MATEMÁTICAS2: ¿SE DAN FORMAS GEOMÉTRICAS PERFECTAS EN LA NATURALEZA? Euclides (siglo III a.C.), influenciado por las ideas de los Pitagóricos, también examinó la perfección de las figuras geométricas y de los sólidos tridimensionales, y a partir de estos pioneros estudios se derivaron toda una serie de investigaciones sobre la Naturaleza en busca de la «proporción divina» y de las «formas perfectas» que subyacen a la realidad. Grandes arquitectos, matemáticos y escultores griegos, como los famosos Policleto y Fidias, conocían muy bien la «proporción áurea» y el «número áureo» (o número de oro equivalente a: Φ = 1,618033988) que habían sido usados por los egipcios, y lo aplicaron como un patrón de medida estético en la construcción de templos, edificios y esculturas, de tal forma que para asombro de los humanos con fundamento en ese número esculpieron seres con cuerpos de proporciones perfectas que no existen en este mundo y que sólo son una aproximación a la figura ideal de los dioses del Olimpo.

COMPRENSIÓN DEL AZAR POR LOS PITAGÓRICOS Y LOS SABIOS GRIEGOS.

 

En Occidente encontramos que en la cultura jónica y griega el filósofo Anaximandro (610−547 a.C.) habló de la existencia de un estado primario de imperfección conocido como el «caos» (apeiron) que regía en el principio de los tiempos, estado primario a partir del cual luego surgió el orden y la perfección de toda la realidad conocida del universo, produciéndose así el equilibrio entre estos dos instantes antagónicos del cosmos (en lenguaje binario esto es equivalente a afirmar que del 0 surgió el 1 y que las alternancias entre estos dos números determinan la sucesión de los tiempos: 0−1−0−1−0−1 … etc.). Por su parte, Anaxímenes (525 a.C.) creía que el imperfecto apeiron (caos) comenzó a perfeccionarse cuando primero se transformó en aire, y luego a través de diferentes condensaciones se transformó en fuego, después en agua y finalmente en tierra, y desde que Anaxímenes expuso esta teoría numerosas escuelas místicas surgieron en la antigua Grecia para profundizar en las ocultas relaciones existentes entre los «Cuatro Elementos Divinos» que conformaban la Naturaleza y que regían la vida de los humanos: Aire, Fuego, Agua y Tierra.

 

El gran Pitágoras (580−500 a.C.) y todos sus seguidores también admiraban la perfección de los números, pero sabían que por cada número par hay uno impar, que por cada número positivo existe uno negativo, etc., y por tanto, a la luz de esta evidencia, no podían concluir cosa distinta que en el mundo de las matemáticas necesariamente debía existir una especie de «equilibrio» entre los distintos tipos de números opuestos, equilibrio y armonía que también debían manifestarse en los elementos y los fenómenos de la realidad regidos por las mismas formas ideales procedentes del mundo de las matemáticas. No resulta extraño que los Pitagóricos proclamaran que el universo estaba configurado según un orden numérico en el que prevalecía el «equilibrio entre las proporciones», es decir, necesariamente el universo funcionaba según ciertos números fraccionarios que simbolizaban las distintas proporciones divinas existentes entre los diversos elementos que lo componen (1/2, 1/3, 1/4, 1/6, etc.).

 

Euclides (siglo III a.C.), influenciado por las ideas de los Pitagóricos, también examinó la perfección de las figuras geométricas y de los sólidos tridimensionales, y a partir de estos pioneros estudios se derivaron toda una serie de investigaciones sobre la Naturaleza en busca de la «proporción divina» y de las «formas perfectas» que subyacen a la realidad. Grandes arquitectos, matemáticos y escultores griegos, como los famosos Policleto y Fidias, conocían muy bien la «proporción áurea» y el «número áureo» (o número de oro equivalente a: Φ = 1,618033988) que habían sido usados por los egipcios, y lo aplicaron como un patrón de medida estético en la construcción de templos, edificios y esculturas, de tal forma que para asombro de los humanos con fundamento en ese número esculpieron seres con cuerpos de proporciones perfectas que no existen en este mundo y que sólo son una aproximación a la figura ideal de los dioses del Olimpo.

 

Platón (427−347 a.C.) dentro de su sistema filosófico idealista retomó muchas de estas concepciones matemáticas entremezcladas con las viejas creencias místicas, y así postuló que para comprender la física del cosmos era necesario estudiar la verdadera proporción y relación que se da entre «5 sólidos perfectos» (poliedros regulares) que definen y sustentan el equilibrio de todo lo existente: el tetraedro, el hexaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

 

El gran Aristóteles (384−322 a.C.), al establecer las bases de la lógica, fue el primero en advertir que los conceptos ideales creados en la mente humana son sólo «simplificaciones» o «generalizaciones» de los fenómenos de la realidad que se perciben a través de los sentidos, y por tanto, para evitar que el juicio humano incurra en errores o en falsas ideas sobre la realidad que es captada, era necesario postular una serie de reglas lógicas que debían guiar el buen razonamiento, siendo esta la vía recomendada para que las ideas existentes en la mente humana correspondan a lo que en verdad ocurre en la realidad. Aristóteles planteó la separación entre el mundo de las ideas que viven en la mente humana y el mundo exterior de la cruda realidad, primer paso para comenzar a hablar de la indagación racional de la Naturaleza, pero lamentablemente la propuesta aristotélica sólo fue conocida por un reducido grupo de discípulos y eruditos de la Antigüedad y por eso su impacto en la cultura occidental sólo se sentiría muchos siglos después.

 

Los jónicos fueron un pueblo de navegantes procedentes tal vez del Asía Menor, que hacia la mitad del segundo milenio a.C. se expandieron por las islas y costas del Egeo, por las tierras del Ática, por las tierras de Macedonia y por la bota itálica hasta llegar a Sicilia, trayendo consigo la creencia en dioses mitológicos, el gusto por el vino y por los festejos, el cultivo de las artes y la música, la reflexión filosófica y la formación guerrera, todo lo cual derivó en el florecimiento de la civilización griega clásica conocida entre los siglos VIII y III a.C. sobre la cual se cimentaron los pilares de la cultura occidental. Se cree que Pitágoras nació en Samos (580−500 a.C.) y que durante su juventud tuvo la oportunidad de viajar por Babilonia y por el norte de África hasta adentrarse en Egipto siguiendo la ruta del Nilo, donde fue instruido por cierto grupo de «guardianes de la Gran Pirámide», después de lo cual regresó a su tierra trayendo consigo un gran cúmulo de conocimientos religiosos, astrológicos, geométricos y matemáticos que divulgó entre sus discípulos, quienes hacia el año 530 a.C. formaron en Crotona (Sur de Italia) una comunidad conocida como los Pitagóricos, cuyos miembros eran célibes, vegetarianos, ascéticos y se dedicaron a transmitir los conocimientos de su maestro a los nobles hijos de las familias aristocráticas griegas. Otra versión de los historiadores afirma que Pitágoras no postuló todas las ideas que se le atribuyen o que quizá él nunca existió, y su nombre fue usado como un referente legendario en las obras de Parménides, Empedocles, Aristarco de Samos, Arquitas de Tarento, Ecfanto de Siracusa, Filolao de Crotona, Euclides y Platón, verdaderos hijos de la aristocracia griega que tuvieron el privilegio de viajar por Babilonia o por Egipto donde fueron instruidos y después encontraron muy útil en sus escritos atribuirle sus propias ideas y creencias a un mítico maestro supuestamente nacido años atrás. Cuando en Grecia el poder de los tiranos y de las familias aristocráticas fue vencido dando lugar a ciudades-Estados regidas por concejos democráticos, los discípulos que predicaban el pitagorismo fueron perseguidos por sus viejos nexos con la clase aristocrática y tuvieron que exiliarse hacia diversas regiones de Europa. Como quiera que haya sido, lo cierto es que las ideas pitagóricas introdujeron en Occidente una nueva imagen ideal del universo, regido ahora por números, por medidas perfectas y por proporciones divinas. Los pitagóricos llevaron hasta el límite su admiración por los números, su admiración por las curiosas propiedades matemáticas que cumplían ciertos números que conformaban series caracterizadas por alguna cualidad especial: los números pares, los números impares, los números primos, los números racionales, los números fraccionarios, etc. Gran admiración causaba entre los pitagóricos comprobar que los seres humanos estaban acostumbrados a comerciar, medir y pensar en términos de unidades enteras (12 cabras, 5 racimos de uvas, 3 odres de vino, 6 monedas de oro, 10 días, etc.), pero que en contraste los fenómenos del cosmos se regían por «proporciones» entre los elementos y las fuerzas, por números fraccionarios (x/y) que expresaban el balance o el desequilibrio de esas proporciones, o aún por números irracionales que no pueden ser expresados ni como enteros ni como fraccionarios pero que están presentes en las formas geométricas básicas: el círculo, el triángulo, el cuadrado, etc. El cosmos pensaba y funcionaba a base de números fraccionarios o números irracionales, y esos números casi mágicos eran la clave para penetrar en todos sus secretos.

 

Los pitagóricos concibieron un cosmos regido por los números, a partir de los cuales surgieron todas las formas geométricas de la Naturaleza. Particularmente creían que todo lo existente se formaba a partir de tres Números Puros, y que esa relación fundamental basada en «tripletas», en «ternarios» o en «triadas» se mantenía constante en todos los fenómenos de la Naturaleza. Los tres números puros, origen de todos los demás números, eran el 1, 2 y 3, que podían ser representados mediante los lados de un triángulo perfecto. Bastaba sumarle 3 unidades como una constante a cada uno de esos números puros y a sus subsiguientes resultados para generar todos los demás números hasta el infinito. Así, tomando el uno, se obtiene: 1+3 = 4, 4+3 = 7, 7+3 = 10, 10+3 = 13, 13+3 = 16, etc. Si se toma el dos, se obtiene: 2+3 = 5, 5+3 = 8, 8+3 = 11, 11+3 = 14, 14+3 = 17, etc. Y si se toma el tres, se obtiene: 3+3 = 6, 6+3 = 9, 9+3 = 12, 12+3 = 15, etc. Los números 4, 7, 10, 13, 16, … etc. son hijos del 1, los números 5, 8, 11, 14, 17, … etc. son hijos del 2, y los números 6, 9, 12, 15, … etc. son hijos del 3, y todos intercalados forman la secuencia de los demás números hasta el infinito: 1, 2, 3 … 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, etc. Los pitagóricos también usaban la denominada «Reducción Pitagórica» (conocida también como reducción teosófica), que consiste en sumar todos los dígitos de cualquier cantidad conformada por 2 o más dígitos, realizando tantas sumas sean necesarias de las cifras de los resultados obtenidos hasta lograr como resultado un solo dígito ubicado entre los números 1 y 9 que son considerados los Números Primarios del cosmos. Así, en la gráfica se muestra que para reducir el número 98 basta sumar sus dos dígitos (9+8 = 17), y como el resultado obtenido (17) aún es superior a un solo dígito, entonces nuevamente se deben sumar sus dos cifras componentes (1+7 = 8), y de este modo se obtiene un número primario ubicado entre 1 y 9. Lo mismo puede hacerse con cualquier otra cifra, sin importar la cantidad de dígitos que la conformen, y de este modo los pitagóricos demostraban que todas las cantidades existentes en el universo procedían de unos números primarios: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Los pitagóricos también admiraban las «relaciones cuadráticas» que se dan entre ciertos números, misteriosas relaciones que unían a ciertos números como sí fueran familiares vinculados por nexos secretos. Sobre el particular ellos se adentraron en el estudio de la denominada «Tripleta Pitagórica», que consiste en que la suma de los cuadrados de dos números diferentes es igual al cuadrado de un tercer número diferente: a² + b² = c². El ejemplo básico se inicia con los números 3−4−5 que al ser elevados al cuadrado demuestran estar unidos por esa extraña relación cuadrática (ya que 3² + 4² = 5² es igual a: 9 + 16 = 25), pero existen muchas otras tripletas de números que también están vinculados de la misma manera: 5−12−13, 7−24−25, 8−15−17, 9−40−41, 11−60−61, 12−35−37, 13−84−85, 16−63−65, 20−21−29, 28−45−53, etc. Otros tipos de mágicos vínculos descubrieron los pitagóricos al estudiar los números primos, los números fraccionarios, los números pares e impares, etc., adobando ese saber matemático con una buena dosis de misticismo, cosmología y especulación filosófica.

 

El conocimiento de la Tripleta Pitagórica le permitió a Euclides formular el famoso Teorema de Pitágoras en su obra de geometría titulada Los elementos. En un triángulo rectángulo, es decir, en aquel que tiene una esquina formada por un ángulo recto de 90 grados, siempre se observa que la suma de los cuadrados de los catetos da como resultado el cuadrado de la hipotenusa (a² + b² = c²). La demostración del teorema es geométrica, pues en la gráfica se observa que el cuadrado perfecto formado a partir de la expansión de la línea de la hipotenusa (c) ocupa un área que es igual a la sumatoria del área de los dos cuadrados de menor tamaño formados por la expansión de las líneas de los catetos (a y b). El Teorema de Pitágoras es la mejor demostración de la forma como operan en las medidas y en las proporciones de las figuras geométricas las extrañas relaciones cuadráticas observadas entre ciertos números. Los pitagóricos se dedicaron a buscar qué otras mágicas relaciones entre los números también estaban presentes en las formas geométricas planas o sólidas como el cuadrado, el círculo, el triángulo, la esfera, el cubo, la estrella pentagonal, etc., y así llegaron al convencimiento de que en el mundo de las matemáticas unos cuantos Números Puros o Números Primarios eran los que daban origen a todos los demás números hasta el infinito, y una vez formada esa larga serie numérica se establecían ciertas «relaciones mágicas» entre los números, relaciones que a su vez daban nacimiento a las proporciones y medidas de las figuras geométricas básicas que daban forma a todos los elementos existentes en el universo conocido: triángulos, cuadrados, círculos, etc. En síntesis, para los pitagóricos el universo entero procedía de unidades básicas conocidas como Números Puros o Números Primarios, símbolos de la perfección y de la exactitud matemática.

 

Entre los pitagóricos el estudio de las medidas y de las figuras geométricas llevó a postular que el orden de la Naturaleza estaba regido por el equilibrio expresado en «proporciones divinas», en «proporciones de perfección», en números fraccionarios que en un solo número agrupaban las fuerzas opuestas (x/y), como lo evidencia la gran admiración que sentían por la denominada «Proporción Áurea» y por el «Número Áureo», que al parecer previamente fueron usados por los constructores de las pirámides egipcias. Los grandes escultores griegos de la Antigüedad, como Policleto y Fidias, descubrieron que la proporción áurea al ser aplicada a las esculturas, las obras de arte, los templos y los edificios elevaba su apariencia estética, su belleza, su perfección ideal. Adicionalmente, diversos discípulos de los pitagóricos comenzaron a constatar que por algún extraño motivo las figuras geométricas basadas en la proporción áurea abundaban en la Naturaleza en las formas que adoptaban los caracoles, las plantas, las montañas, lo cual era un indicio de que el número áureo era el preferido de las divinidades para moldear el orden natural.

 

Platón al parecer fue formado dentro del misticismo matemático de los pitagóricos, y por eso él no se conformó sólo con alabar la perfección del triángulo o de la estrella pentagonal, sino que además señaló que la estructura del cosmos debía estar soportada e influenciada por cinco sólidos perfectos en los que también operaba plenamente la proporción áurea. Estos sólidos son considerados perfectos y regulares porque el total de sus lados es un número par, y además todos sus lados están formados por una misma figura geométrica plana que se repite y se unen en un mismo ángulo por sus bordes formando el respectivo sólido en el espacio: el tetraedro formado por 4 triángulos, el hexaedro (cubo) formado por 6 cuadrados, el octaedro formado por 8 triángulos, el dodecaedro formado por 12 pentágonos y el icosaedro formado por 20 triángulos. No es común encontrar estos 5 sólidos perfectos en las formas de la tierra, de las montañas, de los mares, de las plantas, de los animales o del cuerpo humano, por tanto los pitagóricos y el mismo Platón creían que la procedencia de estos sólidos perfectos era divina y que tal vez sólo existían en los cielos.

 

Aristóteles (384−322 a.C.), nacido en Estagira, preceptor del emperador Alejandro Magno, fue discípulo de Platón y por tanto es indudable que conoció el misticismo matemático de los Pitagóricos y la admiración que ellos sentían hacia los números y las formas geométricas perfectas. Sin embargo, en vez de creer ciegamente que las formas matemáticas ideales y perfectas estaban presentes por sí solas en la Naturaleza, Aristóteles prefirió indagar por su propia cuenta el funcionamiento de la realidad, y para organizar muy rigurosamente las percepciones que captaba a través de los sentidos desarrolló la «lógica», entendida como una herramienta del juicio que permite descubrir las causas últimas y las leyes generales para clasificar los fenómenos percibidos según el «análisis deductivo» (establecer casos particulares a partir de reglas generales) y según el «análisis inductivo» (establecer reglas generales a partir de casos particulares). Según Aristóteles, para organizar los juicios mentales sobre los fenómenos de la realidad es importante establecer «definiciones» exactas, y una definición sobre un objeto sólo es exacta cuando reúne todas las características especiales que se observan en la generalidad de los objetos que pertenecen a la misma categoría. Por ejemplo, en su obra sobre la historia de los animales Aristóteles usó la observación y la lógica para tratar de llegar a la definición exacta de qué es un «animal rumiante», y así, al aplicar el análisis inductivo (partir de los casos particulares hacia la regla general), sabía que existen muchos tipos de animales que podrían ser catalogados dentro de esa categoría, y por tanto comprendió que para elaborar la definición más exacta era necesario tener en cuenta las características distintivas más generales observadas en todos ellos. Así, Aristóteles concluyó que un animal rumiante es aquel que generalmente reúne las siguientes características: se alimenta de hierba, carece de incisivos superiores y tiene 4 estómagos. Estas características existen como una «regla general» en los animales rumiantes, sin importar la gran variedad de formas que asumen los «casos particulares» observados que cumplen la regla: las vacas, las ovejas, las cabras, los ciervos, los alces, lo bueyes, los caballos, los camellos, etc. En consecuencia, para saber si un animal X observado pertenece a la categoría de los animales rumiantes, basta aplicar un silogismo dentro del análisis deductivo: «Premisa Mayor: Todos los rumiantes comen hierba, carecen de incisivos superiores y tienen 4 estómagos; Premisa Menor: Ese animal X come hierba, carece de incisivos superiores y tiene 4 estómagos; Conclusión: Ese animal X es un animal rumiante.» Pero el método lógico de Aristóteles no sólo permite realizar juicios acertados para clasificar los fenómenos observados de la realidad, sino que también es una forma de indagación científica de las «causas últimas» por las cuales funciona la realidad, pues en su obra Aristóteles especula que los animales rumiantes son como son y reúnen las características especiales antes mencionadas porque hay una causa originaria que las hace surgir. En efecto, Aristóteles, usando la primera hipótesis evolucionista (24 siglos antes de Darwin), concluyó que originariamente los animales rumiantes al consumir hierba y no ser cazadores se volvieron muy pacíficos, pero que en cierto momento necesitaron de protección contra otras bestias que los atacaban, motivo por el cual en su cuerpo la materia ósea dura de los incisivos superiores se desplazó de lugar para dar forma en el cráneo a una gran variedad de cuernos (en cabras, toros, alces, bueyes, etc.) que son usados como armas de defensa, pero este cambió biológico, es decir, la ausencia de los incisivos superiores, a su vez ocasionó que la digestión de la hierba se volviera más difícil, razón por la cual en estos animales se desarrollaron varios estómagos adicionales que contribuyen a concluir el proceso digestivo de la hierba que no ha sido masticada bastante. Respecto de otros animales rumiantes que no tienen cuernos, como el caballo y el camello, Aristóteles concluyó que en ellos también una parte de la materia dura de los incisivos superiores se desplazó hacia otros huesos, contribuyendo a que estos animales tengan una mayor corpulencia o altura que les permite protegerse de otros, e incluso en el camello parte de esa materia dura se desplazó hacia el labio de la mandíbula superior transformándolo en un cartílago fuerte que le permite comer vegetales espinosos. En síntesis, según el razonamiento de Aristóteles, en los animales rumiantes el consumo de hierba es la causa que los hizo unos animales pacíficos no cazadores, está condición y la necesidad de protección es la causa de que surgieran los cuernos o las estructuras óseas más fuertes, a su vez la desviación de la masa ósea es la causa de la ausencia de los incisivos superiores, y a su vez está ausencia de incisivos superiores es la causa del surgimiento de nuevos estómagos para concluir la digestión de la hierba. Aunque los razonamientos de Aristóteles pueden estar equivocados, ser especulativos o no corresponder plenamente a los descubrimientos realizados actualmente dentro de la biología evolucionista, en todo caso su método de deducción y de inducción es una vía lógica para penetrar en la investigación de la Naturaleza que produce mayores descubrimientos que suponer simplemente que unas formas matemáticas ideales están presentes en ella controlándola mágicamente. Es por ese motivo que el método lógico desarrollado por Aristóteles le permitió penetrar en todos los campos del saber con fructíferos resultados, abarcando la filosofía, la política, la ética (especulación sobre los valores), la retórica, las ciencias naturales, la cosmología, la economía, la biología, el estudio de los animales, la metafísica (relaciones entre materia y forma) y la psicología (especulación sobre el alma humana). Los métodos sugeridos por Aristóteles sólo serían recuperados hacia finales de la Edad Media, y su uso en la época del Renacimiento daría inicio a la ciencia moderna.

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