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MATEMÁTICAS2: CUADRADO MÁGICO. Un cuadrado mágico es la disposición de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma, la constante mágica. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.

Cuadrado mágico

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Un cuadrado mágico es la disposición de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma, la constante mágica. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.

Contenido

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[editar] Introducción

Consideremos la sucesión aritmética 1, 2, 3, 4... 36 (cuadrado de orden 6), y dispongamos los números ordenadamente en dos series dispuestas en zig-zag:

123456789101112131415161718
363534333231302928272625242322212019

Resulta evidente que cualquier par de números alineados verticalmente suma lo mismo ya que a medida que nos desplazamos por las columnas, en la fila superior se añade una unidad, mientras que en la fila inferior se resta. La suma es en todos los casos la de los números extremos:

n2 + 1 = 36 + 1 = 37
123456
121110987
131415161718
242322212019
252627282930
363534333231

Si disponemos el conjunto de números en seis filas (ver tabla a la derecha), fácilmente se puede apreciar que las sumas en las distintas columnas han de ser necesariamente iguales, ya que los números se encuentran agrupados por pares tal y como estaban en el primer caso (compárese los pares de filas 1ª-6ª, 2ª-5ª y 3ª-4ª con la disposición original). Ahora sin embargo, por ser tres los pares de filas (n/2), la suma será:

M_2(n) = frac{n(n^2+1)}{2}

cantidad que se denomina constante mágica, y que en nuestro caso es n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.

Orden n345678910111213
M2 (n)1534651111752603695056718701105

 

Salta a la vista que el cuadro anterior no es un cuadrado mágico, ya que al disponerse los números de forma consecutiva, las sumas de las cifras de cada fila son cada vez mayores. Sin embargo hemos encontrado seis series de números comprendidos entre 1 y 36, de forma tal que, sin repetirse ninguno, las sumas de las series son la constante mágica. Si en vez de la disposición anterior colocamos los números consecutivamente, obtenemos una disposición en la que los números de la diagonal principal se pueden escribir de la forma (a-1)×n + a.

Calculando la suma, sabiendo que las filas a van de 1 a n:

sum_{a=1}^n (a-1){n}+a = (n+1)sum_{a=1}^n a -sum_{a=1}^n n = (n+1)frac{n(1+n)}{2} - n^2=frac{n^3+2n^2+n-2n^2}{2}=frac{n(n^2+1)}{2}

De nuevo la constante mágica. Más aún, cualquier serie de seis valores en los que no haya dos de la misma fila o columna sumará la constante mágica. Escribiendo el término i, j de la matriz como (i-1)×n + j, y tomando 6 términos cualesquiera con la condición de que ni i, ni j se repitan y varíen de 1 hasta n, la ecuación resultante será exactamente la misma que en el caso anterior y la suma, por tanto, la constante mágica.

Como se puede demostrar, la cantidad de series posibles de n números que cumplan la condición anterior es n!, 720 en cuadrados de orden 6, y ni siquiera son todas las posibles, ya que antes habíamos obtenido seis que no están incluidas entre ellas. En definitiva, siendo posible construir (n²)! matrices en las que ningún término se repita y existiendo al menos n! (en realidad muchas más) combinaciones de números que sumen la constante mágica, se comprende intituivamente que lo que sería de magia es que con tal multitud de posibilidades fuera imposible construir cuadrados mágicos.

De orden 3 existe un único cuadrado mágico (las distintas variaciones se pueden obtener por rotación o reflexión), en 1693 Bernard Frenicle de Bessy estableció que hay 880 cuadrados mágicos de orden 4 [1], posteriormente se ha encontrado que existen 275.305.224 cuadrados mágicos de orden 5; el número de cuadrados de mayor orden se desconoce aún pero según estimaciones de Klaus Pinn y C. Wieczerkowski realizadas en 1998 mediante los métodos de Montecarlo y de mecánica estadística existen (1,7745 ± 0,0016) × 1019 cuadrados de orden 6 y (3,7982 ± 0,0004) × 1034 cuadrados de orden 7.

Por lo que respecta a órdenes inferiores, es evidente que de orden uno existe un único cuadrado mágico,   1  , mientras que de orden 2 no existe ninguno, lo que se puede demostrar considerando el cuadrado mágico a, b, c, d de la figura; para que tal disposición fuera un cuadrado mágico deberían cumplirse las siguientes ecuaciones (siendo M la constante mágica o cualquier cantidad, si se quiere):

ab
cd
a + b = Ma + c = Ma + d = Mb + c = Mb + d = Mc + d = M

escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial y buscando el orden de la matriz de coeficientes, se obtiene que es tres, mientras que el número de incógnitas es cuatro, de modo que el sistema sólo tiene la solución trivial a = b = c = d = M/2 siendo imposible construir un cuadrado mágico en el que las cuatros cifras sean distintas.

Magic square Lo Shu.png

The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).
Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII,
edición de la Dinastía Ming, 1457-1463.

Biblioteca del Congreso de los EE.UU.

[editar] Historia

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En la antigua China ya se conocían los cuadrados mágicos desde el III milenio a. C., como atestigua el Lo Shu. Según la leyenda, un cierto día se produjo el desbordamiento de un río; la gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al dios del río Lo (uno de los desbordados) para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían, aparecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazón de la tortuga, de este modo pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce.

Igualmente conocieron combinaciones de esta clase los indios, egipcios, árabes y griegos. A tales cuadrados, las diferentes culturas les han atribuido propiedades astrológicas y adivinatorias portentosas grabándose con frecuencia en talismanes. Así, como recoge Cornelius Agrippa en De oculta philosophia libri tres (1533), el cuadrado de orden 3 (15) estaba consagrado a Saturno, el de 4 (34) a Júpiter, el de 5 (65) a Marte, el del 6 (111) al Sol, el del 7 (175) a Venus, el del 8 (260) a Mercurio y el de 9 (369) a la Luna; idéntica atribución puede encontrarse en la astrología hindú.

La introducción de los cuadrados mágicos en occidente se atribuye a Emanuel Moschopoulos en torno al siglo XIV, autor de un manuscrito en el que por vez primera se explican algunos métodos para construirlos. Con posterioridad, el estudio de sus propiedades, ya con carácter científico, atrajo la atención de grandes matemáticos que dedicaron al asunto obras diversas a pesar de la manifiesta inutilidad práctica de los cuadrados mágicos. Entre ellos cabe citar a Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frenicle, Bachet, La Hire, Saurin, Euler,... diríase que ningún matemático ilustre ha podido escapar a su hechizo.

Melancolía I, grabado de Alberto Durero; el cuadrado mágico aparece en la esquina superior derecha.

[editar] El cuadrado mágico de Durero

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El cuadrado mágico de Alberto Durero, tallado en su obra Melancolía está considerado el primero de las artes europeas. En el cuadrado de orden cuatro se obtiene la constante mágica (34) en filas, columnas, diagonales principales, y en las cuatro submatrices de orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los números de las esquinas, los cuatro números centrales, los dos números centrales de las filas (o columnas) primera y última, etc. y siendo las dos cifras centrales de la última fila 1514 el año de ejecución de la obra.

Algunas disposiciones particulares en el cuadrado mágico de Durero que suman la constante mágica.

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Fachada de la Sagrada Familia

[editar] El cuadrado mágico de la Sagrada Familia

La Fachada de la Pasión del Templo Expiatorio de la Sagrada Familia en Barcelona, diseñada por el escultor Josep María Subirachs, muestra un cuadrado mágico de orden 4.

La constante mágica del cuadrado es 33, la edad de Jesucristo en la Pasión. También se ha atribuido la elección de este número como una velada alusión a la supuesta adscripción masónica, que nunca ha sido demostrada, de Antonio Gaudí, ya que 33 son los grados tradicionales de la masonería. Estructuralmente, es muy similar al cuadrado mágico de Melancolía, pero dos de los números del cuadrado (el 12 y el 16) están disminuidos en dos unidades (10 y 14) con lo que aparecen repeticiones. Esto permite rebajar la constante mágica en 1.

[editar] Construcción de cuadrados mágicos

Hay numerosas formas de construir cuadrados mágicos, pero las más sencillas consisten en seguir ciertas configuraciones o fórmulas que generan patrones regulares. Además pueden imponerse condiciones adicionales al cuadrado, obteniéndose cuadrados bi-mágicos, tri-mágicos, etc. Análogamente pueden construirse círculos, polígonos y cubos mágicos.

No existe un método general para construir cuadrados mágicos de cualquier orden, siendo necesario distinguir entre los de orden impar, los de orden múltiplo de 4 y el resto de orden par (4×m + 2).

[editar] Cuadrados mágicos de orden impar (I)

Estos cuadrados pueden generarse según el método publicado en 1691 por Simon de la Loubere, llamado a veces método siamés, país en el que desempeñó el cargo de embajador de Luis XIV, método ya conocido por los astrólogos orientales. Comenzando en la casilla central de la primera fila con el primer número, se rellena la diagonal quebrada con los siguientes en sentido NO (ó NE). Completada la primera diagonal se desciende una posición y se rellena la segunda en el mismo sentido que la anterior, repitiéndose el paso anterior con el resto de diagonales hasta completar el cuadrado.

Cuadrado Mágico Impar.png

Obviamente, se podría haber comenzado en cualquiera de las casillas centrales de las filas o columnas perimetrales, siendo en cada caso la dirección de las diagonales hacia fuera del cuadrado y el sentido del desplazamiento una vez finalizada cada diagonal el dado por la posición relativa del centro del cuadrado respecto de la casilla inicial.

Resulta evidente que comenzando por cualquier otra casilla las sumas de las filas y columnas será la constante mágica, ya que la posición relativa de las cifras será la misma que en el caso anterior; sin embargo, en la diagonal paralela a la dirección de rellenado no se cumplirá esta condición (sí en la otra). De hecho, la particular elección de la casilla inicial responde a la necesidad de que en la diagonal paralela a la dirección de llenado se coloquen consecutivamente los cinco números centrales de la serie ya que cualesquiera otros cinco números consecutivos no sumarán la constante mágica.

[editar] Cuadrados mágicos de orden impar (II)

Paso 1: Se escriben los números del 1 al n². Se escribe el 1 en la casilla superior del rombo y se seguirá de forma oblicua como se ve en este ejemplo. El cuadrado mágico será un cuadrado inscrito en el rombo que hemos formado.

    1    
   6 2   
  11 7 3  
 16 12 8 4 
21 17 13 9  5 
 22 18 14 10 
  23 19 15  
   24 20   
    25    

Paso 2: Trasladamos los números de las esquinas del rombo a las casillas vacías que hay en el lado opuesto del cuadrado.

    1    
   6 2   
  11247203  
 16412258164 
21 17513219  5 
 2210181142210 
  23619215  
   24 20   
    25    

Paso 3: Quitamos las esquinas del rombo: ya tenemos un cuadrado mágico de orden impar.

11247203
41225816
17513219
101811422
23619215

[editar] Cuadrados mágicos de orden múltiplo de 4

Se construye un cuadrado con los números dispuestos consecutivamente (véase el segundo cuadrado de orden seis de la introducción), disposición en la que como sabemos, las sumas de las diagonales son la constante mágica. Una vez hecho esto, y conservando la submatriz central de orden n/2 y las cuatro submatrices de esquina de orden n/4 los números restantes se giran 180º respecto del centro del cuadrado, o si se prefiere se recolocan en orden decreciente (en ambos casos el resultado es el mismo).

Cuadrado Mágico Parmente par.png

Partiendo de la misma disposición y escogiendo patrones simétricos similares de las cifras a conservar pueden construirse cuadrados mágicos diferentes al obtenido antes, como el siguiente:

Cuadrado Mágico Parmente par2.png

[editar] Cuadrados mágicos de orden múltiplo de 4 más 2

Para construir esta clase de cuadrados se puede usar el método LUX. En parte se basa en el método de la Loubere, que se usa en la construcción de cuadrados mágicos de orden impar (ver más arriba).

Como ejemplo, vamos a construir un cuadrado mágico de lado 10.

1º paso:

Vamos a agrupar las casillas en subcuadrados de 2x2, y cada uno de ellos lo etiquetaremos de la siguiente forma:

- Los cuadrados de las k+1 primeras filas, donde k es la división entera del tamaño del cuadrado entre cuatro, se etiquetan con la letra L (3 filas en este caso).

- Los cuadrados de la siguiente fila se etiquetan con la letra U.

- Los cuadrados de las filas restantes se etiquetan con la letra X.

Estas letras más adelante nos indicarán cómo rellenar cada subcuadrado de 2x2.

                              
   L   L   L   L   L
                              
   L   L   L   L   L
                              
   L   L   L   L   L
                              
   U   U   U   U   U
                              
   X   X   X   X   X

2º paso:

Se intercambia el cuadrado U central con el cuadrado L inmediatamente superior.

                              
   L   L   L   L   L
                              
   L   L   L   L   L
                              
   L   L   U   L   L
                              
   U   U   L   U   U
                              
   X   X   X   X   X

3º paso:

Etiquetaremos cada subcuadrado de 2x2 con un número siguiendo el método de la Loubere. De esta forma indicaremos el orden en el que se va a rellenar cada subcuadrado.

17   24   1   8   15   
   L   L   L   L   L
23   5   7   14   16   
   L   L   L   L   L
4   6   13   20   22   
   L   L   U   L   L
10   12   19   21   3   
   U   U   L   U   U
11   18   25   2   9   
   X   X   X   X   X

4º paso:

Ahora, al subcuadrado i-ésimo le corresponden los números 4i - 3, 4i - 2, 4i - 1 y 4i. Por ejemplo, al subcuadrado 10 le corresponden los números 37, 38, 39, y 40.

Sólo nos falta saber cómo se colocan los cuatro números dentro de su subcuadrado correspondiente, y ahí entra en juego el etiquetado LUX.

4º número1º número
2º número3º número
Subcuadrado tipo L
1º número4º número
2º número3º número
Subcuadrado tipo U
1º número4º número
3º número2º número
Subcuadrado tipo X

Como puede verse, las letras recuerdan a la forma que hacen los números al colocarse en cada cuadrado.

Con todos estos elementos ya puede construirse el cuadrado:

686596934132296057
666794952330315859
92892017282556536461
90911819262754556263
16132421495280778885
14152223505178798687
3740454876738184912
38394647747582831011
4144697297100583336
434271709998763534

[editar] Variantes

Existen multitud de variantes de los cuadrados mágicos simples que acabamos de describir, así como métodos alternativos de construcción de los mismos que pueden encontrarse en las páginas abajo indicadas, de modo que aquí nos limitaremos a hacer una breve descripción de algunas de la variantes existentes.

494811466123
7131431323543
8302821262042
4533232527175
9342429221641
10153619183740
47239444381

 

Hay, por ejemplo, cuadrados mágicos que continúan siendo mágicos cuando se les quita una banda exterior; incluso los hay que continúan siendo mágicos si se les quita una banda y luego una segunda banda,...

El cuadrado completo de la figura, de orden 7, tiene por constante mágica 175 (los cuarenta y nueve primeros números); el cuadrado interior de orden 5 que comprende los números centrales de la serie anterior (13 a 37), también es mágico y tiene por constante mágica 125, al igual que el cuadrado de orden tres central (números 21 a 29) que tiene una constante mágica de 75.

721114
91654
631015
121381

Algunos cuadrados conservan la suma mágica a lo largo de todas las diagonales quebradas, además de filas, columnas y diagonales principales, como el de la derecha. Estas disposiciones se suelen denominar cuadrados diabólicos, aunque también se llama a veces así al cuadrado de Durero que no cumple esta condición. Éste último también se ha llamado a veces cuadrado satánico porque existen muchas combinaciones, ciertamente peculiares, de números simétricamente distribuidos a lo largo de la matriz con los que se consigue la suma mágica, como ya mostramos con anterioridad cuando hablamos de él. Al respecto cabe recordar que el número de combinaciones de n cifras, tomadas de la serie aritmética 1 a n×n, es incluso superior al de cuadrados que se pueden construir con dichas cifras, por lo que encontrar disposiciones aparentemente peculiares tales que se obtenga la suma mágica es más común de lo que se cree. Si nos fijamos por ejemplo en el cuadrado diabólico de la figura, veremos que tales disposiciones también suman 34 (las cuatro esquinas y las cuatro centrales, las cuatro submatrices de orden cuatro, etc., y además las diagonales quebradas, claro que en él no aparece la fecha de creación de Melancolía como sucedía en el cuadrado de Durero, en el que existen más de 34 combinaciones).

Si entendemos los cuadrados mágicos como matrices, con sus operaciones usuales de suma y producto, el cuadrado mágico de orden 3 tiene la interesante propiedad de que su matriz inversa vuelve a ser un cuadrado mágico que tiene valores fraccionarios positivos y negativos y cuya constante mágica es 1/15.

Éste es el cuadrado mágico de orden 3 habitual...

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...y éste es su cuadrado mágico inverso.

23/360-52/36053/360
38/3608/360-22/360
-37/36068/360-7/360

Los cuadrados p-mágicos son aquellos tales que elevadas todas las cifras del cuadrado a la k potencia, siendo 1≤kp, siguen siendo mágicos:

  • El cuadrado bi-mágico menor conocido es el de orden 8 mostrado más adelante y que tiene por constantes mágicas 260 (k=1) y 11180 (k=2). Se conjetura que no existen cuadrados bi-mágicos de orden inferior, aunque no existe prueba concluyente de ello. En 1998, J. R. Hendricks demostró que es imposible construir cuadrados bi-mágicos de orden 3, salvo el que contiene 9 cifras iguales, que de mágico tiene más bien poco.
  • Se han construido cuadrados tri-mágicos de órdenes 12, 32, 64, 81 y 128; el único de orden 12 fue construido por el matemático alemán Walter Trump en junio de 2002.
  • El primer cuadrado tetra-mágico, de orden 64, lo obtuvo Andrés González, en junio de 1998, usando números del 1 al 4096 sin repetir ninguno de ellos. Puede segregarse en 64 tableros de ajedrez y siempre sumaría igual, indistintamende de la posición en las que resulten las filas norte, sur, este y oeste. Según González, en esta obra no se usó ningún ordenador para cuadrarlo. El cuadro se encuentra registrado en el Archivo Internacional Central de Objetos de Arte [2].
  • El primer cuadrado tetra-mágico, de orden 512, lo obtuvieron André Viricel y Christian Boyer en mayo de 2001; un mes más tarde presentaron el primer cuadrado penta-mágico, de orden 1024. Ya en 2003, presentaron un cuadrado tetra-mágico de orden 256 y el matemático chino Li Wen uno penta-mágico de orden 729.
164136527625518
266354191344338
140451222515831
23505930437489
383104749242960
522132573921146
431473464252053
612817564215635
    
122334162667983104112123144
9119451151079352383010026136
75141354857141318897110470
748106491243102133963913771
1401011244260371088510321445
12276142866712619785936923
552795135130895615105011890
132117689111994613454772813
736421211093211336241438172
58988411613816129729614787
803410569212718531394011165
5163312025128171201251148294
Cuadrado bi-mágico de orden 8
(constantes mágicas 260 y 11.180)
 Cuadrado tri-mágico de orden 12
(constantes mágicas 870, 83.810 y 9 082.800)

Pueden construirse cuadrados mágicos con números extraídos de cualquier sucesión aritmética independientemente del número inicial y de la razón de la serie. Siendo a0 el primer término y r la razón, fácilmente se demuestra que la constante mágica será en este caso:

M_2(n) = frac{n[2a_0+(n^2-1)r]}{2}

Análogamente, se pueden construir cuadrados mágicos a partir de sucesiones geométricas, en cuyo caso serán los productos los que den por resultado la constante mágica. Estos pueden construirse con las reglas dadas para los cuadrados aritméticos, sin más que sustituir el término de la serie geométrica en la posición indicada por la correspondiente de la serie aritmética:

Sucesión
aritmética
618
753
294
    Correspondencia
123456789
1248163264128256
    Sucesión
geométrica
321128
64164
22568

La constante mágica es en el caso general

{M_2}^*(n) = ({a_0}^2{r^{(n^2-1)}})^{frac{n}{2}}

cuya similitud con la ya obtenida para las series aritméticas es palpable.

También se han construido cuadrados mágicos con series de números primos consecutivos, o con las cifras decimales de los recrípocos de la serie aritmética de los números naturales, etc.

Por último señalaremos la existencia de disposiciones mágicas n-dimensionales; así, con la serie 1 - n³ pueden construirse cubos mágicos, y en general, con la serie 1 - nr cuadrados mágicos r-dimensionales de orden n, con sus respectivas variantes multi-mágicas y cuya visualización no es inmediata, aunque pueden tratarse cómodamente mediante el empleo de ordenadores.

[editar] Cuadrados mágicos esotéricos

Nota: para apreciar las comparaciones, para los cuadrados mágicos esotéricos, se ha tomado otros colores, diferentes a los empleados hasta aquí.

Un cuadrado mágico esotérico, utiliza criterios más restrictivos en cuanto a condicionantes para ser tenido por un cuadrado mágico, tanto es así, que solo existe uno por cada n. A continuación se detallan los condicionantes.

[editar] Propiedad de equivalencia

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232527
242922

 

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492

En sentido esotérico, solo se considera cuadrado mágico, a aquellos que tienen las mismas cifras que el número de casillas (que siguen la serie de números naturales desde 1 hasta n²). El cuadrado de la figura (color naranja, a la izquierda) no es un cuadrado mágico esotérico. En este caso es el resultado de un cuadrado mágico de n=3 a cuyas cifras se le ha sumado 20, comparar con el original (color naranja a la derecha)de n=3, viendo la ubicación de las cifras y su concordancia.


[editar] Propiedad de las esquinas

  • En sentido esotérico, un cuadrado mágico, debe reunir unas condiciones de suma de sus esquinas (que llamamos Cifra mágica-2, o de segundo orden). Explicación de como se halla:
  • Si llamamos Composición al sumatorio de los números que componen el cuadrado mágico: C= sum (1+2+3....), o también C= ((n²+1)×(n²/2)...
  • ...y si llamamos Número base (Nb) a la Composición dividida entre el número de casillas que componen el cuadrado, tendremos que Nb= C / (n²). El número base también puede calcularse de la siguiente manera: Nb= (n²+1)/2 (obsérvese en la tabla adjunta más abajo la relación de sus cifras entre ambas columas donde Nb es casi la mitad de ). El número base en un cuadrado mágico esotérico de n= impar siempre aparece en la casilla central, lo que en cierto modo ayuda a reconocer y rechazar de un simple vistazo los que no cumplan dicha condición. (Véase la sección propiedades posicionales más abajo para más detalles).
  • También obtenemos la Cifra mágica, al multiplicar el Número base por n Cm=Nb×n (o a la inversa, obtenemos Nb, al dividir la Cifra mágica entre n Nb= Cm/n ).

 

r__s
____
____
t__u

 

r_s
___
t_u
Y siendo Cifra mágica-2 la suma de las esquinas entonces: Cm2= r+s+t+uEntonces Cm2, la suma de las esquinas Cm2= Cm - (Nb( n-4))O también (partiendo de que Cm=Nb×n) : Cm2= Nb×n - (Nb(n-4)).O reduciendo : Cm2= 4Cm / n.Se señalan en los dibujos las casillas de esquina, para cuadrados de n=4 y n=3
  • Se deduce que si el cuadrado tiene menos esquinas de 4, entonces dicha cifra es sumada, que si es mayor de 4 esquinas, la cifra es restada. Para el caso de 4 esquinas exactas, ni se suma ni se resta, o bien se suma y se resta, (como prefiera ser considerado).
  • Podemos comprobar que en el cuadrado mágico de 4 la suma de las 4 esquinas Cm2 =Cm (Cifra mágica2= Cifra mágica).

También la suma de las cifras de las 4 casillas que forman una cruz (las que están en el medio entre dos esquinas adyacentes), suman Cm2. La particularidad de n=par_impar produce dos casos.

 

_C_
R_U
_Z_

 

__C1C2__
______
R1____U1
R2____U2
______
__Z1Z2__
  • Para el caso de n=impar: Cm2= C +R +U +Z (dibujo de la izquierda)
  • Y para el caso de n=par las dos casillas adyacentes que forman la cruz en las mismas condiciones, solo que en este caso al ser dos grupos de 4 casillas, es dos veces CM; =2 Cm2): Cm2=(C1 +C2 +R1 +R2 + U1 +U2 +Z1 +Z2 )/2 (dibujo de la derecha)

Se muestran un cuadrado de n=3 para ejemplo de caso impar, y uno de n=6 para ejemplo de caso par. Obsérvese que del caso par, se toman las dos casillas centrales de CRUZ, razón, por la que hay que dividir luego entre dos.


  • Se ha remarcado en la tabla el ejemplo mostrado sobre el cuadrado mágico con el caso de n= 7 : al aplicar C=1225; Nb=25; Cm= 25×7=175; Cm2= 175- (25(7-4)=100
  • Se puede comprobar Cm2=R+S+T+U, (las esquinas, en amarillo 22 + 4 + 46 + 28 ) = 100
  • Igualmente se puede comprobar Cm2=C+R+U+Z,(los centros en cruz, en oscuro 41 + 13 + 9 + 37 ) = 100
Es decir C+R+U+Z=R+S+T+U

 

lado n del cuadradoCasillas n×nSumatorio (n²+1)×(n²/2)Cifra mágica C/nNúmero base Cm/nCifra mágica-2 Cm2= 4Cm / n
nCCmNbCm2
111114 No mág.
241052,510 No mág.
394515520
416136348,534
525325651352
63666611118,574
749122517525100
864208026032,5130
981332136941164

 

2247164110354
5234817421129
3062449183612
1331725431937
3814321264420
213983322745
461540934328


.

  • Puede entenderse que el cuadrado de 1, no tiene 4 esquinas, y sin embargo su cifra mágica-2, es 4, al no poder sumar más que 1, queda fuera de ser un cuadrado mágico esotérico.
  • El cuadrado de dos, si tiene 4 esquinas, pero su cifra mágica-2 arroja un resultado de 10, lo cual es imposible que resulte. Se explica más arriba en este artículo, el porqué un cuadrado mágico de n=2, no lo es (Cm no resulta), y aquí además porqué no es esotérico.

[editar] Propiedades del centro

En un cuadrado mágico esotérico también se cumple la siguiente condición (además de todo lo anteriormente explicado):

* En los casos impares: Obtenemos la Cifra Mágica-2 en los cuadrados mágicos esotéricos al multiplicar el valor central de la casilla por 4* En el caso de los cuadrados pares: Obtenemos la Cifra Mágica-2 con la suma de sus 4 casillas centrales ( al igual que sucede con los centros en cruz explicados más arriba en que deben tomarse 2).

Es decir el 'peso específico' del centro se mantiene en equilibrio. Si quisiéramos usar una fórmula general sería esta: la media de las casillas centrales * 4. Dado que los casos impares no tiene una casilla central como única, debe considerarse el menor caso que reúna esa condición, siendo siempre 4 casillas.

Se puede comprobar con el ejemplo de 7 casillas de más arriba, o con el de 3,etc.


[editar] Propiedades posicionales

Por la que se considera a un cuadrado mágico esotérico que está ordenado cuando se cumplen además otras condicones que son ligeramente distintas en los cuadrados de n-par sobre los de n-impar. (el mismo cuadrado rotado o reflejado, deja de ser ordenado aunque no deja de ser esotérico.

  1. n-impar: Nb ocupa la casila central. La cifra mayor está encima de la casilla central y la inferior debajo.La esquina r está ocupada por la cifra Nb-(n/2-(1/2)) y la opuesta u por lacifra Nb+(n/2-(1/2)). La esquina s está ocupada por la cifra n/2+(1/2) y la casilla opuesta t, por 2×Nb- (la cifra de s), o lo que es igual, por la cifra mayor del cuadrado mágico, - (n/2-(1/2)).
Diagonales: La diagonal que va desde la esquina superior izquierda hacia la esquina inferor derecha siempre lleva sus casillas numeradas correlativamente. La otra diagonal lleva sus casillas numeradas en saltos de n comenzando justamente por (n +1)/2
  1. n-par : La casilla r (la 1ª), es ocupada por la cifra n, la cifra 1 ocupa la casilla s, y la última cifra, la diagonal t, y la casila u=t+s-r.Al ser par, no existe casilla central, y por lo mismo Nb, no es entero, y no ocupa casilla.
Diagonales: la 1ª diagonal lleva las casillas numeradas en saltos de n -1 empezando por n y la otra diagonal lleva las casillas numeradas en saltos de n +1 empezando por 1 y acabando en .

[editar] Propiedades de las diagonales (diametrales)

Se verifica que la suma de dos casillas diametralmente opuestas siempre suman n² + 1. Se aplica por igual a los casos de n= impar como a los casos de n=par, siendo sólo diferente, que para el caso impar el centro es una casilla y para el caso par no hay casilla definida

Para no saturar su comprobación se ilustran sólo cuatro ejemplos denominados a, b, c, d con su correspondiente diametralmente opuesto respecto del centro (que se ha dejado a propósito).Puede verificarse con los valores del cuadrado de la derecha. Siendo: DI= n² + 1= 7² + 1= 50 se demuestra que: para a DI= 47 + 3= 50 , para b DI=42 + 8= 50, para c DI=6 + 44= 50, para d DI=31 + 19= 50 ...
-a----04
----b11-
-c--18--
-d-25-d-
--32--c-
-39b----
46----a-
2247164110354
5234817421129
3062449183612
1331725431937
3814321264420
213983322745
461540934328


Puede verse entonces que la propiedad de las esquinas es una consecuencia natural derivada de ésta. Esta propiedad junto con las propiedades posicionales proporcionan todas las reglas necesarias para elaborar una fórmula general con la que elaborar cuadrados mágicos esotéricos de cualquier tamaño que se aborda a continuación.



[editar] Elaborar cuadrados mágicos esotéricos

  • El proceso de elaborar cuadrados mágicos esotéricos se aborda en 2 fases. como se ha venido viendo a los largo del artículo, los casos de n par o impar conllevan situaciones que requieren diferente trato.
  • De entrada y por abreviar acordamos llamar a cada diagonal con los siguientes símbolos: diagonal directa (arriba izquierda hacia abajo derecha) con lo llamaremos d . Diagonal inversa (arriba derecha hacia abajo izquierda) lo llamaremos d /
  • Lista de figuras: para reconocer mejor el cambio operado en cada paso se ha despejado el cuadrado de todo lo no necesario para entender el paso, por dicha razón a cada paso no necesariamente se va acumulando los valores ya obtenidos.

[editar] Caso impar

Para explicar cómo elaborar un cuadrado mágico esotérico de lado impar, previamente decidimos n que para el ejemplo será 9

Siendo n=9 calculamos el nº de casillas n²=9*9=81 y a su vez calculamos NB con cualqiera de las fórmulas que se dieron anteriormente, al caso NB = (n²+1) /2=41. NB no precisa ser calculado en este instante, sin embargo sirve de verificación para constatar que se trata de un cuadrado mágico esotérico y no de otro cualquiera.
FIGURAAAAAAAAAAA01
---------
---------
---------
----81----
----41----
----1----
---------
---------
---------
FIGURAAAAAAAAAAA02
--------5
-------14-
------23--
---- 32---
----41----
---50 ----
--59------
-68-------
77--------
  • Se muestra el cuadrado vacío y donde irán los valores 1, NB y como se indica en propiedades posicionales más arriba en el artículo. (ver figura-1 ). Se hace notar la importancia estratégica de NB, que se emplea en el paso-3
  • Paso 1: elaborar la diagonal principal; d / como se indica en propiedades posicionales: calculamos la primera cifra: = (n + 1) /2 = 9 +1 /2=5 primer valor por tanto 5, los siguientes serán ((nº fila-1) * n) + valor 1ª fila caso de la fila 2= ((2-1) * 9) +5=14, sucesivamente aplicando el mismo cálculo serán: 23,32,41,50,59,68 y 77 (ver figura-2).

En la imagen (figura-8) 1ª a a la derecha de la figura 7 se muestra un método rápido de rellenar ambas diagonales sin necesidad de calcular.



FIGURAAAAAAAAAAA03
--------5
-------14-
------23--
---- 32---
----41----
---50 42---
--59---43--
-68-----44-
77-------45
FIGURAAAAAAAAAAA04
*- - - -5
-38- - -14-
 -39- -23- 
- -40 32- -
 - -41- - 
- -50 42- -
 -59-51-43- 
-68-60-52-44-
77-69-61-53-45
  • Paso 2: elaborar las diagonales respecto de la princial; todas las d que desembocan a d / tiene valores correlativos por consiguiente, empezando por la casilla central hacia abajo serán: 42,43,44,45 (figura-3) y hacia arriba serán: 40,39,38,37... proceder igualmente desde el resto de las casillas que forman d / . Con esto ya tenemos resuelto la mitad del cuadrado, todas las casillas impares... (figura-4). Para no enturbiar la figura-4 se rellenan sólo unas pocas casillas y se marcan los demás afectados con el mismo color de fondo que éstos...

Puede verse en la imagen (figura-9) (la 2ª a la derecha de la figura-7, más abajo), cuáles casillas son estas, tomadas del cuadrado original del que se toman los valores, y que al caso son correlativos. Obsérvese el giro a 45º de la imagen para ver la concordancia claramente. La imagen ilustra la no necesidad de calcular dichas casillas. Por ejemplo para la primera fila se ve que éstas son: 37 - 29 - 21 - 13 y 5.

FIGURAAAAAAAAAAA05
37-29-21-13-5
-38-30-22-14-
47-39-31-23-15
-48-40 32-24-
57-49-41-33-25
-58-50 42-34-
67-59-51-43-35
-68-60-52-44-
77-69-61-53-45
FIGURAAAAAAAAAAA06
 -2970 - - 
- - - - -
 - - - - 
- -   - -
 17  41  - 
-58-   -34-
 - 1051- 75 
- - - - -
 - - - - 
  • Paso 3: Desde este momento hay que considerar el cuadrado en 4 zonas, primero en 2 separadas por d / y nuevamente dividimos cada zona en 2 de acuerdo a d (ver figura-5 donde pintamos cada área de un color (sólo las casilla que faltan por resolver)) . Cada una de las 4 zonas delimitadas se resuelve con suma o resta de un valor ya existente en la casilla adhyacente operando con NB, siendo condicionado cada zona al siguiente criterio; El valor de cada casilla resulta de operar la casilla inmediata al lado:
  • En la zona norte, izquierda + NB
  • En la zona sur, derecha - NB
  • En la zona oeste, inferior - NB
  • En la zona este, superior + NB . Esto es, una casilla en la zona este se calcula sumando el valor de la que está encima de ésta + NB.

En última imagen (3ª a la derecha de la figura-7) se muestra de donde proceden estas casillas en el cuadrado original, y como se ubican en cada sector. Compárese cada sector con la ubicación de la figura-9. Puede verse como los sectores han sido trasladados. Todas las casillas corresponden a las que se muestran en la figura-7 en color amarillo.

Se ha calculado sólo una casilla en cada zona(ver figura-6), para apreciar con más claridad cada caso, analicemos por ejemplo la de la zona este. Tomemos (ver figura-5) la casilla situada entre aquella que tiene el valor 34 y la que tiene valor 44, valdrá, lo que vale la casilla según se indica por la zona a que corresponde, este caso la de encima de ella + NB= 34 + 41=75 ( ver resultado en figura-6 y comprobar con figura-7).


La figura-7 muestra el cuadrado completamente relleno y de un mismo color las casilas obtenidas en cada paso. Corresponde a cada paso los siguientes colores: paso 1: marrón, paso 2: arena, paso 3: amarillo. A la derecha se muestra una imagen donde se relacionan las casillas que corresponden a las diagonales sin necesidad de calcular, nótese que el cuadrado de la imagen (figura 8) tiene todas sus casillas correlativamente numeradas del 1 al 81.

FIGURAAAAAAAAAAA07
37782970216213545
63879307122631446
47739803172235515
16488408132642456
57174994173336525
26581850142743466
67275910512437535
36681960115234476
77286920611253445
Rellenar las diagonales sin calcular
Rellenar casillas diagonales respecto de la diagonal principal
Rellenar las casillas del paso 3 sin calcular



[editar] Caso par


  • Los métodos explicados detalladamente valen para cualquiera que sea el número de n, que por razones de espacio se ha trabajado con ejemplos cuyo n resulta fácilmente manejable.
  • Cuando ya se conocen las reglas pueden construirse siguiendo otro criterio basándose en la relación que mantienen entre sí las casillas. Con todo se recomienda seguir las instrucciones cuando se hace manualmente.
  • Una vez realizado un cuadrado mágico esotérico puede fácilmente mudarse en cualquier otro tipo de cuadrado mágico simplemente por sustitución, adición, giro ó cualquier otro método.

 

[editar] Alusiones a la Cábala

  • Primera alusión a la Cábala: Hay equivalencias entre las cifras de los cuadrados mágicos esotéricos y las letras del alfabeto hebreo, considerado por los cabalistas, de modo que sólo cuando se aplica al cuadrado adecuado, puede tomarse correctamente el resultado cabalístico, siendo inexacto las conclusiones si se toma el cuadrado mágico equivocado.

Las reglas particulares, así como esta general, ha sido desconocida por muchos que a lo largo de los tiempos trataron de desentrañar sus misterios o de desenmascarar sus mentiras, es por ello que los estudios de aquellos que ignoraron tales cuestiones carecen de validez, pues la palabra tomaba el número de acuerdo a las reglas de éste para interpretar la palabra, y no la palabra se convertía en número para interpretar la palabra, como tales pretendían. Así como las palabras tenían sus reglas, también las tenían los números, y era así como se convertía en sagrada su interpretación, pues no bastaba con conocer los números si no se conocían sus reglas, igual que no basta para comprender un idioma, aunque se conozcan sus letras, si se desconocen sus reglas....

  • Segunda alusión a la Cábala : Es de señalar que sin embargo, a pesar de lo anotado más arriba de esta sección, los mencionados como cuadrados satánicos, estrictamente en sentido esotérico, no son tenido por tales si no tan solo el cuadrado de n=6 esotérico, ya que la suma de sus cifras (Composición), suma 666. Y es en donde los cabalistas buscan o debieran buscar el número de la Bestia tal como se menciona en la Biblia.

[editar] Conclusiones

  • Como se puede apreciar desde el principio del artículo, el cuadrado mágico, denota un gran equilibrio en su construcción. El cuadrado mágico esotérico requiere un equilibrio mayor aún, razón por la que no cualquier cuadrado mágico es esotérico.
  • Para entender ese equilibrio (en general), puede hacerse una idealización de la siguiente forma: Imaginemos que cada casilla representa una pieza de un peso tal como refleja el número contenido en ella. Bien, ahora imaginemos que colocamos la matriz en equilibrio sobre su centro geométrico, por las sumas que en apartados superiores de este artículo se han explicado y suponiendo pesos exactos, la tabla queda equilibrada. Si las casillas de la tabla fuesen posicionadas en su orden correlativo, veríamos que no mantendrían su equilibrio, y que una zona sería notoriamente más pesada que la otra.
  • Puede considerarse que el cuadrado mágico por tanto es un método de equilibrar una superficie (o una dimensión si se considera el cubo mágico) en su centro geométrico, que a su vez es el centro de gravedad. Asumiendo esta misma definición diferenciaríamos el cuadrado mágico del cuadrado mágico esotérico en que éste último a su vez no considera aquellas situaciones que son simétricas, múltiplos o cuyo orden hace vacilar el equilibrio en gran medida si se retira un "peso" del tablero. Evidentemente sólo aquél orden que mantenga el mayor número de proporciones equivalentes respecto de dicho centro geométrico, lo mantendrá también respecto de su centro de gravedad, e igualmente si estaba en una situación de equilibrio, al retirar una única pieza la rotura del equilibrio será menor que otro orden (disposición) que por ejemplo, sólo iguale proporciones perimetrales.
  • Cuanto menor es el número del lado de casillas tanto menor es la proporción de equilibrio entre partes simétricas. Excepto que consideremos el caso del 1.
  • El equilibrio mencionado al caso, por tanto consiste en un orden específico de numeración (o posicionamiento, si quiere idealizarse con los pesos) que conlleva a que el centro de geométrico sea también el centro de gravedad.
  • No se conocen aplicaciones tecnológicas concretas que se beneficien de estas características, razón por la cual sigue recluido al divertimento curiosidad y al pensamiento matemático.

[editar] Bibliografía complementaria

  • Andrews, William Symes: Magic Squares and Cubes. Nueva York: Dover, 1960. ISBN 0-486-20658-0
  • Fults, John Lee: Magic Squares. La Salle, Illinois: Open Court, 1974. ISBN 0-87548-197-3
  • Pickover, Clifford: The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, 2003. ISBN 0-691-11597-4
  • Knorr Rosenroth: Aesch Mezareph o Fuego Purificador, original: Sulzbach año-1677-84, presente edición en español: Muñoz Moya y Montraveta editores, Cerdanyola del Valles, año-1987, ISBN 84-86335-32-9
  • Cornelio Agrippa: Numerología Oculta , Ediciones Obelisco año-1996 ISBN 978-84-7720-493-0

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

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