la máxima división sectorial sumisa, es decir a el subconjunto de la doble implicación latente en matemáticas subconjunto conexo de la recta real.

Intervalo (matemática)

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En Análisis matemático, se denomina intervalo a la máxima división sectorial sumisa, es decir a el subconjunto de la doble implicación latente en matemáticas subconjunto conexo de la recta real. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la siguiente propiedad:

si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I.

Contenido

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[editar] Notación

Intervalo.png

Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, en el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos los puntos intermedios. Por ejemplo: en una recta tenemos un intervalo:[-2,2]entre este espacio se encuentran los números (-2-1,0,1,2) aquí se encuentra un intervalo.....ya que el espacio abarca una serie de números consecutivos que se corresponden entre sí.


También existe una regla ERRONEA para el uso del paréntesis: si se dibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como (0; 1) y (1; 2) (es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis donde corresponda), entre los dos intervalos cabe un signo 1 (o lo que corresponda según los intervalos) cabe, apretado pero cabe. Mientras que si los dos intervalos son (0, 1] y [1, 2), o (0, 1] y [1, 2) el número no cabe, o cabe muy estrangulado. O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo en medio.

[editar] Clasificación

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados y semi abiertos) o según sus características métricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita).

Aquí están todos los casos posibles, con ab, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud:

NotaciónIntervaloLongitud (l)Descripción
[a, b] , a le x le b b-a ,Intervalo cerrado de longitud finita.
[a, b[   mathrm{ acute o }    [a, b) ! a le x < b!b-a ,Intervalo cerrado en a, abierto en b (semicerrado, semiabierto).
]a, b]   mathrm{ acute o }    (a, b] !a < x le bb-a ,intervalo abierto en a, cerrado en b.
]a, b[   mathrm{ acute o }    (a, b) !a<x<b !b-a ,intervalo abierto.
]-infty, b[   mathrm{ acute o }    (- infty, b) ! x < b !inftyIntervalo (semi) abierto.
]-infty, b]   mathrm{ acute o }    (- infty, b] ! x le b !inftyIntervalo (semi) cerrado.
[a, infty [   mathrm{ acute o }    [a, infty ) ! x ge a !inftyIntervalo (semi) cerrado.
]a, infty [   mathrm{ acute o }    (a, infty ) ! x > a !inftyIntervalo (semi) abierto.
]infty, + infty [   mathrm{ acute o }    (infty, + infty ) ! x in mathbb{R} !inftyIntervalo a la vez abierto y cerrado.
 { a } ! x=a ! 0 !intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario.
{} = emptyset!x no existeSin longitudconjunto vacío.


Un intervalo abierto o cerrado (pero no semiabierto) de longitud finita se puede también definir a partir de su centro y de su radio:

Si I = ]a, b[, su centro es c = (a + b)/2, y su radio es r = (b - a)/2. a < x < b equivale a |x - c| < r; y se interpreta como la distancia entre x y c es menor que r; se nota x ε B (c, r); B para bola abierta, término que se generaliza a cualquier espacio métrico.

De la misma manera, I = [a, b] corresponde a la condición |x - c| ≤ r. En tal caso se habla de bola cerrada. Se nota este conjunto:

_

B (c, r) = { x ε R, |x - c| ≤ r }. Es la clausura topológica de la bola abierta B (c, r) = { x ε R, |x - c| < r }.

Cuando dos variables - pongamos x e y - toman sus valores en sendos intervalos I e J, es legítimo preguntarse en que intervalo varían su suma, su diferencia, su producto y su cociente. Contestar a esta pregunta permitirá definir las cuatro operaciones sobre los intervalos.

Tomemos I = [a, b] y J = [c, d]. Entonces a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.

podemos sumar las inegualdades: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que I + J = [ a + c , b + d ].

Para la diferencia, hay que mirar primero - y : - d ≤ - y ≤ - c, y luego se puede sumar las inegualdades: a - d ≤ x - y ≤ b - c. De ahí obtenemos I - J = [ a - d, b - c ].

Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, el producto y el cociente son también sencillos: I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].

[editar] Generalización

Un entorno de centro a y radio δ es un conjunto de puntos cuya distancia a a es menor de δ. O sea:

E (a ; delta) = left{ left. x in  real   right|   |x - a| < delta right}

En particular si x ne a se denomina entorno reducido (E`).

E' (a ; delta) = left{ left. x in  real   right|   0 < |x - a| < delta right} el cual no es un intervalo pues es un conjunto disconexo entonces se cambia la x por y o p

[editar] Véase también

[editar] Referencias

El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.
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